1.2. VECTOR DE POSICIÓN. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

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1 1.. VECTOR DE POSICIÓN. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN Supuesto el vector de posición de un punto en el espacio: r = i-j+4k, la mejor representación de dicho vector de todas las dadas es la: a) A b) B c) C d) D Dado que en el dibujo, el único vector dibujado que tiene componente Y negativa es el D,y comparando las magnitudes de las componentes dadas en los dibujos, la respuesta correcta es la d Dadas las coordenadas de un punto en el espacio P(4,4,- 4), el que mejor se corresponde con P, de todos los que se observan en el dibujo, será el: a) A b) B c) C d) D Puesto que P,se encuentra en la coordenada -4,sobre el eje Z, el único punto que se encuentra en esas circunstancias es el A,y por lo tanto la respuesta es a Dadas las coordenadas del extremo del vector de posición de un punto en el espacio P(,-4,) el vector r correspondiente deberá ser: a) r = -4i+j_k b) r = i-4j-k c) r = -i-4j+k d) r = i+j-4k e) NINGUNO DE LOS DADOS Ninguno de los vectores dados tiene su extremo en P.La respuesta válida es e Dado el vector de posición de un punto material móvil r=3ti+j-tk, se dirá que en el instante inicial, dicho punto se encuentra en la posición: a) (0,0,0) b) (3,,-1) c) (0,,0) d) (0,,-1) Sustituyendo t=0, tendremos que r=j,que corresponde a (0,,0).La respuesta correcta es la c Dado el vector de posición de un punto material móvil r=ti-t j+tk, se dirá que de los vectores dados, el que mejor representa su posición al cabo de un segundo, será el: a) A b) B c) C d) D e) NINGUNO DE LOS DADOS Sustituyendo t=1s, r=i-j+k,que tiene componente Y negativa. Como sólo se encuentra en estas condiciones el D, la solución correcta es la d.

2 1... El vector de posición de un punto material que se desplaza por el espacio, en el instante t 1, es r 1 =3i+j, mientras que en el instante t, es r =j-3k, se dirá entonces que el desplazamiento efectuado por dicho punto vendrá dado por la expresión: a) d=3i+4j-3k b) d=3i+3k c) d=3i+4j+3k d) d=4j+3k El vector desplazamiento d = r - r 1 =(j - 3k) - (3i + j) = -3i - 3k. Como no corresponde con ninguno de los dados, la respuesta correcta es la e Si un punto material se encuentra en el instante t 1 en P 1 (1,3,-4), y en el instante t, en P (,-4,), se podrá decir que el vector desplazamiento efectuado por dicho punto será: a) d = i-4j+k b) d = -3i+j-k c) d = i-7j+k d) d = i-j+k e) NINGUNO DE LOS DADOS Por lo dicho en la cuestión anterior, d = (i - 4j + k) - (i + 3j - 4k)=i-7j+k. La única respuesta válida es la c Dadas las ecuaciones paramétricas de un punto material móvil, en el espacio: X=t+1, Y=t-1, Z=3t, la posición de dicho punto en el instante inicial dada por su vector de posición será: a) r = 3i+j+3k b) r = i+j c) r = i-j d) r = i+j+3k El vector de posición será, r = (t+1)i+(t-1)j+3t²k, y para t=0,r=i-j. La solución correcta será la c * Dado el vector de posición de un punto material móvil en el plano XY, r=(t-)i+(t+)j, la ecuación de la trayectoria de dicho punto será: a) X=Y+ b) Y= X- c) X=Y d) LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO FORMADO POR LA PARTE POSITIVA DE LOS EJES X E Y Para determinar la trayectoria, se hará X=t-,Y=t+. Despejando t,en la primera, t=x+, que sustituida a la segunda, da la ecuación de la trayectoria Y =( X+ )+ = X+4, que no coincide con a,b y c. Como la ecuación de la bisectriz XY, es Y = X, tampoco corresponde con la calculada. La respuesta válida es la e.

