1Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 36

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1 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 6 Pág. P RCTIC Números reales a) Cuáles de los siguientes números no pueden epresarse como cociente de dos números enteros? ;,7; ;, ; ),7; ) π; b)epresa como fracción aquellos que sea posible. c) Cuáles son racionales? a) No pueden epresarse como cociente: ; π y. b) ;,7 ;, ) ;,7 ) c) Son racionales: ;,7;, ) 9 y,7. ) a) Clasifica en racionales o irracionales los siguientes números: ; 0,87; ) ; 7 ; ; π b)ordénalos de menor a mayor. c) Cuáles son números reales? a) Racionales: 0,87; ) ; 7 Irracionales: ; ; π b) 7 < < < < 0,87 ) < π c) Todos son números reales. Sitúa los siguientes números en el diagrama adjunto: ; 7, ; ) ;, ; ; 6; π ; , ), 9 π 6 Unidad. Números reales

2 Soluciones a los ejercicios y problemas Indica a cuáles de los conjuntos N, Z, Q, Á pertenece cada uno de los siguientes números: N: 6; ; ; ; ; 6; ; 6 + Pág. Z: 6,, Q : 6; ; ; ; 6 Á: ; ; ; ; 6; y 6 + Intervalos y semirrectas Representa en la recta real cada uno de los siguientes intervalos y semirrectas: [, ] (, 6) C [ 7, ) D (0, ] E ] F (, +@) 0 C 7 0 E D 0 F 6 Escribe en forma de intervalo o semirrecta y representa en la recta real los números que cumplen la desigualdad indicada en cada caso: a) Ì Ì b) < < c) 0 < Ì 7 d) > a) [, ] b) (, ) c) (0, 7] d) (, +@) Unidad. Números reales

3 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Epresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números representados. a) 0 b) c) 0 d) 0 a) [, ] b) (, ] Ì Ì < Ì c) [, +@) ) Ó < Pág. 8 Representa en una misma recta las semirrectas: ] y [, +@) Cuáles son los números que pertenecen a y a (» )? Eprésalo como un intervalo. 9 Resuelto en el libro de teto. 0 Representa en la recta real: a) ) «(, +@) 0] «[, +@) 0» [, ] a) b) 0 0 Números aproimados. Notación científica Da una cota del error absoluto y una cota del error relativo de cada una de las aproimaciones siguientes sobre los presupuestos de algunos equipos deportivos: a) 8 mil euros b) millones de euros c) d) 00 a) Error absoluto < 00 b) Error absoluto < Error relativo < 0,009 Error relativo < 0,0 c) Error absoluto < 0 d) Error absoluto < 0 Error relativo < 0, Error relativo < 0,06 Unidad. Números reales

4 Soluciones a los ejercicios y problemas Epresa con un número razonable de cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo de la aproimación que des. a) Oyentes de un programa de radio: 8 7 b)precio de un coche: 8 78 c) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,07 segundos. d)gastos de un ayuntamiento: a) oyentes Error absoluto < 000 Error relativo < 0,009 Pág. b) Error absoluto < 00 Error relativo < 0,07 c) 0,0 segundos d) Error absoluto < 0,00 Error relativo < 0, Error absoluto < Error relativo < 0,0 Escribe en notación científica. a) b) 0,0000 c) 0, d) a) 7, 0 8 b), 0 c) d), 0 0 PÁGIN 7 Epresa en notación científica. a) 0 b)7 0 c) d)8 0 7 e) 0,0 0 6 f) 0,00 0 a), 0 6 b) 7, 0 c) 8, 0 9 d),8 0 e) 0 f), 0 8 Da una cota del error absoluto de cada una de las siguientes aproimaciones y compara sus errores relativos. a) 8 0 b), 0 6 c),7 0 7 d), 0 e),7 0 6 f) 0 a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 6 e) 0 8 f) 0 6 El menor error relativo se da en c) y el mayor, en f). Unidad. Números reales

5 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Calcula mentalmente. a) (, 0 7 ) ( 0 ) b)( 0 6 ) : ( 0 ) c) ( 0 7 ) : ( 0 ) d) 0 8 a) 0 b), 0 c) 0 d) 0 Pág. 7 Calcula con lápiz y papel, epresa el resultado en notación científica y compruébalo con la calculadora. a) (, 0 7 ) ( 0 8 ) b)( 0 8 ) (, 0 ) c) (, 0 7 ) : ( 0 6 ) d)(6 0 7 ) a) 0, 0 6 b), 0, 0 c) 0, 0, 0 d) 6 0,6 0 8 Efectúa a mano utilizando la notación científica y comprueba después con la calculadora. a), 0 0 b) 0 + 8, 0 6 c) d)7, 0 8 +, 0 0 a) b) , 0 6 8, 0 6,8 0 c) , 0 8 d) 7, , 0 8, Epresa el resultado de las siguientes operaciones en notación científica con cifras significativas como máimo: a) (,8 0 ) : (6, 0 ) b)(7, 0 6 ) : (, 0 9 ) c) 7,86 0, 0 6 +, 0 d)( ) : ( ) a), 0 6 b) 7,0 0 8 c),6 0 d), 0 Potencias y raíces 0 Epresa en forma eponencial. a) b) c) 0 6 d) 0 e) ( ) f) a g) ( ) h) a a) / b) / c) 0 d) 0 / e) ( ) / f) a / g) 6/ h) a / Unidad. Números reales

6 Soluciones a los ejercicios y problemas Pon en forma de raíz. a) / b)( ) / c) / ( ) d)(a ) / e) (a / ) / f)(a ) / a) b) ( ) c) d) a e) a f) a Pág. 6 Obtén con la calculadora. a) 7 b) 0, c) d) / 6 e) f) ( ) a) 7,0 b) 0,,6 c), 9 d) / 0,9 e) 0, f) ( ) 0,6 Resuelto en el libro de teto. 6 ( ) 9 ( ) Epresa como potencia única. a) b) 9 c) : d) a a e) a f) m : (m m ) a) / / 7/6 b) / / c) / : / /6 d) a / a / a 9/0 e) a /0 f) m / :(m m / ) m /6 Radicales Simplifica. a) b) a 8 c) 8 d) a b e) a 8 f) a) b) a c) a d) ab e) a 8 a f) a b 6 Multiplica y simplifica. 6 6 a) 6 b) a a a c) a a a) b) a 6 a 6 c) a a a a 6 b 9 Unidad. Números reales

7 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Etrae del radical los factores que sea posible. a) 6a b) 8a b c) 8a Pág d) e) f) a 7 a) a b) a ab c) a a d) e) 9 f) 9 a a 8 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los radicales siguientes: 6 7, 0, 0, 8 mín.c.m. (,,, 6) < 0 < 7 < 0 9 Introduce dentro de la raíz y simplifica. 8 a) b) 7 c) d) e) 9 f) a) 8 b) c) 7 0 d) e) f) 9 Unidad. Números reales

8 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 8 Pág. 8 0 Divide y simplifica. a) 7 : b) : c) : 6 a) 7 : 7 : 9 b) : : c) : : Reduce a índice común y efectúa. a) 6 b) : 6 c) 0 : 0 d) ( ) : ( ) 6 6 a) b) c) d) ( ):( ) 0 0 :0 Resuelto en el libro de teto. Efectúa. a) 8 + b) 8 c) d) + e) / a) + + b) c) d) e) Unidad. Números reales

9 Soluciones a los ejercicios y problemas Efectúa. a) ( + )( ) b) ( + ) c) ( )( + ) d) ( ) a) b) c) 7 d) + Pág. 9 Racionaliza y simplifica. a) b) c) d) e) 6 f) a) b) 6 c) d) 6 6 e) f) 6 Racionaliza y simplifica si es posible. + 6 a) b) + c) + d) e) + f) 0 g) h) i) + + ( + 6 ) + 8 a) 6 ( ) b) ( + ) + c) ( + )( + ) + + d) ( ) e) Unidad. Números reales

10 Soluciones a los ejercicios y problemas ( + ) + f) 9 Pág. 0 0 ( + ) g) + ( ) 6 h) 6 + ( )( ) + 8 i) P IENS Y RESUELVE 7 Halla el área total y el volumen de un cilindro de cm de radio y cm de altura. Da su valor eacto en función de π. cm cm Área lateral πr h π 0π cm Área base πr π π cm Área total 0π + π 70π cm Volumen πr h π 00π cm 8 En un círculo cuya circunferencia mide 0π m, cortamos un sector circular de 0 de amplitud. Halla el área de ese sector dando su valor eacto en función de π. 0 Radio del círculo: πr 0π 8 R m 60 8 π 0 8 Área 0 π 7π m 60 9 Calcula el área total y el volumen de un cono de cm de radio y 0 cm de generatriz. Da el valor eacto. cm 0 cm ltura 0 7 cm Área lateral πrg π 0 0π cm Área base πr π cm Área total 0π + π 7π cm Volumen πr h π π cm Unidad. Números reales

11 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Calcula el perímetro de los triángulos C, DEF y GHI. Epresa el resultado con radicales. u D G Pág. C I F E H C C + 0 ; + ; C + Perímetro de C u DFE DF + ; DE + ; FE Perímetro de DFE u GHI GH + 0 ; GI GH ; HI + Perímetro de GHI u Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es cm. Epresa el resultado con radicales. ltura cm ( ) ( ) Área cm Calcula la altura de un tetraedro regular de 8 cm de arista. Da su valor eacto. H V h 8 ltura del tetraedro: h 7 cm 8 ( ) 8 ltura de una cara: cm 8 H cm Unidad. Números reales

12 Soluciones a los ejercicios y problemas Calcula el volumen de un octaedro regular cuya arista mide 6 cm. Da su valor eacto. Pág. h d d cm d cm ltura de la pirámide ( 6 ) ( ) cm Volumen del octaedro ( ( 6) ) cm verigua para qué valores de se pueden calcular las siguientes raíces: a) 7 b) c) d) + a) 7 Ó 0 8 Ó 7 8 é[7, +@) b) Ó 0 8 Ó 8 Ì 8 ] c) Ó 0 8 Ì 0 8 0] d) + Ó 0 8 +@) Comprueba que los números + y son soluciones de la ecuación ( + ) 6( + ) ( ) 6( ) Cuál de los números + o es solución de la ecuación 0? ( ) ( ) ( + ) + 8 +? 0 El número no es solución de la ecuación ( ) ( ) ) ( + 0 El número + sí es solución de la ecuación. Unidad. Números reales

13 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 9 Pág. 7 Halla el valor eacto de las siguientes epresiones en el caso en que m : a) ( m) b) m c) + m m ( ) + a) b) ( ) + / + ( + )( + ) + + c) 7 + / 8 Calcula utilizando la notación científica. Epresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota del error absoluto cometido en cada caso: a) (7 800) : ( 000) b) ,000 0,0000 c) (0,007) (0,000) d)(, 0 ) : (0,00087) a) (,0 0 9 ) : (, 0 8 ),9 0 Error absoluto < 0 8,70 0 b), ,8 0 0,0 0 0 Error absoluto < 0 7 c) (,88 0 ) (, ) 6,96 0 Error absoluto < 0 d) (, 0 ) : (8,7 0 ),8 0 Error absoluto < 0 9 Simplifica las epresiones siguientes: a) ( + ) + ( ) b) 6 ( + ) ) ( c) ( + ) ( + )( + ) ( )( ) a) Unidad. Números reales

14 Soluciones a los ejercicios y problemas [ ] ( 6 )( 6 ) b) ( + ) 9 8 ( + ) (6 + )( + ) c) + Pág. R EFLEXION SORE L TEORÍ 0 Qué números representan los puntos y? Eplica un procedimiento para construir un segmento que mida eactamente: a) 8 b) 6 a) b) Cuáles de las siguientes raíces no eisten? 6 0; ; ; 0,00; No eisten ni ni 8. 8 Cuántos números racionales hay entre 0, 7 ) y 0, 8? ) Y cuántos irracionales? Pon ejemplos. Hay infinitos racionales e infinitos irracionales. Racionales entre 0, 7 ) y 0, 8: ) 0,79; 0,78; 0,786; 7 Irracionales: 0, ; 0,888 ; ; ; Unidad. Números reales

15 Soluciones a los ejercicios y problemas Cuáles son los números que pertenecen a ) «(, +@)? Todos los números reales ecepto el. Pág. Escribe, en cada caso, un número racional y otro irracional comprendidos entre los dos que se dan: a) y b), ) y, ) c), ) y, ) d) y a) Racional:, Irracional: 0 b) Racional:, Irracional: c) Racional:, Irracional:, d) Racional:, Irracional: + 6 Escribe dos números racionales uno mayor y otro menor que que se diferencien de él en menos de una milésima. Menor que 8, Mayor que 8, 7 Cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado tienen soluciones irracionales? a) 0 b)9 0 c) + 0 d) 8 0 e) 0 f) 0 a), son irracionales. b) ± son racionales. c) No tiene solución. d) ± 8 ± son irracionales. ± + 8 ± e) ± son irracionales. f) ± son racionales Justifica que,, y / representan el mismo número irracional. Es posible que 6 + represente ese mismo número? ; ; ; / Unidad. Números reales

16 Soluciones a los ejercicios y problemas ( 6 + )( ) Pág. 6 9 Cuáles de los siguientes números no están epresados en notación científica?, 0 7 ;, ; ; 0,8 0 No están en notación científica:, ; ; 0,8 0 P ROFUNDIZ 60 Ordena de menor a mayor en el caso a é (0, ) y en el caso a é (, +@). a; ; a a ; a Si a é (0, ), a < a < a < Si a é (, +@), < a < a < a a a 6 verigua para qué valores de se pueden calcular las siguientes raíces: a) ( )( +) b) ( ) c) + 6 d) ( + )( ) a) ] «[, +@) b) [0, ] c) ] «[, +@) ] «[, +@) 6 Prueba que 6. Elevamos al cuadrado. ( ) ( 6 ) Justifica que. 8 8 / 6 8 Unidad. Números reales

17 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN Pág. P RCTIC Operaciones con polinomios Opera y simplifica las siguientes epresiones: a) ( ) ( )( + ) + ( ) b)( ) +( )( ) ( +) c) ( ) ( )( + ) ( + ) a) b) c) ( 6 + 9) (9 ) ( + ) Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: a) (y + )(y ) + ( + y) (y + ) b)( + y) ( y) +( + y)y c) (y + + )( y) ( + y)( y) a) y + + y + y y y + y b) + y + y y + y + y +8y c) y y + + y + y + y y Multiplica cada epresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica: a) ( + ) ( + ) + ( )( +) b) (8 )( + ) ( +) + ( + )( ) 0 6 a) 0 ( + ) ( + ) + ( )( + ) [ ] + 60 ( + + ) + 0( 6) b) (8 + ) (9 + + ) + ( 9) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

18 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla el cociente y el resto de cada una de estas divisiones: a) (7 + ) : ( + ) b)( 7 + ) : ( ) c) ( + +):( +) a) COCIENTE: 7 9 RESTO: 9 Pág. b) COCIENTE: RESTO c) COCIENTE: +8 RESTO: +8 Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes: a) ( + ) : ( +) b)( + ) : ( +) c) ( + ) :( +) a) COCIENTE: + + RESTO: + b) COCIENTE: 8 RESTO: 8 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

19 Soluciones a los ejercicios y problemas c) COCIENTE: RESTO: 6 + Pág. 6 Divide y comprueba que: Dividendo divisor Ò cociente + resto ( + +):( +) ( + ) Epresa las siguientes divisiones de la forma D d c + r. a) (6 + 9) :( ) b)( + 9) : ( +) c) ( ) : ( + ) a) ( )( + ) b) ( + )( + ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

20 Soluciones a los ejercicios y problemas c) ( + )( ) Pág. Factor común e identidades notables 8 Epresa como cuadrado de un binomio. a) b)6 + y + 60y c) 9 + y + 6 y d)y y + a) ( ) b) (6 +y) c) ( + y) d) (y ) 9 Epresa como producto de dos binomios. a) 9 6 b)9 y c) 8 6 d) e) 00 f) a) (7 + )(7 ) b) ( + y)( y) c) (9 +8)(0 8) d)( + )( ) e) ( +0)( 0) f) ( + )( ) 0 Saca factor común e identifica los productos notables como en el ejemplo ( +6 +9) ( + ) a) b)7 y c) + 6 y + y d) 8 y a) ( + 9) ( ) b) (9 y ) ( + y)( y) c) ( + y + y ) ( + y) d) ( 8y ) ( +9y)( 9y) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

21 Soluciones a los ejercicios y problemas Regla de Ruffini. plicaciones Pág. plica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones: a) ( + ) : ( ) b)( +7 +):( +) c) ( + ) :( ) d)( + ) : ( +) a) COCIENTE: RESTO: b) 0 7 COCIENTE: RESTO: 6 6 c) 0 0 COCIENTE: 9 RESTO: d) 0 0 COCIENTE: RESTO: 0 0 Utiliza la regla de Ruffini para calcular P(), P( ) y P(7) en los siguientes casos: a) P() b)p() +7 a) P () b) P ( ) 07 P(7) 9 P() 6 P( ) 7 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

22 Soluciones a los ejercicios y problemas P(7) 6 Pág. 6 verigua cuáles de los números,,,,, son raíces de los polinomios siguientes: a) P() +6 b)q() + Recuerda que a es raíz de P() si P(a) 0. a) ? ? ? 0 Son raíces de P():, y. b)? ? ? 0 es una raíz de Q() (no probamos con y porque no son divisores de ). Comprueba si los polinomios siguientes son divisibles por o +. a) P () + b)p () + 0 c) P () 7 + a) ? 0 P es divisible por. b) 0 6? P es divisible por. Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

23 Soluciones a los ejercicios y problemas c) Pág. 7 P es divisible por +. No puede ser divisible por porque no es múltiplo de. PÁGIN El polinomio es divisible por a para dos valores enteros de a. úscalos y da el cociente en ambos casos Es divisible por +. Es divisible por 6. COCIENTE: COCIENTE: Prueba si el polinomio es divisible por a para algún valor entero de a Es divisible por +. 7 Si P() 8 +, halla los valores P(8,7), P(0,) y P( 7) con ayuda de la calculadora. Describe el proceso como en el ejemplo: 8.7m *Ñ-*Ñ-8*Ñ+{ «} P(8,7) 70, , m *Ñ- *Ñ- 8 *Ñ+ { Ÿ «} P (0,) 89,7 7 ±m *Ñ- *Ñ- 8 *Ñ+ { \} P ( 7) 76 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

24 Soluciones a los ejercicios y problemas Factorización de polinomios Pág. 8 8 Factoriza los siguientes polinomios: a) + b) c) 7 80 d) +9 0 a) + 0 8, + ( + )( ) b) , +8 + ( + )( +) c) , ( 8)( +) d) , ( + 0)( 7) 9 usca, en cada caso, una raíz entera y factoriza, después, el polinomio: a) 9 b) c) +7 + d) a) 9 ( )( + ) b) ( + )( ) c) +7 + ( + )( + ) d) ( 8)( 9) 0 Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios: a) b) + 6 c) d) + + e) 6 6 f)6 9 a) ( ) ( + )( ) b) + 6 ( 6 + 9) ( ) c) (9 ) ( + )( ) d) + + ( + +) ( +) e) 6 6 ( 6) ( + )( ) ( + )( + )( ) f) 6 9 ( + )( ) ( +)( + )( ) Completa la descomposición en factores de los polinomios siguientes: a) ( )( 6 + 9) b)( 7)( + 0) a) ( )( 6 + 9) ( + )( )( ) b) ( 7)( + 0) ( 7)( 8)( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

25 Soluciones a los ejercicios y problemas Descompón en factores y di cuáles son las raíces de los siguientes polinomios: a) + b) + c) d) +6 a) + ( )( + )( +) Sus raíces son, y. 0 0 Pág. 9 b) + ( )( ) Sus raíces son 0, y. 0 0 c) ( ) ( 7) 8 7 Sus raíces son y d) ; ; ; + 6 ( )( + )( )( + ) Sus raíces son,, y. Factoriza los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces: a) b) c) 6 d) + a) ( )( + +) Raíz: 0 b) ( + )( )( ) Raíces:, y c) ( )( + +) 6 Raíz: 0 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

26 Soluciones a los ejercicios y problemas d) + 8 ( )( + )( + + ) 8 0 ( )( + )( +) Raíces:, y 0 Pág. 0 Fracciones algebraicas Comprueba, en cada caso, si las fracciones dadas son equivalentes: a) y b) + y c) + y y d) y y y a) Sí son equivalentes, porque ( ). b) No son equivalentes, ya que ( + )?. c) Sí son equivalentes, porque ( + y)( y) y. d) Sí son equivalentes, porque ( ). Descompón en factores y simplifica. a) 9 b) + ( +) c) + 0 d) + y + y + y e) f) y y + 6 y a) 9 ( )( +) ( +) ( + )( +) b) + + ( + )( ) c) + 0 ( ) ( + )( ) d) + y ( + y) + y + y ( + y) e) + 6 ( )( + ) + + y + f) y y y( y) y y y y + Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

27 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Reduce a común denominador y opera. a) + b) + c) d) + + Pág. a) + + b) c) + ( ) d) ( )( +) +6 7 Efectúa. a) + b) c) d) + a) b) + 6 ( +) 6 c) ( ) +9 ( ) d) ( )( + ) ( +) + + ( + )( +) Opera. a) + b) c) : + d) : a) + + b) + c) : + d) : Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

28 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Opera y simplifica si es posible. a) : b) : ( +) ( +) a) : + ( +) + ( +) b) : + : ( ) ( ) + ( + ) ( + )( ) Pág. 0 Descompón en factores el dividendo y el divisor, y, después, simplifica. a) b) c) + d) a) ( ) + 6 ( )( ) b) ( + )( ) + ( + ) c) + ( + ) 9 +6 ( +) d) ( + 6)( 7) ( )( 7) + 6 PÁGIN P IENS Y RESUELVE Sustituye, en cada caso, los puntos suspensivos por la epresión adecuada para que las fracciones sean equivalentes: a) b) + + c) d) 9 + a) b) + + ( + ) c) ( +) d) ( +) + + Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

29 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla, en cada caso, el mínimo común múltiplo y el máimo común divisor de los polinomios siguientes: a) ; ; b) ; 9; 6 +9 c) + ; + 6; + d); + ; Pág. a) b) 9 ( + )( ) ( ) c) ( ) ( + )( ) ( +) + ( + )( ) d) + ( + )( ) má.c.d. [,, ] mín.c.m. [,, ] ( )( +) má.c.d. [, 9, 6 + 9] mín.c.m. [, 9, 6 + 9] ( ) ( +) má.c.d. [ +, + 6, + ] + mín.c.m. [ +, + 6, + ] ( + )( ) má.c.d. [, +, ] mín.c.m. [, +, ] ( ) Resuelto en el libro de teto. Opera y simplifica. a) : + b) + ( ) ) ( ( ) c) + : ( ) d) : [( ) ( )] ( ) a) : + 9 : + 9 ( )( + ) ( ) ( ) + b) + ( + )( + )( ) ( +) ( ) ( ) ( ) c) + : ( ) + : [( ) ( )] ( ) ( ) + ( ) + + d) : ( ) ( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

30 Soluciones a los ejercicios y problemas Efectúa. a) + + b) + + c) a) + + ( )( )( +) + ( + )( + ) ( )( +) ( )( +) ( )( +) ( )( ) + ( + )( + ) ( ) ( ) + + ( ) b) ( ) ( )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) Pág ( + )( ) c) ( + )( ) ( + )( ) + ( + )( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( +)( ) +( + )( ) ( ) ( ) ( ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

31 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Opera y simplifica. a) ( ) + b) : ( ) + c) ( ) a) + ) ( ) ( + + ( +) ( +) ( +) ( +) ( +) b) : + : : ( ) + ( +) ( +) ( +) c) ( ) + + Pág. 7 Efectúa. a) b) c) a) + + ( +) + ( ) b) + + ( ) + ( + )( ) + ( ) ( ) ( ) + + ( +) ( ) c) + + ( + )( +) ( + )( ) ( ) 8 Resuelto en el libro de teto. Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

32 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Calcula m para que el polinomio P() m + sea divisible por +. P() m + será divisible por + si P( ) 0. P( ) ( ) m( ) + ( ) 0 m 0 8 m 8 Pág. 6 0 El resto de la siguiente división es igual a 8: ( + k 7 +6):( ) Cuánto vale k? LLamamos P() + k El resto de la división P():( ) es P(), luego: P() k k k 8 k Halla el valor que debe tener m para que el polinomio m + +9m sea divisible por +. Llamamos P() m + +9m. Dicho polinomio ha de ser divisible por +, luego el resto ha de ser 0: P( ) 0 8 m( ) ( ) + ( ) + 9m m 0 + 9m 0 8 m Comprueba si eiste alguna relación de divisibilidad entre los siguientes pares de polinomios: a) P() y Q() b)p () 0 + y Q() c) P() + y Q() a) P() ( )( +) Q() ( ) Q () es divisor de P(). b) P() ( ) Q() ( ) No hay relación de divisibilidad. c) P() ( )( +) Q() Q() es divisor de P(). Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

33 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 6 Pág. 7 Tenemos un polinomio P() ( ) ( + ). usca un polinomio de segundo grado, Q(), que cumpla las dos condiciones siguientes: a) má.c.d. [P(), Q()] b)mín.c.m. [P(), Q()] ( ) ( 9) Q() ( )( ) Calcula el valor de k para que el polinomio P() + + k sea múltiplo de Q() k + + k + k + Ha de ser k k Traducción al lenguaje algebraico Traduce a lenguaje algebraico empleando una sola incógnita: a) El cociente entre dos números pares consecutivos. b)un número menos su inverso. c) El inverso de un número más el inverso del doble de ese número. d)la suma de los inversos de dos números consecutivos. a) b) c) + d) Epresa mediante polinomios el área y el volumen de este ortoedro. + Área [( + )( ) + ( ) + ( + )] Volumen ( + )( ) + 8 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

34 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Epresa, en función de, el área total de este tronco de pirámide. Pág. 8 + [ + Área lateral ( + +) ( + ) ( +) Área de las bases +( +) Área total ( +) + +( +) ] 8 Un grifo tarda minutos en llenar un depósito. Otro grifo tarda minutos menos en llenar el mismo depósito. Epresa en función de la parte del depósito que llenan abriendo los dos durante un minuto. + 9 Se mezclan kg de pintura de /kg con y kg de otra de /kg. Cuál será el precio de kg de la mezcla? Eprésalo en función de e y. + y + y 0 En un rectángulo de lados e y inscribimos un rombo. Escribe el perímetro del rombo en función de los lados del rectángulo. y ( ) + ( ) y El lado del rombo es l Perímetro + y + y ( ) + y Epresa algebraicamente el área de la parte coloreada utilizando e y. Área cuadrado grande y Área cuadrado pequeño (y ) Área parte sombreada y (y ) y y Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

35 Soluciones a los ejercicios y problemas Dos pueblos, y, distan 60 km. De sale un coche hacia con velocidad v. l mismo tiempo sale otro de en dirección a con velocidad v +. Epresa en función de v el tiempo que tardan en encontrarse. t 60 v + Pág. 9 En el rectángulo CD de lados cm y C cm, hemos inscrito el cuadrilátero ''C'D' haciendo ' ' CC' DD'. Escribe el área de ''C'D' en función de. ' ' C C' D' D Sabiendo que D' 'C y ' C'D, se tendrá: El área del triángulo 'CC' es ( ). El área del triángulo 'D' es ( ). El área del triángulo '' es ( ). El área del triángulo D'DC' es ( ). El área del rectángulo CD es cm. PRLELOGRMO ( ) + ( ) [( ) + ( )] [ ] ( +8) 8 + Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

36 Soluciones a los ejercicios y problemas En el triángulo de la figura conocemos C 0 cm, H cm. Por un punto D de la altura, tal que D, se traza una paralela MN a C. Desde M y N se trazan perpendiculares a C. M D N Pág. 0 P H Q C a) Epresa MN en función de. (Utiliza la semejanza de los triángulos MN y C). b)escribe el área del rectángulo MNPQ mediante un polinomio en. M D N cm P H Q 0 cm C a) Por la semejanza de triángulos: C MN 8 MN C 8 MN 0 8 MN H H b) MP RECTÁNGULO MN MP ( ) 0 PÁGIN 7 R EFLEXION SORE L TEORÍ Escribe en cada caso un polinomio de segundo grado que tenga por raíces: a) 7 y 7 b)0 y c) y d) (doble) Por ejemplo: a) ( 7)( + 7) 9 b) ( ) c) ( + )( + ) + +6 d)( ) Escribe, en cada caso, un polinomio que cumpla la condición dada: a) De segundo grado sin raíces. b)que tenga por raíces, 0 y. c) De tercer grado con una sola raíz. Por ejemplo: a) + b) ( + )( ) c) ( +) + Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

37 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Las raíces de P() son 0, y. a) Escribe tres divisores de P() de primer grado. b)escribe un divisor de P() de segundo grado. a) ; ; + b) Por ejemplo: ( ) Pág. 8 Inventa dos polinomios de segundo grado que cumplan la condición indicada en cada caso: a) mín.c.m. [P(), Q()] ( )( +) b)má.c.d. [P(), Q()] + a) Por ejemplo: P() ; Q() ( )( + ) b) Por ejemplo: P() ( + ); Q() ( + )( ) 9 Cuál es el mín.c.m. de los monomios b; a b ; C a? Escribe otros tres monomios D, E, F tales que: mín.c.m. (,, C, D, E, F ) 0a b b a b C a mín.c.m. (,, C ) 0a b Tomamos, por ejemplo: D b E a F 0ab mín.c.m. (,, C, D, E, F) 0a b 60 a) Si la división P() : ( ) es eacta, qué puedes afirmar del valor P()? b)si es una raíz del polinomio P(), qué puedes afirmar de la división P() : ( + )? c) En qué resultado te has basado para responder a las dos preguntas anteriores? a) Si la división es eacta, el resto es 0, luego P() 0. b) La división P():( + ) es eacta, el resto es 0. c) En el teorema del resto. 6 Prueba que el polinomio +(a + b) + ab es divisible por + a y por + b para cualquier valor de a y b. Cuál será su descomposición factorial? a + b ab a a ab b 0 +(a + b) + ab ( + a)( + b) a + b ab b b ab a 0 Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

38 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 En una división conocemos el dividendo, D(), el cociente, C(), y el resto, R(). D() + ; C() ; R() 7 7 Calcula el divisor. D d c + R 8 Dividendo Resto divisor Cociente D R El divisor es. Pág. 6 Cuál es la fracción inversa de? Justifícalo. + Inversa + El producto de ambas debe ser igual a : + + P ROFUNDIZ 6 Saca factor común en las siguientes epresiones: a) ( ) ( + )( ) b)( + )( ) + ( )( ) c) ( y)(a + b) (a b)( y) El factor común es un binomio. a) ( )[ ( + )] ( )( ) b) ( )[( +)+( )] ( )() c) ( y)[(a + b) (a b)] ( y)(b) 6 Descompón en factores a y + a. Prueba si son divisibles por a o por + a. 0 0 a a a a a a a a a a a a a a 0 a ( a)( + a + a ) + a ( + a)( a + a ) Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

39 Soluciones a los ejercicios y problemas 66 Factoriza las siguientes epresiones como en el ejemplo. a ay + b by a( y) +b( y) ( y)(a + b) a) a ay + b by b) y + y + + c) y + y + y + y d)ab ab + b a) a( y)+b( y) ( y)(a + b) b) y( +)+( +) ( + )(y +) c) y( +)+y ( +) ( + )(y + y) ( + )( +)y d) ab(b ) + (b ) (b )(ab +) Pág. 67 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) y y b) a b 6ab c) a b a b 0 y a b 6a b ab +a b + b a) y y y( y) 0 y ( y) y b) a b 6ab ab (a b) b a b 6a b a b(a b) a c) a b a b a b(b ) ab +a b + b b(a + a +b) a (b ) a + a +b 68 Efectúa y simplifica. a) + y ( ) y + y b) a ab : ab b ab + b a + ab c) + a + (a + b) + ab b ab ( ) b a a) + y + y y ( + y)( y) y + y y + y ( y)( + y) b) a ab a : ab b (a a ab)(a + ab) a a b (a b ) ab + b a + ab (ab + b )(ab b ) a b b b (a b ) b c) + a + (a + b) + b + a (a + b) + b ab b ab a ab ( ) a + b a b ab ab ab ab Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

40 Soluciones a los ejercicios y problemas 69 Opera y simplifica. a) a b a +ab +8b a b a + b a 9b b) b b + b + + c) + y ( y y + y ) d) y : y ( ) ( + y + y a) a b a +ab +8b a b a + b a 9b a(a + b) b(a b) (a +ab + 8b ) a 9b a +6ab ab +9b a ab 8b a 9b a 9b a 9b b) b b + b + b + b + b + b( )( ) + b( + ) (b + b +b) b( +)+b +b b b b b b + b + b b b b b( ) b [ c) + y y y ( + y) ( y) y ( ) ] y + y y y y +y + y +y y y y y y y d) y : y + y + y + y : ( y) ( + y) ( ) ( ) ( ) [ ] + y + y y + y ( + y)( y) [ b + b + b y y + y ) y y : y + y y y y : y + y ( + y)( y) + y ( + y)( y) y( + y)( y) y y y( + y) ] Pág. Unidad. Polinomios y fracciones algebraicas

41 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 7 Pág. P RCTIC Ecuaciones de.º y.º grados Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( + )( ) ( ) b) + ( ) 7 + ( )( + ) c) + ( ) + ( ) d) ( )( +) + ( +)( ) 6 a) 6 9 (9 + ) Solución: b) +( 8 + 6) ± 9 Soluciones: 0, 0 c) Solución: d) ( )( + ) ( ) + ( + )( ) ± Soluciones:, Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

42 Soluciones a los ejercicios y problemas Comprueba que las ecuaciones siguientes son de.º grado incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula general. a) b)( + ) ( ) ( + ) + 0 Pág. c) ( ) + 6 d) + + ( 0 ) a) + 7 ( + ) ( +) ( +) 0 8 0; Soluciones: 0, b) ; Soluciones:, c) ( ) ( + ) 6( ) ( ) ( 0) 0 8 0; Soluciones: 0, 0 d) + + ( ) 0 ( + ) ( ) + ( ) No tiene solución. verigua cuáles de las siguientes ecuaciones no tienen solución y cuáles tienen infinitas soluciones. (Recuerda que en realidad no son ecuaciones, porque no tienen término en ). a) 7 b)( + ) ( ) c) ( +) + ( ) d)( + )( ) ( )(6 + ) 7 a) ( ) No tiene solución. 0 Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

43 Soluciones a los ejercicios y problemas b) Tiene infinitas soluciones. Pág. c) + + 8( + ) + ( + ) Tiene infinitas soluciones. d) 6 7 (6 ) No tiene solución. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( ) ( ) b) c) ( ) d)( + ) ( + 6) ( + ) e) + + ( (7 + ) ) ( ) a) ( 6 + 9) ( + ) Solución: 0 b) 6 + ( + ) ( ) 6( ) ± Soluciones: 9 ; 6 c) ( + ) ± d) ( + + ) +6 ( +) ± 9/6 8 No tiene solución. 8 No tiene solución. e) ± 0 8 Solución: Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

44 Soluciones a los ejercicios y problemas Otras ecuaciones Pág. Resuelve. a) + 0 b) c) 0 d) 6 0 a) Cambio de variable: y y ± 6 y y ± 8 ; 8 ; Soluciones:,,, b) Cambio de variable: y y 7 ± 7y y 7 ± ; 8 ; Soluciones:,,, c) Cambio de variable: y y ± y 0 8 y ± Soluciones: ; / y 8 8 ± y 8 No vale d) Cambio de variable: y y ± + y y Soluciones:, ± y 8 8 ± y 8 No vale. 6 Resuelve. a) + 0 b) 6 0 c) 0 d) e) ( + ) + 6 ( + ) f) ( + ) ( + )( ) a) Cambio de variable: y y ± 6 y y ± Soluciones:,,, y 8 ± y 8 ± Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

45 Soluciones a los ejercicios y problemas b) 6 8 ± 6 Soluciones:, Pág. c) ( ) 0 Soluciones: 0,, d) Cambio de variable: y y 8 ± 0 8y y Soluciones:, e) Cambio de variable: y y y y ± 9 8 y 8 ± y 8 ± Soluciones:,,, f) ( + ) no tiene solución. La solución de la ecuación es 0. 7 Resuelve. a) b) c) + + d) + a) ( + ) + ( +6) ( ) 0 8 Comprobamos sobre la ecuación inicial la validez de la solución. Solución:. b) ( ) ( ) ± 8 ± /8 / Se comprueba sobre la ecuación inicial que las dos soluciones son válidas. Soluciones:, Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

46 Soluciones a los ejercicios y problemas c) ( ) + ( + ) ( ) 0 8 Se comprueba que la solución es válida. Solución: Pág. 6 d) ( + ) ( ) ( )( +) ± 6 ± Se comprueba que las dos soluciones son válidas. Soluciones:, 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + b) + + c) d) a) ( +) ( ) ( )( ) ± Se comprueba la validez de las dos soluciones. Soluciones:, b) ( + ) ( + ) ( + ) ± 6 ± 6 6 Las dos soluciones son válidas. Soluciones:, / c) ( + ) ( + ) Solución: 7 d) ( + ) Solución: 7 Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

47 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Resuelve. a) + + b) c) d) Pág. 7 a) ± ± 7 Comprobación: es solución. 8 6? + 8 no vale. Solución: b) ± 6 ± 6 9 Comprobación: ? no vale Válida. Solución: 9 c) Comprobación: Válida Válida. Soluciones: 0, 0 d) ( +7 ) ± Comprobación: es solución es solución. Soluciones:, Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

48 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Dos de las siguientes ecuaciones no tienen solución. verigua cuáles son y resuelve las otras. a) 7 69 b) + 0 c) 7 0 d) + Pág. 8 a) ± 9 7 ± 7 Comprobación: No vale No vale. No tiene solución. b) Comprobación: Es solución. 8 8 Es solución. Soluciones: 0, 0 c) Comprobación: 7? 8 No vale. La ecuación no tiene solución. d) ( ) ( ) ± ± 6 / / Comprobación: es solución es solución. Soluciones:, Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

49 Soluciones a los ejercicios y problemas Di cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) ( )( ) 0 b)( )( + ) 0 c) ( + )( ) 0 d)( + ) 0 e) ( )( ) 0 f) ( + + ) 0 a) 0 8 ; 0 8 Soluciones:, b) Soluciones: 0; ; Pág. 9 c) ; 8 ; Soluciones: ; ; d) 0; +? 0 Solución: 0 e) ; ± Soluciones: ; ; f) 0; ± Soluciones: 0; ; ± ± Descompón en factores y resuelve. a) 0 b) c) + 0 d) 0 a) ( ) 0 Soluciones: 0; ; b) ( + 6) 0 8 0; ± Soluciones: 0; ; c) ± 0 Soluciones: ; ; d) 0 8 ± 0 Soluciones: (doble); Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

50 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 7 Pág. 0 Sistemas de ecuaciones Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba las soluciones: + 0 9y + y 0 a) b) y y 6, +,y 8,7 y + y + 0 c) d) y + y y 7 a) 8 y 0 7y 8 y Si y Solución: ; y y 0 b) 6, +,(0 ) 8,7 8 6, + 96, 8,7, 6,7 8 9 y 0 9 Solución: 9; y y y c) 8 y 8 + y 8 y 6 8 y Solución: 0; y 8 + y d) y y 0y 0 ( ) + y 8 y 8 y Solución: ; y +y 8 6y 6 +y y 8 Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

51 Soluciones a los ejercicios y problemas Resuelve los siguientes sistemas aplicando dos veces el método de reducción: y 7 a) + 7y 96 8,6 +,y b) y Pág. a) 7 y y 8 7y 9 8 y 0y 9 + 0y Solución: 7, y b) y 7 0,y 07 8,y 8 8 y 0 0, + 6,8y 6,8y 8, 9 8 Solución:, y 0 verigua cuál de los siguientes sistemas no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones: + y y a) 7 6y + y b) 7 y y + y a) Tiene infinitas soluciones. +6y y b) No tiene solución. y 7 Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

52 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: + (y + ) + y a) b) 7 + y + y Pág. ( + ) + (y + ) 8 a) 8 6(7 ) ( y) 6 +y 6 +9y 6 y 6 y 8y 0 8 y Solución: 0, y ( + ) y + y 8 + y 8 b) 8 + +y + 9 +y +y y Solución:, y 7 Resuelve. y y a) b) + y y + y y 0 + y + y 0 c) d) y y 0 ( y) y 8 y a) (y ) + y 8 y 6y +9 +y 0 8 y 6y + 0 y y y ± + 0 y y 6 Soluciones:, y ;, y y b) ( y)y +y 8 y y +y 8 y y + 0 y ± y 8 0 y 8 Soluciones: 0, y ;, y y c) ( ) ( ) Si 8 y Si 8 y 6 Soluciones:, y ;, y y 8 y 8 ± Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

53 Soluciones a los ejercicios y problemas y d) 9 ( + ) ( ) y 8 y ( ) Soluciones:, y ;, y Pág. 8 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción y comprueba que tienen cuatro soluciones: a) + y b) + y y 9 y c) + y + + y d) + y y + y 8 y a) c) ± Si 8 + y 8 y 6 8 y ± Si 8 + y 8 y 6 8 y ± Soluciones:, y ;, y ;, y ;, y b) +y y ± Si y 8 y 8 y ± Si y 8 y 8 y ± Soluciones:, y ;, y ;, y ;, y + y y 9 + y + + y y + y ± + 0 ± 6 Si y 6 + y 8 y + y 0 ± + 8 y ± Si 8 + y + +y 8 y + y 0 8 y Soluciones: 6, y ; 6, y ;, y ;, y Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

54 Soluciones a los ejercicios y problemas d) + y y ( +) 0 8 Si 8 + y y 8 No tiene solución. Pág. Inecuaciones 9 Resuelve las siguientes inecuaciones: a) + 7 < b) Ì 9 c) Ì + d) Ó 9 a) < 8 < Solución: ) b) Ì 9 8 Ì 6 8 Ó 6 Solución: [ 6, +@) c) Ó 8 Ó Solución:, +@ [ ) d) Ó 9 8 Ó 8 Ì 8 Ì Solución: ] 0 Resuelve. a) 7 < + b) + + Ó c) ( ) < d) < 0 a) 7 < + 8 < 8 > 8 > Solución: (, +@) b) Ó Ó 6 Solución: [ 6, +@) c) < 8 < 0 8 > 0 8 > Solución: (, +@) d) + < 0 8 < 0 8 < Solución: ) Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

55 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla las soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones: > 0 Ì + a) b) + > Ó < < 6 8 c) d) < < Pág. a) > 0 8 > 8 < + > 0 8 > Solución: (, ) b) Ì + 8 Ì 8 Ì +6 Ó + 8 Ó No tiene solución. + < 8 + < 8 < 8 8 > 8 c) < 8 < 6 8 < 8 > 8 Solución: (8, +@) d) + 9 < 9 8 < 0 8 < 0 < 8 < 8 < / 0 / Solución: 0) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) Ì 0 b) 9 > 0 c) < 0 d) + > 0 a) Ì ( + )( ) 0 No Sí No Solución: [, ] Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

56 Soluciones a los ejercicios y problemas b) 9 > ( + )( ) 0 Pág. 6 Sí No Sí Solución: ) «(, +@) c) < ( ) 0 0 No Sí 0 No Solución: (0, ) d) + > ( + ) 0 0 Sí No 0 Sí Solución: ) «(0, +@) Resuelve las siguientes inecuaciones: a) ( )( ) < 0 b)( + )( ) > 0 c) ( )( + ) Ó 0 d)( ) Ì 0 a) ( )( ) < 0 ( )( ) 0 No b) ( + )( ) > 0 ( + )( ) 0 Sí No Solución: (, ) Sí No Sí Solución: ) «(, +@) Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

57 Soluciones a los ejercicios y problemas c) ( )( + ) Ó 0 ( )( + ) 0 Pág. 7 No Sí No Solución: [, ] d) ( ) Ì 0 ( ) 0 Sí 0 No 0 Sí Solución: 0] «[, +@) Traduce a lenguaje algebraico: a) La mitad de un número menos 0 unidades es menor que 7. b)si a los tres cuartos de un número le resto, obtengo más que si a su mitad le sumo. c) El producto de dos números consecutivos no supera a 8. d)el perímetro de un rectángulo cuya base mide cm más que la altura es menor que 0 m. a) 0 < 7 b) > + c) ( +)Ì8 d) +6 < 0 PÁGIN 76 P IENS Y RESUELVE Resuelve estas ecuaciones de grado superior a dos en las que puedes despejar la incógnita: a) 6 0 b) 6 0 c) d) a) Solución: b) ± 6 ± Soluciones:, Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

58 Soluciones a los ejercicios y problemas c) Solución: Pág. 8 d) ± Soluciones:, 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + b) 9 6 c) d) a) ( ) + ( + ) ± ± 6 6 Solución: 8 No vale. / b) ( 9) 6 ( + ) ± ± Solución: 8 No vale. c) ( )( + ) ( + +) Soluciones: 0, d) + +( + )( ) ± Soluciones:, Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

59 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Resuelve. a) + 7 b) + c) + 6 d) + + Mira los ejercicios resueltos de la página 6. a) ± 9 ± 7 6 Comprobación: ? 8 No vale. Solución: 6 b) ( ) (6 ) ± 8 9 Comprobación: ? 8 No vale. 8 + Solución: c) (8 ) ( ) ± /9 8 Comprobación: ? 8 No vale Solución: d) Comprobación: 0 8 0? 8 No vale. 8 6 Solución: Pág. 9 Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

60 Soluciones a los ejercicios y problemas 8 Resuelve. a) (9 )( ) b) 0 c) d) Pág. 0 a) (9 )( ) ; 9 ( ) b) Soluciones:,, No tiene solución. La solución es. c) d) Soluciones: ; ; ± 6 / / Soluciones:,, Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

61 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Resuelve y comprueba las soluciones. + y + a) b) y 0 + y + y Pág. y + y + c) y + d) + y y y y a) y + y ( ) + ( ) ± 8 y + 8 y Soluciones:, y ;, y b) 0y +0 y 8 0y + 0( y) ( y)y y 0y y y y 8 y y y Si y 8 8 Si y 8 Soluciones:, y ;, y y c) y + + y 8 y y + + y 8 (y ) + y 8 8 y 6 8 y Solución:, y + y + d) 8 y y ( ) ( + ) +8 + ( ) ± 9 8 Si 8 y Si 8 8 y 6 Soluciones:, y ; 8, y ± 7 / Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

62 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Resuelve. y y a) b) + y y 6 8 y + y c) d) 9 ( + y) y y a) + ( ) 8 + Hacemos el cambio z 8 z z z ± 6 Si z 8 y 8 y Si z 9 8 y 8 y Soluciones:, y ;, y ;, y ;, y 9 Pág. y b) 70 Cambio: z 8 z 6z z 6 ± 6 Si z y 6 8 y Soluciones: 6, y ; 6, y ( ) (no vale) y c) ( + + ) 8 ( ) Hacemos el cambio z: z 7 ± 7 7z z 6 7 ± 6 Si z 6 8 y 8 y Si z 8 y 8 y Soluciones:, y ;, y ;, y ;, y Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

63 Soluciones a los ejercicios y problemas d) y + ( ) Pág. Cambio: z 9z 8 ± 6 7 8z z 8 ± /9 Si z 9 8 y / 8 y / Si z 9 / 8 y / 8 y Soluciones:, y ;, y ;, y ;, y Resuelve. y a) b) + y + 0 y + + y y 0 y a) ( + ) Si 9 8 y Solución: 9, y b) + y + 0 y + y 0 + y 0 8 y (lo sustituimos en la. a ecuación) + ( ) ( + ) 0 Si 0 8 y 0 Si 8 y Soluciones: 0, y 0;, y 0 / Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

64 Soluciones a los ejercicios y problemas Resuelve las siguientes inecuaciones: a) < + b) + > c) ( +) ( ) + Ó 0 d)( ) ( ) Ì ( + ) a) ( 6) + ( + 8) < ( +) < < 8 8 < Solución: ) b) ( ) 6( + ) > ( + 7) ( +) 6 6 > > < 7 8 < Solución: ) c) Ó 0 + Ó 0 8 Ó 8 Ó Solución: [, +@) d) +9 Ì Ì 6 8 Ó 6 8 Ó Solución: [, +@) Pág. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) + > 0 b) 0 Ì 0 c) < 0 d) + 9 Ó 0 a) + > 0 ± ± Sí No Sí Solución: ) «(, +@) b) 0 Ì 0 ± No Sí No Solución: [, ] c) < 0 ± ± 6 No Sí No Solución: (, ) Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

65 Soluciones a los ejercicios y problemas d) + 9 Ó 0 9 ± ± Sí No / Sí / Solución: ] «, +@ [ ) Pág. Resuelve. a) + Ó 0 b) + + Ì 0 c) 7 > d) < a) + Ó 0 ± ± No Sí No Solución: [, ] b) + + Ì 0 ± ± Sí No Sí Solución: ] «[, +@) c) 7 > 8 > 0 ± ± 7 Sí No Sí Solución: ) «(, +@) d) < < < ± ± No Sí 7/6 No 7/6 Solución:, 7 ( 6) Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

66 Soluciones a los ejercicios y problemas Resuelve las inecuaciones siguientes: a) ( + ) ( ) < b)( + ) ( + ) + > 0 c) 9 < a) + + < < 0 ± ± 7 No Sí / No Solución:, ( ) / Pág. 6 b) > > 0 ± ± 9 Sí No / Sí ( / ) «(, +@) c) 7 + < < < 0 ± ± 9 No Sí 7 No Solución: ( 7, ) 6 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: < + > 6 a) b) < + < a) + < 8 < 8 > 6 < < 8 > 9/ 9/ Solución: (, +@) b) + + > 7 8 > 8 8 > + 8 < < 8 8 < Solución: (, ) Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

67 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 lgunas inecuaciones no tienen solución y otras tienen por solución cualquier número. usca entre las siguientes las que son de estos tipos. a) + > b) + + < 0 c) + 7 < d) + + > 0 a) + > 8 > Solución: +@) b) + + < 0 No tiene solución. c) + 7 < 8 +7 < 0 No tiene solución. d) + + > 0 8 ( +) > 0 Solución: +@) Pág. 7 8 Comprueba que estos dos sistemas de inecuaciones no tienen solución. + < < 6 a) b) + + < < 7 a) < < 9 8 < + < 8 < 8 > No tiene solución. b) + < 8 < 8 + < 7 8 < 6 8 > 8 No tiene solución. PÁGIN 77 Problemas de ecuaciones y sistemas de ecuaciones 9 Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 60 por días y 00 km, y otro pagó 7 por días y 00 km. verigua cuánto cobran por día y por kilómetro. días y kilómetros recorridos + 00y y y y 00y 7 8 y 0, + 0, La empresa cobra 0 por día y 0, por cada kilómetro recorrido. Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

68 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Un inversor compra dos cuadros por 60. l cabo de dos años, los vende por ganando en uno de ellos un 0% y en el otro un %. Cuánto le costó cada cuadro? + y 60, +,y 60 y,( 60 y) +,y ,0y 8 y El valor de los cuadros es de 0 y de 0. Pág. 8 Un joyero tiene dos lingotes de oro, uno con un 80% de pureza y otro con un 9%. Cuánto debe fundir de cada uno para obtener un lingote de kg con un 86% de pureza? 0,8 + 0,9y 0,86( + y) + y 8 y 0,8( y) + 0,9y 0,86( y + y) 8 0,8y + 0,9y, 8 8 0,y 0, 8 y 8 Debe fundir kg del de 80% de pureza con kg del lingote que tiene un 9% de pureza. Un comerciante compra dos motocicletas por 000 y las vende por 0. Calcula cuánto pagó por cada una si en la venta de la primera ganó un % y en la de la segunda perdió un 0%. + y 000, + 0,9y 0 y 000, + 0,9( 000 ) 0, , , y Por una pagó 800, y por la otra, 00. Por la mezcla de kg de pintura verde y kg de pintura blanca he pagado 69. Calcula el precio de un kilogramo de pintura blanca y de pintura verde sabiendo que si mezclase un kilogramo de cada una el precio de la mezcla sería. + y 69 + y +y 69 y 8 y 8 y La pintura verde cuesta el kilogramo, y la blanca,. Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

69 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla las dimensiones de un rectángulo del que conocemos su perímetro, m, y su área, 60 m. y + y 7 y 60 7 ± ± 7 Si 8 y Si 8 y Las dimensiones del rectángulo son m y m. y 7 (7 ) Pág. 9 Un triángulo isósceles mide cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 8 cm. Calcula los lados del triángulo. 8 cm y + y y 6 y + ( ) cm y 0 cm Los lados iguales miden 0 cm, y el lado desigual, cm. 6 El área total de un cilindro es π cm, y entre el radio y la altura suman cm. Halla su volumen. h R πrh + πr π R + h πrh + πr 6π 8Rh + R 6 h R R( R) + R 6 8 R R + R 6 8 R cm h 0 cm V CILINDRO πr h π 0 60π cm 7 Si el lado de un cuadrado aumenta cm, su área se multiplica por. Cuál era el lado inicial del cuadrado? ( +) ± ± / no vale La longitud del lado inicial es de cm. Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

70 Soluciones a los ejercicios y problemas 8 Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 8 cm y la hipotenusa es cm menor que la suma de los dos catetos. Calcula el cateto desconocido. Pág cm ( + ) Los catetos miden cm y 8 cm, y la hipotenusa, cm. 9 El perímetro de un triángulo rectángulo es 6 m y un cateto mide cm menos que el otro. Halla los lados del triángulo. +( ) + ( ) ± ± 6 8 No vale. Hipotenusa +9 Los catetos miden cm y 9 cm, y la hipotenusa, cm. 0 Una persona tarda horas más que otra en hacer el mismo trabajo. Si lo hacen entre las dos, tardan horas. Cuánto tarda cada una por separado? Si una tarda horas en hacer todo el trabajo, en hora hará / de este. + 8 ( + ) + ( + ) ± + ± 8 No vale. Una tarda h, y otra, 6 h. Un grifo tarda el doble de tiempo que otro en llenar un cubo de agua. Si abrimos los dos, el cubo se llena en minutos. Cuánto tarda cada uno por separado? , Uno tarda, minutos, y el otro, 9 minutos. Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

71 Soluciones a los ejercicios y problemas Un grupo de amigos alquila una furgoneta por 90 para hacer un viaje. última hora se apuntan dos más y así se devuelven 8 a cada uno de los otros. Cuántos fueron de ecursión y cuánto pagó cada uno? 8 número de amigos y 8 cantidad que paga cada uno y 90 ( + )(y 8) 90 y 90 y 8 +y y 6 0 Pág. y 90 y 8 + (8 + ) ± + ± 7 8 No vale. l principio eran amigos. hora son : 7 70 Son 7 amigos y cada uno paga 70. Un comerciante quiere vender por los ordenadores que tiene en su almacén. Pero se le estropean dos y tiene que vender los otros 0 más caros para recaudar lo mismo. Cuántos ordenadores tenía y a qué precio los vendió? 8 número de ordenadores y 8 precio de cada ordenador y ( )(y + 0) y y + 0 y y 00 0 y y 0 0 ( 0) y 0 ± ± 98 0 (hora serán 8 ordenadores). 8 No vale : 8 0 Vende 8 ordenadores a 0 cada uno. PÁGIN 78 Un transportista va a una ciudad que está a 00 km de distancia. l volver, su velocidad media ha sido superior en 0 km/h a la velocidad de ida, y ha tardado una hora menos. Calcula las velocidades y los tiempos empleados a la ida y a la vuelta. vt 00 (v + 0)(t ) 00 vt + 0t v 0 00 Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

72 Soluciones a los ejercicios y problemas vt 00 0t v 0 0 (0t 0)t t 0t t t 0 0 v 0t 0 Pág. ± + 0 t ± 6 No vale. 00 : 6 0; 00 : 60 la ida va a 0 km/h y tarda 6 horas. la vuelta va a 60 km/h y tarda horas. Tenemos una parcela rectangular. Si su base disminuye en 80 m y su altura aumenta en 0 m, se convierte en un cuadrado. Si disminuye en 60 m su base y su altura aumenta en 0 m, entonces su área disminuye en 00 m. Cuáles son las dimensiones de la parcela? 80 y + 0 y 80 y + 0 ( 60)(y + 0) y 00 y + 0 y 60y y 00 60y + 0(y + 0) y y La parcela tiene 60 m de base y 0 m de altura. 6 Halla las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide m, y su área, 60 m. + y y 60 y 60/ Cambio: z z 69 ± z z 69 ± 9 z 8 8 y z 8 8 y Las dimensiones del rectángulo son m y m. Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

73 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 El lado de un rombo mide cm, y su área, cm. Calcula la longitud de sus diagonales. Pág. cm cm y cm y + y y (cambio z) z z + 0 ± 9 z ± z y z y Las diagonales del rombo miden 6 cm y 8 cm. 8 La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 8 unidades, el número resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Cuál es ese número? Número 8 y Número inverso 8 8 y + 0 y 8 + 0y + y 8 y y 8 y 9y + 9(8 y) y 90 8 y y 8 El número es el. Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

74 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Las dos cifras de un número se diferencian en una unidad. Si dividimos dicho número entre el que resulta de invertir el orden de sus cifras, el cociente es,. Cuál es el número? Número 8 y 8 y + 0 Número inverso 8 +0y y 0 + y, 0y + y + 0(y + ) + y,(0y + y + ) Pág. 0y y y +,y +, 8,y 8,8 8 y 8 El número buscado es el. 60 Halla el radio y la generatriz de un cono que tiene cm de altura y cuya área lateral es de 6π cm. cm y y πy 6π y Cambio: z z + z ± z ± 6 80 No vale. z y El radio del cono mide 8 cm, y la generatriz, 7 cm. Problemas de inecuaciones 6 En un eamen de 0 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0, puntos por cada fallo. Cuántas preguntas hay que contestar bien para obtener como mínimo 0 puntos, si es obligatorio responder a todas? ciertos 8 ; fallos 8 0 0,(0 ) Ó , Ó 0 8, Ó 60 8 Ó Hay que responder bien, como mínimo, a preguntas. Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

75 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 El producto de un número entero por otro, dos unidades mayor, es menor que 8. Cuál puede ser ese número? ( ) < < < 0 ± ± 6 Pág. No Sí No (, ) El número puede ser:,,, 0 ó. 6 Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos más de. Qué podemos decir de ese número? > 8 > 0 ± ± Sí No Sí El número está en ) «(, +@), es decir, puede ser menor que o mayor que. 6 Un grupo de amigos han reunido 0 para ir a una discoteca. Si la entrada cuesta 6, les sobra dinero, pero si cuesta 7, les falta. Cuántos amigos son? 6 < 0 7 > 0 < 8, > 7, El precio de la entrada está entre 7, y 8,. Puede ser 7,0 u 8. 6 Cuántos kilos de pintura de, /kg debemos mezclar con 6 kg de otra de /kg para que el precio de la mezcla sea inferior a /kg?, + 6 < 8, + 0 < < 0, 8 > +6 Hay que mezclar más de kg de la pintura de, /kg. Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

76 Soluciones a los ejercicios y problemas 66 Dos ciudades y distan 60 km. De cada una de ellas sale un coche a la misma hora. Si el que sale de lleva una velocidad de 7 km/h, qué velocidad puede llevar el otro para que tarden en encontrarse menos de una hora, respetando la limitación de 0 km/h que marca la ley? Pág. 6 7 km/h? t e. Se acercan, el uno al otro, a una velocidad v + 7. v 60 < v +7 v Ì 0 60 < v v > 8 v Ì 0 60 km La velocidad debe ser mayor que 8 km/h y no superar los 0 km/h. PÁGIN 79 R EFLEXION SORE L TEORÍ 67 Cómo se puede saber si una ecuación de segundo grado, a + b + c 0, tiene dos, una o ninguna solución, sin resolverla? Estudiando el signo del discriminante. Si b ac > 0 tiene dos soluciones. Si b ac 0 tiene una solución. Si b ac < 0 no tiene solución. 68 Determina para qué valores de k, la ecuación k 0: a) Tiene solución única. b)tiene dos soluciones. c) No tiene solución. b ac ( 6) 9 k 6 6k a) 6 6k 0 8 k (solución única) b) 6 6k > > 6k 8 k < (dos soluciones) c) 6 6k < < 6k 8 k > (no tiene solución) 69 Una de las soluciones de la ecuación + + k 0 es. Calcula k y la otra solución. + + k ( + k 0 8 k 6 ) ± + 8 / ± 7 La otra solución es, y k 6. Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

77 Soluciones a los ejercicios y problemas 70 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean y. Por ejemplo: ( ) ( ) Pág. 7 7 Cuántas soluciones puede tener una ecuación bicuadrada? Comprueba tu respuesta resolviendo estas ecuaciones: a) b) 0 c) 6 0 d) + 0 e) f) + 0 Puede tener,,, o ninguna soluciones. a) Cambio z z 0 ± z z 0 ± 8 z 9 8 ± z 8 ± Cuatro soluciones:,, y 9 b) 0 8 ( ) 0 Tiene tres soluciones: 0, y 0 8 ± c) ( no vale) 8 ± Tiene dos soluciones: y d) ( + ) 0 Tiene una solución: No tiene solución. e) Cambio z z ± z z No tiene ninguna solución. ± No vale. No vale. f) Cambio z z ± 6 6 z z z 8 ± Tiene dos soluciones: y Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

78 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Observa la representación gráfica de las rectas y e y. Contesta sin hacer operaciones: para qué valores de es Ó? Para Ó, es decir, en el intervalo [, +@). y y Pág. 8 7 Observa la representación de la recta y y la de la parábola y. y y Responde sin hacer operaciones: Para qué valores de es <? Para < <, es decir, en el intervalo (, ). P ROFUNDIZ 7 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: y 0 z a) z 6 b) + y 7 y + z + y z a) y 0 z 6 y + z y y z 6 y + z y 6 + z 6 + z + z 8 z 8 z y 6 + ( ) ; Solución:, y, z b) z + y 7 + y z z + z +8 +y 7 z + +y z y z z + z 0 8 z 8 z y z ; z + Solución:, y, z Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

79 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Un deportista está en, en el mar, a 0 m de la playa D, que mide 0 m. Pág. 9 0 m C 0 D Para ir hasta el etremo D, nada hasta C con una velocidad de 0 m/min y camina de C a D a 90 m/min. Calcula las distancias que recorrió nadando y andando, si el tiempo que empleó en total fue de 0 minutos. t e v Llamamos: tiempo andando t a 0 90 tiempo nadando t n C t a + t n 0 minutos ( 0 ) ( 00 + ) ± ± / No vale. ndando: m Nadando: m 76 Un barco hace un servicio regular entre dos ciudades, y, situadas a la orilla de un río. Cuando va de a en sentido de la corriente del río tarda horas y a la vuelta tarda horas. Cuánto tardará un objeto que flota en ir desde hasta? Llama v a la velocidad del barco y v' a la de la corriente. VELOCIDD DISTNCI TIEMPO ID v + v' d VUELT v v' d OJETO QUE FLOT v' d t v + v' v v' Elimina v entre las dos primeras ecuaciones y sustituye v' en la tercera. sí obtendrás t. t d v' d d Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

80 Soluciones a los ejercicios y problemas d v + v' d v v' d v + v' d v + v' v' d 8 v' d t d d v' d/ El objeto tardará horas en ir desde hasta. Pág Subo una colina a una velocidad de km/h y pretendo que la velocidad media entre el ascenso y el descenso sea de 6 km/h. qué velocidad debo descender? SUID: v e 8 e 8 t e t t JD: v' e 8 t' e t' v' V MEDI 6 e e e ev' 8 t + t' e e ev' + e + ev' +e v' v' 8 (ev' + e) ev' 8 ev' +e ev' 8 ev' e 8 v' e e Debe descender a km/h. 78 Una ambulancia recibe el aviso de un accidente de tráfico y sale del hospital hacia el punto a una velocidad de 60 km/h. La vuelta al hospital la hace escoltada por la policía y consigue hacerla a 00 km/h. Cuál fue la velocidad media del recorrido? ID: e 60t 8 t e 60 VUELT: e 00t' 8 t' e 00 V MEDI e e e 00e 7 t + t' e e 60e + 60e La velocidad media del recorrido fue de 7 km/h. Unidad. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

81 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 96 Pág. P RCTIC Interpretación de gráficas Pepe y Susana han medido y pesado a su hijo, David, cada mes desde que nació hasta los meses. Estas son las gráficas de la longitud y del peso de David en función de la edad: LONGITUD (cm) EDD (meses) PESO (kg) EDD (meses) a) Cuánto medía y pesaba David cuando nació? b) Cuánto creció David los seis primeros meses? Y de los seis a los veintiún meses? En qué meses fue mayor su crecimiento? c) Cuánto aumentó de peso David los dos primeros meses? Y del mes al mes 8? d) Cuánto pesaba David cuando medía 80 cm? Qué edad tenía entonces? a) l nacer, David medía cm y pesaba, kg. b) En los seis primeros meses creció, aproimadamente, 0 cm. De los meses 6 a creció, aproimadamente, 8 cm. Su crecimiento fue mayor en los dos primeros meses. c) Los dos primersos meses aumentó su peso, kg. Del mes al mes 8 aumentó su peso, aproimadamente, 00 gramos. d) Cuando David medía 80 cm tenía meses y a esa edad pesaba, kg. Unidad. Funciones. Características

82 Soluciones a los ejercicios y problemas Esta es la gráfica de la evolución de la temperatura de un enfermo: Pág TEMPERTUR ( C) TIEMPO (días) 6 7 a) Cuánto tiempo estuvo en observación? b) En qué día la temperatura alcanza un máimo? Y un mínimo? c) En qué intervalos de tiempo crece la temperatura y en cuáles decrece? d) Qué tendencia tiene la temperatura? e) Elabora un pequeño informe interpretando tus resultados. a) Estuvo en observación 7 días. b) El segundo día la temperatura alcanzó un máimo. El quinto día la temperatura alcanzó un mínimo. c) La temperatura crece en (, ) «(;,). La temperatura decrece en (;,) «(,; ). d) La temperatura tiende a estabilizarse en torno a los 6, C. e) Durante el primer día de observación, la temperatura del paciente se mantiene constante en 6, C. lo largo del segundo día sube hasta alcanzar, al final del día, una temperatura máima de 9, C. El tercer día, comienza a bajar hasta situarse en 9 C a la mitad del día. Permanece constante en esos 9 C hasta mediodía del día siguiente (cuarto día de la observación). partir de este momento baja paulatinamente hasta que se sitúa, al final del quinto día, en una temperatura mínima de 6 C. En el inicio del día seto, la temperatura sube medio grado y, a partir de ahí, se estabiliza en 6, C hasta el final del séptimo día, momento en el que finaliza la observación. Hemos sacado de la nevera un vaso con agua y lo hemos dejado sobre la mesa de la cocina. Esta gráfica muestra la temperatura del agua en grados centígrados al pasar el tiempo. 6 TEMPERTUR ( C) 8 TIEMPO (min) Unidad. Funciones. Características

83 Soluciones a los ejercicios y problemas a) qué temperatura está el interior de la nevera? b) qué temperatura está la habitación? c) Imagina que en ese mismo momento sacamos del microondas un vaso con agua a 98 C y lo dejamos sobre la mesa. Dibuja una gráfica aproimada que muestre la temperatura del agua en este segundo vaso al pasar el tiempo. a) El interior de la nevera está a C. b) La habitación está a C. c) TEMPERTUR (ºC) 98 Pág. 0 0 TIEMPO Gráficas, fórmulas y tablas Un nadador se deja caer desde un trampolín. Su entrenador ha medido el espacio que recorre cada cuatro décimas de segundo mediante un método fotográfico. Obtiene la siguiente tabla: TIEMPO (s) 0 0, 0,8,,6, ESPCIO (m) 0 0,78, 7,0,,8 6,6 El nadador se ha detenido a los 7 metros. a) Representa la gráfica espacio-tiempo. b) Sabrías decir en qué momento entró en el agua? c) Qué velocidad estimas que llevaba en el momento de entrar en el agua? d) Qué altura tiene el trampolín? a) ESPCIO (m) , 0,8,,6, TIEMPO (s) Unidad. Funciones. Características

84 Soluciones a los ejercicios y problemas b) Entró en el agua a los,6 segundos de haber saltado. c) Estimamos la velocidad calculando la T.V.M. en el intervalo [,;,6]: T.V.M. [,;,6], 7,0,,6,6, 0, Estimamos que la velocidad era de,6 m/s. d) El trampolín tiene unos m de altura. Pág. PÁGIN 97 Representa la función y + definida en [, ]. Para ello, completa la tabla: 0 y Cuál es el recorrido de la función? 0 0 Y y Recorrido [0, 0] X 6 Tres deportistas han estado nadando durante media hora. Su entrenador ha medido las distancias recorridas cada minutos y ha obtenido los siguientes datos: TIEMPO (min) DISTNCI (m) DISTNCI (m) DISTNCI C (m) a) Dibuja la gráfica que relaciona la distancia y el tiempo de cada nadador y descríbelas. Unidad. Funciones. Características

85 Soluciones a los ejercicios y problemas b) Ha habido algún adelantamiento durante la media hora? c) Calcula la velocidad media de cada uno en todo el recorrido. d) Cuál es el dominio y el recorrido de cada una de las tres funciones? a) DISTNCI (m) TIEMPO (min) Pág. b) No ha habido ningún adelantamiento. c) V m () 00 6,67 m/min 0 V m () 00 0 m/min 0 V m (C) 600, m/min 0 d) Dom Dom Dom C [0, 0] Rec [0, 00] Rec [0, 00] Rec C [0, 600] 7 Cuando una persona sana toma 0 g de glucosa en ayunas, su glucemia (% de glucosa en la sangre) se eleva, en una hora aproimadamente, desde 90 mg/dl, que es el nivel normal, hasta 0 mg/dl. Luego, en las horas siguientes, disminuye hasta valores algo por debajo del nivel normal, y vuelve a la normalidad al cabo de horas. a) Representa la curva de glucemia de una persona sana. b)di cuál es su máimo, su mínimo y eplica su tendencia. a) GLUCEMI (mg/dl) TIEMPO (horas) b) El máimo es de 0 mg/dl al cabo de h de iniciar la toma. El mínimo está ligeramente por debajo de 90 mg/dl y se alcanza a las h de iniciar la toma. La tendencia de la función es 90 mg/dl (tener la glucemia en un nivel normal). Unidad. Funciones. Características

86 Soluciones a los ejercicios y problemas 8 La intensidad del sonido de un foco sonoro es menor a medida que nos alejamos de él. a) Representa la intensidad del sonido en función de la distancia al foco sonoro. b) Cuál es la tendencia? a) Una posible gráfica es: INTENSIDD Pág. 6 DISTNCI b) La tendencia de la función es cero: la intensidad del sonido es prácticamente nula a medida que nos alejamos del foco. P IENS Y RESUELVE 9 Un triángulo isósceles tiene 0 cm de perímetro. Llama al lado desigual e y a los lados iguales. a) Haz una tabla de valores y, a partir de ella, escribe la función que nos da el valor de y dependiendo de. b) Cuál es su dominio de definición? c) Escribe la función que nos da el valor de dependiendo de y. a) y b) Dom y (0, 0) c) +y y y 0 0 Determina el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y b)y c) y d)y e) y f) y + 6 a)? 0 8? Dom y ) «(, +@) Á {} b) + 0? 0 8? 0 8? Dom y ) «(, +@) Á { } c) +? 0 para cualquier valor de Dom y Á Unidad. Funciones. Características

87 Soluciones a los ejercicios y problemas d)? 0 8? 0 Dom y 0) «(0, +@) Á {0} e) ± + + 6? 0 ± Dom y ) «(, ) «(, +@) Á {, } Pág. 7 f)? 0 8 ( )? 0 8? 0 y? Dom y 0) «(0, ) «(, +@) Á {0, } Determina el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y + 7 b)y c) y 9 d)y e) y f) y + a) + 7 Ó 0 8 Ó 7 Dom y [ 7, +@) b) Ó 0 8 Ì Dom y ] c) 9 Ó 0 8 Ó 9 8 Ó Dom y [, +@) d) Ó 0 8 Ì 0 Dom y 0] e) Dom y Á f) + Ó 0 8 Ó 8 Ó Dom y [, +@) Resuelto en el libro de teto. PÁGIN 98 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y 9 b)y c) y d)y e) y f) y + a) 9 Ó ( + )( ) 0 Sí No Dom y ] «[, +@) Sí Unidad. Funciones. Características

88 Soluciones a los ejercicios y problemas b) Ó Sí No Sí Pág. 8 6 ± ± Dom y 7] «[, +@) c) Ó 0 para cualquier valor de. Dom y Á d) < 0 para cualquier valor de? 0. solo tiene sentido para 0. Dom y {0} e) Ó 0 ( )( + ) Ó 0 Dom y [, ] No Sí No f) + Ó ± ± No Sí No Dom y [, ] Observa esta función dada gráficamente: Calcula su T.V.M. en los intervalos [0, ], [0, ], [, 7], [0, 7], [, 0] y [, ]. Copia en tu cuaderno la gráfica y dibuja en cada caso el segmento del cual estás hallando la pendiente. 6 6 Y X Y 6 6 X T.V.M. [0, ] + T.V.M. [0, ] + T.V.M. [, 7] 0 7 T.V.M. [0, 7] T.V.M. [, 0] T.V.M. [, ] Unidad. Funciones. Características

89 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla la T.V.M. de la función: y en los intervalos [, 0], [, 0], [, ], [0, ]. T.V.M. [, 0] T.V.M. [, 0] T.V.M. [, ] T.V.M. [0, ] Pág. 9 6 La posición de una partícula viene dada por la función: s (t 8t +8t ) Calcula la velocidad media de dicha partícula en los intervalos [, ], [, ], [, ], [, ]. T.V.M. [, ] 6 T.V.M. [, ] / T.V.M. [, ] 7/ / T.V.M. [, ] 7/ 7 De cada una de las siguientes funciones di: a) En qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente. b)cuáles son sus máimos y sus mínimos relativos. I Y II Y X X a) I II crece en (, ) «(, +@). Decrece en ) «(, ). crece en ) «(0, ). Decrece en (, 0) «(, ) «(, +@). b) I II Mínimos relativos en los puntos (, ) y (, ). Máimo relativo en el punto (, ). Mínimo relativo en el punto (0, ). Máimos relativos en los puntos (, ) y (, ). Unidad. Funciones. Características

90 Soluciones a los ejercicios y problemas 8 La gráfica adjunta describe el valor de una empresa desde que abrió. Responde: a) Cuál era su valor en el momento de la apertura? b) cuánto se redujo su valor después de meses? c) Cuál es la T.V.M. en el intervalo [, ]? Da el resultado en miles de euros por mes. d) Cuál es la T.V.M. en [, ] y en [, 0]? e) Esta función tiene un máimo y dos mínimos relativos. Descríbelos. f) Cuál parece la tendencia de esta función para los próimos meses? g) Haz una descripción global del valor de esta empresa en sus tres primeros años. Pág. 0 VLOR (millones de euros) TIEMPO (meses) a) El valor de la empresa en el momento de la apertura era de b) Después de meses su valor se redujo a c) T.V.M. [, ] /mes d) T.V.M. [, ] /mes T.V.M. [, 0] /mes 0 e) Máimo relativo en (, ) Mínimos relativos en (, ) y (, ) f) Parece que el valor de la empresa, para los próimos meses, tiende a g) El valor de la empresa tiene un brusco descenso en los cuatro primeros meses. partir de aquí crece rápidamente durante 8 meses y tiene una ligera caída en los dos meses siguientes. partir del mes. crece rápidamente durante otros 6 meses y después cada vez más despacio. Su precio se aproima a Unidad. Funciones. Características

91 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Es periódica esta función? Cuál es su periodo? Pág. Y X verigua los valores de la función en los puntos de abscisas,, 0, y. La función es periódica de periodo. f() ; f(),; f(0) f(0) ; f() f(),; f() f(), 0 Continúa esta gráfica sabiendo que se trata de una función periódica. Di cuál es su periodo. Y X Y X Su periodo es,. PÁGIN 99 R EFLEXION SORE L TEORÍ Calcula a, b y c para que los puntos (, a), (/, b) y C(0, c) pertenezcan a la gráfica de la función y +. (, a) 8 a + + 7, b 8 b 9 + ( ) ( 6 ) ( ) C(0, c) 8 c 6 6 Unidad. Funciones. Características

92 Soluciones a los ejercicios y problemas Observa la gráfica de la función y responde: Y Pág. X a) Cuáles son su dominio de definición y su recorrido? b) Tiene máimo y mínimo relativos? En caso afirmativo, cuáles son? c) Cuáles son los puntos de corte con los ejes? d) En qué intervalos es la función creciente y en cuáles es decreciente? a) Dominio [, ) Recorrido [, ] b) Tiene un máimo relativo en el punto (, ) y un mínimo relativo en (, ). c) Corta a los ejes en los puntos (0, ) y (, 0). d) Crece en (, ) «(, ). Decrece en (, ). a) Calcula la T.V.M. de la función y en los intervalos [0, ], [, 6], [, ], [0, 7]. b)observa que en todos los intervalos el valor obtenido es igual. Con qué elemento característico de la recta coincide ese valor? c) Generaliza completando la frase: En las funciones lineales, la T.V.M. en cualquier intervalo es igual a. a) T.V.M. [0, ] + T.V.M. [, 6] 9 7 T.V.M. [, ] 7 + T.V.M. [0, 7] + 7 b) Coincide con la pendiente de la recta y. c) En las funciones lineales, la T.V.M. en cualquier intervalo es igual a su pendiente. La epresión analítica de una función es de la forma y a + b + c. Si sabemos que los puntos (0, ), (, ) y C(, ) pertenecen a la gráfica, cuáles serán los valores de a, b y c? (0, ) 8 c (, ) 8 a + b + c a + b C(, ) 8 8a + b a 7 b 8(7 b) + b b + b 8 b 6 8 b a 7 b Los valores buscados son: a, b, c. Unidad. Funciones. Características

93 Soluciones a los ejercicios y problemas Di, razonadamente, si las siguientes frases son verdaderas o falsas: a) Si una función es discontinua en un punto, dicho punto no pertenece al dominio de definición. b)si un punto no pertenece al dominio de definición de una función, esta no puede ser continua en ese punto. c) Una función periódica podemos asegurar que es continua. d)la pendiente de una recta es la T.V.M. de cualquier intervalo de esta. a) Falsa. Una función discontinua por saltos puede estar definida en esos puntos (saltos) de discontinuidad. b) Verdadera. Para que una función sea continua en un punto es necesario que esté definida en él. c) Falsa. No es necesario que una función sea continua para que sea periódica. d) Verdadera. Supongamos que la recta tiene una epresión y m + n. Su pendiente es m. Vamos a calcular la T.V.M. en un intervalo cualquiera [a, b]. T.V.M. [a, b] f(b) f(a) (mb + n) (ma + n) mb ma m(b a) m b a b a b a b a Pág. 6 Dibuja una función periódica de periodo con un máimo relativo en y con un mínimo relativo en 6. Por ejemplo: Y X 7 Las siguientes gráficas corresponden a funciones discontinuas. Relaciona cada función con el motivo de su discontinuidad. I Y X II Y X Y III X Y IV X a) Presenta un salto en un punto. b)tiene un punto desplazado. c) Tiene ramas infinitas. d)le falta un punto. a) I b) IV c) III d) II Unidad. Funciones. Características

94 Soluciones a los ejercicios y problemas 8 Las cuatro gráficas siguientes corresponden a funciones discontinuas. Para cada una de ellas, di: a) Cuáles son los puntos de discontinuidad. Eplica la razón de la discontinuidad en cada punto. b)cuál es su dominio de definición. c) Indica si tiene máimos y mínimos relativos y di cuáles son. d)en qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente. Pág. I Y X Y II X Y III X Y IV X a) I II Discontinua en. Tiene ramas infinitas. Discontinua en. Tiene un punto desplazado. Discontinua en. No está definida en este punto y, además, en él da un salto. Discontinua porque no está definida en ) «(, +@). III Discontinua en porque no está definida. Discontinua en ) «(, +@). No está definida. IV Discontinua en. Tiene ramas infinitas. Discontinua en 0. No está definida y presenta un salto. b) Dom ( I ) ) «(, +@) Dom ( II ) ) «(, +@) Dom ( III ) [, ) «(, ] Dom ( IV ) [, ) «(, 0) «(0, ] c) I II III IV Máimo relativo en (, ). Mínimo relativo en (0, 0). Máimo relativo en (, ). Mínimo relativo en (, ). No tiene ni máimos ni mínimos relativos. Máimo relativo en (, ). Mínimo relativo en (, ). d) I II III IV Crece en ) «(0, ) «(, +@). Decrece en (, ) «(, 0). Crece en ) «(, ) «(, +@). Decrece en (, ). Crece en (, ) «(, ). No decrece. Crece en (, ) «(0, ) «(, ). Decrece en (, 0) «(, ). Unidad. Funciones. Características

95 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 6 Pág. P RCTIC Funciones lineales socia a cada función su ecuación. Di, en cada caso, cuál es su pendiente. a) y + 0 Y b) y c) y 6 X d) y Y b) y 6 d) y X a) y + 0 c) y Pendientes: a) m 0 b) m c) m d) m / Representa las siguientes funciones lineales: a) y b)y 7 c) y + 0 d)y, Y y y 7 y, X + 0 y Resuelto en el libro de teto. Unidad. Funciones elementales

96 Soluciones a los ejercicios y problemas Halla, en cada caso, la ecuación de las rectas que pasan por los puntos y. a) (, 0), (, 0) b)(, ), (, ) c) (0, ), (, 0) d)(0, ), (, ) a) y 0 b) m + ; y + ( + ) 8 y 7 + c) m ; y + 8 y d) m + ; y + 8 y Pág. cuál de las siguientes funciones corresponde la gráfica dibujada? + si Ì Ì + si Ì < 0 f() + si 0 Ì < g() si 0 Ì < si Ì Ì 8 si Ì Ì 8 si < < 0 Y h() si 0 < < 0 si < < 8 Una de las otras dos funciones describe la pendiente de esta gráfica en cada punto. Cuál es? 6 X La gráfica corresponde a la función g(). La función que describe la pendiente de la gráfica en cada punto es h(). 6 Representa las siguientes funciones definidas a trozos: si Ì si < 0 a) y si < Ì b) y + si Ó 0 si > + si < c) y si Ì < si Ó a) b) c) Y Y Y X X X Unidad. Funciones elementales

97 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Escribe la ecuación de la función que corresponde a esta gráfica: Pág. Y X El primer tramo pasa por ( 6, 0) y (, ): m ; y ( + 6) El segundo tramo pasa por (, ) y (, ): m ; y ( + ) 8 y + + El tercer tramo pasa por (, ) y (8, ): m ; y ( ) 8 y si < f() + si Ì Ì 8 + si > PÁGIN 7 Funciones cuadráticas 8 socia a cada una de las gráficas una de las epresiones siguientes: a) y Y b)y ( ) 6 c) y d)y X a) y roja b) y ( ) verde c) y azul d) y 6 +6 amarilla Unidad. Funciones elementales

98 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próimos a él y los puntos de corte con los ejes. a) y ( +) b)y + c) y +6 d)y + Pág. a) Vértice: (, 0) Cortes con los ejes: (, 0) Otros puntos(, ), ( 6, ), (, ), (, ) b) Vértice: (, ) Cortes con los ejes: ( 6, 0), (0, 0) Otros puntos:,,, ( ( ) ) c) Vértice: (, 0) Cortes con los ejes: (, 0) Otros puntos: (0, ), (, ), (, ), (, ) d) Vértice: (0, ) Cortes con los ejes: (0, ), (, 0), (, 0) Otros puntos: (, ), (, ), (, ), (, ) y ( + ) y + y + y + 6 Unidad. Funciones elementales

99 Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) donde se encuentra el vértice de las siguientes parábolas señalando, en cada caso, si se trata de un máimo o un mínimo. a) y b)y c) y + d)y 6 e) y f)y + a) b 0 p 0 a 0 8 y Vértice en el punto (0, ). Es un mínimo. Pág. b 0 b) p 0 a 0 8 y Vértice en el punto (0, ). Es un máimo. b c) p a 8 y Vértice en el punto (, ). Es un máimo. b 6 d) p a 6 8 y Vértice en el punto (, ). Es un mínimo. b 0 e) p a 0 8 y 0 Vértice en el punto (, 0). Es un mínimo. f) b p a 8 y Vértice en el punto (, ). Es un máimo Representa las parábolas del ejercicio anterior. a) y b) c) y d) y Y y 6 Y X X y y + Unidad. Funciones elementales

100 Soluciones a los ejercicios y problemas e) y f) Pág. 6 y Y X y + Otras funciones Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y + b)y c) y d)y y Y y + y y X Dibuja la gráfica de las funciones siguientes: a) y b)y c) y d)y + Y y Y y X X Unidad. Funciones elementales

101 Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7 Y y Y y + X X Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores. (yúdate de la calculadora). a) y b)y + c)y + d)y 0,7 ( ) X X 6 0 0, 0,06 6 0,6 X X +,0, X (/) X + 8,06, 0,, 6, X 0,7 X 0, 0,6 0,8, 6,6 y Y 0 6 y + y (/) + Y y 0,7 8 X 8 X Estudia el dominio de definición de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: a) y b)y 7 + c) y d)y + + a) Dominio ] b) Dominio [, +@) c) Dominio 0] d) Dominio [, +@) y Y y + + y y 7 + X Unidad. Funciones elementales

102 Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Resuelto en el libro de teto. Pág. 8 7 Di cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones y cuáles son sus asíntotas. Represéntalas gráficamente. a) y b)y + + c) y + d)y + y + Y y + Y X X Y y + Y y + X X a) Dominio Á { } b) Dominio Á { } síntotas:, y 0 síntotas:, y 0 c) Dominio Á {} d) Dominio Á {} síntotas:, y síntotas:, y PÁGIN 8 8 socia a cada gráfica la fórmula que le corresponde: I) y II) y III) y IV) y a) Y b) Y I b) c) Y 6 X X d) 6 6 Y X X II III IV c) d) a) Unidad. Funciones elementales

103 Soluciones a los ejercicios y problemas 9 socia a cada gráfica una de estas fórmulas: I) y II) y III) y + IV) y + Pág. 9 a) Y b) Y X 6 X c) Y d) Y X X I d) II b) III a) IV c) 0 socia a cada gráfica una de estas fórmulas: I) y II) y, III) y 0, IV) y 0,7 a 6 b 6 c 8 d Di, de cada una de ellas, si es creciente o decreciente. I d) Creciente II b) Creciente III c) Decreciente IV a) Decreciente Unidad. Funciones elementales

104 Soluciones a los ejercicios y problemas a) Representa las funciones y e y log. b)comprueba si pertenecen a la gráfica de y log los puntos siguientes: (, ) (, ( ; 0,) (, ) 7 ) a) Una es la inversa de la otra. Y y X 0 /9 / 9 Pág. 0 X /9 / 9 log 0 X y log b) Se sabe que y log ï y. Luego: (,) 8 8 log 8 Sí pertenece., 8 8 log 8 Sí pertenece. ( ) ( ; 0,) 8 0, / 8 log 0, 8 Sí pertenece. (, ) 8? 8 (, ) no pertenece a la gráfica de y log. plica la definición de logaritmo para hallar, sin calculadora: a) log 6 b) log 6 c) log d) log e) log 8 f) log g) log h) log 6 a) log b) log c) log 8 8 d) log 8 / 8 e) log f) log 8 8 g) log 8 / 8 h) log Unidad. Funciones elementales

105 Soluciones a los ejercicios y problemas Calcula la base de los siguientes logaritmos: a) log b b) log b c) log b d) log b a) log b b b 00 Pág. b) log b 8 b 8 b c) log b 8 b 8 b d) log b 8 b / 8 b 9 P IENS Y RESUELVE Resuelto en el libro de teto. PÁGIN 9 Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas: y a) 6 y + y b) + y + y c) 8 y y d) + y + (/) y a) 6 y + nalíticamente Vemos los puntos de corte: ± ± 6 8 y 9 8 y Hay dos puntos de corte: (, 9), (, ). Unidad. Funciones elementales

106 Soluciones a los ejercicios y problemas Gráficamente Representamos en unos mismos ejes ambas funciones: Pág. y 6 Puntos de corte con los ejes: 9 (, 9) Eje X: ± + 8 ± ( ), 0 (,8; 0) 7 ( ), 0 ( 0,88; 0) Eje Y: y 6 8 (0, 6) Vértice:, 7 ( 8 ) y + Hacemos una tabla de valores: (, ) X Y 9 y b) + y + nalíticamente Puntos de corte entre ambas: ± 8 y Los puntos de corte son: (, 0), (, ). Gráficamente Representamos en unos mismos ejes ambas funciones: y + Puntos de corte con los ejes: Eje X: ± raíz doble: (, 0) Y Eje Y: y 8 (0, ) Vértice: (, 0) y + Hacemos una tabla de valores: (, ) (, ) X Y 0 (, 0) X Unidad. Funciones elementales

107 Soluciones a los ejercicios y problemas y c) 8 y nalíticamente ( 6) 0 Si 0 8 y Si 6 8 y 6 6 Solución: 0, y ; 6, y 0 6 Pág. Gráficamente Representamos cada una de las parábolas. y 8 Cortes con los ejes: Eje X: y ± 6 ( ) 8 ± 88 ± (,; 0) ( 0,; 0) Eje Y: 0 8 y 8 (0, ) Vértice: (, ) y Cortes con los ejes: Eje X: y ± ( ) ± (, 0) (, 0) Eje Y: 0 8 y 8 (0, ) Vértice: (, ) y Y y 8 6 X y d) + y + (/) nalíticamente + + / 8 / ± 6 ± 6 / 8 8 / Si 8 y Si 8 y 9 Unidad. Funciones elementales

108 Soluciones a los ejercicios y problemas Gráficamente Representamos cada una de las parábolas. y + Cortes con los ejes: Eje X: y ( + ) 0 Eje Y: 0 8 y 0 8 (0, 0) Vértice:, ( ) y + / Cortes con los ejes: Eje X: y ± ± 6 8,6 8 (,6; 0),6 8 (,6; 0) y + (/) Y (0, 0) 8 (, 0) X Pág. Eje Y: 0 8 y / 8 8 (0, /) Vértice:, 9 ( ) y + 6 Comprueba analítica y gráficamente que estos dos sistemas no tienen solución: y y a) b) y y + y a) y RESOLUCIÓN NLÍTIC Resolvemos el sistema: ± 9 ± 8 No hay punto en común 8 No hay solución. Unidad. Funciones elementales

109 Soluciones a los ejercicios y problemas RESOLUCIÓN GRÁFIC Representamos y Puntos de corte con los ejes: Pág. Eje X: ± + ± Eje Y: y 8 0, ( ) Vértice: (, ) Representamos y 8 (, 0) 8 (, 0) Y X X 0 Y y b) y + RESOLUCIÓN NLÍTIC Resolvemos el sistema: + 8 ( + )( ) 8 ( ) 8 + ± No hay puntos en común. No hay solución. ± RESOLUCIÓN GRÁFIC Representamos y X 0 Y / / Representamos y + X 0 Y Y X Unidad. Funciones elementales

110 Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas: y y + a) + b) y + y y a) + y + RESOLUCIÓN NLÍTIC Resolvemos el sistema: ± 6 8 ± ,8 8 y,6,9 8 y,7 0,8,9 Pág. 6 RESOLUCIÓN GRÁFIC Representamos la función y que tiene + una asíntota en y otra en y 0: Y X 0 Y / Representamos la recta y + X X 0 Y y + b) y RESOLUCIÓN NLÍTIC Puntos de corte: ( ) ± ± 8 8 y 8 y 8 no pertenece a y + Solución: (8, ) Unidad. Funciones elementales

111 Soluciones a los ejercicios y problemas RESOLUCIÓN GRÁFIC Para representar y + damos valores: Pág. 7 X 0 8 Y 0 Para representar y, hacemos la tabla de valores: X 8 Y Y (8, ) X 8 Cuál es la ecuación de la función que nos da el perímetro de un cuadrado dependiendo de cuánto mida su lado? Y la que nos da su área? Dibuja ambas funciones. Si l es el lado del cuadrado, P l l Y P l l X 9 Rocío ha comprado un regalo de cumpleaños para Paz que ha costado 00. Como el resto de los amigos del grupo no han comprado nada, deciden pagar el regalo entre todos. Construye una función que nos dé el dinero que debe poner cada uno dependiendo del número de personas que haya y dibújala. Si van a cenar a un restaurante en el que la comida vale 0, cuál será la función del dinero que tiene que poner cada uno, sin incluir a Paz, dependiendo del número de personas que son? Dibújala en los mismos ejes. Di el dominio de definición de ambas funciones teniendo en cuenta que solo toma valores naturales y suponiendo que el número de amigos no supera 0. Si el número de amigos es, é N, la función que da lo que debe pagar cada uno es y 00. Si van a un restaurante, entonces la función es y ( +). Unidad. Funciones elementales

112 Soluciones a los ejercicios y problemas El dominio de definición de ambas funciones es Dom {,,,,, 6, 7, 8, 9, 0} Pág. 8 Y 0 00 y y 0 0 X 0 El médico ha puesto a Ricardo un régimen de adelgazamiento y le ha hecho esta gráfica para eplicarle lo que espera conseguir en las semanas que dure la dieta. 80 PESO (en kg) SEMNS a) Cuál era su peso al comenzar el régimen? b) Cuánto tiene que adelgazar por semana en la primera etapa del régimen? Y entre la 6. a y la 8. a semana? c) Halla la epresión analítica de esa función. a) Ricardo pesaba 80 kg al comenzar el régimen. b),67 kg por semana Entre la seta y octava semana no tiene que adelgazar nada. c) uscamos la ecuación de cada uno de los tramos: Para 0 Ì Ì 6, la pendiente m 0 y n y +80 Para 6 < Ì 8, y 70 Para 8 < Ì, m y pasa por (, 6) y 6 ( ) 8 y +80 Unidad. Funciones elementales

113 Soluciones a los ejercicios y problemas Luego, la epresión analítica de esta función será: y + 80 si 0 Ì Ì 6 70 si 6 < Ì si 8 < Ì Pág. 9 Los gastos anuales de una empresa por la fabricación de ordenadores son: G() en euros Y los ingresos que se obtienen por las ventas son: I() 600 0, en euros Cuántos ordenadores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máimo? La función beneficio es: I G 600 0, ( ) 8 () 0, El vértice es el máimo: V , Se deben fabricar 70 ordenadores para que el beneficio sea máimo. La gráfica de una función eponencial del tipo y ka pasa por los puntos (0, ) y (;,6). a) Calcula k y a. b) Es creciente o decreciente? c) Representa la función. a) Si pasa por el punto (0, ) 8 ka 0 8 k Si pasa por el punto (;,6) 8,6 ka 8,6 a 8 a, Tenemos la función y (,) b) Es una función creciente. c) Hacemos una tabla de valores: X 0 Y,08,,6,,8 Y 6 X Unidad. Funciones elementales

114 Soluciones a los ejercicios y problemas La función eponencial y ka pasa por los puntos (0, ) y (;,8). Calcula k y a y representa la función. y ka Si pasa por el punto (0, ), entonces: k a 0 8 k Si pasa por el punto (;,8), entonces:,8 k a 8,8 a 8 a 0,6 8 a 0,8 La función es: y (0,8) Pág. 0 X 0 Y,906,,,6,8,0 Y X El coste por unidad de fabricación de ciertos sobres disminuye según el número de unidades fabricadas y viene dado por la función: y 0, a) Qué valores toma la función? b)calcula el coste por unidad y el coste total para 0 sobres. Haz lo mismo para sobres. c) cuánto crees que se acerca el coste por unidad cuando el número de sobres se hace muy grande? a) toma valores naturales. b) Para 0 sobres: Coste por unidad 00 00, 0 Coste total de 0 unidades 00 Para sobres: Coste por unidad , Coste total de unidades 000 c) El coste por unidad se acerca a 0,. Unidad. Funciones elementales

115 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 0 Pág. Una casa de reprografía cobra cent. por cada fotocopia. Ofrece también un servicio de multicopia, por el que cobra 0 cent. fijos por el cliché y cent. por cada copia de un mismo ejemplar. Haz, para cada caso, una tabla de valores que muestre lo que hay que pagar según el número de copias realizadas. Representa las funciones obtenidas. Tiene sentido unir los puntos en cada una de ellas? Obtén la epresión analítica de cada función. partir de cuántas copias es más económico utilizar la multicopista? FOTOCOPIS MULTICOPI UNIDDES PRECIO UNIDDES PRECIO PRECIO NÚMERO DE COPIS No tiene sentido unir los puntos; solo se pueden dar valores naturales. Epresiones analíticas: Fotocopias: y Multicopias: y 0 + partir de 7 copias, es más económico utilizar la multicopista. 6 La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una piedra que lanzamos verticalmente hacia arriba con una velocidad de 0 m/s es h 0t t. a) Haz una representación gráfica. b)di cuál es su dominio de definición. c) En qué momento alcanza la altura máima? Cuál es esa altura? d) En qué momento cae la piedra al suelo? e) En qué intervalo de tiempo la piedra está a una altura superior a metros? Unidad. Funciones elementales

116 Soluciones a los ejercicios y problemas a) Y 0 b) Dominio de definición [0, ] c) La piedra alcanza la altura máima a los segundos de haberla lanzado, y es de 0 m. d) los segundos. e) 0t t t 0t t t t + 0 t t + 0t Ó 0 8 Ì t Ì Pág. X 7 Representa las siguientes funciones: si < a) f() b)f() si < 0 si Ì Ì si Ó 0 si > si < a) f() si Ì Ì si > La recta y está definida para < : X, Y 0, La parábola y definida si Ì Ì, corta al eje X en (, 0) y (, 0), y al eje Y en (0, ), vértice a su vez de la parábola. La recta y está definida para > y pasa por (, ) y (, ). Y X b) f() si < 0 si Ó 0 La parábola y, definida para < 0, pasa por (, ) y (, ). La parábola y, definida para 0, tiene su vértice en (0, 0) y pasa por (, ) y (, ). Y X Unidad. Funciones elementales

117 Soluciones a los ejercicios y problemas R EFLEXION SORE L TEORÍ Pág. 8 Di cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas y di si son crecientes o decrecientes: a) y 8 b) y + 0 y + c) d)y + ( ) Qué relación eiste entre el crecimiento o decrecimiento de una recta y su pendiente? a) m. Creciente b) m. Creciente. c) m 0. Ni crece ni decrece, es constante. d) m. Decrece Si la pendiente es positiva, hay crecimiento. Si la pendiente es negativa, hay decrecimiento. 9 Resuelto en el libro de teto. 0 Utiliza el mismo razonamiento que hemos seguido en el ejercicio resuelto anterior y calcula las coordenadas del punto en el que se encuentra el vértice de la parábola y +7. y + 7 y 7 p / / 8 y El vértice está en el punto, 9 ( 6 ) Unidad. Funciones elementales

118 Soluciones a los ejercicios y problemas Construye y dibuja, en cada caso, parábolas que cumplan las siguientes condiciones: a) Su eje es y tiene las ramas hacia abajo. b)tiene el vértice en el punto (, ) y tiene la misma forma que y. c) Tiene el vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto (, 8). Pág. a) La abscisa del vértice es : b 8 b a a Si sus ramas van hacia abajo, el coeficiente de debe ser negativo. Cualquier función cuadrática y a a + c, con a < 0, cumple las condiciones. Por ejemplo: y + Y X b) Vértice en (, ) 8 b 8 b 6a a Tiene la misma forma que y, luego a. La función es de la forma y 6 + c. Pasa por (, ) c 8 c 7 Por tanto, y Y X c) y a + b + c b 0 8 b 0 a Pasa por (0, 0), luego c 0. Pasa por (, 8) 8 9a 8 8 a La parábola es y. Y X Unidad. Funciones elementales

119 Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN Construye funciones definidas a trozos que cumplan las siguientes condiciones y dibújalas. a) Es continua y está compuesta por dos trozos de rectas. Tiene pendiente 0 en y pendiente en. Tiene un máimo en (, 7). b)es continua y está compuesta por un trozo de parábola y un trozo de recta. Tiene un mínimo en (0, 0) y un máimo en (, ). a) Por ejemplo: Y Pág. f() 7 si < + si Ó X Y b) Por ejemplo: f() si Ì + 6 si > X Todas las funciones eponenciales de la forma y a pasan por un mismo punto. Di cuál es y justifícalo. En qué casos la función es decreciente? Todas pasan por el punto (0, ), ya que a 0. Si a <, la función es decreciente. Calcula b y c para que el vértice de la parábola y + b + c esté en el punto (, ). Cuál es su eje de simetría? Cuáles son los puntos de corte con los ejes? Vértice en 8 b 8 b 6a 6 8 b 6 a Pasa por (, ) c 8 c 0 y 6 +0 Su eje de simetría es. Cortes con los ejes: 0 8 y 0 8 Punto (0, 0) No tiene solución, por tanto, no corta al eje X. 6 ± 6 0 Unidad. Funciones elementales

120 Soluciones a los ejercicios y problemas La parábola y a + b + c pasa por el origen de coordenadas. Cuánto valdrá c? Si, además, sabes que pasa por los puntos (, ) y (, 6), halla a y b y representa la parábola. c 0 y a + b Pág. 6 (, ) 8 a + b (, 6) 8 6 6a + b y + 7 a b 8 a / 6 6( b)+b 8 b 7/ Y 6 X 6 Calcula a y b para que la función y a pase por los puntos (, ) y (, ). b a b a b y a b a + b + b b 8 b a 7 Representa gráficamente la función eponencial y, haciendo uso de una tabla de valores. Cuál es la función inversa o recíproca de y,? Represéntala en los mismos ejes. La función inversa de y, es y log,. 6 X Y 0,8 0,,,07 8, 0 6, 8,9 6 8, y log, 0 y 8 6 y, Unidad. Funciones elementales

121 Soluciones a los ejercicios y problemas P ROFUNDIZ Pág. 7 8 Representa las siguientes funciones: si < si < 0 a) f() b)f() si Ó 0 si Ó a) Y b) Y X X 9 a) Representa la función y, donde es el valor absoluto de. si < 0 b) Representa: y si Ó 0 Compara las dos gráficas, a) y b). a) y b) Y X Son la misma gráfica. 0 Haz la gráfica de las siguientes funciones: a) y b)y + a) Y b) Y X X Unidad. Funciones elementales

122 Soluciones a los ejercicios y problemas plica la definición de logaritmo para calcular en cada caso: a) log ( ) b)log (,) c) log d)log ( 8) 0 Pág. 8 a) log ( ) b) log (,) 8, 8 + c) log 8 8 d) log ( 8) ± Resuelto en el libro de teto. Resuelve estas ecuaciones eponenciales, epresando como potencia el segundo miembro: a) 8 b) /8 c) + d) + 0, a) ± b) c) / d) + 0, 8 + ( ) 8 + ( ) ( ) 8 8 Sabemos que el lado desigual de un triángulo isósceles mide 6 cm. Llama al otro lado y escribe la ecuación de la función que nos da su área. Represéntala. cm 6 cm 0 0 Y La altura del triángulo es h 9. () 9 X Unidad. Funciones elementales

123 Soluciones a los ejercicios y problemas Un móvil que inicialmente llevaba una velocidad de 8 m/s frena con una aceleración de m/s. Escribe la ecuación de la velocidad en función del tiempo y represéntala. v 8 t Y Pág. 9 X 6 Tenemos 00 kg de naranjas que hoy se venderían a 0,0 /kg. Cada día que pasa se estropea kg y el precio aumenta 0,0 /kg. Cuándo hemos de vender las naranjas para obtener el máimo beneficio? Cuál será ese beneficio? Sea t el tiempo, en días. La función que da el precio de las naranjas según transcurren los días es (kilos de naranjas Ò precio de cada kilo): P(t) (00 t)(0,0 + 0,0t) P(t) 80 + t 0,0t 0,0t 0,0t +,60t +80 El máimo de la función está en el punto de abscisa: b a, ,0 Las naranjas se deben vender, para obtener el máimo beneficio, dentro de 80 días, y se venderán por euros. Unidad. Funciones elementales

124 6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 9 Pág. P RCTIC Figuras semejantes Cuáles de estas figuras son semejantes? Cuál es la razón de semejanza? F F F F es semejante a F. La razón de semejanza es. a) Son semejantes los triángulos interior y eterior? b) Cuántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea,? a) No. La razón entre los catetos es en el interior y en el eterior. 7 b),, 7, Los catetos medirán y 7, unidades. Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de, cm de ancho. Son semejantes los rectángulos interior y eterior del marco? Responde razonadamente. 6 9? 8 No son semejantes. 6 9 Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

125 6Soluciones a los ejercicios y problemas Un joyero quiere reproducir un broche como el de la figura a escala,. a) Haz un dibujo de la figura ampliada. b)calcula su superficie. Pág. a) b) S ORIGINL π π + + +, u S MPLID,,,9 u ( ) ( ) ( ) En un mapa cuya escala es : , la distancia entre dos ciudades es, cm. a) Cuál es la distancia real entre ellas? b) Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades y cuya distancia real es 60 km? a) , cm 7, km, 8 b) cm En el plano de un piso cuya escala es :00, el salón ocupa una superficie de 7 cm. Cuál es la superficie real del salón? cm 8 m 7 Un rombo cuyas diagonales miden 7 cm y 0 cm, qué área ocupará en un plano de escala :? Área cm En el plano ocupará 0 6 cm. Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

126 6Soluciones a los ejercicios y problemas 8 Una maqueta está hecha a escala :0. Calcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y cm de diámetro. b)la superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 0 cm. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 0 cm de agua. a) cm 8 0 cm 6 cm 8 h cm 8 d h 00 cm m d 000 cm 0 m La torre cilíndrica mide m de altura y 0 m de diámetro. b) cm 0 m c) cm, m Pág. Semejanza de triángulos 9 El perímetro de un triángulo isósceles es 9 m y su base mide m. Halla el perímetro de otro triángulo semejante, cuya base mide m. Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo mayor y el menor? P 9 m m P m, Perímetro del triángulo semejante: P' 9 9, m, La razón de semejanza es,. 0 En la figura, el segmento DE es paralelo a. Jusitifica que los triángulos C y CDE son semejantes y calcula DE y EC. Los triángulos C y CDE son semejantes porque tienen un ángulo común, C^, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos, DE //. Están en posición de Tales. DE DC 8 DE 8 DE 8,,6 cm C 8, 8 8 EC C 8, cm DE 8,6 8 8, 6,88 +,6 8,8 + 8, 8,8 6,88 8 9,6 8 EC 9,6 cm,8 cm D E 6 cm cm C Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

127 6Soluciones a los ejercicios y problemas Por qué son semejantes los triángulos C y ED? Halla el perímetro del trapecio ECD. E 0 cm 7 cm 6 cm D C Pág. Porque son rectángulos con un ángulo agudo común, ^. Tienen los tres ángulos iguales. Hallamos E aplicando el teorema de Pitágoras: E cm; cm C D E 0 8, 8 DC, cm C 8 C 8 C 0 8,7 cm ED E Perímetro de ECD 7 + 8,7 +, cm En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es /. Halla el perímetro de otro triángulo semejante en el que el cateto menor mide cm. cm 8 7 cm mide el cateto mayor. h cm mide la hipotenusa. Perímetro cm La razón de semejanza entre dos triángulos es /. Si el área del mayor es 0 cm, cuál es el área del menor? El área del menor es ) cm. ( Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

128 6Soluciones a los ejercicios y problemas Observa esta figura, en la que el segmento es paralelo a CD. Pág. 7, cm 0,6 cm 8, cm O 6 cm y C D a) Di por qué son semejantes los triángulos O y ODC. b) Calcula e y. ì ì a) Son semejantes porque tienen un ángulo igual, O COD por ser opuestos por el vértice, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. b) 6 8 7, 6,08 cm 7, 8, 8, 6 y 8 y 0,6 6 7,8 cm 8, 0,6 8, PÁGIN 0 Si D es paralelo a E, y C cm, CE cm y C 6, cm: a) Calcula CD. b) Podemos saber cuánto vale E sin medirlo directamente? c) Si ^ 7 y C^ 80, calcula E^, ^ y D^. E D C a) Los triángulos CE y CD son semejantes. Por tanto: C CE 8 8 CD 6,,69 cm C CD 6, CD b) No podemos saber lo que mide E porque no conocemos la medida del lado correspondiente, D. c) E^ 80 ( ) 6 ; ^ ^ 7 ; D^ E^ 6 6 Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y,6 cm, respectivamente. Si el área del primero es 6 cm, cuál es el área del segundo? Razón de semejanza,6,7 8 Área del segundo 6,7 7, cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

129 6Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Los catetos del triángulo C ( 90 ) miden cm, C 8 cm. Desde el punto D, tal que D 9 cm, se traza una paralela a C. Halla el área y el perímetro del trapecio DEC. D E Pág. 6 Los triángulos C y DE son semejantes. C cm D 9 cm E 8 cm C Por ello: C DE 8 6 cm D DE DE Calculamos la hipotenusa de cada uno de los triángulos: C +8 cm E cm EC 0 cm Área del trapecio cm Perímetro del trapecio DEC cm 8 Calcula el perímetro del triángulo cuya base coincide con la base mayor de este trapecio y que se obtiene al prolongar los lados no paralelos hasta que se corten. cm 0 cm cm cm y Calculamos la medida del cateto en el triángulo C: cm C cm y 9 6 cm Perímetro del triángulo cm 0 cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

130 6Soluciones a los ejercicios y problemas Teorema del cateto y de la altura Pág. 7 En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura H sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos e y. 9, m H y 7,8 m C H, 7,8 8 H,0 m En el triángulo H,, +,0 8,6 m En el triángulo HC, y 7,8 +,0 8 y 8,79 m 0, m y H,8 m C Por el teorema del cateto:,,8 8, m En el triángulo H, y,, 8 y,9 m y m H 9 m C Por el teorema de la altura: m En el triángulo H, y +6 8 y 0 m Dibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la hipotenusa. a) Calcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 0 cm y el cateto mayor 0 cm. b)la hipotenusa mide cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa 9 cm. Halla el cateto mayor. c) La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa,, cm. Halla la hipotenusa. Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

131 6Soluciones a los ejercicios y problemas a) 0 cm cm Proyección de sobre C: Pág. 8 y 0 cm C 0 8 cm O bien: cm 0 0 y 8 y 8 cm b) La proyección de y sobre la hipotenusa es: y 9 6 cm Por el teorema del cateto: 9 cm cm y 6 8 y 0 cm c) Por el teorema de la altura: 6, 8 8 cm 6 cm Hipotenusa, + 8, cm, cm Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide m y su proyección sobre la hipotenusa mide 7, m. Calcula el área y el perímetro del triángulo. y cm 7, cm Por el teorema del cateto: 7, 8 0 m y 0 8 y 6 m Área 6 96 m Perímetro m Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

132 6Soluciones a los ejercicios y problemas Halla el perímetro del triángulo C del que conocemos H 9 cm, H cm. Pág. 9 cm 9 cm H C y cm z Por el teorema de la altura: cm H C y +9 8 y cm z +6 8 z 0 cm Perímetro cm P IENS Y RESUELVE Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es, m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo? 0,8 m,7 m, 8,,7 8, m,7 0,8 0,8 La profundidad es de, m., m Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

133 6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 6 Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 6 cm de altura, se situó a, m de la verja y tomó las medidas indicadas. Cuánto mide la casa? Pág. 0, m m, m h a, m,6 m m, m a,,6,8 m +, h 8 h 6,,8,68 m,,8, ltura de la casa:,68 +,6, m 7 Entre dos pueblos y hay una colina. Para medir la distancia fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas P km, PM 7, km y MN km. (MN es paralela a ). Halla la distancia. M N P km M 7, km km N Los triángulos P y MPN son semejantes. Por tanto: 8 km 7, 7, P Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

134 6Soluciones a los ejercicios y problemas 8 El perímetro de un triángulo isósceles es 6 m, y el lado desigual mide m. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m. Pág. ltura del triángulo: h 7 8 h m m m h Área 68 m Razón de semejanza 96 m 6 Área del triángulo semejante cm ( ) 9 Dos triángulos C y PQR son semejantes. Los lados del primero miden m, 8 m y m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 9 m. Perímetro del triángulo C: m Razón de semejanza: 9 86 Lados del triángulo PQR: 6 cm; 8 cm; cm 0 Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 8 m y 08 m. Si el lado desigual del primer triángulo es m, cuál es el perímetro del segundo? 08 Razón de semejanza:, 8 Lado desigual del segundo:, 8 cm ltura del segundo: 08 8 h 8 h cm Lados iguales del segundo: +9 8 cm Perímetro del segundo: cm m 8 m De un cono de radio cm hemos cortado otro cono de radio cm y altura cm. Calcula el volumen del cono grande. Calculamos la altura del cono grande, : 8 7, cm Volumen πr h π 7, 6,π cm cm cm cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

135 6Soluciones a los ejercicios y problemas Calcula el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 8 cm y cm y su altura es cm. Pág. 8 cm cm cm Calculamos la altura de la pirámide menor, : cm Volumen de la pirámide grande (0 + ) 86,67 cm Volumen de la pirámide pequeña 8 0 6,67 cm Volumen del tronco de pirámide 86,67 6, cm En un cono de 0 cm de radio hemos inscrito un cilindro de radio cm y altura, cm. Halla la altura del cono. +, , ,6 8 9,6 cm ltura del cono: 9,6 +, cm, cm cm 0 cm Tenemos un cono inscrito en una esfera de radio cm. Cuál será el radio de la base del cono si su altura es cm? cm cm R 8 cm Por el teorema de la altura, en el triángulo rectángulo C se verifica: C R 8 8 R 0,8 cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

136 6Soluciones a los ejercicios y problemas En una esfera de cm de radio hemos inscrito un cono de altura cm. Calcula su área lateral. Radio de la esfera: cm DC 0 8 cm Calculamos el radio del cono utilizando el teorema de la altura en el triángulo C: cm Pág. D r r 8 8 r,7 cm Generatriz del cono: g +,7 8 g 8,98 cm Área lateral del cono: πrg π,7 8,98 79π cm C 6 En una esfera de cm de diámetro se inscribe un cono cuya generatriz mide 0 cm. Calcula el volumen del cono. Para calcular la altura del cono, aplicamos el teorema del cateto en el triángulo rectángulo C: h D C 0 r 0 cm 0 h 8 h,7 cm Radio del cono: r 0,7 8 r 9,09 cm V CONO π 9,09,7,8π cm 7 Sobre una esfera de 0 cm de radio se encaja un cono de0 cm de altura. Halla el área del casquete esférico que determina el cono. Para hallar, aplicamos el teorema del cateto en el triángulo rectángulo C: 0 cm 0 C 0 0 (0 + ) ± 0 ltura del casquete cm 0 No vale. 0 cm Área del casquete πrh π π cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

137 6Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN Pág. 8 Resuelto en el libro de teto. 9 En el triángulo C, rectángulo en, conocemos H 8 cm y H cm. P C 8 cm H cm a) Calcula CH en el triángulo C. Obtén C. b)con el teorema de Pitágoras, obtén C en el triángulo HC y en el triángulo H. c) plica el teorema del cateto en el triángulo rectángulo H para obtener P. Calcula PH. d)halla el área y el perímetro del trapecio PHC. a) Por el teorema de la altura: H CH H 8 8 CH 8 CH 0, cm C CH + H + 0, 8 C, cm b) C H + CH 8 8 C 8 + 0, 8 P 8 C 0,6 cm 8 cm ,7 cm H cm c) H P 8 P H 8 8,8 cm 6,7 HP H P 8 8,8 8 HP,69 cm d) Perímetro (PHC) CH + HP + P + C,9 cm C H P Área (PHC) PH + C P,69 + 0,6 8,8 60, cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

138 6Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Si DF cm, cuál es el área y el perímetro del pentágono FECG? Pág. D E C cm F cm 0 cm D E C cm F G cm C C, cm 0 cm Los triángulos FDE y DC son semejantes. Por ello: FE 8 FE 8 FE,6 cm C, En el triángulo FDE, DE FE DF,6 8 DE, cm EC DC DE 0, 7, cm CG 6 cm DF D G G 0,9 cm F 7 cm Área del triángulo FDE,, cm Área del triángulo G cm Área del pentágono 0, 90 8,7 cm Perímetro del pentágono: FE + EC + CG + G + F,6 + 7, , , cm Queremos construir un ortoedro de volumen 6 0 cm que sea semejante a otro de dimensiones Ò Ò cm. Cuánto medirán sus aristas? V cm k 6 0,7 8 k,,,, 9 Las aristas del ortoedro deben medir: cm, cm y 9 cm. Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

139 6Soluciones a los ejercicios y problemas En estas dos circunferencias concéntricas, el radio de la mayor es el triple de la menor. Pág. 6 Hemos trazado el diámetro C y la cuerda C, que es tangente a la circunferencia interior. Si 0 cm, cuánto miden los radios de cada circunferencia? O C Los triángulos C y OPC son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común. Si OP r 8 OC r 8 C 6r P r C 8 0 6r 8 0 r 8 r C r r O OP OC Los radios miden cm y cm. Las diagonales de un rombo miden C cm y D cm. Por un punto P de la diagonal menor, tal que PD 9 cm, se traza una paralela a la diagonal C, que corta en M y N a los lados D y CD. Calcula el área y el perímetro del pentágono MCN. M 6 D 9 O P cm N C cm Los triángulos OD y MPD son semejantes. Por ello: 6 MP 8 MP 6 9 cm 9 D MD cm +9 cm 8 M 0 cm Perímetro MCN ( M + + MP ) ( ) 7 cm Área pentágono Área rombo Área triángulo MND cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

140 6Soluciones a los ejercicios y problemas En un trapecio rectángulo, la diagonal menor es perpendicular al lado oblicuo, la altura mide cm y la diferencia entre las bases es de 9 cm. Pág. 7 Calcula el perímetro y el área del trapecio. C cm cm H l 9 cm D En el triángulo CD: cm 8 D cm En el triángulo CHD: l +9 8 l cm Perímetro del trapecio: + C + CD + D cm Área del trapecio: cm Los lados de un triángulo C miden: C 6 cm, C cm Desde un punto M de se traza una paralela a C, que corta al lado C en un punto N. Cuánto deben medir los lados del triángulo MN para que su área sea /9 de la del triángulo C? 6 cm 6 cm M C N cm Área MN 8 k 8 k Área C cm; cm M MN cm; N cm Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

141 6Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Queremos calcular la distancia que hay desde un punto de la playa a una piedra P que se ve a lo lejos. Para ello, trazamos una recta r que pase por y una paralela a ella, s. Pág. 8 P D C s r P Desde observamos P en una línea que corta en a s. Desde otro punto C de r, hacemos lo mismo y obtenemos D. Medimos: 7, m, C 9 m, D 7, m. Cuál es la distancia de a P? D s r C P 7, m 9 m 7, 7, m 9 8 7, 9, 8,, 8 9 m 7, 7, Distancia de a P 9 m PÁGIN R EFLEXION SORE L TEORÍ 7 Un triángulo rectángulo, puede ser semejante a un triángulo isósceles? Y a un triángulo equilátero? Un triángulo rectángulo puede ser semejante a uno isósceles, siempre que el triángulo rectángulo sea también isósceles. Un triángulo rectángulo no puede ser semejante a un triángulo equilátero porque este tiene los tres ángulo iguales. 8 Dos triángulos equiláteros cualesquiera, son semejantes entre sí? Y dos polígonos regulares con el mismo número de lados? Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes porque tienen los ángulos iguales. También lo son dos polígonos regulares con el mismo número de lados, porque sus ángulos son iguales. Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

142 6Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Dibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado opuesto. sí obtendrás un nuevo triángulo más grande. a) Justifica por qué es semejante al inicial. b) Cuál es la razón entre las áreas? Pág. 9 C C ^ ^' a) porque tienen sus lados paralelos. ^ ^' C^ C^' Los triángulos C y ''C' son semejantes porque sus ángulos son iguales. b) Área ''C' Área C 0 Justifica en cuáles de los siguientes casos podemos asegurar que los triángulos C y ''C' son semejantes: a) C, C^ C^' b) C, ^ ^' '' 'C' 'C' '' c)? C, ^ ^' d)^ ^', ^ ^' '' 'C' En b), porque tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman. En d), porque tienen los tres ángulos iguales. Hemos aplicado una homotecia al cuadrilátero CD para obtener el cuadrilátero ''C'D'. C ' O C' D' D ' Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

143 6Soluciones a los ejercicios y problemas a) Cuál es el centro y cuál es la razón? b)justifica que CD y ''C'D' son semejantes. a) El centro es O. La razón es OC' OC Pág. 0 b) Porque: OC' O' O' OD' 8 C'D' 'D' 'C' '' OC O O OD CD D C Halla el centro y la razón de homotecia que transforma el rectángulo CD en ''C'D'. D' D C C' ' ' D' C' ' D O C ' El centro de la homotecia es O, punto de corte de las rectas ', ', CC' y DD'. Razón: O' O P ROFUNDIZ Desde un punto P trazamos tangentes a dos circunferencias tangentes eteriores. Si OP cm y O'' cm, cuánto mide el radio de la circunferencia menor? O' ' O P O' + r O P r Los triángulos OP y O''P' son semejantes por ser rectángulos con un ángulo agudo común. ' 7 + r r + r 8 r + 7r 60 0 r 0 (no vale) r 7 ± El radio de la circunferencia menor mide cm. Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

144 6Soluciones a los ejercicios y problemas En el triángulo rectángulo C hemos trazado la altura sobre la hipotenusa H. Halla el área del triángulo en el que conocemos cm y HC 6 cm. Pág. H h + h 6 6 ± C (no vale) 9 H h 6 C h h cm Área 0 cm Una esfera apoyada en el suelo proyecta una sombra que llega hasta 0 m del punto donde la esfera toca el suelo. En ese momento, un poste vertical de m de alto produce una sombra de m. Calcula el radio de la esfera. C D O m 0 m m Los triángulos T y T' son semejantes. C r O r T D m T 0 m m C 0 m C cm Por la semejanza de OCD y C, tenemos: OD OC 8 r 0 r 8 r 0 r 8 C r ( 0 +) 0 8 r 0( ), cm + Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

145 6Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Una de las diagonales de un rombo mide cm y el radio del círculo inscrito en dicho rombo es 8 cm. Calcula el perímetro y el área del rombo. O 8 d/ P En el triángulo rectángulo OP: P 8 8 P 80 8,9 cm En el triángulo rectángulo O: 8 P P 8 P 6 7,6 cm 8,9 Lado del rombo: 8,9 + 7,6 6, cm Pág. Perímetro del rombo: 6, 6, cm Diagonal: 6, 8 d ( d 0,7 8 d,6 cm ) Área:,6 7, cm 7 En el cuadrado de la figura, E es el punto medio del lado, y F, el punto medio de C. Si el lado del cuadrado mide cm, cuál es el área del cuadrilátero EPF? E Calcularemos el área de EPF como el área del triángulo F menos el área del triángulo EP. ED F + Los triángulos F y EP son semejantes porque: ^ es común. ì ì EP F por la igualdad de los triángulos DE y F. E F P cm F D C EP 8 EP 8 EP F E P 8 P 8 P F EPF F PE cm E P F D C Unidad 6. La semejanza y sus aplicaciones

146 7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 6 Pág. P RCTIC Razones trigonométricas de un ángulo agudo Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c) 7 m m a,6 cm a 8 m m a 60 m a) sen a 7 0,8; cos a 7 0,96; tg a 7 0,9,6 b) sen a 8 8, 0,7,6,6 cos a 8 0,69; tg a 8,,0,6 8 c) sen a 8 0, cos a 60 0,88; tg a 8 0, Midiendo los lados, halla las razones trigonométricas de ^ en cada caso: a) b) C C a) sen ^,8 0,8; cos ^ 0,9; tg ^,8,,, b) sen ^, 0,; cos ^,6 0,9; tg ^, 0,6,8,8,6 Unidad 7. Trigonometría

147 7Soluciones a los ejercicios y problemas Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos (^ 90 ): a) b 6 cm; a 6, cm b)b,6 cm; c, cm c) c 6 cm; a 6 cm a) sen ^ 6 0,90 6, 6, cm 6, cos ^ 6 7, 0,8 6, 6, tg ^ 6 C,0 6 cm 7, sen C^ 7, 0,8; cos C^ 6 0,90; tg C^ 7, 0,87 6, 6, 6 7, cm Pág.,6 b) sen ^,6 0,99,9 cm, +,6,9, cm cos ^, C,6 cm 0,,9 tg ^,6 7,67, sen C^, 0,; cos C^,6 0,99; tg C^, 9,9,9,9,6 c) 6 sen ^ 6, 0, cm cos ^ 6 0, ) 6 C tg ^,, cm,06 6 sen C^ 6 0, ; ) cos C^, 0,896; tg C^ 6 0,96 6 6, Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos C y H son rectángulos. 7 cm 6 cm 6,7 cm C H,96 cm cm,0 cm Halla en cada uno las razones trigonométricas del ángulo y compara los resultados. Qué observas? El triángulo C es rectángulo en : +7 6 (,0 +,96) 6 El triángulo H es rectángulo en H:,0 + 6,7 76 Unidad 7. Trigonometría

148 7Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. sen ^ cos ^ tg ^ en C 7 0,8 0,96 7 0,9 en H 6,7 0,8,0 0,96 6,7 0,9,0 ì ì Calcula las razones trigonométricas de los ángulos ^ y C^, D y CD. cm cm D 6 cm C D 9; C ^ C^ ^ D ^ CD sen 0,8 0, ,6 6 0,8 0 cos 9 0,6 6 0,8 0 0,8 0,6 0 tg, ) 9 0, ,7 6, ) Relaciones fundamentales 6 Si sen a 0,8, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales (a < 90 ). cos a 0,8 0,96; tg a 0,8 0,9 0,96 7 Halla el valor eacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a / (a < 90 ). sen a / ( ) ; tg a 9 / Unidad 7. Trigonometría

149 7Soluciones a los ejercicios y problemas 8 Si tg a, calcula sen a y cos a (a < 90 ). Pág. sen a cos a sen a + cos a 6 sen a 6 s c 6 ( c) + c 8 6c 8 cos a Calcula y completa esta tabla con valores aproimados: sen a 0,9 cos a 0, tg a 0,7 sen a 0,9 0,6 0,99 cos a 0,9 0,8 0, tg a, 0,7 8,7 En todos los casos solo tomaremos valores positivos. sen a 0,9 8 cos a (0,9) 0,9 tg a 0,9, 0,9 tg a 0,7 sen a 0,7 8 sen a 0,7 cos a cos a (sen a) +(cos a) 8 (0,7 cos a) +(cos a) 8 8 (cos a) 0,6 8 cos a 0,8 sen a 0,7 0,8 0,6 cos a 0, 8 sen a (0,) 0,99 tg a 0,99 8,7 0, 0 Calcula el valor eacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente (a < 90 ): sen a / cos a / tg a sen a / 7/ / cos a / / / tg a / 7/ Unidad 7. Trigonometría

150 7Soluciones a los ejercicios y problemas Como a<90 8 sen a>0 cos a>0 sen a 8 cos a ( ) 9 Pág. / tg a / 7 cos a 8 sen a ( ) 9 7/ 7 tg a / 7 tg a 8 sen a 8 sen a cos a cos a (sen a) +(cos a) 8 (cos a) +(cos a) 8 cos a sen a Calculadora Completa la tabla siguiente, utilizando la calculadora: a 0' 7 ' 0'' 8, sen a cos a tg a a 0' 7 ' 0'' 8, sen a 0,6 0,8 0,9 0,997 cos a 0,97 0,7 0,0 0,078 tg a 0,7,,6,7 Halla el ángulo a en cada caso. Eprésalo en grados, minutos y segundos. a) sen a 0,8 b)cos a 0,7 c) tg a, d)sen a e) cos a f) tg a a) a 7' '' b) a ' '' c) a 68 ' '' d) a 8 ' '' e) a ' 8'' f) a 76 ' '' Unidad 7. Trigonometría

151 7Soluciones a los ejercicios y problemas Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de los casos siguientes: a) sen a 0, b)cos a 0,7 c) tg a,7 d)sen a e) tg a f) cos a a) cos a 0,97; tg a 0, b) sen a 0,67; tg a 0,9 c) sen a 0,87; cos a 0, d) cos a 0,7; tg a e) sen a 0,87; cos a 0, f) sen a 0,; tg a 0,8 Pág. 6 PÁGIN 6 Resolución de triángulos rectángulos Halla la medida de los lados y ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángulos (^ 90 ): a) b 7 cm c 8 cm b)a cm b 7 cm c) b 8 cm ^ 0 d)c,7 cm ^ 6 e) a cm C^ 6 a) a b + c , cm tg ^ b 7 0,8 ) 8 ^ ' '' c 8 C^ 90 ' '' 68 ' 8'' b) c a b 7 cm sen ^ b 7 0,8 8 ^ 6 ' 7'' a C^ 90 6 ' 7'' 7 ' '' c) C^ sen ^ b 8 sen a 8 cm a a tg ^ b 8 tg c, cm c c d) C^ 90 6 tg ^ b 8 tg 6 b c,7 8 b 7, cm cos ^ c 8 cos 6,7 a a 8 a 0,0 cm Unidad 7. Trigonometría

152 7Soluciones a los ejercicios y problemas e) ^ 90 6 sen C^ c 8 sen 6 c a 8 c 0,7 cm cos C^ b 8 cos 6 b a 8 b 8, cm Pág. 7 Cuando los rayos del sol forman 0 con el suelo, la sombra de un árbol mide 8 m. Cuál es su altura? 0 8 m tg 0 8 8, m mide el árbol. 6 Una escalera de m está apoyada en una pared. Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a, m de la pared? cos a, 0, 8a 66 ' 9'' m a, m 7 De un triángulo isósceles conocemos su lado desigual, 8 m, y su altura, 0 m. Cuánto miden sus ángulos? a 0 m b tg a 0, ) 8a 8 6'' 9 8 m a b 80 a 8 8' 8'' 8 Calcula la altura, h, de los siguientes triángulos: a) b) 8 cm h h 8 cm 6 D C D C a) sen 6 h 8 h 6, cm b) sen h 8 h 6, cm 8 8 Unidad 7. Trigonometría

153 7Soluciones a los ejercicios y problemas 9 Calcula la altura sobre el lado en los siguientes triángulos: a) b) Pág cm cm C C a) 70 h cm b) sen 70 h C 8 h, cm 0 cm sen 0 h h C 8 h,8 cm 0 Halla: a) La longitud C. b)el área del triángulo C. Ten en cuenta que C D + DC. cm D h cm C a) En D, cos D 8 D,8 cm En DC, cos DC 8 DC 9 cm C,8 + 9,8 cm b) Hallamos la altura h en el triángulo D: sen h 8 h 8,7 cm C C h,8 8,7 9,9 cm Unidad 7. Trigonometría

154 7Soluciones a los ejercicios y problemas Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera Pág. 9 Sitúa en la circunferencia goniométrica los siguientes ángulos e indica el signo de sus razones trigonométricas. a) 8 b) 98 c) 87 d)98 e) 8 f) 0 Compruébalo con la calculadora. a) 8 b) 8 sen + cos tg sen cos tg + c) 87 d) 87 sen + cos + tg sen + cos tg e) 8 f) 8 sen cos + tg 0 0 sen cos + tg Completa esta tabla sin usar la calculadora: sen cos 0 tg No tiene sen cos 0 0 tg 0 No tiene 0 No tiene 0 Unidad 7. Trigonometría

155 7Soluciones a los ejercicios y problemas En cada uno de estos círculos está indicado el signo de las razones trigonométricas de a, según el cuadrante en el que esté a. Cuál corresponde a sen a. Cuál a cos a? Y cuál a tg a? a) b) c) Pág. 0 a) cos a b) sen a c) tg a Resuelto en el libro de teto. PÁGIN 6 Dibuja dos ángulos cuyo seno sea / y halla su coseno. Q b O a P sen a 8 cos a ± ± ± ì ì cos OP ; cos OQ 6 Dibuja un ángulo menor que 80 cuyo coseno sea / y halla su seno y su tangente. P O a ì El ángulo OP cumple las condiciones. cos a ì 8 sen a ± ± 8 sen OP 9 ì / tg OP / Unidad 7. Trigonometría

156 7Soluciones a los ejercicios y problemas 7 Sabiendo que tg a y a < 80, halla sen a y cos a. sen a s c cos a c + c 8 c 8 c ± ± (sen a) +(cos a) Pág. cos a ; sen a P IENS Y RESUELVE 8 Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia E. 00 m D P C Q E 7 m sen ,7 m tg P 8 P 7,7 m sen C 00 m tg 0 00 C PC 8PC 7, m cos 7 8 CD 06,07 m tg CQ CD 7 8 CQ 7 m cos DE 86,6 m tg 0 QE DE 7 8 QE, m E 7,7 + 7, + 7 +, 9, m 9 Una escalera para acceder a un túnel tiene la forma y las dimensiones de la figura. Calcula la profundidad del punto. m 0 0 m 0 m 0 m 0 0 m y 0 m 0 sen 0 8, m sen 0 y 0 8 y,98 m Profundidad:, +,98,8 m Unidad 7. Trigonometría

157 7Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del %. Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? Cuántos metros hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera? Pág. 00 sen a 0, 8a 6 ' '' 00 a 7 km 6 8' '' sen a 7 8 0, 7 0,8 km 80 m En una ruta de montaña, una señal indica una altitud de 78 m. Tres kilómetros más adelante, la altitud es de 6 m. Halla la pendiente media de esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal. 6 m km 78 m a m sen a 80 0,6 8a 9 ' '' 000 Pendiente tg a 0,6 8 6,% Los brazos de un compás, que miden cm, forman un ángulo de 0. Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura? sen 8,07 cm Radio de la circunferencia 0, cm 0 cm Unidad 7. Trigonometría

158 7Soluciones a los ejercicios y problemas Calcula el área de cada uno de estos triángulos: Pág. a) m 0 m C b) Q 0 m P R a) Calculamos la altura, h, sobre C: sen 0 h 8 h 9,9 m Área 9,9 0,68 m b) Calculamos la altura, h, sobre PR: sen h 8 h,7 m 0 Calculamos la base, PR : cos PR/ 8 PR 0 cos,77 m 0 Área,77,7 88 m En el triángulo C calcula h y a. En el triángulo P: sen 6 h 8 h 6, cm 8 cos 6 P 8 P 7,6 8 PC C P 7,6,9 a h + PC 6, +,9, cm 8 cm h a 6 P C Unidad 7. Trigonometría

159 7Soluciones a los ejercicios y problemas En el triángulo C halla, h e y. En el triángulo P: cos 0 8 0,9 cm 7 7 cm 9 cm h sen 0 h 8 h,0 cm 0 7 P y En el triángulo CP: y 9 h 9,0,9 cm C Pág. 6 Calcula h, y b. En el triángulo P, P + 7. sen h 8 h 0,7 cm h 8 b 8 cm cos +7 8,9 cm 8 P C 7 cm b +h, cm 7 Conocemos la distancia de nuestra casa a la iglesia, 7 m; la distancia de nuestra casa al depósito de agua, m, y el ángulo,, bajo el cual se ve desde nuestra casa el segmento cuyos etremos son la iglesia y el depósito. Cuál es la distancia que hay de la iglesia al depósito de agua? I 7 m C P m D En el triángulo IPC: cos CP 7 8 CP 00, m sen IP 7 8 IP 9, m PD 00, 0,8 m Distancia de la iglesia al depósito: ID PD + IP 0,8 + 9,,9 m Unidad 7. Trigonometría

160 7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 6 Pág. 8 Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento, el avión se encuentra a una altura de 00 metros y el ángulo de observación desde la torre (ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 0. qué distancia está el avión del pie de la torre si esta mide 0 m de altura? 00 m D 0 0 m tg d , m d tg 0 Utilizando el teorema de Pitágoras: D ( 00) + ( 009,) 0, m La distancia del avión al pie de la torre es de 0, m. 9 Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de con la horizontal. d Si me acerco m, el ángulo es de 0. Cuál es la altura de la torre? h tg + h tg 0 tg + tg h tg 0 h tg + tg tg 0 tg (tg 0 tg ) tg 7,6 m tg 0 tg La altura de la torre es h 7,6 tg 0,8 m. 0 m Unidad 7. Trigonometría