DERIVADAS APLICACIONES

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1 DERIVADAS APLICACIONES MATEMÁTICAS II º Bachillerato Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

2 I) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO (ver pág. 56 del libro de teto) En este tema vamos a repasar y, naturalmente, ampliar, un operador matemático muy útil ya visto en el curso pasado, llamado derivada de una función, que operaba sobre una función y daba como resultado otra función (normalmente más simple). Su utilidad radica en que, como ya vimos someramente el curso pasado, el signo de la derivada de una función en un punto nos decía si la función era creciente o decreciente en dicho punto; ello nos permitía deducir, por tanto, los máimos y mínimos de la función, algo muy importante en infinidad de funciones etraídas de situaciones reales, y que veremos en este tema: pensemos en una función que represente los beneficios de una empresa, o el coste de fabricación de un determinado producto, etc. Concepto previo: pendiente de una recta Para entender qué es la derivada necesitamos repasar previamente en qué consistía la pendiente de una recta: La pendiente de una recta, que suele llamarse m, mide la inclinación de ésta, y se define como el cociente incremental siguiente: y m = = tg α () α α y Derivada de una función en un punto f (a): f(a+h) f(a) P α h r Q α 0 f() Consideremos una función f() y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa =a. Supongamos que damos a la variable independiente un pequeño incremento h (en el dibujo lo hemos eagerado, para que se pueda ver la situación ); por lo tanto, nos desplazaremos a un nuevo punto Q próimo. Consideremos la tangente del ángulo que forma el segmento PQ con la horizontal: a a+h f(a + h) f(a) tgα = () h Si h 0, el segmento PQ tenderá a confundirse con la recta r tangente a la curva f() en =a, es decir, los ángulos α y α 0 tenderán a ser iguales: f(a + h) f(a) tg α0 = lim tg α = lim = f '(a) h 0 h 0 h () por () por definición Debido a (), la fórmula anterior, que en el fondo es un cociente incremental, nos da por tanto la pendiente de la recta tangente a la curva en =a. Esta fórmula se conoce como derivada de la función f() en el punto =a, y se designa como f (a); por lo tanto: «La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto», y se calcula mediante el límite dado por () Por lo tanto, veremos en el apdo. V que la derivada nos permitirá hallar la ecuación de la recta tangente a una función en un punto dado.

3 Observaciones: º) La derivada de una función en un punto puede resultar un número positivo, negativo o cero. Como veremos en el próimo tema, su signo indicará el crecimiento de la función. º) Veamos una epresión alternativa para calcular la derivada: Supongamos que hacemos el cambio de variable a+h= si h 0, entonces a, con lo cual () queda como: f '(a) = lim a f() f(a) a (4) Esta fórmula es, sin duda, más cómoda que (), y es la que más usaremos. º) «Una función es derivable en un punto =a si f (a)» 4º) «Una función es derivable en un intervalo si lo es en todos los puntos de dicho intervalo» Ejercicios final tema (Repaso derivadas):, y Ejercicio libro: pág. 76: II) FUNCIÓN DERIVADA f () (ver pág. 58 del libro de teto) Supongamos que nos piden la derivada de una función en, por ejemplo, diez puntos distintos. Haremos diez límites? Es evidente que no; para evitar tanto trabajo, vamos a definir la función derivada, que se designa como f (), y es la derivada en un punto genérico (y sustituiríamos a continuación en ella cada uno de los diez puntos); por lo tanto, se obtendrá reemplazando en () a por : Observaciones: f( + h) f() f '() = lim (5) h 0 h º) La función derivada, es decir, el límite anterior, da como resultado una función. Habitualmente abreviaremos diciendo simplemente derivada en vez de función derivada. º) En Física se utiliza la siguiente notación incremental: f'() = lim 0 y, o bien, p. ej. ds v = dt º) La notación que nosotros seguiremos será la siguiente: Si la función a derivar se llama f(), entonces su derivada la denotaremos como f () y, y Utilizaremos indistintamente ambas notaciones. Ejercicios final tema (Repaso derivadas): 4, 5 y 6 Ejercicio libro: pág. 76: (Se recomienda ver el ejercicio resuelto de la pág. 7) Como veremos en el próimo tema, los puntos en que la derivada se anule resultarán muy interesantes, ya que serán los máimos o mínimos de la función.

4 III) DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES (pág. 59 libro de teto) III.) Función constante: K y ' = 0 Es decir, «La derivada de una constante es siempre cero» NOTA: Esta derivada, y todas las de este apartado, pueden ser demostradas, para lo cual nos remitimos al libro de teto. Todas estas reglas de derivación están recogidas en la tabla del final del tema. Ejercicio : Hallar la derivada de las siguientes funciones constantes: a) b) - c) d) 0 e) f) π g) y=0,5 III.) Función identidad: y' = III.) Función de proporcionalidad directa: K y ' = k Ejercicio : Hallar la derivada de las siguientes funciones de proporcionalidad directa: a) b) -5 c) 0,0 d) e) f) g) - 5 h) i) 7 III.4) Derivada de una potencia: n y ' = n n (donde n IR) Esta fórmula la demostraremos más adelante, en el apartado III.4, por derivación logarítmica (ver demostración en el libro, pág. 67) Ejercicio : Hallar la derivada de las siguientes potencias: a) y= b) y= d) y= 5 e) y= 00 c) y= 4 Este caso nos permite, dado que el eponente puede ser cualquier número real, abordar otros tipos de derivadas: Ejercicio 4: Demostrar la fórmula de la derivada de: a) b)

5 a) b) Ejercicio 5: Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones, pasándolas previamente a forma de potencia: a) b) 4 c) 5 d) e) f) Generalización de la fórmula anterior a una función compuesta: n n u y' = n u u' (donde n IR) (Esta fórmula la aplicaremos más adelante, en el ejercicio 8) III.5) K u y ' = k u' dondeu es función, es decir, «Las constantes multiplicativas pueden (Ver demostración en pág. 66 del libro de teto) salir de la derivada» NOTA: Este es un caso particular de lo que se conoce como "Derivada de la función compuesta" o "Regla de la cadena" (ver pág. 65 del libro de teto), según la cual la derivada de una función compuesta a su vez de u() es como la derivada de la función simple, pero multiplicada por u'. Este hecho se da en casi todos los casos de la columna derecha de la tabla de derivadas. Ejercicio 6: Hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas: a) c) - 4 b) 4

