Electromagnetismo I. 1.- Problema: (20pts) Una corriente I fluye por un alambre de radio a.

Transcripción

1 Electromagnetismo I Semestre: Prof. Alejandro Reyes Coronado Ayud. Carlos Alberto Maciel Escudero Ayud. Christian Esparza López Solución a la Tarea Problema: (2pts) Una corriente I fluye por un alambre de radio a. Solución por Christian Esparza López a) Si la corriente se distribuye uniformemente sobre la superficie, calcula la densidad de corriente superficial K. b) Si la corriente se distribuye de tal manera que la densidad volumétrica de corriente es inversamente proporcional a la distancia del eje, calcula J. Dado que la densidad superficial de corriente es uniforme tenemos I = K dl. Para este caso dl = adϕ e integramos sobre todo el dominio de la variable angular. Entonces I = K2πa y por lo tanto K = I/2πa. (b) Sabemos que J es proporcional a ρ 1, donde ρ es la distancia al origen en coordenadas cilíndricas. Entonces J = kρ 1 con k constante, por tanto tenemos I = k ρ 1 da. En este caso da = ρdρdϕ e integramos sobre toda el área transversal del alambre, así I = k2πa, de donde k = I/2πa y por lo tanto J = I/2πaρ. 2. Problema: (2pts) a) Un fonógrafo del siglo antepasado hace girar un disco cargado con una densidad estática de carga σ uniformemente distribuída. Si el disco gira a una velocidad angular ω, calcula la densidad de corriente superficial K. También calcula el momento dipolar magnético del disco cargado girando. b) Una esfera sólida uniformemente cargada, de radio R y de carga total Q, está centrada en el origen de coordenadas y gira con una velocidad angular constante ω alrededor del eje z. Considerando que la velocidad angular y el radio R son las misma que la del planeta Tierra, y que la carga total es de 1 Coulomb, calcula la densidad de corriente volumétrica J en cualquier punto (r, θ, ϕ) dentro de la esfera. Sabemos que la velocidad tangencial a una distancia r del centro del disco es v = ωr y por definición K = σv = σωr. Por otra parte, conocemos la expresión para el momento magnético de un anillo con corriente I, entonces para calcular el momento magnético µ del disco, lo dividimos en anillos concéntricos de radio r y espesor dr, con momento magnético dµ = Kdr(πr 2 ). Entonces por principio de superposición tenemos µ = R dµ = σωπ R r 3 dr = σωπr4 4. (1)

2 (b) La distancia al eje polar del punto con coordenadas esféricas (r, θ, ϕ) es s = r sin θ, entonces la velocidad tangencial en ese punto es v = sω = r sin θω y por definición J = ρv = rωρ sin θ, sustituyendo ρ = 3Q/4πR 3 obtenemos finalmente J = 3Qrω sin θ/4πr Problema: (2pts) Dos alambres paralelos e infinitos, separados por una distancia d, tienen una densidad de carga lineal λ cada uno (ambos con el mismo signo), y se mueven ambos con una rapidez constante v como se muestra en la figura. Qué tan grande tendrá que ser la rapidez v para que la fuerza de atracción magnética cancele a la fuerza de repulsión eléctrica? Es razonable la velocidad que calculaste? (calcula numéricamente la velocidad empleando unidades de m/s). λ"! v r λ" d" Dado que ambos alambres tienen densidad de carga del mismo signo y se mueven en la misma dirección, la fuerza eléctrica es repulsiva y la magnética atractiva, por lo que tiene sentido preguntarse si éstas se cancelan entre sí. Sabemos que el campo eléctrico que genera un alambre infinito es E = λ/2πε r y por lo tanto la fuerza eléctrica de un alambre sobre el otro, por unidad de longitud, es F E = λe = λ 2 /2πε d. Por otra parte, la corriente en cada alambre es I = λv, entonces por ley de Ampère, el campo magnético que generan es B = µ λv/2πr, por lo tanto la fuerza magnética de un alambre sobre el otro, por unidad de longitud, es F B = λvb = µ λ 2 v 2 /2πr. Entonces, la rapidez con que deben moverse los alambres es v = 1/ µ ε y por definición µ = (ε c 2 ), por lo tanto v = c = m/s, lo cual es imposible a no ser que los alambres tuviesen masa en reposo nula. Esto quiere decir que la fuerza eléctrica siempre dominará en este tipo de sistemas. 4. Problema: (2pts) a) Calcula el campo magnético en el centro de un cuadrado que porta una corriente estacionaria I. Considera R la distancia del centro a un lado del cuadrado, como se muestra en la figura. b) Calcula el campo magnético en el centro de un polígono regular de n lados, que porta una corriente estacionaria I. Nuevamente R es la distancia del centro a cualquiera de los lados. c) Revisa que tu resultado del incisco anterior reproduce el campo magnético en el centro de una espira circular, tomando el límite n. R" El campo magnético en un punto P debido a un segmento de línea con corriente I, que subtiende un ángulo θ 2 θ 1 (con θ i medido desde la perpendicular a la línea en P ) es B = µ I(sin θ 2 sin θ 1 )/4πr, donde r es la distancia del punto a la línea 1. Para cada uno de los lados del cuadrado tenemos θ 2 = θ 1 = π/4, entonces B i = µ I 2/4πR y por principio de superposición el campo magnético total es B = 4B i = 2µ I/πR. 1 D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Reed College.-Fourth edition, 1942, p

3 (b) Para un polígono regular se tiene θ 2 = θ 1 = π/n con n el número de lados. Entonces B i = µ I(2 sin π/n)/4πr y por lo tanto el campo total es donde α = π/n. B = nb i = nµ I 2πR sin π/n = µ I sin α 2R α, (c) En el límite cuando n, se tiene α. Entonces sin α/α 1 y por lo tanto B µ I/2R, lo cual coincide con el campo magnético en el centro de un anillo circular con corriente I. 5. Problema: (2pts) a) Calcula la fuerza sobre una espira cuadrada de lado a localizada cerca de un alambre infinito, como se muestra en la figura. Tanto por la espira como por el alambre circula una corriente estacionaria I. b) Calcula la fuerza del mismo sistema pero ahora en vez de espira cuadrada considera una espira triangular, como se muestra en la figura. s" s" a)# b)# Dado que la corriente circula en direcciones opuestas en los lados del cuadrado que son perpendiculares al alambre infinito, la fuerza magnética sobre uno de los lados cancela a la fuerza sobre el otro (suponiendo una espira rígida indeformable). Por otra parte, en los lados del cuadrado paralelos al alambre infinito, se tiene una fuerza repulsiva en el lado inferior y atractiva en el lado superior, con magnitudes por unidad de longitud F 1 /a = µ I 2 /2πs y F 2 /a = µ I 2 /2π(s + a), respectivamente (ver problema 3). Por lo tanto, la fuerza total es F = F 1 F 2 = µ I 2 a 2π ( 1 s 1 ) = µ I 2 a 2 s + a 2πs(s + a). (b) Este caso no es tan sencillo como el anterior pues la fuerza magnética en los lados que no son paralelos al alambre no se cancela por completo, aunque si descomponemos la corriente que circula a lo largo de estos lados en componentes paralelas y perpendiculares al alambre, sabemos que las componentes perpendiculares a ambos lados daran lugar a fuerzas que se cancelan entre sí. Por lo tanto, basta con calcular la fuerza debida a las componentes de la corriente paralelas al alambre, que tienen magnitud por unidad de longitud F (x) = µ I 2 /2πr(x), con r(x) = s+ 3x para x a/2 y r(x) = s+ 3(a x) para a/2 x a y es atractiva. Para obtener la fuerza total integramos F (x)dx de a a, esto es 3

4 ( a F 2 = F (x)dx = µ I 2 a/2 1 a 2π s + 3x dx + a/2 = µ I 2 (ln (s + ( ) /2) ln s = µ I 2 ln 1 + 3π 3π ) 1 s + 3(a x) dx ). Finalmente, la fuerza en el lado inferior es la misma que antes F 1 (repulsiva), por lo tanto la fuerza total sobre el triángulo es ( F = F 1 F 2 = µ I 2 a 2πs µ I 2 ln 1 + 3π [ ( = µ I 2 a 2πs 1 ln ) )] Problema TORITO: (3pts) Un toroide delgado (como una dona de chocolate muy flaquita), con carga total Q y masa M gira alrededor del eje ê z. a) Calcula el cociente de su momento dipolar magnético entre su momento angular. A esto se le conoce como la razón giromagnética del objeto. b) Calcula la razón giromagnética de una esfera uniformemente cargada girando. No requieres hacer un cálculo nuevo, solamente describe a la esfera como si estuviera compuesta por anillos infinitesimales y aplica el resultado del inciso anterior. c) De acuerdo a la mecánica cuántica, el momento angular de un electrón girando es /2, donde es la constante de Planck reducida. Calcula el momento dipolar magnético del electrón en unidades de A m 2. Este resultado semi clásico está de hecho mal por casi un factor de 2. La teoría relativista para el electrón desarrollada por Dirac obtiene un factor de 2 exacto, y posteriormente Feynman, Schwinger y Tomonaga calcularon pequeñas correcciones a este factor. La determinación del momento dipolar magnético del electrón es probablemente el logro más fino de la teoría electromagnética cuántica, y es uno de los mejores acuerdos encontrados entre la teoría y el experimento en la historia de toda la física. A la cantidad (e /2m), con e la carga del electrón y m su masa se le conoce como el magnetón de Bohr.!êz Si la carga se distribuye de manera uniforme, tendremos una densidad superficial de corriente K = ωσr, con σ = Q/2πrdr. Entonces la corriente en el toro es Kdr = σωrdr y por lo tanto su momento dipolar magnético es µ = πr 2 I = πσωr 3 dr. Por otra parte, el momento de inercia del toro es Mr 2 y por lo tanto su momento angular es L = Mr 2 ω. Entonces la razón giromagnética del toro es g = µ/mr 2 ω = (πσr/m)dr = Q/2M. 4

5 (b) Notemos que la razón giromagnética del toro es independiente de las coordenadas, por lo tanto si dividimos la esfera en pequeños toros, cada uno de estos tendrá un momento dipolar magnético dµ = gdm(r sin θ) 2 ω y por principio de superposición, el momento dipolar de la esfera lo obtenemos integrando esta expresión sobre el volumen de la esfera, i.e. µ = dµ = gω dm(r sin θ) 2 = gω di = gωi, donde I es el momento de inercia de la esfera. Por lo tanto la razón giromagnética de la esfera es G = µ/l = µ/ωi = g = Q/2M. Nótese que di en realidad no hace referencia al volumen de integración, bien podría ser cualquier sólido de revolución que pueda descomponerse en toros pequeños, por lo tanto la razón giromagnética para cualquier sólido de revolución es Q/2M. (c) Suponiendo al electrón como una esfera uniformemente cargada de masa m e = kg, carga e = y momento angular /2 = kgm 2 /s, su razón giromagnética es g e = e /4m e = Am 2. 5