DERIVADAS. Isaac Newton ( ) Gottfried Leibniz ( )

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1 DERIVADAS Isaac Newton (64-77) Gottfried Leibniz (646-76) MATEMÁTICAS CCSS I º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

2 I) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO En este tema vamos a conocer y emplear un operador matemático muy útil, llamado derivada de una función, que opera sobre una función y da como resultado otra función (habitualmente más simple). Su utilidad radica en que, como veremos el próimo curso, el signo de la derivada de una función en un punto nos dirá si la función es creciente o decreciente en dicho punto; ello nos permitirá deducir, por tanto, los máimos y mínimos de la función, algo muy importante en infinidad de funciones etraídas de situaciones reales: pensemos en una función que represente los beneficios de una empresa, o el coste de fabricación de un determinado producto, etc. Concepto previo: pendiente de una recta Para entender qué es la derivada necesitamos repasar previamente en qué consistía la pendiente de una recta (tema ): La pendiente de una recta, que suele llamarse m, mide la inclinación de ésta, y se define (ver figura) como el cociente incremental siguiente: y m = = tg α () α α y Derivada de una función en un punto f (a): f(a+h) f(a) P α r Q α 0 f() Consideremos una función f() y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa =a. Supongamos que damos a la variable independiente un pequeño incremento h (en el dibujo lo hemos eagerado, para que se pueda ver la situación ); por lo tanto, nos desplazaremos a un nuevo punto Q de la curva próimo. Consideremos la tangente del ángulo que forma el segmento PQ con la horizontal: a h a+h f(a + h) f(a) tgα = () h Si h 0, el segmento PQ tenderá a confundirse con la recta r tangente a la curva f() en =a, es decir, los ángulos α y α 0 tenderán a ser iguales: f(a + h) f(a) tg α 0 = lim tg α = lim = f'(a) h 0 h 0 h () por () por definición Debido a (), la fórmula anterior -que en el fondo es un cociente incremental- nos da por tanto la pendiente de la recta tangente a la curva en =a. Esta fórmula se conoce como derivada de la función f() en el punto =a, y se designa como f (a); por lo tanto: «La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto», y se calcula mediante el límite dado por () Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

3 Observaciones: º) La derivada de una función en un punto puede resultar un número positivo, negativo o cero. Como veremos el próimo curso, su signo indicará el crecimiento de la función. º) Veamos una epresión alternativa para calcular la derivada: Supongamos que hacemos el cambio de variable a+h= si h 0, entonces a, con lo cual () queda como: f() f(a) f '(a) = lim (4) a -a Esta fórmula es, sin duda, más cómoda que (), y es la que más usaremos. Ejercicios final tema:, y II) FUNCIÓN DERIVADA f () Supongamos que nos piden la derivada de una función en, por ejemplo, diez puntos distintos. Haremos diez límites? Es evidente que no; para evitar tanto trabajo, vamos a definir la función derivada, que se designa como f (), y es la derivada en un punto genérico (y sustituiríamos a continuación en ella cada uno de los diez puntos); por lo tanto, se obtendrá reemplazando en () a por : f( + h) f() f '() = lim (5) h 0 h Observaciones: º) La función derivada, es decir, el límite anterior, da como resultado una función. Habitualmente abreviaremos diciendo simplemente derivada en vez de función derivada. º) La notación que nosotros seguiremos será la siguiente: Si la función a derivar se llama f(), entonces su derivada la denotaremos como f () y, y Utilizaremos indistintamente ambas notaciones. Ejercicios final tema: 4, 5 y 6 III) DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES (Tabla de derivadas) III.) Función constante: K y ' = 0 Es decir, «La derivada de una constante es siempre cero» NOTA: Esta derivada, y todas las de este apartado, pueden ser demostradas, pero ello ecede los límites de este curso. Todas estas reglas de derivación están recogidas en la tabla de derivadas que se adjunta al final del cuaderno. Ejercicio : Hallar la derivada de las siguientes funciones constantes: a) b) - Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

4 c) d) 0 f) π g) y=0,5 e) III.) Función identidad: y' = III.) Función de proporcionalidad directa: K y ' = k Ejercicio : Hallar la derivada de las siguientes funciones de proporcionalidad directa: a) b) f() = -5 c) 0,0 d) e) f) f() = g) - 5 h) i) f(t) = 7t III.4) Derivada de una potencia: n n y' = n (donde n R) Ejercicio : Hallar la derivada de las siguientes potencias: a) y= b) f()= d) f(t)=t 5 e) y= 00 c) y= 4 Este caso nos permite, dado que el eponente puede ser cualquier número real, abordar otros tipos de derivadas: Ejercicio 4: Demostrar la fórmula de la derivada de: a) b) a) b) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