3 Dadas las ecuaciones paramétricas de un punto material móvil en el espacio: X=ti, Y=-j, Z=3t k, dicho punto recorrerá una trayectoria: a) DADA POR UNA CURVA EN UN PLANO PERPENDICULAR AL XY b) DADA POR UNA RECTA EN EL PLANO Z=- c) DADA POR UNA PARÁBOLA EN EL PLANO Z=- d) DE ECUACIÓN x=3y, z=- Puesto que la componente Y = -, el punto se moverá en el plano Y=-, perpendicular al XY.Como X=t,sustituyendo t en Z=3t², se obtiene Z=3X², ecuación de una parábola. La respuesta correcta es la a * Si una partícula se mueve en el plano XY, estando en determinado instante en el punto P, se podrá decir que: a) EL MÓDULO DEL VECTOR DE POSICIÓN VENDRÁ DADO POR = ( x + y ) b) NO SÓLO r DETERMINA LA POSICIÓN DE P, PUES EXISTEN INFINIDAD DE PUNTOS QUE DISTAN LO MISMO DEL ORIGEN O c) LA POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA QUEDA PERFECTAMENTE DETERMINADA CON r r Y EL ÁNGULO" d) BASTA CON EL ÁNGULO PARA DETERMINAR r e) LA POSICIÓN QUEDA DETERMINADA CONO- CIENDO LAS COORDENADAS X E Y El vector de posición r = xi + yj, siendo r = ( y ) x +.El vector r, o las coordenadas de su extremo, determinan por si mismos, la posición de P.Ni su módulo ni el ángulo que forma con los ejes, por separado, la precisan; sí,cuando se consideran conjuntamente.las respuestas correctas serán por lo tanto, la a, la c y la e Si una partícula se mueve en el espacio ocupando las posiciones P 1 y P, en los instantes t 1 y t, respectivamente, se podrá decir que: a) EL VECTOR r MIDE EL DESPLAZAMIENTO VECTORIAL DE LA PARTÍCULA ENTRE LOS INSTANTES t 1 Y t b) r MIDE EL CAMINO RECORRIDO POR LA PARTICULA ENTRE P 1 Y P c) EL VECTOR r SOLO ES LA DIFERENCIA ENTRE LAS POSICIONES VECTORIALES DE LA PARTÍCULA ENTRE t 1 Y t d) EL SEGMENTO P 1 P MIDE EL CAMINO RECORRIDO POR LA PARTÍCULA EN EL TIEMPO t -t 1 Por lo dicho en 1..7, d = )r = r - r 1, pero siendo un vector, nunca podrá coincidir con la distancia entre los puntos, que es una magnitud escalar. El camino recorrido por la partícula, corresponde al arco entre dichos puntos y no al segmento dado. Por lo tanto, sólo son válidas las respuestas a, c.

4 Dada la ecuación horaria del movimiento de una partícula s=4-t+t (Unidades S.I.), se podrá asegurar que la velocidad escalar media, medida en m/s, entre los 4 y los segundos, valdrá: a) b) 4 c) d) 8 La velocidad escalar media v = ( s - s 1 )/(t - t 1 ),y al sustituir los valores de t, tenemos v escalar = [(4-8+1)-(4-4+4)]/4- = 4 m/s.la solución correcta es la b Siendo la ecuación horaria del movimiento de una partícula: s=4-t+t (Unidades S.I.), se podrá afirmar que la velocidad escalar instantánea en el cuarto segundo será en m/s: a) b) 4 c) d) 8 La velocidad escalar instantánea corresponde a ds/dt=-+t, y al sustituir t=4s, v = m/s, siendo la respuesta válida, la c * El vector de posición de un punto material que se mueve en el plano YZ es el dado por: r=(t -)j-(t +)k (Unidades S.I.), según ello, la velocidad media vectorial, entre t=4s y t=s se dirá que en m/s es: a) v=4j-k b) v=j-k c) v=7j-k d) v=j-7k y la ecuación de la trayectoria es de todas las dadas en el dibujo, la: a) A b) B c) C d) D e) NINGUNA DE LAS DADAS Como v media = ( r -r 1 )/(t - t 1 ), al sustituir t, v media=[(14j-18k)-(j-k)]/(4-) = j-k m/s La trayectoria se obtendrá reproduciendo las ecuaciones paramétricas: Y=t²-,Z=-(t²+). Despejando t² ; t²=y+. Sustituyendo Z=-[(Y+)+]=-Y-4, recta en el plano ZY, y en su cuarto cuadrante,que no corresponde con ninguna dada. La respuesta correctas es la b en la primera parte y e en la segunda Dadas las ecuaciones paramétricas del movimiento de un punto material en unidades S.I.: X=(t-1), Y=(t-1), Z=t, se podrá asegurar que la velocidad instantánea a los cuatro segundos será en m/s: a) v=i+3j+4k b) v=4i-9j+1k c) v=7j+k d) v=i+j+8k mientras que a los dos segundos será en m/s: a) v=i+j+4k b) v=i+4j+4k c) v=i+4j+k d) v=i+j+4k Al ser r=(t-1)i + (t-1)²j + t²k, y v=dr/dt= i + (t-1)j + tk,sustituyendo el tiempo en v, tenemos que v(4s)=i+j+8k m/s y v(s)=i + j + 4k m/s.son válidas las soluciones d y d en ambas partes.

