Bibliografía 1)Principios de Electricidad y Magnetismo Héctor Barco Ríos, Edilberto Rojas Calderón, Elisabeth Restrepo Parra

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1 Cátedra:Electricidad y Magnetismo Unidad Nº 1:ELECTROSTATICA Estructura de la materia. Átomos. Electrones. Carga eléctrica. Conductores y aisladores. Ley de Coulomb. Campo Eléctrico. Intensidad de campo. Líneas de fuerza. Potencial eléctrico. Superficies equipotenciales. Diferencia de potencial. Unidades. Aplicaciones con PC. Bibliografía 1)Principios de Electricidad y Magnetismo Héctor Barco Ríos, Edilberto Rojas Calderón, Elisabeth Restrepo Parra Estructura de la materia Estructura atómica y configuración electrónica. Electrones, Protones y Neutrones Demócrito, s. V a. C. : la naturaleza está formada por partículas muy pequeñas e indivisibles = ATOMOS Dalton, 1808, formuló la TEORÍA ATÓMICA = principio de la era moderna en química 1. La materia está formada por partículas indivisibles que no pueden crearse ni destruirse, a las que llamaron átomos. 2. Los átomos de un elemento son idénticos entre sí con el mismo peso y propiedades. 3. Los átomos de distintos elementos pueden combinarse entre sí formando compuestos o moléculas. Los átomos pueden combinarse en distintas proporciones formando compuestos distintos. 4. Una reacción química constituye solo un reordenamiento de átomos, nunca la creación o destrucción de los mismos. Aproximadamente en el año 600 A.C, los griegos sabían que al frotar el ámbar con lana éste adquiría la propiedad de atraer cuerpos livianos como pequeños pedazos de tela o paja. Los cuerpos que adquirían esta propiedad se denominaron electrizados o cargados eléctricamente; ya que en griego elektron significa " ámbar". Después de muchos experimentos y estudios, se ha llegado a la conclusión de que la electrización por frotamiento no representa un proceso de creación de electricidad, sino más bien una separación de dos tipos de electricidad que ya se encontraban presentes en cantidades iguales en el material "neutro" En este capítulo se presentan algunas nociones fundamentales de electricidad, tipos de carga eléctrica y cálculo de fuerzas electrostáticas para diferentes tipos de sistemas de cargas y para diferentes distribuciones de carga discreta o continua. Electrostática --- Tiene por objeto el estudio las fuerzas eléctricas existentes entre cargas eléctricas en reposo y los estados de equilibrio determinados por dichas fuerzas. En general, si dos cuerpos diferentes se frotan entre sí, ambos se electrizan, es decir, ambos se cargan eléctricamente. Los experimentos anteriores conducen a la Ley Fundamental de la Electrostática la cual establece que: "Cargas eléctricas del mismo signo ejercen una fuerza de repulsión y cargas eléctricas de diferente signo ejercen una fuerza de atracción La materia está formada por cantidades enormes de átomos, y por lo general, es eléctricamente neutra, es decir, tiene la misma cantidad de protones y de electrones.

2 Ley de Coulomb Los electrones de los átomos se encuentran ligados a sus núcleos por fuerzas relativamente intensas. Sin embargo los electrones más externos del átomo están más débilmente ligados y con fuerzas de atracción fácilmente superables Por lo tanto, estos electrones pueden pasar de un cuerpo a otro cuando se ponen dos sustancias en contacto estrecho. Es por ello que al frotar dos objetos, se pueden transferir muchos electrones de un cuerpo a otro. Cuando esto sucede, uno de los cuerpos tendrá exceso de electrones, mientras que el otro tendrá deficiencia de ellos. Entonces el que tenga exceso de electrones se hallará cargado negativamente y el otro se cargará positivamente, pero ambos cuerpos tendrán la misma cantidad de carga eléctrica neta Si se denota la carga del electrón por -e, entonces la carga del protón es +e. La magnitud de la carga del electrón es e = x 10'19 Coulombs. En 1784, el físico francés Charles Augustín Coulomb, descubrió la ley cuantitativa de las fuerzas entre dos cargas puntuales, midiendo las fuerzas de atracción o de repulsión, utilizando una balanza de torsión como se muestra en la figura 1.4. Cargas puntuales son aquellas cuyas dimensiones geométricas son despreciables comparadas con las distancias de separación entre ellas. Es decir, las cargas se pueden considerar com o puntos cargados eléctricamente. El razonamiento que hizo Coulomb fue el siguiente. Ante todo, las observaciones indican que las fuerzas de acción recíproca de las cargas están dirigidas según la recta que une las cargas. Variando la distancia r entre las esferas A y B, a las cuales se les ha comunicado unas cargas invariables (Fig 1,5a), como demuestra la experiencia, las fuerzas de acción recíproca varían en razón inversa al cuadrado de la distancia r Para comparar las magnitudes de dos cargas Q1 y Q2 medimos las fuerzas F1 y F2 de acción recíproca de estas dos cargas con una tercera carga determinada Q0 colocándolas consecutivamente a una misma distancia r0 de ésta tercera carga Q0 (Fig 1.5b) y la (Fig 1.5c). Para ello le colocamos consecutivamente a la esfera A las cargas Q., y Q2 y la carga de la esfera B la conservamos invariable e igual a Q0. La experiencia demuestra que la relación F1/F2 de las fuerzas no depende de la magnitud Q0 de la tercera carga, ni de la distancia r0 a las que se colocan las cargas Q1 y Q2 de ésta tercera carga. Por lo tanto, el valor de la relación F1/F2 de las fuerzas lo determinan solamente las propias cargas Q1 y Q2. De aquí que sea natural el tomar la relación Q.,/Q2 de las cargas igual a la relación F1/F2 de las fuerzas. De ésta manera obtenemos el método para medir la relación Q/Qg de dos cargas. De ésta manera ya se puede formular definitivamente la ley de Coulomb: La magnitud de la fuerza de atracción o de repulsión entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Se encuentra que la dirección de la fuerza se ejerce a lo largo de la recta que une las dos cargas, como se muestra en la figura 1.6. Matemáticamente, la ley de Coulomb se expresa como:

3 PROBLEMAS RESUELTOS r = r - R'» R-R' donde, Q-,, Q2: Cargas puntuales, r : Distancia de separación entre las cargas. Ü r : Vector unitario en la dirección de la recta que une las cargas y en el sentido de la fuerza. K: Constante de proporcionalidad. SISTEMA MKS. F : Newton Q : Coulomb (coul) r : Metro donde, K =(1/4πεo )= 9 x 109 = [nw.m2/coul2]εo : Constante de permitividad eléctrica en el vacío y su valor es: e0 = 8.85 x 10'12 coul2/nw.m2 (vacío) COULOMB: Es la cantidad de carga eléctrica que al actuar sobre otra igual ejerce una fuerza de 9 x 109 nw cuando están separadas un metro de distancia.

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6 PROBLEMAS PROPUESTOS

7 Conductores y aisladores Los materiales presentan distintos comportamientos ante el movimiento de cargas eléctricas. Conductores Los elementos conductores tienen facilidad para permitir el movimiento de cargas y sus átomos se caracterizan por tener muchos electrones libres y aceptarlos o cederlos con facilidad, por lo tanto son materiales que conducen la electricidad. Ejemplos de conductores son el cobre y el aluminio. Aisladores Los aisladores son materiales que presentan cierta dificultad al paso de la electricidad y al movimiento de cargas. Tienen mayor dificultad para ceder o aceptar electrones. En una u otra medida todo material conduce la electricidad, pero los aisladores lo hacen con mucha mayor dificultad que los elementos conductores. Ejemplos de aisladores son el plástico y la cerámica. Semiconductores y superconductores Además de los conductores y los aisladores encontramos otros dos tipos de elementos: los semiconductores y los superconductores. En los semiconductores el valor de la resistencia es alto o bajo dependiendo de las condiciones en las que se encuentre el material, mientras que los superconductores no tienen resistencia Fuerza Eléctrica: En 1785, Charles Agustín de Coulomb ( ), físico e ingeniero francés que también enunció las leyes sobre el rozamiento, presentó en la Academia de Ciencias de París, una memoria en la que se recogían sus experimentos realizados sobre cuerpos cargados, y cuyas conclusiones se pueden resumir en los siguientes puntos: Los cuerpos cargados sufren una fuerza de atracción o repulsión al aproximarse. El valor de dicha fuerza es proporcional al producto del valor de sus cargas. La fuerza es de atracción si las cargas son de signo opuesto y de repulsión si son del mismo signo. La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

8 Estas conclusiones constituyen lo que se conoce hoy en día como la ley de Coulomb. La fuerza eléctrica con la que se atraen o repelen dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de las mismas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa y actúa en la dirección de la recta que las une. donde: F=K Q qr2 F es la fuerza eléctrica de atracción o repulsión. En el S.I. se mide en Newtons (N). Q y q son lo valores de las dos cargas puntuales. En el S.I. se miden en Culombios (C). r es el valor de la distancia que las separa. En el S.I. se mide en metros (m). K es una constante de proporcionalidad llamada constante de la ley de Coulomb. No se trata de una constante universal y depende del medio en el que se encuentren las cargas. En concreto para el vacío k es aproximadamente N m2/c2 utilizando unidades en el S.I. Si te fijas bien, te darás cuenta que si incluyes el signo en los valores de las cargas, el valor de la fuerza eléctrica en esta expresión puede venir acompañada de un signo. Este signo será: positivo. cuando la fuerza sea de repulsión (las cargas se repelen). ( + + = + o - - = + ) negativo. cuando la fuerza sea de atracción (las cargas se atraen). ( + - = - o - + = - ) Por tanto, si te indican que dos cargas se atraen con una fuerza de 5 N, no olvides que en realidad la fuerza es -5 N, porque las cargas se atraen. Expresión vectorial de la fuerza eléctrica La fuerza eléctrica descrita en la ley de Coulomb no deja de ser una fuerza y como tal, se trata de una magnitud vectorial que en el Sistema Internacional de Unidades se mide en Newtons (N). Su expresión en forma vectorial es la siguiente: F =K Q qr2 u r donde el nuevo valor u r es un vector unitario en la dirección que une ambas cargas. Observa que si llamamos r al vector que va desde la carga que ejerce la fuerza hacia la que la sufre, u r es un vector que nos indica la dirección de r donde el nuevo valor u r es un vector unitario en la dirección que une ambas cargas. Observa que si llamamos r al vector que va desde la carga que ejerce la fuerza hacia la que la sufre, u r es un vector que nos indica la dirección de r u r=r r/ En esta dirección podrás ver casos en un gráfico

