Índice general. 1. Resumen 4

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1 Índice general 1. Resumen 4 2. Los productos derivados Denición de los productos derivados Clases de productos derivados que se negocian en mercados organizados Los Futuros Financieros Contratos estandarizados: Cámara de Compensación Liquidación Diaria Márgenes de garantía El acuerdo de tipos de interés futuros (FRA) Opciones nancieras Opciones de Compra Opciones de venta Factores que inuyen en la valoración de las opciones Clases de productos derivados que se negocian en mercados OC Los contratos forward Los swaps (permutas nancieras) La estructura de los swaps Swaps de intereses Los productos estructurados Evolución de los mercados de derivados Evolución en los mercados organizados Evolución en los mercados OC Impacto de la crisis nanciera en los mercados OC Las coberturas de los productos derivados Denición de la cobertura ¾Cuál es mi riesgo? ¾Compro o vendo? ¾Qué contrato? ¾Cuántos contratos?

2 ÍNDICE GENERAL 2 3. La teoría de la valoración Introducción Herraminetas básicas de análisis matemático Experiencias aleatorias Variables aleatorias Procesos aleatorios Filtraciones y mensurabilidad Esperanza condicional Martingalas eorema de Radon-Nikodym Cálculo estocástico en tiempo continuo, respecto al browniano eoremas fundamentales del mercado Las estrategias Oportunidades de arbitraje y medidas de martingalas eoremas de mercado Valoración de productos derivados La técnica del cambio de numerario El eorema de Girsanov La fórmula de Black y Scholes Los tipos de interés ipos interbancarios y tipos del gobierno La cuenta bancaria y el tipo corto La cuenta bancaria El factor de descuento estocástico Los bonos zero cupón y los tipos de interés spot ipos de interés forward Swap de tipos de interés y tipos forward swap Swaps de tipos de interés IRS ipos de intereres forward swap Opciones sobre productos de tipos de interés Los modelos de tipos de interés Los modelos de tipos de interés El modelo Hull-White de un factor Las ecuaciones de la dinámica del tipo corto y su solución La distribución y la probabilidad de los tipos negativos La valoración del bono zero cupón El factor de descuento Métodos numéricos Método de Monte Carlo El método de los árboles trinomiales: el triángulo La calibración-el Bermudan Swaption

3 ÍNDICE GENERAL 3 6. Modelo Hull&White de dos factores Introducción y motivación Las ecuaciones de la dinámica del tipo corto y su solución La distribución y la probabilidad de los tipos negativos La valoración del bono zero cupón El factor de descuento Métodos numéricos El método de MonteCarlo Árbol trinomial La calibración-el Bermudan Swaption Fórmula analítica para valorar el European Swaption Implementación del Modelo Hull & White 2 factores Introducción a la librería Atenea Conceptos básicos de la implementación en Atenea. Los operadores Implementación en C++ del modelo de dos factores Resultados obtenidos Introducción Curvas forward del Euribor3M con el modelo HW de un factor Movimiento paralelo de las curvas forward Estudio del efecto del valor de la reversión a la media Efecto del cambio de fecha de observación en la curvas forward Curvas Forward del Euribor3M con el modelo Hull&White de dos factores Estudio del efecto del valor de las correlaciones Efecto del cambio de fecha de observación en la curva forward Comparación de la valoración de un Bermudan Swaption con el modelo de un factor y de dos factores Valoración del Bermudan Swaption mediante Longsta-Schwartz Conclusión 158

4 Capítulo 1 Resumen Este proyecto de n de carrera es el resultado obtenido tras 7 meses de prácticas en el área de Global Banking and Markets del Banco Santander. Con más precisión este es un proyecto que nació de una necesidad dentro del equipo de quantitative analysts de productos derivados de tipos de intereses y de tipos de cambio. El trabajo de este equipo es el de desarollar y/o implementar modelos para conseguir valorar lo más precisamente posible los productos derivados de tipos de interés y gestionar adecuadamente el riesgo al que se expone el banco vendiendo estos productos. El quant desarrolla las herramientas que usan los traders para dar valor a los productos y para gestionar el riesgo. El valor de cualquier producto nanciero es la actualización en el presente de futuros ujos de pago. El futuro es incierto y las variables que inuencian el precio de un producto derivado son estocásticas. A pesar de esta incertidumbre en el futuro, los estudios empíricos han revelado que ciertos modelos matemáticos pueden conseguir reejar los movimientos de las variables estocásticas. Así pues existen modelos para dar la distribución probabilística de los tipos de intereses, de los tipos de cambio, de los títulos bursátiles... Estos modelos suelen apoyarse en datos de mercado conocidos, como precios de productos vanilla, muy extendidos y que se negocian con gran liquidez. El mayor avance en la modelización de precios en el futuro es el uso de ecuaciones de dinámica difusión en las que aparecen diferenciales de movimientos brownianos. Sin embargo, al no existir una única manera de representar la realidad existen numerosos modelos aunque se usen para el mismo propósito. Esto explica el interés en desarrollar nuevos modelos y probar sus características respecto de los existentes. Así pues este proyecto titulado: Implementación de un modelo Hull & White de dos factores nace de la inquietud de mejorar los resultados obtenidos con el modelo existente Hull & White de un factor. El Hull & White de un factor o HW1 es un modelo que partiendo de la dinámica de difusión del tipo de interés corto r(t), permite obtener las expresiones de los bonos zero cupón y factores de descuento esenciales para la valoración de los productos derivados de tipos de interés. El HW1 presenta ciertos fallos al dar una correlación casi perfecta a los tipos de interés observados desde la misma fecha y que jan en tiempos distintos. Cuanto mayor sea la diferencia entre tiempos de jación menos correlación presentan los tipos de interés en la realidad. Esta falta de exibilidad 4

5 CAPÍULO 1. RESUMEN 5 del HW1 puede permitirse cuando los productos a valorar no dependen fuertemente de varios tipos de intereses. Sin embargo en el caso de que el producto a valorar dependa fuertemente de varios tipos y esta dependencia sea considerable en comparación con otras dependencias la valoración con HW1 puede ser errónea. En este proyecto se ha analizado el modelo de Hull & White de dos factores que sigue siendo un modelo que se basa en la dinámica del tipo corto. Sin embargo el HW2, presenta dos factores de aleatoriedad en vez de uno como es el caso en el HW1. Este nuevo factor de aleatoriedad viene del tipo a largo plazo considerado determinista en el HW1. Los dos modelos por medio de un parámetro denominado la mean reversión llevan el tipo corto a dirigirse hacia el valor del tipo a largo plazo. En efecto si el tipo corto en un instante está por encima del tipo a largo plazo, este tenderá a decrecer, por el contrario si el tipo corto en un instante está por debajo del tipo a largo plazo, este tenderá a crecer. ras haber estudiado la literatura académica de las matemáticas nancieras, tras conocer la metodología de la evaluación obtuvimos las ecuaciones que describían el modelo HW2. El paso siguiente y el más largo al igual que complicado fue la implementación en C++ y dentro de las librerías usadas por la banca mayorista del Banco Santander del este modelo. Sin embargo esto no era suciente, un modelo parte de valores de parámetros para deducir el precio de productos. Sin embargo el modelo no nos impone el valor de los parámetros por lo que tendremos que jarlos gracias a los datos que nos aporta el mercado. Este proceso denominado la calibración es todo un arte ya que implica escoger que parámetros calibrar y con qué productos hacerlos para reejar lo más elmente posible la distribución de probabilidad del producto a valorar. ras todo esto se impuso una fase para estudiar los resultados dados por el modelo de dos factores y compararlos con el de un factor. Los resultados obtenidos son prometedores y evidencian la mejora que supondría usarlo respecto al de un factor. En efecto gracias a este modelo el banco podría ofrecer menos tipo de interés jo contra un tipo de interés otante a un cliente institucional que busca mejorar la rentabilidad. Las estrategias de cobertura realizadas por los traders con este modelo serían más seguras y es probable que su coste fuese inferior. Por otra parte este proyecto me ha permitido trabajar en actividades multidisciplinarias: matemáticas avanzadas, programación en C++, nanzas... Este proyecto ha constituido para mí un desafío importante debido a su complejidad técnica y conceptual.

6 Capítulo 2 Los productos derivados Este proyecto incluye el estudio y desarollo de un modelo de valoración de productos derivados de tipos de interés. Antes de entrar en los detalles técnicos de este análisis, debemos comprender el funcionamiento de los derivados en general. Así pues intentaremos responder a las siguientes preguntas: ¾Cuáles son las características que denen a un producto derivado y lo diferencian de otros productos nancieros? ¾De qué manera se negocian? ¾Quiénes son sus principales usuarios? ¾Para que se utilizan en la práctica? 2.1. Denición de los productos derivados Ya desde el siglo XIV, en los mercados holandeses, además de mercancías se podían comprar derechos de propiedad de mercancías no presentes. Esta práctica es el origen de los contratos a plazo. Los mercados de derivados han sido los que han tenido un mayor crecimiento en los últimos años, este crecimiento no sólo se ha producido en volumen de negociación sino también en sus aplicaciones y la investigación de los diferentes métodos para calcular sus precios. Esto es debido a la volatilidad que han soportado estos mercados, y la internacionalización de las operaciones que se realizan, favorecidas por el avance de las telecomunicaciones y la informática. Los derivados son instrumentos que derivan su valor de otro activo o índice (bonos, divisas, materias primas...), denominado subyacente. Incluyen los contratos forward, los contratos de futuro, las opciones y los swaps. Un derivado se puede comprar o vender, utilizando la nomenclatura habitual en nanzas, se puede adoptar una posición larga (comprar o tener) o corta (vender o no tener). Los vendedores crean los contratos de derivados cuando los venden por primera vez. Están en suministro neto nulo: la suma de todas las posiciones largas menos la suma de las cortas es nula. Casi todos los contratos de derivados tienen fecha de expiración. En esta fecha los traders efectúan el pago nal y el contrato expira. Los derivados pueden pagarse de forma física o en efectivo (cash). En el primero el vendedor tiene que entregar el instumento subyacente al comprador cuando tiene la obligación. En el segundo el vendedor tiene que entragar el valor en 6

7 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 7 cash del instumento subyacente cuando tiene la obligación. Algunos contratos de derivados requieren que los compradores y los vendedores pagen una suma variable con una frecuencia ja. Estos pagos transeren dinero de los compradores a los vendedores o viceversa para ajustar los precios de su contrato y así reejar las condiciones actuales del mercado. Este procedimiento reduce el riesgo de que los traders no puedan pagar sus obligaciones cuando el contrato expira. En los mercados de derivados hay que distinguir los que se negocian en mercados ociales organizados y los que lo hacen en mercados no organizados u OC (Over the Counter). En los primeros se tienen que cumplir una serie de características como la tipicación o normalización de los contratos, el aseguramiento de las liquidaciones mediante la Cámara de Compensación, el régimen de garantías... Los instrumentos que incumplen las condiciones anteriores se negocian en los mercados OC, donde las dos partes contratantes jan en cada caso los términos contractuales de las operaciones convenidas por ellos. En el primer grupo encontramos los contratos de futuros y las opciones. En el segundo grupo se negocian los swaps u operaciones de permuta nanciera, las operaciones a plazo (contratos forward) y las opciones OC entre las que se incluyen los caps, oors, collars y swaptions. Aparte de los productos a los que hemos hecho referencia en esta sección denominados vanilla o genéricos, existen otros derivados que incluyen características adicionales y que se forman mediante la combinación de varios derivados genéricos. La principal aplicación de estos instrumentos es la cobertura de riesgos nancieros y de mercado a los que se encuentran sometido los agentes económicos, principalmente el originido por el cambio en los tipos de interés, de cambio, precio de las materias primas y bursátiles. Un ejemplo ilustrativo se da en los contratos swaps: éstos pueden ser de tipos de interés, de divisas, de valores bursátiles o de materias primas(commodities) Clases de productos derivados que se negocian en mercados organizados Los Futuros Financieros Un contrato de Futuros Financieros es una compra o una venta de un activo, con entrega aplazada. Suponemos una empresa importadora de memorias de ordenadores cuyo principal proveedor es una empresa norteamericana, por lo que sus pagos son en dólares, y que salda sus deudas cada tres meses, que el mercado acualmente paga 1,1 euros por dólar y que la empresa sospecha una posible alza en los tipos de cambio, que elevaría el precio que paga por sus importaciones. Si la empresa adquiere un contrato de futuros a tres meses sobre el dólar al precio actual asegura el precio de compra futuro. Es decir, gracias al contrato de futuro la empresa pagará dentro de tres meses el precio actual del dólar 1,1 euros, lo que le asegura poder comprar las placas al precio que había prejado. Dentro de tres meses pueden ocurrir dos cosas: el dólar cotiza a más euros que actualmente, por ejemplo 1,3 euros, la empresa evita pues un sobre coste en sus importaciones; o por el contrario el dólar cotiza a menos euros que

8 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 8 actualmente, por ejemplo, a,98 euros, y la empresa estaría pagando más euros que el mercado. Los contratos de futuro tienen cuatro características principales: Son contratos estandarizados. Operan con una cámara de compensación. Se liquidan diariamente. Se les aplica márgenes de garantía Contratos estandarizados: A diferencia de un contrato a plazo, donde las cantidades y los vencimientos son pactados entre el cliente y la entidad, todos los contratos de futuros se realizan sobre la misma cantidad y tipo, y tienen la misma fecha de vencimiento. Esta estandarización hace que los contratos de futuros no se realicen sobre cualquier subyacente, sino que están reducidos a un número limitado de activos. Los principales subyacentes sobre los que se negocian futuros son: tipos de interés, índices bursátiles, divisas y materias primas. Cada uno de éstos tiene unos vencimientos y nominales concretos. Por ejemplo, el futuro sobre dólares en el mercado de futuros nancieros inglés es la obligación de comprar o vender dólares por valor de 25 libras el tercer miércoles de marzo, junio, septiembre o diciembre. Como consecuencia de esta estandarización se pierde exibilidad, pero aumenta la liquidez, ya que si cualquiera pudiese pactarlos con las características que quisiera sería muy dicil encontrar compradores y vendedores. Las transacciones se facilitan ya que los agentes saben que siempre negocian con las mismas características Cámara de Compensación Los contratos sobre futuros se negocian a través de una cámara de compensación, que realiza la función de comprador del vendedor y vendedor del comprador. La ventaja de la cámara de compensación es que los actores del mercado no tiene que preocuparse de encontrar comprador o vendedor: esta funciona siempre como contrapartida. En España la cámara de compensación del mercado de futuros es el Mercado Español de Futuros Financieros(MEFF). Cualquier persona puede ser cliente de una Agencia de Valores que sea miembro del MEFF y realizar operaciones. Estos intermediarios son los que se encargan de los cobros y pagos, así como de canalizar la

9 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 9 entrega del activo. Por ejemplo, si un cliente vende un futuro sobre el precio del acero las ganacias o pérdidas las recibe a través de su entidad nanciera, miembro del MEFF. Hay que destacar que el papel de la cámara de compensación es fundamental, ya que de no existir, el comprador tendría que buscar un vendedor y esto haría muy poco líquido el contrato de futuros. El funcionamiento de la cámara de compensación es el siguiente: el cliente que quiere adoptar la posición larga en futuros da la orden de compra a su a su entidad nanciera miembro de MEFF. En el vencimiento de su contrato la entidad salda la posición y le entrega el benecio o le reclama la pérdida. A la vez hay otro inversor que ha tomado la posición contraria en otra entidad nanciera que también se hará cargo de sus benecios o pérdidas. Vamos a estudiar un ejemplo para comprender el funcionamiento de la Cámara de Compensación: Suponemos un contrato de futuro sobre el dólar a 1. euros. Un inversor adquiere la posición larga, comprará en la fecha de vencimiento el dólar a 1. euros, y otro inversor adopta la posción corta, se obliga a vender el dólar a 1. euros. Si el cliente de la posición corta obtiene benecios, el de la posición larga obtiene pérdidas. Suponemos que el dólar está a 1.2 euros el día del vencimiento, entonces el cliente con posición larga va a comprar por 1. euros algo que está a 1,2 euros, por lo que obtiene benecios. El cliente con posición corta se ha obligado a vender por 1. euros algo que está a 1.2 euros por lo cual obtiene pérdidas. La entidad A le transere a su cliente los benecios, mientras que la B le pide al suyo el pago de las pérdidas. La entidad B compensa a la entidad A por el pago que realiza a su cliente. Por lo tanto, la cámara de compensación no obtiene ningún benecio, sino que traslada el pago del cliente con la posición corta al cliente con la posición larga. ambién se puede dejar el mercado antes del vencimiento. Por ejemplo, si el cliente con posición larga quiere dejar el mercado quedando dos meses hasta el vencimiento, y en ese momento la cotización de mercado es de 1.4 euros, éste adopta una posición corta sobre el dólar a 1.4 euros. El MEFF entiende que si un cliente tiene la obligación en vencimiento de comprar a 1. euros y al mismo tiempo de vender a 1.4 euros puede compensar sus posiciones y liquidar su contrato. Por supuesto, para poder tomar esa posición corta a 1.4 euros, debe existir la contrapartida que adopta la larga a 1.4 euros. Ahora suponemos que hay dos inversores en el mercado y nos encontramos a dos meses del vencimiento: el segundo tiene una posición corta a 1. euros y el tercero tiene una larga a 1.4 euros. Suponemos que en el vencimiento el dólar se halla a 1.3 euros, la entidad nanciera del segundo cliente le reclamará la pérdida de.3 euros ya que tiene que vender a 1. euros algo que está a 1.3 euros y la otra entidad nanciera le reclamará al tercer inversor la pérdida de.1 euros ya que tiene que comprar por 1.4 euros algo que está a 1.3 euros. Las dos pérdidas suman.4 euros, que obtuvo el primer inversor cuando salió del mercado Liquidación Diaria Los miembros del mercado liquidan diariamente las posiciones de sus clientes transriendo los benecios o reclamando las pérdidas. Esto hace que los contratos de futuros sean muy seguros. Vamos a verlo con el ejemplo anterior: El cliente que adoptó la posición larga está obligado a a comprar a 1. euros. El cliente con la corta se obliga a venderlo a ese precio. Si el día después de la negociación el dólar se

10 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 1 mueve hasta 1.2 euros entonces el comprador gana.2 euros y el vendedor pierde.2 euros. Sus respectivas entidades nancieras les abonan o cargan esas cantidades en sus cuentas de valores. En el vencimiento las ganancias y pérdidas acumuladas coincidirán con la cantidad, que de no liquidarse diariamiente, saldaría su posición Márgenes de garantía Para garantizar el cumplimiento de las obligaciones entre las partes se exige una garantía a los inversores que mantienen una posición en el mercado de futuros nancieros, de tal manera que al contratar una compra o una venta deben depositar en su cuenta de valores el depósito de garantía. Cada tipo de contrato de futuros especica que cantidad debe ser abonada como margen de garantía. Futuros sobre tipos de interés: De los distintos tipos de futuros, en el ámbito de este proyecto sólo nos interesan los futuros sobre tipos de interés. Estos futuros se basan sobre activos de renta ja cuyo precio depende del tipo de interés. En la negociación con activos de renta ja, cuando suben los rendimientos de los tipos de interés cae el precio de los activos de renta ja y cuando los rendimientos de los tipos disminuyen, sube el precio de estos activos. Así, el inversor con una posición larga en un futuro sobre un tipo de interés, se compromete a comprar un activo a un precio determinado en una fecha futura. Este inversor espera que el tipo de interés caiga ya que así el precio del activo de renta ja sube. Por otra parte el vendedor de un futuro sobre tipos de interés está apostando a la subida de éstos, para que caiga el precio del subyacente El acuerdo de tipos de interés futuros (FRA) El principal futuro sobre los tipos de interés a corto plazo es el futuro sobre el Euribor, que es el tipo de referencia del mercado interbancario. Esto es, el tipo de interés utilizad por las entidades bancarias que componen el mercado interbancario para prestarse capital entre ellas. Estos futuros se negocian en el mercado de Londres (LIFFE); en España no existe un mercado local debido a su bajo nivel de negociación. El contrato más parecido que existe es el FRA, que se asemeja más a un contrato a plazo. El contrato FRA (Forward Rate Agreement) es un compromiso entre dos partes que acuerdan el tipo de interés que se pagaría por un cierto depósito con un vencimiento en una fecha futura. En este contrato intervienen dos tipos: uno jo y pactado y otro variable que es el tipo interbancario. En la fecha de contrato se establece el jo y la fecha en la que comenzaría la cesión del depósito. Cuando llega la fecha de cesión del deposito teórico, se comprará el tipo de interés pactado y si el tipo de interés variable es superior el vendedor del FRA entrega la diferencia al comprador. El pago se realiza en la fecha de cesión. El vencimiento del contrato FRA se cita por [INxFN], donde IN es la fecha futura y FN es el vencimiento del depósito teórico. La diferencia entre Fn e IN es la vida del depósito teórico del FRA. Por ejemplo un FRA 1x4 es un contrato sobre tipo de interés con vencimiento a tres meses (3=4-1) a contar dentro de un mes. El inversor puede

11 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 11 adoptar la parte compradora o vendedora, la contrapartida es la entidad nanciera que cotiza el FRA. Veamos un ejemplo de como se calcularía el interés de liquidación: Suponemos que un empresa A, toma una posición larga en un contrato FRA 1x4 con un precio 4,9 por un nominal de 1 millones de euros referenciado al Euribor. Si en la fecha de cesión el Euribor se situa en 5 %, la empresa A recibe: I L = 1,16.(, 5, 49) , = 2469, Opciones nancieras Una opción es el derecho a comprar o vender un determinado activo nanciero en una fecha futura a un precio determinado. La denición marca las caracteristicas propias de las opciones. Una opción es un derecho, no una obligación. Esto supone que el propietario puede ejercerla a su voluntad. Una opción se puede comprar o vender. Para tomar una posición corta hay que desembolsar una cantidad de dinero, que se denomina prima, que es el precio de la opción. Al vender opciones, tomar una posición corta, se recibe su precio que es la prima. El activo sobre el que se tiene el derecho a comprar o vender es el subyacente, y en los mercados organizados solo pueden ser acciones o contratos de futuros. Por ejemplo una opción sobre acciones da el derecho a comprar acciones en un determinado momento y en una fecha determinada. O una opción de vender un futuro sobre el IBEX 35 da el derecho de adoptar una posición corta en el contrato de futuros sobre el IBEX 35, en una fecha determinada y a un precio determinado. Las opciones pueden ser de compra o de venta. La opción de compra se denomina call y la opción de venta put. Una opción call da el derecho de comprar un activo en una fecha determinada a un precio. Una opción put conere al propietario el derecho de vender un determinado activo a un precio determinado y en una fecha futura. Si un inversor quiere adquirir una opción, por ejemplo sobre acciones de Santander, se pone en contacto con el vendedor de la opción. El emisor de una opción adopta una posición corta en el contrato de opciones, mientras que el comprador toma la posición larga. El emisor no tiene por qué tener ninguna vinculación con el activo subaycente. Es decir, se puede adoptar la posición corta en opciones call sobre Santander y no tener ninguna acción de Santander. Las opciones, al igual que los futuros, son contratos estandarizados y se emiten para determinados activos subyacentes con unos vencimientos predeterminados. Esto da mayor liquidez a los mercados de opciones, ya que los inversores se concentran en los mismos títulos. Las opciones se negocian en una cámara de compensación, en España se trata nuevamente del MEFF. La cámara de compensación ha absorbido el riesgo de crédito, provocando el crecimiento de los mercados de opciones y futuros. El riesgo de crédito aumenta en el mercado de las opciones debido a que son contratos a plazos cuyo cumplimiento se pospone al futuro. La cámara de compensación ofrece la garantía de cumplir con los contratos. Cuando el inversor decide adoptar una posición larga compra opciones a cambio de la prima y el MEFF la compensa con una posición corta de otro inversor. Una vez que llega la fecha prejada, el inversor debe decidir si ejerce o no la opción. Si no la ejerciese sólo pierde la prima.

12 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 12 Si la ejercita, y ésta es, por ejemplo, una call, el emisor deberá primero adquirir la acción en el mercado y luego ofrecerla al inversor al precio pactado. Las opciones se han vuelto unos instrumentos muy utilizados por los inversores debido a su apalancamiento y su versatilidad. Apalancamiento: Con una pequeña inversión, la prima, se pueden obtener grandes benecios. El apalancamiento hace diferentes las opciones a la mera compra de los activos subyacentes. Por ejemplo, veamos qué sucede si un inversor compra opciones sobre las acciones de Santander a 1 euros y la prima es de 1 euro y otro compra directamente las acciones. Si al cabo de cierto tiempo las acciones de Santander se sitúan a 15 euros, el inversor que adquirió la acción obtiene 5 euros de benecios, habiendo invertido 1 euros, por lo que obtiene una rentabilidad de 5 %. Sin embargo el inversor en opciones obtiene un benecio de 5 euros habiendo invertido sólo 1, con lo que obtiene un rendimiento de 5 %. Versatilidad: Las opciones permiten al inversor establecer estrategias para conseguir sus objetivos en un mercado dado. Las opciones son fundamentales para realizar operaciones complejas en nanzas. Se pueden combinar con los futuros, con swaps, con bonos de cupón variable... Dependiendo de cuando se puede ejercer la opción, se clasican en opciones americanas u opciones europeas. Esto no tiene nada que ver con la zona geográca en la que se negocian. Las opciones europeas son aquellas que solo se pueden ejercer en el vencimiento, mientras que las americanas se pueden ejercer a lo largo de la vida de la opción Opciones de Compra La opción de compra le da a su poseedor el derecho de comprar el activo subyacente a un precio jo en una fecha determinada. Por ejemplo, el 1 de Mayo un inversor quiere comprar una opción sobre las acciones de Endesa. Supongamos que las acciones de Endesa cotizan a 2,65 euros. El inversor intuye que el precio de las acciones Endesa subirá. La orden es la siguiente: Comprar una Call Endesa de Mayo, 25 a,69. Así adquiere la opción de compra de 1 acciones de Endesa por,69 euros. Las acciones Endesa son en este caso el activo subyacente. En MEFF las opciones sobre acciones vencen en el tercer viernes del mes de vencimiento. En nuestro ejemplo vencen el tercer viernes de Mayo. El precio pactado para la compra se denomina precio de ejercicio. En nuestro ejemplo el precio de ejercicio es de 25 euros. El comprador tiene derecho a comprar 1 acciones de Endesa a 25 euros dedes hoy hasta el tercer viernes de mayo. Consideramos cuatro casos posibles: 1. Las acciones bajan a 19, euros. 2. Las acciones se mantienen a 2,65 euros. 3. Las acciones suben a 23 euros.

13 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 13 Endesa a 19, Endesa a 2,65 Endesa a 23, Gasto por prima Compra acción Venta acción Benecio/pérdida Decisión No ejerce No ejerce Ejerce Neto Cuadro 2.1: Benecio de un inversor largo en Call sobre Endesa a 2,65 con prima de,69 euros enemos que pensar que el inversor a largo ya ha incurrido en un gasto que es la prima y que este debe analizar si le interesa ejercer la opción para comprar la acción de Endesa a 2,65 y venderla al percio de mercado. Ejercerá cuando la cantidad obtenida de comprar la acción a 2,65 y venderla al precio de mercado menos la prima, supera a la pérdida de no ejercer. Así pues vemos una cracteristica importante de las opciones benecios ilimitados, pero pérdidas limitadas. El inversor que se situé a corto en este contrato de opciones tendrá un perl de benecios opuesto al inversor que se sitúa a largo, por que depende de la decisión de este. El inversor a corto tiene las mismas cifras de benecio pero con signo opuesto. Según como se situe precio de ejercicio respecto al precio de mercado de la acción en el momento de la emisión, distinguimos los siguientes casos. 1. Cuando el vendedor ofrece una opción y el precio de ejercicio está muy alejado del precio actual de cotización de la acción, se dice que la opción está out of the money (OM). Por ejemplo, en el caso anterior cuando se ofrece una opción Endesa de 2,65 euros y las acciones en ese momento están a 19,. Si se ejerce no se obtiene benecio alguno. 2. Cuando el precio de ejercicio está muy próximo al precio de mercado de la acción, entonces se dice que la opción está at the money (AM). Siguiendo con el caso anterior es el caso de una emisión de opciones con precio de ejercicio de 2,65 euros cuando la cotización es 2,65 euros. 3. Por último cuando la cotización es tal que se produce un benecio inmediato en el momento de la emisión, en el caso de ejercer la opción, la opción está in the money (IM). Lógicamente cuanto más IM sea una opción mayor es el coste de la prima. Si el emisor prevée que su producto puede dar benecios con mucha facilidad, venderá cara la opción. Al contrario, si la lejanía del precio hace que sea dicil que la cotización supere al precio de ejercicio, entonces la baja demanda de estas opciones hará que su prima sea barata Opciones de venta Una opción de venta conere a su propietario el derecho de vender un activo a un precio determinado. Las opciones de venta se denominan put options. Supongamos que a primeros

14 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 14 4 euros 48 euros 56 euros Gasto por prima Compra precio de mercado Venta precio de ejercicio Benecio/Pérdida Decisión Ejercer No ejercer No ejercer Neto Cuadro 2.2: Benecio de un inversor largo en Put sobre Inditex a 48 euros de precio de ejercicio con una prima de 1,45 euros de Julio, un inversor sospecha que las acciones de Inditex van a caer en los próximos días y observa que la cotización actual de las acciones es de 47,9 euros. El inversor piensa que como las acciones van a bajar, es un buen negocio venderlas en el futuro al precio actual de 47,9 euros. Esta operación es la que permite hacer opciones de venta. A cambio de una prima el inversor obtiene del emisor una put que le da derecho de vender en el futuro al emisor la acción al precio jado. Suponemos que el inversor encuentra a un emisor que le vende la put de Julio sobre acciones de Inditex por una prima de 1,45 euros con un precio de ejercicio de 48 euros. La orden sería : Comprar una put de Inditex de Julio 48, euros a 1,45. Esta orden supone que el inversor tiene derecho de vender hasta el tercer viernes del mes de Julio, 1 acciones de Inditex a 48, euros. Por otra parte 1,45 euros es la prima que recibe el vendedor de la put. Si el inversor no acierta, no ejercerá la opción y el emisor ganará toda la prima: 1 acciones * 1,45 euros = 145 euros. Analizamos varias situaciones posibles: 1. El precio se sitúa en 4 euros 2. El precio se mantiene en 48 euros 3. El precio sube a 56 euros Resumimos estos casos en la abla 2: Hay que destacar que teoricamente, el inversor largo en Call puede obtener un benecio ilimitado, debido a que el precio de la acción no está acotado a la derecha. Sin embargo el inversor largo en Put, puede obtener como máximo un benecio equivalente al precio de ejercicio menos la prima, ya que el precio de la acción no puede ser inferior a. El inversor a corto en Put, tendrá los benecios opuestos al inversor a largo. Además, para obtener su benecio, depende de la decisión de ejercer o no del inversor a largo. En las opciones los benecios de una de las partes son las pérdidas de la otra parte.

15 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 15 Valor opción Precio subyacente Figura 2.1: Valor de la opción en el momento de vencimiento con precio de ejercicio 1 euros para diferentes valores del subaycente Factores que inuyen en la valoración de las opciones Un de los objetivos fundamentales de este proyecto es valorar un cierto tipo de opciones nancieras. Por ello esta sección es de una gran relevancia, puesto que estudia los factores que pueden inuenciar en el precio de estos contratos. Valor temporal de la opción Suponemos una opción sobre las acciones de Santander, con vencimiento en Septiembre y un precio de ejercicio de 1 euros. Si nos situamos en el tercer viernes de Septiembre, es decir, en su vencimiento, el valor de la opción vale el benecio que reporta. Por ejemplo, si Santander cotiza a 9, no reporta ningún benecio y por lo tanto la opción no vale nada. Pero si cotizase a 11, el benecio que reporta es 1 euro. La opción vale el benecio que el emisor piensa que se producirá. En la gura, se representa el valor de la opción en la liquidación. Cuanto más alejado este el vencimiento en el tiempo más posibilidades habrá de que la acción de Santander que está hoy a 9 euros de un salto a 11 euros, obteniendo benecios. Así pues, si en el momento de vencimiento la acción de Santander está a 9 euros la opción valdrá, sinembargo cuando quedan varios meses para el vencimiento, esa opción valdrá más que. Este aumento de valor se denomina valor temporal de la opción. Podemos ver el valor del tiempo a través de los meses hallando la diferencia entre los precios de las opciones para el mismo precio de ejercicio y vendimientos diferentes. La gura muestra los efectos del valor de la opción antes de su expiración. La linea es la representación del valor de la opción en el momento del vencimiento. La línea 1 es el mismo valor pero cuando falta 1 periodo para el vencimiento. 2 y 3 son cuando qudan de 2 y 3

16 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 16 Valor de la opción Precio del subyacente Out the money At the money In the money Figura 2.2: Valor de la opción antes del vencimiento periodos respectivamente. Si el precio del activo es estable, entonces, el precio de la opción decrecerá cuando el vencimiento se acerque. En consecuencia, se puede decir que comprando opciones call se compra tiempo para que el subyacenbte se incremente, así como, la posibilidad de conseguir benecios. Si el subyacente no se incrementa, el comprador de la call pierde el valor del tiempo. El valor del tiempo decrece cuando el vencimiento se acerca, y si se vende la opción antes del vencimiento, el vendedor está reteniendo parte del valor temporal. Bajo este punto de vista, el inversor tiene una mayor rentabilidad vendiendo su posición larga, que esperando a que llegue el vencimiento. El coeciente θ muestra como varía el valor de la opción con el paso del tiempo. La prima de la opción si las demás variables permanecen constantes, descenderá en la medida que nos aproximemos al vencimiento de la opción: θ = V. Distancia al precio de ejercicio Nos situamos a 2 días del vencimiento de la opción y suponemos que tenemos una opción sobre Santander a 1 euros y otra sobre BBVA también a 1 euros. En ese momento las acciones de Santander están a 9 euros y las de BBVA a 8 euros. Para la misma volatilidad, es claro que la acción de Santander tendrá más probabilidad de alcanzar el precio de ejercicio. Por lo tanto se venderá más cara la opción de Santander. Cuanto más in the money estén, las opciones valen más, a menor distancia del precio de ejercicio mayor será el precio de la opción. Precio de los activos La variación del precio de los activos subyacentes tiene unos efectos inmediatos y signicativos en el precio de las opciones. Cuando el precio del activo se incrementa,

17 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 17 el precio de la opción también. Similarmente, cuando el precio del subyacente cae, el precio de la opción decrece. El precio de la opción varía menos que el precio del subyacente, pero el porcentaje de cambio en el precio de la opción es mayor que el porcentaje de cambio del precio del subyacente. Esto es lo que se denomina apalancamiento. El factor de apalancamiento implica que el tipo de retorno en el coste original es mayor para las opciones, pero el cambio en el precio absoluto es mayor en el activo subyacente. Por ejemplo una opción que cuesta 1 euro suponineod que en el vencimiento la acción subyacente está a 15 euros para un precio de ejercicio de 1 euros, da un benecio de 5 euros. La rentabilidad es del 5 %. El coeciente es la variación del precio de la opción producida por una variación por el precio del activo subyacente: = V S, donde V es el precio de la opción y S el precio del subyacente. El valor de delta oscila entre y 1. La oscilación del precio debida a la oscilación de una unidad del subyacente va entre y 1. Las deltas son los ratios de cobertura que se utilizan para calcular cuantas opciones hay que vender para cubrir una posición en acciones. Supongamos por ejemplo que el precio de Iberdrola es de 13,7 euros. La opción call de precio de ejercicio es 14 tiene una prima de,6 euros. Si el precio de Iberdrola subiese un euro, es decir se situase en 14,7 euros el precio de Call subiría por ejemplo a,68 euros: la delta sería de.8 euros. Si la opción tiene una delta de,8 euros, entonces la opción está respaladada por,8 subyacentes. Estar a largo en Call o corto en Put tiene una delta positiva. Es decir variaciones positivas de subyacentes provocarán alzas del valor de la opción. Sin embargo, estar a corto en Call o largo en Put tiene una delta negativa. Variaciones postivas del precio del subyacente provocarán disminuciones del valor de la opción. El coeciente γ mide cuanto varía la delta cuando el activo cambia una unidad: γ = S = 2 V S 2. Volatilidad del activo subyacente La Volatilidad es la variabilidad del precio del subyacente y suele medirse mediante la desviación típica diaria de los rendimientos de los precios. Suponemos una acción que tiene la evolución de los precios como la indicada en la columna 2 de la tabla. En la columna 3 se calculan los rendimientos como el logaritmo neperiano del cociente entre precios: ( ) P1 Rendimiento = Ln. Es difícil saber cuál es el periodo ideal para realizar el cálculo de la volatiliad, en función del periodo de tiempo elegido, el valor de la volatilidad será diferente. No es lo mismo la volatilidad calculada con los datos de un año que con los datos de seis meses. No hay ninguna manera de saber cuál es el periodo óptimo y esto tiene como consecuencia que el precio teórico calculado por diferentes operadores sea diferente. P 2

18 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS Día Precio Rendimiento ,25 2,47 % 4 3 1,55 2,88 % 5 4 1,3-2,4 % 6 5 1,1-1,96 % 7 6 1,4 2,93 % Cuadro 2.3: Rendimientos y volatilidad Con los rendimientos podemos calcular la desviación típica que es 2,43 %. Esta es la volatilidad diaria de los rendimientos. Cuanto mayor es la volatilidad, mayor es el valor de la opción, ya que se incrementa la probabilidad de que el subyacente supere el precio de ejercicio. Es la única variable que puede variar de un operador a otro en los modelos de valoración de opciones ya que el valor del subyacente, el precio de ejercicio... son comunes para todos. El coeciente υ muestra el cambio de valor de la opción cuando varía la volatilidad del subyacente: υ = V σ. El nivel de los tipos de interés El nivel de los tipos de interés es el último factor que afecta al precio de las opciones. Cuanto más alto sea el tipo de interés mayor será el precio de las opciones. La importancia relativa de este factor determina por las inversiones alternativas disponibles en el mercado y el coste para los que operan en opciones. Así se puede ver una call como una alternativa a comprar el activo subyacente, al menos desde un punto de vista de obtener una ganancia futura cuando el precio del activo suba. Si esto ocurre la call es mejor compra que el activo. El precio de la opción se incrementa, cuando los tipos de interés lo hacen para reejar este benecio. El coeciente ρ muestra como varia el precio de una opción debido a los cambios sobre los tipo de interés: ρ = V R.

19 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS Clases de productos derivados que se negocian en mercados OC Los contratos forward Los contratos forward, son los derivados más simples que existen y las transacciones - nancieras más fundamentales. Un contrato forward es el acuerdo entre dos partes para comprar o vender un activo, como una moneda extranjera o un commodity, en el futuro por un precio jado en el momento de emisión del contrato. Las partes suelen ser dos intituciones nancieras o una institución nanciera y su cliente. La parte a largo tiene la obligación de comprar el activo en la fecha de vencimiento y la contraparte a corto, será la que le venda dicho activo a cambio del precio prejado. En los contratos forward no existen primas como en las opciones. Si lo analizamos, este hecho es lógico ya que la parte a largo puede entrar en pérdidas debido a que tiene la obligación de comprar. La mayoría de estos contratos no son estándar y no se negocian en los mercados convencionales. Un granjero puede usar un contrato de este tipo para asegurar un precio de antemano por el grano de su próxima cosecha Los swaps (permutas nancieras) Un swap o permuta nanciera es un acuerdo contractual, evidenciado por un documento, en el que las partes, llamadas contrapartidas, acuerdan hacer pagos periódicos la una a la otra. El acuerdo especica las monedas que van a ser intercambiadas, el calendario de pagos, y el tipo de interés aplicable a cada parte. Supongamos que el banco BBVA tiene una deuda en tipo jo, por lo que paga todos los años un 8 %. Sus directivos piensan que el tipo de interés de la economía caerá, por lo que desearían cambiar a un tipo variable. Por otra parte supongamos que el banco Santander tiene una deuda en tipo variable, por la que paga Euribor pero el tesorero desea un pago jo para poder hacer las provisiones de fondos sin incurrir en desviaciones. Las dos entidades pueden entrar en un acuerdo swap por el que intercambian sus corrientes de pagos, y así el BBVA se endeuda en variable y el Santander se endeuda en jo. Esto se consigue de la siguiente forma: el BBVA le abona a Santander su deuda es decir el Euribor y a cambio Santander le paga a BBVA el 8 %. De esta manera BBVA está endeudado con un interés referenciado al Euribor y Santander con uno de tipo jo a 8 %. Este es el swap más común, denominado jo-variable. En este swap las partes acuerdan que una de ellas realice los pagos a un tipo de interés jo, a cambio de recibir de esta última pagos a un tipo variable. Cada uno de estos conjuntos se denomina rama o corriente de swap y será ja o variable. El tipo jo que dene la rama ja es el cupón del swap. Los pagos se calculan sobre la cuantía de activo subyacente restante denominado nocional. Cuando el nocional es una suma de dinero, se le denomina principal nocional y este no se intercambia.

20 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 2 El intercambio de un swap también puede ser de divisas-por ejemplo cambiar dólares por euros, de acciones y de activos. Uno de los problemas en el mercado de los swaps es la dicultad de encontrar una contraparte que entre en el acuerdo. Este problema se resuelve a través de intermediarios Swap (Swap Dealer). Los bancos intermediarios actúan como una de las partes del swap, se posicionan en swap. Por este servicio cobrán un diferencial entre el pago y el cobro. Este diferencial también es conocido como diferencial pagador-receptor. Este es la diferencia entre el cupón swap que el dealer paga y el cupón swap que el dealer recibe. Por ejemplo, en el mercado de swaps de interés el diferencial pagador-receptor es 3,9-5, lo que implica que el intermediario paga 3,9 % jo al receptor a cambio de recibir Euribor, o está dispuesto a entregar el Euribor a cambio de recibir 4,5. Una empresa que, por ejemplo quiere contratar un swap en el que recibe variable y paga jo, entrará en contacto con un dealer que le ofrecerá distintos precios dependiendo del vencimiento del swap. Como el dealer tiene más clientes de swaps es fácil comprender que podrá casar a las contrapartes del swap sin que estas tengan noticias la una de la otra. Volviendo al ejemplo anterior el Banco BBVA acude a un intermediario, por ejemplo Merrill Lynch, que le busca contrapartida. Ahora, el banco BBVA paga el Euribor a Merrill Lynch, y este le devuelve un 8,5 %. Como el banco BBVA estaba pagando un 9 % y recibe un 8,5 % y además paga el Euribor, al nal queda pagando Euribor +,5 %. Ha conseguido endeudarse en variable. Por otro lado, el banco Santander paga un 9 % a Merrill Lynch, a cambio del Euribor. El banco Santander pagaba Euribor y ahora lo recibe de Merrill Lynch, con lo que se compensa, pero, también paga un 9 %. El banco Santander está endeudado a 9 %. Merrill Lynch es pagador de 8,5 % por el Euribor y receptor de 9 % por el Euribor, saca un,5 % de benecio La estructura de los swaps La estructura de un swap es simple y es la misma para los cuatro tipos que existen: swap de tipos de interés, swap de divisas, swap de activos y swap de acciones. odos los swaps se construyen sobre la misma estructura. Dos partes acuerdan hacerse pagos una a la otra. El swap comienza en una fecha efectiva, que es la fecha de valoración. A partir de ella se deteermina la fecha de vencimiento. El periodo entre la dos fechas es la vida efectiva de un swap. Es durante la vida de un swap cuando se hacen los pagos periódicos. Esta periodicidad suele ser anual, semianual, trimestral o mensual. Las cantidades nocionales entre las fases pueden ser iguales o diferentes. El pago de una de las partes es a tipo jo y el pago de la otra es a tipo variable. El tipo jo se puede expresar de formas muy diversas, dependiendo de las características del mercado Swaps de intereses Es un swap en el que las contrapartes se intercambian los intereses derivados de pagos o cobros de obligaciones que se encuentran en activo. Los intereses están en diferentes bases, uno es jo y otro variable. Este tipo de swap es en la misma moneda. Los swap de intereses pueden ser: Fijo variable Una de las partes paga jo a la otra a cambio de recibir otante

21 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 21 LIBOR 4,5-75 LIBOR 4,5% 4,75% Empresa A Empresa B 5% LIBOR Figura 2.3: Esquema de un swap genérico Variable Variable Las ramas del swap están a diferente tipo variable Suponemos dos empresas A y B. El mercado le ofrece a la empresa A una nanciación a tipo jo del 5 %, y del Libor +1 puntos básicos en variable, es decir del Libor + 1 % en variable. iene ventaja en nanciación a tipo jo pero quiere nanciarse en variable. La empresa B puede conseguir a tipo jo un 5,5 % y a variable el Libor. La empresa B tiene una ventaja en variable pero quiere endeudarse en jo. El dealer swap ofrece Libor a 4,5-75. La empresa A se endeuda en su ventaja 5 % y realiza un swap vendiendo el Libor al dealer. La empresa B se endeuda en el Libor y compra el Libor al dealer. Cuando comparamos un tipo procedente del mercado monetario Libor, con un tipo procedente del mercado de bonos, el tipo jo hay que realizar algunos ajustes. Si queremos pasar de un tipo de mercado monetario a un tipo de mercado de bonos, se divide por 36 para encontrar el tipo diario y se multiplica por un año de 365 para convertirlo a tipo BB. BB = MM 365/36 Por otro lado si queremos pasar el convenio BB a MM, se divide BB entre 365 para encontra así el tipo diario, y se multiplica por 36 para pasarlo a tipo MM. MM = BB 36/365 A continuación explicamos por medio de tablas los costes de nanciación de la empresa A y B :

22 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 22 Emisión de bonos -5 % ipo jo recibido +4,5 % Diferencial neto -,5 % Cambio a MM -5*36/365=49,32 Variable pagado -Libor Coste nal de la nanciación -(Libor+,5 %) Cuadro 2.4: Coste de nanciación empresa A Emisión de FRN -Libor tipo variable recibido +Libor ipo jo pagado -4,75 % Coste nal de la nanciación -4,75 % Cuadro 2.5: Coste de nanciación empresa B Los productos estructurados Un producto estructurado es un producto concebido por un banco para satisfacer las necesidades de sus clientes. Suele ser una combinación compleja de productos clásicos y productos derivados. Por ejemplo puede ser un depósito que rinde a tipo jo con una participación a la alza o a la baja de los valores de una cesta de acciones. Los productos estructurados no cotizan en ningún mercado, su precio se determina usando modelos matemáticos que restituyen el comportamiento del producto en función del tiempo y de las evoluciones del mercado. Estos productos se venden con margenes importantes. La crisis nanciera desatada en 27 les ha impactado negativamente, ya que su transparencia se ha puesto en duda Evolución de los mercados de derivados Una vez analizado someramente el funcionamiento de los instrumentos derivados más importantes, nuestro siguiente paso es analizar la evolución de la negociación de estos. A este respecto podemos decir que el mercado de derivados tuvo su mayor impulso como instrumento de cobertura en respuesta a la creciente volatilidad de las monedas y las tasas de interés en los paises industrializados hace cerca de 3 años. Los mercados organizados siguen creciendo de forma moderada, después de años de crecimiento espectacular y los mercados no organizados, superan con creces a los primeros en volumen de negociación. Para realizar el estudio de la evolución de los mercados de derivados utilizaremos los estudios del BIS (Bank of International Settlement) realizados con la información recogida por los 26 principales bancos centrales del mundo. Los datos que ofrece se centran en volumen de negocio, medido en términos de principal nocional, tanto las nuevas operaciones realizadas durante el período en cuestión (turnover) como el saldo vivo (amount outstanding) al nal del mismo. La primera nos da una idea acerca de la actividad

23 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 23 Figura 2.4: Futuros y opciones por categoría de riesgo e instrumentos en 26 y 27 de mercado y ofrece una aproximación de la líquidez del mismo, la segunda denida como el crecimiento nominal de todos los negocios realizados y no liquidados, nos da una percepción del tamaño del mercado Evolución en los mercados organizados El mercado organizado compuesto por 58 bolsas, gestiona la transacción mensual de 1 millones de contratos según las cifras de Futures Industry. Las bolsas de derivados más grandes del mundo, medidas por el número de contratos negociados son el Korea Exchange (KRX) con más de 2 millones de contratos mensuales, el Eurex con 13 millones seguidas por el Chicago Mercantile Exchange (CME, 12 millones de contratos) que opera desde En el primer trimestre de 27 el 41 % del volumen de futuros y opciones fue realizado sobre indices de acciones y el 24 % sobre tasas de interés. Siendo menos de un 2 % en monedas. Los contratos con mayor número de transacciones en el mundo son las opciones sobre el índice KOSPI (Korea Composite Stock Price Index) y el futuro de Eurodollar del CME, que cumplió 25 años de negociación en 26. El desarollo del mercado de derivados en países emergentes solo fue posible después de la década del ochenta, cuando las economías entraron en un ciclo positivo de estabilización, crecimiento y cambios institucionales, el cual impulsó los mercados nancieros domésticos y dió mayor apertura a los inversionistas externos Evolución en los mercados OC En lo que respecta al mercado OC, a junio de 27 el BIS (Bank of International Settlements) calculó un montante de nominales de derivados de US$516 mil millones, con un crecimiento anual de 33 % desde 24 y un mercado que negocia diariamente un promedio de US$ 5 mil millones. En volumen de contratos vigentes el mercado es liderado por swaps sobre tasas de interés con el 53 % del total, seguido por los derivados sobre monedas (9 %). Sin embargo, el crecimiento más importante ha sido el de los Credit Default Swaps (CDS), instrumentos que

24 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 24 Figura 2.5: Derivados OC por categoría de riesgo e instrumentos en 25, 26, 27 permiten transferir el riesgo de crédito de un activo a otra contraparte, sin necesidad de venderlo. Según el BIS, en 26 se dobló el saldo de CDS y en los primeros meses de 27, ya cuando la crisis inmobiliaria en Estados Unidos es evidente, el saldo subió 42 %. Los países con mayor liquidez en sus mercados OC son Reino Unido y Estados Unidos que conjuntamente tasaron en Abril de 27 cerca de US$ 3 mil millones diarios, explicando el 53 % de la negociación de derivados de tasas de cambio y el 68 % sobre los de tasas de interés. En tasas de cambio siguen Singapur (US$ 152 mil millones) y Japón (US$ 149 mil millones), países donde las condiciones cambiarias, permiten un permanente arbitraje sobre sus monedas. Para tasas de interés, se posicionaron Francia con (US$ 176 mil millones) y Alemania (US$ 9 millones), siendo con Suiza las plazas de mayor relevancia en Europa. Según el saldo vigente de los contraros, los derivados IC más líquidos son los swaps seguidos por los contratos forward y las opciones.

25 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 25 Figura 2.6: Derivados OC por categoría de riesgo e instrumentos en 27, 28 y Impacto de la crisis nanciera en los mercados OC La crisis nanciera en la segunda mitad de 28 resultó en el primer declive del total de nominales sin liquidar de los derivados OC desde que se empezó a recopilar la información relativa a estos en El total de nominales de todo tipo de contratos OC estaba a US$ 548 mil millones en Diciembre de 28, un 2 % menos de su total de 683,7 mil millones seis meses antes. El coste de reemplazar todos los contratos existentes: el valor de mercado bruto, representa una mejor medida del riesgo de mercado, que el total de nominales. A pesar de la caida del total de nominales el valor de mercado bruto ha crecido debido a los fuertes movimientos de precios que aumentan en un 6 % hasta US$ 32,375 mil millones en Dicimbre de 28. Como hemos visto los derivados de tipos de interés, especialmente los swap de tipos de interés son el área más grande del mercado de derivados. En la segunda mitad de 28 el mercado OC de derivados de tipos de interés decreció por primera vez en su historia. El total de nocionales cayó a 385,896 mil millones un 16 % menos que seis meses antes. A pesar de esta bajada, el valor bruto de mercado de estos productos aumentó en un 94,4 %, llegando a 18,11 mil millones. Sin embargo los derivados de tipos de interés son una de las áreas que más creció en la primera mitad de 29. Esto se debe a que incluso los gestores de activos ligados a títulos bursátiles se estaán protegiendo en masa contra el riesgo de los tipos de intérés. Los que se posicionan a corto frente a estos productos, hay que recordar que los derivados siempre se encuentran en suministro neto nulo, han sido los fondos de pensión y aseguradoras. Estos para gestionar su estructura A/L o Activo /Pasivo han optado por apostar por el movimiento contrario de los tipos. Veamos un ejemplo en el que las entidades nancieras han aprovechado la crisis, para generar bene cios usando los derivados de tipos de interés. Desde 25 los tipos de interés subían de manera continua. Ya a mediados de 28 para las

26 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 26 Figura 2.7: Evolución historica del EURIBOR 12 meses desde 1999 Fecha ipos en el primer día del año ,251 % ,25 % ,733 % ,3 % ,855 % ,343 % ,275 % ,734 % ,312 % ,692 % Figura 2.8: Evolución histórica del EURIBOR 12 meses desde 1999

27 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 27 entidades nancieras era evidente que los tipos de interés iban a caer de forma estrepitosa. Esto se debe a que frente a la crisis la Reserva Federal de los Estados Unidos mantenía los tipos de interés americanos muy bajos y que tarde o temprano el Banco Central Europeo debía hacer lo mismo para superar la crisis. Sabiendo esto la estrategia seguida para generar benecios es la siguiente: En España una gran parte de la población poseía hipotecas cuyos intereses estaban jados con Euribor 12 meses más un diferencial. Viendo la gráca de la evolución creciente del Euribor en la gráca 2.7, y argumentando que la subida del pertroleo y la inación harían crecer más el Euribor es fácil convencer a un usuario de hipoteca de comprar un seguro sobre la subida del Euribor. Este seguro puede ser por ejemplo un swap sobre el nocional del resto de la hipoteca que el usuario debe, imaginemos que son 6 euros. Así pues el usuario paga un jo que coincide por ejemplo con el valor del Euribor cuando contrata el seguro: 4,7 % y la entidad paga el Euribor. an sólo tras un año el el Euribor se situa a 3,25 %, como se puede observar en la tabla 2.8, y el usuario debe pagar : 6 (4, 7 3, 25) = 1,5euros Asustado, el usuario, tendería a liquidar el producto, lo cual en esos momentos con las expectativas a la baja del Euribor le haría perder una suma importante, tanto más cuanto más largo sea el contrato Las coberturas de los productos derivados Como hemos visto uno de los principales objetivos de los productos derivados son las coberturas de carteras o de posiciones en los mercados que tienen algún tipo de riesgo: siendo los principales, el riesgo a los tipos de interés y al cambio de moneda. En el caso del Banco Santander: su actividad en Global Banking and Markets le lleva a dar servicio a clientes corporativos e institucionales. Los clientes corporativos tienen necesidades de nanciamento para sus proyectos: por ejemplo si Airbus quiere lanzar un nuevo avión necesita pedir un préstamo a un banco o a un conglomerado de éstos si el proyecto es de gran envergadura. Airbus tiene que protegerse contra posibles subidas de los tipos de interés para evitar faltas de liquidez en momentos dados. Aquí el banco ofrece swaps para proteger a Airbus contra su riesgo. Los traders a su vez deben analizar los riesgos propios del banco al entrar en este swap y más generalmente gestionan un conjunto de posiciones frente a clientes. Los clientes institucionales pueden ser aseguradoras y fondos de pensión que quieren obtener rentabilidad de su capital. El Banco Santander les vende productos que hagan crecer su capital según sus exigencias. De nuevo, los traders del Banco deberán cubrir los riesgos que implican la venta de estas posiciones. Vamos a analizar más en detalle el riesgo que puede aparecer cuando se posee una cartera de productos nancieros y su cobertura: Denición de la cobertura odas las carteras de activos están expuestas a dos tipos de riesgo: el riesgo propio y el riesgo sistématico. El riesgo propio engloba las decisiones, actuaciones y factores que hacen que el activo o la cartera en cuestión tenga una evolución adversa en el mercado. Por ejemplo, una

28 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 28 mala política de nanciación puede hacer descender el valor de las acciones de una empresa. La manera de disminuir el riesgo propio es diversicando la inversión, para no exponerse al riesgo de un solo activo. De esta manera, los inversores adquirirán diferentes activos de diferentes empresas. Al diversicar, el riesgo propio desaparece, por lo que las carteras diversicadas solo están expuestas al riesgo sistématico. El riesgo sistemático es independiente de las buenas o malas actuaciones de la empresa en su negocio, ya que es el riesgo que depende de la evolución del mercado, del sistema o de algún elemento que afecta a todos los activos de ese mercado. Por ejemplo una subida de los tipos de interés afecta a todas las carteras de renta ja, haciendo disminuir su valor. Este tipo de riesgo no es diversicable, por lo tanto no desaparece al comprar un gran número de activos. La única posibilidad que tiene el inversor es la cobertura de riesgo mediante productos nancieros. Distinguimos cuatro preguntas esenciales que un inversor debe hacerse cuando quiere construir una cobertura para el riesgo de su cartera. Estas son: 1. ¾Cuál es mi riesgo? 2. ¾Compro o vendo? 3. ¾Qué contrato? 4. ¾Cuántos contratos? ¾Cuál es mi riesgo? El riesgo de un inversor en el mercado depende de dos factores: la posición que tiene en el mercado y el tipo de producto que quiere cubrir. La posición del inversor en el mercado se reere a si tiene un activo y quiere venderlo en el futuro, o por el contrario, el inversor desea adquirir ese activo en un futuro próximo. Esta distincción es importante ya que no es lo mismo tener una cartera de títulos bancarios y querer venderla a querer adquirir una en los próximos meses. En el primer caso, el riesgo es que caigan las cotizaciones de los bancos en el momento de la venta, mientras que en el primer caso el riesgo es que suban los precios, ya que de este modo será más caro comprar la cartera deseada. En referencia al tipo de producto que se desea cubrir, no tiene el mismo riesgo una cartera de acciones que una cartera de renta ja. A las acciones le afecta, principalmente, la caída y subida de las cotizaciones en Bolsa. Si se supone que el inversor tiene una cartera diversicada, el riesgo de esta cartera vendrá medido por el riesgo del mercado. Sin embargo, si la cartera es de renta ja, el riesgo está centrado en las variaciones de los tipos de interés, ya que subidas de éstos tienen como consecuencia la caída de los precios de los bonos ¾Compro o vendo? El perl de la cartera de un inversor se puede analizar en un eje de coordenadas donde en las abscisas se representa el tiempo y en el eje de ordenadas el valor de la cartera, tal y como muestra la gura 2.9

29 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 29 Valor h iempo Figura 2.9: Perl del valor de una cartera Si un inversor se halla en el punto h su riesgo es que el valor de la cartera caiga. Si tuviera un activo nanciero que mostrase un comportamiento simétrico a la cartera, eliminaría el riesgo, ya que las pérdidas por la caída de valor de la cartera serían compensadas por los benecios del incremento de valor del activo de cobertura. A cambio, logicamente, no obtendría benecios tan altos como los que ha obtenido hasta ahora, pero la cobertura bloquea un precio o un benecio a cambio de no conseguir más. Si el activo que utilizamos para realizar la cobertura tiene un perl exactamente igual a nuestro activo podemos consguir el efecto deseado vendiendolo. Al venderlo hacemos que su perl para nuestra cartera sea simétrico. La regla para decidir la postura en el derivado es la siguiente: situarse en la posición contraria a la que se tiene en el activo a cubrir. Por ejemplo si estas a largo en acciones y se quieren cubrir, el inversor se situará a corto en el derivado. Si se está a corto en el activo, pero se quiere comprar en el futuro, el inversor se situará a largo en el derivado. Está regla se tiene que matizar en función del derivado para cubrir ¾Qué contrato? En la vida real es muy difícil encontrar activos de cobertura que tengan el mismo perl que nuestra cartera, aunque no sea simétrico: nos encontraremos con diferencias entre la evolución del activo a cubrir y el activo de cobertura. A esta diferencia se le denomina base. En realidad, la base de un derivado es la diferencia entre el valor del derivado y el activo subyacente, y el objetivo es encontrar coberturas con base cero. El inversor elegirá el derivado con mayor coeciente de correlación con el activo a cubrir. De esta manera, podemos pensar que nuestra cartera llega a comportarse como el activo subyacente.

30 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS 3 Valor h cartera iempo Activo de cobertura iempo Posición total iempo Figura 2.1: Bloqueo del valor de la cartera a partir de h gracias al activo de cobertura.

31 CAPÍULO 2. LOS PRODUCOS DERIVADOS ¾Cuántos contratos? Otro problema se produce cuando el valor del activo a cubrir es tan grande que no se puede cubrir totalmente con un solo derivado. Para ello, habrá que calcular cuántos derivados son necesarios.

32 Capítulo 3 La teoría de la valoración 3.1. Introducción Este proyecto se inscribe en las soluciones de implementación desarolladas por el departamento de Global Banking and Markets de el Grupo Santander para mejorar su negocio. Para entender la pertinencia de los desarollos posteriores, necesitamos entender cuál es la actividad del departamento quiénes son sus clientes. Entre los clientes del Departamento de GBM podemos distinguir dos grandes grupos: Los clientes institucionales: Estos clientes son fondos de pensiones, Hedge Funds, aseguradoras, Gobiernos... Necesitan generar rentabilidades sobre grandes carteras de activos de todo tipo. Los perles rentabilidad, riesgo pueden ser personalizados según la demanda del cliente, las rentabilidades pueden ser requeridas a largo plazo... Los clientes corporativos: Son empresas. Estas necesitan por una parte nanciarse para llevar a cabo sus proyectos pero también cubrir el riesgo de nanciamiento. Por ejemplo si piden un préstamo con pago de intereses variables, ante una fuerte súbida de los tipos de intereses pueden obtener pérdidas. Para protegerse contra este escenario las empresas contratan seguros para limitar las pérdidas. Estos seguros son productos derivados. Pasamos a explicar la actividad de algunos de estos clientes: Los fondos de pensiones: ienen una cartera de activos de todo tipo ( acciones, bonos, fondos, capital de riesgo...) que tiene que generar un rendimiento estable a través del tiempo. Su propósito, es exclusivamente nanciar los benecios de los planes de pensión. Los fondos de pensiones son importantes accionistas tanto de empresas que cotizan como de empresas privadas. Los 3 fondos más grandes poseen colectivamente 6 millones de millones de US $ en activos. En la gura 3.1, podermos observar algunos de los principales fondos de pensión. Los fondos de pensión, están expuestos a los riesgos variados: 32

33 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 33 Figura 3.1: Principales Fondos de pensión Inación: Las pensiones pueden estar indexadas en la inación. iempo: Existe un riesgo de longevidad cuando hay un aumento de la esperanza de vida de los productos nancieros. Rendimiento de los activos ipos de Intereses Para cubrirse contra estos riesgos los fondos de pensiones pueden acudir a departamentos de Banca Mayorista como el GBM del Santander. Este implementa estrategias de cobertura, vendiendo productos derivados y estructurados utilizando: acciones, tipos de intereses, híbridos... ambién pueden repartir el riesgo de los fondos de pensiones vendiendoselo a un conglomerado de clientes. Los Hedge Funds: Un Hedge fund es una empresa organizada alrededor de una enorme cartera privada de capital. Los managers de un Hedge Fund pueden comprar o vender cualquier activo. Así pues pueden hacer negocios especulativos basado sobre la caida de activos ( venta a corto y después compra) o sobre la súbida de los activos. La función de los Hedge Funds se ha vuelto muy importante: Contribuyen a la eciencia de los mercados. Son muy activos en la dirección de las empresas. Proveen rendimientos no volátiles y sin correlaciones.

34 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 34 Figura 3.2: Principales Hedge Funds En la gura 3.1podemos ver los principales Hedge Funds. Estos Hedge Funds a su vez trabajan para grandes inversores, inversores institucionales, fondos de pensión... ienen un papel fundamental en los mercados de securities, en Estados Unidos: 1 % de las transacciones de renta ja 35 % de las actividades en productos derivados 55 % de las actividades de bonos de paises emergentes 3 % de negocios en títulos bursátiles Los Hedge Funds están expuestos a los siguientes riesgos: Apalancamiento: Los hedge funds piden prestamos de dinero a parte del dinero invertido por los inversores. Si el aplancamiento es muy alto, una pequeña caida en el valor de las inversiones puede llevar a la destrución del 1 % de las inversiones de algunos clientes. LCM quebró en 1998 con 125 mil millones de US $ de activos de los cuales 4 mil millones de US$ directamente de los inversores. Un a plancamiento de más de 3 veces. La venta en corto: Si un Hedge Fund vende en corto como estrategia de inversión más que como estrategia de cobertura, las pérdidas en las que se pueden incurrir son teoricamente ilimitadas.

35 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 35 Falta de regulación Apetito por el riesgo Figura 3.3: Fluctuaciones en los precios del eurodólar Para invertir con aplancamiento el Hedge Fund necesita a un Banco que le preste dinero y securities. El banco provee con liquidez a los Hedge funds en poductos derivados y estrucutrados para responder a sus necesidades de colateral. Las empresas Están sometidas a riesgos variados dependiendo de su actividad. Las empresas que trabajan con commodities tiene que cubirse contra el riesgo de fuctuaciones de los precios, que producen incertidumbre en los futuros valores de mercado. Las empresas que tiene una fuerte exposición internacional tienen que protegerse contra las uctuaciones en los tipos de cambio. Podemos observar estas uctuaciones en las guras 3.1,3.1. Necesitan pues implementar estrategias de cobertura a través de varios instrumentos como los contratos de futuros o los swaps. Es aquí donde interviene la Banca Mayorista. Así pues analizando el negocio y los clientes de la Banca Mayorista, llegamos a la problemática que aparece en la actividad diaria del GBM del Banco Santander. Hay que proveer al cliente con productos derivados para sus necesidades en cobertura de riesgos, en crecimento de los rendimientos de activos y en especualción sobre valores. La pregunta a hacerse es: ¾ a que precio vender estos productos para conseguir enganchar al cliente sin poner un precio demasiado agresivo respecto a la competencia? ¾ Una vez vendido el producto que estrategias implementar

36 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 36 Figura 3.4: Fluctuaciones en los precios del barril Brent para no incurrir en pérdidas por el pago de sumas a los clientes que tienen una posición vaforable en el vencimiento de sus contratos? Para responder a estas preguntas tenemos que adquirir conocimientos en la disciplina de las matemáticas nancieras. Intentaremos dar al lector los conceptos necesarios para poder entender la teroría de la evaluación y de las sensibilidades Herraminetas básicas de análisis matemático En esta sección daremos las bases matemáticas en las que se basa la teoria de la evaluación de los productos derivados. Estas irán desde algo tan sencillo como denición de una variable aleatoria hasta herramientas matematicas más complejas como puede ser el movimiento browniano Experiencias aleatorias Convenimos de representar una experiencia aleatoria ε, es decir una experiencia cuyo resultado está sometido al azar, por el conjunto Ω, de todos los resultados posibles de esta experiencia. Una realización ω, elemento de Ω es también llamada experiencia elemental. Un evento aleatorio A ligado a la experiencia ε está representado por el conjunto A de experiencias ω, para las cuales, el evento A se realiza. Es por lo tanto un subconjunto de Ω. La clase de todos los eventos posibles ligados a la experiencia ε que designamos por A, tiene las siguientes propiedades: Ω A; A es estable por complementación; A es estable por reuniones contables.

37 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 37 A es por lo tanto una tribu sobre Ω. El concepto de tribu, aparece en el intento de medir partes de Ω, es el conjunto de las partes medibles de Ω. El hecho de que una parte de Ω sea medible no depende de sus propiedades intrinsecas si no de las propiedades relativas a otras partes medibles. Así pues una tribu sobre un conjunto Ω es una familia no vacia de partes de Ω que verica: contiene, es decir el conjunto vacio es estable por complementaridad: si B entonces Ω/B es estable por reuniones contables: si n N B n entonces n B n Por ejemplo si tenemos un conjunto de tres elementos Ω = {a, b, c} podemos construir como tribus: {, Ω} {, Ω, a, {b, c}} {, Ω, b, {a, c}} {, Ω, c, {a, b}} {, Ω, a, b, c, {a, c}, {b, c}, {a, b}} = P (Ω) que es la familia que contiene todas las partes de Ω En la mayoría de casos prácticos y para nuestro estudio, usaremos la tribu boreliana notada B(R). Esta tribu sobre R está engendrada por la clase de todos los intervalos abiertos]a, b[, a R, b R. Esto quiere decir que B(R) es la mas pequeña tribu que contiene todos los abiertos de R y que es la interseción de todas las tribus que contienen los abiertos de R. Así pues la pareja (Ω, A) tal que A es una tribu de Ω es un espacio probabilizable y A es la tribu de los eventos Variables aleatorias Deninición: Una variable aleatoria es una aplicación medible de (Ω, Ϝ, P ) en (Ω, Ϝ ). Por ejemplo el precio de una acción en t es una variable aleatoria de valores en (R +, B (R + )). Aquí tenemos: Ω = R, Ϝ = B (R) donde P es en principio desconocido Procesos aleatorios Denición: Un proceso aleatorio es una familia de variables aleatorias (X n ) n N.

38 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 38 ω1 ω2 Figura 3.5: rayectorias de un proceso aleatorio S Figura 3.6: rayectorias precio de un activo Interpretación: A n jo, tenemos una variable aleatoria. A ω jo, tenemos una trajectoria, es por ejemplo el resultado de una experiencia. ambién podemos considerar X como una función de ωel azar y de n el tiempo. En nanzas, solo podemos observar una realización, (S n ) n N proceso aleatorio que representa el precio de un activo. Nos interesaremos en eventos del tipo:

39 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 39 S*u*u S*u S S*d S*d*d Figura 3.7: Modelo binomial para el precio de un activo P (S n > K) P (a < S n < b), n [n 1, n 2 ] Filtraciones y mensurabilidad Denición: Una ltración es una familia creciente de sub-tibus de Ϝ (Ϝ n ) n N, Ϝ n Ϝ n+1 Se suele decir que Ϝ n contiene elementos conocidos (información disponible) en n. Hay que saber que Ϝ n no es aleatorio ( no depende de ω). Ejemplo1 : En nanzas se suele coger la ltación engendrada por un proceso aleatorio ( la más pequeña ltración que hace que el proceso aleatorio sea medible). Ϝ n = σ (X i, i n) Entonces n, X n es Ϝ p medible si p n y {X n = a} Ϝ n, {X n 1 } Ϝ n, {a X n+1 b} / Ϝ n, {a X n+1 b} Ϝ n+1 { Ejemplo2: El universo de los posibles se puede modelizar por Ω = (a, b, c) {, 1} 3} sabiendo que 1 representa la subida y representa la bajada. enemos 8 tripletes posibles. Ϝ = P (Ω)

40 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 4 Ϝ n = σ (S n ) Ϝ = {Φ, Ω} Ϝ 1 = {Φ, Ω, {(1,, ), (1,, 1), (1, 1, ), (1, 1, 1)}, {(,, ), (,, 1), (, 1, ), (, 1, 1)}} enemos 4 eventos. eniendo en cuenta que la información que tenemos en el instante 2 debe incluir la que teniamos en 1 más la nueva que aprece al conocer la realización del segundo miembro del triplete diriamos que : Ϝ 2 = F 1 {{(1,, ), (1,, 1)}, {(1, 1, ), (1, 1, 1)}, {(,, ), (,, 1)}, {(, 1, ), (, 1, 1)}} Sin embargo como ya sabemos Ϝ 2 es una tribu y por lo tanto deberá responder a la ley de estabilidad por complementaridad y por reuniones contables. Así pues: Ϝ 2 = F 1 {{(1,, ), (1,, 1)}, {(1, 1, ), (1, 1, 1)}, {(,, ), (,, 1)}, {(, 1, ), (, 1, 1)}} {(1,, ), (1,, 1), (,, ), (,, 1)}, {(1,, ), (1,, 1), (, 1, ), (, 1, 1)}, {(1, 1, ), (1, 1, 1), (,, ), (,, 1)}, {(1, 1 {(1,, ), (1,, 1), (1, 1, ), (1, 1, 1), (,, ), (,, 1)}, {(1,, ), (1,, 1), (1, 1, ), (1, 1, 1), (, 1, ), (, 1, 1)} {(1, 1, ), (1, 1, 1), (,, ), (,, 1), (, 1, ), (, 1, 1)}, {(,, ), (,, 1), (, 1, ), (, 1, 1), (1, 1, ), (1, 1, 1)} En la segunda línea, tenemos las partes de 4 elementos obtenidas de las uniones 2 a 2 de los elementos de la primera linea. En la tercera y cuarta linea están las partes de 6 elementos, obtenidas de las uniones 3 a 3 de los elementos de la primera linea. Si intentamos continuar realizando uniones de elementos o intersecciones de elementos obtenemos alguno de Ϝ 2, lo que indica que se han hallado todos los elementos de la tribu. Denición Si n, X n es Ϝ n medible, decimos que X está adaptado a la ltración. Si n, X n es Ϝ n 1 medible, decimos que X es previsible Esperanza condicional Sea (Ω, Ϝ, P ) y ϕ una sub tribu de Ϝ. L 2 (Ω, Ϝ, P ) formado por las clases de variables aleatorias Ϝ medibles y cuadrado integrables, es un espacio de Hilbert. L 2 (Ω, ϕ, P ) es un sub espacio vectorial cerrado de L 2 (Ω, ϕ, P ) ya que el limite de una variable aleatoria de L 2 (Ω, ϕ, P ) es una de L 2 (Ω, Ϝ, P ). E (. ϕ) es la proyección de L 2 (Ϝ) sobre L 2 (ϕ). X L 2 (Ϝ), E (X ϕ) es una variable aleatoria de L 2 (ϕ) L 2 (Ϝ), la proyección ortogonal de X sobre ϕ. Nota: Sea Y = E (X ϕ), entonces X Y L 2 (ϕ) Esto implica que: X Y 1 A A ϕ y P (A) <, donde 1 A es la indicatriz de A es decir la función que asocia 1 cuando la variable está en A y en el caso contrario. A ϕ. E (X1 A ) = E (Y 1 A ) (3.1)

41 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 41 Nota 2: E (. ϕ) es un operador uniformemente continuo sobre L 2 (Ϝ). Sabemos que L 2 (Ϝ) es denso en L 1 (Ϝ), es decir la clase de variables Ϝ medibles y integrables. Entonces existe un prolongamiento único a L 1 (Ϝ), lo anotamos también E (. ϕ) y está caracterizado por 3.1. eorema: Propiedad característica de la esperenza condicional: Sea X una variable aleatoria integrable. La esperanza condicional E (X Ϝ) es la única clase de variable aleatoria Z que tiene las siguientes propiedades: 1. Z es Ϝ medible. 2. Para toda variable aleatoria U, Ϝmedible integrable: Propiedades: E (ZU) = E (XU) Consideramos X et Y integrables: E (X Ϝ) = X si X es Ϝ medible E (X Ϝ) = E (X) si X es independiente de Ϝ E (E (X Ϝ)) = E (X) Si X es Ϝ medible: E (XY Ϝ) = XE (Y Ϝ); Si ϕ es una sub tribu de Ϝ entonces : E (X ϕ) = E (E (X Ϝ) ϕ) E (X Ϝ) L 2 < X L 2 eorema para el cálculo de esperanzas condicionales Sea (, X) una variable aleatoria de valores en el espacio producto E F y h : E F R medible y acotada. Suponemos que es L medible y que X es independiente de L. Entonces: E (h (, X) L) = E (h (, X)) Esta igualdad se puede escribir como: E (h (, X) L) (ω) = Ω h ( (ω), X (ω )) dp (ω ) eorema: desigualdad de Jensen

42 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 42 Previo: Una función convexa en R es una función f : R R tal que: f (λx + (1 λ) y) λf (x) + (1 λ) f (y) para todos x e y que pertenecen a R y λ 1. Si denimos t = λx + (1 λ) y entonces: λ (x y) = t y y la desigualdad se escribe también: para y < t < x: Así pues: Finalmente: f (t) t y x y f (x) + x t x y f (y) (t y) (f (x) f (t)) + (x t) (f (y) f (t)) f (t) f (y) t y f (x) f (t) x t Vemos que cuando f es derivable esto es equivalente a que la derivada es creciente. f(t) f(y) Ahora denimos: β (t) = sup y t t y Obtenemos para todo y < t < x: f (t) f (y) t y β (t) f (x) f (t) x t f (x) f (t) + (x t) β (t) f (y) f (t) + (y t) β (t) Lo que signica que para todo real z, f (z) f (t) + (z t) β (t) SI dennimos : G (f) = {(a, b) R; f (x) ax + b, x R} Resulta de la igualdad precedente que: f (x) = max {ax + b; (a, b) G (f)}

43 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 43 eorema: integrables, Si f : R R es convexa, para toda variable aleatoria X tal que X y f (X) son f (E (X Ϝ)) E (f (X) Ϝ) (3.2) Demostración: Si (a, b) G (f), f (X) ax + b, entonces: Entonces: E (f (X) Ϝ) ae (f (X) Ϝ) + b E (f (X) Ϝ) max {ae (X Ϝ) + b; (a, b) G (f)} = f (E (X Ϝ)) Martingalas Es corriente que nos vemos confrontados a estimar valores futuros de un preoceso en función de las informaciones disponibles y de calcular las esperanzas condicionales. En este cuadro las martingalas son procesos que verican propiedades notables. Sea X = (X n ) n N un proceso de (Ω, Ϝ, P ) en (R, B (R)). Denición: (X n ) n N es una (Ϝ n ) martingala si : n X n es Ϝ n -medible, es decir X es adaptado n p E (X n Ϝ p ) = X p Interpretación: La mejor approximación de los valores futuros son los valores presentes eorema de Radon-Nikodym Estudiamos este teorema ya que nos da una condición necesaria para aplicar los cambios de numerarios que explicaremos en la sección Denición: Dadas dos medidas µ y ν sobre (Ω, F ) decimos que µ es absolutamente continua respecto de ν si para todo A F, ν (A) = implica que µ (A) =. No tiene por que cumplirse en setido contrario es decir que el conjunto A de medida µ nula puede ser más grande que el conjunto A de medida ν nula. Denición: Dadas dos medidas µ y ν sobre (Ω, F ) decimos que µ admite una densidad ϕ respecto de ν si para todo A F, µ (A) = ϕdν Se suele escribir: ϕ = µ ν y µ = ϕ ν A

44 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 44 eorema de Radon-Nikodym Dadas dos probabilidades Q N y Q U sobre (Ω, F ). Q N admite una densidad respecto de Q U, QN Q U si y solamente si Q N es absolutamente continua respecto de Q U Cálculo estocástico en tiempo continuo, respecto al browniano Familia gausiana: rabajaremos en un espacio de probabilidades (Ω, F, P ). Recordemos que una familia {X i, i I}de variables aleatorias es gausiana si toda combinación lineal nita de estas variables aleatorias sigue una ley normal. La ley global de esta familia (es decir la ley de toda sub-familia nita que se llama vector gausiano) es determinada por las esperanzas E(X i ), i I, y las covarianzas Cov (X i, X j ), i, j I. La ley del vector gausiano es caracterizada por su transformada de Fourier o de Lapalace para λ C n, E ( expλ t X ) ( ) = exp λe (X) + λt K x λ 2 donde X es considerado como un vector columna, E(X) es el vector de componentes E(X 1 ),...E(X n )y K X es la matriz de covarianzas de X denida por: K X = E ( (X E(X)) ( X E(X) t)) Si I 1 e I 2 son dos partes de I, la independencia de {X i, i I 1 }y {X i, i I 2 } es equivalente al hecho que Cov (X i, X j ) =, si i I 1 y j I 2. Un proceso gausiano es por denición un proceso cuyos elementos forman una familia gausiana. Movimiento browniano: Introducción: En 1828 el botánico inglés Robert Brown observó que los granos de polen en suspensión se movían de forma irregular. Posteriormente se descubrió que este fenomeno es debido a los choques aleatorios de las partículas de polen con las moleculas del líquido. En los años 2 Norbert Wiener presentó un modelo matemático para este movimiento basado en la teoría de los procesos estocásticos. La posición de una partícula en cada instante t es un vector variables aleatorio 3-dimensional W t. La denición en una sola dirección es la siguiente: Denición: Llamamos movimiento browniano el proceso aleatorio W t, t R + de trayectorias continuas, tal que W = y para todo s t, W = W t W s tiene una ley N (, t s) W t W s independiente de W r, r s. La última proposición quiere decir que cualquier incremento del proceso de un browniano es independiente de otro cuyos tiempos no se solapan.

45 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 45 Proposición: Un proceso continuo {W t, t R + } es un movimiento browniano si y solamente si este proceso gausiano verica: E (W t ) =,E(W t W s ) = min(s, t), para todo t, s. Prueba: Sentido directo: Suponemos primero que W t, t R +, es un movimiento browniano. Entonces W t está centrado por lo cual E (W t ) =. Además, si s t, sabemos que W t W s es independiente de W r, r s, y en particular de W s. Resulta que : E (W t W s ) = E ((W t W s + W s ) W s ) = E (W t W s ) E (W s ) + E(W 2 s ) = s Sentido indirecto: Suponemos que la relaciones se cumplen, vamos a mostrar que el proceso W t es un movimiento browniano. Hay que mostrar primero que si s t, W t W s es independiente de W r, r s. Debido a que la familia de los W t, t es gausiana, es suciente vericar que Cov(W t W s, W r ) = si r s t. Cov (W t W s, W r ) = E (W t W r ) E (W s W r ) = min (t, r) min (s, r) = Hay que ver que si s t, la ley de W t W s no depende más que de t s: esta ley es gausiana centrado y su varianza es: ( E (W t W s ) 2) = E ( Wt 2 ) ( ) E W 2 s 2E (Wt W s ) = t + s 2s = t s Finalmente W t está centrado y es de varianza t. ¾ Por qué la varianza del incremento de browniano W se dene como y no cualquier otra función de? Sea una partición uniforme del tiempo tal que t j t j 1 = = N t = t N =. Supongamos que la varianza de W es α con α Z W = N j=1 W tj,t j 1 N V ar [W ] = V ar W j Por la independencia de los incrementos de browniano cuyos tiempos no se solapan: V ar [W ] = j=1 N N V ar [ W j ] = α j=1 j=1

46 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 46 V ar [W ] = N α = α = α 1 Para α = 1: Para α < 1 lim V ar [W ] = lim α 1 lim V ar [W ] = lim V ar [W ] = lim [ 1 α ] = + La varianza de W es innita, no se puede simular por que nuestro proceso explota y en el tiempo se puede hayar en +. Para α > 1 lim V ar [W ] = lim [ α 1 ] = Este proceso no tendría movimiento, por lo cual tampoco se puede simular en este caso. Finalmente la única manera de simular el movimiento browniano es cuando α = 1. Observaciones: 1) El movimiento browniano es un proceso gausiano. En efecto la ley de un vector aleatorio (W t1, W t2,..., W tn )es normal ya que este vector es una transformación lineal del vector ( ) W t1, W t2 W t1,..., W tn W tn 1 que tiene ley normal ya que tiene las componentes independientes y normales. 2) El teorema de continuidad de los procesos aleatorios nos dice que si : {X t, t }cumple la condición : E ( X t X s p ) c t s α para todo s t donde α > 1 y p >. Entonces existe una versión del proceso aleatorio X t que tiene trayectorias continuas. Este teorema además nos da información de la regularidad de las trayectorias. Si jamos el tiempo a [, ]. Entoncesces, para cada ɛ > existe una variable aleatoria G ɛ, tal que, con probabilidad 1, X t (ω) X s (ω) G ε, (ω) t s α p ε para todo s, t [, ] Queremos aplicar esta desigualdad al movimiento browniano. Si elejimos p = 2k y utilizando :

47 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 47 E ( W t W s 2k) = (2k)! 2 k (t s)k k! enemos α = k Por lo tanto para todo ɛ >, existe una variable aleatoria G ɛ, tal que: B t (ω) B s (ω) G ε, (ω) t s 1 2 ε para cada s, t [, ]. Es decir que intuitivamente tenemos: 1 2 B t = B t+ t B t ( t) En media esta aproximación es exacta : [ E ( B t ) 2] = ( t) Esto nos da una idea de la ausencia de regularidad del movimiento browniano en cada punto. Derivación: Las trayectorias del movimiento browniano no son diferenciables en ningún punto con probabilidad de 1. donde: { ω Ω : t [, ], D + W t (ω) =, o, D + B t (ω) = } D + B t = lím sup h + B t+h B t h D + B t = lím inf h + cotiene un evento A F con probabilidad 1. B t+h B t h Movimiento browniano y martingalas: El proceso del movimiento browniano es una martingala : para todos s y t tal que t < s : E (B s F t ) = E (B t + (B s B t ) F t ) = B t + E (B s B t ) = B t ya que B s B t es independiente de F t.

48 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 48 Integrales estocásticas: Sea (X t ) un proceso aleatorio adaptado a la ltración F t tal que: E para cada t. Entonces existe una variable aleatoria : I t (X) = Xs 2 ds < X s dw s que identicamos con la integral de X en el movimiento browniano, que satisface las siguientes propiedades: I (X) = E (I t (X) F s ) = I s (X) para cada s t es decir I t (X) es una martingala. ) ( ) E ((I t (X) I s (X)) 2 t F s = E s X2 udu F s, s t. ( En particular E I t (X) 2) ( = E udu) X2. ( ) Si X t es determinista, t I t (X) ℵ, X2 s ds Fórmula de Itô para el Browniano: Si f : R R es de clase C 2, f (W t ) = f () + f (W s ) dw s f (W s ) ds Generalización unidimensional: X t que se escribe: Denominamos proceso de Itô- unidimensional un proceso X t = X + a s ds + σ s dw s Donde (a s ) y (σ s ) son procesos aleatorios adaptados. ambién podemos expresar X t función de su dinámica: en dx t = a t dt + σ t dw t

49 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 49 eorema: Sea X t un proceso de Itô unidimensional y f : R + R R de clase C 2, f (t, X t ) = f (, X ) + f (s, X s ) t ds + t f (s, X s ) dx s + 1 x 2 La fórmula de Itô, también se puede escribir de forma diferencial: d (f (t, X t )) = f (t, X t) t dt + f (t, X t) dx t + 1 x eoremas fundamentales del mercado Las estrategias 2 f (s, X s ) x 2 σt 2 dt 2 f (s, X s ) x 2 σsds 2 Consideramos un modelo de mercado que consiste en los procesos de precio ( S i t) que existen en un universo de probabilidades (Ω, F, P ). La ltración (F t ) t= designa el conjunto de información disponible en cada instante t de hasta. F = {Φ, Ω} donde Φ designa el conjunto nulo, que no contiene ningún elemento. F = F Para todo ω Ω; P ({ω}) Stdesigna i el precio del activo i en la fecha t. Fijamos en N+1 el número de activos de tal forma que tengamos: ( ) St, St 1,..., St N S t designa el precio del activo sin riesgos en la fecha t. Se suele representar por B t que hace referencia al valor en t de un hipotético depósito bancario de 1 euro que se efectuase hoy ( bank account). 1. B t = (1 + r) t en el caso de tiempos discretos, para t =,..., con t N 2. B t = e rt en el caso de tiempo continuo, es decir para t R + ( S i t ) es un proceso de precios adaptado a la ltración F Finalmente S t i = Si t designa el precio del activo i actualizado en t. En general en las St secciones posteriores cualquier activo cuyo proceso de precios es (V t ) si se actualiza se representa por ( ) Ṽ t

50 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 5 Denición 1: Una cartera es un proceso adaptado h t = { } h t, h 1 t,..., h N t, donde cada h i t, representa el numero instanteneo de activos i que detiene el inversor en el tiempo t. Este proceso es previsible si : para todo t h t es F t 1 medible. Esto signica que para el inversor la decisión del número de activos a detener en cada instante t depende solo de la información que se tiene hasta el instante anterior. Así pues el valor de la cartera será: V (h) =< h 1, S > V t (h) =< h t, S t >= N k= hk t S k t, t Denición 2: En el caso de los tiempos discretos, con t N, t se dice que una cartera h es autonanciada cuando : Entonces: Por lo cual: < h t, S t >=< h t+1, S t >, t = 1,..., 1 V t (h) V t 1 (h) =< h t, S t > < h t 1, S t 1 >=< h t, (S t S t 1 ) > V t (h) =< h t, S t > para todo t = 1,...,. Intentemos hallar el valor de una cartera V t para todo t = 1,..., : Finalmente: t t V t (h) V (h) = V i (h) = < h i, S t > i=1 i=1 t V t (h) = V (h) + < h i, S i S i 1 > i=1 Ṽ t (h) = V (h) + t < h i, S i S i 1 > i=1 En el caso del tiempo continuo con t R +, se dice que una cartera h es autonanciada cuando: dv t (h) =< h t, ds t >= N h k t dst k (3.3) k=

51 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 51 El valor en t de la cartera h, será: V t (h) = V (h) + Si actualizamos todos los activos obtenemos: Ṽ t (h) = V (h) + < h s, ds s > < h s, d S s > Por ejemplo si en el instante inicial tenemos un portafolios consituido por 1 acciones de Iberia a 2 euros y dos de Iberdrola renovables a 1 euros tendremos un portafolio de valor 4. Aquí tenemos : h 1 = 1, S 1 = 2 h 2 = 2, S 2 = 1 Lo que nos dice esta proposición es que para que este portafolios sea autonanciado en el instante siguiente de toma de decisiones solo tendremos las siguientes oportunidades: 1. Seguir con h 1 = 1 y h 2 = 2. Una acción Iberia y dos Iberdrola renovables. 2. omar h 1 = y h 2 = 4. Cuatro acciones Iberdrola renovables. 3. omar h 1 = 2 y h 2 =. Dos acciones Iberia. Los portafolios autonanciados no tienen aporte de dinero externo. Esto signica que la única manera de conseguir fondos para comprar un nuevo producto es vendiendo otro activo del portafolios. Hay que destacar que V t (h, S) es autonanciado si y solo si V t (h, S) lo es. Proposición 1: Sea ( h t )t=1... un proceso previsible con valores en Rd. Sea V o una variable aleatoria medible respecto de Ϝ. Entonces existe un único proceso aleatorio ( ) h t de t=1... valores en R tal que: (h t ) t=1... = ( h t, h t )t=1... es una estrategia autonanciada de valor inicial V. Es decir si tenemos una estrategia en activos sobre títulos y una valor incial del portafolios, existe un único proceso aleatorio ( ) h t de cantidades de activos de renta ja ( por ejemplo t=1... bonos) para que la estrategia total sea autonanciada.

52 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 52 Prueba Proposición 1: Sea ( h t )t=1... un proceso aleatorio de valores en R, ( ) h es t t=1... un proceso aleatorio previsible. Si (h t ) t=1... = ( h t, h t es una estrategia autonanciada )t=1... que tiene por valor inicial V, entonces, necesariamente: Razonamiento por recurrencia: para t=1 Ṽ = h 1 S Ṽ = h 1 + h 1 = Ṽ d h i 1 S i i=1 d h i 1 S i Donde Ṽ y los S i son Ϝ medibles por denición y los h i 1lo son también al ser ( h t )t=1... un proceso aleatorio previsible. Entonces h 1 es Ϝ medible. Por otra parte h 1 está completamente determinado por Ṽ y h t. para todo t genérico: i=1 < h t, S t >=< h t+1, S t >, t = 2,..., 1 h t + d h i t S t i = h t+1 + i=1 h t+1 = h t + d i=1 S i t d i=1 h i t+1 S i t ( h i t+1 h i t) Suponemos h t es Ϝ t 1 medible entonces es Ϝ t medible ya que Ϝ t 1 Ϝ t. h t+1 es una suma de procesos Ϝ t medibles entonces es Ϝ t medible. Suponemos h t denido de forma única. Vemos como h t+1 queda completamente denido de forma única también. Conclusión: ( h t ) t=1... es un proceso previsible y está denido de manera única Oportunidades de arbitraje y medidas de martingalas Proposición 2: Una estrategia autonanciada es admisible si su proceso de precios verica: V t, P casiseguro, t =,...,

53 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 53 Denición 3: Una estrategia autonanciada admisible es llamada oportunidad de arbitraje cuando su proceso de precios verica: V = V t, P casiseguro, t =..., E P [V ] > Denición 4: Un modelo de mercado nanciero se dice sin arbitrajes o viable si no existe una oportunidad de arbitraje, i.e si para toda estrategia admisible (h) t=1... V = V = ; P casiseguro Denición 5: Una medida de probabilidad Q sobre el espacio (Ω, Ϝ) es llamada probabilidad martingala si el proceso de precios actualizados ( Si ) t es una martingala bajo Q, si ] E mathbfq [ Si t < y S [ ] i s = E Q Si t F s, i = 1...d, s t, Denición 6: Una probabilidad martingala Q es equivalente si es equivalente a la original P. Esto ocurre si y solamente si: eoremas de mercado A Ϝ/P (A) = Q (A) = eorema fundamental de la evaluación por arbitraje Un modelo de mercado nanciero es viable si existe una probabilidad P* equivalente P tal que los precios actualizados son P* martingalas. Prueba: En el sentido directo, admitido. En el sentido indirecto, suponemos que existe una probabilidad martingala P* P / ( ) St, P* martingala. Mostremos que el mercado es viable: Sea h admisible / V o (h) =, casiseguro Como h es autonanciado tenemos: Ṽ t = V + t < h j, S j > j=1

54 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 54 Utilizamos el resultado siguiente: si h j, S j > también. ( Sj ) es martingala, entonces ( t ) = t j=1 < Prueba: Por producto y por suma t es F t medible. ( E ( t+1 t F t ) = E (h t+1 St+1 S ) ) t F t ( ) ( )] = h t+1 [E St+1 F t E St F t [ = h t+1 St S ] t = Entonces: E ( t+1 F t ) = t enemos: Ṽt = V + n donde t es martingala, entonces ( Ṽ t ) es martingala. Suponemos una estrategia ϕ admisible es decir que V (ϕ) = V t t ) ) E (Ṽt = E (Ṽt F = Ṽ = V = Entonces deducimos que: E (V t ) = n. Por lo cualϕ no es una estrategia de arbitraje y esto es cierto ϕ. Concluimos que el mercado es viable. Denición 7: Un producto derivado de tipo europeo puede ser modelizado por una variable aleatoria ξ,f-medible que representa el ujo que se efectua en. Por ejemplo, Call Europeo, ξ=(s K) + eorema del mercado completo Un mercado de productos derivados es completo si todo producto derivado puede ser cubierto por una estrategia autonanciada admisible: ξ F n medible ϕ admisible / V (ϕ) = ξ Un mercado viable es completo si y solamente si existe una única probabilidad P* equivalente a P tal que ( Sn ) es martingala. Esta probabilidad P* se denomina probabilidad riesgo neutro y el universo Ω, universo riesgo neutro.

55 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 55 Prueba: 1. Sentido directo: Supongamos un mercado viable y completo. Sea ϕ variable aleatoria que modeliza un producto derivado ξ, F medible El mercado es viable entonces existe P tal que ( St ) es P-martingala. El mercado es completo entonces existe una estrategia de cobertura ξ = V (h) h autonanciado, entonces, con ( Ṽ ) martingala. Ṽ (h) = V (h) + < h j, S j > j=1 Supongamos que existe P 1 P 2 / ( Sj ) martingala Entonces ξ, i ) ) E Pi ( ξ = E Pi (Ṽ F = V Sabemos que V es independiente de la probabilidad que consideremos. Entonces ξ : E P1 (ξ) = E P2 (ξ) ξ (ω) P 1 (ω) = ω ω ξ (ω) P 2 (ω) Sea ω jo, Cogemos ξ tal que : ξ (ω ) > ξ (ω) =, ω ω Finalmente : P 1 (ω ) = P 2 (ω ), ω Por lo cual queda demostrado que la probabilidad equivalente a P para que el mercado sea completo es única.

56 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN Sentido indirecto Suponemos un mercado viable pero no completo. P P pero P P / ( Sn ) es P -martingala. Sea F el conjunto de activos que se pueden cubrir. F = ξ F medible ξ ξ = V (h) = V (h) + j=1 h j S j con hadmisible, V, Ϝ medible El mercado es no completo. F [ ξ, F medible, ξ ] Entonces F {}ya que F cerrado. Si denimos P** como: X F / Y F, E (XY ) = P ({ω}) = P ({ω}) + X (ω) 2 X P ({ω}) P** como Ω es discreto, tenemos P** que es una medida perfectamente denida: A F, P (A) = N A P ({ω}) Además: P (Ω) = 1 + ω X (ω) P (ω) 2 X = X E (X) E (X) = E (X,1) = Puesto que 1 F y X F P** P* P ({ω }) P ({ω}) ω /X (ω )

57 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 57 P** P*? Si P ({ω}) = = P ({ω}) = Si P ({ω}) = entonces, ( 1 + X (ω) 2 X (ω) ) P (ω) = El primer factor de la multiplicación [ 1 2, 3 2] = P (ω) = ¾ S n es F n martingala? E j enemos h previsible h j S j = E j h j S j + ( ) E j h j S j.x = 2 X Entonces S j es P martingala Valoración de productos derivados Valoración de las opciones europeas: Sea ξ el payo de un producto derivado europeo que se produce en el tiempo de vendimiento, ξ y ξ es F medible. En la literatura académica ξ es denominado reclamación contingente. Si el mercado es viable-completo: una estrategia admisible ϕ tal que V (ϕ) = ξ P* tal que ( Sn ) P* martingala con P = P Vamos a vender el producto derivado al precio de su cobertura. ) ) P recio = V = Ṽ = E (ṼN F = E ( ξ F Ejemplo 1 : Para el Call europeo tenemos: ξ call = (S K) + Donde S representa el precio de la acción en la fecha de vencimiento y K el precio de ejercicio de la opción. Aplicando 3.4 obtenemos: ( ) + (S K) Call = E S Las secciones posteriores se centraran en como resolver este cálculo de esperanza teniendo un proceso aleatorio (S t ) cuya distribución a priori desconocemos. (3.4)

58 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 58 Sin embargo con lo que hemos visto hasta el momento podriamos dar una estimación de este precio gracias a la desigualdad de Jensen 3.2. La función x R x + es convexa, por lo cual: Call ( [ ]) + S K E S F ( [ ]) + ( S K ] [ ]) + 1 E S F = E [ S F KE S F Call S Ke r Ejemplo 2: El bono zero cupón utilizado, comumente como factor de descuento, es el activo que da en su madurez 1 euro. El valor de este activo en t se expresa como B (t, ). Como podemos replicar su proceso de precios por una cartera autonanciada admisible ( el bono zero cupón es un activo negociable) tenemos: [ ] 1 B(t, ) = E S F t Equivalencia evaluación por esperanza-edp En el universo riesgo neutro, tenemos un) derivado de tipo europeo cuyo valor está representado por una variable aleatoria ξ = ψ ( S F-medible. Sabemos que en este universo todo derivado es replicable por una estrategia autonanciada de cobertura. Entonces es replicable por la estrategia autonanciada admisible h t de tal forma que : ) Ṽ (h) = ψ ( S con: dv t = h t d S t por ser estrategia autonanciada. Buscamos pues Ṽ de la forma ( Ṽt = f t, S ) t. Donde f es una función de clase C2. Por el lemma de Îto, tenemos: ( dv t = d f (t, S )) f t = (t, S ) t f (t, S ) t dt + d t x S t f (t, S ) t 2 2 σ 2 S t 2 dt x

59 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 59 Por lo cual : f (t, S ) t f (t, S ) t dt + d t x S t f (t, S ) t 2 2 σ 2 S t 2 dt = h t d x S t enemos que encontrar f tal que: 1. f(t,x) t + σ f (, x) = ψ (x) 2 f(t,x) 2 x x 2 = Esta ecuación en derivadas parcial con su problema de contorno es denominada la EDP producto. En particular el precio de la opción es: V = Ṽ = f (, S ) La derivada del precio de la opción respecto del precio del subyacente o la t denido en el Capítulo 1 es : h t = f(t, S t) x Finalemente llegamos a la equivalencia entre las dos formas de evaluar el precio de un producto derivado: ) V = f (, S ) = E (Ṽ F La técnica del cambio de numerario Hemos visto que la fórmula 3.4 da un único precio libre de arbitrajes a cualquier reclamación contingente ξ bajo la medida martingala P elejida. Sin embargo la medida martingala P no tiene siempre por que ser la más natural y conveniente para dar el precio de la reclamación ξ. Hasta ahora, por ejemplo hemos supuesto el activo sin riesgo S = e r donde r es constante. Sin embargo si consideramos este activo sin riesgo que en realidad corresponde al factor de descuento B (, ) ( valor actual del bono zero cupón que paga 1 euro en ) como una cantidad estocástica se complica considerablemente el cálculo de la esperanza. En estos casos un cambio de medida puede ser muy ventajoso. Denición: Un numerario es cualquier activo de valor positivo que no paga dividendos. Un numerario Z se puede replicar por una estrategia autonanciada h, de tal manera que Z t = V t (h) para cada t. Intuitivamente, un numerario es un activo de referencia que es elegido para normalizar todos los precios de activos con respecto a el. Escoger un numerario, implica que los precios relativos Sk Z, k =, 1,..., d son considerados en lugar de los precios de los activos por si mismos.

60 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 6 La ecuación 3.3 de las carteras autonanciadas en tiempo continuo puede ser extendida a cualquier numerario, las estrategias autonanciadas siguen siendo autonanciadas despúes de un cambio de numerario. Esta ecuación implica que: ( ) Vt (h) N d = h k t d Z t Por lo cual una reclamación que se puede replicar por una cartera autonanciada admisible también se puede replicar bajo cualquier numerario distinto. En la denición de medida martingala equivalente se ha asumido la cuenta bancaria ( bank account) S como numerario. Sin embargo como ya hemos visto esto solo es una de todas las posibles elecciones, y en la práctica puede haber numerarios más convenientes para el cálculo del precio de una reclamación. eorema: Cambio de numerario: Asumimos que existe un numerario N y una medida de probabilidad Q N equivalente a la inicial Q, tal que el precio de cualquier activo negociable X sin pagos intermedios relativo a N es una martingala bajo Q N.Lo que quiere decir que: { } X t = E N X F t, t N t N Sea U un numerario arbitrario. Entonces existe una medida de probabilidad Q U, equivalente a la inicial Q tal que los precios de cualquier reclamación continegente X normalizado por U sea una martingala bajo Q U. Es decir que: X t U t = E U k= { X U F t ( St Z t ) }, t Sin embargo sea cual sea el numerario usado el precio de la reclamación contigente ha de ser el mismo, por lo cual : { } { } N E N X F t = U E U X F t N U { } E N X N = U { E U X N = U N E U U } { X N N U } Por otra parte aplicando el teorema de Radon Nikodym, si para todo A F con Q U (A) = implica que Q N (A) = tenemos que: Q U admite una función de densidad respecto de Q N :

61 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 61 { } E N X N = = Ω Ω X (ω) N (ω) dqn (ω) X (ω) dq N N (ω) dq U (ω) dqu (ω) { = E U X Q N N Q U Así pues por indenticación entre las dos últimas ecuaciones tenemos que: Q N Q U = U N N U Es la densidad de Radon-Nikodym que dene el cambio de medida entre la probabilidad riesgo neutro asociada al numerario Q N y la probabilidad riesgo neutro asociada al numerario Q U. Ejemplo: Si consideramos los tipos de interés no constantes y además estocásticos la evaluación se complica. Esto es debido a que el numerario utilizado hasta ahora la cuenta bancaria es ahora: S t = e r(s)ds donde r(s) sigue un proceso estocástico. En muchas ocasiones un numerario útil es el bono zero coupón cuya madurez coincide con la del derivado a evaluar. En este caso U = B (, ) = 1 por lo cual el precio del derivado puede ser obtenido calculando la esperanza de su payo (dividida por 1). La medida asociada al numerario bono zero cupón que madura en se denomina la medida -forward. Con las notaciones de este apartado podemos calcular el precio de cualquier reclamación contingente X bajo la medida -forward de la forma siguiente: en lugar de : } X = B (, ) E {X } X = E { X r(s)ds e Hay que destacar que si la dinámica de X bajo la antigua medida Q N era conocida y era una difusion del tipo: } dx t = f (X t ) dt + σ (X t ) dw QN t No seguirá la misma dinámica bajo la nueva medida Q U. Concretamente dw QU t dw QN t. En general hallar dw QU t es complicado sin embargo existe un marco en el cual este cálculo es más sencillo. Este marco es el expuesto por el teorema de Girsanov.

62 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN El eorema de Girsanov eorema : Esperanza de la exponencial de una variable gausiana: gausiana de esperanza E (X) y varianza V ar (X), entonces tenemos que : Sea X una variable E ( e X) = e E(X)+ 1 2 V ar(x) eorema: Girsanov Sea I t una integral estocástica denida por I t = σ sdw s donde (σ s ) es un proceso adaptado a la ltración (F t ). Sea Z t tal que Z t = e σsdws 1 2 σ2 s ds = e It 1 2 σ2 s ds Observamos que aplicando el teorema precedente a Z t sabiendo que E σ s dw s 1 2 σsds 2 = 1 2 σ 2 sds tenemos que V ar σ s dw s 1 2 σsds 2 = σ 2 sds E (Z t ) = 1 Fijamos Supongamos que Z t es la densidad de Radon-Nikodym de la probabilidad P en (Ω, (F )) respecto de una probabilidad equivalente P el mismo espacio. Z = P P En el nuevo espacio de probabilidad (Ω, (F ), P ): El proceso (W t ) o el movimiento browniano bajo la nueva probabilidad se expresa en función (W t ) el movimiento browniano bajo la antigua probabilidad de la siguiente manera: de forma diferencial: W t = W t σ s ds dw t = dw t σ s ds

63 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN La fórmula de Black y Scholes Vamos a examinar el modelo clásico de evaluación de opciones europeas de Black y Scholes. El mundo de Black y Scholes está compuesto por dos activos, el activo sin riesgo o la cuenta bancaria S t = B t y el activo negociable S t, que siguen las dinámicas: 1. db t = rb t dt 2. ds t = rs t dt + σs t dw t donde r yσson constantes, y W t es un movimiento browiano unidimensional bajo una medida martingala equivalente. Em esta sección la esperanza se considera siempre respecto a la medida de probabilidad riesgo neutro. Integrando la primera ecuación tenemos: con B = 1: B t B db t t = B t rdt ln (B t ) = rt B t = e rt Usando el lemma de Itô en ln (S t ), encontramos una solución explicita que se verica para cada t : ( ) S 1 ln = ds s 1 (σs s ) 2 1 S t S s 2 S 2 ds s t t substituyendo ds t por rs t dt + σs t dw t obtenemos: Finalmente: ( ) S ln = r ( t) + σdw t 1 S t 2 σ2 ( t) t S = S t e (r 1 2 σ2 )( t)+σ(w W t) Se dice que ( ) ( ) S St sigue una ley log-normal ya que ln S St sigue una ley normal de esperanza ( r 1 2 σ2) ( t) y varianza σ 2 ( t) Una opción europea call ( respectivamente, una opción europea put) con strike o precio de ejercicio K y madurez o fecha de ejercicio en un activo subyacente S t es un contrato que da

64 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 64 al propietario el derecho pero no la obligación de comprar ( resp. vender) una acción a la fecha jada. El emisor de la opción tiene la obligación, si el propietario decide ejercer la opción, de vender ( comprar) la acción. La opción puede ser ejercitada exclusivamente en el tiempo. Vamos a pensar en el caso de una opción call. Supongamos que tenemos una opción call y que en el precio del activo subyacente es de S < K. En este caso no estamos interesados en comprar el activo al precio K. Por lo cual no ejercitamos la opción, y nuestro benecio para este contrato es. Por otra parte, si S K, estamos preparados para comprar la acción a un precio inferior K al emisor de nuestro call, que se encuentra en un caso desfavorable, para después ir al mercado y venderla a un precio S superior. Por lo cual, en el tiempo, el benecio que nos aporta la opción call es: max {S K, } = (S K) + ) ( ( ) ) + Call t = E (e r( t) (S K) + F t = e r( t) E S t e (r 1 2 σ2 )( t)+σ(w W t) K Ft La esperanza condicional en F t signica que incorporamos la información de mercado hasta el tiempo t, y que en particular, sabemos el precio S t y que lo podemos tratar como una constante. Sin embargo W W t es una variable gausiana con media nula y varianza t independiente de F t ( añadir la información contenida en F t = σ (S,..., S t ) no modica su comportamiento). Si denimos s = S t y X como una variable gausiana estándar (media nula, varianza 1) de función de densidad f(x) = X 2 e 2 2π, tenemos: ( ( Call t = e r( t) E se (r 1 2 σ2 )( t)+σ ) ) + tx K ) ( t)), la esperanza puede es- se (r 1 2 σ2 )( t)+σ tx 1 K X σ t ( 1 Por lo cual imponiendo A = σ ln ( ) K t s (r σ2 2 cribirse de la forma: ( ( E se (r 1 2 σ2 )( t)+σ ) ) + tx K ( ln ( ) K s ) ) (r σ2 ( t) 2 = ( se (r 1 2 σ2 )( t)+σ ) tx K A = se r( t) A e (X σ t) 2 2 2π K A e X2 2 2π dx e X2 2 2π dx = se r( t) ℵ ( A + σ t ) Kℵ ( A)

65 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 65 El último paso se ha conseguido utilizando la paridad de las funciones bajo las integrales que hacen que A = A ℵrepresenta la función de distribución cumulada de una variable gausiana estándar. Finalmente tenemos que: Call t = S t ℵ (d 1 ) e r( t) Kℵ (d 2 ) (3.5) 1 d 1 = σ t ( ln ( ) St + K ) ) (r + σ2 ( t) 2 Observaciones: d2 = d1 σ t 1. La sensibilidad t = Callt S t = ℵ (d 1 ) nos da el número de acciones que el vendedor del call tiene que tener en cada instante t para cubrirse. ( 2. La delta inicial = 1 σ ln ( S ) ) ) K (r + σ2 2 nos da el número incial de acciones a precio S que el vendedor tiene que tener. Esto establece el valor incial de su cartera de cobertura. Su estrategia de cobertura debe ser autonanciada y admisible es decir no hay aporte ni retiradas externas de capital y el valor de la cartera es positivo. 3. Estudiamos el comportamiento de la fórmula( de Black ) & Scholes para σ y σ. σ S es la desviación típica de los rendimientos ln t S t 1. Si σ crece los rendimientos son más variables. Si σ decrece el factor aleatorio en decrece. 1er caso σ : S t = S t 1 e (r 1 2 σ2 )+σx S = S e r es determinista. Sabemos que: ln S K + r < S < Ke r Por lo cual: si S < Ke r : lím σ (d 1 ) =, d 2 d 1, ℵ (d 1 ) y C = si S > Ke r : lím σ (d 1 ) = +, d 2 d 1, ℵ (d 1 ) 1 y C = S Ke r Por lo cual solo se ejerce si S > Ke r 2º caso σ : lím σ (d 1 ) = +, lím σ (d 2 ) =, ℵ (d 1 ) 1, ℵ (d 2 ) y C = S Por lo cual siempre se ejercería esta opción europea call.

66 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 66 Figura 3.8: Valor incial del Call europeo con sigma que tiende a zero Hay que destacar que la probabilidad de que en S > K lo que implica la ganancia del poseedor de la opción y la pérdida del emisor es: ( P (S > K) = P S e (r 1 2 σ2 ) +σ ) X > K ( = P X > 1 ( ( ) K σ ln s = P ( X < d 2 ) = ℵ (d 2 ) (r σ2 2 ) )) Hemos visto en este modelo de Black y Scholes que necesitamos la volatilidad σ del activo. Por lo cual para aplicar las formulas que hemos encontrado tenemos que tener el valor de σ. Existen dos métodos básicos: la volatilidad histórica la volatilidad implícita Para tener la volatilidad histórica usamos las observaciones de la evolución historica del activo. Digamos que esta evolución viene dada por S t, i =, 1,..., N y asumimos que S t sigue una distribución lognormal. Por lo cual η i = ln ( Sti S ti 1 ) son variables gausianas independientes con varianza V ar (η i ) = σ 2 (t i t i 1 ). Entonces, si los t i están igualmente repartidos, una estimación de la varianza viene dada por: S 2 η = 1 N N (η i η) 2 i=1 η = 1 N N i=1 η i

67 CAPÍULO 3. LA EORÍA DE LA VALORACIÓN 67 Por otro lado, también podemos hacer lo siguiente. En el mercado opciones call en el activo S t son negociadas. Podemos elejir uno de estos calls con la misma fecha de ejercicio y strike y podemos encontrar el valor de σ que hace que el precio teórico que viene dado por la fórmula de Black&Scholes 3.5 coincida con el precio de mercado. Así podemos determinar la volatilidad implícita σ imp que se puede utilizar para jar el precio de forma teórica a otros derivados cuyos subyacentes dependen a su vez del activo S t y que tienen misma fecha de ejercicio y strike. Fijamos la fecha de ejercicio y observamos los precios de mercado de varios calls europeos, para diferentes strikes. Si el modelo de Black&Scholes es correcto, la volatilidad implícita sacada de los precios de mercado tiene que ser la misma para cada strike. Esto signica que si representamos la volatilidad implícita contra el strike debemos obtener una linea horizontal. Sin embargo en la práctica esta representación es una curva que se parece a una sonrisa: smile de volatilidad. Las opciones call que en el tiempo están en dinero (S > K, pago positivo) y fuera de dinero ( S < K, no hay ejercicio del call) son negociados con mayores volatilidades implícitas que las opciones call que están en dinero ( S = K, no hay pago ).

68 Capítulo 4 Los tipos de interés En esta sección vamos a estudiar los distintos tipos de intereses que existen y dar su denición desde un punto de vista riguroso por medio de notaciones matemáticas. Recordemos que este proyecto de n de carrera tiene como objetivo crear un modelo de tipos de interés para evaluar productos derivados, por lo que estas magnitudes constituyen la pieza fundamental en torno a la cual gira el proyecto ipos interbancarios y tipos del gobierno Existen diferentes tipos de intereses, y la primera distinción puede ser establecida entre los tipos interbancarios y los tipos del gobierno. Los tipos interbancarios son los tipos con los cuales los bancos intercambian depósitos y efectúan transacciones SWAP. Las curvas zero cupón pueden ser deducidas de los bonos en el sector gubernamental del mercado o de los bonos del sector interbancario del mercado, resultando en dos curvas distintas zero- cupón. Nosotros nos centraremos en la parte interbancaria del mercado, aunque las técnicas matematicas descritas aquí se pueden aplicar para productos que implican el uso de tipos del gobierno. El tipo interbancario de referencia para los contratos es el LIBOR (London Interbank Offered Rate), que ja todos los días en Londres. Sin embargo existen otros tipos también muy importantes que jan en otros mercados (por ejemplo el EURIBOR que ja en Bruselas) La cuenta bancaria y el tipo corto Cuando alguien deposita una suma de dinero en una cuenta bancaria, espera que esta suma crezca (a algún tipo de interés) a medida que pasa el tiempo. El hecho que prestar dinero hoy debe ser recompensado de alguna manera de tal forma que una suma de dinero hoy vale más 68

69 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 69 que esa misma suma mañana parece estar en la lógica de todos. La cuenta bancaria representa la inversión sin riesgo, donde los benecios crecen de manera continua a un tipo sin riesgos La cuenta bancaria Denimos B(t) como el valor de la cuenta bancaria en t. Asumimos que B () = 1 y que la cuenta bancaria evoluciona de acuerdo con la siguiente ecuación diferencial: Como consecuencia: db (t) = r t B (t) dt, B () = 1. (4.1) B (t) = e rsds. Invertir hoy 1 euro lleva a obtener B (t) en t y r t es el tipo instantaneo con el cual la cuenta bancaria crece. Este tipo se suele denominar el tipo de interés corto. Si discretizamos la ecuación 4.1 obtenemos: B (t + t) B (t) B (t) = r (t) t. Queda claro que la cuenta bancaria crece en cada instante t un r(t) por ciento. Supongamos ahora que invertimos una cantidad A hoy a tiempo. El valor en > será: AB( ). Si en queremos tener 1 euro, la cantidad A a invertir hoy será de : El valor de esta inversión ent será de A = 1 B ( ). AB(t) = B(t) B( ). Por lo cual el valor de una unidad monetaria pagada en y vista en t es de B(t) B( ) El factor de descuento estocástico El factor de descuento estocástico D(t, ) entre dos instantes t y es la cantidad en el tiempo t que es quivalente a una unidad monetaria pagable en el tiempo y viene dado por: D(t, ) = D(t) D( ) = e t rsds.

70 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 7 En muchas aplicaciones de evaluación de productos derivados, como en la fórmula de Black&Scholes que hemos visto anteriormente, r s es considerado constante por lo que la cuenta bancaria y el factor de descuento, son funciones deterministas del tiempo. Esto se debe a que se asume que la variabilidad de los tipos de intereses afectan en menor orden al precio del producto que la variabilidad del subyacente. Sin embargo, en nuestro caso, con productos derivados de tipos de intereses la principal variabilidad que afecta a sus precios es la de los tipos de intereses. Por lo cual a partir de aquí dejamos a un llado la hipotesis de tipos de intereses deterministas y modelamos la evolución de r t por un proceso estocástico. Como consecuencia la cuenta bancaria y el factor de descuento también serán procesos estocásticos Los bonos zero cupón y los tipos de interés spot Denición: Bonos zero cupón Un bono zero cupón (bono de descuento puro) es un contrato que garantiza a su posesor el pago de una unidad monetaria en el tiempo con ningún pago intermedio. El valor del contrato en el tiempo t < se representa por B(t, ). Claramente el valor del contrato en B(, ) = 1 para todo. Si ahora estamos en el tiempo t el bono zero cupón es un contrato que establece el valor presente de una unidad monetaria a ser pagada en. Proposición: ¾Cuál es la diferencia del bono zero cupón B(t, ) y el factor de de descuento D(t, ). El primero es el valor de un contrato y el segundo es una suma de dinero equivalente? Si r t es determinista, D(t, ) es una cantidad determinista, entonces necesariamente D(t, ) = B(t, ) para todos los pares (t, ). Sin embargo si los tipos son estocásticos, entonces D(t, ) es una cantidad aleatoria en el tiempo t que depende de la futura evolución de los tipos entre t y. Sin embargo el precio del bono zero cupón B(t, ), es el valor en t de un contrato con payo en, por lo que tiene que ser conocido (determista) en t. Como hemos visto anteriormente el precio del bono zero cupón bajo la probabilidad riesgo neutro es la esperanza de la variable aleatoria del factor de descuento. B(t, ) = E [D(t, ) F t ], B(t, ) = E [e ] t rsds F t. (4.2) Denición: ipo de interés spot compuesto de forma continua El tipo de interés spot compuesto de forma continua en t para la madurez se representa por R(t, ) y es el tipo constante al cual una inversión de B(t, ) unidades monetarias en t crece para dar una unidad monetaria en. Si lo traducimos matematicamente tenemos: Por lo cual, si despejamos R(t, ): e R(t, )τ(t, ) B(t, ) = 1.

71 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 71 R(t, ) = ln (B(t, )), (4.3) τ(t, ) donde τ(t, ) = t representa el tiempo que transcurre en años. El bono zero cupón puede ser expresado en función de este tipo de la forma: B(t, ) = e R(t, )τ(t, ). (4.4) Denición: ipo de interés compuesto de forma simple El tipo de interés spot compuesto de forma simple, en t para la madurez se representa por L(t, ), es el tipo constante al cual una inversión de B(t, ) unidades monetarias en t crece para dar una unidad monetaria en cuando el crecimiento es proporcional al tiempo de inversión. Si lo traducimos matematicamente tenemos: Si despejamos L(t, ), tenemos : B(t, ) (1 + L(t, )τ(t, )) = 1 L(t, ) = 1 B(t, ) τ(t, )B(t, ) El bono zero cupón puede ser expresado en función de este tipo de la forma : B(t, ) = L(t, )τ(t, ) (4.5) (4.6) Denición: ipo de interés compuesto anualmente El tipo de interés spot compuesto anualmente en t para la madurez se representa por Y (t, ) y es el tipo constante al cual una inversión de B(t, ) unidades monetarias en t crece hasta dar una unidad monetaria en cuando se reinvierten las sumas de dinero cada año. Si lo traducimos matematicamente tenemos: Si despejamos Y (t, ): B(t, ) (1 + Y (t, )) τ(t, ) = 1 1 Y (t, ) = B(t, ) 1 τ(t, ) 1 (4.7) El bono zero cupón se puede expresar en función de este tipo de la forma: P (t, ) = 1 (1 + Y (t, )) τ(t, ) (4.8)

72 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 72 Proposición: Observamos que todos estos tipos son equivalentes en intervalos de tiempo innitesimales. Se puede demostrar que el tipo de interés corto se puede obtener como un límite de todos los diferentes tipos denidos anteriormente: r(t) = lím t + R(t, ) 4.4. ipos de interés forward = lím L(t, ) t + = lím Y (t, ) t + Ahora entramos en la denición de los tipos de intereses forward, estos están caracterizados por tres instantes en el tiempo t,, U. t es el intante en el tiempo en el cual el tipo foorward es considerado, es la fecha en la que ja el tipo y U es su madurez con t U. Los tipos de intereses forward son tipos de intereses que se pueden jar hoy para una inversión en futuro y que se contruyen de forma consistente con la estructura temporal de los factores de descuento. Podemos denir el tipo de interés forward con un contrato que hemos estudiado precedentemente en el Capítulo 1 el FRA o forward rate agreement. Recordamos las principales características de este contrato: El contrato implica tres tiempos distintos: el actual t, el de cesión del depósito teórico y el de vencimiento del depósito teórico U. En el tiempo de vencimiento U el vendedor recibe un pago basado en el tipo spot compuesto de forma simple L(, U) (conocido y perfectamente determinista en ) contra un pago basado en un tipo jo K. Formalmente, el vendedor paga τ (, U) KN y recibe τ(, U)L(, U)N, donde N es el valor nominal del contrato. El valor del contrato en U es por lo tanto: Nτ (, S) (K L(, U)) (4.9) asumiendo que los dos tipos tienen la misma convención de cuenta de días τ(, U). Si sutituimos L (, U) por la expresión dada en la ecuación 4.5 podemos reescribrir el valor del contrato FRA en S de la forma: [ ] 1 N τ(, U)K B (, U) + 1 (4.1) Consideramos el término A = 1 B(,U) como una cantidad de dinero en S. El valor de A en se obtiene multiplicando A por el valor del bono zero cupón en B (, U):

73 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 73 B (, U) A = B (, U) 1 B(, U) = 1 lo que es equivalente a tener una unidad monetaria en. Una unidad de moneda en vale 1 B(t, ) en t. Entonces B(,U), es equivalente a B(t, ) en t. El término restante de la ecuación 4.1 B = τ(, U)K + 1 en S vale BB(t, U) en t. El valor del contrato en el tiempo t es por lo tanto: F RA(t,, U) = N [B (t, U) τ (, S) K B(t, ) + B(t, U)] (4.11) Solo hay un valor de este contrato que lo hace justo en t. Este valor es en t. El tipo que resulta dene el tipo forward compuesto de forma simple. Denición: ipo de interés forward compuesto de forma simple: El tipo de interés forward compuesto de forma simple es el tipo de interés predominante en el tiempo t para una jación en > t y una madurez en U > se representa por F (t,, S) y es denido por: ( ) 1 B (t, ) F (t;, U) = τ (, U) B(t, U) 1 (4.12) Es el valor del tipo jo en un FRA con fecha de cesión del depósito teórico en y vencimiento en U, que hace del contrato FRA un contrato justo en t. El valor del FRA se puede expresar en función del tipo de interés forward compuesto de forma simple: F RA(t,, U) = NB (t, U) τ (, U) [K F (t,, U)] Vemos que el valor del FRA se obtiene sustituyendo en la ecuación 4.1 L (, S) por F (t,, S), y luego cogiendo el valor presente de la cantidad determinista resultante. Por lo cual el tipo forward compuesto de forma simple, puede ser visto como una estimación futura del tipo L (, U) que es aleatorio en t Swap de tipos de interés y tipos forward swap Swaps de tipos de interés IRS Hemos estudiado el FRA, que es un contrato particular y gracias al cual, imponiendo que sea justo para ambas partes, se obtienen los tipos forward. Podemos considerar que el swap que ya hemos estudiado en el capítulo4 es una generalización del contrato FRA. Recordamos las principales caracteristicas del swap de tipos de interés :

74 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 74 Es un contrato que intercambia pagos entre dos patas indexadas diferentes, empezando en un instante de tiempo futuro. En cada instante de tiempo U i dentro de unos tiempos prejados U = {U 1,..., U n } la pata ja paga una suma de Nτ i K que corresponde a un tipo de interés jo K que ja en el instante i dentro de unos tiempos jados = { 1,..., n } y vence en U i, un nominal N y una fracción anual τ i entre i y U i. La pata variable o otante paga la suma: Nτ i L ( i, U i ), que corresponde al tipo de interés ja en i y cuyo vencimiento viene dado por el tiempo en el que se realiza el pago U i. Por lo cual la pata otante jará en { 1, 2,..., n } y vencerá en {U 1, U 2,..., U n }. Hay que destacar que suponemos que 2 = U 1, 3 = U 2... n = U n 1 es decir que en cada instante la fecha de jación del tipo otante es igual a la fecha de pago anterior. Por otra parte también suponemos que los pagos de los tipos jos y de los tipos otante ocurren en las mismas fechas y que las fracciones anuales son las mismas. Cuando la pata ja es pagada y la otante recibida el swap de tipos de interés se denomina pagador PFS, en caso contrario, cuando la pata ja es recibida y la otante pagado el swap de tipos de interés se denomina recibidor RFS. Si queremos evaluar en un tiempo t estos contrato de ujos futuros en fechas U i > t, U i tendremos: PFS: P F S (t,, U, N, K) = n Nτ i (F (t, i, U i ) K) B (t, U i ) i=1 Sustituyendo el tipo forward F (t, i, U i ) por la expresión dada por la ecuación 4.12 tenemos el valor del swap pagador en t en función únicamente de bonos zero cupón: n n P F S (t,, U, N, K) = N (B(t, i ) B(t, U i )) Nτ i KB (t, U i ) i=1 = N (B(t, 1 ) B(t, U n )) RFS: i=1 n Nτ i KB (t, U i ) (4.13) i=1

75 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 75 RF S (t,, U, N, K) = n Nτ i (K F (t, i, U i )) B(t, U i ) i=1 Si procedemos de manera similar que con el PFS obtenemos que el valor del swap recibidor en t en función únicamente de bonos zero cupón es: RF S (t,, U, N, K) = N (B(t, U n ) B(t, 1 )) + n Nτ i KB (t, U i ) (4.14) Las dos patas de un swap de tipos de interés pueden ser vistas como dos contratos básicos. La pata ja se puede considerar como un bono con cupones jos y la pata otante como un título a tasa otante. Entonces un swap de tipos de interés puede ser visto como un contato para intercambiar un bono con cupones jos por un título a tasa otante como se dene a continuación. Bono con cupones jos: Un bono con cupones jos es un contrato que asegura el pago de cantidades deterministas de dinero c = {c 1,..., c n } en tiempos futuros U = {U 1,..., U n }. Los cash-ows son denidos por: c i = Nτ i K para i = 1,..., n 1 y c n = Nτ n K + N, donde K es un tipo de interés jo y N es es valor nominal del bono. El último cash-ow incluye el reenbolso del valor nocional del bono. En el caso K = el bono se reduce al bono zero cupón con madurez U n. El valor del bono con cupoes jos en t es : CB(t, U, c) = n c i B(t, U i ) ítulo a tasa otante: El título a tasa otante es un contrato que asegura los pagos en tiempos futuros U = {U 1,..., U n }de tipos variables referenciados en el LIBOR por ejemplo que jan en los tiempos = { 1,..., n }. El título paga un último cash ow en U n que consiste en el reembolso del valor nocional del título. Entonces, obtenemos el valor en t de este contrato sumando para K = (es decir cuando no hay pata ja), RF S(t,, U, N, K) y el valor actualizado de N en U n es decir: i=1 i=1 NB(t, U n ) RF S(t,, τ, N, ) = NB(t, 1 ) Esto signica que el título es siempre equivalente a N unidades monetarias en 1. En particular si t = 1, el valor es N. Entonces el valor de un título a tasa otante en su primer tiempo de jación es siempre su nominal.

76 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS ipos de intereres forward swap El tipo de interés forward swap S(t,, U) en t para las fechas de pago U = {U 1,..., U n }, las de jación = { 1,..., n } y las fracciones anuales τ es el tipo jo en la pata ja del IRS que hace que sea un contrato justo en el tiempo presente t. Es el tipo jo K que hace que : RF S(t,, U, τ, N, K) =. Obtenemos facilmente : S(t,, U) = B (t, 1) B(t, U n ) n i=1 τ ib(t, U i ) (4.15) 4.6. Opciones sobre productos de tipos de interés Entramos ahora en una parte fundamental del proyecto que trata de expresar con las herramientas matématicas vistas hasta ahora, el valor de opciones sobre productos de tipos de interés. Siendo el objetivo de este proyecto tratar de mejorar la evaluación de las opciones sobre productos de tipos de interés, comprender bien los mecanimos de estos productos es una parte esencial. Caps/Floors un contrato cap, puede ser visto como un IRS pagador donde cada intercambio de pagos es ejecutado si y solo si tiene un valor positivo. El payo del cap en su fecha de madurez es entonces el valor descontado de estos ujos futuros que siempre son positivos: payoff = n B(, U i )Nτ i (F (t, i, U i ) K) + i=1 De manera análoga un oor es equivalente a un IRS recibidor donde cada intercambio de pagos es ejecutado solo si tiene un valor positivo. El payo del oor en su fecha de madurez es entonces el valor descontado de estos ujos futuros que siempre son positivos: payoff = n B(, U i )Nτ i (K F (t, i, U i )) + i=1 Vamos a estudiar la útilidad de estos productos en el caso concreto del cap: Supongamos una compañía que está endeudada en LIBOR y tiene que pagar en unas ciertas fechas U 1,..., U n con las fracciones anuales correspondientes τ 1,..., τ n, siendo el nocional de su deuda un unidad monetaria. La compañía teme que los tipos LIBOR suban en el futuro y quiere protegerse contra esta subida bloqueando los pagos a un tipo máximo K. Para conseguir esto, la compañía entra en un cap, paga su deuda referenciada en el tipo LIBOR L y recibe (L K) + del contrato cap. La diferencia da lo que es pagado cuando se consideran los dos contratos: L (L K) + = min (L, K) Esto implica que la compañía paga como mucho K en cada fecha de pago ya que sus pagos variables referenciados en el LIBOR han sido bloqueados al nivel del strike K. El cap puede

77 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 77 por lo tanto ser visto como un contrato usado para prevenir las pérdidas ocasionadas por largos movimientos de los tipos de intereses cuando se está endeudado a variable. Un contrato cap puede ser descompuesto aditivamente en la medida en que su payo es la suma de los términos: B(, U i )Nτ i (F (t, i, U i ) K) + Cada uno de estos payos dene otro tipo de contratos básicos llamados los caplets. Los contratos oorlets se denen de manera análoga descomponiendo el contrato oor en términos: B(, U i )Nτ i (K F (t, i, U i )) + Por lo tanto si aplicamos la probabilidad riesgo neutro a cada uno de los payo y substituimos F (t, i, U i ) por la expresión dada en la ecuación 4.12 obtenemos el valor de cada uno de los productos. Cap(t,, U, K, N) = N N n [ τ i E B(, U i ) (K F (t, i, U i )) +] (4.16) i=1 [ ] n E (B(, i ) (1 + Kτ i ) B(, U i )) + i=1 e t r(s)ds F loor(t,, U, K, N) = N n [ τ i E B(, U i ) (F (t, i, U i ) K) +] (4.17) i=1 [ ] n E ((1 + Kτ i ) B(, U i ) B(, i )) + i=1 e t r(s)ds El precio del Caplet en t de madurez cuyo pago variable subyacente depende de un tipo de interés que ja en 1 y vence en U con la fracción anual τ es: [ ] Caplet(t,, 1, U, K, N) = E (B(, 1 ) (1 + Kτ) B(, U)) + (4.18) e t e t r(s)ds El precio del Floorlet en t con las mismas características será: [ ] F loorlet(t,, 1, U, K, N) = E ((1 + Kτ) B(, U) B(, 1 )) + r(s)ds (4.19)

78 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 78 Swaptions El swaption es un derivado de tipo de interés básico. Estos derivados, denominados también swap options son opciones sobre un IRS. Existen dos versiones la pagadora y la recibidora. Un swaption pagador europeo es una opción que da el derecho pero no la olbigación de entrar en un IRS pagador en una cierta fecha futura que es la fecha de vencimiento del swaption o madurez. Es usual que la primera fecha de jación del IRS pagador subyacente 1 coincida con la madurez del swaption. Podemos escribir el valor del payo en la fecha de madurez 1 como : payof f = ( n Nτ i (F (, i, U i ) K) B (, U i ) i=1 Contrariamente al caso del cap este payo no se puede descomponer en más de un producto elemental y esta es la diferencia fundamental de estos tipos de productos. Los caps se pueden descomponer en la suma de caplets subyacentes, cada uno que depende de un solo tipo forward. Podemos tratar con cada caplet por separado derivando resultados que pueden ser puesto en común para obtener resultados en el cap. Lo mismo no ocurre para los swaptions. Esto se debe a que la suma está en el interior de la función x x + y no fuera como en el caso de los caps. Debido a que esta función no es distributiva respecto de la suma pero es una función convexa, tenemos: ( n + n τ i (F (, i, U i ) K) B (t, U i )) (τ i (F (, i, U i ) K) B (, U i )) + i=1 Para evaluar y trabajar con los swaptions, necesitamos considerar la acción conjunta de los tipos involucrados en el payo. Desde un punto de vista matemático, esto implica que la correlación última entre los distintos tipos puede ser esencial para trabajar con los swaptions. La correlación a la que nos referimos es una correlación sobre los tipos no la correlación instantanea de sus dínamicas( cambios innitesimales en los tipos). En la medida en que la parte derecha de la desigualdad es el payo del cap, siempre tendremos que el precio del swaption es inferior al del cap con los mismos parámetros. Veamos la fórmula del precio del swaption, con la probabilidad riesgo neutro: [ P Swaption(t,, U, K, N) = NE ( ] n i=1 τ i (F (, i, U i ) K) B (, U i )) + i=1 e r(s)ds ) + = NE [ ((B(, 1 ) B(, U n )) n i=1 τ ikb (, U i )) + e t r(s)ds (4.2) donde se ha eligido como numerario la cuenta bancaria por la cual 1 euro en t se transforman en e r(s)ds en. Sin embargo para este producto parece apropiado el uso de la probabilidad -forward de numerario el bono zero cupón B(t, ) de madurez ja en la madurez del swaption. ]

79 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 79 ( P Swaption(t,, U, K, N) = NB(, )E (B(, 1 ) B(, U n )) ) + n τ i KB (, U i ) (4.21) Si nos jamos bien existe otro numerario que parece aún más ventajoso este es n i=1 τ ib (t, U i ) también conocido PV1 que es el valor en t de la suma de bonos zero cupón de madureces jadas {U 1,..., U n }. Con el numerario PV1 y la probabilidad asociada a este tenemos : i=1 P Swaption(t,, U, K, N) = N n i=1 τ i B (, U i ) E P V 1 [ ((B(, 1 ) B(, U n )) n i=1 τ ib (, U i ) ) ] + K (4.22) Podemos observar que nos deshacemos en el cálculo de la esperanza el término e r(s)ds, que es estocástico y añade más dicultad. Por otra parte el segundo cambio de numerario nos permite obtener un payo similar al caso básico estudiado en el Capítulo 1 es decir P ayoff = (S K) + donde (S t ) es el proceso de precios de un activo. En este caso concreto podemos identicar S = (B(,1) B(,Un)) n. Para evaluar si este cambio de numerario es realmente interesante i=1 habría que hallar τib(,ui) para cada modelo de la dinámica del tipo corto (r t ) la dinámica de S t = (B(, 1) B(,U n)) n. Si esta dinámica nos lleva a un resultado análítico y explicito del valor del i=1 Swaption τib(,ui) el uso del cambio de numerario es ventajoso. Lo más simple para evaluar este Swaption sería suponer que S t sigue la dinámica dada en el modelo de Black & Scholes: ds t = σdw P V 1 t Por lo cual con el modelo de Black & Scholes de volatilidad constante tenemos: donde : P Swaption(t,, U, K, N) = N n τ i B (, U i ) [S ℵ (d 1 ) Kℵ (d 2 )] (4.23) i=1 d 1 = 1 ( ( ) ) σ S ln + σ2 K 2 d 2 = d 1 σ S = (B(, 1) B(, U n )) n i=1 τ ib (, U i ) La volitilidad σ corresponde con la observada en el mercado de swaptions.

80 CAPÍULO 4. LOS IPOS DE INERÉS 8 Podemos deducir de forma análoga todos estos resultados en el caso de un Swaption recibidor sabiendo que el payo de este producto en su madurez será: ( n payoff = Nτ i (K F (, i, U i )) B (, U i ) i=1 ) +

81 Capítulo 5 Los modelos de tipos de interés 5.1. Los modelos de tipos de interés En el Capítulo precedente, hemos expresado el precio de los productos básicos de tipos de interés como la esperanza de un payo donde existe algún activo subyacente cuyo valor en el vencimiento del producto derivado es aleatorio. Más concretamente podríamos escribir para cada uno de los productos derivados de tipos de interés vistos, que su valor en t es : ] V alor (t,, U) = E [ f (B(, 1 ), B (, U 1 ),..., B(, U n )) e t r(s)ds siendo U = {U 1, U 2,..., U n }, unas fechas de pago futuras, la madurez de la opción, 1 la fecha de jación del primer tipo variable y x f(x) una función propia de cada producto. Vimos en el Capítulo 1 que a su vez los bonos zero cupón de la ecuación precedente, se podían escribir como la esperanza con la probabilidad riesgo neutro siguiente: [ B (, U i ) = E e U i r(s)ds] Por lo cual para conocer el valor en t de los productos derivados de tipos de interés necesitamos conocer la dinámica del tipo corto r(s) a partir de la cual podremos deducir la expresión de los dos elementos fundamentales en el cálculo de la esperanza: 1. Los bonos zero cupón B(, U) en cualquier fecha, que pagan 1 unidad monetaria en cualquier fecha U 2. El factor de descuento e t r(s)ds que va desde la fecha t en la que queremos evaluar el producto hasta su vencimiento. Podemos observar que el bono zero cupón se expresa como la esperanza riesgo neutro de un factor de descuento. 81

82 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 82 Sin embargo debido a que el tipo corto r(s) es aleatorio y no responde a ninguna ley desde el punto de vista teórico, existen muchas versiones de su dinámica sacadas empiricamente gracias a los datos de mercado. Entonces, si bien no existe una prueba irrefutable de que un modelo pueda expresar la realidad, se pueden comparar modelos analizando cual permite acercarse más a las observaciones del mercado y cual es menos costoso en cálculo computacional. Por lo cual el mejor modelo es el que puede asemejarse más a las observaciones de los precios del mercado y el menos costoso en cálculo computacional. Normalmente en la práctica cuanto más grado de información pueda dar un modelo más coste computacional va a tener, por lo que hay que hallar un equilibrio entre los dos criterios El modelo Hull-White de un factor El modelo de Hull-White de un factor es el modelo existente en las librerías del Banco Santander para valorar productos derivados de tipos de interés mediante el uso del tipo corto como proceso estocástico fundamental. A continuación veremos como se obtienen a partir de las ecuaciones de la dinámica del tipo corto la solución de este tipo corto como función del tiempo y los dos elementos fundamentales que hemos citado anteriormente: el bono zero cupón y el factor de descuento. Una vez estos objetivos alcanzados hablaremos de los posibles métodos para resolver numericamente la esperanza que permite obtener el precio de un producto derivado Las ecuaciones de la dinámica del tipo corto y su solución El modelo de Hull&White de un factor es un modelo de tipo de interés corto Gausiano. Esto quiere decir que en cada instante t, el tipo corto seguirá una cierta ley normal ℵ(E (r (t)), σ (r (t))). La dinámica que sigue el proceso estocástico del tipo corto bajo la medida riesgo neutro es: dr = (θ (t) a (t) r) dt + σ(t)dw t (5.1) donde θ(t), a(t) y σ(t) son los parámetros del modelo. Estos son funciones deterministas del tiempo. (W t ) es un movimiento browniano unidimensional bajo la medida riesgo neutro que aporta la característica de ser estocástico al tipo corto. La ecuación 5.1 también se puede expresar de la forma: ( ) θ (t) dr = a (t) a (t) r dt + σ(t)dw t El parámetro a (t) se denomina reversión a la media y representa la velocidad con la cual el tipo corto se dirige hacia el tipo corto a largo plazo θ(t) a(t). Podemos constantar que si cuando r está por encima de este tipo corto a largo plazo, r tiende ( a bajar ) de valor y dirigirse hacia el tipo a largo con una velocidad a (t) ya que el drift a (t) θ(t) a(t) r es negativo. Por el contrario cuando r está por debajo de este tipo corto a largo plazo, r tiende ( a subir ) de valor y dirigirse hacia el tipo a largo con una velocidad a (t) ya que el drift a (t) θ(t) a(t) r es positivo. Para la resolución de la ecuación vamos a denir unas nuevas funciones del tiempo construidas

83 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 83 unicamente a partir de nuestro parametros, por lo que podrán ser consideradas parámetros del modelo de la misma manera. b (t) = e a(s)ds β(t) = b(s)ds f(t) = σ(t) b(t) Observamos que si integrasemos la dinámica del tipo corto directamente obtendriamos una solución de r(t) no explícita : r(t) b(t) r (t) = r + (θ (s) a (s) r (s)) ds + σ(s)dw s Una manera de evitar esta dicultad es resolver la dinámica aplicando el lemma de Îto a. Así obtenemos: r (t) b (t) = r () b () + r(s) b(s) s s + r(t) b(t) r r + 1 σ 2 (s) 2 r(t) b(t) s (5.2) 2 r2 Cada una de las integrales se puede expresar de la forma siguiente: r(s) b(s) s s = a (s) r(s) b(s) s r(t) b(t) r r = 1 b (s) r σ 2 (s) 2 r(t) b(t) r 2 s = Volviendo a la ecuación 5.2 y sabiendo que b () = 1 obtenemos: r (t) b (t) = r () + a (s) r(s) b(s) s + 1 b (s) r Sin embargo r de la segunda integral puede ser expresado gracias a la dinámica 5.1:

84 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 84 Finalmente tenemos: 1 t b (s) r = θ (s) t b (s) s r (t) = b (t) r () + b (t) a (s) r (s) t σ(s) s + b (s) b (s) dw s θ (s) t b (s) s + σ(s) b (s) dw s Esta es la solución de la dinámica del short rate que cuenta con una parte determinista: µ (t) = b (t) r () + b (t) θ (s) b (s) s La expresión denitiva es: σ(s) b (s) dw s = f (s) dw s r (t) = µ (t) + b (t) f (s) dw s (5.3) La distribución y la probabilidad de los tipos negativos Podemos observar que r (t) sigue una ley de normal de esperanza y de varianza: E (r (t)) = µ (t) V ar (r (t)) = b 2 (t) f 2 (s) ds Por lo cual r (t) se puede expresar de la siguiente forma: r (t) = E (r (t)) + V ar (r (t))ℵ donde ℵ representa una variable que sigue una ley normal estándar. La probabilidad riesgo neutro de que los tipos sean negativos en t es : ( ) E (r (t)) P (r (t) < ) = P ℵ < V ar (r (t)) ( ) µ (t) = Φ b 2 (t) f 2 (s) ds

85 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 85 Figura 5.1: eorema de Fubini para cambio de orden de integración en el dominio en rojo donde Φ representa la distribución cumulada de ley normal estándar. Podemos añadir que el hecho de que la probabilidad de que r (t) < no sea nula y además que sea igual a la probabilidad de que r (t) > es una característica poco realista del modelo. Interesaría que la probabilidad de que r (t) < fuese nula o al menos muy baja respecto de la que r (t) >. Sin embargo esto es propio de los modelos gausianos cuyo uso está extendido, no por su realismo pero por su simplicidad y la relativa facilidad con la que se pueden deducir fórmulas estocásticas para bonos y factores de descuento La valoración del bono zero cupón Como hemos citado anteriormente podemos obtener el precio del bono zero cupón en que paga 1 euro en U bajo la medida riesgo neutro de la siguiente manera: [ B (, U) = E e ] U r(t)dt F Si sustituimos r (s) por la expresión dada en la ecuación 5.3obtenemos: B (, U) = e [ U µ(t)dt E e U b(t) ] t f(s)dwsdt F Vamos a aplicar el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración : Consiste de forma intuitiva en expresar la zona en rojo de la gura como la suma del cuadrado en rojo y el triángulo en rojo. Así el cambio será el siguiente: U Por lo cual obtenemos :...dw s dt = U B (, U) = e [ U µ(t)dt E e f(s) U U U...dtdW s +...dtdw s s b(t)dtdws U f(s) ] U s b(t)dtdws F

86 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 86 Llegados a este punto observamos que en la primera integral la variable de integración s o el tiempo en el cual se integra el browniano varía entre y siendo la ltración en la que se evalúa la esperanza riesgo neutro la ltración en que contiene toda la información disponible en. Por lo cual esta integral es conocida en y la podemos sacar de la esperanza riesgo neutro. Por otra parte vamos a utilizar el cambio de parámetro comentado anteriormente: β(t) = b(s)ds que simplicará la expresión del bono zero cupón: B (, U) = e U µ(t)dt (β(u) β( )) [ f(s)dws E e ] U f(s)(β(u) β(s))dws F Podemos observar, que tenemos que evaluar la esperanza de la exponencial de una variable I = U f (s) (β (U) β (s)) dw s que sigue una ley normal de esperanza y varianza : E (I) = V ar (I) = U f 2 (s) (β (U) β (s)) 2 ds En el Capítulo 2 vimos que si ℵ sigue una ley normal, tenemos : E ( e ℵ) = e E(ℵ)+ 1 2 V ar(ℵ) Si aplicamos este resultado a nuestro caso tenemos: [ E e ] U f(s)(β(u) β(s))dws F = e 1 U 2 f 2 (s)(β(u) β(s)) 2 ds Por lo cual el precio del bono zero cupón viene dado por : B (, U) = exp [ U µ (t) dt (β (U) β ( )) f (s) dw s + 1 U 2 ] f 2 (s) (β (U) β (s)) 2 ds Uno de los datos de mercado de los que disponemos es la curva de los bonos zero cupón actuales B(, t) que pagan un euro en t. Sería ineresante introducir B (, ) y B (, U) en la fórmula precedente del bono zero cupón para reducir si es posible el número de parametros. Utilizamos la fórmula precedente para dar la expresión de B (, ) y B (, U): [ ] B (, ) = exp B (, U) = exp [ U µ (t) dt µ (t) dt U f 2 (s) (β ( ) β (s)) 2 ds f 2 (s) (β (U) β (s)) 2 ds ] (5.4)

87 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 87 Si dividimos el segundo por el primero tenemos: B (, U) B (, ) [ U = exp µ (t) dt + 1 U 2 f2 (s) (β (U) β (s)) 2 ds 1 2 f2 (s) (β ( ) β (s)) 2 ] ds [ U = exp µ (t) dt f2 (s) (β (U) β (s)) 2 ds + 1 U 2 f2 (s) (β (U) β (s)) 2 ds 1 2 f2 (s) (β ( ) β (s)) 2 ] ds Por identicación de miembros podemos espresar el bono zero cupón en función de este ratio de la siguiente manera: B (, U) = B (, U) B (, ) [ exp (β (U) β ( )) f (s) dws f2 (s) (β ( ) β (s)) 2 ds 1 2 f2 (s) (β (U) β (s)) 2 ] ds Intentamos simplicar la suma de las dos últimas integrales de la siguiente manera: 1 2 f2 (s) (β ( ) β (s)) 2 ds 1 2 f2 (s) (β (U) β (s)) 2 ds = = 1 ( 2 f2 (s) β ( ) 2 β (U) 2 ) + 2β (s) (β (U) β ( )) ds 1 (β ( ) 2 β (U) 2) 2 f2 (s) ds + (β (U) β ( )) f2 (s) β (s) ds B (, U) B (, U) = B (, ) [ exp (β (U) β ( )) f (s) dws + 1 (β ( ) 2 β (U) 2) ] 2 f2 (s) ds + (β (U) β ( )) f2 (s) β (s) ds (5.5) Observamos que en cualquier fecha podemos construir B (, U) para cada fecha U, con U sabiendo solo un término estocástico X = f (s) dw s, todos los demás son deterministas El factor de descuento Vamos a hallar la expresión de e U r(t)dt sustituyendo r (t) por la expresión dada en 5.3. Así pues: e U r(t)dt = e U µ(t)dt U b(t) f(s)dwsdt Vamos a aplicar Fubini para cambiar el orden de la integración en la segunda integral. El cambio es el mismo que el expuesto en la gura Por lo tanto tenemos: U U U U b (t) f (s) dw sdt = f (s) b (t) dtdw s f (s) b (t) dtdw s s U U = (β (U) β ( )) f (s) dw s β (U) f (s) dw s + f (s) β (s) dw s e U r(t)dt = e U µ(t)dt (β(u) β( )) f(s)dws β(u) U f(s)dws+ U f(s)β(s)dws Ahora, nos interesamos en expresar e U r(t)dt en función de B (, U) y por ello comparamos la ecuación 5.6 (5.6)

88 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 88 e U r(t)dt = B (, U) exp ( β (U) U Es importante observar que para construir e U que U debemos conocer dos términos estocásticos: U f (s) dw s + f (s) β (s) dw s 1 ) U f 2 (s) (β (U) β (s)) 2 ds 2 (5.7) X = X U X = Y = Y U Y = U U r(t)dt para tiempos y U cualesquiera tal f (s) dw s f (s) β (s) dw s Estas dos variables no están completamente correladas por lo cual en la simulación se deberán considerar por separado. De forma general en los modelos de tipos de interés corto, debemos intentar obtener el mínimo de variables estocásticas para denir las dos cantidades fundamentales: el bono y el factor de descuento. Esto se debe a que en la simulación de variables estocásticas cuando se aumenta el número de variables se aumenta considerablemente el número de cálculos y por lo tanto el tiempo de ejecución. Por otra parte si tratamos de obtener fórmulas análiticas para productos sencillos, cuanto menos número de variables estocásticas más fácil será la tarea. Existe una manera ingeniosa de librarnos de una variable aleatoria, consiste en expresar Y como una término colinear a X con un resto independiente de X: Y = ax + Z con a un coeciente real determinista y Z una variable independiente de X. Por lo tanto se debe vericar que: Cov (X, Z) = Cov (X, Z) = Cov (X, Y ax) = Cov (X, Y ) acov (X, X) = Cov (X, Y ) av ar (X) a = Cov (X, Y ) V ar (X) Aunque parezca evidente hay que vericar que el cambio realizado en Y no modica la estructura de correlación entre X y Y.

89 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 89 Cov (X, Y ) = Cov (X, ax + Z) = acov (X, X) + Cov (X, Z) = av ar (X) Cov (X, Y ) = V ar (X) V ar (X) Por lo tanto este cambio ha respetado la estructura de correlaciones y es válido. Este resultado no siempre es válido cuando trabajamos con más de dos variables aleatorias e intentamos expresar varias de ellas como una combinación lineal de las otras variables aleatorias y un resto independiente de las otras variables aleatorias. Es decir que si en el caso general imponemos la independencia entre variables igualando las covarianza a zero puede que los coecientes obtenidos no permitan mantener la estrucutra de correlaciones entre variables inicial. Si imponemos: α (t) = ν (t) = f 2 (s) ds β (s) f 2 (s) ds La estuctura inicial de varianzas y covarianzas será: V ar (X) = α (U) α ( ) V ar (Y ) = U f (s) 2 β (s) 2 dw s Como consecuencia tenemos: Cov (X, Y ) = ν (U) ν ( ) V ar (Z) = V ar (Y ax) ( = E (Y ax) 2) (E (Y ax)) 2 = E ( Y 2) + a 2 E ( X 2) 2aE (XY ) (E (Y ) ae (X)) 2 Cov (X, Y )2 (X, Y ) = V ar (Y ) + 2 V ar (X) 2Cov Cov (X, Y ) V ar (X) V ar (X) = V ar (Y ) Cov (X, Y )2 V ar (X)

90 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 9 Por lo cual : V ar (Z) = U f (s) 2 β (s) 2 dw s (ν (U) ν ( ))2 α (U) α ( ) Si consideramos cualquier producto nanciero que paga un cash ow C U en una fecha futura U, su valor en será: [ C = E e ] U r(t)dt C U F (5.8) Para los poductos derivados de tipo de interés vimos en el Capítulo 3 que C U dependía de algunos bonos zero cupón del tipo B (,...). Entonces tendremos sustituyendo el factor de descuento por la expresión dada por la ecuación 5.7: ( C = B (, U) E [exp 1 2 ( = B (, U) E [exp 1 2 U U )] f 2 (s) (β (U) β (s)) 2 ds β (U) X + Y ( = B (, U) E [exp 1 2 β (U)2 (α (U) α ( )) 1 2 = ( β (U) ν (U) ν ( ) α (U) α ( ) )] f 2 (s) (β (U) β (s)) 2 ds (β (U) a) X + Z ) )] X + Z U ) f 2 (s) β 2 (s) ds + β (U) (ν (U) ν ( )) Llegados a este punto observamos, que sería muy interesante tener en la exponencial 1 2V ar (Z) como uno de los sumandos. De esta manera al ser Z independiente de X, si además este fuese independiente de C U entonces podriamos obtener la esperanza como multiplicación de dos esperanzas una de las cuales sería E (exp ((Z) 12 )) V ar (Z) ( 1 = E (exp 2 V ar (Z) 1 )) V ar (Z) 2 = E (1) = 1 Entonces expresemos C en función de V ar (Z): C = B (, U) E (exp ( 12 ( V ar (Z) + Z β (U) β (U) (ν (U) ν ( )) 1 )) (ν (U) ν ( )) 2 2 α (U) α ( ) ( ( ) = B (, U) E (exp ν (U) ν ( ) β (U) X α (U) α ( ) 1 2 (α (U) α ( )) ( = B (, U) E (exp ( β (U) 2 + 2β (U) ( β (U) ν (U) ν ( ) α (U) α ( ) ν (U) ν ( ) α (U) α ( ) + ν (U) ν ( ) α (U) α ( ) ) X 1 2 β (U)2 (α (U) α ( )) ( ) ))) ν (U) ν ( ) 2 α (U) α ( ) ) X 12 (α (U) α ( )) ( β (U) + (5.9) (5.1) ) )) ν (U) ν ( ) 2 α (U) α ( ) (5.11)

91 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 91 Como podrá observar el lector, hemos expresado el precio de cualquier producto nanciero en que paga un cash ow C U en U con el modelo HW1 como la esperanza de una sola variable estocástica X Métodos numéricos La principal función de los métodos numéricos será la de resolver la esperanza de una cierta función de variables estocásticas. Esta solución permitirá tras la multiplicación por una cierta función determinista obtener el precio de cualquier producto derivado bajo la medida riesgo neutro. A este nivel consideramos principalmente 2 : MonteCarlo y los Árboles trinomiales Método de Monte Carlo Como hemos visto en la sección precedente la mayoría de los derivados de tipos de interés se pueden valorar gracias a la ecuación 5.8. Si nos interesamos por el caso de la valoración en el tiempo actual de un producto que paga un cash ow C en el tiempo esta ecuación se convierte en : [ C = E e ] r(t)dt C Los términos estocásticos vienen de e r(t)dt, y los eventuales B(,...): X = f (s) dw s Y = f (s) β (s) dw s Si estas variables como es el caso están correladas no podemos simularlas independientemente. El vector Z = ( ) t X Y se puede construir de la siguiente manera : Z = Cholesky (M cov,var (Z )) Z (5.12) donde M cov,var (Z ) es la matriz de (2,2) de varianzas covarianzas Z, Cholesky() representa la factorización de Cholesky de una matriz denida positiva y Z designa a un vector columna de dimensión 2 cuyas componentes son variables normales estándar independientes. Más precisamente M cov,var (Z ) se puede expresar de la siguiente manera: ( M cov,var (Z ) = f ) 2 (s) ds f 2 (s) β (s) ds f 2 (s) β (s) ds f 2 (s) β 2 (s) ds Su factorización de Cholesky viene dada por: Cholesky (M cov,var (Z )) = = ( 1 1 Corr 2 (X, Y ) Corr(X, Y ) 1 ) 1 ( f 2 (s)β(s)ds) 2 f 2 (s)β 2 (s)ds f 2 (s)ds f 2 (s)β(s)ds f 2 (s)β 2 (s)ds f 2 (s)ds

92 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 92 Por lo cual el precio de los productos que estamos estudiando será: C = E [f (X, Y )] Con una función x f (x) propia de cada producto. Para simular con Monte Carlo se escoge un número de trayectorias N, y con un generador de variables aleatorias normales estándar obtenemos, una matrix de (2,N) hecha con 2 las que son realizaciones de cada componente de Z. Con la ecuación 5.12, obtenemos las realizaciones correspondientes de cada componente de Z. Finalmente el precio usando Monte Carlo es: C = 1 N N f j=1 ( ) X j, Y j Pero no todos los productos se pueden valorar de esta forma, productos como los Bermudan Swaption cuyos payos dependen de los bonos zero cupón B( i,...) en distintas fechas de ejercicio i, con i n y =, dependen de las trayectorias. C = E [f (X i, Y i )] i n Esto signica que no podemos simular la X j asociada a B( j,...) y e j r(t)dt con 2 j n sin tener en cuenta los resultados de la simulación de X j 1. Entonces para estos productos tenemos que discretizar cada X j con 2 j n de la siguiente manera : X j = Y j = j i=1 j i=1 i i 1 f (ω) dw s = i j ( X ) i i=1 i 1 f (s) β(s)dw s = j ( Y ) i i=1 y tendremos que simular cada ( X ) i usando el método precendente y cambiando los limites de todas las integrales de a i i 1. Decimos que este tipo de método usa una forward inducción por que va simulando las variables estocásticas en el sentido de tiempos crecientes y necesita el estado anterior para llegar al posterior. enemos que destacar que si usamos la ecuación 5.11 para valorar los productos nancieros, en el tiempo actual el precio vendrá dado por : C = E [g (X )] que solo depende de una variable aleatoria y donde x g (x)depende de cada producto pero para un mismo producto es distinta de x f (x). En este caso tendremos que X se puede expresar como:

93 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 93 X = V ar (X ) X donde X es una variable normal estándar. Con el generador de números aleatorios obtenemos un vector columna de N realizaciones de X. C = 1 N N j=1 ( ) g X j Esta reducción de variables aleatorias es muy interesante por que reduce a la mitad la generación del generador aleatorio El método de los árboles trinomiales: el triángulo El triángulo es un simple árbol trinomial, diseñado para representar el término estocástico X = f (t) dw t, que es una martingala de varianza α ( ) = f 2 (t) dt. Un triángulo usa un incremento de paso de tiempo constante t y un incremento de espacio constante x. En cada paso de tiempo i la fecha de tiempo es i = i t. En cada nodo j, i j i de ese paso de tiempo X i = j x. Esto le da una forma de triángulo. Las probabilidades de paso de un paso de tiempo a otro son constantes a través de los nodos de un paso de tiempo y fáciles de calcular. Para calcularlas, tenemos que igualar la esperanza y la varianza local teórica y numérica. Como sabemos que (X ) es martingala, tenemos para todo t tal que t : Por otra parte: E (X F t ) = X t E ( (X X t ) 2 F t ) = V ar teórica = t f 2 (t) dt Entonces, si nos situamos en un paso de tiempo i la fecha de tiempo es t = i t y en un nodo j de este paso de tiempo el valor de X es X i t = j x. Por lo tanto desde este nodo tendremos tres posibilidades de evolución en la fecha = (i + 1) t siguiente: La variable puede incrementar su valor respecto del que tenía en el paso de tiempo anterior : X up up (i+1) t = (j + 1) x con una probabilidad Pi El valor de la variable puede seguir igual respecto del que tenía en el paso de tiempo anterior : X(i+1) t same same = j x con una probabilidad Pi La variable puede disminuir su valor respecto del que tenía en el paso de tiempo anterior : X(i+1) t down down = (j 1) x con una probabilidad Pi

94 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 94 Esperanza local númerica obtenida gracias a la relación caratéristica de martingala: X up (i+1) t P up i + X(i+1) t same P i same + X(i+1) t down P i down = X i t (j + 1) xp up i + j xp same i + (j 1) xp down i = j x Queremos imponer que P up i Varianza local númerica : (j + 1) P up i = P down i + jp same i + (j 1) P down = j que denominamos P i. Entonces P same i = 1 2P i ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 X up (i+1) t X i t P up i + X(i+1) t same X i t P same i + X(i+1) t down X i t P down i = V ar teórica ((j + 1) x j x) 2 P i + (j x j x) 2 (1 2P i ) + ((j 1) x j x) 2 P i = V ar teórica 2 ( x) 2 P i = V ar teórica P i = V ar teórica 2 ( x) 2 (i+1) t f 2 (s) ds i t = 2 ( x) 2 = α ((i + 1) t) α (i t) 2 ( x) 2 Debemos asegurar que P i y que 1 2P i estén entre y 1. Esto se consigue cuando P i 1 2. Para imponer este resultado debemos hacer una buena selección del incremento en espacio x por ejemplo con : x = Max i n ( α ((i + 1) t) α (i t) ) Este método consiste en hacer coincidir la fecha para el último paso de tiempo i con la fecha de vencimiento de la opción. Dar los valores correspondientes numéricos de la variable en los distintos nodos X i t = j x, con i j i Para cada uno de estos escenarios de la variable aleatoria tendremos un valor del payo del producto nanciero considerado, que es su precio en el vencimiento es decir V (j) = P ayoff j = g (j x)con i j i. Sabemos que en la medida riesgo neutro el precio actualizado de cualquier producto nanciero es martingala. E ( V e r(s)ds F t ) = V (i 1) te (i 1) t r(s)ds

95 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 95 Sabemos que e r(s)ds se puede expresar como una función de unicamente la variable X i t: F D (X i t) V (i 1) te (i 1) t r(s)ds se puede expresar una función de unicamente la variable X (i 1) t: F D ( ) X (i 1) t Obtenemos los valores del precio del producto en el paso de tiempo anterior en los disintos nodos utilizando los precios del producto en tres nodos del último paso de tiempo. Se puede seguir sucesivamente de esta forma hasta llegar al precio único en la fecha. Si queremos obtener el precio del producto en el nodo j genérico en el paso de tiempo i 1, tenemos: V (i 1) t = E ( V e r(s)ds F t ) e (i 1) t r(s)ds = g (j x) F D (j x) (1 2P i ) + g ((j + 1) x) F D ((j + 1) x) P i + g ((j 1) x) F D ((j 1) x) P i F D (j x) El lector podrá constatar que este método númerico a diferencia del de MonteCarlo es backward induction ya que necesita los estados posteriores de la variable aleatoria para determinar el estado anterior. Es un método en el cual nos desplazamos en sentido decreciento del tiempo La calibración-el Bermudan Swaption Como hemos visto en las secciones anteriores podemos obtener el precio de productos derivados a partir de una esperanza bajo la medida riesgo neutro de una variable estocástica y de una función determinista. Estos factores se construyen como integrales en el tiempo de funciones de los parámetros de nuestro modelo a (t)y f (t). El modelo de HW1 no dice nada sobre el valor de estos parámetros. En la práctica estos parámetros suelen considerarse como constantes a trozos. Sin embargo siguen sin estar determinados y nos hacen falta para dar el precio de los productos. La determinación del valor de estos parámetros es uno de los principales desaos del quantitative analyst. Este proceso se denomina calibración. El proceso de calibración se basa en la elección de un conjunto de calibración. Este es una lista de productos líquidos con un perl de riesgos similar al del producto exótico al que queremos dar precio. Pongamonos en el caso de un ejemplo simple para estudiar la calibración: Un bermudan Swaption que tiene fechas de ejercicio en 1 año, 2 años y 3 años. Cada fecha de ejercicio es muy similar a un European Swaption. Por lo cual es normal que haya que añadir al conjunto de calibración los siguientes European Swaptions: La opción de 1 año para entrar en el swap de 3 años La opción de 2 años para entrar en el swap de 2 años La opción de 3 años para entrar en el swap de 1 año Si representaramos en una matriz las volatilidades σde manera que en las las tenemos de fechas de vencimientos de los Swaptions de 1 a 3 años y en las columnas la duración del swap subyacente

96 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 96 Producto/parámetros Swaption1 f1 Swaption2 f1 f2 Swaption3 f1 f2 f3 Cuadro 5.1: Estructura de dependencia de los productos en triángulo inferior de 1 a 3 años nuestro conjunto de calibración serían los Swaptions de la antidiagonal. En efecto tendríamos los elementos σ 13, σ 22, σ 31 de la matriz σ. Las incógnitas de este problema serán: los parámetros correspondientes al intervalo entre las fechas y 1 : a 1, f 1 los parámetros correspondientes al intervalo entre las fechas 1 y 2 : a 2, f 2 los parámetros correspondientes al intervalo entre las fechas 2 y 3: a 3, f 3 En este caso vemos como tenemos más incógnitas que productos en nuestro conjunto de calibración. Este problema puede ser evitado jando a (t) = constante a un nivel arbitrario. Entonces tendremos el mismo número de incógnitas que de productos en nuestro conjunto de calibración. Se dice que calibramos unicamente la curva f (t). Un estudio de la sensibilidad de nuestros productos del conjunto de calibración revelará que : El precio del Swaption con fecha de vencimiento 1 año es sensible a una variación de f 1 pero no a una de f 2 o f 3. El precio del Swaption con fecha de vencimiento 2 años es sensible a una variación de f 1,f 2 pero no a una de f 3. El precio del Swaption con fecha de vencimiento 3 años es sensible a una variación de f 1,f 2,f 3. se trata de una estructura de dependencia de los productos a los parámetros en triángulo inferior. Estas sensibilidades se obtienen sacando el precio del Swaption para un valor f t y para f t +,1f t. Es decir la sensibilidad a una variación de un 1 % sobre el parámetro f t del Swaption es : s (f t ) = Swaption (f t) Swaption (f t +,1f t ),1f t Estas sensibilidades simplican de nuevo el problema ya que f 1 se puede determinar con el precio del Swaption de fecha de vencimiento 1 año.

97 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS 97 f 2 se puede determinar con el precio del Swaption de fecha de vencimiento 2 años y utilizando el f 1 jado en el paso anterior. f 3 se puede determinar con el precio de Swaption de fecha de vencimiento 3 años y tulizando el f 1 y f 2 jados en los pasos anteriores. ¾ Como se determinan en la práctica estos parámetro? La técnica es sencilla, se escoge un valor arbitrario de f t. ras esto, se halla el precio del Swaption que daría el modelo con este valor del parámetro. A continuación se halla la diferencia con el dato del precio de mercado. enemos que buscar un nuevo valor de f t que haga que esta diferencia se reduzca, y así sucesivamente hasta que el precio dado con nuestro modelo utilizando un cierto ft esté tan próximo del de mercado como nosotros hallamos impuesto por medio de una tolerancia. Entonces necesitamos utilizar un método iterativo para hallar la raiz ft. 1. f 1 t primer valor de f t arbitrario Precio del Swaption por el modelo Swaption 1 model. 2. ¾ ft 2? segundo valor de f t a determinar : hallamos la sensibilidad del precio, dado por modelo, del Swaption a un incremento de un 1 % en ft 1 : s ( ) ft Obtenemos ft 2 con : s ( ) ft 1 1 Swaption 1 model Swaption market + ft 1 4. Repetimos el proceso hasta que para un cierto f n t tengamos Swaption 1 model Swaption market ε con ε la tolerancia que buscamos. Sin embargo en numerosas ocasiones no se puede hacer esta repartición sencilla de un parámetro para un producto, que es equivalente a resolver de forma itrativa una ecuación con una incógnita. Esto ocurre cuando por ejemplo varios de los productos dependen de parámetros posteriores a su fecha de vencimiento y la estructura de dependencia de los productos ya nos es triangular inferior. En el caso más general habría que hallar de golpe los tres parámetros f 1, f 2, f 3 con los tres productos S,, U de nuestro conjunto de calibración. Ahora los pasos de la técnica iterativa serán: 1. ( f 1 1, f 1 2, f 1 3 ) primera terna de valores arbitraria Precio de los productos por el modelo ( S 1 model, 1 model, U 1 model) 2. ¾ ( ) f1 2, f2 2, f3 2? segunda terna de valores a determinar : hallamos la matriz de sensibilidades de los precios de los productos, dados por el modelo, a un incremento de un 1 % en cada uno de los parámetros de la terna ( ) f1 1, f2 1, f3 1 s = S model f 1 model f 1 U model f 1 S model f 2 model f 2 U model f 2 S model f 3 model f 3 U model f 3

98 CAPÍULO 5. LOS MODELOS DE IPOS DE INERÉS Obtenemos la terna ( ) f1 2, f2 2, f3 2 de la siguiente manera: f 1 2 f2 2 = s 1 S1 model S market 1 f3 2 model market Umodel 1 U market + f 1 1 f 1 2 f Repetimos el proceso hasta que para una cierta terna (f n 1, f n 2, f n 3 ) tenemos que S n model S market ε n model market ε U n model U market ε Por último cabe destacar que en nuestro ejemplo el hecho de haber considerado la curva a (t) constante y jada de manera arbitraria es una hipotesis muy simplicadora. Una solución alternativa consiste en usar más European Swaptions en nuestro conjunto de calibración. enemos que seguir con la idea de elegir unos que tenga un perl de riesgos similar que el producto que queremos valorar. Para ponerle el precio de forma precisa al Bermudan Swaption es esencial representar correctamente la distribución de probabilidad de sus subyacente en cada fecha de ejercicio. Esto es lo que la introducción de la antidiagonal de Swaptions en nuestro conjunto de calibración se supone que consigue. Sin embargo un bermudan Swaption tiene otro subyacente : la opción restante que nos permitiría ejercer en fechas de ejercicio superiores. Aparte de la última fecha de ejercicio, todas las otras dan la posibilidad de elegir entre el swap subyacente y si no se ejerce, la opción Bermudan Swaption restante, es decir la opción bermuda que permite entrar en un swap subyacente en fechas futuras. Si observamos en particular el ejercicio después de 2 años en nuestro ejemplo. La opción restante es la opción con fecha de vencimiento en 1 año es decir 3 años desde el inicio de entrar en un swap de 1 año de duración. Para evaluar esta opción dentro de dos años el trader usará la volatilidad de mercado y el valor del forward swap rate. La distribución de probabilidad del forward swap rate puede ser deducida de la distribución de probabilidad del forward swap que es ella misma la diferencia entre la del swap de duración 2 años que comienza dentro de 2 años y la del swap de duración 1 año que comienza dentro de dos años también. Como podrá observar el lector la distribución de probabilidad del swap de 2 años de duración que comienza en 2 años ya ha sido calibrada usando la opción de 2 años de entrar en un swap de duración de 2 años. enemos un buen motivo para introducir en nuestro conjunto de calibración la opción de 2 años de entrar en un swap de duración 1 año. Es una serie de Swaptions in-between, cuyas fechas de ejercicio son similares a las del Bermudan Swaption y la madureces de los swaps subyacentes que son las próximas fechas de ejercicio. Opción de 1 año para entrar en el swap de duración 1 año Opción de 2 años para entrar en el swap de duración 1 año Estas corresponderían con las volatilidades σ 11, σ 21 de la matriz de volatilidades σ comentada anteriormente. Corresponderían con una columna de la matriz.

99 Capítulo 6 Modelo Hull&White de dos factores 6.1. Introducción y motivación Vamos a motivar la implementación del modelo Hull y White de dos factores mostrando los defectos que presenta el de uno. El tipo de interés instantaneo r t, permite caracterizar toda la curva de rendimientos. El conocimiento del tipo de interés instantaneo y de sus propiedades de distribución llevan al conocimiento de los precios de los bonos zero cupón. La fórmula común que permite establecer el precio de los bonos zero cupón es: B (t, ) = E t exp t r (ω) dω (6.1) Hemos visto que en el caso del modelo Hull y White de un factor el cálculo de la esperanza, nos lleva a obtener la siguiente fórmula para el bono zero cupón : B (t, ) = A (t, ) exp ( P (t, ) r (t)) donde, A (t, ) y P (t, ) son funciones deterministas. Con todos los precios de los bonos zero cupón en un tiempo dado t, podemos construir la curva de rendimientos completa en el mismo tiempo t. Por lo cual, se puede construir toda la curva de rendimientosen t con una única cantidad r t. Generalmente en este caso, se pueden calcular todos los tipos de interés solo con r. En particular nos interesamos a los tipos de interés como el Euribor y el Libor, que son por denición tipos forward simples. El Libor es por ejemplo la siguiente función de r: LIBOR (t,, U) = LIBOR (t,, U) = ( B (t, ) B (t, U) 1 ) 1 τ (, U) ( ) A (t, ) A (t, U) exp ( (P (t, ) P (t, U)) r 1 t) 1 τ (, U) 99

100 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 1 d de ddee eed dddeeeddd eededeeed eeeededd d dd dde ded eedddeded eeeedddd eeeeeedd d dd dedddeedd eeededddd eeeeededd eeeeeeed d d d dd d ddd d dddd d dd eeddddedd eeeeddded eeeeeeddd eeeeeeee d dd eededdded eeeededdd eeeeeeded eeeeeeee d dd eeeddeeed eeeeedded eeeeeeedd eeeeeeee d dd eeedddedd eeeeedddd eeeeeeed eeeeeeeed d d d d d dd eeedded eeeeedded eeeeeeeed eeeeeeed d dd eeedeeddd eeeeedeed ddddddddd eeeeeded d dd eeedddded eeeeedddd ddddddddd ddddedde d ed eeedeeded eeeeededd dddddeddd dddddddd d ed eeeeedddd eeeeededd eeeededdd ddeedded d ed eeeeeddd ddddddeed ddddeeeed dededede Figura 6.1: Correlación LIBOR(1,1,2), LIBOR(1,2,3) Ahora, consideramos un payo que depende de la distribución conjunta de dos de estos tipos en un tiempo t. Por ejemplo podemos congurar los tiempos de la siguiente forma: 1 = t + 1, 2 = t + 1, U 1 = y U 2 = El payo dependerá de los LIBORs 12 meses que jan en un año y en 1 años. En particular la correlación entre estos tipos tiene una fuerte inuencia en el precio. Con el modelo de Hull y White de un factor esta correlación se expresa de la forma siguiente: Corr (L (t, 1, U 1), L (t, 2, U 2)) = exp ( (β (U 1) β ( 1)) (β (U 2) β ( 2)) f 2 (ω)dω ) 1 (exp ( (β (U1) β ( 1)) 2 f 2 (ω)dω ) 1 ) ( exp ( (β (U 2) β ( 2)) 2 f 2 (ω)dω ) 1 ) enemos que destacar el hecho que cuando f 2 (ω)dω tiende a, los LIBORs de todas las fehcas de jación y de todas las madureces están perfectamente correlados. Esto signica que cuando la volatilidad del proceso r t tiene valores muy bajos o cuando e a(s)ds es muy grande respecto de σ t para cada t, la correlación entre todos los LIBORs vistos en la fecha t es perfecta. ¾ Pero que ocurre cuando esta volatilidad no es tan baja como para considerar que la integral tiende a? El análisis de la fórmula no nos lleva a ninguna conclusión, por lo cual vamos a estudiar dos casos particulares. Las tablas 6.1 y 6.1 muestran la correlación entre los LIBORs un año que ja en un año y en dos años y los LIBORs un año que jan en un año y diez años, respectivamente. Se han utilizado diferentes valores de a(t) y f(t), considerando que son constantes e iguales a a y f. En estos casos observamos que no es posible bajar las correlaciones entre tipos ni a menos del 9 %. Se puede considerar que los tipos están perfectamente correlados. En la práctica esta es una propiedad bien conocida de este modelo y se puede generalizar este resultado para todas las efchas de jación y todas las madureces. Esta dicultad para bajar las correlación se puede observar grácamente en los grácos. Esto signica que un choque en la curva del LIBOR, en el tiempo t es transmitido de la

101 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 11 d dd eeddeedd eeeeddedd eeeeeedd d dd eeeeddddd eeeeeeedd eeeeeee d dd eeedddddd eeeeedddd eeeeeeed d d d dd d ddd d dddd d dd eeeeeddd eeeeeeeed eeeeeeee d dd eeeeedded eeeeeeed d dd eeeedded eeeeeeddd d d d d d dd eeeeddddd eeeeeeddd eeeeeeeed eeeeeeee dd dddddddd d dd eeeededdd eeeeeeded eeeeeeeed eeeeeeee d dd eeeeddeed eeeeeeddd eeeeeeeed dddddddd d ed eeeeddded eeeeeeddd eeeeeeeed dddddddd d ed eeeededed eeeeeeded eeeeeeeed ddddddde d ed eeeededed eeeeeeded eeeeeeeed dddddddd Figura 6.2: Correlación LIBOR(1,1,2), LIBOR(1,1,11) Figura 6.3: Gráca Correlación LIBOR(1,1,2), LIBOR(1,2,3) en función de los valores a y f

102 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 12 Figura 6.4: Gráca Correlación LIBOR(1,1,2), LIBOR(1,1,11) en función de los valores a y f misma manera a través de todos los tiempos de jación. Si se produce un choque r t la curva de el LIBOR, que como hemos dicho antes solo depende de la cantidad r t, se mueve paralelamente en la misma dirección. En la realidad los tipos de interés muestran cierta decorrelación. En los ejemplos vistos precedentemente, sería lógico que en el segundo caso en el que los LIBORs están mas separados en el tiempo los valores de las correlaciones fuesen más bajos que en el primero. El modelo no evalua la diferencia de tiempos entre los tipos de interés. Ahora, tenemos que determinar los productos en los cuales la hipótesis de correlación perfecta de los tipos se puede aceptar para su evaluación y los productos en los cuales no se puede aceptar. Estos últimos serán los que motivarán el uso del modelo de dos factores. 1. Caso 1: La correlación de varios LIBORs de la curva no es relevante en el precio del producto. Se puede usar el modelo HW de un factor. a) Cuando el payo del producto que queremos evaluar no depende de la correlación de diferentes tipos por que solo depende de un tipo de interés de toda la curva. Ejemplo 6.1 b) Cuando el payo del producto depende en cada instante de diferentes tipos de la curva que están muy próximos en el tiempo. La correlación entre estos tipos en la realidad es muy alta. 2. Caso 2: El precio del producto está fuertemente inuenciado por la correlación entre varios LIBORs de la curva. El HW de un factor no es satisfactorio para la evaluación. Ejemplos: 6.1 y 6.1.

103 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 13 =1 t=1.5 Figura 6.5: Caplet de fecha de ejercicio 1 año sobre el EURBOR 6 meses que ja en 1 año y medio = t1=2 t2=3 Figura 6.6: payo= max(euribor3m(2y)-euribor(3y)-k,) 3. Caso 3: El precio del producto depende de la correlación entre los LIBORs, pero este no es el factor más determinante. Este es un caso dudoso, en el que habrá que analizar producto a producto para saber si el HW de un factor es relevante o no. Ejemplo 6.1 Entonces tenemos que encontrar un modelo más satisfactorio para la evolución de la curva. El modelo de Hull y White de dos factores, estudiado en la literatura nanciera, permite exibilidad y más realismo en los patrones de correlación, como veremos en las secciones posteriores. A partir de esta sección es donde encontramos los resultados obtenidos en el marco de este proyecto de n de carrera. Para poner en la práctica un nuevo modelo de tipos de interés, lo primero es hallar las ecuaciones que nos dan los bonos zero cupón y los factores de descuento a partir de un cierta dinámica del tipo corto dada por los inventores del modelo. Debemos destacar que este proceso es personal ya que en la mayoría de la literatura se hallan las ecuaciones suponiendo que los parámetros del modelo no varían con el tiempo. Sin embargo en los modelos usados por Santander GBM no se realiza dicha suposición y normalmente estos son constantes a trozos. Lo siguiente es implementar usando C++ objetos que permitan el cálculo de estos bonos y factores de descuento dentro de una librería que usa objetos para realizar los métodos numéricos, para generar numeros aleatorios con los generadores de números aleatorios, para denir los productos a valorar... Por lo cual no solo tendremos la dicultad de implementar nuevas funciones si no que también deberemos estudiar como hacer para que todo encaje bien con lo que ya existía en la librería y que deberá interactuar continuamente con nuestras novedades. = t1=4 t2=5 Figura 6.7: Forward start Option payo= max(euribor3m(5y)-keuribor3m(4y),)

104 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 14 =1 t1=1.5 t2=2 t3=2.5 =1 t1=1.5 t2=11 t3=11.5 Figura 6.8: Bermudan Swaption n fechas de ejercicio 1=1,...,n= Las ecuaciones de la dinámica del tipo corto y su solución El modelo de Hull&White de dos factores es un modelo de tipo de interés corto Gausiano. Esto quiere decir que en cada instante t, el tipo corto seguirá una cierta ley normal ℵ(E (r (t)), σ (r (t))). La dinámica que sigue el proceso estocástico del tipo corto bajo la medida riesgo neutro es: dr (t) = (θ (t) a (t) r + u) dt + σ 1 (t) dw 1 (t), r () = r (6.2) donde el proceso {u (t) : t } satisface: du (t) = b (t) udt + σ 2 (t) dw 2 (t), u() = θ(t), a(t), b (t)σ 1 (t), σ 2 (t), ρ (t) son los parámetros del modelo. Estos son funciones deterministas del tiempo. (W 1 (t), W 2 (t)) es un movimiento browniano bidimensional bajo la medida riesgo neutro con un factor de correlación instantanea ρ (t). Este movimiento browniano aporta la característica de ser estocástico al tipo corto. dw 1 (t) dw 2 (t) = ρ (t) dt Podemos escribir la ecuación 6.2 de la siguiente forma: ( ) θ (t) + u dr (t) = a (t) r dt + σ 1 (t) dw 1 (t), r () = r a (t) El parámetro a (t) se denomina reversión a la media y representa la velociadad con la cual el tipo corto se dirige hacia el tipo corto a largo plazo θ(t)+u a(t). Hay que destacar que este tipo a largo plazo no es determinista como en el caso del Hull&White de un solo factor. En este tipo a largo plazo tenemos el término u que sigue un proceso de difusión como r. Podemos constantar que cuando r está por encima de este tipo corto a largo plazo, r tiende ( a bajar de valor y dirigirse hacia el tipo a largo con una velocidad a (t) ya que el drift a (t) θ(t)+u a(t) r) es negativo. Por el contrario cuando r está por debajo de este tipo corto a largo plazo, r tiende ( a subir de valor y dirigirse hacia el tipo a largo con una velocidad a (t) ya que el drift a (t) θ(t)+u a(t) r) es positivo. Para la resolución de la ecuación vamos a denir unas nuevas funciones del tiempo construidas unicamente a partir de nuestro parámetros, por lo que podrán ser consideradas parámetros del modelo de la misma manera.

105 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 15 b1 (t) = exp b2 (t) = exp a (w) dw b (w) dw β(t) = β1 (t) = b1 (w) dw exp w b (s) a (s) ds dw f1 (t) = σ 1 (t) b1 (t) f2 (t) = σ 2 (t) b2 (t) Observamos que si integrasemos la dinámica del tipo corto directamente obtendriamos una solución de r(t) no explícita : r (t) = r + (θ (w) a (w) r (w) + u (w)) ds + σ(w)dw 1 (w) de la misma forma si integrasemos directamente la dinámica del tipo corto a largo plazo obtendríamos una solución de u (t) no explícita: u (t) = b (w) u (w) dw + σ 2 (w) dw 2 (w) Una manera de evitar esta dicultad es resolver la dinámica aplicando el lemma de Îto a r(t) y a u(t) b1(t) b2(t). Así obtenemos:

106 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 16 r (t) b1 (t) = r () b1 () + r(w) b(w) w w + r(w) b(w) r r σ 2 1(w) 2 r(w) b(w) r 2 w (6.3) u (t) b2 (t) = u () b2 () + u(w) b2(w) w w + u(w) b2(w) u r + 1 σ 2 2(w) 2 2 u(w) b2(w) u 2 w (6.4) Cada una de las integrales de la ecuación de r se puede expresar de la forma siguiente: r(w) b1(w) w w = a (w) r(w) b1(w) w r(w) b(w) r r = 1 b1 (w) r σ 2 1(w) 2 r(w) b(w) r 2 w = Cada una de las integrales de la ecuación de u se puede expresar de la forma siguiente: u(w) b2(w) w w = b (w) u(w) b2(w) w u(w) b2(w) u u = 1 b2 (w) u σ 2 2(w) 2 u(w) b(w) u 2 w = Volviendo a las ecuación y sabiendo que b1 () = 1,b2 () = 1 r () = r y u () = obtenemos: r (t) t b1 (t) = r () + a (s) r(s) b1(s) s + 1 b1 (s) r u (t) b1 (t) = + b (w) u(w) b2(w) w + 1 b2 (w) u

107 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 17 Sin embargo r y u de las segundas integrales de cada ecuación pueden ser expresados gracias a las dinámicas dadas por 6.3 y 6.4: 1 t b1 (w) r = θ (w) t b1 (w) w + u (w) t b1 (w) w a (w) r (w) t σ 1 (w) w + b1 (w) b1 (w) dw 1 (w) Finalmente tenemos: 1 t b2 (w) u = r (t) = b1 (t) r () + b1 (t) b (w) u (w) t σ 2 (w) w + b2 (w) b2 (w) dw 2 (w) θ (w) + u (w) t σ 1 (w) w + b1 (t) b1 (w) b1 (w) dw 1 (w) σ 2 (w) u (t) = b2 (t) b2 (w) dw 2 (w) Si usamos los nuevos parámetros f 1 y f 2, tenemos: r (t) = b1 (t) r () + b1 (t) σ (w) w + b1 (t) b1 (w) u (t) = b2 (t) u (w) w + b1 (t) b1 (w) f2 (w) dw 2 (w) f1 (w) dw 1 (w) Si sustiumos u (s) en la primera ecuación la expresión de la segunda ecuación tenemos: r (t) = b1 (t) r ()+b1 (t) σ (w) w+b1 (t) b1 (w) b2 (w) b1 (w) w f2 (s) dw 2 (s) w+b1 (t) Esta es la solución de la dinámica del short rate que cuenta con una parte determinista: µ (t) = b1 (t) r () + b1 (t) σ (w) b1 (w) w f1 (w) dw 1 (w) Vamos a aplicar el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración de I = b1 (t) b2(w) w b1(w) Como podemos observar en la gura 6.1.1, el cambio será el siguiente: f2 (s) dw Por lo cual : w I = b1 (t)...dw 2 (s) dw = s...dwdw 2 (s) b2 (w) f2 (s) s b1 (w) dwdw 2 (s)

108 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 18 Figura 6.9: eorema de Fubini para cambio de orden de integración en el dominio en rojo Ahora podemos utilizar el nuevo parámetro que denimos anteriormente: Entonces tenemos: β(t) = I = b1 (t) exp w b (s) a (s) ds dw f2 (s) (β(t) β(s)) dw 2 (s) Por lo cual la expresión denitiva del tipo corto es: r (t) = µ (t) + b1 (t) f2 (s) (β(t) β(s)) dw 2 (s) + b1 (t) f1 (w) dw 1 (w) Por una simple razón de comodidad podemos cambiar la variable muda de integración s por w en la segunda integral : r (t) = µ (t) + b1 (t) f2 (w) (β(t) β(w)) dw 2 (w) + b1 (t) f1 (w) dw 1 (w) (6.5) La distribución y la probabilidad de los tipos negativos Podemos observar que r (t) sigue una ley de normal de esperanza y de varianza: E (r (t)) = µ (t)

109 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 19 ( V ar (r(t)) = b1 2 (t) V ar f2 (w) (β(t) β(w)) dw 2 (w) + ( ( = b1 2 (t) E f2 (w) (β(t) β(w)) dw 2 (w) + ( ( = b1 2 (t) E f2 (w) (β(t) β(w)) dw 2 (w) + = b1 2 (t) f1 2 (w)dw + Por lo cual r (t) se puede expresar de la siguiente forma: ) f1 (w) dw 1 (w) ) ) 2 f1 (w) dw 1 (w) ) ) 2 f1 (w) dw 1 (w) f2 2 (w) (β(t) β(w)) 2 dw + 2 ρ(w)f1(w)f2(w) (β(t) β(w)) dw r (t) = E (r (t)) + V ar (r (t))ℵ donde ℵ representa una variable que sigue una ley normal estándar. La probabilidad riesgo neutro de que los tipos sean negativos en t es : ( ) E (r (t)) P (r (t) < ) = P ℵ < V ar (r (t)) µ (t) = Φ ( b1 2 (t) t f12 (w)dw + f22 (w) (β(t) β(w)) 2 dw + 2 ) t ρ(w)f1(w)f2(w) (β(t) β(w)) dw donde Φ representa la distribución cumulada de ley normal estándar La valoración del bono zero cupón Como hemos citado anteriormente podemos obtener el precio del bono zero cupón en que paga 1 euro en U bajo la medida riesgo neutro de la siguiente manera: [ B (, U) = E e ] U r(t)dt F Si sustituimos r (t) por la expresión dada en la ecuación 6.5obtenemos: B (, U) = e U µ(t)dt E [exp ( U U b1 (t) f2 (w) (β(t) β(w)) dw 2 (w) dt b1 (t) ) ] f1 (w) dw 1 (w) F Vamos a aplicar el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración de las dos integrales : Consiste de forma intuitiva en expresar la zona en rojo de la gura como la suma del cuadrado en rojo y el triángulo en rojo. Así el cambio será el siguiente: U...dW (w) dt = U U U...dtdW (w) +...dtdw (w) w

110 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 11 Figura 6.1: eorema de Fubini para cambio de orden de integración en el dominio en rojo Por lo cual : U b1 (t) f2 (w) (β(t) β(w)) dw 2 (w) dt = U f2 (w) b1 (t) (β(t) β(w)) dtdw 2 (w) (6.6) U U + f2 (w) b1 (t) (β(t) β(w)) dtdw 2 (w) w U b1 (t) f1 (w) dw 1 (w) = U U U f1 (w) b1 (t) dtdw 1 (w) + f1 (w) b1 (t) dtdw 1 (w) (6.7) w f1 (w) dw 1 (w) = (β1 (U) β1 ( )) U + f1 (w) (β1 (U) β1 (w)) dw 1 (w) Llegados a este punto observamos que en las primeras integrales de 6.6 y 6.7 la variable de integración w o el tiempo en el cual se integra el browniano, varía entre y siendo la ltración en la que se evalúa la esperanza riesgo neutro la ltración en que contiene toda la información disponible en. Por lo cual estas dos integrales son conocidas en y la podemos sacar de la esperanza riesgo neutro: ( U U ) B (, U) = exp µ (t) dt (β1 (U) β1 ( )) f1 (w) dw 1 (w) f2 (w) b1 (t) (β(t) β(w)) dtdw 2 (w) ( U U U ) ] E [exp f1 (w) (β1 (U) β1 (w)) dw 1 (w) f2 (w) b1 (t) (β(t) β(w)) dtdw 2 (w) F w Podemos observar, que tenemos que evaluar la esperanza de la exponencial de una variable ( U U ) U J = f1 (w) (β1 (U) β1 (w)) dw 1 (w) f2 (w) b1 (t) (β(t) β(w)) dtdw 2 (w) w que sigue una ley normal de esperanza y varianza :

111 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 111 E (J) = V ar (J) = U U ( U 2 f1 2 (w) (β1 (U) β1 (w)) 2 dw 1 (w) + f2 2 (w) b1 (t) (β(t) β(w)) dt) dw 2 (w) w U ( U ) +2 ρ (w) f1 (w) f2 (w) (β1 (U) β1 (w)) b1 (t) (β(t) β(w)) dt dw w En el Capítulo 2 vimos que si ℵ sigue una ley normal, tenemos : E ( e ℵ) = e E(ℵ)+ 1 2 V ar(ℵ) Si aplicamos este resultado a nuestro caso tenemos: U B (, U) = ϕ (, U) exp (β1 (U) β1 ( )) f1 (w) dw 1 (w) f2(w) b1(t) (β(t) β(w)) dtdw 2 (w) con ϕ (, U) una función determinista que viene dada por: U ϕ (, U) = exp µ(t)dt + 1 U f1 2 (w) (β1(u) β1(w)) 2 dω + 1 U U 2 f2 2 (w) b1(t) (β(t) β(w)) dt dw 2 2 w U U + ρ(w)f1(w)f2(w) (β1 (U) β1(w)) b1(t) (β(t) β(w)) dt dw Uno de los datos de mercado de los que disponemos es la curva de los bonos zero cupón actuales B(, t) que pagan un euro en t. Sería ineresante introducir B (, ) y B (, U) en la fórmula precedente del bono zero cupón para reducir si es posible el número de parametros. Utilizamos la fórmula precedente para dar la expresión de B (, ) y B (, U): w B (, ) = exp µ(t)dt + 1 f1 2 (w) (β1( ) β1(w)) 2 dω f2 2 (w) b1(t) (β(t) β(w)) dt dw 2 2 w + + ρ(w)f1(w)f2(w) (β1 ( ) β1(w)) b1(t) (β(t) β(w)) dt dw U B (, ) = exp µ(t)dt + 1 U f1 2 (w) (β1(u) β1(w)) 2 dω + 1 U U 2 f2 2 (w) b1(t) (β(t) β(w)) dt dw 2 2 w U U = + ρ(w)f1(w)f2(w) (β1 (U) β1(w)) b1(t) (β(t) β(w)) dt dw w w

112 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 112 Por identicación de miembros podemos expresar la parte determinista del bono zero cupón en función del ratio B(,U) B(, ) de la siguiente manera: ϕ (, U ) = B(, U) 1 exp B (, ) 2 ( β1( ) 2 β1(u) 2) f1 2 (ω) dω + (β1(u) β1( )) f1 2 (ω)β1(ω)dω U 2 f2 2 (ω) b1(t) (β(t) β(ω)) dt b1(t) (β(t) β(ω)) dt dω 2 ω ω U + ρ(ω)f1(ω)f2(ω) (β1 ( ) β1(ω)) b1(t) (β(t) β(ω)) dt (β1 (U) β1(ω)) b1(t) (β(t) β(ω)) dt dω ω ω Debemos intentar desarollar lo máximo posible estas expresiones ya que posteriormente en la implementación del cálculo de cada una de las integrales los resultados se facilitan. Llamamos B = B1 B2 a la diferencia de la segunda linea de la ecuación precedente y C = C1 C2 a la diferencia de la tercera e imponemos la dención de un nuevo parámetro formado por parámetros usado anteriormente: Entonces tendremos: D (t) = b1 (t) β (t) dt B1 = = = f2 2 (w) (D ( ) D (w) β (w) (β1 ( ) β1 (w))) 2 dw ( ) f2 2 (w) (D ( ) D (w)) 2 + β 2 (w) (β1 ( ) β1 (w)) 2 2β (w) (β1 ( ) β1 (w)) (D ( ) D (w)) ( f2 2 (w) D 2 ( ) 2D ( ) D (w) + D 2 (w) + β 2 (w) β1 2 ( ) 2β 2 (w) β1 ( ) β1 (w) + β 2 (w) β1 2 (w) 2D ( ) β (w) β1 ( ) + 2D ( ) β (w) β1 (w) + 2D (w) β (w) β1 ( ) 2D (w) β (w) β1 (w)) dw Si utilizamos la propiedad de linearidad de la integral obtenemos: B1 = D 2 ( ) f2 2 (w) dw 2D ( ) f2 2 (w) D (w) dw + f2 2 (w) D 2 (w) dw + β1 2 ( ) f2 2 (w) β 2 (w) dw 2β1 ( ) f2 2 (w) β 2 (w) β1 (w) dw + f2 2 (w) β 2 (w) β1 2 (w) dw 2D ( ) β1 ( ) f2 2 (w) β (w) dw +2D ( ) f2 2 (w) β (w) β1 (w) dw + 2β1 ( ) f2 2 (w) D (w) β (w) dw 2 f2 2 (w) D (w) β (w) β1 (w) dw No hace falta que calculemos B2 ya que como el lector podrá observar será la misma expresión que B1 simplemente cambiando por U salvo en los limites de las integrales. Esto signica que al hacer la diferencia las integrales que no se multiplican por un termino detependiente de en B1 se elmininarán, por lo tanto: B = ( ) D 2 ( ) D 2 (U) f2 2 (w) dw 2 (D ( ) D (U)) f2 2 (w) D (w) dw

113 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 113 ( ) + β1 2 ( ) β1 2 (U) f2 2 (w) β 2 (w) dw 2 (β1 ( ) β1 (U)) f2 2 (w) β 2 (w) β1 (w) dw 2 (D ( ) β1 ( ) D (U) β1 (U)) f2 2 (w) β (w) dw + 2 (D ( ) D (U)) f2 2 (w) β (w) β1 (w) dw +2 (β1 ( ) β1 (U)) f2 2 (w) D (w) β (w) dw C1 = ρ (w) f1 (w) f2 (w) (β1 ( ) β1 (w)) (D ( ) D (w) β (w) (β1 ( ) β1 (w))) dw = β1 ( ) D ( ) ρ (w) f1 (w) f2 (w) dw β1 ( ) ρ (w) f1 (w) f2 (w) D (w) dw β1 2 ( ) ρ (w) f1 (w) f2 (w) β (w) dw + β1 ( ) ρ (w) f1 (w) f2 (w) β (w) β1 (w) dw D ( ) ρ (w) f1 (w) f2 (w) β1 (w) dw + ρ (w) f1 (w) f2 (w) D (w) β1 (w) dw +β1 ( ) ρ (w) f1 (w) f2 (w) β (w) β1 (w) dw ρ (w) f1 (w) f2 (w) β (w) β1 2 (w) dw. No hace falta que calculemos C2 ya que como el lector podrá observar será la misma expresión que C1 simplemente cambiando por U salvo en los limites de las integrales. Esto signica que al hacer la diferencia las integrales que no se multiplican por un termino detependiente de en C1 se elmininarán, por lo tanto: C = (β1 ( ) D ( ) β1 (U) D (U)) ρ (w) f1 (w) f2 (w) dw (β1 ( ) β1 (U)) ρ (w) f1 (w) f2 (w) D (w) dw ( ) β1 2 ( ) β1 2 (U) ρ (w) f1 (w) f2 (w) β (w) dw + (β1 ( ) β1 ( )) ρ (w) f1 (w) f2 (w) β (w) β1 (w) dw (D ( ) D (U)) ρ (w) f1 (w) f2 (w) β1 (w) dw + (β1 ( ) β1 (U)) ρ (w) f1 (w) f2 (w) β (w) β1 (w) dw Por lo que nalmente obtenemos la función determinista ϕ (, U) de la siguiente manera: ϕ (, U ) = B(, U) B (, ) exp 1 ( β1( ) 2 β1(u) 2) f1 2 (ω) dω + (β1(u) β1( )) f1 2 (ω)β1(ω)dω ( ) D 2 ( ) D 2 (U) f2 2 (ω)dω (D ( ) D(U)) f2 2 (ω)d (ω) dω ( ) β1 2 ( ) β1 2 (U) f2 2 (ω)β 2 (ω) dω (β1 ( ) β1(u)) f2 2 (ω)β 2 (ω) β1 (ω) dω 2 (D ( ) β1( ) D(U)β1(U)) f 2 (ω)β (ω) dω + (D ( ) D(U)) f2 2 (ω)β (ω) β1 (ω) dω + (β1 ( ) β1(u)) f2 2 (ω)β (ω) D (ω) dω (D ( ) β1( ) D(U)β1(U)) ρ(ω)f1(ω)f2(ω)dω

114 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES (β1 ( ) β1(u)) ρ(ω)f1(ω)f2(ω)d (ω) dω 1 ( ) β1 2 ( ) β1 2 (U) ρ(ω)f1(ω)f2(ω)β (ω) dω 2 (β1 ( ) β1(u)) ρ(ω)f1(ω)f2(ω)β (ω) β1 (ω) dω 1 2 (D ( ) D(U)) ρ(ω)f1(ω)f2(ω)β1 (ω) dω Por la misma razón de facilitar la implementación, desarollamos lo máximo posible la expresión de la parte estocástica del bono zero cupón, por lo que obtenemos: B (, U) = ϕ (, U) exp (β1 (U) β1 ( )) f1 (ω) dw 1 (ω) (D(U) D( )) f2(ω)dw 2(ω) (β1(u) β1( )) f2(ω)β (ω) dw 2(ω) (6.8) Podemos concluir que en culquier tiempo, podemos constuir B(, U) para todo tiempo U, tal que U, conociendo tres variables estocásticas: X 1 = f1 (ω) dw 1 (ω) X 2 = f2(ω)dw 2 (ω). X 3 = f2(ω)β (ω) dw 2 (ω) 6.2. El factor de descuento De la misma manera que en el modelo de un factor vamos a hallar e U r(t)dt sustituyendo r (t) con su expresión dada por la ecuación 6.5. Así pues: e ( r(t)dt = exp µ (t) dt b1 (t) f2 (w) (β(t) β(w)) dw 2 (w) dt b1 (t) ) f1 (w) dw 1 (w) dt Utilizando de nuevo Fubini para cambiar el orden de integración y poniendo el factor de descuento en función del bono zero cupón B(, U), tenemos :

115 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 115 e U r(t)dt U U U = B(, U) exp f1 (ω) (β1 (U) β1 (ω)) dw 1 (ω) f2(ω) b1(t) (β(t) β(ω)) dtdw 2(ω) ω 1 U f1 2 (ω) (β1(u) β1(ω)) 2 dω 1 U U 2 f2 2 (ω) b1(t) (β(t) β(ω)) dt dω 2 2 ω U U ρ(ω)f1(ω)f2(ω) (β1 (U) β1(ω)) b1(t) (β(t) β(ω)) dt dω Una vez expresado e U r(t)dt en función del bono zero cupón, nos interesamos en e r(t)dt que es el factor de descuento usado para valorar los productos derivados en el tiempo es decir actualmente. Como dijimos para el bono zero cupón nos interesa desarollar al máximo las integrales. Así pues: e r(t)dt ω = ψ( ) β1 ( ) f1 (ω) dw 1 (ω) D( ) f2(ω)dw 2(ω) + β1(u) f2(ω)β (ω) dw 2(ω) f2(ω)d (ω) dw 2(ω) f2(ω)β (ω) β1 (ω) dw 2(ω) + f1(ω)β1 (ω) dw 1(ω) donde ψ( ) es una función determinista: (6.9) ψ( ) = 1 β1 2 ( ) f1 2 (ω) dω + β1 ( ) f1 2 (ω) β1 (ω) dω 1 f1 2 (ω) β1 2 (ω) dω D 2 ( ) f2 2 (ω) dω + D ( ) f2 2 (ω) D (ω) dω 1 f2 2 (ω) β 2 (ω) β1 2 (ω) dω β1 2 ( ) f2 2 (ω) β 2 (ω) dω + β1 ( ) f2 2 (ω) β 2 (ω) β1 (ω) dω + D ( ) β1 ( ) f2 2 (ω) β (ω) dω 2 1 f2 2 (ω) D 2 (ω) dω D ( ) f2 2 (ω) β (ω) β1 (ω) dω β1 ( ) f2 2 (ω) D (ω) β (ω) dω 2 + f2 2 (ω) D (ω) β (ω) β1 (ω) dω β1 ( ) D ( ) f1 (ω) f2 (ω) ρ (ω) dω + β1 ( ) f1 (ω) f2 (ω) ρ (ω) D (ω) dω β1 2 ( ) f1 (ω) f2 (ω) ρ (ω) β (ω) dω + β1 ( ) f1 (ω) f2 (ω) ρ (ω) β (ω) β1 (ω) dω D ( ) f1 (ω) f2 (ω) ρ (ω) β1 (ω) dω + f1 (ω) f2 (ω) ρ (ω) β1 (ω) D (ω) dω + β1 ( ) f1 (ω) f2 (ω) ρ (ω) β (ω) β1 (ω) dω f1 (ω) f2 (ω) ρ (ω) β (ω) β1 2 (ω) dω 6.3. Métodos numéricos El método de MonteCarlo Si nos interesamos por el caso de la valoración en el tiempo actual de un producto que paga un cash ow C en el tiempo, el precio del producto es :

116 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 116 C = E [ e r(t)dt C ] Los términos estocásticos vienen de e r(t)dt, y los eventuales B(,...):, X 1 = f1 (ω) dw 1 (ω) X 2 = f2(ω)dw 2 (ω) X 3 = f2(ω)β (ω) dw 2 (ω) X 4 = f2(ω)d (ω) dw 2 (ω) X 5 = f2(ω)β (ω) β1 (ω) dw 2 (ω) X 6 = f1(ω)β1 (ω) dw 1 (ω) Si estas variables como es el caso están correladas no podemos simularlas independientemente. El vector X = ( ) X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 t se puede construir de la siguiente manera : X = Cholesky (M cov,var (X )) X (6.1) donde M cov,var (Z ) es la matriz de (6,6) de varianzas covarianzas X, Cholesky() representa la factorización de Cholesky de una matriz denida positiva y X designa a un vector columna de dimensión 6 cuyas componentes son variables normales estándar independientes.

117 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 117 Más precisamente M cov,var (Z ) se puede expresar de la siguiente manera: M cov,var (X ) = f12 dω f1f2ρdω f1f2ρβdω f1f2ρddω f1f2ρββ1dω f12 β1dω f22 βdω f22 Ddω f22 ββ1dω f1f2ρβ1dω f22 β 2 dω f22 βddω f22 β 2 β1dω f1f2ρββ1dω f22 D 2 dω f22 ββ1ddω f1f2ρβ1ddω f22 β 2 β1 2 dω f1f2ρβ12 βdω f12 β1 2 dω Por lo cual el precio de los productos que estamos estudiando será: [ ( C = E f X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6 )] Con una función x f (x) propia de cada producto. Para simular con Monte Carlo se escoge un número de trayectorias N, y con un generador de variables aleatorias normales estándar obtenemos, una matrix de (6,N) hecha con 6 las que son realizaciones de cada componente de X. Con la ecuación 6.1, obtenemos las realizaciones correspondientes de cada componente de X. Finalmente el precio usando Monte Carlo es: C = 1 N N f j=1 (X 1j, X 2j, X 3j, X 4J ), X 5j, X 6j Pero no todos los productos se pueden valorar de esta forma, productos como los Bermudan Swaption cuyos payos dependen de los bonos zero cupón B( i,...) en distintas fechas de ejercicio i, con i n y =, dependen de las trayectorias. C = E [ f ( X 1 i, X 2 i, X 3 i, X 4 i, X 5 i, X 6 i )] i n Esto signica que no podemos simular la X j asociada a B( j,...) y e j r(t)dt con 2 j n sin tener en cuenta los resultados de la simulación de X j 1. Entonces para estos productos tenemos que discretizar cada X j con 2 j n de la siguiente manera : i X 1 j = j j ( ) f1 (ω) dw 1 (ω) = X 1 i i=1 i=1 i 1... =... X 6 j j i = j ( ) X 6 i=1 i=1 i 1 y tendremos que simular cada ( X ) i usando el método precendente y cambiando los limites de todas las integrales de a i i 1. Decimos que este tipo de método usa una forward inducción por que va simulando las variables estocásticas en el sentido de tiempos crecientes y necesita el estado anterior para llegar al posterior. i

118 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 118 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 B (, U i ) (β1 (U i ) β1 ( )) (D (U i ) D ( )) (β1 (U i ) β1 ( )) e r(t)dt β1 ( ) D ( ) β1 ( ) Cuadro 6.1: Coecientes que multiplican las variables estocásticas Vamos a interesarnos ahora en recopilar los coecientes que multiplican cada una de las variables estocástica que vienen de e r(t)dt, y los eventuales B(, U i ) con U i fechas de intercambio de cashows en el futuro para 1 i n y n el número de estos intercambios. La idea es la de reducir el numéro de variables estocásticas aplicando la linearidad de la integral pero de forma inversa: es decir poner bajo la misma integral el coeciente una de las variables x la función bajo la intergral de la variable + coeciente de otra de las variables x la función bajo la integral de esta variable. Esto se puede hacer solo cuando las 2 variables aleatorias están integradas respecto del mismo browniano: es decir sean las dos bajo W 1 sean las dos bajo W 2. ampoco resulta interesenta poner bajo la integral coecientes que dependan de U i ya que en este caso la supuesta reducción de variables generaría en realidad n variables nuevas. Por lo tanto la única reducción que se puede hacer es la de X 4 con X 5. En este caso eliminamos X 5 y rebautizamos X 4 de la siguiente manera: X 4 = f2 (w) (D (w) β (w) β1 (w)) dw 2 (w) Gracias a esta reducción de variables estocásticas podemos evitarnos el generar un la de N realizaciones de la variable normal estándar con el generador de números aleatorios. ambién reducimos el orden de la matriz de varianzas covarianzas, con lo que mejoramos las posibilidades de realizar la factorización de Cholesky con éxito. La nueva matriz de varianzas covarianzas será: M cov,var (X ) = Árbol trinomial f12 dω f1f2ρdω f1f2ρβdω f1f2ρ (D ββ1) dω f12 β1dω f22 βdω f22 (D ββ1) dω f1f2ρβ1dω f22 β 2 dω f22 β (D ββ1) dω f1f2ρββ1dω f22 (D ββ1) 2 dω f1f2ρβ1ddω f12 β1 2 dω Desgraciadamente el alto número de variables aleatorias a simular 5 como mínimo, hace que el método del árbol trinomial sea imposible en la práctica. Esta va a ser la gran desventaja de nuestro modelo. Ya que en numerosos productos, como los que tienen varias fechas de ejercicio es interesante poder utilizar una resolución numérica de tipo backward induction que permite simular las variables en el sentido decreciente de los tiempos La calibración-el Bermudan Swaption En el caso del modelo HW2 tenemos 5 paramétros distintos que podríamos calibrar:

119 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 119 a(t), b (t)f1(t), f2(t), ρ (t) Para la calibración de un producto determinado tendremos que elegir un conjunto de calibración. Pongamonos en el caso del ejemplo simple tratado también el HW1: Un bermudan Swaption que tiene fechas de ejercicio en 1 año, 2 años y 3 años. Cada fecha de ejercicio es muy similar a un European Swaption. Por lo cual es normal que haya que añadir al conjunto de calibración los siguientes European Swaptions: La opción de 1 año para entrar en el swap de 3 años La opción de 2 años para entrar en el swap de 2 años La opción de 3 años para entrar en el swap de 1 año Ahora que los tipos no están perfectamente correlados, sería interesante calibrar alguna de las posibles correlaciones entre Euribors que más afecten a la distribución de probabilidades del producto. En nuestro caso elejimos las siguientes: La correlación entre el Euribor12M visto desde 1 año que ja en 1 año y el Euribor12M visto desde 1 año y que ja en 2 años. La correlación entre el Euribor12M visto desde 2 años que ja en 2 años y el Euribor12M visto desde 2 años y que ja en 3 años. La correlación entre el Euribor12M visto desde 3 años que ja en 3 años y el Euribor12M visto desde 3 años y que ja en 4 años. Observamos que solo con este conjunto de calibración tenemos todavía un gran exceso de incógnitas. Sin embargo no vamos a añadir más productos a la calibración por complicar demasiado la implementación y los cálculos. Entonces elejimos calibrar f 1(t), f 2(t) que como se puede observar en los estudios sensibilidades son los parámetros que más inuencian los valores de las correlaciones que queremos calibrar, al tratarse de las volatilidades de los dos procesos de difusión. Por lo tanto dejamos a(t), b (t), ρ (t) constantes y jas a un nivel arbitrario. Como también se puede apreciar en los estudios de sensibilidades: Las incógnitas de este problema serán: los parámetros correspondientes al intervalo entre las fechas y 1 : f1 1, f2 1 los parámetros correspondientes al intervalo entre las fechas 1 y 2 : f1 2, f2 2 los parámetros correspondientes al intervalo entre las fechas 2 y 3: f1 3, f2 3 El precio del Swaption con fecha de vencimiento 1 año y de la correlación de los Euribro12M vistos desde 1 año son sensibles a una variación de f1 1 y f2 1 pero no a una de f1 2, f2 2 o f1 3, f2 3. El precio del Swaption con fecha de vencimiento 2 años y de la correlación de los Euribro12M vistos desde 2 años son sensibles a una variación de f1 1, f2 1,f1 2, f2 2 pero no a una de f1 3, f2 3.

120 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 12 Producto/parámetros Swaption1/Corr12 f1 1, f2 1 Swaption2/Corr23 f1 1, f2 1 f1 2, f2 2 Swaption3/Corr34 f1 1, f2 1 f1 2, f2 2 f1 3, f2 3 Cuadro 6.2: Estructura de dependencia de los productos en triángulo inferior El precio del Swaption con fecha de vencimiento 3 años y de la correlación de los Euribro12M vistos desde 3 años son sensibles a una variación de todos los parámetros. se trata de una estructura de dependencia de los productos a los parámetros en triángulo inferior. f1 1, f2 1 se pueden determinar con el precio del Swaption1 y la Corr12. f1 2, f2 2 se puede determinar con el precio del Swaption2 y utilizando f1 1, f2 1 jados en el paso anterior. f1 3, f2 3 se puede determinar con el precio de Swaption3 y utilizando f1 1, f2 1 y f1 2, f2 2 jados en los pasos anteriores. ¾ Como se determinan en la práctica estos parámetros? 1. ( f1 1 1, f2 1 1) primer par de valores arbitrarios Precio de los productos por el modelo ( S1 1 model, Corr12 1 model, ) El superíndice indica la iteración y el subíndice el tiempo. 2. ¾ ( f1 2 1, f21) 2? segundo par de valores a determinar : hallamos la matriz de sensibilidades de los precios de los productos, dados por el modelo, a un incremento de un 1 % en cada uno de los parámetros del par ( ) f1 2 1, f2 2 1 ) s = ( S1model f1 1 Corr12 model f1 1 S1 model f2 1 Corr12 model f Obtenemos el par ( f1 2 1, f11) 2 de la siguiente manera: ( ) ( f1 2 1 = s 1 S1 1 model S1 market Corr12 1 model Corr12 market f2 2 1 ) + ( f1 1 1 f Repetimos el proceso hasta que para una cierto par (f1 n 1, f2 n 1 ) en el que tenemos que S n model S market ε Corr12 n model Corr12 market ε Por último cabe destacar que en nuestro ejemplo el hecho de haber considerado las curvas a (t), b (t), ρ (t) constantes y jadas de manera arbitraria es una hipótesis muy simplicadora. Una solución alternativa consiste en usar más European Swaptions en nuestro conjunto de calibración y más correlaciones. )

121 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES Fórmula analítica para valorar el European Swaption El estudio anterior para la calibración de los Bermudan Swaption con European Swaptions y Correlaciones revela que debido a su carácter iterativo se calcularán de forma intensiva precios para estos European Swaption. Es posible realizar esta tarea con la simulación por MonteCarlo, sin embargo es más costoso en cálculos y tiempo de ejecución que si tuvieramos una fórmula analítica del European Swaption. Como hemos visto precedentemente en el Capítulo 3 la fórmula del precio de un European Swaption recibidor cuya fecha de ejercicio es, fecha de la primera jación es U y que paga un tipo jo K sobre el nominal M en las fechas de pago (U i ) 1 i N, usando las fracciones anuales (τ i ) 1 i N es : V = ME e r(t)dt (K ) + N B (, U i ) τ i B (, U ) + B (, U N ) i=1 ( V = ME e N ) + r(t)dt c i B (, U i ) donde los c = 1, c i = Kτ i con i = 1,..., N 1 y c N = 1 + Kτ N. Para facilitar la resolución analítica de la esperanza sería interesante realizar un cambio de numerario a B(, ), ya que a priori al suprimir e r(t)dt del cálculo de la esperanza, obtenemos 3 variables estocásticas en lugar de 6 variables. Aunque no tienen por que ser exactamente 3 ya que el cambio de medida en los brownianos W 1 y W 2 puede generar nuevas. i= dq dq = e r(t)dt B (, ) = ( ψ ( ) ϕ (, ) exp β1 ( ) f1 (w) dw 1 (w) D ( ) f2 (w) dw 2 (w) + β1 ( ) f2 (w) β (w) dw 2 (w) ) + f2 (w) D (w) dw 2 (w) f2 (w) β (w) β1 (w) dw 2 (w) + f1 (w) β1 (w) dw 1 (w) En esta expresión tenemos una parte determinista : ψ ( ) ϕ (, ) = exp 1 f1 2 (ω) (β1(w) β1( )) 2 dω + 1 f2 2 (ω) (β(w) (β1( ) β1(w)) + D (w) D ( )) 2 dω 2 2 ρ(ω)f1(ω)f2(ω) (β1 (w) β1( )) (β(w) (β1( ) β1(w)) + D (w) D ( )) dω El lector podrá constatar que si denimos X de tal manera que : dq dq = ψ ( ) ϕ (, ) ex

122 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 122 ψ( ) Entonces, la parte determinista es ϕ(, ) = e 1 2 V ar(x). ( ) Por lo cual E dq dq = 1 y podemos utilizar el teorema de Girsanov visto en el Capítulo 2. Este teorema nos permite expresar el movimiento browniano bidimensional bajo la nueva medida. Antes de proceder vamos a expresar el movimiento browniano biddimensional de tal manera que las componentes sean independientes entre ellas: dw 1 (w) = dw 2 (w) = d W 2 (w) 1 ρ2 (w) dw 1 (w) + ρ (w) d W 2 (w) Por lo cual si expresamos dq dq ellos tendremos: en función de estos nuevos brownianos independientes entre dq dq = ψ( ) ϕ(, ) exp f1 (w) 1 ρ 2 (w) (β1 (w) β1 ( )) dw 1 (w) [ (w)] + f2 (w) (β (w) (β1 ( ) β1 (w)) + D(w) D( )) + f1 (w) ρ(w) (β1 (w) β1 ( )) dw 2 Ahora expresamos ψ( ) ϕ(, ) para que sea 1 2V ar (X) siendo esta vez X la nueva variable estocástica dentro de la exponencial de dq dq = ψ( ) ϕ(, ) ex Entonces, tenemos: ψ ( ) ϕ (, ) ( ) = exp f1 2 (w) 1 ρ 2 (w) (β1 (w) β1 ( )) 2 dw ] (f2 (w) (β (w) (β1 ( ) β1 (w)) + D(w) D( )) + f1 (w) ρ(w) (β1 (w) β1 ( ))) 2 dw Gracias al teorema de Girsanov, el movimiento browniano bidimensional ( dw 1, dw 2 la nueva medida asociada al nuevo numerario viene dado por: ) bajo dw1 (w) = dw ( ) 1 (w) f1 (w) 1 ρ 2 (w) (β1 (w) β1 ( )) dw (6.11) dw 2 (w) = dw 2 (w) [f2 (w) (β (w) (β1 ( ) β1 (w)) + D(w) D( )) f1 (w) ρ(w) (β1 (w) β1 ( ))] dw (6.12) Vamos a imponer la denición de F 1 (w) y de F 2 (w) de la siguiente forma : F 1 (ω) = f1 (ω) 1 ρ 2 (ω) (β1 (ω) β1 ( )) F 2 (ω) = f2 (ω) (β (ω) (β1 ( ) β1 (ω)) + D(ω) D( )) + f1 (ω) ρ(ω) (β1 (ω) β1 ( ))

123 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 123 Ahora necesitamos deshacer el cambio en el movimiento browniano, para expresar el inicial (dw 1, dw 2 ) en función de ( dw 1, dw ) 2. Sabiamos que : dw 1 (w) = dw 2 (w) = d W 2 (w) 1 ρ2 (w) dw 1 (w) + ρ (w) d W 2 (w) Por lo que usando las ecuaciones 6.11 y 6.12 tenemos : dw 2 = dw 2 + F 2 (w) (6.13) dw 1 = ( ) ( ) 1 ρ 2 (w) dw 1 + F 1 (w) dw + ρ (w) dw 2 + F 2 (w) dw (6.14) Consideramos la fórmula de bono zero cupón como la siguiente: B(, U i) = ϕ (, U i) exp ( (β1 (U i) β1 ( )) X 1 + (D (U i) D ( )) X 2 + (β1 (U i) β1 ( )) X 3) Con el cambio de numerario tenemos el siguiente cambio en las variables estocásticas de las que depende el bono zero cupón utilizando las ecuaciones 6.13 y 6.14: X 1 = f1 (w) 1 ρ 2 (w) dw 1 (w) + ρ (w) f1 (w) d W 2 + ( ) f1 (w) ρ (w) F 2 (w) + 1 ρ 2 (w)f 1 (w) dw X 2 = f2 (w) dw2 (w) + f2 (w) F 2 (w) dw X 3 = f2 (w) β (w) dw2 (w) + Por lo cual nuestras nuevas variables estocásticas son : Y 1 = f2 (w) β (w) F 2 (w) dw f1 (w) 1 ρ 2 (w) dw 1 (w) Y 2 = (ρ (ω) f1 (ω) f2 (ω) β (ω)) dw 2 (ω) Y 3 = f2 (ω) β (ω) dw 2 (ω)

124 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 124 Se podrá observar que Y 2 se ha obtenido como la diferencia de dos variables estocásticas una que provenía de X 1 y otra que provenía de X 3. Esta redución ha sido posible ya que los coecientes que multiplican X 1 y X 3 en la fórmula del bono zero cupón son opuesto. Así pues para formar Y 2 se ha aplicado la linearidad de la integral de manera inversa: dejando el coeciente multiplicador común β1 (U i ) β1 ( ) fuera de la integral. En caso de meter el coeciente dentro de la integral no estariamos haciendo una reducción de variables sino lo contrario. Podemos observar que Y 1 es independiente de Y 2 e Y 3. Por lo cual la nueva parte determinista de la fórmula del bono zero cupón será: ( ) ϕ (, U i) = ϕ (, U i) exp (β1 (U i) β1 ( )) f1 (ω) ρ (ω) F 2 (ω) + 1 ρ 2 (ω)f 1 (ω) d W 2 (D (U i) D ( )) f2 (ω) F 2 (ω) dω + (β1 (U i) β1 ( )) f2 (ω) β (ω) F 2 (ω) dω Finalmente la nueva fórmula del bono zero cupón será: B(, U i ) = ϕ (, U i ) exp ( (β1 (U i ) β1 ( )) Y 1 (β1 (U i ) β1 ( )) Y 2 (D (U i ) D ( )) Y 3 ) Con estos cambios la fórmula del precio del European Swaption bajo la probabilidad riesgo neutro será: ( N ) + V = MB(, )E c iϕ (, U i) e BY 1 (,U i )Y 1 B Y 2 (,U i )Y 2 B Y 3 (,U i )Y 3 = MB(, ) R 3 i= ( N ) + c iϕ (, U i) e BY 1 (,U i )Y 1 B Y 2 (,U i )Y 2 B Y 3 (,U i )Y 3 f(y 2, Y 3)f(Y 1)dY 3dY 2dY 1 i= Donde gracias a los resultados clásicos de las funciones de densidad de las leyes normales en una y dos dimensiones tenemos: X f(y 1 ) = e 2 V ar(x 1 ) 2πV ar (Y1 ) f (Y 2, Y 3 ) = ( ( 1 exp 2(1 ρ(y 2,Y 3)) X 2 2 V ar(y 2) 2ρ(Y2,Y3)Y2Y3 + X2 3 V ar(y2)v ar(y 3) V ar(y 3) 2π V ar (Y 2 ) V ar (Y 3 ) (1 ρ 2 (Y 2, Y 3 )) Para poder determinar estas funciones de densidad necesitamos : V ar (Y 1 ) = ( 1 ρ 2 (w) ) f1 2 (w) dw ))

125 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 125 V ar (Y 2 ) = ρ 2 (w) f1 2 (w) dw 2 ρ (w) f1 (w) f2 (w) dw + f2 2 (w) f1 2 (w) dw V ar (Y 3 ) = f2 2 (w) dw ρ (Y 2, Y 3 ) = Cov (Y 2, Y 3 ) V ar (Y2 ) V ar (Y 3 ) = ρ (w) f1 (w) f2 (w) dw f22 (w) β (w) dw V ar (Y2 ) V ar (Y 3 ) Para obtener la resolución de la fórmula de European Swaption integramos primero en Y 1. Necesitamos encontrar para cada valor de Y 2 e Y 3 jados el valor de Y 1 tal que I = N c i ϕ (, U i ) e BY 1 (,U i)y 1 B Y 2 (,U i)y 2 B Y 3 (,U i)y 3 i= toma valores positivos. Sabiendo que los (λ i ) i N tal que : λ i = c i ϕ (, U i ) e BY 2 (,U i)y 2 B Y 3 (,U i)y 3 los λ i son coecientes constantes respecto de Y 1, todos positivos salvo el primero ya que c = 1 I = N λ i e BY 1 (,U i)y 1 i= Como los coecientes B Y1 (, U i ) son todos positivos, I es el sumatorio de de funciones de mismo sentido de crecimiento que x e x. Por lo cual I es estrictamente decreciente y solo existe una solución real Y 1 = Ȳ1 (Y 2, Y 3 ) a la ecuación I =. Por lo tanto I será positivo cuando Y 1 varie de a Ȳ1 (Y 2, Y 3 ). f (Y 2, Y 3 ) V = MB (, ) R 2 2πV ar (Y1 ) Y1=Ȳ1(Y2,Y3) Para integrar utilizamos el resultado clásico: b a e Ax2 +Bx dx = [ ( π e B 2 4A Φ b 2A A ( N ) λ i e BY 1 (,U i)y 1 e 1 2 i= B ) ( Φ a 2A 2A B )] 2A Y 1 2 V ar(y 1) dy1

126 CAPÍULO 6. MODELO HULL&WHIE DE DOS FACORES 126 Identicando en nuestro caso : A = 1 2V ar (Y 1 ) B = B Y1 (, U i ) enemos : f (Y 2, Y 3) V = MB (, ) R 2 2πV ar (Y1) [ ( ) (Ȳ1 Φ V ar (Y1) B1 (, U i) ( N λ i 2πV ar (Y 1)e B Y 1 (,U i ) ) 2 V ar(y 2 1 ) i= V ar (Y 1) )]] dy 2dY 3 ( N = MB (, ) f (Y 2, Y 3) λ ie B Y 1 (,U i ) ) 2 [ ( ) 1))] V ar(y 2 1 ) (Ȳ1 Φ B1 (, U i) V ar (Y dy 2dY 3 R 2 i= V ar (Y1) Llegados a este punto resolveremos la integral doble, de forma numérica gracias a los polinomios de Gauss-Hermite: Por lo cual : V = MB (, ) e ( B Y 1 (,U i ) ) 2 2 V ar(y 1 ) [ Φ ( (Ȳ1 ) V ar (Y1) B1 (, U i) )] L1 V ar (Y 1) L 2 j= i= ) q (j) q (i) F (Y 2i, Y 3j q (i), q (j) son los coecientes que nos da el polinomio de Gauss-Hermite en sus nodos. Y 2i, Y 3j son las raices que nos da el polinomio de Gauss-Hermite en sus nodos. L 1, L 2 son el número de nodos en cada dimensión. La función F (x, y) viene dada por: F (x, y) = 1 ρ23 π 1 ρ 23 e 2ρ 23 xy N c iϕ (, U i) e BY 2 (,U i ) 2V ar(y 2 )(1 ρ 23 )Y 2 B Y 3 (,U i ) 2V ar(y 3 )(1 ρ 23 )Y 2 Y 3 i= El lector podrá constatar que esta resolución del la fórmula del European Swaption no se halla en ninguna literatura, por lo cual ha sido obtenida en el marco de este proyecto de n de carrera.

127 Chapter 7 Implementación del Modelo Hull & White 2 factores 7.1. Introducción a la librería Atenea. La librería Atenea es un código escrito en C++ que se emplea para valorar todos los productos derivados exóticos de tipos de interés del Banco Satander. Es utilizada por los traders en front oce para calcular su posición y cubrir sus riesgos, por el equipo de riesgos para realizar cálculos como VaR (Value at Risk) y stress tests, y en diferentes países como España, Brasil, Méjico o Reino Unido. La implementación se ha realizado en C++ para lograr que la velocidad de librería y la gestión de memoria sean óptimas. El equipo de tecnología del Banco se ocupa de utilizar esta librería en grids con gran número de PCs para satisfacer la demanda de cálculos que crece día a día al aumentar la venta de productos derivados Conceptos básicos de la implementación en Atenea. Los operadores. En lo referente a la implementación, es una librería que está concebida para modelar payos muy genéricos, pudiendo combinar distintos modelos y métodos numéricos. La programación está orientada a objetos en los que se implementan productos, modelos y métodos numéricos a los cuales llamamos Engines. Los productos se representan por medio de objetos que denen operaciones sencillas o precios de los productos subyacentes. Estos objetos simples se denominan operadores. Ellos contendrán valores estocásticos de las operaciones que se describen (por ejemplo, en un Monte Carlo podríamos tener mil valores diferentes para el precio de un bono zero cupón), por lo que es necesario almacenar todos los valores de las realizaciones posibles para calcular posteriormente la esperanza del payo denitivo. Los tipos de operadores son: 127

128 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 128 Model Operators: Representan el precio de un activo nanciero, como por ejemplo el precio de un bono zero cupón. Los valores estocásticos de dichos activos serán calculados por un modelo. Neutral Operators: Denen operaciones lineales (sumas, restas, multiplicaciones por constante...) que son nesarias para construir el payo del producto. Step Operators: Denen operaciones no lineales que requerían emplear los valores de los operadores que utilizan en un tiempo determinado. Ejemplo: Descripción de un caplet mediante operadores. Como describimos en el Capítulo 3, el payo del caplet queda denido por la siguiente expresión: [ Caplet(t,, 1, U) = E (( ) e B(, t r(s)ds 1 ) B(, U) 1 ) + 1 τ( 1, U) K B(, U)τ( 1, U)] Hay que analizar para cada producto que se valora, en este caso el caplet, la red de operadores que construyen el payo. En la gura 7.1 se muestra la red de operadores de este Caplet. Hemos representado los Model Operators con cajas cuadradas, los Neutral Operators con círculos y los Step Operators con rombos. Una vez construida la red de operadores, la librería es capaz de analizar las dependencias entre los operadores de forma que realiza las operaciones necesarias, empezando por los nodos nales del árbol y concluyendo en su raíz. Como resulta obvio, no se podría utilizar un operador del que todavía no se sabe su valor. La librería comprueba la fecha de los diferentes Step Operators para conocer el número de pasos de tiempos en los que tendrá que parar en su evolución temporal y hacer los cálculos correspondientes en esa fecha. En caso de que sea necesario el valor de cada Step Operator será descontado con el valor estocástico de e t r(s)ds. En este ejemplo simple la única fecha de observación del producto es, por lo tanto, todos los operadores deben ser analizados en esa fecha. Podemos observar que a fecha tenemos que calcular el precio de dos bonos zero cupón B(, 1 ), B(, U). Como hemos comentado previamente, los Model Operators necesitan de un modelo que utilizará una fórmulas especícas para calcular sus valores estocásticos. Por otra parte los valores estocásticos de e t r(s)ds vendrán dados por el mismo modelo, de forma que la valoración sea consistente (en caso de que se emplea un modelo para calcular el precio del bono zero cupón y otro para calcular el descuento se produciría un arbitraje). Este montaje es compatible con diferentes métodos numéricos, sin embargo nos centraremos en la implementación del modelo para que sea utilizado mediante Monte Carlo Implementación en C++ del modelo de dos factores La función principal que desempeña el modelo implementado, en este proyecto en la libreía Atenea es la de calcular :

129 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 129 Figure 7.1: Red de Operadores de un Caplet

130 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 13 los precios de los bonos zero cupón los factores de descuento Aunque para ello, ha hecho falta implementar una multitud de funciones auxiliares y emplear otras que ya existían en la librería ( es el ejemplo de Monte Carlo, la generación de números aleatorios). La función que cálcula los factores de descuento es la dada en la gura 7.1 La función que cálcula los bonos zero cupón es la de la gura 7.2 Como funciones auxiliares podemos destacar las que son llamadas en el constructor del objeto HW2Model que precalculan los valores de las integrales necesarias para la valoración. Es el caso de la función RecalParam dada en la gura 7.3 y en la 7.4. El lector se puede hacer una idea de la cantidad de integrales que necesita precalcular el modelo. Vamos a dar un ejemplo de como se realiza el cálculo de una de estas integrales: f2 2 (w) D 2 (w) dw En la gura 7.5, se muestra la función getif22d2. Como hemos visto en el capítulo anterior para la resolución por método de MonteCarlo era necesaria la factorización de Cholesky de una matriz de varianzas- covarianzas. Las función dada en la gura 7.6 muestra como se cálculan las matrices de varianza-covarianza en 5 y 6 dimensiones. La función dada en las guras 7.7 y 7.8 muestran, como se obtienen los valores de las variables estocásticas obtenidas correlando las realizaciones de 5 a 6 variables normales estándar que nos da el generador de números aleatorios. Otra de las partes importantes de la implementación es la función que cálcula los precios de los European Swaptions. El lector puede apreciarla en la gura 7.9 y 7.1.

131 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 131 Algorithm 7.1 Compute Path Node Values void HW2Model::computePathNodeValues(std::vector<double>& vdpathfactor, double do, unsigned int uindex, unsigned int nusednodes) const { unsigned int i,ivar; int nsteps= (int)m_vvddiscretisedvariables_imescaledbrownianvariables.size() /m_inumberdiscretisedvariables; SQ_ASSER( uindex < m_vvddiscretisedvariables_imescaledbrownianvariables.size()/m_inumberdiscretisedvariables, "Wrong Index input!"); std::vector<std::vector<double> > & vdimescaledbrownian = m_vvddiscretisedvariables_imescaledbrownianvariables; SQ_ASSER( vdimescaledbrownian[].size() == vdpathfactor.size(), "vdimescaledbrownian vector size inconsistent with vdpathfactor one"); SQ_ASSER( nusednodes > && nusednodes <= vdimescaledbrownian[].size() && nusednodes <= vdpathfactor.size(), "Wrong nusednodes"); double ddiscountfactor = getdiscountfactor(do); int io = getindex(do); double dbo = getb(do, io); double db1o = getb1(do, io); double ddo = getd(do, io); double dif12 = getif12(do, io); double dif22 = getif22(do, io); double dif12b1 = getif12b1(do, io); double dif22b = getif22b(do, io); double dif12b12 =getif12b12(do, io); double dif22b2 =getif22b2(do, io); double dif22d =getif22d(do, io); double dif22b2b12 =getif22b2b12(do, io); double dif22b1b2 =getif22b1b2(do, io); double dif22bb1 =getif22bb1(do, io); double dif22bd =getif22bd(do, io); double dif22bb1d =getif22bb1d(do, io); double dirhof1f2 =getirhof1f2(do, io); double dirhof1f2d =getirhof1f2d(do, io); double dirhof1f2b =getirhof1f2b(do, io); double dirhof1f2bb1 =getirhof1f2bb1(do, io); double dirhof1f2b1 =getirhof1f2b1(do, io); double dirhof1f2b1d =getirhof1f2b1d(do, io); double dirhof1f2b12b =getirhof1f2b12b(do, io); double dif22d2=getif22d2(do,io); double da; std::vector<double> db; db += -db1o,-ddo,db1o,1.,-1.,1.; if (do ==.) { for (i = ; i < nusednodes; i++) { vdpathfactor[i] = 1.; } } else { da = ddiscountfactor * exp(-.5*(db1o*db1o*dif12-2.*db1o*dif12b1 + dif12b12 +ddo*ddo*dif22-2*ddo*dif22d +dif22d2+dif22b2b12+db1o*db1o*dif22b2-2*db1o*dif22b1b2-2*ddo*db1o*dif22b+2*ddo*dif22bb1 +2*dB1o*dIf22BD-2*dIf22BB1D)-(dB1o*dDo*dIrhof1f2-dB1o*dIrhof1f2D -db1o*db1o*dirhof1f2b+2.*db1o*dirhof1f2bb1+dirhof1f2b1d -ddo*dirhof1f2b1-dirhof1f2b12b)); for (i = ; i < nusednodes; i++) { vdpathfactor[i]=.; for( ivar=;ivar<static_cast<unsigned int>(m_inumberdiscretisedvariables);ivar++) { vdpathfactor[i] += db[ivar]*getdiscretisedvar(ivar,uindex)[i]; } } SQVectorMath::exp(nUsedNodes,&vdPathFactor.front(),&vdPathFactor.front()); for (i = ; i < nusednodes; i++) { vdpathfactor[i] = da*vdpathfactor[i]; } } }

132 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 132 Algorithm 7.2 CalcDiscountFactorAux void HW2Model::calcDiscountFactorsAux(unsigned int nusednodes, unsigned int uindex,double dbfrom, double dbo, std::vector<double>& vddiscountfactors) const { SQ_ASSER( dbfrom >=., "Current ime must be strictly positive"); unsigned int i; SQ_ASSER( dbo >= dbfrom, "Maturityime must be at or after Currentime " << dbfrom << " " << dbo); SQ_ASSER( nusednodes > && nusednodes <= m_vvddiscretisedvariables_imescaledbrownianvariables[].size() && nusednodes <= vddiscountfactors.size(), "Wrong nusednodes" ); double dbdiscountfactor = getdiscountfactor(dbo) / getdiscountfactor(dbfrom); int ifrom = getindex(dbfrom); int io = getindex(dbo); double dbbo = getb(dbo, io); double dbbfrom = getb(dbfrom, ifrom); double dbdo = getd(dbo, io); double dbdfrom = getd(dbfrom, ifrom); double dbb1o = getb1(dbo, io); double dbb1from = getb1(dbfrom, ifrom); std::vector<double> B ; B += -(dbb1o-dbb1from),-(dbdo-dbdfrom),dbb1o-dbb1from; std::vector<double> vdexpvalues; vdexpvalues.resize(nusednodes,.); double A=dbDiscountFactor * exp(.5*(dbb1from*dbb1from-dbb1o*dbb1o)*getif12(dbfrom, ifrom) + (dbb1o-dbb1from)*getif12b1(dbfrom, ifrom) +.5*(-(dbDo*dbDo-dbDFrom*dbDFrom)*getIf22(dbFrom, ifrom) +2*(dbDo-dbDFrom)*getIf22D(dbFrom, ifrom) -(dbb1o*dbb1o-dbb1from*dbb1from)*getif22b2(dbfrom, ifrom) +2.*(dbB1o-dbB1From)*getIf22B1B2(dbFrom, ifrom) +2*(dbDo*dbB1o-dbDFrom*dbB1From)*getIf22B(dbFrom, ifrom) -2*(dbDo-dbDFrom)*getIf22BB1(dbFrom, ifrom) -2*(dbB1o-dbB1From)*getIf22BD(dbFrom,iFrom)) +(-(dbdo*dbb1o-dbdfrom*dbb1from)*getirhof1f2(dbfrom,ifrom) +(dbb1o-dbb1from)*getirhof1f2d(dbfrom,ifrom) +(dbb1o*dbb1o-dbb1from*dbb1from)*getirhof1f2b(dbfrom,ifrom) -2.*(dbB1o-dbB1From)*getIrhof1f2BB1(dbFrom,iFrom) +(dbdo-dbdfrom)*getirhof1f2b1(dbfrom,ifrom))); for (i = ; i < nusednodes; i++) { for(int ivar=;ivar<3;ivar++) { vdexpvalues[i] += B[iVar]*getDiscretisedVar(iVar,uIndex)[i]; } } SQVectorMath::exp(nUsedNodes,&vdExpValues.front(),&vdExpValues.front()); for (i = ; i < nusednodes; i++) { vddiscountfactors[i] = A * vdexpvalues[i]; } }

133 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 133 Algorithm 7.3 RecalcParam Parte1 void HW2Model::recalcParams(unsigned int uinitindex) { int i; double dbime; SQ_ASSER(m_f1->getype() == Interpolator::PiecewiseConstant, "Param f1 in HWModel must be a piecewise constant interpolator"); SQ_ASSER(m_a->getype() == Interpolator::PiecewiseConstant, "Param a in HWModel must be a piecewise constant interpolator"); SQ_ASSER(m_f2->getype() == Interpolator::PiecewiseConstant, "Param f2 in HWModel must be a piecewise constant interpolator"); SQ_ASSER(m_b->getype() == Interpolator::PiecewiseConstant, "Param b in HWModel must be a piecewise constant interpolator"); SQ_ASSER(m_rho->getype() == Interpolator::PiecewiseConstant, "Param rho in HWModel must be a piecewise constant interpolator"); SQ_ASSER(m_a->getNumPoints() >, "Need at least one point!"); //Integrals for construction m_ia.resize(m_a->getnumpoints()); m_ib.resize(m_a->getnumpoints()); m_1b.resize(m_a->getnumpoints()); m_b2.resize(m_a->getnumpoints()); m_ab.resize(m_a->getnumpoints()); m_b.resize(m_a->getnumpoints()); m_b1.resize(m_a->getnumpoints()); m_d.resize(m_a->getnumpoints()); m_if1.resize(m_a->getnumpoints()); m_if2.resize(m_a->getnumpoints()); m_if12.resize(m_a->getnumpoints()); m_irho2f12.resize(m_a->getnumpoints()); m_if22.resize(m_a->getnumpoints()); // Integrals to calculate the Discount Bond. m_if12b1.resize(m_a->getnumpoints()); m_if22d.resize(m_a->getnumpoints()); m_if22b2.resize(m_a->getnumpoints()); m_if22b1b2.resize(m_a->getnumpoints()); m_if22b.resize(m_a->getnumpoints()); m_if22bb1.resize(m_a->getnumpoints()); m_if22bd.resize(m_a->getnumpoints()); m_irhof1f2.resize(m_a->getnumpoints()); m_irhof1f2d.resize(m_a->getnumpoints()); m_irhof1f2b.resize(m_a->getnumpoints()); m_irhof1f2bb1.resize(m_a->getnumpoints()); m_irhof1f2b1.resize(m_a->getnumpoints()); // Additional Integrals to calculate the Path Discount Factor m_if12b12.resize(m_a->getnumpoints()); m_if22b2b12.resize(m_a->getnumpoints()); m_if22bb1d.resize(m_a->getnumpoints()); m_if22d2.resize(m_a->getnumpoints()); m_irhof1f2b1d.resize(m_a->getnumpoints()); m_irhof1f2b12b.resize(m_a->getnumpoints());

134 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 134 Algorithm 7.4 RecalcParam Parte2 if (uinitindex == ) { m_ia[] =.; m_ib[] =.; m_1b[] = 1.; m_b2[] = 1.; m_ab[] = 1.; m_b[] =.; m_b1[] =.; m_d[] =.; m_if1[] =.; m_if2[] =.; m_if12[] =.; m_irho2f12[]=.; m_if22[] =.; m_if12b1[]=; m_if22d[]=.; m_if22b2[]=.; m_if22b1b2[]=.; m_if22b[]=; m_if22bb1[]=.; m_if22bd[]=.; m_irhof1f2[]=.; m_irhof1f2d[]=.; m_irhof1f2b[]=.; m_irhof1f2bb1[]=.; m_irhof1f2b1[]; m_if12b12[]=.; m_if22b2b12[]=.; m_if22bb1d[]=.; m_if22d2[]=.; m_irhof1f2b1d[]=.; m_irhof1f2b12b[]=.; } for (i = uinitindex; i < m_a->getnumpoints()-1; i++) { dbime = m_a->getime(i+1); m_ia[i+1] = getia(dbime, i); m_ib[i+1] = getib(dbime, i); m_1b[i+1] = get1b(dbime, i); m_b2[i+1] = getb2(dbime, i); m_ab[i+1] = getab(dbime, i); m_b[i+1] = getb(dbime, i); m_b1[i+1] = getb1(dbime, i); m_d[i+1] = getd(dbime, i); m_if1[i+1]= getif1(dbime, i); m_if12[i+1]= getif12(dbime, i); m_irho2f12[i+1]=getirho2f12(dbime, i); m_if22[i+1]= getif22(dbime,i); m_if12b1[i+1]=getif12b1(dbime,i); m_if22d[i+1]=getif22d(dbime,i); m_if22b2[i+1]=getif22b2(dbime,i); m_if22b1b2[i+1]=getif22b1b2(dbime,i); m_if22b[i+1]=getif22b(dbime,i); m_if22bb1[i+1]=getif22bb1(dbime,i); m_if22bd[i+1]=getif22bd(dbime,i); m_irhof1f2[i+1]=getirhof1f2(dbime,i); m_irhof1f2d[i+1]=getirhof1f2d(dbime,i); m_irhof1f2b[i+1]=getirhof1f2b(dbime,i); m_irhof1f2bb1[i+1]=getirhof1f2bb1(dbime,i); m_irhof1f2b1[i+1]=getirhof1f2b1(dbime,i); m_if12b12[i+1]=getif12b12(dbime,i); m_if22b2b12[i+1]=getif22b2b12(dbime,i); m_if22bb1d[i+1]=getif22bb1d(dbime,i); m_if22d2[i+1]=getif22d2(dbime,i); m_irhof1f2b1d[i+1]=getirhof1f2b1d(dbime,i); m_irhof1f2b12b[i+1]=getirhof1f2b12b(dbime,i); } }

135 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 135 Algorithm 7.5 IF22D2 double HW2Model::getIf22D2(double t, int i) const { double dt = t-m_f2->getime(i); double a = m_a->getvalues()[i<m_a->getnumpoints()-1?i+1:i]; double b = m_b->getvalues()[i<m_b->getnumpoints()-1?i+1:i]; double f2 = m_f2->getvalues()[i<m_f2->getnumpoints()-1?i+1:i]; double expadt=exp(-a*dt); double expbdt=exp(-b*dt); double exp2adt=exp(-2.*a*dt); double exp2bdt=exp(-2.*b*dt); double expbadt=exp(-(b+a)*dt); double d1,d2,d3; if (!close_at_precision<double>(1.e-3)(a,. )) { if (!close_at_precision<double>(1.e-3)(b,. )) { if (!close_at_precision<double>(1.e-3)(b-a,. )) { d1=m_d[i]+m_1b[i]*(m_b[i]/a+m_ab[i]/(b-a)*(1/a-1/b)); d2=m_1b[i]*(m_b[i]/a+m_ab[i]/(a*(b-a))); d3=m_1b[i]*(m_ab[i]/(b*(b-a))); return m_if22d2[i] + f2*f2*(d1*d1*dt+2.*d1*d2/a*(expadt-1.) -2.*d1*d3/b*(expbdt-1.) -d2*d2/(2.*a)*(exp2adt-1.)-d3*d3/(2.*b)*(exp2bdt-1.) +2.*d2*d3/(a+b)*(expbadt-1.)); } else { d1=m_d[i]+m_1b[i]*(m_b[i]/a+m_ab[i]/(a*a)); d2=-m_1b[i]+(m_b[i]/a+m_ab[i]/(a*a)); d3=-m_1b[i]*m_ab[i]/a; return m_if22d2[i] + f2*f2*(d1*d1*dt+2*d1*d2/a*(expadt-1) +2*d1*d3/a*(expadt*(dt+1/a)-1/a) -d2*d3/a*(exp2adt*(dt+1/(2.*a))-1/(2.*a))-d2*d2/(2.*a)*(exp2adt-1) -d3*d3*(dt*dt*exp2adt/(2.*a)+1/(2.*a*a)*(exp2adt*(dt+1/(2.*a))-1/(2.*a)))); }} else { d1=m_d[i]-m_1b[i]*(m_ab[i]/(a*a)-m_b[i]/a); d2=m_1b[i]*(m_ab[i]/(a*a)-m_b[i]/a); d3=m_1b[i]*m_ab[i]/a; return m_if22d2[i] + f2*f2*(d1*d1*dt-d2*d2/(2.*a)*(exp2adt-1.) +d3*d3/3.*dt*dt*dt+d1*d3*dt*dt -2.*d1*d2/a*(expadt-1.)-2.*d2*d3/a*(expadt*(dt+1/a)-1/a)); }} else { if (!close_at_precision<double>(1.e-1)(b,. )) { d1=m_d[i]-m_1b[i]*m_ab[i]/(b*b); d2=m_1b[i]*m_ab[i]/(b*b); d3=m_1b[i]*(m_b[i]+m_ab[i]/b); return m_if22d2[i] + f2*f2*(d1*d1*dt-d2*d2/(2.*b)*(exp2bdt-1) +d3*d3/3.*dt*dt*dt+d1*d3*dt*dt -2.*d1*d2/b*(expbdt-1)-2*d2*d3/b*(expbdt*(dt+1/b)-1/b)); } else { d1=m_d[i]; d2=m_1b[i]*m_b[i]; d3=m_1b[i]*m_ab[i]/2.; return m_if22d2[i] + f2*f2*(d1*d1*dt+d1*d2*dt*dt +(2.*d1*d3+d2*d2)/3.*dt*dt*dt+d2*d3*pow(dt,4)/2.+d3*d3/5.*pow(dt,5)); }} }

136 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 136 Algorithm 7.6 ComputeDiscretizedVariablesCovarianceMatrix void HW2Model::computeDiscretisedVariablesCovarianceMatrix( matrix<double>& mdcovaraux, double dime, int ipartitionindex { if (!m_busereduceddiscretisedvariables) { mdcovaraux(,)=getif12(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(,1)=getirhof1f2(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(,2)=getirhof1f2b(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(,3)=getirhof1f2d(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(,4)=getirhof1f2bb1(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(,5)=getif12b1(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(1,1)=getif22(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(1,2)=getif22b(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(1,3)=getif22d(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(1,4)=getif22bb1(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(1,5)=getirhof1f2b1(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(2,2)=getif22b2(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(2,3)=getif22bd(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(2,4)=getif22b1b2(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(2,5)=getirhof1f2bb1(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(3,3)=getif22d2(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(3,4)=getif22bb1d(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(3,5)=getirhof1f2b1d(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(4,4)=getif22b2b12(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(4,5)=getirhof1f2b12b(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(5,5)=getif12b12(dime,ipartitionindex); }else{ mdcovaraux(,)=getif12(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(,1)=getirhof1f2(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(,2)=getirhof1f2b(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(,3)=getirhof1f2d(dime,ipartitionindex) -getirhof1f2bb1(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(,4)=getif12b1(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(1,1)=getif22(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(1,2)=getif22b(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(1,3)=getif22d(dime,ipartitionindex)-getif22bb1(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(1,4)=getirhof1f2b1(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(2,2)=getif22b2(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(2,3)=getif22bd(dime,ipartitionindex)-getif22b1b2(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(2,4)=getirhof1f2bb1(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(3,3)=getif22d2(dime,ipartitionindex)-2*getif22bb1d(dime,ipartitionindex) +getif22b2b12(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(3,4)=getirhof1f2b1d(dime,ipartitionindex)-getirhof1f2b12b(dime,ipartitionindex); mdcovaraux(4,4)=getif12b12(dime,ipartitionindex); } for(unsigned int i=1; i<(unsigned int)m_inumberdiscretisedvariables;i++) { for(unsigned int j=;j<i;j++) { mdcovaraux(i,j)=mdcovaraux(j,i); } } }

137 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 137 Algorithm 7.7 getdiscretisedvar parte1 std::vector<double> & HW2Model::getDiscretisedVar(unsigned int uvarindex,unsigned int uimeindex)const { std::vector< std::vector<double> >& vvdiscretisedvariable = getdiscretisedvariable_imescaledbrownianvariable(); int nsteps=(int)vvdiscretisedvariable.size()/m_inumberdiscretisedvariables; SQ_ASSER( uimeindex >= && uimeindex < static_cast<unsigned int>(nsteps), "Wrong time index") ; SQ_ASSER((m_iNumberDiscretisedVariables*nSteps)==vvDiscretisedVariable.size(), "Wrong first dimension of Discretised Variables"); return vvdiscretisedvariable[uimeindex+uvarindex*nsteps]; } void HW2Model::updateDiscretisedVariables( const std::vector<std::vector<double> >& mdbnormals, const std::vector<double>& vdbimes) const { SQ_ASSER(mdbNormals.size() >, "mdbnormals must have at least one column"); SQ_ASSER(mdbNormals[].size() >, "mdbnormals must have at least one row"); SQ_ASSER( m_vvddiscretisedvariables_imescaledbrownianvariables.size() == m_inumberdiscretisedvariables*vdbimes.size(), "Main Discretised Variable must have the same number of elements as vdbimes"); unsigned int nsteps = (unsigned int)(vdbimes.size() - 1); int nintervals = static_cast<int>(nsteps); SQ_ASSER(mdbNormals.size() == m_inumberdiscretisedvariables * nsteps, "mdbnormals must have a size of NumberDiscretisedVariables times the number of steps"); // Create covariance matrices std::vector<matrix<double> > vmdcovarriang; matrix<double>::size_type ucovarsize = m_inumberdiscretisedvariables; matrix<double> mdcovarprevime, mddefintepositive, mdcovaraux, mdcovarincr, mdcovarriangaux; mdcovarincr.resize(ucovarsize,ucovarsize); mdcovaraux.resize(ucovarsize,ucovarsize); mdcovarprevime.resize(ucovarsize,ucovarsize); mdcovarriangaux.resize(ucovarsize,ucovarsize); mddefintepositive.resize(ucovarsize,ucovarsize);

138 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 138 Algorithm 7.8 getdiscretisedvar Parte2 for(matrix<double>::size_type i1=; i1<ucovarsize; i1++) { for(matrix<double>::size_type j1=; j1<ucovarsize; j1++) { mdcovarprevime(i1,j1) =.; } } for (int k = ; k < nintervals; k++) { int ipartitionindex = getindex(vdbimes[k+1]); computediscretisedvariablescovariancematrix(mdcovaraux, vdbimes[k+1], ipartitionindex); for(matrix<double>::size_type i1=; i1<ucovarsize; i1++) for(matrix<double>::size_type j1=; j1<ucovarsize; j1++) mdcovarincr(i1,j1) = mdcovaraux(i1,j1) - mdcovarprevime(i1,j1); mdcovarprevime = mdcovaraux; // Multiply covar matrix by 1,,... for(matrix<double>::size_type i1=; i1<ucovarsize; i1++) for(matrix<double>::size_type j1=; j1<ucovarsize; j1++) mdcovarincr(i1,j1) = 1. * mdcovarincr(i1,j1); double dolerence = 1e-1; Cholesky::MakeDefinitePositiveMatrix(mdCovarIncr,mdDefintePositive,dolerence); // Compute the Cholesky decomposition of the covariance matrix // Note that the result of calccholesky is the lower triangular Cholesky::calcCholesky(mdDefintePositive, mdcovarriangaux); //... and divide the cholesky matrix by 1, to avoid numerical problems for(matrix<double>::size_type i1=; i1<ucovarsize; i1++) for(matrix<double>::size_type j1=; j1<ucovarsize; j1++) mdcovarriangaux(i1,j1) = mdcovarriangaux(i1,j1) / 1.; vmdcovarriang.push_back(mdcovarriangaux); } // Update stochastic variables unsigned int usednodes = static_cast<unsigned int>(mdbnormals[].size()); for (unsigned int ivar = ; ivar <static_cast<unsigned int>(m_inumberdiscretisedvariables); ++ivar ) { std::vector<double>& vddiscretisedvar= getdiscretisedvar(ivar, ); for ( unsigned int j = ; j < usednodes; j++ ) { vddiscretisedvar[j] =.; } } for (unsigned int istep = ; istep < nsteps; ++istep ) { for (unsigned int ivar = ; ivar < static_cast<unsigned int>(m_inumberdiscretisedvariables); ++ivar ) { std::vector<double>& vddiscretisedvar = getdiscretisedvar(ivar, istep+1); for ( unsigned int j = ; j < usednodes; j++ ) { vddiscretisedvar[j] =.; for (unsigned int ivar2 = ; ivar2 <= ivar; ++ivar2 ) { vddiscretisedvar[j] += vmdcovarriang[istep](ivar,ivar2)*mdbnormals[istep+ivar2*nsteps][j]; } } } if (istep>) { for (unsigned int ivar = ; ivar < static_cast<unsigned int>(m_inumberdiscretisedvariables); ++ivar ) { std::vector<double>& vddiscretisedvar = getdiscretisedvar(ivar, istep+1); std::vector<double>& vdpreviousdiscretisedvar = getdiscretisedvar(ivar, istep); for ( unsigned int j = ; j < usednodes; j++ ) { vddiscretisedvar[j] += vdpreviousdiscretisedvar[j]; } } } } }

139 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 139 Algorithm 7.9 CalcEuropeanSwaptionPrice parte1 double HW2Model::calcEuropeanSwaptionprice(double Nominal,double FirstResetime, double dbmaturity,double Strike, std::vector<double> vdpaymenttimes,unsigned int idim) { //Definición variables std::vector<double> vdnodes (idim,.); std::vector<double> vdweights(idim,.); std::vector<double> vdimes; std::vector< std::vector<double> > X1(iDim); for( unsigned int i=; i<idim;i++ ) { X1[i].resize(iDim,.); } double result=.; double h1; double Norm1; double res=.; const double PI = ; //Cálculo nodos y pesos del método numerico de integración Maths::calcGaussHermite( vdnodes, vdweights, idim ); vdimes.push_back(firstresetime); for( unsigned int i=; i<vdpaymenttimes.size();i++) { vdimes.push_back(vdpaymenttimes[i]); } //Cálculo de terminos base int imaturity = getindex(dbmaturity); double dbb = getb(dbmaturity, imaturity); double dbb1= getb1(dbmaturity,imaturity); double dbb1 = get1b(dbmaturity, imaturity); double dbb2 = getb2(dbmaturity, imaturity); double dbd = getd(dbmaturity, imaturity); //Cálculo de los parametros esenciales double corr23=(getirhof1f2(dbmaturity, imaturity) -getif22b(dbmaturity, imaturity))/(sqrt( (getirho2f12(dbmaturity, imaturity) +getif22b2(dbmaturity, imaturity)-2*getirhof1f2b(dbmaturity, imaturity)) *(getif22(dbmaturity, imaturity)))); double Var1=getIf12(dbMaturity, imaturity)-getirho2f12(dbmaturity, imaturity); double Var2=getIrho2f12(dbMaturity, imaturity) +getif22b2(dbmaturity, imaturity)-2*getirhof1f2b(dbmaturity, imaturity); double Var3=getIf22(dbMaturity, imaturity); //Cálculo de los parametros esenciales que dependen de vdpaymenttimes size_t numberofpayments= vdpaymenttimes.size(); std::vector<double> BX1(numberofpayments); std::vector<double> BX2(numberofpayments); std::vector<double> BX3(numberofpayments); std::vector<double> c(numberofpayments+1); std::vector<double> A(numberofpayments); c[]=-1; c[1]=strike/(vdpaymenttimes[]-firstresetime); for(size_t i =2;i<numberofpayments;i++) { c[i]=strike/(vdpaymenttimes[i-1]-vdpaymenttimes[i-2]); } c[numberofpayments]=1.+ Strike/(vdpaymenttimes[numberofpayments-1] -vdpaymenttimes[numberofpayments-2]);

140 CHAPER 7. IMPLEMENACIÓN DEL MODELO HULL & WHIE 2 FACORES 14 Algorithm 7.1 calceuropeanswaptionprice parte 2 Jamshidian2 Jamshidian2(vdimes, c, vdnodes,dbmaturity, this); for(size_t i =;i<numberofpayments;i++) { int ivdpaymenttimes = getindex(vdpaymenttimes[i]); double dbb1o=getb1(vdpaymenttimes[i],ivdpaymenttimes); double dbbo=getb(vdpaymenttimes[i],ivdpaymenttimes); double dbdo=getd(vdpaymenttimes[i],ivdpaymenttimes); double dbdiscountfactor = getdiscountfactor(vdpaymenttimes[i]) / getdiscountfactor(dbmaturity); BX1[i]=-(getB1( vdpaymenttimes[i],ivdpaymenttimes)-dbb1); BX2[i]=-(getD(vdpaymenttimes[i],ivdpaymenttimes)-dbD); BX3[i]=(getB1( vdpaymenttimes[i],ivdpaymenttimes)-dbb1); A[i]=dbDiscountFactor * exp(.5*(dbb1*dbb1-dbb1o*dbb1o) *getif12(vdpaymenttimes[i], ivdpaymenttimes) + (dbb1o-dbb1)*getif12b1(dbmaturity, imaturity) +.5*(-(dbDo*dbDo-dbD*dbD)*getIf22(dbMaturity, imaturity) +2*(dbDo-dbD)*getIf22D(dbMaturity, imaturity)-(dbb1o*dbb1o-dbb1*dbb1)*getif22b2(dbmaturity, imaturity) +2*(dbB1o-dbB1)*getIf22B1B2(dbMaturity, imaturity) +2*(dbDo*dbB1o-dbD*dbB1)*getIf22B(dbMaturity, imaturity) -2*(dbDo-dbD)*getIf22BB1(dbMaturity, imaturity) -2*(dbB1o-dbB1)*getIf22BD(dbMaturity, imaturity)) +(-(dbdo*dbb1o-dbd*dbb1)*getirhof1f2(dbmaturity, imaturity) +(dbb1o-dbb1)*getirhof1f2d(dbmaturity, imaturity) +(dbb1o*dbb1o-dbb1*dbb1)*getirhof1f2b(dbmaturity, imaturity) -2.*(dbB1o-dbB1)*getIrhof1f2BB1(dbMaturity, imaturity) +(dbdo-dbd)*getirhof1f2b1(dbmaturity, imaturity))); A[i]*=exp(BX1[i]*(dbB1*getIrhof1f2B(dbMaturity, imaturity) -getirhof1f2bb1(dbmaturity, imaturity)+getirhof1f2d(dbmaturity, imaturity) - dbd*getirhof1f2(dbmaturity, imaturity)+getif12b1(dbmaturity, imaturity) -dbb1*getif12(dbmaturity, imaturity))+bx3[i]*(dbb1*getif22b2(dbmaturity, imaturity) -getif22b1b2(dbmaturity, imaturity)+getif22bd(dbmaturity, imaturity) -dbd*getif22bd(dbmaturity, imaturity)+getirhof1f2bb1(dbmaturity, imaturity) -dbb1*getirhof1f2b(dbmaturity, imaturity))+bx2[i]*(dbb1*getif22b(dbmaturity, imaturity) -getif22bb1(dbmaturity, imaturity)+getif22d(dbmaturity, imaturity) -dbd*getif22(dbmaturity, imaturity)+getirhof1f2b1(dbmaturity, imaturity) -dbb1*getirhof1f2(dbmaturity, imaturity))); } //Obtención del resultado Jamshidian2.calcValue( X1 ) ; for(unsigned int i =;i<idim;i++) { for(unsigned int j =;j<idim;j++) { if(j<i) { X1[i][j]=X1[j][i]; } for(size_t k =;k<numberofpayments;k++) { h1= X1[i][j]/sqrt(Var1)-BX1[k]*sqrt(Var1); Norm1=Maths::cumNorm(h1); res+=c[k]*a[k]*exp(-bx2[k]*sqrt(2.*var2*(1-corr23))*vdnodes[i] -BX3[k]*sqrt(2*Var3*(1-corr23))*vdNodes[j]-BX1[k]*BX1[k]*Var1/2.)*Norm1; } res*=(1-corr23)*(1-corr23)/pi/sqrt(1-corr23*corr23)*exp(2.*corr23*vdnodes[i]*vdnodes[j]); result+=vdweights[i]*vdweights[j]*res; } } result*=nominal*getdiscountfactor(dbmaturity); return result; }

141 Capítulo 8 Resultados obtenidos 8.1. Introducción Una vez implementado el modelo de dos factores que nos permite valorar los productos derivados de tipos de interés, queremos determinar que nuevas características que ha aportado frente al modelo existente en Atenea. En primer lugar queremos representar las curvas forward que simulan ambos modelos. Para este estudio hemos decidido emplear el índice de referencia de tipos de interés Euribor3M. Se trata de observar curvas forward de este índice en las diferentes trayectorias calculadas por ambos modelos. Esto signica que para una fecha de observación determinada vamos a variar la fecha de jación hasta obtener una curva para cada trayectoria. Uno de los objetivos que perseguimos es entender mejor el parámetro de reversión a la media del modelo de un factor y su relación con las correlaciones entre los diferentes tipos de interés. Por lo tanto representaremos escenarios de curvas forward utilizando diferentes valores de reversión a la media. 141

142 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS Curvas forward del Euribor3M con el modelo HW de un factor Movimiento paralelo de las curvas forward 5,% 4,5% 4,% 3,5% 3,% 2,5% 2,% 1,5% 1,%,5%,%,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Figura 8.1: Curvas forward Euribor3M HW con 1 % de reversión a la media Para obtener las diferentes curvas forward hemos calibrado el modelo de un factor de forma que replica el valor de varios swaptions de mercado. Para esta primera ilustración hemos usado un valor de reversión a la media de 1 % y la curva de factores de descuento del 13 de Mayo de 21. En la gura 8.1 estamos representando 3 caminos diferentes de la curva de Euribor3M de una simulación de Montecarlo. En el eje de abscisas, representamos la fecha de jación de cada uno de estos forwards todos vistos desde un año y en el eje de ordenadas el tipo de interés que se observa. En este modelo cada valor de un browniano, construye toda una curva forward ( característica de los modelos de tipo corto, para un modelo necesitaremos más de un browniano pero todos en la misma fecha). Los distintos puntos que se observan para un año en las abscisas corresponden a las distintas realizaciones del browniano. Como se aprecia en la gura, todas las curvas generadas por el modelo y observadas en una misma fecha son paralelas. Esto quiere decir que no se produce ninguna rotación con respecto a la esperanza de la curva. Como podemos apreciar este modelo no es válido para generar las diferentes curvas forward que se podrían apreciar en la realidad ( es el movimiento de las curvas generadas por el HW 1 factor lo que carece de realismo). ampoco este modelo es adecuado para valorar productos derivados que dependan de indices de referencia de diferente duración.

143 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS 143 5,% 4,5% 4,% 3,5% 3,% 2,5% 2,% 1,5% 1,%,5%,%,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Figura 8.2: Curvas forward Euribor3M HW con 1 % de reversión a la media Es el ejemplo de un producto cuyo payo sea : max (EURIBOR6M EURIBOR3M K, ) Estos índices se observan desde la misma fecha de ejercicio por ejemplo un año, sin embargo el primero maduraría en un año y medio y el segundo en un año y tres meses. En todos los escenarios de curvas forward la diferencia entre Euribor3M y Euribor6M es la misma, entonces esta no sería estocástica. El producto valdría el máximo de entre la diferencia determinista menos el strike y. Obviamente como la correlación real de entre estos dos indices no es 1 % estas opciones cotizan en el mercado a un precio que diere mucho del que se puede obtener con este modelo Estudio del efecto del valor de la reversión a la media. El efecto de la reversión a la media sobre una curva forward de tipos de interés es controlar la velocidad a la que se acercan los tipos de interés a su esperanza. Cuanto mayor sea la reversión a la media los tipos a largo plazo tenderán a estar más cerca de su esperanza que los tipos de corto plazo. Para un valor negativo de reversión a la media veriamos un efecto contrario: los tipos a largo plazo tenderán a alejarse de su esperanza mientras que los de corto plazo están más cerca de ella. Es común que los traders utilizen el valor de la reversión a la media como una aproximación para medir el efecto de la correlación entre los tipos de interés en la valoración de productos derivados. Vamos a intentar describir como es posible que el valor de la reversión a la media

144 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS 144 5,% 4,5% 4,% 3,5% 3,% 2,5% 2,% 1,5% 1,%,5%,%,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Figura 8.3: Curvas forward Euribor3M HW con -1 % de reversión a la media tenga un efecto parecido a la correlación, cuando todos los caminos son paralelos. Para que el estudio tenga sentido los valores de los swaptions tienen que ser los mismos aunque se usen diferentes valores de reversión a la media. Esto implica que habrá que recalibrar el parametro f de volatilidad del modelo en cada escenario de reversión a la media. El precio de la opción debe mantenerse constante frente a la variación de la reversión a la media, esto implica que la varianza del swap rate que ja en 1 año y que dura dos años debe mantenerse constante. El swap rate de cada camino es una medida de la media de los tipos de interés de ese camino. Si necesitamos que la varianza del swap rate permanezca constante camino por camino el swap rate debe ser el mismo. Para que un camino con reversión a la media alta tenga el mismo swap rate que uno con reversión a la media baja deben cruzarse en algún punto de la vida del swap. Por lo tanto, para alguna madurez en este caso 2,5 años todas las curvas forward deben tener el mismo valor como se ilustra en la gura Aunque a simple vista en las guras y no se aprecie un estrachamiento o ensanchamiento importante, podemos observar en la gura que en el escenario de mayor reversión a la media el camino empieza más alejado de la media y acaba más cerca. Como era de esperar en el caso del escenario de menor reversión a la media el camino empieza más cercano de la media pero termina más alejado.

145 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS 145,2,15,1,5 -,5,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 -,1 -,15 -,2 Figura 8.4: Diferencia de las curvas forward precedentes (reversión a la media 1 % y -1 %) Figura 8.5: Mismo camino de Montecarlo con distintas reversiones a la media Efecto del cambio de fecha de observación en la curvas forward Para estudiar el comportamiento del modelo entre diferentes fechas de observación hemos representado en la misma gráca las curvas forward vistas desde estas dos fechas. En nuestro caso elejimos un año y dos años como fechas de observación y lo aplicamos a tres caminos al azar obtenidos por Monte Carlo. En la gráca se representa desde un año hasta dos años la

146 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS 146 4,% 3,5% 3,% 2,5% 2,% 1,5% 1,%,5%,%,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Figura 8.6: Curvas forward Euribor3M con fecha de observación uno y dos años curva forward observada desde un año, cuando el tiempo supera dos años los valores de la curva están representados en discontinuo. Desde dos años en adelante se representan en continuo las curvas forward observadas desde dos años. Así como la reversión a la media funcionaba como un ensachamiento/estrechamiento global de todos los caminos simultaneamente, el modelo produce una desordenación de las curvas forward cuando cambiamos la fecha de observación. Esto es una consecuencia de que todos los caminos tienen que seguir casi paralelos a la curva forward determinista y entonces no existe otro movimiento posible. En la gura observamos que inicialmente la curva rosa presenta valores superiores que las de la curva celeste y esta a su vez que las de la curva marrón. Cuando observamos estas curvas desde dos años esta situación se invierte pasando los valores de la curva rosa por debajo de los de la celeste, lo que evidencia que se ha producido una desordenación Curvas Forward del Euribor3M con el modelo Hull&White de dos factores Esta vez, para obtener las diferentes curvas forward vistas desde un año hemos calibrado el modelo de dos factores de forma que replica el valor de varios swaptions de mercado ( 4 swaptions con fechas de ejercicio en 1, 2, 3, 4 años) y de varias correlaciones entre Euribor3M de las curvas forward vistas desde 1, 2 y 3 años. Estas son las correlaciones entre el Euribor3M que ja en la misma fecha que la de observación y el Euribor3M que ja un año después de la fecha de observación. Hemos usado de nuevo la curva de factores de descuento del 13 de Mayo de 21.

147 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS 147 5,% 4,5% 4,% 3,5% 3,% 2,5% 2,% 1,5% 1,%,5%,%,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Figura 8.7: Curvas Forward Euribor3M con Corr(Euribor3M(1,1),Euribor3M(1,2))=91 %, Corr(Euribor3M(2,2),Euribor3M(2,3))=93 %, Corr(Euribor3M(3,3),Euribor3M(3,4))=95 % Como se aprecia en la gura 8.3, las curvas generadas por el modelo y observadas en una misma fecha ya no son paralelas y se cruzan a lo largo del tiempo. Esto quiere decir que se produce rotación con respecto a la esperanza de la curva. Este movimiento es más realista que en el anterior modelo ya que habitualmente las curvas forward no tienen porque presentar una correlación perfecta. Este modelo será adecuado para valorar productos derivados que dependan de indices de referencia de diferente duración. En el ejemplo visto anteriormente de payo : max (EURIBOR6M EURIBOR3M K, ) En los distintos escenarios de curvas forward la diferencia entre Euribor3M y Euribor6M no tiene por que ser la misma, en efecto esta es estocástica. El producto valdría el máximo de entre la diferencia determinista menos el strike y. El precio de estas opciones dado por el modelo de dos factores se parecerá más al precio al que cotizan en el mercado Estudio del efecto del valor de las correlaciones Como era de esperar si imponemos que las curvas forward repliquen valores de correlaciones más elevados tendremos un mayor efecto estrechamiento y en caso contrario si imponemos que las curvas forward repliquen valores de correlaciones más bajos entonces tendremos mayor ensachamiento. En la gura observamos, que las correlaciones : entre los Euribor3M vistos desde un año y que jan en un año y dos años de 86 %

148 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS 148 5,% 4,5% 4,% 3,5% 3,% 2,5% 2,% 1,5% 1,%,5%,%,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Figura 8.8: Curvas forward Euribor 3M con Corr12=86 %,Corr23=93 %,Corr24=96 % 5,% 4,5% 4,% 3,5% 3,% 2,5% 2,% 1,5% 1,%,5%,%,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Figura 8.9: Curvas forward Euribor3M con Corr12=98 % y Corr23=98,5 %,Corr34=99 %

149 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS 149 entre los Euribor3M vistos desde dos año y que jan en dos años y tres años de de 93 % entre los Euribor3M vistos desde tres años y que jan en tres años y cuatro años de de 96 % son más bajas que en las correlaciones de la gura correspondientes: entre los Euribor3M vistos desde un año y que jan en un año y dos años de 98 % entre los Euribor3M vistos desde dos año y que jan en dos años y tres años de de 98,5 % entre los Euribor3M vistos desde tres años y que jan en tres años y cuatro años de de 99 % Observamos en la primera gura un mayor grado de entrecruzamiento de las curvas que en la segunda gura donde los movimientos de las disintas curvas son parecidos y son en la mayoría del tiempo paralelos. Por otra parte observamos que los cruces de curvas se producen con anterioridad en la primera curva, muy probablemente debido al primer valor de correlación de 86 % que es realtivamente más bajo. Finalmente, esto tiene por efecto que en la primera gura donde las diferencias entre distintos puntos de una curva no tienen por que transmitirse tan bien a las otras curvas, se produzca un ensachamiento en los valores nales de los disintos escenarios de las curvas respecto a los inciales. En la segunda curva, donde las diferencias entre disintos puntos de una curva se transmite mejor a las otras, se produce un menos ensachamiento, y un relativo estrechamiento de los valores nales respecto de los inciales. Por otra parte gracias a la gráca 8.1 podemos observar como era de esperar que a mayores correlaciones mayor acercamiento a la curva forward determinista. En efecto observamos como la curva forward de un escenario con valores de correlaciones altas que empieza con una diferencia respecto a la curva determinista, termina más cerca de esta. La curva forward de un escenario para los valores de correlaciones bajas que también empieza con una diferencia respecto de la curva determinista temina más lejos de esta. Figura 8.1: Mismo camino de MonteCarlo para disintas correlaciones

150 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS 15 5,% 4,5% 4,% 3,5% 3,% 2,5% 2,% 1,5% 1,%,5%,%,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Figura 8.11: Curvas forward Euribor3M con fechas de jación uno y dos años Efecto del cambio de fecha de observación en la curva forward Para estudiar el comportamiento del modelo de dos factores entre diferentes fechas de observación hemos representado en la misma gráca las curvas forward vistas desde estas dos fechas. En nuestro caso elejimos un año y dos años. En la gráca 8.11 podemos observar como cuando cambiamos la fecha de observación se produce una desordenación de las cruvas correspondientes a distintas trayectorias: la curva forward en marrón tenía valores inferiores a los de la curva forward en rosa cuando eran vistas desde un año, sin embargo cuando estas son vistas desde dos años la curva en marrón pasa por encima de la curva en rosa ya que sus valores son superiores. ras ser vistas desde dos años las curvas no siguen un movimiento paralelo entre ellas y como observamos pueden tener movimientos divergentes. Respecto al modelo de un factor esto presenta una novedad ya que en el todos los caminos tienían que seguir casi paralelos a la curva forward determinista. Por lo tanto el modelo de dos factores ha aportado otro grado de libertad al movimento de las curvas forward cuando son vistas desde otra fecha. Esta característica es más realista y es debida a la introducción de otro factor de incertidumbre en las ecuaciones de dinámica del tipo corto. El nuevo factor de incertidumbre ha permitido que el tipo a largo plazo pueda ser distinto para cada camino. Por lo tanto los caminos que si bien comparten la misma rotación respecto del tipo a largo plazo, ya no comparten este tipo largo que es estocástico y pueden evolucionar de forma distinta los unos de los otros.

151 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS Comparación de la valoración de un Bermudan Swaption con el modelo de un factor y de dos factores El Bermudan Swaption es el producto derivado más sencillo cuyo precio puede verse afectado por la correlación entre los tipos de interés. Es una costumbre extendida en el mercado de cotizar estos productos con un modelo de un factor, pero es común que la gestión del riesgo se realice con un modelo de dos factores por la dependencia que tiene el producto de la correlación. Para ello se ajusta la reversión a la media del modelo de un factor de forma que el precio obtenido con ambos modelos es similar y es posible dar un precio de forma más rápida y más sencilla. Por otra parte cuando el Banco carece de modelo de dos factores es habitual modicar el valor de la reversión a la media para que la cotización del producto sea similar a la que están ofreciendo otros bancos en competencia. No obstante es conveniente calcular las sensibilidades del producto con respecto a los parámetros de mercado con el modelo de dos factores que asume hipótesis menos fuertes que el modelo de un factor. De esta manera la cobertura al riesgo de pérdidas generadas por la venta del producto será más rica. Como explicamos en el capítulo 3 el precio de la Bermudan Swaption tiene unos limites y podremos modicar el valor que se obtiene con el modelo en función de la reversión a la media. Estos limites tienen carácter nanciero y no dependen del modelo : Límite inferior : El precio del Swaption implicito en el Bermudan Swaption más caro Límite superior: El precio del Cap equivalente Para estudiar el comportamiento de ambos modelos hemos descrito un Bermudan Swaption de nominal 1 millones de euros, de 3 años de duración con dos fechas de ejercicio por ser el caso más sencillo. En este Bermudan Swaption tenemos la opción de recibir un tipo jo de 2 % y pagar Euribor12M. En la siguiente tabla hemos recogido los valores del Bermudan Swaption con el modelo de un factor y dos escenarios de correlaciones del modelo de dos factores: el primero es el que recoge las correlaciones Corr12=91 %,Corr23=93 %,Corr34=95 %, el segundo replica las correlaciones Corr12=86 %, Corr23=93 %,Corr34=96 %. Por lo cual el primer escenario es uno de mayores correlaciones que el segundo Valoración del Bermudan Swaption mediante Longsta-Schwartz Así como en la valoración de un Swaption vanilla podemos utilizar cualquier método numérico, para valorar un Bermudan Swaption será necesario emplear un método numérico que nos permita estimar el valor de una opción futura en una fecha anterior. Dado que en el modelo de dos factores tenemos que utilizar 5 variables estocásticas, es imposible pensar en utilizar un árbol trinomial para valorar este producto con este modelo. Por consiguiente vamos a utilizar tanto en el modelo de un factor como en el de dos factores una técnica conocida bajo el nombre de Longsta-Schwartz. Esta técnica realiza la valoración del producto en 2 fases: en la primera va avanzando hacia tiempos crecientes y se le dan valores estocásticos a todos los tipos de interés : forward induction y en la segunda fase se estiman los valores de las opciones futuras mediante

152 CAPÍULO 8. RESULADOS OBENIDOS 152 Figura 8.12: abla de resultados Bermudan Swaption regresiones por medio de polinomios backward induction. En esta segunda fase, simulariamos lo que haría un trader en cada fecha de ejercicio; compararía el valor que respresenta entrar en el swap en esa fecha determinada con la opción de entrar más adelante. Empezamos por la última fecha de ejercicio en la cual el problema es más sencillo por que se trata de un swaption vanilla. En nuestro caso ejerceremos esta opción cuando Euribor12M sea inferior a 2 %. El problema se complica cuando estamos en la penúltima fecha de ejercicio, tenemos que comparar el valor de este swaption con la opción de entrar en un swap inmediatamente hasta la fecha de vencimiento total. Cabe destacar que si entramos inmediatamente en dicho swap signica que vamos a mantener el doble de tiempo un tipo de interés interesante para nosotros. Siguiendo la metodología de Longsta-schwartz aceptamos que el valor de la opción viene determinado por la resgresión del payo futuro y entonces podemos comparar directamente el swap inmediato y la opción futura. En las guras 8.4.1,8.4.1,8.4.1 hemos representado el payo del Bermudan Swaption en la fecha de vencimiento contra el índice de tipos de interés Euribor12M en la penúltima fecha de ejercicio: 2 años. La linea en rosa representa el valor en la penúltima fecha de ejercicio de entrar inmediatamente en el swap que tendrá dos fechas de pagos 3 y 4 años: en las cuales el cliente recibirá el 2 % menos el Euribor12M actual sobre el nominal. El payo de este producto es equivalente al del swap que solo paga en 3 años el 2 % menos el Euribor12M que ja en 2 años sobre el doble del nominal. La linea azul representa el valor en la penúltima fecha de ejercicio de entrar en el último Swaption. Esta linea azul ha sido construida gracias a la regresión polinomial de los valores del payo futuro del Swaption según los distintos escenarios de tipos de interés. El payo del Swaption según los escenarios distintos de los tipos de interés está representado por los puntos en amarillo. Hay que destacar que estas guras son las que permiten al trader tomar un decisión en la penúltima fecha de ejercicio para entrar en el swap inmediatamente o esperar a la próxima fecha de ejercicio. Como se aprecia en las guras, existe un nivel de tipos de interés al cual nos referiremos como frontera de ejercicio que establece el límite a partir del cual nos compensa esperar a la siguiente fecha de ejercicio. En nuestro caso la frontera de ejercicio se sitúa en 1,8 % para el modelo HW1 en 1,9 % para el modelo HW2 en el primer escenario de correlaciones y 1,87 %