5 1..17.* La velocidad vectorial media de una partícula que se desplaza entre dos puntos A y B, en un intervalo de tiempo )t : a) ESTÁ DEFINIDA POR LA RAZÓN ENTRE EL VECTOR DESPLAZAMIENTO, Y EL INTERVALO DE TIEMPO )t b) ES IGUAL CUALQUIERA QUE SEA LA TRAYEC- TORIA c) TIENE IGUAL MÓDULO QUE EL DE LA VELOCIDAD ESCALAR MEDIA SI LA TRAYEC- TORIA ES RECTILÍNEA d) TIENE LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO QUE EL DESPLAZAMIENTO VECTORIAL e) DETERMINA LA RAPIDEZ CON QUE LA POSICIÓN VECTORIAL DE UNA PARTÍCULA VARÍA CON EL TIEMPO La velocidad vectorial media,según se vió en la 1..15, v media = ( r -r 1 )/(t - t 1 ) corresponde con la respuesta a,y es independiente de la trayectoria seguida pues sólo depende de la posición final, dada por r y de la inicial,por r 1, por lo cual también la b es correcta. La velocidad escalar,por ser así, no tiene módulo,por lo tanto es incorrecta la c. Al ser t una magnitud escalar, el carácter vectorial de v media, depende únicamente del desplazamiento,e igualmente determina la rapidez con que varía en el tiempo r,por su propia definición.en consecuencia son correctas las respuestas a,b,d y e Si una partícula se mueve a lo largo de su trayectoria como indica el dibujo, siendo v 1 y v sus velocidades en los instantes t 1 y t respectivamente, de los esquemas vectoriales dados, el que mejor representa la variación de la velocidad de la partícula en cuestión es el: a) A b) B c) C d) NINGUNO Basta con realizar la resta vectorial,gráficamente,observando con qué vector de los dados coincide.en este caso será el c.

6 *. Tres partículas A, B, C se desplazan entre las posiciones P 1 y P, como indica el dibujo, a través de trayectorias diferentes. De ellas se puede afirmar que: a) LAS TRES RECORREN CAMINOS DIFERENTES b) LAS TRES TIENEN EL MISMO DESPLAZAMIENTO c) LAS TRES TIENEN LA MISMA RAPIDEZ, SI EL TIEMPO EMPLEADO ES EL MISMO d) LAS TRES TIENEN LA MISMA VELOCIDAD SI EL TIEMPO EMPLEADO ES EL MISMO e) PARA LA PARTÍCULA B, LA RAPIDEZ Y EL MÓDULO DE LA VELOCIDAD COINCIDEN De lo dicho anteriormente en 1..17,y a través de la observación visual del dibujo, se saca en conclusión que la a y la b, son correctas. La rapidez o velocidad escalar,es una magnitud que no depende del desplazamiento sino del camino recorrido, que es diferente en las tres partículas,invalidando la solución c.sin embargo por la propia definición de v,es correcta la d. Al ser la trayectoria rectilínea, el módulo del desplazamiento, coincide con el camino recorrido por B, por lo cual el módulo de la velocidad coincide con la rapidez, haciendo válida la solución e Si un barco se desplaza 3 km hacia el norte y luego otros 4 hacia el oeste, todo ello en una hora, su velocidad escalar media será en km/h: a) 5 b) 7 c) 1 d) 0 Mientras que el módulo de su velocidad será en km/h: a) 5 b) 7 c) 1 d) 0 Por lo dicho anteriormente (1..18 y 1..0),la velocidad escalar media,será el camino recorrido entre el tiempo empleado, v media = (4+3)/1 = 7 km/h, en cambio la v media, será el desplazamiento/tiempo empleado =(-4i + 3j)/1 km/h,cuyo módulo será 5 km/h. Por eso son sólo correctas la b y la a,en la segunda Un punto material móvil que en t 1 se encuentra en P 1, mientras que en t ya está en P, recorre el camino P 1 P, mientras que su desplazamiento será r -r 1, se dirá entonces que: a) v.escalar = módulo de v.vectorial b) v.escalar media = P 1 P /(t -t 1 ) c) v.media = (r -r 1 )/(t -t 1 ) d) v.instantánea en t 1 =dr/dt, para t=t 1 Aplicando las definiciones enunciadas en las cuestiones anteriores,y siendo P 1 P, el camino recorrido entre ambos puntos, serían correctas las soluciones b,c y d.la cuestión numérica 1..0,aclara las diferencias. Algunos autores, suelen considerar la velocidad escalar o celeridad, como el módulo de la velocidad, refiriéndose así únicamente a la vectorial.sólo con ese considerando sería también correcta la a.

7 1..*. En el esquema de la figura se representa el movimiento de un punto material desde P 1 hasta P, siendo v 1 y v las velocidades instantáneas en P 1 (t=t 1 ) y P (t=t ), respectivamente. Dado que los módulos de v 1 y v son iguales se podrá decir que: a) v -v 1 =0 b) a r 0 c) a r =0 d) v 1 Y v SON TANGENTES A LA TRAYECTORIA Si realizas gráficamente la resta vectorial, observas que la diferencia de los vectores velocidad nunca puede ser nula.esto determina que a y c, sean incorrectas,siendo válida la b.igualmente a través del concepto de velocidad instantánea,es correcta la d. 1..3*. En el esquema de la figura se representa el movimiento de un punto material entre los instantes t 1 y t, determinados por los vectores de posición r 1 y r. Si como se puede apreciar r r v 1 v, el vector aceleración: a) TENDRÁ LA DIRECCIÓN Y SENTIDO DE v 1 b) TENDRÁ LA DIRECCIÓN Y SENTIDO DE v c) TENDRÁ LA DIRECCIÓN Y SENTIDO DE v -v 1 d) TENDRÁ DIRECCIÓN Y SENTIDO HACIA EL PUNTO 0 La a, tendrá el sentido vectorial de v - v 1, por definición, puesto que el tiempo es una magnitud escalar, ésto invalida a y b,y hace correcta la c.la simple construcción de la resta vectorial basta para anular la solución d. 1..4*. De las consideraciones que se hacen tache las que no sean correctas: a) SI LA VELOCIDAD DE UN CUERPO ES PERMANENTEMENTE NULA, LA ACELERACIÓN TAMBIÉN DEBE SERLO b) SI LA ACELERACIÓN DE UN PUNTO MATERIAL ES NULA, TAMBIÉN DEBE SERLO SU VELOCIDAD c) LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN DE UN CUERPO SON VECTORES QUE TIENEN SIEMPRE LA MISMA DIRECCIÓN AUNQUE SU SENTIDO PUEDE SER DIFERENTE d) EL VECTOR ACELERACIÓN SE DESCOMPONE EN DOS COMPONENTES, UNO TANGENCIAL A LA TRAYECTORIA, Y OTRO PERPENDICULAR O NORMAL A LA MISMA. Aplicando las definiciones respectivas,observaremos que la a, es correcta, no así la b ( basta con que sea v constante para que a = 0).La solución c, sólo es correcta si el movimiento es rectilíneo,y la d,si lo es,por propia definición.

8 1..5*. Dado el vector de posición referido a un punto móvil r=(t -1)i-j-(t+1) k (S.I), se asegurará que dicho punto: a) SE MUEVE EN EL PLANO XY b) SE MUEVE EN UN PLANO PARALELO AL XZ c) SE MUEVE EN EL PLANO XZ d) SE MUEVE EN UN PLANO PERPENDICULAR AL XY Como la única componente independiente del tiempo es la Y=-, quiere decir que dicho punto se mueve en el plano Y=-, que es paralelo al XZ y por lo tanto perpendicular al XY. Son sólo correctas por lo tanto,las soluciones b y d Que su trayectoria es una : a) RECTA QUE CORTA AL EJE Y b) CURVA EN UN PLANO PERPENDICULAR AL XY c) RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN d) CURVA EN UN PLANO PARALELO AL XZ Siendo las ecuaciones paramétricas x=t²-1 (I),y=- (II),z=-t²-t-1 (III) y despejando t en (I), y sustituyéndola en (III),nos da la curva x²+xz+z²+4z=0 que se encuentra en el plano Y=-, y por lo tanto son sólo válidas la b y d Que su vector de posición en el instante inicial, tiene por módulo: a) b) c) 0 d) Sustituyendo en r, t=0, nos queda r=-i-j-k,cuyo módulo es : ( 1 ) + ( ) + ( 1 )) =, que hace válida la solución a Que los cosenos directores en el instante inicial, valen: cos α = a) 1 b) 1 c) 0 d) -1 cos β = a) 0 b) 1 c) -1 d) 1 cos γ = a) -1 b) 0 c) -1/ d) 1 r r Dado que x = cosα, t 1 = cosα,y para t=0, tomando el valor dado en ; 1 =.cosα ; cosα = 1. Por lo dicho =.cos β ; r cosβ = y t t 1 = cosγ ; 1 =.cos γ ; cosγ = 1. Por lo tanto son correctas,de forma sucesiva, las soluciones b,e y d.