9 Date cuenta que la fuerza eléctrica siempre tiene la misma dirección que el vector unitario u r y el mismo sentido si tienen el mismo signo y sentido opuesto si tienen signo distinto. No olvides que debes incluir el signo de las cargas cuando utilices la expresión de la ley de Coulomb. Constante dieléctrica o permitividad del medio Dado que la constante la ley de Coulomb K depende del medio, esta suele expresarse en términos de otra constante denominada constante dieléctrica o permitividad del medio (ε): En el caso del vacío se cumple que ε=ε 0, donde la permitividad del vacío (ε 0) equivale a N m 2 / C 2. Para medios distintos del vacío, se utiliza una magnitud adimensional denominada constante dieléctrica relativa o permitividad relativa (ε r), que se obtiene por medio del cociente entre la permitividad del medio (ε) y la permitividad del vacío (ε 0): εr = εε0 Permitividad Relativa de algunos medios a 20ºC Medio ε r vacío 1 Aire seco (sin CO2) Etanol 25.3 Agua 80.1 Sal Común 5.9 Vidrio 4-10 PVC 3.4 Ejemplo Cuál es la distancia a la que debemos colocar dos cargas puntuales en el agua, q 1 = 4 µc y q 2 = -4 µc, para que se atraigan con una fuerza de 4.8 N? (Datos: permitividad relativa del agua: ε r = permitividad del vacio: ε 0= C 2 /N m 2 ) Resolución Para calcular la distancia a la que deben encontrarse ambas cargas para que experimenten una fuerza de 4.8 N, basta con emplear la expresión del módulo de la ley de Coulomb: F=K q1 q2r2

10 Despejando la distancia, obtenemos que: r= (K q1 q2)/f =raiz Conocemos la fuerza eléctrica y el valor de las cargas, sin embargo cuanto vale K?. Para calcularla haremos uso de la expresión de la constante de la ley de Coulomb: K=14 π ε Si las cargas se situan en el vacío, la permitividad ε es exactamente la permitividad del vacío, cuyo valor es ε 0= C 2 /N m 2, sin embargo nuestras cargas se encontrarán en el agua, que tiene una permitividad relativa ε r= 80.1 C 2 /N m 2. Sabiendo que: Entonces: εr = εε0 K=14 π ε ; εr = εε0 K=14 π εr ε0 Sustituyendo los valores que conocemos, obtenemos que la constante K vale: K=14 π εr ε0 K=14 π K= N m2/c2 Ahora ya estamos en disposición de calcular la distancia de las cargas: r= ( )/ 4.8 r=0.02 m Importante: Recuerda que si la fuerza es atractiva, su valor debe ir acompañado de un signo - y si la fuerza es repulsiva acompañado de un signo +. Ficha de fórmulas Ley de Coulomb, módulo de la Fuerza Eléctrica Ley de Coulomb, Fuerza eléctrica Constante de la ley de Coulomb Constante dieléctrica relativa al vacío F=K Q qr2 F =(K (Q q)/r2) u r K=1/(4 π ε) εr = εε0 Carga eléctrica La materia se compone por átomos y la carga eléctrica es una propiedad fundamental de algunas partículas que componen el átomo. Los átomos tienen un núcleo de protones (que tienen carga positiva) y de neutrones (que tienen carga neutra). En la periferia del átomo se encuentran los electrones (carga negativa) describiendo órbitas alrededor del núcleo. En equilibrio electrostático, un átomo tiene igual cantidad de protones que de electrones, por lo tanto su carga total es neutra. Los electrones de las órbitas más alejadas (electrones libres) pueden abandonar el átomo y agregarse a otro cercano. El átomo que tiene un electrón menos queda cargado positivamente, mientras el átomo que ganó un electrón tiene carga negativa. Los átomos o la materia con carga del mismo signo se rechaza mientras que cuando su signo es opuesto aparece una fuerza de atracción. De la misma manera podemos decir que un material está cargado eléctricamente si sus

11 átomos cedieron o aceptaron electrones. Por ejemplo cuando se frotan dos materiales distintos como plástico y vidrio ocurre eso con muchos de sus átomos, liberan y aceptan electrones, por lo tanto uno de los materiales queda cargado positivamente (sus átomos liberaron electrones) y el otro negativamente (con más electrones). Ley de conservación de la carga La ley de conservación de cargas dice que dado un sistema aislado no hay cargas que se creen ni se destruyan, sino que la carga se conserva. Unidades de carga eléctrica En el Sistema Internacional la carga eléctrica se mide en coulomb. Un coulomb es una unidad de carga grande por lo que es común usar submúltiplos como el micro coulomb (1 μc = C). El signo de la carga eléctrica indica si se trata de carga negativa o positiva. Carca eléctrica del electrón La carga eléctrica de un electrón es aproximadamente 1,6 x coulomb. La carga eléctrica de un material siempre es múltiplo de la carga eléctrica de un electrón. Fuerza eléctrica Entre dos o más cargas aparece una fuerza denominada fuerza eléctrica cuyo módulo depende del valor de las cargas y de la distancia que las separa, mientras que su signo depende del signo de cada carga. Las cargas del mismo signo se repelen entre sí, mientras que las de distinto signo se atraen. La fuerza entre dos cargas se calcula como:

12 F E = Fuerza eléctrica [N] q 1, q 2 = Valor de las cargas 1 y 2 [C] d = Distancia de separación entre las cargas [m] La fuerza es una magnitud vectorial, por lo tanto además de determinar el módulo se deben determinar la dirección y el sentido. Dirección de la fuerza eléctrica Si se trata únicamente de dos cargas, la dirección de la fuerza es colineal a la recta que une ambas cargas. Sentido de la fuerza eléctrica El sentido de la fuerza actuante entre dos cargas es de repulsión si ambas cargas son del mismo signo y de atracción si las cargas son de signo contrario. Fuerzas originadas por varias cargas sobre otra Si se tienen varias cargas y se quiere hallar la fuerza resultante sobre una de ellas, lo que se debe hacer es plantear cada fuerza sobre la carga (una por cada una de las otras cargas). Luego se tienen todas las fuerzas actuantes sobre esta carga y se hace una suma de fuerzas, con lo que se obtiene un vector resultante. Campo eléctrico El campo eléctrico existe cuando existe una carga y representa el vínculo entre ésta y otra carga al momento de determinar la interacción entre ambas y las fuerzas ejercidas. Tiene carácter vectorial (campo vectorial) y se representa por medio de líneas de campo. Si la carga es positiva, el campo eléctrico es radial y saliente a dicha carga. Si es negativa es radial y entrante. La unidad con la que se mide es: La letra con la que se representa el campo eléctrico es la E. Al existir una carga sabemos que hay un campo eléctrico entrante o saliente de la misma, pero éste es comprobable únicamente al incluir una segunda carga (denominada carga de prueba) y medir la existencia de una fuerza sobre esta segunda carga. Algunas características En el interior de un conductor el campo eléctrico es 0. En un conductor con cargas eléctricas, las mismas se encuentran en la superficie.

13 Determinación del campo eléctrico Existen básicamente dos formas de determinar el valor del campo eléctrico. La primera es utilizando una carga de prueba y la segunda es conociendo el valor de la carga que lo genera y la distancia a la misma. Con una carga de prueba Un primer caso es aquel donde no sabemos cual es la carga que genera el campo ni a que distancia se encuentra, entonces utilizamos una segunda carga de prueba. Por lo tanto, si sabemos que hay un campo generado por otra carga que no conocemos, ponemos una segunda carga cuyo valor conocemos y medimos la fuerza actuante sobre la misma. Debemos utilizar una carga (que por convención es positiva) muy pequeña de tal manera de que no modifique el campo eléctrico que medimos. Valor del campo E = Valor del campo eléctrico en ese lugar [N/C] F = Módulo de la fuerza que obtenemos [N] q 0 = Valor de la carga de prueba [C] Dirección del campo El campo tiene la misma dirección que la fuerza eléctrica. Sentido del campo Sabemos que los campos eléctricos son salientes de cargas positivas y entrantes a cargas negativas. Por lo tanto si la carga de prueba que estamos usando es positiva, la fuerza eléctrica tendrá el mismo sentido que el campo (alejándose de la carga positiva que lo genera). Conociendo la carga que lo genera Si conocemos la carga que genera el campo y a qué distancia se encuentra, podemos determinar el campo a una determinada distancia de la misma. Valor del campo E = Valor del campo eléctrico en ese lugar [N/C] q = Valor de la carga que genera el campo [C] d = Distancia a la carga [m] Sentido y dirección del campo Si la carga que lo genera es positiva el campo es radial y saliente. En cambio si es negativa es radial y entrante. Potencial eléctrico El potencial eléctrico en un punto representa el trabajo que debe realizar un campo eléctrico para mover una carga entre ese punto y otro punto tomado como referencia o bien el trabajo que debe realizar una fuerza para mover una carga en contra del campo eléctrico, desde el punto de referencia hasta el punto para el cual se mide el potencial. Cómo punto de referencia muchas veces se toma el valor de tierra. Normalmente se habla de diferencia de potencial o de tensión eléctrica, en dónde en vez de tomar un punto de referencia se toman dos puntos de un campo eléctrico.

14 Diferencia de potencial o tensión La diferencia de potencial entre dos puntos A y B de un campo eléctrico es un valor escalar que indica el trabajo que se debe realizar para mover una carga q 0 desde el punto A hasta el punto B. La unidad en la que se mide el potencial es el voltio o volt. Unidad de potencial Al ser una medida del trabajo por unidad de carga, una forma de definir al voltio es como joule / coulomb. Es decir que existe una diferencia de potencial de un voltio, cuando para mover un coulomb de carga entre dos puntos se debe realizar un trabajo de un joule. Es posible también expresar al voltio con otras realciones, como por ejemplo potencia eléctrica sobre corriente eléctrica. De esta manera: Si dos puntos entre los cuales hay una diferencia de potencial están unidos por un conductor, se produce un movimiento de cargas eléctricas generando una corriente eléctrica. Fuerza electromotriz Cuando se tiene una diferencia de potencial entre dos puntos, es decir una capacidad de producir corriente eléctrica y por lo tanto energía, se la suele denominar fuerza electromotriz (FEM). Se la mide en voltios. Potencial y campo Se puede establecer una relación entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico. La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico (el trabajo necesario para mover la carga de uno al otro) se puede definir también como el producto escalar del campo por la distancia. ΔV AB = Diferencia de potencial entre los puntos A y B [V] E = Campo eléctrico [N/C] d = Distancia entre A y B [m] θ = Ángulo entre el vector campo eléctrico y el vector distancia [grad. o rad] El campo eléctrico siempre apunta en sentido contrario al que crece el potencial. Si introducimos una carga q' en el seno de un campo eléctrico, la carga sufrirá la acción de una fuerza eléctrica y como consecuencia de esto, adquirirá cierta energía potencial eléctrica (también conocida como energía potencial electrostática). Si lo vemos desde una perspectiva más simple, podemos pensar que el campo eléctrico crea un

15 área de influencia donde cada uno de sus puntos tienen la propiedad de poder conferir una energía potencial a cualquier carga que se sitúe en su interior. A partir de este razonamiento, se establece una nueva magnitud escalar propia de los campos eléctricos denominada potencial eléctrico y que representa la energía potencial electrostática que adquiere una unidad de carga positiva si la situamos en dicho punto. El potencial eléctrico en un punto del espacio de un campo eléctrico es la energía potencial eléctrica que adquiere una unidad de carga positiva situada en dicho punto. donde: V=Epq' V es el potencial eléctrico en un punto del campo eléctrico. Su unidad en el S.I. es el julio por culombio (J/C) que en honor a Alesandro Volta recibe el nombre de Voltio. E p es la energía potencial eléctrica que adquiere una carga testigo positiva q' al situarla en ese punto. El hecho de que todas las magnitudes sean escalares, permite que el estudio del campo eléctrico sea más sencillo. De esta forma, si conocemos el valor del potencial eléctrico V en un punto, podemos determinar que la energía potencial eléctrica de una carga q situada en él es: Ep=V q Si introducimos una carga q' en el seno de un campo eléctrico, la carga sufrirá la acción de una fuerza eléctrica y como consecuencia de esto, adquirirá cierta energía potencial eléctrica (también conocida como energía potencial electrostática). Si lo vemos desde una perspectiva más simple, podemos pensar que el campo eléctrico crea un área de influencia donde cada uno de sus puntos tienen la propiedad de poder conferir una energía potencial a cualquier carga que se sitúe en su interior. A partir de este razonamiento, se establece una nueva magnitud escalar propia de los campos eléctricos denominada potencial eléctrico y que representa la energía potencial electrostática que adquiere una unidad de carga positiva si la situamos en dicho punto. El potencial eléctrico en un punto del espacio de un campo eléctrico es la energía potencial eléctrica que adquiere una unidad de carga positiva situada en dicho punto. donde: V es el potencial eléctrico en un punto del campo eléctrico. Su unidad en el S.I. es el julio por culombio (J/C) que en honor a Alesandro Volta recibe el nombre de Voltio. E p es la energía potencial eléctrica que adquiere una carga testigo positiva q' al situarla en ese punto.

16 El hecho de que todas las magnitudes sean escalares, permite que el estudio del campo eléctrico sea más sencillo. De esta forma, si conocemos el valor del potencial eléctrico V en un punto, podemos determinar que la energía potencial eléctrica de una carga q situada en él es: El potencial eléctrico del campo eléctrico creado por una carga puntual q se obtiene por medio de la siguiente expresión: donde: V es el potencial eléctrico en un punto. K es la constante de la ley de Coulomb. q es la carga puntual que crea el campo eléctrico. r es la distancia entre la carga y el punto donde medimos el potencial. Si observas detenidamente la expresión puedes darte cuenta de que: Si la carga q es positiva, la energía potencial es positiva y el potencial eléctrico V es positivo. Si la carga q es negativa, la energía el potencial es negativa y el potencial eléctrico V es negativo. Si no existe carga, la energía potencial y el potencial eléctrico es nulo. El potencial eléctrico no depende de la carga testigo q' que introducimos para medirlo. Ejemplo: Cuál es el potencial eléctrico creado por una carga puntual de -2 mc en un punto situado a 5 metros de ella en el vacío? Solución:

17 Potencial eléctrico creado por varias cargas puntuales Si el campo eléctrico es creado por varias cargas puntuales, el potencial eléctrico en un punto sigue el principio de superposición: El potencial eléctrico originado por n cargas puntuales en un punto de un campo eléctrico es la suma escalar de los potenciales eléctricos en dicho punto creados por cada una de las cargas por separado. O lo que es lo mismo: Diferencia de Potencial Eléctrico Si dos puntos de un campo eléctrico poseen distinto potencial eléctrico, entre ambos puntos existe lo que se denomina una diferencia de potencial o tensión, ΔV. Este valor se encuentra íntimamente relacionado con el trabajo eléctrico. Por definición, el trabajo que debe realizar un campo eléctrico para trasladar una carga q desde un punto A a otro B dentro del campo se obtiene por medio de la siguiente expresión: Si aplicamos la definición de potencial eléctrico, obtenemos que: Potencial Eléctrico y el Movimiento de las Cargas Si analizamos detenidamente la expresión de la diferencia de potencial: Tal y como vimos en el apartado del trabajo eléctrico, el trabajo realizado por una fuerza eléctrica para desplazar una carga q desde un punto A a otro B, sin presencia de fuerzas externas, es un valor positivo. Si estudiamos que ocurre si la carga q es positiva o negativa, obtenemos que: Por tanto: Las cargas positivas se mueven desde zonas de mayor potencial eléctrico a zonas de menor potencial eléctrico.

18 Las cargas negativas se mueven desde zonas de menor potencial eléctrico a zonas de mayor potencial eléctrico. Teniendo en cuenta que tal y como estudiamos en el apartado de intensidad del campo eléctrico, las cargas positivas se mueven en el sentido de dicha intensidad entonces, la intensidad de campo eléctrico se dirige siempre desde zonas de mayor potencial a zonas de menor potencial. La intensidad de campo eléctrico apunta siempre hacia potenciales decrecientes. Teorema de Gauss El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta dentro de la misma, dividida por. Supongamos una carga puntual q encerrada en una superficie S cualquiera Teniendo en cuenta que la carga eléctrica es discreta y que vale el principio de superposición queda probado que sólo contribuyen al flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada las cargas ubicadas dentro de la misma. Como además el campo generado por las cargas positivas y negativas tiene distinto sentido el flujo total del campo eléctrico multiplicado por ε0 será igual a la carga neta dentro de la superficie. Este teorema es muy importante pues aunque sólo relaciona las cargas dentro de una superficie cerrada con el flujo del campo eléctrico, puede utilizarse para calcular campos si se conoce la simetría del mismo y para importantes deducciones teóricas y prácticas. Potencial Eléctrico. Energía potencial. Calculemos el trabajo para llevar una carga puntual del punto A al punto B en contra del campo eléctrico o dicho en forma más simple Trabajo W= - E * d Es inmediato ver que para el campo electrostático creado por una carga puntual esta integral es independiente del camino de integración, ya que cada elemento puede descomponerse en la dirección radial desde la carga, que contribuye a la integral, y la perpendicular a la misma, que no contribuye. Una configuración cualquiera es siempre la superposición de efectos de cargas puntuales, ya que la carga eléctrica es discreta, por lo que finalmente puede concluirse que la integral de (E.8) es independiente del

19 camino (obviamente si eludimos puntos ocupados por cargas, que harían diverger la integral, u otros puntos singulares). Si esto se cumple dentro de un dominio simplemente conexo, esto asegura que en ese dominio el campo electrostático es conservativo y podrá derivarse de una función potencial. Definimos como potencial electrostático al trabajo por unidad de carga realizado en contra del campo electrostático y que se transformará en una energía potencial por unidad de carga, que podrá ser recuperada nuevamente en forma de trabajo. Este potencial suele indicarse con las letras V o Φ, (nosotros usaremos V), siendo: Ejemplos de aplicación: Campo eléctrico generado por una línea cargada Si λ (densidad lineal de carga en el hilo conductor) es constante y la línea cargada es de longitud infinita resulta Campo producido por un hilo rectilíneo cargado En este apartado, vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de λ C/m. El campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y y otra, a lo largo del eje horizontal X. dey = decosθdey=decos θ La componente horizontal X no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El elemento de carga dq situado en x y el elemento de carga dq situado en x producen campos

20 cuyos módulos son iguales y cuyas componentes horizontales son iguales y opuestas. El campo total es la suma de las componentes verticales Y El campo tiene por dirección la perpendicular a la línea indefinida cargada, tal como se indica en la figura de la derecha. Campo eléctrico producido por un anillo cargado En esta sección se calcula el campo eléctrico y el potencial producido por un anillo uniformemente cargado en un punto de su eje de simetría. Aplicaremos el resultado obtenido para calcular el campo y potencial producido por un disco de radio R, uniformemente cargado y finalmente, el campo producido por un plano indefinido, cuando el radio del disco se hace muy grande. Sin embargo, el campo y el potencial en un punto fuera del eje del anillo requiere el cálculo de integrales elípticas completas de primera y segunda especie. El anillo de radio a contiene una carga q uniformemente distribuida en su longitud. Potencial producido por el anillo en un punto z de su eje de simetría La carga q dista r del punto P, luego el potencial es --- Campo eléctrico producido por el anillo en un punto de su eje de simetría

21 Densidad de Carga volumétrica Podemos definir la densidad de carga eléctrica en una configuración volumétrica como: donde dq es un diferencial de carga eléctrica contenida en un diferencial de volumen dv. Las unidades de la densidad de carga volumétrica, haciendo un análisis de sus dimensiones, son: Por otro lado sabemos que el campo eléctrico puede ser expresado como: Densidad de carga superficial De manera similar, podríamos estar interesados en construir el campo eléctrico para una configuración de carga superficial. En tal caso la densidad de carga superficial tendríamos que definirlo como: donde dq es la diferencial de carga superficial y ds un diferencial de superficie. Un diferencial de carga eléctrica dq para un cuerpo con densidad de carga superficial produce un campo: pero de la densidad de carga superficial sabemos que: por lo que un diferencial de campo eléctrico para una configuración de carga superficial estará determinado como: Sin embargo, si estamos interesados en conocer cómo es el campo eléctrico para una distribución de carga superficial, al igual que en el caso de la configuración volumétrica, se hace necesario realizar la integración sobre toda la distribución: Por último, las unidades de la densidad de carga lineal quedaran definidas en:

22 Densidad de carga lineal Una configuración de carga, no menos interesante, es el caso de la distribución de carga lineal. La densidad de carga lineal es definido como: de línea. donde dq es un diferencial de carga lineal y dl es considerado un elemento diferencial Fenómenos electrostáticos Electrización Cuando a un cuerpo se le dota de propiedades eléctricas se dice que ha sido electrizado o cargado. La electrización por frotamiento permitió, a través de unas cuantas experiencias fundamentales y de una interpretación de las mismas cada vez más completa, sentar las bases de lo que se entiende por electrostática. Si una barra de caucho, de plástico o PVC (históricamente de ámbar) se frota con un paño de lana o una piel, se electriza. Lo mismo sucede si una varilla de vidrio se frota con un paño de seda. Aun cuando ambas varillas pueden atraer objetos ligeros, como hilos o trocitos de papel, la propiedad eléctrica adquirida por frotamiento no es equivalente en ambos casos. Así, puede observarse que dos barras de caucho electrizadas se repelen entre sí, y lo mismo sucede en el caso de que ambas sean de vidrio. Sin embargo, la barra de caucho es capaz de atraer a la de vidrio y viceversa. Este tipo de experiencias se conocían ya desde la época de la Grecia clásica. Fueron realizadas por Tales de Mileto, un filósofo griego que vivió en el siglo sexto antes de Cristo. Tales estudió el comportamiento de una resina fósil, el ámbar. No se realizo ningún progreso notable en la interpretación de este fenómeno hasta los alrededores del 1600, cuando Willian Gilbert ( ), medico de la reina Isabel I de Inglaterra, comenzó un estudio detallado de las distintas clases de sustancias que se comportaban como el ámbar, describió tales características como eléctricos (del nombre griego del ámbar, elektron). Gilbert llamo no eléctricos a los materiales en los cuales fue incapaz de encontrar esa fuerza de atracción, hay los llamamos a estos dos tipos de materiales como conductores y aislantes respectivamente. La siguiente etapa de importancia en el desarrollo de las ideas sobre las cargas eléctricas vino unos cien años más tardes, Charles Du Fay ( ) demostró que se podían distinguir, entre la electricidad que adquiere el vidrio (vítrea) y la que adquiere el ámbar (resinosa). Posteriormente Benjamín Franklin ( ) al tratar de explicar los fenómenos eléctricos consideró la electricidad como un fluido sutil, llamó a la electricidad «vítrea» de Du Fay electricidad positiva (+) y a la «resinosa» electricidad negativa (-). Tengamos en cuenta que el signo atribuido es arbitrario (y sin importancia), pero el establecer un convenio de signos nos permite introducir una formulación matemática muy concisa para los hechos experimentales. Las experiencias de electrización pusieron en manifiesto que: Cargas eléctricas de distinto signo se atraen y cargas eléctricas de igual signo se repelen. Una experiencia sencilla sirvió de apoyo a Franklin para avanzar en la descripción de la carga eléctrica como propiedad de la materia. Cuando se frota la barra de vidrio con el paño de seda, se observa que tanto una como otra se electrizan ejerciendo por separado fuerzas de diferente signo sobre un tercer cuerpo cargado. Pero si una vez efectuada la electrización se envuelve la barra con el paño de seda, no se aprecia fuerza alguna sobre el cuerpo anterior. Ello indica que a pesar de estar electrizadas sus partes, el conjunto pañobarra se comporta como si no lo estuviera, manteniendo una neutralidad eléctrica. Ley de Gauss Introducción El campo eléctrico producido por cuerpos cargados estáticos puede obtenerse por medio de dos procedimientos: la ley de Coulomb o mediante la ley de Gauss. La Ley de Gauss se la debemos a Karl F. Gauss ( ), el cual creo muchos de los fundamentos matemáticos de gran parte de la Física Teórica que se desarrollo a finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX. Ya hemos visto el método de la ley de Coulomb, veremos ahora la ley de Gauss. La ley de Coulomb es una forma simple y directa de expresar la fuerza eléctrica. Por otro lado la ley de Gauss es más sutil, más elegante y muchas veces más útil, requiere una sofisticación matemática mayor que la Ley de Coulomb. La ley de Gauss se expresa en términos de flujo del campo eléctrico o flujo eléctrico para ello es fundamental entender previamente el concepto de flujo. Concepto de Flujo Este concepto se origina en la Teoría de los Fluidos, donde flujo significa la rapidez con que in fluido pasa a través de una superficie imaginaria. El

23 flujo Φ de un campo vectorial involucra: el campo vectorial y una superficie en la cual el flujo es evaluado. Para obtener el flujo a través de una superficie representamos a la superficie mediante el vector superficie. Para una superficie plana el vector superficie ΔS r tendrá un modulo ΔS igual al área de la superficie y como dirección perpendicular a esta superficie paralela al plano determinado por los ejes X e Y, de dimensiones a * b y el flujo de un vector cualquiera por ejemplo g r (por ejemplo el campo gravitatorio). El flujo Φ será el producto escalar entre ambos vectores Φ = gxδs = g *ΔS * cosα r r siendo α el ángulo que forman los dos vectores entre si, como en este caso cero grado. El flujo será g * S * cos g * a *b * cos 0 g * a *b 0 Φ = Δ α = = Flujo eléctrico Definimos entonces el flujo eléctrico como ΦE de un campo eléctrico E r uniforme a través de una superficie ΔS como: ΦE = ExΔS = E * ΔS * cosα r r esto es valido para superficies planas El producto escalar tiene en cuenta la orientación de la superficie con respecto a la dirección del campo, siendo α el ángulo que forman el vector campo eléctrico y el vector de superficie El flujo eléctrico es una magnitud escalar, y su unidad en el Sistema Internacional es Si la superficie es curva o el campo eléctrico varía punto a punto sobre la superficie, el flujo se obtiene dividiendo la superficie en pequeños elementos, tan pequeños que puedan considerarse planos, y que el campo eléctrico no varíe en su superficie. El flujo total será la suma de todas las contribuciones de flujo a través de cada uno de los elementos de superficie. En el limite en que el tamaño de cada elemento se aproxima a cero y el numero de elementos a infinito, la suma se convierte en una integral: Enunciado de la ley de Gauss La ley de Gauss puede ser enunciada de la siguiente manera: el flujo eléctrico ΦE a través de una superficie cerrada arbitraria es igual a la carga neta encerrada por la superficie dividida por Expresada matemáticamente:

