Capítulo 1. Interés y Descuento

Transcripción

1 Capítulo 1 Interés y Descuento 3

2 1.1 El tiempo Fenómenos en los que el tiempo opera como elemento subyacente La realidad nos enfrenta a cada momento con toda una serie de fenómenos en los que el tiempo opera como elemento subyacente; enumeramos algunos ejemplos: 1. es bien conocido el efecto que produce el tiempo como elemento determinante del desgaste que sufre una máquina, de la vida o la muerte de las personas, de la evolución del salario real 2. el tiempo está presente en fenómenos como la inflación, los intereses generados por un cierto capital, el descuento que se realiza sobre el importe de un determinado documento (conformes, pagarés, etc.), cuyo vencimiento se da en el futuro, el importe de las cuotas que debemos abonar por una compra a crédito 3. los beneficios (o perjuicios) que causa el adelanto (o retraso) del cobro de nuestro sueldo, por ejemplo por un feriado largo (turismo, carnaval, etc) En todos estos fenómenos el tiempo contribuye a su ocurrencia pero no es el único factor. Por ejemplo, si decidimos instalar una heladería a modo de inversión, para obtener ingresos futuros, más allá de que la generación de tales ingresos se vaya sucediendo en el transcurso del tiempo, el nivel de estos estaría condicionado por la presencia de otros factores como el clima, el lugar geográfico donde esté ubicada la heladería, la presencia o no de otro establecimiento del mismo ramo en una zona cercana, la evolución de los precios de las materias primas, etc.. Es la presencia de estos otros factores, de los cuales podemos tener o no un conocimiento más o menos exacto, la que determina que los fenómenos que estamos analizando sean considerados ciertos o simplemente posibles. Nos limitaremos a aquellos factores que consideraremos determinados, perfectamente previsibles Valor tiempo del dinero No es lo mismo disponer de $ 1000 hoy, que dentro de un año aunque no haya inflación, durante ese tiempo transcurrido el dinero puede ser utilizado de diferentes maneras, como por ejemplo colocarse a interés. En términos financieros una cifra monetaria (cantidad de dinero) es una magnitud relativa que adquiere significación cuando está referida a un cierto instante del tiempo. Las cifras monetarias no tienen el mismo tratamiento contable que financieramente. Desde el punto de vista financiero no pueden sumarse cantidades de dinero de distinto momento del tiempo porque son magnitudes heterogéneas. Iguales cifras monetarias, expresadas en distintos momentos, financieramente no son iguales. Es así que si tenemos un trabajo por el que nos pagan $1.000 al fin de cada mes, nos resultaría inaceptable que nos propusieran pagarnos sustitutivamente $6.000 al final de cada semestre. Esto según veremos nos llevará a la necesidad de definir leyes que nos permitan movernos en el tiempo para volver homogéneas magnitudes que no los son, y así poder compararlas. 4

3 1.2 Interés Suponiendo que se dispone de un determinado capital de C unidades monetarias el cual se coloca a interés durante n unidades de tiempo, en el momento n, o sea al vencimiento, se tendrá una mayor cantidad de unidades monetarias, llamado monto, M. La diferencia entre estos dos valores (M C) es el interés I. (1.1) M C = I A partir de lo anterior se puede definir el interés, I, como el rendimiento que ha generado el capital C al haber sido colocado durante n unidades de tiempo. Así despejando de (1.1) tenemos (1.2) C + I = M colocando esto en una línea de tiempo tenemos: Observemos que el capital es un valor al momento 0 o valor presente V P, mientras que el monto es un valor al momento n o valor futuro V F y que la diferencia entre estos dos valores es lo que se ha definido como interés. Reescribiendo (1.2) resulta V P + I = V F Tasa efectiva de interés (i) Se define tasa efectiva de interés al interés generado por una unidad monetaria durante una unidad de tiempo Leyes de interés simple y compuesto Para calcular el valor futuro generado por un valor presente a colocado interés durante n unidades de tiempo existen dos forma de cḿ alculo: el interés simple y el interés compuesto. Interés simple En interés simple lo que genera interés durante una unidad de tiempo (cualquiera sea ella) es siempre el valor de la colocación original. 5