6 d) e) - 5 f) 6 g) - 4 h) j) 4 k) - 7 l) m) 5 i) 4 III.6) Derivada de la suma (resta): u ± v y' = u' ± v' donde u y v son funciones Es decir: «La derivada de la suma (resta) es la suma (resta) de las derivadas» (Ver demostración en pág. 65 del libro de teto) Obviamente, esta regla se puede generalizar a más de dos sumandos; de hecho, combinada con las reglas anteriores, es muy útil para derivar polinomios, como puede verse en el siguiente ejemplo: Ejercicio 7: Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) + b) c) n) d) e) f(t) = t 5 f) o) p) 0,05 0,00 + 0, 0,0 g) 4 h) 4 + i) j) k) l) + 5 m) + 5 q) r)

7 III.7) Derivada del producto: u v y' = u'v + u v' Esta fórmula la demostraremos más adelante, en el apartado III.4, por derivación logarítmica (ver demostración en el libro, pág. 66). Esta regla se puede generalizar a tres o más funciones: u v w y' = u'v w + uv' w + uv w' NOTA: Para derivar un producto, una alternativa, a veces, es operar previamente hasta transformar en un polinomio, y luego derivar. Ejercicio 8: Hallar, utilizando la fórmula más adecuada en cada caso, la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) (+)(-) [de formas] b) (-)(+) c) (+)(-5) d) ( -5)(-)+7 e) (-) [de formas] f) (+) g) (,-0,00 ) h) (-) i) f(t) = 00t(-t) j) (-)(-)(+5) k) ( -+)

8 l) 4 m) ( ) III.8) Derivada del cociente: u v u'v u v' y' = v Esta fórmula la podremos demostrar más adelante, en el apartado III.4, por derivación logarítmica (ver demostración en el libro, pág. 67). Ejercicio 9: Hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) b) c) d) e) f) g) + = y = + y Ejercicios final tema (Repaso derivadas): 7 a Ejercicios final tema (9 derivadas con solución): a 8 III.9) Derivada del logaritmo: log e a log y' = = a (DEM: pág. 67 libro) Lna GENERALIZACIÓN u' log e a log u y ' = = a u u' u Lna La más utilizada es la base e Ln y ' = (DEM: pág. 66 libro) GENERALIZACIÓN ln u y ' = u' u

9 Observaciones: º) Recordar del tema de logaritmos del curso pasado que, debido a la llamada "Fórmula del cambio de base", log ae Ln a= º) En algunos casos se recomienda, antes de derivar, desarrollar siempre que se pueda- aplicando las propiedades de los logaritmos (por ejemplo, en el ejercicio ) Ejercicios final tema (9 derivadas con solución): 9 a 4 III.0) Derivada de la función eponencial: a y ' = a Lna GENERALIZACIÓN u u a y' = u' a Lna (DEM: pág. 67 libro) Caso particular: a=e GENERALIZACIÓN = e y' e u u e y' = u' e (DEM: pág. 67 libro) Ejercicios final tema (9 derivadas con solución): 5 a 40 III.) Derivada de las funciones trigonométricas: sen y' = cos (DEM: pág. 67 libro) GENERALIZACIÓN senu y' = u' cosu cos y' = sen cosu y' = u' senu (DEM: pág. 68 libro) tg y ' = = + tg ; = sec cos (DEM: pág. 68 libro, o ejercicio 0 a) tg u u' tg u u'; u' sec y' = = + = u cos u ct g y ' = = + c tg ; = cosec sen ctg u u' y' = = + ctg u u'; = u' cosec u sen u (DEM: Ejercicio 0 b) Ejercicio 0: Demostrar la fórmula de la derivada de: a) y=tg a) b) y=ctg

10 b) Ejercicios final tema (9 derivadas con solución): 4 a 49 III.) Derivación implícita: (ver pág. 64 del libro de teto) Hasta ahora hemos derivado funciones en las que la y o la f() vienen epresadas eplícitamente, es decir, directamente. Pero, qué ocurre si la y está epresada implícitamente, es decir, no está despejada directamente, y, en el peor de los casos, además es imposible despejarla. Por ejemplo, en la epresión: y -4 +y =5 no podemos despejar y; ahora bien, es relativamente sencillo obtener y', utilizando la técnica llamada de derivación implícita, que consiste en derivar ambos miembros, teniendo en cuenta, cuando proceda, la derivada de una función compuesta. Veámoslo con el ejemplo anterior: y y'-8+(yy'+y )=0 y y'-8+6yy'+y =0 Despejamos y': y'(y +6y)-8+y =0 y'(y +6y)=8-y 8 y y' = y + 6y Por ejemplo, podemos evaluar y' en el punto P(,): 8 4 y'(,) = = = Ejercicios final tema (9 derivadas con solución): a 7 Ejercicios libro: pág. 75 y ss.: y 40 (Se recomienda ver también el ejercicio resuelto 9 de la pág. 74) III.) Derivada de las funciones trigonométricas inversas: (ver pág. 68 del libro de teto) arc sen y' = - (DEM: pág. 68 libro) GENERALIZACIÓN arc senu y' = u' - u arccos y' = - (DEM: pág. 68 libro) REGLA DE LA CADENA arccosu y' = u' - u arc tg y' = + (DEM: pág. 68 libro) arc tgu u' y' = + u arcctg y' = + arcctgu u' y' = + u

11 Vamos a demostrar, por ejemplo, la fórmula de la derivada del arc sen : arc sen = seny Derivamos implícitamente = y' cos y y' = cos y = (C.Q.D.) sen y + cos cos sen Ejercicio : Demostrar la fórmula de la derivada de: a) y=arc cos a) b) y=arc tg b) Ejercicios final tema (9 derivadas con solución): 97 y ss. Ejercicios libro: pág. 6: ; págs. 75 y ss.: a (Hallar derivadas); pág. 79: 70 y 7 (de aplicación real) (Se recomienda ver también los ejercicios resueltos de las págs. 60 y 7 del libro) III.4) Derivación logarítmica: (ver pág. 64 del libro de teto) Esta útil técnica sirve para derivar PRODUCTOS, COCIENTES, POTENCIAS, RAÍCES y EXPONENCIALES ya vistos fundamentalmente Consta de tres pasos, como veremos en los siguientes Ejemplos: a) y= n I) Tomamos Ln en ambos miembros y desarrollamos, aplicando las propiedades de los logaritmos: ln ln n = n ln II) Derivamos ambos miembros, teniendo en cuenta que la derivada del miembro izquierdo siempre va a ser, por derivación implícita, y'/y: y' y = ( nln ) ' = n