24 donde la superficie cerrada (superficie gaussiana) puede tener cualquier forma y tamaño y el termino q representa la carga neta contenida en el volumen que encierra la superficie. Si no hay ninguna carga dentro de la superficie gaussiana se puede prever que ΦE será igual a cero. Lo que tenemos que tener presente es que la carga neta, tomando en cuenta su signo algebraico tiene que ser cero. Si una superficie gaussiana encierra cargas iguales y opuestas, el flujo ΦE es cero. Las cargas que estén fuera de la superficie no intervienen para nada en el valor de q, ni tampoco intervine el lugar exacto donde se encuentren las cargas dentro de la superficie. La ley de Gauss se puede aplicar para evaluar a E r, si la distribución de cargas es lo suficientemente simétrica para que se pueda evaluar fácilmente la integral. De igual manera si E r se conoce para todos los puntos de una superficie cerrada se puede usar para calcular la carga interior. Si E r tiene una componente hacia afuera para cada punto de la superficie cerrada, se deduce que debe haber una carga positiva neta dentro de la superficie cerrada. Si E r tiene una componente hacia adentro para cada punto de la superficie cerrada, se deduce que debe haber una carga negativa neta dentro de la superficie cerrada. Ley de Gauss y la Ley de Coulomb La ley de Coulomb se puede deducir de la Ley de Gauss y de ciertas condiciones de simetría. Apliquemos la Ley de Gauss a una carga punto aislada q como la que vemos en la figura Aun cuando la ley de Gauss es válida para una superficie cualquiera, la información puede obtenerse sencillamente si consideramos una superficie esférica de radio r con centro en la carga. La ventaja de esta superficie que, por simetría, E r debe ser normal a ella y tener la misma magnitud en todo los puntos de la superficie. En la figura tanto E r, como ds r están dirigidos radialmente hacia fuera, el ángulo entre ellos es cero, entonces Flujo a través de una superficie arbitraria debido a una partícula cargada interior Consideremos ahora el flujo debido a una carga puntual q situada en el centro de una superficie gaussiana esférica de radio r En este caso tendremos Como el valor de ΦE es independiente del radio de la esfera, el flujo será el mismo para una esfera de cualquier radio. Por otra parte, cualquier superficie de forma arbitraria puede obtenerse como límite de un número infinito de casquetes esféricos y planes radiales infinitesimales, entonces podemos afirmar que el flujo eléctrico a través de una superficie gaussiana de forma arbitraria debido a una partícula cargada encerrada en su interior será siempre: Aplicaciones de la Ley de Gauss Veamos algunos ejemplos de la aplicación de la Ley de Gauss para obtener el campo eléctrico Campo debido a una distribución lineal de carga Buscaremos calcular el campo eléctrico E r cerca de un alambre, largo y recto, uniformemente cargado con una distribución lineal de carga λ, en un punto P, lejano a sus extremos Consideremos una

25 superficie gaussiana cilíndrica de longitud L coaxial con el cable cargado, y que la densidad lineal es L q λ =. El campo eléctrico es radial, como se ve en la figura Propiedades electroestáticas de un conductor En electrostática E = 0 r es dentro del conductor. Esto se debe ser así por dos motivos, por un lado la electroestática estudia los efectos producidos por cargas en estacionarias y cuando un conductor contiene portadores de carga que se mueven dentro de si solo cuando existe un campo eléctrico en su interior, en nuestro caso analizamos la situación donde los portadores de carga no se estén moviendo Dado que E = 0 r dentro de los conductores podemos utilizar la Ley de Gauss para determinar donde se aloja el exceso de carga en un conductor, en la figura vemos un conductor con una superficie gaussiana totalmente dentro de él, como E = 0 r en todas las partes dentro del conductor ΦE = 0 para toda la superficie y por lo tanto la ley de Gauss requiere que la carga neta también sea cero. Esto será cierto para cualquier superficie por grande que sea siempre que este contenida dentro del conductor. Esto quiere decir que no puede haber exceso de carga en ningún

26 punto interior del conductor: la densidad de carga volumétrica ρ debe ser cero para cualquier parte del conductor. Si la carga neta no puede estar dentro del conductor Dónde se ubican las cargas?. En la superficie, y distribuidas de manera que en el interior del conductor el campo eléctrico se anule. En general la densidad superficial de carga de un conductor variará con la posición en su superficie. Un conductor neutro, puede tener carga superficial positiva en una zona de su superficie y negativa en otro, de manera que la carga total neta sea cero.. En la zona exterior inmediata a la superficie el campo eléctrico debe ser perpendicular a ella, dado que si tuviera una componente tangencial, la misma provocaría que las cargas superficiales se moviesen en respuesta a la fuerza tangencial resultante. Por tanto, en un conductor en equilibrio en su superficie el campo es perpendicular. La dirección del campo será hacia fuera si las cargas superficiales son positivas, caso contrario, hacia adentro. Podemos calcular el valor del campo eléctrico utilizando la ley de Gauss tomando como superficie gaussiana una pequeña pastilla cilíndrica de caras paralelas a la superficie, esta superficie debe ser lo suficientemente pequeña como para que podamos despreciar las variaciones de E r y de la curvatura. Como vemos en la figura: En la cara paralela interior al conductor el campo es nulo, en la superficie lateral el campo es tangente a la misma, o sea que E r es perpendicular a ds r en todos los puntos y solo habrá flujo en la cara paralela externa. Podemos escribir: Como toda la carga encerrada esta en la superficie siendo la distribución superficial de cargas, aplicando la Ley de Gauss, nos queda: y reemplazando donde Movimiento de partículas cargadas en campos eléctricos uniformes Supongamos tener un campo eléctrico, y dentro del espacio afectado por el mismo colocamos una partícula cargada, de acuerdo a lo visto sobre esta partícula actuará una fuerza eléctrica Fe, la cual será igual a Fe= q.e, suponiendo que la fuerza eléctrica sea la única que afecte considerablemente a la partícula entonces aplicando la segunda Ley de Newton será: donde y considerando dos casos

27 Primer caso: Una partícula que esta inicialmente en reposo en un campo uniforme, en este caso se moverá con una aceleración constante a lo largo de una línea paralela al campo eléctrico E r, para analizar el movimiento consideramos a el campo eléctrico E r paralelo a el eje X, será entonces: La aceleración de la partícula Si expresamos la velocidad en función de la trayectoria nos queda Segundo caso: Una partícula que esta inicialmente con velocidad inicia 0 v entrando en una región de campo uniforme E r, en este caso se moverá con un movimiento similar al del tiro horizontal, para analizar el movimiento consideramos velocidad inicia 0 v paralela al eje X y al campo eléctrico E r paralelo a el eje Y, será entonces: