Tema 2: Predicados. Tema 2: Predicados. Semántica. Semántica. Definición Una expresión atómica es cualquier expresión aritmética

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1 UNIVERSIDAD DE A CORUÑA FACULTAD DE INFORMÁTICA DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN Tecnlgía de la Prgramación Ingeniería Técnica en Infrmática de Sistemas Elena Mª Hernández Pereira Óscar Fntenla Rmer Blque didáctic I: Intrducción Tema 2 Títul: Predicads Ampliación del cncept de prpsición Unidades de cntenid Extensión del rang de estad Cuantificadres Identificadres libres y ligads Sustitución textual Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 2

2 Tema 2: Predicads Sintaxis Blque didáctic I: Intrducción Generalización de una prpsición: Se incluyen cm identificadres expresines relacinales aritméticas Se incluyen cuantificadres:,, Ν Predicads: Expresines resultantes de la generalización Predicads binaris:,, <, >, =, Funcines binarias: +, -, *, / Función unaria: - Cnstantes: 0, 1, 2, -1, T, F Precedencia de peradres habitual Tds tienen mayr priridad que ls peradres lógics Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 3 Tema 2: Predicads Blque didáctic I: Intrducción Partims de un cnjunt de valres cnstantes Ej: Valres ={0,1,2,-1,-2,T, F,...} Cada ID tiene un tip Cnjunt de valres a ls que está asciad Rang i : blean def rang(i)={t, F} i : natural def rang(i)={0, 1, 2,...} i : integer rang(i)={..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Definición def Un estad s, es una función del tip s: ID Valres Se puede representar cm un cnjunt de pares (i, v) de md que v rang(i) Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 4

3 Tema 2: Predicads Blque didáctic I: Intrducción Ejempl rang(x) = {0, 1, 2} y: integer b: blean s={(x, 0), (y, -3), (b, F)} Definición Una expresión atómica es cualquier expresión aritmética relacinal función (matemática) cncida, que devuelve T F Definición Un predicad es el resultad de reemplazar cualquier identificadr pr una expresión atómica en una prpsición Ejempls de predicads: (x y (y < z)) (x + y < z) (x y y < z) x + y < z Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 5 Tema 2: Predicads Blque didáctic I: Intrducción Definición: Evaluación de un predicad Sea α una función prpsicinal bien definida en el estad s, entnces s(α) se btiene reemplazand td x de α pr s(x) y aplicand las peracines predefinidas Ejempl Siend s = {(x, 0), (y, -3), (b, F)} evaluar s(x > y b) s(b x+y = -3 y+3 = 2 * x) s(x 0 y/x = 2) Prblema: La expresión debería ser F per Cóm se resuelve -3/0? Intrducims un nuev valr: U ( undefined ) Para cualquier k, s(k / 0) = U En las tablas de peradres vistas, si un términ es U, el resultad también es U Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 6

4 Tema 2: Predicads Blque didáctic I: Intrducción Incrprams ds nuevs peradres cand Cnditinal and cr Cnditinal r α cand β si α entnces β, en tr cas F α cr β si α entnces T, en tr cas β NOTA α β representa la equivalencia, n se usará dentr de ls prgramas cand y cr n sn cnmutativs Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 7 Tema 2: Predicads Blque didáctic I: Intrducción Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 8

5 Tema 2: Predicads Leyes de equivalencia Leyes asciativas (α cand (β cand λ)) ((α cand β) cand λ) (α cr (β cr λ )) ((α cr β) cr λ) Leyes distributivas Blque didáctic I: Intrducción (α cr (β cand λ )) ((α cr β) cand (α cr λ )) (α cand (β cr λ )) ((α cand β) cr (α cand λ )) Leyes de De Mrgan (α cand β) α cr β (α cr β) α cand β Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 9 Tema 2: Predicads Blque didáctic I: Intrducción Leyes de equivalencia Ley del medi excluid Si α está bien definida (s(α ) U), α cr α T Ley de cntradicción Si α está bien definida (s(α ) U), α cand α F Leyes de simplificación del cr α cr α α α cr T T (si α está bien definida) α cr F α α cr (α cand β) α Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 10

6 Tema 2: Predicads Blque didáctic I: Intrducción Leyes de equivalencia Leyes de simplificación del cand α cand α α α cand T α α cand F F (si α está bien definida) α cand (α cr β) α Es psible derivar nuevas leyes. Ejempl: α cand (β γ) (α cand β) (α cand γ) Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 11 Tema 2: Predicads Cuantificadres Blque didáctic I: Intrducción Cuantificadr existencial Sean m, n expresines enteras cn m n α m α m+1 α n-1 dnde cada α i es un predicad se puede expresar cm ( I: m I < n: α I ) ( I [m,n : α I ) Rang del identificadr Cnjunt de valres que satisfacen m I < n I variable cuantificada De frma recursiva 1) ( I [m,m : α I ) = F 2) ( I [m,k+1 : α I ) = ( I [m,k : α I ) α k para k m Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 12

7 Tema 2: Predicads Cuantificadres Blque didáctic I: Intrducción Cuantificadr universal Sean m, n expresines enteras cn m n α m α m+1 α n-1 dnde cada α i es un predicad se puede expresar cm ( I: m I < n: α I ) ( I [m,n : α I ) En función de ( I [m,n : α I ) = ( I [m,n : α I ) = ( α m α m+1 α n-1 ) = α m α m+1 α n-1 Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 13 Tema 2: Predicads Cuantificadres Blque didáctic I: Intrducción Cuantificadr numéric cntadr Cóm expresar k el k-ésim menr valr que cumple α k Definims un nuev cuantificadr: (N I: m I < n: α I ) (N I [m,n : α I ) Es el númer de valres de I que satisfacen α I Es un términ numéric, n una fórmula que se pueda hacer T F Definims y en función de N ( I [m, n : α I ) = ((N I [m,n : α I ) 1) ( I [m, n : α I ) = ((N I [m,n : α I ) = m - n) Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 14

8 Tema 2: Predicads Cuantificadres Blque didáctic I: Intrducción Algunas abreviaturas Varias variables índice. Ejempl: ( I, J: 5 I, J < 7: 2*i + x J) = ( I: 5 I < 7: ( J: 5 J < 7: 2*i + x J)) Us de intervals [m, n [m, n-1] m I < n Usarems Mayúsculas para las variables cuantificadas Minúsculas para ls identificadres del prgrama Ls cuantificadres n sn parte del prgrama La variable cuantificada n es un identificadr del prgrama Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 15 Tema 2: Predicads Cuantificadres Blque didáctic I: Intrducción Prpiedades Unión de rangs ( I [m,n : α I ) ( I [n, p : α I ) = ( I [m, p : α I ) ( I [m,n : α I ) ( I [n, p : α I ) = ( I [m, p : α I ) (N I [m,n : α I ) + (N I [n, p : α I ) = (N I [m, p : α I ) Leyes de equivalencia Renmbrar la variable cuantificada ( I [m,n : α) = ( K [m,n : α) ( I [m,n : α) = ( K [m,n : α) Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 16

9 Tema 2: Predicads Cuantificadres Blque didáctic I: Intrducción Leyes de equivalencia Leyes asciativas ( I [m,n : α β) = ( I [m,n : α) ( I [m,n : β) ( I [m,n : α β) = ( I [m,n : α) ( I [m,n : β) ( I [m,n : α β) = ( I [m,n : α) ( I [m,n : β) Leyes de De Mrgan ( I [m,n : α) = ( I [m,n : α) ( I [m,n : α) = ( I [m,n : α ) Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 17 Tema 2: Predicads Cuantificadres Blque didáctic I: Intrducción Leyes de equivalencia Leyes de cuantificación (β n cntiene a I) ( I [m,n : α β) = ( I [m,n : α) β ( I [m,n : α β) = ( I [m,n : α) β ( I [m,n : β α) = β ( I [m,n : α) ( I [m,n : α β) = ( I [m,n : α) β ( I [m,n : α β) = ( I [m,n : α) β ( I [m,n : α β) = ( I [m,n : α) β ( I [m,n : β α) = β ( I [m,n : α) ( I [m,n : α β) = ( I [m,n : α) β Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 18

10 Tema 2: Predicads Cuantificadres Blque didáctic I: Intrducción Reglas de rang Rang nul ( I [m,m : α) = T ( I [m,m : α) = F Rang un ( I = v: α) = α(v) ( I = v: α) = α(v) División de rang ( I r 1 I r 2 : α) = ( I r 1 : α) ( I r2: α) ( I r 1 I r 2 : α) = ( I r 1 : α) ( I r2: α) Expresión cnstante (I n aparece en N) Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 19 ( I r: N) = N Tema 2: Predicads Cuantificadres Blque didáctic I: Intrducción Reglas de rang Anidamient ( I r 1 : ( J r 2 : α)) = ( I, J: I r 1 J r2: α) ( I r 1 : ( J r 2 : α)) = ( I, J: I r 1 J r2: α) Otrs cuantificadres Sumatri: ( I [m, n : α I ) definid cm 1. ( I [m, m : α I ) = 0 2. ( I [m, k+1 : α I ) = ( I [m, k : α I ) + α k para k m Prduct: ( I [m, n : α I ) definid cm 1. ( I [m, m : α I ) = 1 2. ( I [m, k+1 : α I ) = ( I [m, k : α I ) * α k para k m Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 20

