Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Ingeniería Mecánica Departamento Académico de Ingeniería Aplicada

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1 Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Ingeniería Mecánica Departamento Académico de Ingeniería Aplicada CONTROL MODERNO Y ÓPTIMO (MT 7C) Clase 3- Elizabeth Villota Cerna Semestre 9 I - UNI /4/9. Linealización El reemplazar un sistema no lineal por su aproximación lineal se denomina linealización. Una motivación para la linealización es que el comportamiento dinámico de muchos sistemas no lineales dentro de un rango de variables puede ser aproximado a modelos de sistemas lineales. Siendo ese el caso, podemos usar técnicas bien desarrolladas de análisis y síntesis de sistemas lineales para analizar un sistema no lineal. Cabe destacar que se debe tener mucho cuidado cuando se realiza el análisis de sistemas linealizados ya que la intención no es introducir errores al analizar sistemas no lineales. Consideremos el caso de un sistema (elemento no lineal) con una variable de estado x y una variable de salida y que están relacionadas por la siguiente ecuación: y = h(x), () donde la función h : R R es contínua y diferenciable; esto es h C. Consideremos x o como el punto de operación. Si expandemos h en la serie de Taylor alrededor del punto x o se obtiene: y = h(x), = h(x o ) + dh(x o) dx (x x o) + términos de alto orden. () La linealización de h(x) alrededor del punto x o consiste en reemplazar h por una aproximación lineal de la forma: y = h(x o ) + dh(x o) dx (x x o) y = y o + dh(x (3) o) dx (x x o), donde y o = h(x o ). Si ỹ = y y o y x = x x o. Luego, podemos reescribir (3) como: ỹ = dh(x o) x, (4) dx y sobre un rango pequeño de x, la linea (3) es una buena aproximación de la curva y = h(x) en la vecindad del punto de operación x o, ver Fig. para una ilustración de la aproximación. y dh(x y y ) (x x ) dx y h(x) y x x Figura : Aproximación lineal de la función y = h(x) Si h : R n R, esto es, y = h(x,x,,x n ), que significa que la variable dependiente depende de varias variables - se puede aplicar el mismo principio. Sea: x o = [ x o x o x no ] T (5)

2 el punto de operación. La expansión de la serie de Taylor de h alrededor del punto de operación x o resulta en: y h(x o ) = h(x o ) T (x x o ) + términos de alto orden, (6) donde: [ h h(x o ) T = x x=xo h x x=xo h ] x n. (7) x=xo Geométricamente, la linealización de h alrededor de x o se puede pensar como el localizar un plano tangente sobre una superficie no lineal en el punto de operación x o, como mostrado en la Fig.. y h(x) Tangent plane h(x ) x x x Figura : Plano tangente como aproximación lineal de una función de dos variables... Linealizando ecuaciones diferenciales Consideremos ahora un sistema dinámico modelado por un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales: dx = f (x,x,,x n,u,u,,u m ), dx = f (x,x,,x n,u,u,,u m ),. dx n. = f n (x,x,,x n,u,u,,u m ).. (8) Asumiendo que las funciones f i, i =,,,n, son contínuas y diferenciables. El conjunto de las ecuaciones arriba mostradas se puede representar en la forma vectorial por: dx = f(x,u). (9) Sea u e = [ u e u e u ne ] T una entrada constante que fuerza al sistema (9) a que se asiente en un estado de equilibrio x e = [ x e x e x ne ] T; esto es, ue y x e satisfacen: f(x e,u e ) =. () Los estados de equilibrio son llamados también puntos estacionarios, puntos constantes o puntos de reposo, ya que si el sistema se ubica inicialmente en x = x e, luego permanecerá en x(t) = x e para todo tiempo t. Por lo general cuando hablamos de la existencia de un u e nos referimos a condiciones de operación puesto que el sistema necesitaría de esa inyección ya sea de fuerza (torque, etc.) para mantenerse en el punto de equilibrio. Cuando analizamos la dinámica de un sistema no forzado, hacemos u e = y luego buscamos el punto de equilibrio x e para el sistema dinámico dx = f(x), es decir la solución de f(x e) =. En el caso de un sistema dinámico no forzado, éste puede presentar cero, uno o más puntos de equilibrio. Para estudiar y analizar el comportamiento local del sistema alrededor del punto de equilibrio (x e,u e ), se supone que tanto x x e como u u e son pequeños, tal que perturbaciones no lineales pueden ser Sin pérdida de generalidad se puede asumir que x e = y u e =. Ver Notas de clase Clase3-.pdf Clase 3-, pág.

3 ignoradas en comparación a los términos lineales (de orden bajo). Este argumento es similar a cuando usamos aproximaciones de ángulos pequeños, reemplazando sinθ con θ y cosθ con para θ cerca a cero. Si ahora perturbamos el estado de equilibrio haciendo: La expansión de la serie de Taylor resulta en: x = x e + x, u = u e + ũ. () donde: d x f f x (x x e,u e ) =. f n x = f(x e + x,u e + ũ), = f(x e,u e ) + f x (x e,u e ) x + f u (x e,u e ) x + términos de alto orden, f x n. f n x n x = xe, u = u e y f f u (x u e,u e ) =. f n u f u m. f n u m x = xe, u = u e () (3) son las matrices Jacobianas de f con respecto a x y u, evaluadas en el punto de equilibrio, (x e,u e ). Nótese que: d x = d x e + d x = d x, (4) porque x e es una constante. Adicionalmente, f(x e,u e ) =, luego definiendo A R n n y B R n m de la siguiente forma: A = f x (x e,u e ) y B = f u (x e,u e ). (5) Finalmente, eliminando los términos de orden alto, se llega a la siguiente aproximación lineal: d x = A x + Bũ. (6) De forma similar, si las salidas del modelo del sistema no lineal son de la forma: o en notación vectorial: y = h (x,x,,x n,u,u,,u m ), y = h (x,x,,x n,u,u,,u m ),. (7). y p = h p (x,x,,x n,u,u,,u m ). y = h(x,u), (8) entonces la expansión de la serie de Taylor puede ser usada nuevamente para llevar a la aproximación lineal de la ecuación de salida del sistema. Sea: y = y e + ỹ, (9) luego obtenemos: donde: h C = h x (x x e,u e ) =. h p x ỹ = C x + Dũ, () h x n. h p x n x = xe, u = u e R p n, () Clase 3-, pág. 3

4 y, h D = h u (x u e,u e ) =. h p u h u m. h p u m x = xe, u = u e R p m () son las matrices Jacobianas de h con respecto a x y u, evaluadas en el punto de operación (x e,u e ). El hecho de que modelos lineales puedan ser usados para estudiar el comportamiento de un sistema no lineal cerca a los puntos de operación es bien importante. De hecho, lo que haremos en las próximas secciones es aprovechar esta aproximación local lineal de un sistema no lineal para diseñar leyes de control por realimentación que mantengan al sistema cerca al punto de equilibrio (diseño de dinámica). Entonces la realimentación se usará para hacer que las soluciones del sistema controlado permanezcan cerca al punto de operación, ver Fig. 3. x z π/ π 3π/ π x π π/ π/ π z Figura 3: Comparación entre los planos de fase de un sistema no lineal (a) y su aproximación lineal alrededor del origen (b). Nótese que cerca al punto de equilibrio en el centro de las gráficas, los planos de fase (y como consecuencia la dinámica) es practicamente idéntica.. Ejemplo: Vehículo aéreo con impulsadores Considere el movimiento de el vehículo aéreo, tal como el Harrier jump jet mostrado en la Fig. 4. El Harrier es capaz de despegar verticalmente al redireccionar los impulsadores principales hacia abajo y a través del uso de impulsadores pequeños de maniobra que están localizados en sus alas. Un modelo simplificado es mostrado en la Fig. 4(b) donde el enfoque del movimiento del vehículo es en un plano vertical que corta las alas del vehículo. Las ecuaciones de movimiento serán calculadas representando las fuerzas generadas por el impulsador principal y los impulsadores de maniobra como F y F (actuando a una distancia r por debajo del vehículo). Sea (x,y,θ) la posición y la orientación del centro de masa del vehículo. Sea m la masa del vehículo, J el momento de inercia, g la constante graviatacional y c el coeficiente de amortiguamiento. Luego las ecuaciones de movimiento son: mẍ = F cosθ F sinθ cẋ, mÿ = F sinθ + F cosθ cẏ, (3) T θ = rf. Se cree conveniente redefinir las entradas tal que el origen sea considerado el punto de equilibrio del sistema con entrada cero. Haciendo u = F y u = F mg, las ecuaciones resultan: mẍ = mgsinθ cẋ + u cosθ u sinθ, mÿ = mg(cosθ ) cẏ + u sinθ + u cosθ, T θ = ru. (4) Estas ecuaciones definen el movimiento del vehículo como un conjunto de tres ecuaciones diferenciales acopladas. Clase 3-, pág. 4

5 θ y r F (a) Harrier jump jet x (b) Simplified model F Figura 4: (a) Vehículo aéreo con impulsadores y su (b) modelo simplificado donde el impulso neto ha sido descompuesto entre la fuerza horizontal F y la fuerza vertical F actuando a una distancia r del centro de masa. Describiendo la dinámica del vehículo en la forma de espacio de estados: z 4 z 5 dz z 6 = gsinz 3 c m z 4 + u m cosz 3 u m sinz 3, (5) g(cosz 3 ) c m z 5 + u m sinz 3 + u m cosz 3 u J r donde z = [ x y θ ẋ ẏ θ] T... Modelo lineal del vehículo aéreo con impulsadores Suponiendo que u = y u =, la dinámica del sistema se simplica a: z 4 z 5 dz = z 6 gsinz 3 c m z. (6) 4 g(cosz 3 ) c m z 5 Los puntos de equilibrio del sistema están dados cuando se hacen cero las velocidades ẋ, ẏ y θ y escogiendo las siguientes variables que satisfagan la siguiente ecuación: [ ] [ ] gsinz = 3e, z g(cosz 3e ) 3e = θ e =. (7) Entonces, el punto de equilibrio corresponde a la posición vertical del vehículo. Nótese que x e y y e no están especificados. Esto ocurre porque nosotros podriamos trasladar el sistema a una nueva posición (más arriba) y todavia obtener un punto de equilibrio. Calculando la matriz de estados A y la matriz de entrada B: A = f z = ze g c/m, (8) c/m Clase 3-, pág. 5

6 B = f u = ze /m. (9) /m r/j Luego el sistema linealizado del vehículo aéreo con impulsores puede ser escrito como: d x = g c/m x + /m ũ (3) c/m /m r/j 3. Ejemplo: Manipulador Robótico (El siguiente problema ha sido adaptado de Snyder, W.E., Industrial Robots: Computer interfacing and control) En la Fig. 7 se muestra el manipulador robótico θ r. Un representación esquemática del robot es presentada en la Fig. 8 donde se asume una configuración de masas concentradas. La masa m = kg representa la masa del cilindro exterior y se ubica en el centro de masa del mismo. La constante r = m designa la distancia fija entre el centro de masa del cilindro exterior y el centro de rotación. La masa de la carga es representada por m = 3kg y se asume que está localizada al final de un pistón de un brazo telescópico cuya distancia radial r es medida a partir del centro de rotación. El ángulo de rotación del brazo manipulador es θ. Se asume que las entradas al sistema son el torque T θ aplicado en el centro de rotación en la dirección del ángulo θ y la fuerza traslacional (radial) F r aplicada en la dirección r. Despreciar la masa del cilindro interior. Usar g = m/sec como aceleración de la gravedad. Figura 5: Manipulador robótico θ r y r r m g m x Figura 6: Representación esquemática del manipulador robótico θ r Clase 3-, pág. 6

7 Construiremos las ecuaciones de movimiento del sistema en base a las ecuaciones de Lagrange y luego las representaremos en la forma espacio de estados. 3.. Ecuaciones de movimiento usando Lagrange 3 Energía Cinética (T) Primero encontramos la energia cinética total del sistema. Para esto definimos las posiciones de la masa m : x = r cosθ, y = r sinθ. Nótese que r es una constante y que las posiciones de la masa m hacen referencia al movimiento traslacional que experimenta el centro de masa del cilindro externo (masa concentrada). Diferenciando x y y con respecto al tiempo se obtiene: ẋ = r θsinθ, ẏ = r θcosθ. La magnitud del cuadrado del vector velocidad de la masa m es: v = x + y = r θ sin θ + r θ cos θ = r θ. Entonces, la energia cinética de la masa m es: T = m v = m r θ. Ahora derivaremos una expresión para la energia cinética de la segunda masa. La posición de la masa m es: x = rcosθ, y = rsinθ. Nótese que r no es una constante y que la posiciones de la masa m hacen referencia al movimiento traslacional que experimenta la masa de carga (masa concentrada). Diferenciando x y y con respecto al tiempo se obtiene: ẋ = ṙcosθ r θsinθ, ẏ = ṙsinθ + r θcosθ. La magnitud del cuadrado del vector velocidad de la masa m es: v = x + y = (ṙcosθ r θsinθ) + (ṙsinθ + r θcosθ) = ṙ + r θ. Entonces, la energía cinética de la masa m es: T = m v = m (ṙ + r θ ). 3 Energía Potencial (V ) Ahora encontraremos la energía potencial del sistema. La energía potencial de la masa m es: V = m gr sinθ. La energía potencial de la masa m es: V = m grsinθ Ecuaciones de movimiento La función Lagrangiana (o Lagrangiano) para el sistema es: L = T V = m r θ + m (ṙ + r θ ) m gr sinθ m grsinθ. El manipulador posee dos grados de libertad (r y θ). Luego, tenemos dos ecuaciones de movimiento para el sistema: Clase 3-, pág. 7

8 ( ) d L ( θ d L ṙ La primera ecuación de movimiento resulta en: L θ = T θ ) L r = F r m r θ + m r θ + m rṙ θ + gcosθ(m r + m r) = T θ. La segunda ecuación de movimiento viene a ser: m r m r θ + m gsinθ = F r. 3.. Representación espacio de estados Definiendo las siguientes variables: Luego podemos escribir: d z z z 3 z 4 }{{} dz = z = θ, z = θ, z 3 = r, z 4 = ṙ. z m z z 3 z 4 gcosz (m r + m z 3 ) + u m r + m z3 z 4 zz 3 gsinz + u m }{{ } f(z,u), (3) donde u = T θ y u = F r. Asumiendo que la salida está dada por la posición de la masa de carga, v = x = rcosθ y v = y = rsinθ se tiene: [ ] [ ] v z3 cosz =, (3) v z 3 sinz }{{}}{{} v h(z, u) 3.3. Linealización Para encontrar el modelo linealizado del manipulador robótico debemos calcular primero los puntos (estados) de equilibrio Puntos de equilibrio para entradas nulas Considerando entradas nulas (u = y u = ), el modelo del sistema resulta en: dz = z gcosz (m r + m z 3 ) m r + m z 3 z 4 gsinz, (33) e igualando las derivadas a cero, la ecuación que debemos resolver es la siguiente: [ ] gcosz (m r + m z 3 ) = m r + m z3, (34) gsinz Clase 3-, pág. 8

9 como no existe un z tal que cosz = y sinz = simultáneamente, esto significa que el modelo no forzado que hemos considerado para el manipulador robótico no presenta puntos de equilibrio z e ; es decir, el sistema dinámico analizado no presenta condiciones iniciales z() que tal que el sistema permanecerá en ese punto z() indefinidamente ( coincide esto con lo que te dice tu intuición?) Punto de operación (entradas constantes) Considerando entradas constantes (u = u e y u = u e ) e igualando las derivadas a cero resulta: z e gcosz e (m r + m z 3e ) + u e = m r + m z3, (35) z 4e gsinz e + u e m Luego, el modelo del sistema será linealizado alrededor del punto de equilibrio: z e = [ z e z 3e ] T, donde z e y z 3e satisfacen las siguientes ecuaciones: u e cosz e = g(m r + m z 3e ) sinz e = u e. gm Calculando los elementos de las matrices Jacobianas del sistema no lineal definido en (48) tenemos: f f = = z z f f = = z 3 z 4 f gsinz(mr + mz3) f = z m r + = mz3z4 mz 3 z m r + mz 3 f = m(zz4 + gcosz)(mr + m z3) ( m z z 3z 4 gcosz (m r + m z 3) + u )(m z 3) f z 3 (m r + = mzz3 mz 3 ) z 4 m r + mz 3 f 3 f 3 = = z z f 3 f 3 = = z 3 z 4 f 4 f = gcosz 4 z z = z 3 f 4 = z f 4 = z 3 z 4 y, f = u f = u m r + m z3 f 3 = u f 4 = u Adicionalmente, para la matriz de salida (49): f = u f = u f 3 = u f 4 = u m (36) (37) y, h h = z 3 sinz = z z h h = z 3 cosz = z z h = u h = u h h = cosz = z 3 z 4 h h, (38) = sinz = z 3 z 4 h = u h, (39) = u Clase 3-, pág. 9

10 y Evaluando las matrices Jacobianas en (z e,u e ) tenemos: u f e (m r + m z 3e ) m u e x (z e,u e ) = m (m r + m z3e ) (m r + m z3e )(m r + m z 3e ) u e z 3e m r + m z 3e h x (z e,u e ) = f u (z e,u e ) = z 3e m r + m z3e u e z 3 gm u e g(m r + m z 3e ) [ h u (z e,u e ) = m u e (4), (4) g(m r + m z 3e ) u e gm, (4) ]. (43) Modelo lineal en la forma espacio de estados Usando las matrices Jacobianas arriba mencionadas y definiedo: f z (z e,u e ) = A y f u (z e,u e ) = B h z (z e,u e ) = C y h u (z e,u e ) = D Luego las matrices correspondientes para la representación espacio de estados lineal alrededor del punto de operación (z e,u e ) son: u e (m r + m z 3e ) m u e A = m (m r + m z3e ) (m r + m z3e )(m r + m z 3e ), B = u e z 3e m r + m z 3e y: C = z 3e u e z 3 gm u e g(m r + m z 3e ) u e g(m r + m z 3e ) u e gm, D = La represenatción espacio de estados lineal queda de la siguiente forma: 3 u e(m r + m z 3e) m u e d z = m (m r 6 + mz 3e ) (m r + mz 3e )(mr + mz3e) z u e 5 4 z 3e m r + m z 3e ṽ = 6 4 z 3e u e z 3 gm u e g(m r + m z 3e) u e g(m r + m z 3e) u e gm z + m r + m z3e m, (44) [ ], (45) m r + mz 3e m 3 ũ (46) 7 5» ũ. (47) Clase 3-, pág.

11 3.4. Ideas adicionales acerca del modelo Si asumimos que r = cte = r y que el objetivo es mantener θ = π/, entonces el problema del manipulador robótico se puede interpretar como un péndulo invertido con masa m + m. Qué pasa cuando θ = π/ y r = cte > r, qué sistema tenemos?. Otra simplificación del modelo se puede dar cuando se considera θ = y r variable, en ese caso podemos hablar de traslación de la masa de carga en la dirección horizontal. 4. Manipulador Robótico - incluyendo la dinámica del cuerpo rígido (El siguiente problema ha sido adaptado de Snyder, W.E., Industrial Robots: Computer interfacing and control) En la Fig. 7 se muestra el manipulador robótico θ r. Un representación esquemática del robot es presentada en la Fig. 8. La masa m o = kg representa la masa del cilindro exterior y se ubica en el centro de masa del cilindro exterior, I o representa el momento de inercia del cilindro exterior con respecto a su centro de masa. La constante ro = m designa la distancia fija entre el centro de masa del cilindro exterior y el centro de rotación. La masa de la carga es representada por m l = 3kg y se asume que está localizada al final de un pistón de un brazo telescopico cuya distancia radial r es media a partir del centro de rotación. El ángulo de rotación del brazo manipulador es θ. El cilindro interno del brazo telescópico tiene masa m i = kg y momento de inercia igual a I i. Asuma que las entradas al sistema son el torque T θ aplicado en el centro de rotación en la dirección del ángulo θ y la fuerza traslacional (radial) F r aplicada en la dirección r. Despreciar la masa del cilindro interior. Usar g = 9,8m/sec como aceleración de la gravedad. Figura 7: Manipulador robótico θ r I i, m i, r o m l I o, m o, r o Figura 8: Representación esquemática del manipulador robótico θ r Construiremos las ecuaciones de movimiento del sistema en base a las ecuaciones de Lagrange y luego las representaremos en la forma espacio de estados. Clase 3-, pág.

12 4.. Ecuaciones de movimiento usando Lagrange 4 Energía Cinética Primero encontramos la energia cinética total del sistema. La energia cinética traslacional es obtenida definiendo las posiciones de los centros de masa de los cilindros externo e interno con masas m o y m i, y la posición de la masa de carga m l : x o = r ocosθ, y o = r osinθ. x i = (r r o)cosθ, y i = (r r o)sinθ. x l = rcosθ, y l = rsinθ. Nótese que r o es una constante, mientras que r no lo es. Diferenciando x e y con respecto al tiempo se obtiene: ẋ o = r θsinθ, o ẏ o = r θcosθ. o ẋ i = ṙcosθ r θsinθ + r o θsinθ, ẏ i = ṙsinθ + r θcosθ r o θcosθ. ẋ l = ṙcosθ r θsinθ, ẏ l = ṙsinθ + r θcosθ. La magnitud del cuadrado del vector velocidad de los centros de masa de los cilindros exterior e interior, y de la masa de la carga es: vo = x o + y o = r o 4 θ sin θ + r o 4 θ cos θ = ro 4 θ. v i = ẋ i + ẏ i = 4 (ṙcosθ + (r o r) θsinθ) + 4 (ṙsinθ (r o r) θcosθ) = 4ṙ + 4 (r o r) θ. vl = x l + y l = (ṙcosθ r θsinθ) + (ṙsinθ + r θcosθ) = ṙ + r θ. Entonces, la energia cinética traslacional de los cilindros y masa de carga respectivamente es: T to = m ovo = 4 m o(ro θ ). T ti = m ivi = 4 m i(ṙ + (r o r) θ ). T tl = m lv l = m l(ṙ + r θ ). Considerando que los cilindros son cuerpos rígidos, debemos adicionar su energía cinética rotacional a la energia cinética total del sistema. Este no es el caso para la masa de carga, que es considerada como una masa concentrada (partícula). La energia cinética rotacional de los cilindros se obtiene usando: T ro = I oω T ri = I iω Asumiendo que el cilindro interno es una varilla, su momento de inercia con respecto al centro de gravedad es I i = m ir. Para el caso del cilindro externo hueco se puede considerar que I o = m o(3t + ro), donde t depende de los radios internos y externos del cilindro hueco. Sabiendo que ω = θ, se obtiene: T ro = m o(3t + ro) θ Clase 3-, pág.

13 T ri = m iro θ Sumando las energías cinéticas resulta: T = T t + T r T = ( 4 m o(ro θ ) + 4 m i(ṙ + (r o r) θ ) + m l (ṙ + r θ ) + m iro θ + ) m o(3t + ro) θ T = ( m o ( 3 r θ o + 4 t ) + m i ( 4ṙ + 3 r θ + 4 r θ o ) r or θ ) + m l (ṙ + r θ ). 4 Energía Potencial Ahora encontraremos la energía potencial del sistema. La energía potencial de los centros de masa de los cilindros (m o y m i ) y la masa de carga m l : V o = m ogr o sinθ. Luego la energia potencial total es: V = V i = m ig(r r o)sinθ. V l = m l grsinθ. ( (m or o + m i (r ) r o)) + m l gsinθ Ecuaciones de movimiento La función Lagrangiana (o Lagrangiano) para el sistema es: ( L = T V = m o ( 3 r θ o + 4 t ) + m i ( 4ṙ + 3 r θ + 4 r θ o r or θ ) + m l (ṙ + r θ ) ) ( (m or o + m i (r r o)) + m l r ) gsinθ. El manipulador posee dos grados de libertad (r y θ). Luego, tenemos dos ecuaciones de movimiento para el sistema: ( ) d L ( θ d L ṙ La primera ecuación de movimiento resulta en: L θ = T θ ) L r = F r 3 m or o θ + 3 m ir θ + 4 m ir o θ m irr o θ m ir o ṙ θ + 3 m irṙ θ + m l r θ + m l rṙ θ +gcosθ ( (m or o + m i (r r o)) + m l r ) = T θ. La segunda ecuación de movimiento viene a ser: 4 m i r + m l r 3 m ir θ + 4 m ir o θ m l r θ + ( m i + m l )gsinθ = F r. Clase 3-, pág. 3

14 4.. Representación espacio de estados Definiendo las siguientes variables: se puede escribir: d z z z 3 z 4 }{{} dz = z = θ, z = θ, z 3 = r, z 4 = ṙ, z 3 m iz z 3 z 4 m l z z 3 z 4 + m ir o z z 4 gcosz ( m or o + m i(z 3 ro ) + m lz 3 ) + u 3 m oro + 3 m iz3 + 4 m iro m iz 3 r o + m l z3 z 4 3 m izz 3 + m l zz 3 ( m i + m l )gsinz + u m l + 4 m i } {{ } f(z,u), (48) donde u = T θ y u = F r. Asumiendo que la salida está dada por la posición de la masa de carga, v = x l = rcosθ y v = y l = rsinθ se tiene: [ ] [ ] v z3 sinz =, (49) v z 3 cosz }{{}}{{} v h(z, u) Fuente: Capítulos del libro Systems and Control de Stanislaw H. Zak (). Fuente: Capítulos y 3 del libro Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J. Åström y Richard M. Murray. Clase 3-, pág. 4