9 Que su velocidad vectorial media, entre 3 y 1 segundos, en m/s, tiene por módulo: a) 8 b) c) 5 d) 10 Se calculará r(3s)=8i-j-1k,y r(1s)=-j-4k,restándolos para hallar d. d=8i-1k,y dividiéndolo entre el intervalo de tiempo 3-1=s, nos da v m.=4i - j m/s, siendo su módulo= ( 4 ) + ( ) = 5 m/s,que confirma la c Que su velocidad instantánea a los 3 segundos, en m/s, tiene por módulo: a) 10 b) 5 c) d) 8 Como v = dr/dt = ti -(t+1)k m/s. Sustituyendo t=3s,v=i-8k m/s,cuyo módulo es 10 m/s. La respuesta correcta es la a *. Que su aceleración instantánea: a) ES CONSTANTE b) TIENE POR MÓDULO m/s c) VALE j+k, EN m/s d) ES IGUAL A LA ACELERACIÓN MEDIA Como a = dv/dt = i-k m/s, es constante, y por lo tanto igual a la media, siendo su módulo m/s². En consecuencia son válidas las soluciones a, b y d. 1..*. Dado el vector de posición, referido a un punto móvil, r=-(t -1)i+(t+1) j-k, se podrá afirmar que dicho punto: a) SE MUEVE EN EL PLANO XZ b) SE MUEVE EN UN PLANO PARALELO AL XY c) SE MUEVE EN EL ESPACIO d) SE MUEVE EN UN PLANO PERPENDICULAR AL XZ Aplicando lo dicho en la cuestión anterior,serán correctas las respuestas b y d Que su trayectoria es una: a) RECTA QUE CORTA AL EJE Z b) CURVA EN UN PLANO PERPENDICULAR AL XZ c) RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN d) CURVA EN UN PLANO PARALELO AL XY Siendo las ecuaciones paramétricas x=1-t²(i),y=(t+1)²(ii),z=-.despejando t en (I), sustituyendo en (II),y operando, obtenemos x²+xy+y²-4y=0,curva en el plano Z=-, que hacen válidas las soluciones b y d Que su vector de posición en el instante inicial, tiene por módulo: a) b) c) 0 d) Operando como en r=i+j - k,y = r r.es correcta la a.

10 Que los cosenos directores en el instante inicial, valen: cos α = a) 1 b) 1 c) 0 d) -1 cos β = a) 0 b) 1 c) -1 d) 1 cos γ = a) -1 b) 0 c) -1/ d) Operando como en α 1, β 1 y cos = cos = cosγ =.Las soluciones, por este orden serían:b, b y d Que su velocidad vectorial media, entre 3 y 1 segundos, en m/s, tiene por módulo: a) 8 b) c) 5 d) 10 Operando como en tendríamos que: v m.=[(-8i+1j-k)-(4j-k)]/(3-1) = -4i+ j m/s,cuyo módulo sería 5 m/s, que corresponde a la c Que su velocidad instantánea a los 3 segundos, en m/s, tiene por módulo: a) 10 b) 5 c) d) 8 Operando como en ,tendríamos que v= dr/dt = -ti + (1+t)j = -i+8j m/s,cuyo módulo es 10 m/s,o sea la solución a. *1... Que su aceleración instantánea: a) ES CONSTANTE b) TIENE POR MÓDULO m/s c) VALE -i+j, EN m/s d) ES IGUAL A LA ACELERACIÓN MEDIA Operando como en , tendríamos a=-i+j m/s², constante y por lo tanto igual a la media, siendo a r = m/s². Por lo tanto son correctas las soluciones a, c y d.la propuesta b, no tiene la unidad correcta Dada la ecuación de la velocidad de una partícula, con unidades S.I. v=5+3t, podrías decir que la aceleración escalar media en m/s, entre t=s y t=1s será: a) 9 b) 8 c) 3 d) Puesto que la expresión de la velocidad no es vectorial, corresponde a la velocidad escalar,y por lo tanto la aceleración escalar=[v(s)-v(1)]/(-1) que al sustituir nos da 17-8 = 9 m/s²,que se identifica con la a.

11 1..8. Dada la ecuación horaria del movimiento de un cuerpo referido a un punto material que lo represente, s=10+5t+t 3 (Unidades S.I.), la aceleración escalar instantánea a los segundos será en m/s : a) 1 b) 10 c) d) 5 mientras que para t=1s, será en m/s : a) 5 b) c) 10 d) 1 Como a = d²s/dt²=t m/s², al sustituir a(s)=1 m/s² y a(1s)= m/s².las soluciones correctas serán de forma sucesiva, la a y la b.

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