4 Queremos saber cuál será el valor futuro V F que genera un valor presente V P, colocado a una determinada tasa efectiva i de interés simple definida en una cierta unidad de tiempo durante n períodos (suponiendo que n esta expresado en la misma unidad de tiempo en la que está definida i). Durante la primera unidad de tiempo, esto es el período (0, 1), se ha colocado $ V P, considerando que por $ 1 se generan $ i de interés por su colocación durante una unidad de tiempo, se llega a que el interés generado en el período (0, 1), será $ V P i. = Así pues, el valor de la colocación en el momento 1 será igual a lo que teníamos en el momento 0 más lo que se generó de interés en este período y por ende el valor de la colocación en el momento 1 será de $ (V P + V P i). I 0,1 = V P i V F 1 = V P + V P i En la segunda unidad de tiempo lo que genera interés es el mismo valor presente V P, que había generado interés en la primera unidad de tiempo y por lo tanto: I 1,2 = V P i V F 2 = V P + V P i + V P i = V P (1 + 2i) y para la k-ésima unidad de tiempo, análogamente: I k 1,k = V P i V F k = V P + V } P i + {{ + V P } i = V P (1 + ki) k veces Finalmente para la última unidad de tiempo: I n 1,n = V P i V F n = V P (1 + ni) de donde, recordando que V F n es lo que se había definido como valor futuro V F : V F = V P (1 + ni) El total de intereses generados entre 0 y n será la suma de los intereses generados en cada una de las unidades de tiempo, esto es: I = n I k 1,k = k=1 n V P i = V P i n k=1 donde n e i están expresados en la misma unidad de tiempo. Ejemplo 1 Calcular el interés y el monto que producen $ colocados a interés simple en cada uno de los siguientes casos: 1. un año y medio al 2% efectivo mensual meses al 50% efectivo anual meses al 9% efectivo trimestral. 6

5 V P = $ i m = 0, 02, n = 18, I = $ , = $72000 y V F = $ $72000 = $ i a = 0, 5, n = 4 = 1 1, I = $ , $33.333, 33 = $ , 33 = $33.333, 33 y V F = $ i t = 0, 09, n = 10, I = $ , $ = $ y V F = $ $ = Ejemplo 2 Se coloca cierta suma de dinero al 7% efectivo semestral de interés simple y al cabo de 2 meses y 10 días se retira el total del dinero que asciende a $ Calcular la suma de dinero colocada. Observación: En este curso, y salvo que se especifique lo contrario, consideraremos año comercial (12 meses de 30 días cada uno). V P = V F I = $ V P Interés compuesto i s = 0, 07 n = ( 0, 07 2, ) 2, V F = $ V P ( ( 1 + 0, 07 V P 1, 0272 = $ V P = $ , 0272 = $ )) 2, 333 = $ En interés compuesto lo que genera interés durante una unidad de tiempo es el valor de la colocación al comienzo de la unidad de tiempo que se está analizando. En interés compuesto, los intereses que se van generando pasan a formar parte de aquella masa que genera interés, a este proceso se le conoce como capitalización de intereses. El problema será ahora saber cuál es el valor futuro V F que genera un determinado valor presente V P, colocado a una determinada tasa efectiva i de interés compuesto definida en una cierta unidad de tiempo durante n períodos (suponiendo que n esta expresado en la misma unidad de tiempo en la que está definida i). Durante la primera unidad de tiempo, esto es el período (0, 1), lo que genera interés es el valor de la colocación al comienzo de tal período, es decir V P. I 0,1 = V P i V F 1 = V P + I 0,1 = V P + V P i = V P (1 + i) En la segunda unidad de tiempo lo que genera interés es el valor de la colocación al comienzo de la unidad de tiempo considerada, o lo que es lo mismo, el valor de la colocación al final de la unidad de tiempo inmediata anterior. I 1,2 = V F 1 i = V P (1 + i) i 7

6 con lo cual V F 2 = V F 1 + I 1,2 = V P (1 + i) + V P (1 + i) i = V P (1 + i) 2 Aplicando el mismo razonamiento, el interés en la tercera unidad de tiempo será: con lo cual: I 2,3 = V F 2 i = V P (1 + i) 2 i V F 3 = V F 2 + I 2,3 = V P (1 + i) 2 + V P (1 + i) 2 i = V P (1 + i) 3 y generalizando para las restantes unidades de tiempo, se llega a que el valor de la colocación en el momento n, o valor futuro es: V F = V P (1 + i) n Además recordando que I = V F V P, tenemos que: I = V P [(1 + i) n 1] donde n e i están expresados en la misma unidad de tiempo. Ejemplo 3 Calcular el monto al cabo de un año, si deposito $ a interés compuesto, a las siguientes tasas de interés: a) 8 % efectivo mensual. b) 20 % efectivo bimestral. c) 60 % efectivo cuatrimestral. a) i m = 0, 08 y n = 12 V F = 1000(1 + 0, 08) 12 = $2518, 17 b) i b = 0, 2 y n = 6 V F = 1000(1 + 0, 2) 6 = $2985, 98 c) i c = 0, 6 y n = 3 V F = 1000(1 + 0, 6) 3 = $4096 Ejemplo 4 El 31/12/04, se depositó en un banco la suma de $ , a una tasa de interés del 40% efectivo anual. Calcular el monto que se tiene en la cuenta en las fechas siguientes: 28/02/05, 30/06/05, 31/12/05. 31/12/04 $ i a = 0.4 V F = V P (1 + i) n 28/02/05 n = 2 = 1 V F = $ ( ) = $ , = $21.153, 62 30/06/05 n = 6 = 1 V F = $ ( ) = $ , 1832 = $23.664, 32 31/12/05 n = 12 = 1 V F = $ ( )1 = $ , 4 = $

