MA-0125 MATEMÁTICA ELEMENTAL -Décimo Año- I EXAMEN PARCIAL 2012

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1 Escuelas de Matemática Proyecto MATEM 01 tel. (506) MA-015 MATEMÁTICA ELEMENTAL -Décimo Año- I EXAMEN PARCIAL 01 Nombre: Código: Colegio: Fórmula 1 Sábado 14 de abril del 01

2 INSTRUCCIONES 1. El tiempo máximo para resolver este examen es de 3 horas.. Lea cuidadosamente, cada instrucción y cada pregunta, antes de contestar. 3. Este examen consta de dos partes. La primera de ellas es de selección y está constituida por 3 ítems y la segunda es de desarrollo y la conforman 3 ítems. 4. La parte de selección debe ser contestada en la hoja de respuestas que se le dará para tal efecto. 5. En el desarrollo debe escribir, en el espacio indicado, su nombre, código y el nombre del colegio en el cual usted está matriculado. En caso de no hacerlo, usted asume la responsabilidad sobre los problemas que se pudieran suscitar por esta causa. 6. En los ítems de selección, usted deberá rellenar con lápiz, en la hoja de respuestas, la celda que contiene la letra que corresponde a la opción que completa en forma correcta y verdadera la expresión dada. Si lo desea, puede usar el espacio al lado de cada ítem del folleto de examen para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán las respuestas seleccionadas y marcadas en la hoja para respuestas. 7. En los ítems de desarrollo debe aparecer todo el procedimiento que justifique correctamente la solución y la respuesta de cada uno de ellos. Utilice únicamente bolígrafo de tinta azul o negra. 8. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna pregunta está desordenada, ésta, no se calificará. 9. Recuerde que la calculadora que puede utilizar es aquella que permite realizar únicamente las operaciones básicas. 10. Trabaje con calma y le deseamos el mayor de los éxitos. Proyecto MATEM 01 MA-015 Décimo Año

3 PRIMERA PARTE. SELECCIÓN ÚNICA (Valor 3 puntos) Puede usar el espacio al lado de cada ítem para escribir cualquier anotación que le ayude a encontrar la respuesta. Sin embargo, sólo se calificarán las respuestas seleccionadas y marcadas en la hoja para respuestas. 1. Al factorizar completamente corresponde a x y xy xy x y uno de los factores xy (B) x + y 3 (C) x 3 x + y +. Sea P( x ) un polinomio cuyos ceros son 1,, y 3. Con certeza uno de los factores de P( x) 4 x + 4 (B) x + (C) x x + 3 x + es 3. Sea n N. Uno de los factores de n n n n 1 y x y x y es n n x y + 1 (B) y + 1 n (C) x + y 1 n x y 1 Proyecto MATEM 01 3 MA-015 Décimo Año

4 4. La expresión x 7x 4 + (1 + x) 4x + x (1 + x) es equivalente a (B) (C) x 4 x x 7x 3 4x + x 1 7x 3 3x 1 x 3 x 1 10x + 1 x 7 5. La expresión + x 10x + 1 x 7 es equivalente a (B) (C) + + ( x 3)( x 7) 3x x 4 x 3x ( x 3)( x 7) + + ( x 1)( x 7)( x + 1) 3 3x 7x x 14 x + x ( x 1)( x + 1) Proyecto MATEM 01 4 MA-015 Décimo Año

5 6. Sea P( x ) un polinomio. La expresión x + 5 ( x 5) ( x 7) x 7 (B) 3 ( x + 5) (C) ( x + 5 )( P( x) ) ( x 5) ( x 7) P( x) ( x 1x + 35) P( x) x 5 x + 10x + 5 es equivalente a 10x 5 (1 x 35)( x 5)( x + 5) 7. El conjunto solución de la ecuación x( x 1) x( x 1) R (B) { 0,1 } (C) R { 0,1} = corresponde a 8. El conjunto solución de la ecuación ( x 1) ( x ) ( x 1)( x ) 3 = 0 es R (B) { 1, } (C) R { 1, } Proyecto MATEM 01 5 MA-015 Décimo Año

6 9. Una solución de la ecuación x( x + 7) = 9 corresponde a 7 (B) 0 (C) Una solución de la ecuación 9 (B) 1 (C) 7 16 ( ) x x x 9 0 = x 16x + 63 corresponde a 11. Considere las siguientes afirmaciones I. Una solución de la ecuación x x x( x ) + = + es 5 II. La ecuación 6 ( x ) + 1 = 0 no tiene soluciones Cuáles afirmaciones son verdaderas? Sólo la I (B) Sólo la II (C) I y II Ninguna Proyecto MATEM 01 6 MA-015 Décimo Año

7 1. Sea P( x ) un polinomio tal que para todo x R se tiene que P( x ) < 5. El conjunto solución de la ecuación ( x ) R (B) {, } (C) R {, } 4 P( x) = 0 corresponde a 13. El conjunto solución de la ecuación x 7x + x 7x = 0 tiene 5 elementos (B) 4 elementos (C) 3 elementos elementos 14. El siguiente número real NO es solución de la ecuación ( x 9)( x 5) x 14x + 33 = 0 3 (B) 5 (C) El número de soluciones de la ecuación x + 5 = x 3 es 0 (B) 1 (C) 3 Proyecto MATEM 01 7 MA-015 Décimo Año

8 16. Sea 3 P( x) 3x ax 13x 3a = + +. Si 3 es un cero de P( x ), entonces una solución de 3 (B) 1 (C) la ecuación P( x ) = 0 es Una solución de la ecuación x x 3 1 x + + = + es un numero real menor que 0 (B) entre 0 y 1 (C) entre 1 y 3 mayor a El conjunto solución de la ecuación x 13x = 40 tiene 4 elementos (B) elementos (C) 1 elemento 0 elementos 19. Sea P( x ) un polinomio de grado n. El conjunto solución de la ecuación P( x ) + 6 = 0 tiene n elementos (B) (C) n elementos 0 elementos n 1 elementos Proyecto MATEM 01 8 MA-015 Décimo Año

9 0. El conjunto solución de la ecuación 5 13x = 4 tiene 4 elementos (B) (C) elementos 1 elemento 0 elementos 1. El conjunto solución de la inecuación x 5 es R (B) [, + [ (C) [, ] 4. El conjunto solución de la inecuación ( ) x 1 9 es 1 (B), + 3 (C) R { 1} R 3. El conjunto solución de la inecuación x + 11x 4 es ] 8, 3[ (B) ], 8] [ 3, + [ (C) [ 8, 3] ], 11] [ 0, + [ Proyecto MATEM 01 9 MA-015 Décimo Año

10 4. En la ecuación ax asegurar que tiene dos soluciones idénticas (B) dos soluciones distintas (C) no tiene soluciones en R tres soluciones distintas + ax + 11 = 0 con incógnita x y la constante a < 0, se puede 5. En la ecuación x + ax + a = 0 con incógnita x, el conjunto de posibles valores 4 de a para que la ecuación tenga como máximo una solución es 1 (B) (C) 1 1 +, + 1 R 4 x 6. El conjunto solución de la inecuación x 7x + 1 x 3 es ],3[ (B) [ 3,4 ] (C) ] 3,4 [ ],3] Proyecto MATEM MA-015 Décimo Año

11 ( ) 3 ( x x + 7 ) 7. El conjunto solución de la inecuación 5 ( x 9) < 0 es 7, 7, (B) 3, 7, 7 ] 3, [ (C) ] 3, [ ] 3, [ ], [ x 3 8. El conjunto solución de la inecuación 0 x 5x + 6 es ], [ (B) ] 3, [ (C) ], [ { 3} [ 3, [ 9. Sea S el conjunto solución de la inecuación siguientes afirmaciones. ( x 3) ( x + 1) ( x + x + 3)( x 1) 0. Considere las I. 1 S II. Si x > 1 entonces x S III. 0 S Cuáles afirmaciones son verdaderas? Sólo la II (B) Sólo la III (C) I y II Ninguna Proyecto MATEM MA-015 Décimo Año

12 30. El conjunto solución de la inecuación 4 x 3 es ], 1[ ] 9, [ (B) ] 1,9[ (C) [ 1,9] ], 1] [ 9, [ 31. El conjunto solución de la inecuación ( x 1) < 5 es R (B) ],6[ (C) ] 4,6[ ], 4[ ] 6, [ 3. El conjunto solución de la inecuación x + 5 > es R (B) ] 1,5[ (C) ], 1[ ] 5, [ Fin de la I parte Proyecto MATEM 01 1 MA-015 Décimo Año

13 Universidad de Costa Rica Escuelas de Matemática Proyecto MATEM 01 tel. (506) PRIMER EXAMEN PARCIAL 01 - Sábado 14 de abril Nombre completo: CÓDIGO: COLEGIO: PREGUNTA Puntos obtenidos 1 3 TOTAL SEGUNDA PARTE. DESARROLLO (Valor 17 puntos) Resuelva en forma clara y ordenada cada uno de los siguientes problemas, deben aparecer todos los procedimientos realizados para llegar a la respuesta. Proyecto MATEM MA-015 Décimo Año

14 1. Racionalice y simplifique la siguiente expresión algebraica (6 puntos) x 3 xy y ( xy 1) Proyecto MATEM MA-015 Décimo Año

15 . Se tiene un terreno rectangular de dimensiones 30m por 5m. el terreno se rodeó externamente por un camino de ancho uniforme. Si se sabe que el área del camino es de 50m, determine aproximadamente el ancho del camino. (6 puntos) Proyecto MATEM MA-015 Décimo Año

16 3. Resuelva la inecuación ( x + 6 )( x a ) ( x b) 0 donde a > b > 0. (5 puntos) Proyecto MATEM MA-015 Décimo Año

17 Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática Proyecto MATEM tel. (506) Selección única Desarrollo SOLUCIONARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL 01 - Sábado 14 de abril 1 D 8 D 15 B C 9 A C 9 C 16 A 3 B 30 D 3 A 10 B 17 B 4 B 31 C 4 D 11 C 18 D 5 C 3 B 5 B 1 B 19 C 6 A 6 A 13 D 0 B 7 C 7 A 14 A 1 A 8 C 1. Racionalice y simplifique la siguiente expresión algebraica Note que xy y xy y x ( xy 1) x ( xy 1) 3 ( xy y) x ( xy + 1) = = = ( 1) x xy 3 ( 1) ( + 1) y xy x xy ( 1) x xy ( + 1) 3 y x xy x = 3 x x x 3 ( xy + 1) ( xy + 1) xy y ( xy 1) Proyecto MATEM MA-015 Décimo Año

18 . Se tiene un terreno rectangular de dimensiones 30m por 5m. el terreno se rodeo externamente por un camino de ancho uniforme. Si se sabe que el área del camino es de 50m, determine aproximadamente el ancho del camino. Sea x el ancho del camino. En la figura siguiente ABCD representa el terreno. Nótese que el área de EFGH es ( x)( x) = Esta ecuación es equivalente a 4x 110x + 50 = 0 Las soluciones de la ecuación son que x = 161 m 11cm ± 161. Como es negativo, se tiene 4 4 Proyecto MATEM MA-015 Décimo Año

19 3. Resuelva la inecuación ( x + 6 )( x a ) ( x b) 0 donde a > b > 0. (5 puntos) Note que los factores del numerador y denominador se hacen cero en -6, a y b, que de acuerdo a lo indicado estos están ordenados así Sea f ( x) tabla -6 < b < a ( x + 6) ( x a) =, note que D ( x b) ) f = R- { } b y el signo de f está dado por la siguiente - -6 b a + x x-a x-b f(x) Por lo tanto el conjunto solución de f ( x) 0 es [ 6, b [ [ a + [ S =, Proyecto MATEM MA-015 Décimo Año

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