Dinámica de los sistemas de partículas*

Transcripción

1 Tema 6-A: Dinámica de los sistemas de partículas* Física I Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica (GIERM) Primer Curso *Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez 1 Índice Centro de masas. Movimiento del centro de masas. Cantidad de movimiento de un sistema de Momento cinético de un sistema de Energía cinética de un sistema de Energía potencial de un sistema de 2

2 Centro de masas (I) Dado un sistema de n partículas, se define la posición de su centro de masas,, como: Si llamamos a la posición de una partícula referida al c.m., entonces, 3 Centro de masas (II) Si se trata de un objeto continuo de masa : 4

3 Índice Centro de masas. Movimiento del centro de masas. Cantidad de movimiento de un sistema de Momento cinético de un sistema de Energía cinética de un sistema de Energía potencial de un sistema de 5 Movimiento del centro de masas (I) Tenemos: Derivando : + + Derivando de nuevo: + + 6

4 Movimiento del centro de masas (II) 2ª ley de Newton:,+,,+,, +, 3ª ley de Newton:,,, El c.m. de un sistema se mueve como una partícula de masa sometida a la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema. 7 Índice Centro de masas. Movimiento del centro de masas. Cantidad de movimiento de un sistema de Momento cinético de un sistema de Energía cinética de un sistema de Energía potencial de un sistema de 8

5 Cantidad de movimiento de un sistema de partículas (I) Para una partícula, Para un sistema de partículas, (1) Por tanto, podemos decir que la cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual a la cantidad de movimiento de una partícula que tuviera toda la masa del sistema,, y se moviera a la velocidad del c.m.,. 9 Cantidad de movimiento de un sistema de partículas (II) Vimos que Entonces, derivando: Queda: (2) Comparando (1) y (2), vemos que (es obvio que, la velocidad del c.m. respecto a sí mismo, es cero) Por tanto, la cantidad de movimiento del sistema referida al c.m.,, es siempre cero. 10

6 Cantidad de movimiento de un sistema de partículas (III) Derivando con respecto al tiempo:, El c.m. se mueve como una partícula que tuviera toda la masa del sistema concentrada en ella y sobre la que actuara la fuerza neta externa resultante. 11 Cantidad de movimiento de un sistema de partículas (IV) Qué pasa cuando,? Si la fuerza neta externa resultante sobre un sistema de partículas es cero, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante. 12

7 Índice Centro de masas. Movimiento del centro de masas. Cantidad de movimiento de un sistema de Momento cinético de un sistema de Energía cinética de un sistema de Energía potencial de un sistema de 13 Momento cinético de un sistema de partículas (I) Para una partícula, (respecto a ) Para un sistema de partículas: Sustituyendo y Queda: 14

8 Momento cinético de un sistema de partículas (II) Desarrollando la expresión: Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Como Σ 0 ; Σ 0 Entonces, Σ 15 Momento cinético de un sistema de partículas (III) Donde: es el momento cinético del sistema de partículas respecto al c.m. y es el momento cinético respecto al origen de coordenadas que tendría una partícula de masa, que se encontrase en la posición del c.m.,, y se moviese a la velocidad del c.m.,. 16

9 Momento cinético de un sistema de partículas (IV). Teorema del momento cinético. Derivando respecto al tiempo:,,,, 3ª ley de Newton:,, 17 Momento cinético de un sistema de partículas (V). Teorema del momento cinético., Lo que varía respecto al tiempo el momento cinético de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema. En el caso particular de que todas las fuerzas fueran internas, el momento cinético permanecería constante. Y lo mismo sucedería si la suma de los momentos exteriores fuera nula: 18

10 Índice Centro de masas. Movimiento del centro de masas. Cantidad de movimiento de un sistema de Momento cinético de un sistema de Energía cinética de un sistema de Energía potencial de un sistema de 19 Energía cinética de un sistema de partículas (I) Para un sistema de partículas: Recordemos que la posición de una partícula puede escribirse como Entonces,, y 20

11 Energía cinética de un sistema de partículas (II) Como (la velocidad del c.m. respecto de sí mismo es cero) La energía cinética de un sistema de partículas puede escribirse como la suma de dos términos: (1) la energía cinética asociada con el movimiento del c.m.,, y (2) la energía cinética asociada con el movimiento de las partículas del sistema respecto al centro de masas,. 21 Índice Centro de masas. Movimiento del centro de masas. Cantidad de movimiento de un sistema de Momento cinético de un sistema de Energía cinética de un sistema de Energía potencial de un sistema de 22

12 Energía potencial de un sistema de partículas La energía potencial de un sistema de partículas se obtiene sumando las energías potenciales de cada una de las partículas: Para el caso gravitatorio, tomando quedaría 23