12 III) Finalmente, reemplazamos y por su equivalente y despejamos y': y' = n y = n n = n n (C.Q.D.) b) y=a ln lna y' y = y' = y lna = a ( lna )' = lna lna = lna (C.Q.D.) c) y= y' y = ( ln ) ' y' = y ln ln = ln + = ln = ln + ( + ln ) = ( + ln ) d) y=u v e) f) y=( +6) Soluc : y'= + 6 Ln ( ) ( ) + NOTA: En la práctica, la derivación logarítmica la utilizaremos solamente para derivar el caso u v, como en los ejemplos c y f anteriores. Ejercicios final tema (9 derivadas con solución): 8 a 7 Ejercicios libro: pág. 64: ; pág. 75: (Se recomienda ver también el ejercicio resuelto 6d de la pág. 7 del libro) IV) DERIVADAS LATERALES. CONTINUIDAD y DERIVABILIDAD (págs. 57 y 6 del libro) Recordemos que la derivada de una función f() en un punto a es la pendiente de la recta tangente a dicha función en ese punto, y se calcula mediante un cierto límite. Puesto que la derivada f ' (a) es un límite, cabe considerarla por la izquierda y por la derecha. Ello es útil particularmente en el caso de funciones definidas a trozos:

13 P + f'(a ) = lim a+ f() f(a) - a es la pendiente de la recta tangente r a la rama derecha en P s r f'(a ) = lim a f() f(a) - a es la pendiente de la recta tangente s a la rama izquierda en P =a Si ambas derivadas laterales coinciden, se dice que f() es derivable en a Observaciones: º) Gráficamente, una f() es derivable en un punto si no presenta ningún trazo anguloso en dicho punto, es decir, si ambas tangentes r y s coinciden. En el caso de una función definida a trozos, significa que ambas ramas engancharán "suavemente", es decir, sin presentar esquinas o trazos angulosos. En el gráfico anterior la función no es derivable en =a, mientras que en el siguiente sí lo es: s P r =a º) Para que una función sea derivable, previamente hay que cerciorarse de que es continua; ello es debido al siguiente Teorema: f() derivable en =a f() continua en =a (ver otra dem. en pág. 64 del libro) Dem: Consideremos la epresión lim a [ f( ) f(a) ] = lim ( a) = lim lim ( a) = 0 a f( ) f(a) a a f( ) f(a) a a = 0 El límite del producto es el producto de los límites =f'(a) [por ser f() derivable] Por lo tanto: [ ] (C.Q.D.) lim f() f(a) = 0 lim f() = f(a) f() continua en a a a NOTA: El recíproco no tiene por qué ser siempre cierto: una función (ejemplo A) puede ser continua en un punto y no ser derivable en dicho punto. Ahora bien, lo que sí es cierto es que si la función (ejemplo C) es derivable en un punto, necesariamente será continua. Lógicamente, también se cumple la negación del recíproco 4 : no continua no derivable (ejemplo B). Gráficamente, todo esto es obvio: Recordar que, según vimos en el apartado I, derivable significa que eiste derivada. 4 Piénsese en el siguiente ejemplo lógico: español europeo; por lo tanto, no europeo no español.

14 Ejemplo A Ejemplo B Ejemplo C =a =a =a CONTINUA (pero NO DERIVABLE) NO CONTINUA (y, por tanto, NO DERIVABLE) CONTINUA y DERIVABLE En resumen: - Si la función es continua en un punto, entonces ambas ramas "enganchan" en dicho punto (ejemplos A y C). - Si la función además es derivable, entonces ambas ramas enganchan "suavemente", es decir, sin presentar esquinas o trazos angulosos (ejemplo C solamente). º) En el caso de una función definida a trozos, a la hora de estudiar su derivabilidad en un punto tendremos que derivar cada rama; para ello, caben dos opciones: - Derivar ambas ramas mediante la definición de derivada, es decir, mediante un límite, o bien: - Derivar la epresión de cada rama directamente, mediante las reglas de derivación, y sustituir el punto en cuestión. Puede demostrarse que ambas opciones son, en la mayoría de los casos, equivalentes. Pros y contras de ambas?: obviamente, es más cómoda la segunda 5, pero hay contadas ecepciones en que no funciona 6. La primera opción, por su parte, aunque resulte frecuentemente más trabajosa, siempre es válida. Además, utilizar la segunda forma puede ser peligroso en ciertos casos en que la función no es continua: + si 0 f() = si < 0 f() = 4 si si = En ambos ejemplos puede comprobarse que, si derivamos directamente las dos ramas a ambos lados, coincidirá el resultado y, sin embargo, la función no puede ser derivable, ya que no es continua. Por tanto: CONSEJO: En general, hacer las derivadas laterales directamente mediante las reglas de derivación, pero cerciorarnos previamente de que la función es continua. 5 De hecho, en las reuniones de coordinación de la PAEG se ha indicado epresamente que se permite al alumno derivar directamente las ramas. 6 Por ejemplo, con sen si 0 f() = 0 si = 0 que es claramente continua en =0, no funciona el º método, pero sí el º, para ver que f'(0)=0

15 Ejercicio : Estudiar la derivabilidad de + f() = / si < si de dos formas: a) Utilizando la definición de derivada, es decir, mediante un límite. b) Derivando directamente cada rama. Comprobar que en ambos casos se obtiene idéntico resultado. Representar gráficamente la situación. a) b) Ejercicios final tema (Derivabilidad): a 9 Ejercicios PAEG: 4A sept 00, A sept 000, A jun 99, 4B jun 97 (sin parámetro) A sept 00, A jun 00, A sept 004, A sept 00, A jun 000, A sept 98, A jun 98, A sept 97 (con parámetro) Ejercicios libro: pág. 6: ; pág. 76 y ss.: 7, 8, 9, 0, 47, 49 y 64 (estudiar derivabilidad); pág. 6: ; pág. 76: 5, 6, 9 y 48 (con parámetro); pág. 76 y ss.: y 50 (con valor absoluto); pág. 76: 8 (estudiar derivabilidad a partir de la gráfica) (Se recomienda ver también los ejercicios resueltos 4 pág. 7 y 8 pág. 74 del libro) V) RECTA TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO (pág. 8 del libro) Recordatorio previo: recta en forma punto-pendiente Conviene previamente recordar que la ecuación puntopendiente de la recta que pasa por el punto (a,b) y tiene pendiente m es [ver figura]: y b = m( a) (6) α (a,b) y α m=tg α= y/

16 Ecuación de la recta tangente y normal: f(a) f() P(a,f(a)) tgte. Hay que recordar también que, como se vio en el apartado I, la derivada de la función f() en el punto de abscisa =a, la cual se designaba como f (a), es la pendiente de la recta tangente en dicho punto (a,f(a)); por lo tanto, la ecuación de dicha recta tangente [ver figura] en ese punto se obtendrá sustituyendo convenientemente en (6): a y f(a) = f'(a)( a) (7) Por otra parte, hay que recordar también que la recta normal, es decir, perpendicular, tiene pendiente inversa y cambiada de signo; por lo tanto, su ecuación será: y f(a) = ( a) (8) f' (a) Ejercicio : Hallar la ecuación de la recta tangente y normal en = a la curva f()= Dibujar la situación, e interpretar el resultado. (Sol: tangente y=-; normal y=-+5) Ejercicio 4: Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f()= Soluc : -7; + y + = 0-5 en = ( ) b) Soluc : + 4y + 4 = 0; 8 y +5 = 0 f () = en =- ( )

17 c) f() Soluc : ; = 0 = + en =0 ( ) d) Hipérbola y= en = Soluc : + 4; + e) f() = en = ( ) + Soluc : / ; = f) f() = en =0 g) Hallar las rectas tangentes a la circunferencia +y -+4y-4=0 en los puntos de abscisa = (Puede ser 4 interesante representar gráficamente la situación) Soluc : + 5 ; Ejercicios final tema (Derivabilidad): 0 a Ejercicios PAEG: B jun 004 Ejercicios libro: pág. 8: ; pág. 04: (f en eplícita); págs. 04 y ss.:,, 5,, 4, 0 y ; pág. 78: 6 y 68 (más elaborados) (Se recomienda ver también el ejercicio resuelto de la pág. 8)

18 VI) TEOREMA DE ROLLE 7 (Ver pág. 9 del libro) f continua en [a,b] f derivable en (a,b) f(a) = f(b) c (a,b) tal que f'(c) = 0 Con palabras: «Si una función es continua en un intervalo cerrado, derivable en el abierto, y toma el mismo valor en ambos etremos de dicho intervalo, eistirá entonces al menos un punto intermedio de tal intervalo en el que la derivada se anule» (Ver demostración en pág. 94 del libro; se impone el intervalo cerrado para la continuidad pero el abierto para la derivabilidad con el fin de evitar inconsistencias, como se eplica en la pág. 95 del libro). A a c f() B b Interpretación gráfica: Es obvia: Si la función tiene que evolucionar de forma continua y suave (i.e. derivable) desde A hasta B, puntos ambos a la misma altura, tendrá que haber al menos un punto en el que la tangente sea horizontal, es decir, la derivada se anule (NOTA: Puede eistir más de un valor intermedio c que verifique el teorema): TANGENTE f() a c b c c Aplicaciones: En combinación con el de Bolzano, permite demostrar la eistencia y el número máimo de raíces de una ecuación en un intervalo, así como su acotación. Ejercicios final tema (Derivabilidad): a 8 Ejercicios PAEG: B jun 006 (sencillo); A a, c sept 0; B a, c sept 0 (nº eacto de soluciones) Ejercicios libro: pág. 9: ; pág. 07 y ss.: 56, 60, 6, 64 y 67 (f eplícita); 58 y 66 (f definida por ramas) VII) TEOREMA DEL VALOR MEDIO (DE LAGRANGE 8 ) (Ver pág. 9 del libro) Es una generalización del teorema anterior, para el caso en que f(a) f(b): f continua en [a,b] f derivable en (a,b) f(b) f(a) c (a,b) tal que f'(c) = b a 7 Michel Rolle (65-79), matemático francés descubridor del teorema homónimo. Como dato curioso, también fue el introductor de la notación n para la raíz enésima. 8 Joseph-Louis de Lagrange (76-8), matemático y físico italiano naturalizado francés, a quien se debe el teorema homónimo.

19 Con palabras: «Si una función es continua en un intervalo cerrado y derivable en el abierto, eistirá entonces al menos un punto intermedio de tal intervalo en el que la tangente sea paralela a la cuerda que une ambos etremos del intervalo» (Ver demostración en pág. 94 del libro) A a B CUERDA AB f(b)-f(a) f() TANGENTE c b b-a Interpretación gráfica: Si la función tiene que evolucionar de forma continua y derivable desde A hasta B, tendrá que eistir al menos un punto intermedio en el que la tangente sea paralela a la cuerda AB que une ambos puntos de la función correspondientes a los etremos del intervalo. Ahora bien, dicha cuerda tiene como pendiente: f(b) f(a) b a Por lo tanto la tangente, por ser paralela, tendrá la misma pendiente, y recordemos que la pendiente de la recta tangente es la derivada. (NOTA: De nuevo, puede eistir más de un valor intermedio c que verifique el teorema): Aplicaciones: Este teorema no tiene aplicación práctica en sí mismo, pero es muy útil para demostrar otros teoremas. Ejercicios final tema (Derivabilidad): 9 y 40 Ejercicios libro: pág. 9: y 4; pág. 07: 59 (f eplícita); pág. 9: ; pág. 07: 57 y 6 (f definida por ramas) VIII) REGLA DE L'HÔPITAL 9 (Ver pág. 90 del libro) Se trata en realidad de un teorema, cuyo enunciado es: f() y g() derivables en = a f(a) = g(a) = 0 f() lim = a g() 0 / 0 lim a f'() g'() Dem: lim a f() g() f() f(a) f() f(a) = lim = lim a a g() g(a) a g() g(a) a = lim a f'() g'() (C.Q.D.) f(a)=g(a)=0 f() y g() derivables Observaciones: º) Puede probarse fácilmente que la regla también es válida si, y también para el caso / 9 Guillaume François Antoine, marqués de l'hôpital (66-704), matemático francés coautor, junto con su profesor, el suizo Johann Bernouilli, de la regla que lleva su nombre.

20 º) Esta regla sirve para deshacer, en la mayoría de los casos, la indeterminación 0/0 (o / ); se trata de derivar por separado numerador y denominador, y volver a tomar límites 0. º) Si volviéramos a obtener otra vez indeterminación, volveríamos a aplicar de nuevo L'Hôpital, y así las veces que sean necesarias (normalmente, no más de tres), hasta deshacer la indeterminación. Pero también puede ocurrir que, al aplicar L'Hôpital, se complique cada vez más la epresión resultante; en ese caso, este método no funciona, y habrá que recurrir a otros. 4º) Una vez aplicado L'Hôpital, podemos obtener un límite finito, pero también, o -. 5º) En la PAEG, y en el caso de que caiga un límite por L'Hôpital, suelen pedir al alumno que enuncie previamente la regla, y lo mismo en el caso de los teoremas de Bolzano, Rolle o Lagrange; en estos tres últimos, piden, además, la interpretación gráfica. 4 Ejercicio 5: Calcular lim de dos formas: a) Por Ruffini. b) Por L'Hôpital. Comprobar que en + ambos casos se obtiene idéntico resultado. a) Por Ruffini: b) Por L'Hôpital: 4 Ejercicio 6: Calcular lim + de dos formas, y comprobar que se obtiene idéntico resultado. Ejercicios final tema (Derivabilidad): 4 a 5 Ejercicios libro: pág. 90: y (indeterminación 0/0 o / ) 0 Esta regla no debe llevarnos a confusión: hay que derivar por separado numerador y denominador; en ningún caso se está diciendo que la derivada del cociente sea el cociente de las derivadas! (Error en el que suelen incurrir bastantes alumnos )

21 Recordemos de nuevo, del tema anterior, los 7 tipos de indeterminaciones: 0, ±, 0 (± ), -, ±, (± ) 0, ± Los dos primeros, aplicando la regla de L'Hôpital, se suelen deshacer en la mayor parte de los casos. En cuanto a los cinco restantes, se pueden reducir a los dos primeros, es decir, a un cociente, aplicando alguno de los siguientes procedimientos: º) Indeterminación A B = 0 (± ) En este caso suele funcionar transformar el producto en cociente, haciendo: A B = A / B o B A B = / A (lo que funcione y/o que resulte más cómodo de derivar después por L'Hôpital). Ejemplo: lim / ( 5 ) = (Soluc: ln 5) Ejercicios final tema (Derivabilidad): 5, 5 y 54 Ejercicio libro: pág. 9: 4 (indeterminación 0 ) º) Indeterminación A-B = - En la mayoría de los casos, operando la epresión A-B, la epresión se transforma en un cociente; cuando ello no resulte, alternativamente podemos probar a transformar la epresión en otra que responda al caso anterior, sacando factor común: A B = A B A o A A B = B B (lo que funcione y/o que resulte más cómodo de derivar después por L'Hôpital). Ejemplo: lim = 0 ln( + ) (Soluc: /) Ejercicios final tema (Derivabilidad): 56, 69 y 86 Ejercicio libro: pág. 06: 45 (indeterminación - )

22 º) Indeterminaciones A B = ±, 0 0, (± ) 0 B B lna Suele funcionar aplicar la epresión A = e (la cual se justifica fácilmente tomando neperianos en ambos miembros); tomando límites en ambos miembros, se obtiene la siguiente regla práctica: B lim A = e lim ( B lna ) con lo cual se convierte en una indeterminación del tipo 0 NOTA: Esta regla es mucho más práctica y general que la vista en el apdo. VII 5º del tema anterior Ejemplo: lim 0 ( cos ) / (Soluc: /e 6 ) Ejercicios final tema (Derivabilidad): 60 y ss. Ejercicios PAEG: B sept 99, A sept 000, 4A jun 00, A sept 00, B jun 005 repetido con A sept 000, A jun 008 (L'Hôpital) A jun 007, A sept 006 (L'Hôpital+continuidad) A jun 00 (L Hôpital+derivabilidad) Ejercicios libro: pág. 05 y ss.: 6 (indeterminación 0/0), 44 (indeterminación eponencial y 0 ), 70 (indeterminación eponencial) y 7 (indeterminación 0/0)

23 TABLA de DERIVADAS ELEMENTALES FUNCIONES SIMPLES FUNCIONES COMPUESTAS (Regla de la cadena) y=k y'=0 y= y'= y=k y'=k y=k u y'=k u' 4 y= n (n R) y'=n n- y=u n (n R) y'=n u n- u' 5 y=u±v y'=u'±v' 6 y=u v y'=u' v+u v' 7 u v u' v u v' y' = v 8 y' = u u' u 9 y' = u u' u 0 y n = derivarla como y= /n y n = u derivarla como y=u /n y=a y'=a ln a y=a u y'= u' a u ln a y=e y'=e y=e u y'=e u u' y=u v aplicar derivación logarítmica 4 y=log a y' log e lna = a = y=log u a y' u' log e a = = u u' u lna 5 y=ln y' = y=ln u u' y' = u 6 y=sen y'=cos y=sen u y'=u' cos u 7 y=cos y'=-sen y=cos u y'=-u' sen u 8 y=tg y' tg = + = y=tg u ( ) cos y' = + tg u u' = u' cos u 9 y=ctg y' ( ctg ) = + = 0 y=arc sen y' = y=arc cos y' = sen y' = + ctg u u' = y=ctg u ( ) y=arc sen u y' = u' u y=arc cos u y' = u' u u' sen u y=arc tg u' y' = y=arc tg u y' = + + u y=arc ctg u' y' = y=arc ctg u y' = + + u En esta tabla, k y n son números reales, a es un número real positivo, y u y v son funciones.

24 REPASO DERIVADAS º BACH. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO [f (a)]: Fórmulas: f(a h) f(a) f(a) lim h0 h () f(a) lim a f() f(a) - a (). Para cada una de las funciones que figuran a continuación, hallar el valor de su derivada en el punto indicado, utilizando la fórmula que se señala: a) f()= en = mediante () b) f()=-5 en = mediante () c) f()= en = mediante () d) f() en =4 mediante () e) f()=/ en =- mediante () f) f()= ++ en =0 mediante (). Volver a hacer el ejercicio anterior por la fórmula alternativa en cada caso, y comprobar que se obtiene idéntico resultado.. Hallar la derivada de f()= - en =. Dibujar la función y trazar la recta tangente en dicho punto. Hallar el ángulo que dicha tangente forma con OX + e interpretar el resultado. FUNCIÓN DERIVADA f (): Fórmula: f( h) f() f() lim h0 h () 4. Hallar la derivada de las funciones del ejercicio y sustituir el punto indicado en cada caso, para comprobar que se obtiene el mismo resultado. 5. Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, y a partir de ella obtener f (), f (-) y f (0): a) f()=- b) f()= -5+6 c) f()= + d) f() e) f() 6. Hallar la derivada de f()= - en = mediante la definición de derivada (es decir, mediante un límite) (Sol: -) REGLAS DE DERIVACIÓN. TABLA DE DERIVADAS: 7. Utilizando la derivada de la función potencial, y= n y =n n- (nir), hallar la derivada, simplificada, de las siguientes funciones: a) y= b) y= c) y= 4 d) y=- 5 4 e) y f) y 4

25 g) y h) y i) 4 y j) y k) y l) y m) y=- 6 8 n) 5 y o) y p) y q) y r) y 4 (Soluc: a) y =; b) y = ; c) y = ; d) y =-0 4 ; e) y =6 ; f) y =/; g) y' ; h) y' ; i) y' ; 4 j) - y' ; k) y' ; l) - y' ; m) y =- 5 ; n) y = 7 ; o) y' ; p) y' ; q) 9 y' ; r) - y' ) Utilizando la fórmula de la derivada de la suma de funciones, hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones: a) y= ++ b) y= c) 4 y d) y 5 (Soluc: a) y =+; b) y =6-6+5; c) y' ; d) y' ) Utilizando diversos casos de la tabla de derivadas, hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones compuestas: a) y b) f) y g) y c) y d) y ( ) e) y ( ) 0 4 y h) y ( ) i) y ( ) j) 4 y ( ) (Soluc: a) - y' ; b) y' ; c) y' ; d) y =4 -; e) y =(+)( ++) ; ( ) f) y' ; g) - y' ; h) y =60( +) 9 ; i) y =48( -) ; j) y' ) 4 ( - ) ( 4) ( ) 0. Utilizando la fórmula de la derivada del producto de funciones, hallar la derivada de las siguientes funciones (en algunos casos, también se recomienda simplificar la función antes de derivar, y comprobar que, una vez derivada, se obtiene idéntico resultado): a) y b) y ( )( 5) c) 4 y d) y ( ) e) y ( )( ) f) y (Soluc: a) y' ; b) y =6-6-0; c) 7 4 y' ; d) y' f) y' ) ( ) -6 ; e) y = ; 4. Utilizando la fórmula del cociente de funciones, hallar la derivada de las siguientes funciones: 4 a) 5 y b) y c) 5 y d) y e) ( ) y

26 (Sol: a) 4 5 y' ; b) 4 5 y' ; c) ver 7 r; d) -8 y' ( ) ( 5) ; e) 4 y' ) ( ) ( ) u u v. Hallar la fórmula para la derivada de y e y, siendo u, v y w funciones. v w w

27 40 DERIVADAS con solución º BACH. Hallar las derivadas simplificadas de las siguientes funciones:. y= (y =0). y= (y =). y=5 (y =5) 4. y=- (y =-) 5. y= (y =4 + ++) 6. y= (y =6 - +6) y 4 4 y ' y=( ++) (y =(+)) 9. y=4( - +5)+ + (y =6-4) y (y = -+). y=( +) ( -4) (y = ). y=/ (y = -/ ). y=/ (y`= -/ 4 ) 4. y=/ 5 (y = -5/ 6 ) 5. y y' 4 6. y y' 7. y y' 8. y 5 9. y 5 6 y' 5 5 y' y=(+) 5 (y =5(+) 4 ). y=( -+) (y = ( -+) (4-)). y=( +) 00 (y =00 ( +) 99 ). y y' ( ) 4. y y' ( ) 5. y 4 4 y' ( ) 6. y 4 7. y 8. y ( ) 9. y=log 4 0. y=ln (y =/) 44( ) y' 5 ( 4) y' y' y' log 0e ln0. y=log - 4ln 4 loge y'. y=ln( +4+5) 6 4 y' 4 5. y ln y' 4. y ln( ) y' ( ) ln( ) 5. y= y 5 y e 8. y=e - (y = -/e ) 9. y e / 40. y 0 4. y=sen 4. y=sen 4. y=sen (y = sen ) 44. y= sen 45. y=sen( -+) 46. y cos sen y'

28 47. y=sen ( +) (y =6 sen ( +) cos( +)) 48. y tg 49. ctg( +) y' y' tg sen ( ) y (y =- + ++/ ) 4 5. y=/ (y =-/ ) 5. y= sen ( +) y' 4 cos( ) 5. y=( -+) ( +-) (y =(4 -+)) 54. sen y cos y' y' ( ) y 56. y=/ (y =/) 57. y ln 4 9 y' y=ln (+) ln ( ) y' 59. y=( -)( -)( +) (y = ) y y' 6. y=ln ln y' 6. y=ln (y =/) 6. y=( +)(+) (y = ) 64. ln ln y y' y 66. y Lnsen 67. y sen Ln y 69. y e sen 4 5 y' 5 ( ) y' y ln y' ln tg 7. y 7. y 7. y cos (e ) y' ( ) y 75. y tg ( Ln ) 76. y log ( 5) 4 y' y (y = -) y y' y ( ) y' y=ln(-) y' 8. y 4ln (y =/) 8. y 4ln y' ln 8. y 7 y' 84. y ln ln y' 85. y ln y' ( )( ) 86. y=ln(+)log(-) log( ) ln( ) loge y' 87. y=ln(ln) y' ln 88. y 6 y' ln( ) ( ) ln ( ) 89. y ( ) ( ) y y 7 5 ln( 5) y y' ( ) 5 y' ( ) 4 ln( 5) y' ln ( 5) e y ' e 9. y=e (y =(+)e ) e 94. y y ln 4 y 97. y arc sen ( 4) e ( ) y' ln y' ln 4 y' ( ) y' 4 8 5

29 y arc cos y y' y' (6 ) (6 ) 00. y ( arc tg ) y' 0. y arc tg 0. y ( 4 7 6) e 4 y' y' ( )e 0. y arc sen y' 04. y arc tg e e y' e y=arctg y'= ln ln y y'= y ln y' 08. y arc sen y' y ( ) 0. y arc tg e. 5 y 4. arc sen ( +). y arc cos 5 5 y' 8 y'= ( 4) 4. y 5 5. y arc tg 4 6. y ( ) 4 y' 4 y' 4 7. y ( ) ln( ) (y = +ln(+)) 8. y ( ) 9. y' 5 ( ) y ( ) 0. y - Derivación implícita: Hallar, por derivación implícita, la derivada de las siguientes funciones:. y +y+5=0 y y'= y. y+y =y+ y y y'= y. +y -y= y y'= y 4. y y Hallar, por derivación implícita, la derivada de las siguientes funciones, en los puntos que se indican: 5. -y =y en P(,0) y'= ; y '(P) y 6. +y ++y=6 en Q(-,-/) y'= ; y '(Q) y y 7. y en el origen y y'= ; y '(O) 0 4y

30 Derivación logarítmica: Hallar, por derivación logarítmica, la derivada de las siguientes funciones: 8. y= (y =(+ln) ) 4. y y' ( ln ) 9. y= / y' ln 5. y ( ) y' ( ) ln( ) 0. y=(sen ) sen (y =[cos ln(sen )+cos ](sen ) sen ) 6. y=(sen ) /. y=(sen ) cos (y =[-sen ln(sen )+ctg cos ](sen ) cos / lnsen ctg y' (sen ) ). y=(sen ) (y =(ln sen + ctg ) (sen ) ). y=(e ) sen (y =(sen + cos ) e sen 7. y sen sen y' cos ln sen Ejercicios varios: 8. (S) Dada la función f()=ln +sen sen se pide: a) Determinar los valores de para los que está definida. b) Hallar su derivada. (Soluc: π/+nπ con nz; f'()=/cos ) 9. (S) Un observador se encuentra a 000 metros de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que φ'(t)=/0 radianes por segundo cuando φ=π/, se pide: a) Cuál es la altura del cohete cuando φ=π/ radianes? b) Cuál es la velocidad del cohete cuando φ=π/ radianes? (Soluc: 000 m.; 400 m/s) 40. (S) Hallar la derivada vigésimo cuarta de y=a sen b para a y b constantes. (Soluc: y (4) =ab 4 sen b)

31 9 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD º BACH. Derivabilidad y continuidad:. Dada si 0 f() = si < 0 (Soluc: / f'(0)), se pide: a) Estudiar su derivabilidad en =0 b) Representarla.. Ídem con si f() = 4 si < en = (Soluc: f'()). Estudiar la derivabilidad de f()=. Representarla gráficamente. (Soluc: / f'(0)) 4. Ídem con: a) + + > si f() = 4 si b) si f() = 5 si = 5. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: a) f()= en (0,) b) f()=/ en (-,) c) f() = 4 + en (0,4) d) si < 0 f() = / si en su Dom(f) 6. Dada f() =, se pide: a) Dibujarla. b) Estudiar su continuidad y derivabilidad. 7. Estudiar la derivabilidad de la función f() = (Soluc: derivable R-{0}) 8. (S) Estudiar la derivabilidad en = de la función si f() = si > Hacer la gráfica. (Soluc: no es derivable porque no es continua) 9. (S) Dada la función si 0 f() = si > 0 es derivable en =0? Es continua en =0? (Soluc: no es derivable ni continua en =0)

32 - 0. En la figura izquierda aparece la gráfica de una función f() definida a trozos. Se pide: a) Estudiar su continuidad. b) Estudiar su derivabilidad. c) Hallar f '(-), f '(0), f '(), f '() y f '(). En la figura derecha se ha representado la gráfica de una función f() definida por ramas. Calcular f '(-), f '(), f '() y f '(). -. Dada f()= -, se pide: a) Epresarla como función definida a trozos. b) Estudiar su derivabilidad en = c) Representarla. (Soluc: f'()). (S) Representar gráficamente la función y= -7+0 e indicar en qué puntos no es derivable. (Soluc: no es derivable en = 5) 4. Estudiar la derivabilidad de f()= - +. Representarla. (Soluc: f'(0); f'()) 5. (S) Determinar a y b para que sea continua la función + < si 0 f() = a + b si 0 5 si > La función que resulta es derivable? Representarla gráficamente. (Soluc: a=- y b=; no derivable) 6. (S) Calcular a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R: (Soluc: a= y b=-7) + a si f() = b 4 si > 7. (S) Hallar a y b para que la función + a si < f() = a + b si < 0 + si 0 sea continua. Para esos valores de a y b estudiar la derivabilidad. Representarla gráficamente. (Soluc: a=b=; para esos valores es derivable en =- y no lo es en =0) 8. (S) Sea si f() = a + b( ) si >

33 Para qué valores de a y b es continua la función? Para qué valores de a y b es derivable? Representarla gráficamente. (Soluc: continua para a= y b; derivable para a= y b=-) 9. (S) Dada la función a si f() = si > a a) Para qué valores del parámetro a es continua? (Soluc: a= y a=) b) Para qué valores de a es derivable? Representarla en este caso. (Soluc: Sólo para a=) Recta tangente y normal: 0. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva f()= -- en el punto de abscisa. Dibujar la situación, e interpretar el resultado. (Sol: tangente -y-7=0; normal +y+4=0). Ídem para f() = + en =0 (Sol: tangente =0; normal y=). Hallar la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a) f()= +8 en = (Soluc: 6-y+5=0) b) y= 5 +4 en =- (Soluc: 0-y+=0) c) f()= 4 - en =0 (Soluc: y=-) d) y +y=4 en P(0,) (Soluc: y=-+) e) y=ln en = (Soluc: y=-) f) y -4 y+4=0 en = (Soluc: =) g) (S) = + en =0 (Soluc: y=) f() h) f() = en = (Soluc: y=-+0) i) +y+y --y=6 en =- y ordenada estrictamente positiva (Soluc: y=-+) j) f() = ( + ) en =0 (Soluc: y=-+) k) f()=(- )e en =0 (Soluc: y=). En qué punto de la gráfica de la parábola f()= -6+8 la tangente es paralela al eje de abscisas? Qué nombre recibe ese punto? Cuál es la ecuación de la tangente? Dibujar ambas curvas. (Soluc: y=-; vértice (,-) ) 4. En qué punto de la gráfica de la función anterior la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? Dibujar la situación. (Soluc: 7/,-/4)

34 5. (S) Determinar los puntos de la curva y= en los cuales la tangente es paralela a la recta y=+5 (Soluc: (,6) y (-7,76)) 6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y= -5+6 paralela a la recta y=-+ Cuál es el punto de tangencia? Hacer un dibujo de la situación. (Sol: y=-+5; P(,)) 7. Hallar las coordenadas de los puntos de f()= en los que la recta tangente a la gráfica de esa función es horizontal. (Soluc: (,-9), (-,) y (-,8)) 8. Hallar los puntos en que la tangente a la función + es: a) Paralela al eje OX b) Paralela a la recta y=5+ 9. (S) Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva ( + ) en el punto (,) (Sol: y=) 0. (S) Escribir la ecuación de la recta tangente a la hipérbola y= en el punto de abscisa =. Representar ambas curvas. (Soluc: +9y-6=0). (S) Se da la curva de ecuación y=/. Comprobar que el segmento de la tangente a dicha curva en el punto (,/), comprendido entre los ejes de coordenadas, está dividido en dos partes iguales por el punto de contacto. (Soluc: la tangente, +9y-6=0, corta a los ejes en (0,/) y (6,0), y su punto medio es (,/)) Teorema de Rolle:. Dadas las siguientes funciones, estudiar si se verifican las hipótesis del teorema de Rolle en los intervalos que se indican. En caso afirmativo, hallar el valor o los valores de dicho intervalo en que se verifica el teorema: a) f()= en [-,] (Soluc: c=0) b) 4 + en [0,4] (Sol: c=-+ ) c) y= en [-,] (Sol: no deriv. en =0) d) f()= -4+ en [,] (Soluc: c=) e) e + e en [-,] (Sol: c=0) f) + en [-,] (Sol: no deriv. en =0) g) + ( ) en [0,] (Soluc: c=6/5) h) en [-,] (Sol: no cont. en =0) i) y=7+ (+) en [-,0] (Soluc: c=-/) j) f()= en [-,] (Soluc: c=). (S) Dada la función f()= -4, estudiar si se verifican las hipótesis y el teorema de Rolle en [-,] (Soluc: no es derivable en =) si [0,] 4. Enunciar el teorema de Rolle. Estudiar si es aplicable a f() = en [0,6]. En caso 0 + si (,6] afirmativo, hallar el valor intermedio en que se verifica. Interpretar gráficamente el resultado. 5. (S) Estudiar si es aplicable el teorema de Rolle a la siguiente función en su dominio de definición:

35 + si < f() = 7 si 5 (Soluc: no, pues no es continua en =) 6. Estudiar si f() = verifica las hipótesis del teorema de Rolle en [,] (Soluc: c=0) si si > 7. Estudiar si es aplicable el teorema de Rolle a la siguiente función en su dominio de definición: + 5 si f() = si < 5 (Soluc: no, pues no es derivable en =) 8. Calcular a, b y c para que + a si f() = cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en [-,5]. b + c si < 5 Dónde cumple la tesis? (Soluc: a=0/, b=-8/, c=9; en 5/) Teorema del valor medio de Lagrange: 9. Dadas las siguientes funciones, i) Enunciar el teorema del valor medio. ii) Estudiar si se verifican las hipótesis del teorema en los intervalos que se indican. En caso afirmativo, hallar el valor o los valores de dicho intervalo en que se verifica el teorema. iii) Interpretar gráficamente el resultado. a) f()= en [0,4] (Soluc: c=) b) y= -+ en [,5] (Soluc: c=7/) c) f()=(-) (+) en [0,4] Soluc : c = + d) si [0,) f() = si [,] en su Dom(f) (Soluc: c=) e) si < 0 f() = / si Soluc : c = / y c = en su Dom(f) ( ) si < 4 f) f() = si 4 en [,5] (Soluc: c=7/4) g) y=(-)(+) ± 7 +4 en [-,] Soluc : c = h) f()= -- en [-,] Soluc : c = ±

36 i) f()=ln(+) en [,] Soluc : c = ln ln j) f()= +5 en [0,] k) y=- en [-,] l) f()=4-5+6 en [0,] 40. Dada f() = + a + b si < + si a) Hallar a y b para que cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en [-,5]. (Soluc: a=0, b=) b) Hallar el valor o los valores intermedios que verifican el teorema. (Soluc: =/) Regla de L Hôpital: e lim =. Enunciar previamente la regla. lim e 0 ln = e e e lim = lim 0 cos = lim = 0 e lim 0 0 sen = 6 sen lim = + sen 4 lim (*) 5. (S) sen = sen lim = 0 tg lim = sen 0 lim lim ln = = ln + lim ( cos) ctg = π 4 lim ( ) tg = π 55. lim = 56. (S) lim = 0 sen lim sen = 58. lim sen = 59. ( ) lim e = 0 / (S) lim ( ) = lim + = e 6. (S) /cos lim (+ cos) = e π 6. (S) lim = 64. (S) tg lim + = /sen 65. (S) + tg lim = 0 + sen 66. (S) ln( + ) sen lim = 0 sen 67. (S) (*) ( ) 68. (S) 69. (S) 70. (S) 7. (S) 0 / / lim e + e = e n lim = 0 (n Ν) e lim 0 = ln sen( ) arctg lim = arcsen lim 0 sen = 6

37 7. (S) 7. (S) 74. (S) 75. sen lim = 0 ln(cos ) 0 0 ( )e ( + ) lim = 0 lim 0 cos cos = ln lim = ( ) lim + e = e 0 sen lim + = 78. lim ( cos ) = e 6 sen e lim = lim (sen ) = e lim = cos 8. ( ) 84. lim cos = 0 0 sen lim = 85. lim lim 0 π = e = e sen lim ( π )cos 88. lim ( ln ) ( ) lim + e = 80. sen 0 lim = 90. El curso pasado obtuvimos el número e a partir del siguiente límite : e = lim +, Demostrar que lim = e = (Ayuda: Se recomienda aplicar la regla A B =e B lna ) e 9. Hallar el valor de a para que lim lim 4 = π a Soluc : a = π También se obtiene mediante la siguiente suma infinita: e = = = , n!!!! 4! 6 4 n= 0