7 Comparación de los valores futuros generados a interés simple y compuesto Suponiendo que se dispone de un determinado valor presente V P que se coloca durante n unidades de tiempo a una tasa efectiva de interés i (i y n están definidas en la misma unidad de tiempo). Teniendo la posibilidad de hacer la colocación a interés simple o a interés compuesto, qué posibilidad resulta más conveniente? En realidad a lo que apunta la pregunta es a ver cómo evolucionan, comparativamente en el tiempo, el valor futuro a interés simple (V F s ) respecto al valor futuro a interés compuesto (V F c ). V F s = V P (1 + i n) V F c = V P (1 + i) n Teniendo en cuenta que lo que nos interesa analizar es V F s y V F c en función de n, gráficamente resulta: V F s es una función lineal, creciente respecto a n, mientras que V F c tiene un crecimiento exponencial respecto a la misma variable. Concluyendo: para n = 0 V F s = V F c = V P para 0 < n < 1 V F s > V F c para n = 1 V F s = V F c = V P (1 + i) para n > 1 V F s < V F c Verifique el lector que se cumplen tales relaciones: utilice para ello un planteo geométrico y otro analítico Equivalencia de tasas Se dice que dos tasas (ambas de interés simple o ambas de interés compuesto) son equivalentes cuando iguales valores presentes luego de iguales cantidades de tiempo se transforman en iguales valores futuros. El procedimiento general para obtener la relación que deben cumplir dos tasas cualesquiera para que sean equivalentes consiste en: a) plantear las respectivas fórmulas que relacionan valores presentes y valores futuros en un período de n unidades de tiempo. b) igualar los valores futuros y simplificar lo que corresponda. 9

8 Es de destacar que tratándose de tasas definidas en diferentes unidades de tiempo se debe tener especial cuidado en igualar los valores futuros luego que hayan transcurrido iguales cantidades de tiempo. Supongamos que contamos con un capital V P y lo colocamos a n años, a una tasa efectiva anual i a, obteniendo al final del plazo un monto de V F ; por otra parte el mismo capital es colocado el mismo tiempo a una tasa efectiva mensual i m, si las tasas son equivalentes, al final del plazo, se obtendrá el mismo monto V F. Queremos saber cuál es la relación entre esas dos tasas, para ello deberemos expresar el plazo de n años en años y en meses (o sea 12n meses), entonces tenemos que V F = V P (1 + i a ) n pero como los valores futuros son iguales tenemos que análogamente V P (1 + i a ) n = V P (1 + i m ) 12n Ejemplo 5 Repetimos lo hecho en el ejemplo 4 V F = V P (1 + i m ) 12n (1 + i a ) n = (1 + i m ) 12n 1 + i a = (1 + i m ) 12 n n i a = (1 + i m ) 12 1 i m = (1 + i a ) /12/01 $ i a = 0.4 i m = (1 + 0, 4) = 0, /02/02 n = 2 V F = $ ( ) 2 = $21.153, 62 30/06/02 n = 6 V F = $ ( ) 6 = $23.664, 32 31/12/02 n = 12 V F = $ ( ) 12 = $28.000, 00 Observese que en el ejemplo 4, se ha utilizado la tasa efectiva anual, y que en el ejemplo 5, utilizando la tasa efectiva mensual equivalente hemos obtenido los mismos resultados. Ejemplo 6 Calcular el capital que debe depositarse hoy al 79,58563% efectivo anual (de interés compuesto) para poder retirar al cabo de 15 meses $ ,4, utilizando en el planteo la tasa efectiva mensual equivalente. i m = (1 + i a ) 1/12 1 = 0.05 V F = V P (1 + i) n V P = V F = V F (1 + (1+i) n i) n V P = $ , 40 ( ) 15 = $ Ejemplo 7 Calcular durante cuántos meses hay que dejar depositado un capital de $ al 20% efectivo anual de interés compuesto, para alcanzar el importe de $ ,2. i m = (1 + i a ) 1/12 1 = V F = V P (1 + i) n V F ( ) V F V P = (1 + i)n ln = ln (1 + i) n = n ln (1 + i) V P 10

9 n = ln ( ) V F V P ln (1 + i) = entonces el tiempo necesario es de 8 meses. ln ( ,20 ) ln (1, ) = 8 Ejemplo 8 Una persona solicitó un préstamo de U$S que canceló a los cinco meses devolviendo U$S ,1. Calcule la T.E.A. (tasa efectiva anual) aplicada. V F = V P (1 + i) n ( ) 1 ( ) 1 V F n V F n = (1 + i) i = 1 V P V P i m = ( ) = 0, 01 ia = 1, = 0, Tasa nominal de interés compuesto La tasa nominal de interés compuesto j m está definida en un cierto período y tiene m capitalizaciones en esa unidad de tiempo. j m m es la tasa efectiva en el período de capitalización. Ejemplo 9 a) tasa nominal anual con 12 capitalizaciones del 24%: j = 0, = 0, 02 = i m b) tasa nominal anual capitalizable trimestralmente del 16%: j 4 4 = 0, 16 4 = 0, 04 = i t c) tasa nominal anual con 2 capitalizaciones del 20%: j 2 2 = 0, 2 2 = 0, 1 = i s 11

10 Ejemplo 10 Calcular la tasa efectiva de interés anual equivalente a cada una de las siguientes tasas: a) tasa de interés anual nominal del 30% capitalizable cuatrimestralmente. b) tasa de interés anual nominal del 30% capitalizable mensualmente. c) tasa de interés anual nominal del 30% capitalizable bimestralmente. Luego determinar la opción más conveniente para una persona que coloca el dinero en un banco y se le presentan las tres opciones anteriores. a) j 3 3 = 0, 3 3 = 0, 1 = i c i a = (1 + 0, 1) 3 1 = 0, 331 b) j = 0, 3 12 = 0, 025 = i m i a = (1 + 0, 025) 12 1 = 0, c) j 6 6 = 0, 3 6 = 0, 05 = i b i a = (1 + 0, 05) 6 1 = 0, La opción más conveniente es la b) Observación: Cuál es el V F que genera un V P colocado a una tasa nominal j m durante n unidades de tiempo (n y j m definidas en igual unidad de tiempo)? Vale la pena que el lector observe que jm es la tasa efectiva de interés para el período de m capitalización y que [( ) m ] 1 + jm m 1 es la tasa efectiva para la unidad de tiempo en que está definida la tasa nominal (que equivale a m períodos de capitalización), y de allí se deduce que: ( V F = V P 1 + j ) m n m m Es posible razonar este resultado teniendo en cuenta que jm es la tasa efectiva en el período m de capitalización y que en n unidades de tiempo en que está definida j m hay m n períodos de capitalización. Ejemplo 11 El 31/01/01 Juan solicitó un préstamo en el Banco de Tuston por U$S El banco le aplica las siguientes tasas de interés: durante el año 01: 12,06% nominal anual capitalizable bimestralmente. durante el año 02: 24,4832% nominal anual capitalizable trimestralmente. Se pide: Calcular el monto que deberá abonar Juan al banco por el préstamo cuyo vencimiento es 30/09/02. año 01: j 6 = 0, 1206 i b = j 6 = 0,1206 = i 6 6 m = 0, 01 año 02: j 4 = 0, i t = j 4 = 0, = i 4 4 m = 0, 02 V F 31/12/01 = V P (1 + 0, 01) 11 = , = 5.578, 34 V F 30/09/02 = V F 31/12/04 (1 + 0, 02) 9 = 5.578, 34 1, 02 9 = 6.666, 63 12

11 Otra forma de verlo sería: V F 30/09/02 = V F 31/12/01 (1 + 0, 02) 9 y sustituyendo V F 31/12/01 por su expresión tenemos que: V F 30/09/02 = V P (1 + 0, 01) 11 (1 + 0, 02) 9 = = 6.666, 63 Caso particular cuando las capitalizaciones por unidad de tiempo tienden a infinito, o sea el período de capitalización tiende a cero, en ese caso la capitalización es instantánea. Así: Recordando que ( 1 + jm m ( V F = lim V P 1 + j ) m n ( m = V P lim 1 + j ) m jm m jm n m m m m ) m jm e y si llamamos δ a j m, tenemos que m V F = V P e δ n Ejemplo 12 Cuál es el monto generado por un capital de $ colocados a una tasa nominal de capitalización instantánea del 10 % anual si la colocación se hace a 1 mes? Aplicaciones Interés Simple V F = e 0, = , 68 El interés simple, dada su fórmula lineal de cálculo, es más utilizada en las transacciones entre particulares, también es utilizada para el cálculo de los intereses de los bonos, y de los intereses de la ley (Cálculo de las liquidaciones de obligaciones de litigios) Para el pago de obligaciones que surgen de un proceso judicial se establece el ajuste de las sumas de dinero de acuerdo al IPC. A su vez para el cálculo del interés se utiliza el interés simple a una tasa de 6% anual. Ejemplo 13 Importe adeudado: Período de cálculo: Enero FEB 2015 IPC ENE 2010: 285,07 IPC FEB 2015: 427,97 Importe , = ,03 Intereses Legales Cantidad de Meses , 03 ( ) 0, 06 = ,

12 Interés Compuesto Es utilizado en la mayoría de los cálculos de las instituciones financieras, ya sean depósitos o préstamos, por tal motivo en los ejercicios del curso que involucren operaciones bancarias, se entenderá que los cálculos se realizarán aplicando la ley del interés compuesto. 14

13 1.3 Inflación En general hemos visto que los valores futuros son mayores que los valores presentes en términos de unidades monetarias. Pero esto significa que el poder adquisitivo del valor futuro es mayor que el poder adquisitivo del valor presente? La respuesta es: no necesariamente. Esto nos lleva a introducir el concepto de inflación. En el curso veremos la inflación es el crecimiento sostenido de los precios Tasa efectiva de inflación (h): Es el crecimiento que sufre el precio de una determinada canasta de bienes y servicios, expresado en tanto por uno durante una unidad de tiempo. Es importante tener presente que la canasta de bienes y servicios particular a la que hace referencia la definición anterior puede ser diferente según cual sea la situación concreta que interese analizar. A modo de ejemplo, se utiliza como indicador del proceso inflacionario, el índice de precios al consumo (IPC) elaborado por el Instituto Nacional de Estadística (INE). Los datos del IPC (base Diciembre 2010=100) para el período Diciembre 2010 a Julio 2012 son: Año Mes IPC inflación (h) 2015 Dic 150, Ene 153,74 2,45 Feb 156,20 1,60 Mar 157,82 1,04 Abr 158,54 0,46 May 160,07 0,97 Jun 160,71 0,40 Jul 161,34 0,39 Ago 162,26 0,57 set 162,66 0,25 Oct 162,96 0,18 Nov 163,12 0,10 Dic 162,23-0, Ene 166,45 2,60 Feb 167,28 0,50 Mar 168,41 0,68 Abr 168,78 0,22 May 169,00 0,13 Jun 169,25 0,15 Jul 169,79 0,32 Ago 171,10 0,77 set 172,02 0,54 Oct 172,81 0,46 Nov 173,39 0,34 Dic 172,86-0,31 15

14 La tasa efectiva de inflación de un cierto período es calculada como el cociente entre el IPC al final del período sobre el IPC al final del período inmediato anterior menos 1, así, por ejemplo la tasa de inflación para Enero 2011 es: h ene17 = IP C ene17 IP C dic16 1 = La tasa de inflación del primer trimestre de 2017 es: También se podría calcular como: h 1er trim 17 = IP C mar17 IP C dic16 1 = 166, 45 1 = 0, , , 41 1 = 0, , 23 h 1er trim 17 = (1 + h ene17 ) (1 + h feb17 ) (1 + h mar17 ) 1 = = (1 + 0, 0260) (1 + 0, 0050) (1 + 0, 0068) 1 = 0, 0381 Como se observa en el ejemplo, en definitiva, la inflación sigue la ley del interés compuesto Tasa real (r) Cuando una persona concede un préstamo la tasa a la que efectúa dicho préstamo está condicionada por dos factores: la tasa de inflación esperada para el período del préstamo y una tasa que lo recompense por el sacrificio que ha hecho de dejar de disponer del dinero, a esta última se le llama tasa real: (1 + i) = (1 + h) (1 + r) r = i h 1 + h donde h, r e i están definidas para el mismo unidad de tiempo. Es de notar que esta definición, y todo el párrafo, está visto desde la óptica del que concede el préstamo. Analice el lector el concepto de tasa real desde la perspectiva del que recibe el préstamo. Evalúe, además, la razonabilidad de que la tasa de inflación esperada sea perfectamente previsible. Ejemplo 14 El Sr. Pre Stamista concedió un préstamo el 31/10/16 al Sr. Sin Liquidez de $ El préstamo se canceló mediante un único pago el 28/02/17. Calcular el importe que devolvió el Sr. Sin Liquidez y la tasa real anual que resultó en cada uno de los siguientes casos, tomando en cuenta la información dada: a) La tasa de interés efectiva cuatrimestral pactada fue la misma que la tasa efectiva de inflación cuatrimestral desde que se concedió el préstamo hasta que se canceló. b) La tasa de interés efectiva pactada fue el 1% mensual. a) Ya que i c = h c tenemos que r c = 0 h c = 167,28 1 = 0, ,96 V F = V P (1 + h c ) = (1, 0265) = 51325, 00 16

15 b) i m = 0, 01 i c = 0, 0406 r c = 0,0406 0,0265 = 0, 0137 r 1,0265 a = 0, 1779 V F = V P (1 + i c ) = (1, 0406) = 52030, 00 Ejemplo 15 El 31/12/1 una empresa financió al 31/03/2 la deuda de un cliente por un importe de $ y le cobró una tasa de interés del 21,55% efectivo anual. Se sabe que las tasas efectivas mensuales de inflación fueron las siguientes: Enero : 1,5% efectivo mensual. Febrero : 1,2% efectivo mensual. Marzo : 0,9% efectivo mensual. Se pide: a) Calcular el monto que abonó el cliente al 31/03/2. b) Determinar la tasa real efectiva trimestral de interés de la operación, y explique su significado desde el punto de vista de la empresa. i t = 1, = 0, 05 h t = 1, 015 1, 012 1, = 0, a) V F = = b) r t = 0,05 0, , = 0, la empresa tuvo una ganancia de poder adquisitivo. 17

16 1.4 Devaluación La devaluación es la depreciación de una moneda (generalmente local) respecto de la moneda de referencia Tasa de devaluación (dev) Es el crecimiento que sufre el precio de una unidad monetaria de referencia en términos de la moneda considerada (generalmente la local), expresado en tanto por uno durante una unidad de tiempo. La forma de cálculo de la tasa de devaluación para un período dado es el cociente entre el tipo de cambio al final del período sobre el tipo de cambio al final del período inmediato anterior menos 1, así, por ejemplo la tasa de devaluación para Enero del año 2 es: dev enero/2 = T C 31/01/2 T C 31/12/ Equivalencia de tasas moneda nacional - moneda extranjera Será de gran interés saber cuando dos tasas, una en moneda nacional y otra en moneda extranjera, son equivalentes. Aquí aplicaremos el mismo criterio visto para equivalencia de tasas, o sea, si dos tasas, una i $ en moneda nacional y otra i $E en moneda extranjera son equivalentes, entonces a iguales valores presentes colocados durante iguales cantidades de tiempo dan lugar a iguales valores futuros expresados en pesos, en este punto entrará en juego la tasa de devaluación: ( 1 + i $ ) = (1 + dev) ( 1 + i $E) Ejemplo 16 Una persona poseía cierto capital en dólares al 31/12/1 y se le planteaba depositarlo por tres meses en el banco XX que le ofrecía las siguientes opciones: a) depositarlos en moneda nacional al 19% efectivo trimestral. b) depositarlos en dólares al 0,5654% efectivo mensual. Se sabe además que: Se pide: Fecha tipo de cambio dev 31/12/1 11,616-31/01/2 11,688 0, /02/2 11,764 0, /03/2 11,845 0, ) Utilizando los datos disponibles, determinar cuál de las dos opciones que le ofrecía el banco XX era la más conveniente. 2) Cuál debió haber sido la tasa efectiva anual en pesos para que ambas opciones fueran indiferentes? 18

17 la devaluación en todo el trimestre es dev t = 0, ) en moneda nacional i $ t = 0, 19. La tasa efectiva trimestral en pesos equivalente en la operación en dólares será: 1 + i $ t (eq) = (1 + dev t )(1 + i U$S t ) 1 + i U$S t = 1, = 1, y sustituyendo en 1 + i $ t (eq) tenemos i $ t (eq) = 1, , = 0, 0371 La colocación en moneda nacional rinde un i $ t = 0, 19, la tasa equivalente en moneda nacional de la colocación en dólares es i $ t (eq) = 0, Por ende conviene la colocación en pesos. 2) i $ a(eq) = (1 + dev a ) ( ) 1 + i U$S a 1 dev a = 1, = 0, i U$S a = = 0, 07 entonces i $ a(eq) = 0, Ejemplo 17 El 31/07/1, el Sr. A.L. Cornoke quería invertir U$S 5.000, y se le presentaron las siguientes opciones: a) depositarlos en el Banco A en dólares a una tasa del 5% efectivo anual. b) depositarlos en el Banco B en moneda nacional a una tasa del 24% nominal anual capitalizable mensualmente. c) depositarlos en el Banco C en dólares a una tasa del 4,5% nominal semestral capitalizable bimestralmente. d) prestárselo a un amigo, quien le devolverá U$S 5.102,69 el 31/12/4. Determine cuál de las opciones era más conveniente, sabiendo que se esperaba una devaluación del 2% efectivo mensual. a) i U$S a = 0, 05 b) j $ 12 = 0, 24 j$ i U$S m = 1 + i$ m 1 + dev m 1 = 0, 24 = 12 = 0, 02 = i$ m 1, 02 1, 02 1 = 0 iu$s a = 0 c) j3 U$S = 0, 045 ju$s 3 0, 045 = = 0, 015 = ib U$S 3 3 i U$S a = ( ) 1 + i U$S 6 b 1 = 1, = 0, d) i U$S 5 meses = V F V P Conviene depositar en el banco C. $5.102, 69 1 = 1 = 0, iu$s a = 1, = 0, 05 $5.000, 00 19

18 1.5 Descuento de Documentos Si una persona posee un documento a cobrar no vencido y necesita dinero en efectivo, puede descontarlo, es decir, ceder la propiedad de dicho documento, a un banco o una empresa o un particular que lo acepte, a cambio de una suma de dinero menor que la que figura en el documento. En esto consiste la operación de descuento. El día que se venza el documento, quien lo recibió podrá cobrar la cantidad de dinero en él escriturada a la persona que lo suscribió, o, en caso de que éste no pague, a la persona que lo descontó. Al valor que aparece escriturado en el documento se le llama valor nominal (VN) que es un valor futuro. A la cantidad de dinero recibida por el documento en el momento de descontarlo se le llama, valor actual (VA) que es un valor presente). El descuento (D) se define como la diferencia entre el valor nominal y el valor actual. D = V N V A Podemos escribir también: D = V F V P Obsrvese la similitud con el interés: I = M C, o sea que I = V F V P La operación de descuento de un documento, en realidad, es un caso particular de un préstamo de dinero Tasa de descuento efectiva (d) La tasa efectiva de descuento d es el descuento realizado por adelantar una unidad monetaria, una unidad de tiempo a su vencimiento Distintos Tipos de Descuento Existen cuatro formas distintas de calcular el valor actual de un documento que vence dentro de n unidades de tiempo, y por consiguiente, el descuento correspondiente: a) Descuento comercial simple. (DCS) b) Descuento comercial compuesto.(dcc) c) Descuento racional simple. (DRS) d) Descuento racional compuesto.(drc) La diferencia se debe a que la tasa efectiva de descuento se aplica sobre diferentes valores y siguiendo diferentes leyes. El análisis que se desarrolla a continuación supone en todos los casos que d y n están expresados en igual unidad de tiempo. 20

19 a) El descuento es comercial simple cuando la tasa efectiva de descuento se aplica para cada unidad de tiempo, cualquiera sea ella, sobre el valor nominal del documento, o sea, sobre el valor en el momento n. Cuál es el descuento que nos aplican por llevar el valor nominal desde el momento n al momento n 1? Teniendo en cuenta que la tasa de descuento se aplica en este tipo de descuento sobre el valor en el momento n (para cualquier unidad de tiempo), o sea sobre V N, tenemos D n 1,n = d V N Similarmente, el descuento por llevar el valor en el momento n 1 al momento n 2 será D n 2,n 1 = d V N Y en general, el descuento por llevar el valor desde el momento k al momento k 1 será D k 1,k = d V N Entonces el descuento que nos hacen por lleva el valor desde el momento n al momento 0, será la suma de estos descuentos D = n D k 1,k = k=1 n d V N = n d V N k=1 Y recordando que: V A = V N D = V N n d V N = V N (1 n d) Resumiendo D = V N n d V A = V N (1 n d) Ejemplo 18 Cuál es el valor actual de un documento que vence dentro de 6 meses, cuyo valor nominal es de $ si se le descuenta a una tasa del 5% efectivo mensual de descuento comercial simple? V A = V N (1 n d) = $ (1 6 0, 05) = $7.000 Además tenemos que D = V N V A = $ $7.000 = $

20 b) El descuento es comercial compuesto cuando la tasa efectiva de descuento se aplica para cada unidad de tiempo, sobre el valor al final de la unidad de tiempo que se quiere retroceder. Cuál es el descuento que nos aplican por llevar el valor nominal desde el momento n al momento n 1? D n 1,n = d V N Entonces el valor en el momento n 1 será V A n 1 = V N D n 1,n = V N d V N = V N (1 d) Del momento n 1 al momento n 2 será y entonces Por lo tanto D n 2,n 1 = d V A n 1 V A n 2 = V A n 1 D n 2,n 1 = V A n 1 d V A n 1 = V A n 1 (1 d) V A n 2 = V A n 1 (1 d) = V N (1 d) (1 d) = V N(1 d) 2 Ahora aplicando este razonamiento un número suficiente de veces tenemos que V A = V N(1 d) n Luego, como D = V N V A, tenderemos que D = V N [1 (1 d) n ] Ejemplo 19 Cuál es el valor actual de un documento que vence dentro de 6 meses, cuyo valor nominal es de $ si se le descuenta a una tasa del 5% efectivo mensual de descuento comercial compuesto? Además tenemos que V A = V N(1 d) n = $ (1 0, 05) 6 = $7.350, 92 D = V N V A = $ $7.350, 92 = $2.649, 08 c) El descuento es racional simple cuando la tasa efectiva de descuento se aplica para cada unidad de tiempo, cualquiera sea ella, sobre el valor actual del documento, o sea, sobre el valor en el momento 0. 22

21 Cuál es el descuento que nos aplican por llevar el valor nominal desde el momento n al momento n 1? D n 1,n = d V A y haciendo el mismo razonamiento pero ubicándonos en un momento genérico k y retrocediendo al momento k 1, tenemos : D k 1,k = d V A Entonces el descuento que nos hacen por lleva el valor desde el momento n al momento 0, será la suma de estos descuentos D = n D k 1,k = k=1 n d V A = n d V A k=1 Y recordando que: V A = V N D = V N n d V A V A (1 + n d) = V N V A = V N 1 + n d Ejemplo 20 Cuál es el valor actual de un documento que vence dentro de 6 meses, cuyo valor nominal es de $ si se le descuenta a una tasa del 5% efectivo mensual de descuento racional simple? Además tenemos que V A = $ , 05 = $7.692, 31 D = V N V A = $ $7.692, 31 = $2.307, 69 d) El descuento es racional compuesto cuando la tasa efectiva de descuento se aplica para cada unidad de tiempo sobre el valor al inicio de dicha unidad de tiempo. Cuál es el descuento que nos aplican por llevar el valor nominal desde el momento n al momento n 1? D n 1,n = d V A n 1 Por lo tanto el valor al momento n 1 será V A n 1 = V N D n 1,n = V N d V A n 1 V A n 1 (1 + d) = V N V A n 1 = V N 1 + d El descuento que nos aplican por llevar el valor nominal desde el momento n 1 al momento n 2 es D n 2,n 1 = d V A n 2 23

22 Por lo tanto el valor al momento n 2 será V A n 2 = V A n 1 D n 2,n 1 = V A n 1 d V A n 2 V A n 2 (1 + d) = V A n 1 V A n 2 = V A n d = V N (1 + d) 2 Aplicando este razonamiento un número suficiente de veces tenemos que: Y recordando que: D = V N V A = V N V A = V N (1 + d) n V N [ ] 1 (1 + d) n D = V N 1 (1 + d) n Ejemplo 21 Cuál es el valor actual de un documento que vence dentro de 6 meses, cuyo valor nominal es de $ si se le descuenta a una tasa del 5% efectivo mensual de descuento racional compuesto? Además tenemos que V A = V N (1 + d) 6 = $ = $7.462, 15 (1 + 0, 05) D = V N V A = $ $7.462, 15 = $2.537, 85 Comparación de los distintos tipos de descuentos 24

23 Comparación de los distintos tipos de descuentos 0 n Interés simple y descuento racional simple, interés compuesto y descuento racional compuesto Analizando las fórmulas de estas leyes financieras el lector podrá observar muy fácilmente que la ley del interés simple y la ley del descuento racional simple, así como, la ley del interés compuesto y la ley del descuento racional compuesto son iguales. Por ello todo lo que se afirmó en su momento para el interés simple y para el interés compuesto es trasladable al DRS y al DRC respectivamente Interés simple y descuento comercial simple, interés compuesto y descuento comercial compuesto Para la equivalencia entre tasas compuestas, y asumiento que i y d están definidas para el mismo período de tiempo, consideramos que: por un lado tenemos que V F = V P (1 + i) n de donde V F V P = (1 + i)n, por otro V A = V N(1 d) n de donde V A V N = (1 d)n. Asumiendo un mismo valor de n y que coinciden V F con V N y V P con V A tenemos que 1 d = i d = i 1 + i o en forma equivalente i = d 1 d En forma análoga para la equivalencia entre tasas simples, y asumiento que i y d están definidas para el mismo período de tiempo, consideramos que: por un lado tenemos que V F = V P (1 + ni) de donde V F V P = (1 + ni), 25

24 por otro V A = V N(1 nd) de donde V A = (1 nd). V N Asumiendo un mismo valor de n y que coinciden V F con V N y V P con V A tenemos que 1 nd = ni d = i 1 + ni o en forma equivalente i = d 1 nd Tasa nominal de descuento comercial compuesto (f m ) 1 La tasa nominal de descuento comercial compuesto f m se caracteriza por estar definida en cierta unidad de tiempo y tener m aplicaciones en dicha unidad de tiempo. Dividiendo dicha tasa nominal f m entre el número de aplicaciones m, obtendremos la tasa efectiva de descuento en el período de aplicación. Ejemplo 22 Cuál es el valor actual de un documento que vence dentro de 6 meses, cuyo valor nominal es de $ si se le descuenta a una tasa de descuento comercial compuesto del 24% nominal anual de aplicación mensual? f 12 = 0, 24 f 12 = 0,24 = 0, 02 = d m V A = V N(1 d) 6 = $10.000(1 0, 02) 6 = $8.858, 42 Además tenemos que D = V N V A = $ $8.858, 42 = $1.141, 58 En esta situación también es posible definir una tasa nominal de descuento comercial compuesto con m tendiendo a infinito aplicaciones por unidad de tiempo, en que está definida la tasa. A esta tasa se la denota δ Equivalencia de tasas Corresponde comenzar señalando que solo tiene sentido la equivalencia de tasas entre leyes financieras simples entre si y entre leyes financieras compuestas entre si. El procedimiento general definido anteriormente para establecer la equivalencia de tasas sigue siendo válido cuando se le aplica incorporando el tema descuentos. Existen algunas situaciones triviales. Por lo dicho en la tasa efectiva de interés compuesto anual y la tasa de descuento racional compuesto efectiva anual son equivalentes si son iguales. Determine el lector que condición debe cumplir una tasa de interés compuesto efectiva semestral para se equivalente a una tasa nominal anual con aplicaciones mensuales de descuento comercial compuesto para ser equivalentes. 1 No se define la tasa nominal de descuento racional compuesto por las razones explicadas en