11 Tema 2: Predicads Identificadres libres y ligads Blque didáctic I: Intrducción P: ( I [m, n : x * I > 0) Equivale a (x > 0 m > 0) (x < 0 n 0) La verdad de P en s depende de x, m y n Equivale a ( J [m, n : x * J > 0) Definición Identificadr ligad, td aquel asciad a un cuantificadr Identificadr libre, td aquel asciad a una variable del prgrama Prblema: Identificadr libre y ligad a la vez (I > 0) ( I [m, n : x * I > 0) Definición: Restricción de un identificadr Un identificadr n puede ser libre y ligad a la vez, ni estar ligad a ds cuantificadres diferentes Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 21 Tema 2: Predicads Identificadres libres y ligads Blque didáctic I: Intrducción Definición: i libre en una expresión 1. i es libre en i 2. i es libre en (α) sii l es en α 3. i es libre en α sii l es en α ( peradr unari) 4. i es libre en α β sii l es en α en β ( peradr binari) 5. i es libre en ( J [m, n : α) sii n es la prpia J y además es libre en m, n y α ( cuantificadr) Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 22

12 Tema 2: Predicads Identificadres libres y ligads Blque didáctic I: Intrducción Definición: i ligad en una expresión 1. i está ligad en (α) sii l está en α 2. i está ligad en α sii l está en α ( peradr unari) 3. i está ligad en α β sii l está en α en β ( peradr binari) 4. i está ligad al cuantificadr en ( i [m, n : α) ámbit del cuantificadr ( cuantificadr) 5. i está ligad al cuantificadr en ( J [m, n : α) (aunque a tr cuantificadr) si l está en m, n α Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 23 Tema 2: Predicads Identificadres libres y ligads Blque didáctic I: Intrducción Ejempls 2 m < n ( i [2, m : m/i 0) 2 m < n ( n [2, m : m/n 0) ( i [1, 25 : 25/i = 0) ( i [1, 25 : 26/i = 0) ( t [1, 25 : 25/t = 0) ( i [1, 25 : 26/i = 0) ( i: 1 i < 25: 25/i = 0 26/i = 0) ( m [n, n+6 : ( i [2, m : m/i = 0)) ( m [n, n+6 : ( n [2, n : m/n = 0)) ( k [0, n : P H k (T)) k > 0 ( j [0, n : ( t [j+1, m : ( k [0, n : F(k,t)))) Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 24

13 Tema 2: Predicads Sustitución textual Blque didáctic I: Intrducción Definición expresión btenida tras la sustitución de tdas las currencias libres de x pr e α x e siend α, e expresines y x, identificadr Utilizada en expresines de asignación Se utilizarán paréntesis dnde sea necesari Ejempls: (x + y) x z = (z + y) (x + y) x x+1 = ((x + 1) * y) Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 25 Tema 2: Predicads Sustitución textual Blque didáctic I: Intrducción Sea α: x < y ( I [0, n : I + x < y) b Realizams las siguientes sustitucines textuales: α x z = z < y ( I [0, n : I + z < y) b α y x+y = x < x + y ( I [0, n : I + x < x + y) b (α y w*z )z a+u = (x < w * z ( I [0, n : I + x < w *z) b)z a+u = = x < w *(a+u) ( I [0, n : I + x < w *(a+u) b α I k = α Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 26

14 Tema 2: Predicads Sustitución textual Blque didáctic I: Intrducción Prblemas que pueden surgir: La expresión resultante de una sustitución debe ser una expresión bien frmada crrecta semánticamente α b 3 = x < y ( J [0, n : J + I < y) 3 sustitución n válida (c[i]) c 3 = 3[i] sustitución n válida Las variables libres en e n pueden cnvertirse en ligadas en α x e. Para evitarl se renmbra la variable ligada en α α x I = I < y ( I [0, n : I + I < y) b incrrecta α x I = I < y ( J [0, n : J + I < y) b crrecta Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 27 Tema 2: Predicads Sustitución textual Blque didáctic I: Intrducción Definición Sustitución simultánea x x expresión btenida tras la sustitución simultánea 1, x2,..., xn α = α de las currencias de x i pr las e i, siend e e 1, e2,..., en e i expresines y x i, identificadres Ejempls: (x + y) x,y 3,c = 3 + c (x + y) x,y y+1,c = y c ((x + y) x y+1 )y c = c c En general: α x,y u,v (αx u )y v (sustitución simple) y (sustitución simultánea) x x, y ( α ) α u v u, v Restriccines: N ligar variables libres en las e i La expresión resultante debe ser semánticamente crrecta Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 28

15 Tema 2: Predicads Sustitución textual y estads Blque didáctic I: Intrducción Recrdams Sea α una función prpsicinal bien definida en el estad s, entnces s(α) se btiene reemplazand td x de α pr s(x) y aplicand las peracines predefinidas Definición: (s;x : v) representa un estad s igual que s except que x pasa a valer v. s {(x, )} (x,v) Una asignación x:=e aplicada a s resultará en (s;x:s(e)) Prpiedades: s(α x e ) = s(αx s(e) ) Sea s = (s; x:s(e)), entnces s (α) = s(α x e ) Dadas ds listas de identificadres x 1,,x n y u 1,,u n mutuamente excluyentes, se cumple que ( x u α = α ) u x Tecnlgía de la prgramación - Elena Hernández & Oscar Fntenla 29