Orientaciones Metodológicas Actividad: Agrupando algunos elementos

Transcripción

1 Orientaciones Metodológicas Actividad: Agrupando algunos elementos Conceptos claves: Diagrama de árbol, principio multiplicativo, factorial, variación, permutación, combinación y modelo de Laplace en el cálculo de probabilidades. Objetivo de la actividad El objetivo de esta guía es que el estudiante desarrolle y engrandezca sus conocimientos sobre el cálculo de probabilidades mediante la Regla de Laplace, utilizando la técnica de conteo combinación, identificando las características particulares que cumple cierto contexto de incerteza para utilizarla. Conductas de entrada Los conocimientos que debe poseer el estudiante para alcanzar eficientemente el objetivo de la actividad, son: Identificar el conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral y los eventos o sucesos como subconjuntos de aquel). Asignar en forma teórica la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, utilizando el modelo de Laplace y las condiciones para que se pueda aplicar. Utilizar el diagrama del árbol para determinar los elementos del espacio muestral. Utilizar el principio multiplicativo para determinar la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos. Calcular números factoriales y conocen sus propiedades.

2 Identificar las condiciones pertinentes de cierto contexto para aplicar la técnica de conteo variación y/o permutación. Conductas de salida Al término de la actividad, el estudiante poseerá las habilidades de: Reconocer la combinación como una técnica de conteo que se utiliza en situaciones en las que es difícil llevar a cabo una cuantificación por observación directa en la selección no ordenada de elementos. Identificar características necesarias para aplicar la combinación en diversos contextos. Calcular probabilidades utilizando la técnica de conteo combinación en la determinación de casos favorables y/o totales, para el modelo clásico de Laplace. Descripción en términos metodológicos para los momentos de la clase Inicio Al iniciar la clase, el docente en conjunto a los estudiantes, realiza una recapitulación de los conceptos estudiados en las actividades anteriores, a modo de constatar los contenidos base para comenzar a trabajar esta actividad. Posteriormente, se trabaja con el material del estudiante, comenzando por la primera sección Que rico es comer sano. En la instancia inicial se sitúa al estudiante en una problemática que se relaciona con una situación particular que ocurre a uno de los personajes presentados en la actividad N 1, a modo de continuar con el hilo conductor del contexto inicial. Este escenario problemático, a su vez, es quien sustenta la actividad, donde se desprende la pregunta inicial que permite el desarrollo de la guía; por lo tanto, si los estudiantes no la comprenden, se aconseja al docente explicar utilizando la pizarra o solo en forma oral.

3 En la pregunta N 1, se espera que los estudiantes respondan equívocamente utilizando la técnica de conteo variación, pues el concepto principal en esta actividad es el no orden en la selección de elementos, lo que los llevará al error. Se continúa con la misma idea en la pregunta N 2, donde se le solicita al alumno completar el diagrama de árbol con todas las opciones de menú al seleccionar 3 de las 4 verduras, coincidiendo con el resultado que se obtuvo en la pregunta anterior. Se recomienda al docente escribir o proyectar finalmente en la pizarra las opciones que se obtienen del diagrama, ya que permite una visual para todos los estudiantes en el desarrollo de las próximas secciones de la actividad. Desarrollo El desarrollo de la clase comprende 2 secciones, llamadas Eligiendo menús y Formalizando El objetivo de la sección Eligiendo menús es encontrar y determinar la fórmula de la técnica de conteo combinación, en base a las técnicas encontradas en las actividades anteriores (variación y permutación). La pregunta N 1 retoma lo visto en la sección anterior, el estudiante debe fundamentar cual es la técnica que le permite dar respuesta, asimismo expresar formalmente el desarrollo del proceso matemático aplicado. Se aconseja al profesor dejar expresado este resultado en pizarra para su posterior uso. A continuación, se trabaja el concepto de no orden, es necesario utilizar las opciones de menú que se obtuvo en el diagrama de árbol de la primera sección. Si bien existe una pequeña explicación en el material del estudiante para abordar este concepto, es ineludible el rol del docente para no dejar dudas que se arrastren en el próximo proceso de la actividad. El profesor, debe hacer hincapié que en el contexto descrito el orden en que se selecciona cada verdura no altera lo que se obtiene como producto final, teniendo cuidado de no

4 enunciar la respuesta para la pregunta N 2. Por ende, el papel que juega el docente es esencial para abordar las preguntas siguientes de tal manera que los estudiantes reconozcan patrones y relacionen contenidos previos que le proporcionen la posibilidad de definir nuevos elementos matemáticos y estudiar así nuevas técnicas para contar asociándolo al cálculo de probabilidades. En la pregunta N 3, el estudiante debe escribir todas las ordenaciones para el menú ABC, el docente además, para complementar puede solicitar a los estudiantes que a partir del diagrama de árbol determinen las otras opciones distintas de menú con sus respectivas ordenaciones. De esta manera, se obtiene el número de menús distintos, solo realizando un análisis de los resultados del diagrama, sin embargo, el objetivo de las próximas preguntas es establecer la técnica que permite encontrar este resultado sin necesidad de realizar el diagrama, ya que, como se observó en la actividad N 1, éste método es ineficiente cuando se trabaja con grandes datos. Para la pregunta N 4, el alumno debe identificar que la técnica de conteo a utilizar es la permutación, ya que tras comprender lo trabajado en la actividad N 2, esta técnica nos permite saber el número de ordenaciones de n elementos tomados de n en n. Se recomienda dejar expresado el desarrollo de la permutación, como también su resultado. La pregunta N 5, apunta a que el alumno asocie numéricamente los resultados que se obtiene en las preguntas N 1, N 3 y N 4. Se le pide al docente, que a través de preguntas dirigidas y lluvia de ideas, guiar a los estudiantes a observar la relación que existe entre estos números, realizando un registro en pizarra. Si el estudiante no logra asociar las respuestas de las preguntas antes mencionadas, se sugiere recordar y explicar, interrogando: recuerdan que existen 24 menús diferentes de lo que rescatamos solo 4 Por qué? El orden de la selección de las verduras nos importa? Elegir choclo y tomate es distinto a tomate y choclo? Etc.

5 Las preguntas N 1, N 4 y N 5 suministrar instrumentos para trabajar la pregunta N 6, cuyo principal objeto es realizar una primera aproximación a la expresión matemática que se desea descubrir. Se ejemplifica a continuación: 4! 4 24 V3 (4 3)! 4! 6 P 3! (4 3)! 3! 3 A modo de ilustración se le pide al docente manifestar, por que se realiza tal operación, explicando que como no nos importa el orden, de los 24 casos dados como diferentes por la variación de 4 tomados de a 3, además cada grupo de menú aparece repetido 3! 6 veces. De esta manera, al dividir la variación por las permutaciones nos aseguramos de no contar como distintos aquellos casos en los que, solamente, estamos cambiando el orden de las verduras. Luego, en la pregunta N 7, a partir de la expresión anterior, se generaliza la situación en grupos de k verduras de un total de n. En la sección Formalizando, se muestra formalmente la expresión y notación que caracteriza a esta nueva técnica de conteo llamada combinación. Se propone al docente indicar y explicar que la técnica de conteo combinación es la última que se estudiará en el módulo, además, hacer énfasis en las características que, en particular, debe cumplir cierto contexto para utilizarla. Seguidamente, se remonta a la problemática inicial, donde lo vital es dar respuesta a su pregunta. Se invita al profesor, volver a leer el enunciado

6 principal y a través de lluvias de ideas, los estudiantes establecen cómo utilizar la técnica encontrada en determinar el número de casos favorables. Para finalizar, el docente debe enfatizar la utilidad que posee la combinación, y en general las técnicas de conteo estudiadas, en el cálculo de probabilidades. Cierre Para el cierre de la clase, la sección Explora con los nuevos conocimientos se recomienda trabajar en grupo (no más de 3 personas) donde se presentan distintas situaciones, los estudiantes deben identificar la técnica pertinente para cada caso dependiendo de las características de las situaciones presentadas, utilizándolas para el cálculo de probabilidades.