5 Ejercicio 5: Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones, pasándolas previamente a forma de potencia: a) ( ) Sol : y ' = b) c) f() = 4 5 ( Sol : y ' = ) 4 4 ( Sol : y ' = ) 5 5 d) 5 ( Sol : y ' = ) e) f() = Sol : y ' = ( ) 5 f) Sol : y ' = 4 ( ) 7 III.5) K u y ' = k u ' donde u es función, es decir, «Las constantes multiplicativas pueden salir de la derivada» Ejercicio 6: Hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas: a) b) 4 c) f() = - 4 d) e) f) t g) - h) 4 ( Sol : y ' = 4 ) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

6 i) f() = 4 ( Sol : y ' = ) 4 8 j) 4 k) f(t) = -t 7 l) f() = m) 5 5 ( Sol : y ' = ) 5 III.6) Derivada de la suma (resta): u ± v y' = u' ± v' donde u y v son funciones Es decir: «La derivada de la suma (resta) es la suma (resta) de las derivadas» NOTA: Esta regla, lógicamente, se puede generalizar a más de dos sumandos. Esta regla, combinada con las anteriores, es muy útil para derivar polinomios, como puede verse en el siguiente ejemplo: Ejercicio 7: Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) f() = + b) c) d) e) f(t) = t 5 f) 4 g) 4 h) s(t) = t 4 t + i) j) k) f() = Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

7 l) ( + ) 4 m) + 5 (Sol: +5) n) + 5 (Sol: -+/5) o) ( ) p) 4 5 f() = q) 4 + (Sol: +) r) + s) f() = 0,05 0,00 + 0, 0,0 t) (Sol: ) III.7) Generalización de la derivada de una potencia a una función compuesta (Regla de la cadena): En el apdo. III.IV vimos que n n y' = n. Ahora vamos a generalizar esa fórmula para el caso en que la base no sea simplemente sino una función más general, que llamaremos u: n n u y ' = n u u' (donde n R) Esto se conoce como Regla de la cadena. Ejercicio 8: Hallar, utilizando la regla de la cadena, la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) ( + ) 5 b) ( ) c) ( ) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

8 d) ( 7) e) ( ) f) ( ) III.8) Derivada del producto: u v y' = u'v + u v' Esta regla se puede generalizar a tres o más funciones: u v w y' = u'v w + u v' w + u v w' NOTA: Para derivar un producto, una alternativa, a veces, es operar previamente hasta transformar en un polinomio, y luego derivar. Ejercicio 9: Hallar, utilizando la fórmula más adecuada en cada caso, la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) (+)(-) [de formas, y comparar] b) (-)(+) (Sol: +5) (Sol: +) c) f() = (+)(-5) d) f() = ( +)(-) e) ( -5)(-)+7 (Sol: 4-7) (Sol: 9 -+6) (Sol: 9 --5) f) (-) [de formas] (Sol: 8-) g) f() = (+) h) (,-0,00 ) i) ( -) (Sol: (+) ) (Sol: -0,00 +,) (Sol: 6-4) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

9 j) f(t) = 00t(-t) k) f() = (-4 -) l) ( t +t+) m) (-)(-)(+5) (Sol: t) (Sol: ) (Sol: (t +t+) (t+)) (Sol: ) n) f() = (-) 00 (Sol: 00(-) 99 ) o) f() = ( + ) ( -) III.9) Derivada del cociente: u u'v u v' y= y' = v v Ejercicio 0: Demostrar, utilizando la derivada del producto, la fórmula anterior (Ayuda: poner u/v como u v - ) Ejercicio : Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) b) c) d) - + = y f() = = + y y '= ( + ( ) ) 0 y'= ( ( ) ) 4 ( ( ) 6 y '= ) ) + y'= ( ( ) e) + + ( y '= ) Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital

10 f) g) f() = + ( ( ) (y'=) 4 + y '= ) Ejercicios final tema: 7 a NOTA: Lo que hemos calculado hasta ahora es la función derivada de una función dada, o más comúnmente llamada derivada de una función. Por lo tanto, por tratarse de una función, podemos también evaluar la derivada en un punto dado, obteniendo como resultado un número. Es lo que se conoce como derivada de una función en un punto, ya visto en el apartado I. Veamos, a continuación, un ejemplo: Ejercicio : Para cada una de las funciones que figuran a continuación, hallar el valor de su derivada en el punto indicado: a) f()= en = b) f()=-5 en = c) y= en =- d) f()= ++ en =0 e) y= - en =- Teto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital