COLEGIO INTERNACIONAL SEK Prof. Álvaro Elizondo Montoya. TEMA: ECUACIONES CUADRÁTICAS. Nombre: Fecha: Grupo: 9 ECUACIONES CUADRÁTICAS.

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1 COLEGIO INTERNACIONAL SEK Prof. Álvaro Elizondo Montoya. TEMA: ECUACIONES CUADRÁTICAS. Nombre: Fecha: Grupo: 9 ECUACIONES CUADRÁTICAS. Denición: Llamadas también ecuaciones cuadráticas son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma general donde a b c son llamados coecientes. ax + bx + c = 0; a 0 y a b c R Si los coecientes a b y c son diferentes de cero la ecuación de segundo grado es llamada completa y si b ó c o ambos son iguales a cero la ecuación es llamada incompleta. Si a = 0 la ecuación se reduce a una ecuación lineal. Toda ecuación de segundo grado presenta dos soluciones o raíces llamémoslas x y x sin embargo no siempre estas raíces corresponden a números reales. Estas raíces se pueden obtener mediante el siguiente método. Método de la fórmula general: De la ecuación ax + bx + c = 0 se deduce que: ax + bx + c = 0 Ecuación original con a 0. ax + bx + c a = 0 a x + b a x + c a = 0 Divido ambos miembros entre a. Simplico. x + b a x = c a x b + a x + b a = c a + b a x b b + a x + = b a a c a x + b = b ac a a x + b a = ± b ac a x = b a ± b ac a x = b ± b ac a Reacomodo. Sumo b en ambos miembros. a Reacomodo. Simplico. Aplico la raíz cuadrada. Despejo x. Simplico.

2 En resumen las soluciones de una ecuación cuadrática del tipo ax + bx + c = 0 a 0 son: x = b + b ac a x = b b ac a Se dene la cantidad subradical: b ac como el discriminante invariante característico de la ecuación cuadrática y se denota por el símbolo luego: = b ac Discusión sobre las raíces de una ecuación de segundo grado: Las raíces x y x de una ecuación de segundo grado: ax + bx + c = 0; a 0 dependen del valor del discriminante. Asumiendo que a Q b Q y c Q se tiene:. Primer caso: Si > 0 entonces las raíces x y x son reales y diferentes. Ahora bien en este caso se presentan dos situaciones: a Si es un cuadrado perfecto las raíces x y x son racionales. Y se puede hallar la solución factorizando por inspección o bien aplicando la fórmula general. b Si no es un cuadrado perfecto las raíces x y x son irracionales conjugadas.. Segundo caso: Si = 0 entonces las raíces x y x son reales e iguales raíz de multiplicidad donde: x = x = b a En este caso la ecuación puede ser resuelta factorizando por el método del trinomio cuadrado perfecto o bien aplicando la fórmula general. 3. Tercer caso: Si < 0 entonces la ecuación no tiene raíces reales tiene dos raíces complejas para cuya obtención se requieren conocimientos de cursos superiores por ello diremos que el conjunto solución de la ecuación en este caso es S = ó S = { } en el entendido de que la ecuación no tiene soluciones reales. Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado. Sea la ecuación de segundo grado: ax + bx + c = 0; a 0 y sus raíces x y x tendremos las siguientes propiedades:. Suma de las raíces: x + x = b a

3 . Producto de las raíces: x x = c a 3. Diferencia de las raíces: x x = b ac a = a. Suma de los cuadrados de las raíces: x + x = b ac a 5. Identidad de Legendre aplicada a las raíces: x + x x x = x x Construyendo una ecuación de segundo grado conociendo sus raíces. Conociendo las dos raíces x y x de una ecuación de segundo grado ésta se construye empleando la suma y el producto de dichas raíces. Luego la ecuación que dio origen a x y x es: x x + x x + x x = 0 llamada también: forma canónica de la ecuación de segundo grado. Propiedades adicionales de las raíces:. La ecuación de segundo grado: ax + bx + c = 0; a 0 tiene raíces simétricas es decir x = x si b = 0.. La ecuación de segundo grado: ax + bx + c = 0; a 0 tiene raíces recíprocas es decir x = x si a = c. 3. La ecuación de segundo grado: ax + bx + c = 0; a 0 presenta una raíz nula es decir x = 0 si c = 0.. La ecuación de segundo grado: ax + bx + c = 0; a 0 presenta una raíz unidad es decir x = si a + b + c = Las ecuaciones ax + bx + c = 0; a 0 y mx + nx + p = 0; m 0 son equivalentes si a m = b n = c siempre que m 0; n 0 y p 0. p 3

4 6. Las ecuaciones ax + bx + c = 0; a 0 y mx + nx + p = 0; m 0 admiten una raíz común si a n m bb p n c = a p m c. EJERCICIOS: Resuelva las ecuaciones indique el conjunto solución en cada una de ellas.. x =. 3 x = x + 0x = 0. x + 7x = x + x 5. 5x 5x = x 3x + = 0 7. x x + = x 0x + 3 = x + x 9. 6x x = 0 0. x3x + x 3x = x +. x 3x + 3 = 0x 8. x 5 = 9 3. n 3 = 8. x + 3 = 5. x + 9x + 8 = 0 6. x 3x + = 0 7. x 0x + 6 = x + x + = 3 3 b b + = 5 y + 0 y + 8 = y + 5 y + 5t 5t =. k + 3k 5 = n 6n =. z 5z + = 0t 5t + 3 5t PROBLEMAS: Resuelva los siguientes problemas:. Halle el área de un triángulo rectángulo cuyos lados miden: x; x + y x +.. Los lados opuestos de un cuadrado aumentan en y 7 unidades respectivamente con esto se obtiene un rectángulo cuya área es más que el doble del área del rectángulo original. ¾Cuánto mide la diagonal del cuadrado? 3. ¾Cuál es el polígono regular en el cuál se pueden trazar un total de 5 diagonales? R/ Dodecágono. Si al cuadrado de un número se agrega el quíntuplo de dicho número se obtiene 36. Hállese el número. R/-9 ó

5 5. Si se resta cierto número de su cuadrado el resultado es 30. Hállese el número.r/-5 ó 6 6. Hallar dos números que tengan 65 por suma y 050 por producto. R/30 y Hallar dos números que tengan 3 por producto y 3 por cociente. R/ ±36 y ± 8. La diferencia entre dos números es y su producto es 576. ¾Cuáles son los números? R/ ±8 y ±3 9. Hallar dos números que den 7 por suma y tales que la suma sus cubos sea 33. R/ y 5 0. Hallar cuatro números consecutivos tales que si los dos primeros se toman como dígitos de un número dicho número resulta igual al producto de los otros dos.. Se ha comprado tela por un valor de $5; el precio del metro es igual al número de metros comprados. Hállese el precio de metro.. Un hombre vende un reloj en $ y pierde un tanto % igual al costo del reloj. ¾Cuánto cuesta el reloj? 3. Un hacendado ha comprado cierto número de ovejas por $6. Si hubiera comprado más por la misma cantidad habrían costado 0 menos cada una. ¾Cuántas compró?. Un hombre compró cierto número de costales de harina en $6. El precio de cada costal es sétimos del número de costales. ¾Cuántos costales ha comprado y a qué precio? 5. Un campo rectangular es tal que su longitud es el triple de la anchura. Si se aumenta la longitud en 0 m y la anchura en 8 m el área resulta triplicada. ¾Cuál es su supercie? 6. La longitud de un campo rectangular es de 0 m mayor que el ancho. Hállense sus dimensiones sabiendo que la supercie es de 00 m. 7. El área de un campo rectangular es de 6m y su perímetro es de 60 m. Calcúlense sus dimensiones. 8. La circunferencia de una rueda delantera de un carruaje tiene pies menos que la de una rueda trasera. Después de recorridos 00 pies la rueda delantera ha dado 5 vueltas más que la trasera. Hállese la circunferencia de cada rueda. 9. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 7 m y la hipotenusa mide 37 m. Hállese la longitud de los catetos. 5

6 0. La diferencia entre los catetos de un triángulo rectángulo es 8 m y la hipotenusa mide 0 m. Calcúlese la longitud de los catetos.. La suma de los cuadrados de números más el quíntuplo de su producto es 5; y la suma de sus cuadrados menos su producto es 67. Hállense los dos números.. Un caminante ha recorrido 05 km. Si hubiera andado km más por hora su viaje habría durado 6 horas menos. ¾Cuántos kilómetros recorrió por hora? 3. Se ha repartido la cantidad de $0 entre cierto número de personas. Si cada una hubiera recibido $7 menos habría recibido un número de pesos igual al del número de las personas que había. Hállese el número de personas.. Las edades de dos niños son tales que el cociente del cuadrado de la del primero entre la del segundo es 8 y que el cuadrado de la del segundo dividido entre la del primero da 3 5 por cociente. Hallar las dos edades. 5. Hallar dos números que sean entre sí como es a 7 sabiendo que la suma de sus cuadrados es Si del cuadrado de mi edad se resta el producto de dicha edad por se obtiene 08. ¾Cuál es mi edad? 7. Hallar dos números que den 30 por producto y tales que el producto del mayor por la diferencia entre los dos sea Un joyero vende un reloj en $3 5 ganando un tanto % igual a la cantidad de dólares del precio de compra. ¾Cuánto le había costado? 9. ¾Cuál es el número que sumado con su raíz cuadrada da por resultado 60? 30. Un hacendado ha comprado cierto número de bueyes y carneros. ¾Cuántos ha comprado sabiendo que hay 50 carneros más que bueyes y que la suma de los dos números multiplicada por su diferencia da 5500? 3. Ganando $ más habría yo ganado el cuadrado de mi haber; ganando $ menos habría ganado el doble de dicho haber. ¾Cuánto tenía y cuánto he ganado? 3. Un general dispone sus soldados en hileras y forma con ellas un cuadrado. Después de un primer arreglo le sobran 30 soldados; procura entonces poner 3 soldados más en cada línea pero para completar el cuadrado le faltan 53. ¾Cuántos soldados tiene? 6

7 33. Hallar números tales que su suma su diferencia y el producto de sus cuadrados sean números proporcionales a 7 9 y Dos capitales cuya suma es $60000 reditúan el primero $600 y el segundo $00. Sabiendo que la suma de los tantos porcientos es 0 hállense los capitales y los tantos por cientos. 35. Hallar tres números consecutivos cuyo producto sea igual a su suma multiplicada por Dos llaves llenan un depósito en 6 horas. ¾Cuánto tiempo necesitaría cada una de ellas separadamente para llenarlo sabiendo que la primera tarda 5 horas más que la segunda? 37. Dos capitales dieren en $5000 y el tanto % del capital mayor excede en al del capital menor. Sabiendo que el rédito anual del primero es $000 y el del segundo $600 hallar los dos capitales y los tantos por ciento. 38. Un tanque puede ser llenado por llaves juntas en 3 3 horas. La llave mayor podría llenarlo sola en horas menos que la otra. ¾En cuántas horas lo llenaría cada una separadamente? 39. En un triángulo rectángulo se conocen el cateto b y la altura h relativa a la hipotenusa. Calcúlense la hipotenusa a y el otro cateto c. 0. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 0 m y los catetos 6 y 8 m respectivamente. Calcúlese la altura relativa a la hipotenusa. 7

8 EJERCICIOS ADICIONALES Instrucciones: Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas.. 3x = x = x = 0. 5x = 0 5. x = x 98 = 0 7. x + 5 = 0 8. x 50 = x 9 65 = x = = x. 3x = x 56 0 = 0. x 5 = x + 7 = n 3 = x = x 6 = 9. x + 5 = 8 0. x 5x = 0. x + 65 x = 0. x 8x = 0 3. x = 55x. 6x 5 x = x + 6x = x x = x + 3x = x + 6x = x = 7 8 x 30. x = x 3. x + x = x x = x 5x 3. 5x 3x 5 = x = 6x 35. x x 5 = x x + = x 5x + 8 = x + 5 3x + 5 = x + 5x + 8 = x x + 7 = 0 8 5x x + 8 = 0. 5 x + x 5 + = x x 5 = 0 8

9 . 3x + 5x 0 5 x + x = 0 5. x + 35 x = 0 x + 8 x 6. 5x 8 = x + x + 5 x = 0 8. x 5 x = 0 x x + 5x 5 x + x + x x 50. 3x = x 5. x + = 5x 5. x + 5x 6 = x 3x + 5 = x 0x + 3 = x = x 56. x + 5 = x 57. x = 8x 5 = x + = x 59. x 3 x = 60. x x = 6. 3x + x + 0 = 0 6. x 0x = x + 7x = x + x + 6 = x 7x + = x + x + 5 = x 0x + = x 6x + = m + 3m = x 5x = 8 7. x 3x = x = 3x x + 3x = 0 9

10 COLEGIO INTERNACIONAL SEK Prof. Álvaro Elizondo Montoya. TEMA: PRÁCTICA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS. Nombre: Fecha: Grupo: 9 Instrucciones: Resuelva las siguientes ecuaciones verique el conjunto solución indicado. 5x 3 = 3 5x + x S= { } x = x x S= { 7 5 3x = 3 x + x + 5x 5 3S= { 3 } 7 x 3x + 3 = x xx + 5 S= { } 6 5x + = 5 3x + 3 3xx 5 5S= { } 3 5 6x = 5x + 5x 5x 6S= { } x = x + + xx + 5 7S= { } x = x + 0 8S= { } x = 5x + x + 9S= { } 7 0 x x + = 5x 5 0S= { } 9 3x x + = x 5x + + x + 3x + S= { } 3 3 x 5 = 6x + 5x + x S= { 5 } 9 3 x 5 = 3x 3 3S= { 8 } 5 x 6x 6 = x + 0x 5 S= { } x = 0x + x 3 x 5S= { } x + 3 = 9 x x 6S= { 0 0} 3 76x + = x 5x + x + 5x + 7S= { } 3 85x = x x x 8S= { } x + 3x 0 = 3x 5 + xx 3 9S= { 9 } 0x + 5 = x + 5x + x + x S={ 5 } 5x + 7x + = 3x x + 3xx + 8 S= { } 3x x 5 = x 3x 8 S= { x + 3 = 5x + x + 5 3S= { } 5 7 x x 5 = x x x S= { 3 } 7 58x 0x = 0x + 7x 0 5S= { 5 } 5 } } 0

11 6 0x 6x + 8 = x x x 8x + 6S= { xx = 6x 3x + 5 7S= { 5 } 89x = 5x + xx 8S= { } 5 3 9x 5x + = 5x 5 + x + 35x 3 9S={ 6 } 306x + 8x + 0 = 3x + x + 3x S= { 3 5 0} 35 = x + x 5 3S={0 5} 3 9x 3x + = x + xx + 3S= { 0} 9 330x + 3x + 6 = 5x x 33S= { 3 } x = x + x x + 5 3S= { 3} 35x 5x + = x + x x S= { } 36x + = 9x + x x + 3x 6 36S= { } 7 37 xx = 0x + x x x 37S= { } x = 5x 38S= { } x x + = 3x x 39S= { } x = 9x + 9x + 5 0S= { 5 } 5x = 6x + x S= { } 5 x = 0x 7x + S= { 5 0} 33x = x + x 3S={ } x x = 5x + 3x + 5x S= { } x = 7x + 9x + 3 5S= { 9 6 } 6 xx = x 5x x x 6S= { } 3 7 = 3x xx + 7S= { } x + = 35x + 6x + 6 8S= { 0 0} 39 9x x = 3x + x 9S= { } 50 x 5 = 5x + 5x S={ } 50x + 36x + 6 = x 3 + 5x x + 5S= { } x x + = x 3 + x 5S= { } x x + 6 = 3 5xx 3 + x x + 53S= { } x = x x + 5 5S= { } x = x 3 + 5x 0 55S= { } xx + = 3x + 56S= { } x 5 = 0x + 3x + 3x + 7x 3 57S= { 9 } }

12 583x + 7x 6 = 9x 3x + x S= { } xx + = 5x + x 5x 9x 6 59S= { } x = 3x x S= { 7 66x = 5x + x 3x 6S= { 65x x = x 3xx + 5 6S= { 8 633x = x x 3 + x + 3x 63S= { 6x 5x = x + 3x + 5x + 5x + 6S= { x x + = 5x x + 3xx S= { 66 3x = 5x xx 66S= { x = 0x + 0x + x x S= { 685 5x = x 5 + 5xx 5 68S= { x 5x = 0x + 6x + x x S= { 70 5x = 6x 3x 9 70S= { 8 7 0x 6x 6 = 3x + x + 53x + 3 7S= { } } } } } } } } } } } 6 9 }