Capítulo 8. Escalado Multidimensional

Transcripción

1 Capítulo 8. Escalao Multiimensional CAPÍTULO 8 Escalao Multiimensional. III. 8.1 Introucción. Este capítulo se basa en la referencia [9]. El Escalao Multiimensional ( Multiimensional Scaling, MDS) es un métoo e análisis multivariante, englobao entro e los métoos e interepenencia, según vimos en la introucción a técnicas multivariantes. Permite analizar matrices e proximia (similitu o isimilitu), para proporcionar una representación visual entre los atos entro e un espacio e imensiones reucias. Constituye una alternativa mucho más flexible a otros métoos e análisis multivariante, puesto que únicamente necesita e una matriz que contenga la (i)similitu entre los atos e entraa. Como contrapartia mencionar el análisis factorial, el cual requiere como punto e partia el cálculo e una matriz e correlación entre toas las variables que intervienen en el problema. El cálculo e este tipo e matrices es menos intuitivo. Por tanto, MDS hace referencia a técnicas que permiten a un investigaor, partieno e unos valores e proximia entre los atos e entraa, escubrir ciertas estructuras ocultas en estos atos. El escubrimiento e estas estructuras sería más complicao con el uso e técnicas e análisis traicionales. Una proximia es un valor que inica cómo e similares o istintos son os objetos, e cualquier clase, e aquí la enorme flexibilia e este tipo e técnicas. La salia es una representación espacial, consistente en una configuración geométrica e puntos, como en un mapa. Caa punto e la configuración correspone a uno e los objetos. Esta configuración refleja la estructura oculta e los atos, y a menuo hace más fácil la comprensión y el entenimiento e los atos. Para reflejar esta estructura ecimos que si la isimilitu es más grane (o la similitu más pequeña) entre os objetos, como muestra su valor e proximia, éstos eberían estar más apartaos en el mapa e puntos. III. 8.2 Anteceentes históricos. Esta técnica e análisis matemático es relativamente nueva, puesto que nació a meiaos el siglo XX. Se pueen istinguir 4 fases o etapas en la evolución e MDS [11]:

2 Capítulo 8. Escalao Multiimensional 1. En esta primera fase, el nacimiento e MDS, los trabajos se concentraron en lo que se conoce como Metric MDS. La primera proposición o estuio conocio en relación con estas técnicas se atribuye a Torgerson, W.S. que en 1952 propuso utilizar moelos Euclíeos para resolver el problema. Ya antes, en 1950 Attneave sugirió usar moelos no Euclíeos. 2. La seguna etapa que se puee apreciar, estaca sobre too por trabajos y estuios encaminaos a lo que se conoce como Non- Metric MDS. Los investigaores más importantes que contribuyeron al esarrollo e Non-Metric MDS fueron, Shepar, R.N. (1962), Kruskal, J.B. (1964), Torgerson, W.S. (1962) y Guttman, L. (1968), especial importancia los estuios e Guttman en relación con el proceso e ientificar las imensiones y buscarles un significao. 3. En la tercera etapa se sientan las bases para una variante importante e la teoría e MDS, puesto que hasta ahora se había trabajao únicamente con una matriz e similitu. Ahora entran en juego las iferentes percepciones que se pueen tener frente a los mismos objetos en estuio, es lo que se conoce como Iniviual Differences MDS. Los investigaores estacaos en esta etapa han sio: Tucker, G. y Messick, S.J. (1963), Mcgee, V.C. (1968) y Carrol, J.D. y Chang, J.J., estos últimos aportaron el primer algoritmo para trabajar con WMDS (Weighte-Multiimensional Scaling) 4. En esta última etapa, los trabajos más importantes fueron irigios a la consoliación e estas nuevas técnicas como métoos eficaces para el análisis multivariante y estuvieron encaminaas a la unión e los istintos métoos mencionaos anteriormente: Metric/Non-Metric MDS/WMDS. Los científicos más estacaos, Ramsay, J.O. (1977) y e Leeuw, J. (1977) III. 8.3 Aplicaciones. La potencia e MDS eriva e su enorme flexibilia puesto que se puee analizar cualquier clase e matriz e istancia o similitu. Estas similitues pueen representar valoraciones e las personas, parecio entre objetos, el porcentaje e acuero entre juicios, el número e veces que un sujeto falla en iscriminar entre estímulos, etc. Las posibiliaes son muy iversas, siempre y cuano la matriz contenga alguna información e (i)similitu entre los objetos. Por ejemplo, los métoos e MDS fueron muy populares en investigaciones psicológicas humanas para escubrir las imensiones que rigen los rasgos e la personalia (Rosenberg, 1977). Existen también numerosas aplicaciones en el campo el marketing, para etectar el número y la naturaleza e las imensiones que subyacen e la percepción e las iferentes marcas o prouctos (Carmone, 1970)

3 Capítulo 8. Escalao Multiimensional Nuestro trabajo se basa precisamente en un estuio realizao sobre patrones e tela [2] y [3], en el que se usan tanto MDS como la técnica que explicaremos a continuación, análisis e conglomeraos (HCA). Por tanto, se puee comprobar la flexibilia e estas técnicas, aplicables en campos tan ispares como el marketing, psicología, ingeniería, etc. III. 8.4 Análisis MDS. MDS es usao en ciertas ocasiones e forma inirecta para analizar atos que no son proximiaes. Es necesario, por tanto, obtener las proximiaes como paso intermeio al análisis. Un análisis MDS requiere e la realización e istintas etapas: 0. Fase previa. Preparar los valores e entraa. 1. Obtener los atos e proximia. Este paso no es necesario realizarlo en toas las ocasiones. Si los atos ya son proximiaes este paso se puee omitir. 2. Aplicar técnicas MDS. 3. Interpretación e la configuración obtenia. III Preparación e los valores e entraa. La preparación e los atos e entraa hace referencia, en última instancia, a cómo introucir los atos en el programa informático que se va a utilizar en el análisis MDS. En nuestro trabajo hemos utilizao el programa informático SPSS 12.0 para Winows, tanto para el análisis MDS como para el análisis posterior HCA. Algunas e estas consieraciones son elementales, como se porá comprobar: Por ejemplo, si los atos ya son proximiaes, están listos para ser introucios entro e una matriz, ya sea completa o bien como matriz triangular superior/inferior. Si no son proximiaes hay que crearlas antes e realizar el análisis. Hay que inicar si la iagonal principal forma parte o no e los atos e entraa. La iagonal principal representa la proximia entre un objeto y sí mismo, por tanto siempre tenrá la misma valoración, esto es, máxima si se consieran similitues y mínima en caso contrario.

4 Capítulo 8. Escalao Multiimensional Si existen algunas proximiaes perias, missing, hay que inicar al programa qué ebe hacer con estos casos. En nuestro proyecto no existe esta posibilia, por tanto, no tuvimos que hacer un tratamiento especial para estos casos. Hay que simetrizar la matriz e los atos e entraa, esto es, la proximia entre los estímulos i y j ij ebe ser lo más parecia posible a la proximia recíproca ji. Al igual que ocurría con la consieración anterior, nosotros no tuvimos que realizar este paso previo, pues los atos e entraa eran perfectamente simétricos, ya que no poía ser e otra forma según se preparó el experimento. A continuación vamos a ver istintos métoos meiante los que poríamos obtener los atos e proximia. III Métoos para obtener los atos e proximia. El proceimiento más común para obtener atos e proximia es preguntar irectamente a las personas acerca el parecio entre os objetos. Cuano se habla e parecio nos referimos a una istancia psicológica entre los estímulos presentaos. Aunque similitu y isimilitu son los términos usaos más frecuentemente para obtener la valoración e la proximia, otros términos alternativos que pueen ser utilizaos son: relación, epenencia, asociación, complementariea, sustitución y muchos más. Es importante a la hora e realizar este cuestionario no hacer referencia a las características en las que eben fijarse los encuestaos, ya que son precisamente estas características las que nos interesan averiguar en el estuio. Se pueen ar, sin embargo, ciertas pautas o criterios para que sean también valoraos, con el motivo e hacer más fácil la interpretación e la configuración resultante, esto es, los encuestaos pueen ser preguntaos por clases específicas e similitu. Sin embargo, en nuestro trabajo esta opción se escartó para ejar cualquier posibilia abierta a estuio. Los métoos más utilizaos para averiguar las proximiaes se comentan a continuación. Se iferencian principalmente en el número e objetos en estuio y la forma en que son presentaos los estímulos a los encuestaos. Métoo 1. Para un número elevao e estímulos (e 50 a 100 objetos). Las instrucciones típicas son colocar los estímulos en categorías exhaustiva y mutuamente excluyentes e tal manera que estímulos que estén en la misma categoría son más similares que otros que no lo están.

5 Capítulo 8. Escalao Multiimensional Métoo 2. Se presentan os a os estímulos y los encuestaos eben contestar si son iguales o son iferentes. Las meias se tomarán el número e personas que se inclinen en una u otra irección. Una variante poría ser que inicaran un valor, por ejemplo, e 0-100, para inicar cómo e parecios son. Métoo 3. Se presenta un único estímulo y ebe ecir a qué categoría pertenece. El número e veces que los sujetos contestan j cuano se les presenta el estímulo i es la meia buscaa. Nuestro experimento poría englobarse entro el métoo 2. Para poer aplicar las técnicas MDS los atos e entraa eben ser proximiaes. Si tras la aplicación e alguno e estos métoos, los resultaos obtenios no son proximiaes, es necesario hacer un paso intermeio para obtenerlas. Las matrices e proximia son fuertemente simétricas. No son necesariamente simétricas al 100% puesto que se forman a partir e atos experimentales. Las variaciones e esta simetría anunciaa pueen ser también objeto e estuio y se obtenrían importantes conclusiones, ebio a que siguen patrones interesantes. MDS es un proceimiento sistemático para obtener una configuración e objetos que tienen esta relación e proximia. Sin embargo, una vez la configuración ha sio obtenia es muy importante interpretarla. El proceso e interpretar la configuración es el paso central en muchas aplicaciones. III Análisis MDS. III Notación y terminología. Antes e comenzar a explicar las técnicas que conforman MDS vamos a hacer una introucción acerca e la notación y la terminología que vamos a utilizar. Los atos pertenecerán a alguna colección e objetos, ellos porían ser caras, colores, países, caniatos políticos o estímulos e cualquier clase (reales o conceptuales). En nuestro estuio los objetos son fotografías e quemauras. Tenremos, por tanto, una colección e objetos I. Utilizaremos para inexar los objetos, primeramente por el ínice i y en seguno lugar por el ínice j, ambos ínices van e 1 I. Los valores e proximia conectarán el objeto i con el objeto j que representaremos por los valores ij. Estos valores se incluirán entro e una matriz, que enominaremos matriz e similitu y se representará por.

6 Capítulo 8. Escalao Multiimensional = En muchas situaciones no hay iferencia entre ij y ji, y no tienen significao ii, así que no es necesario tener una matriz completa, sino que basta con una matriz triangular y excluyeno la iagonal principal. Caa objeto es representao por un punto x i en el espacio imensional e puntos resultantes. La configuración e puntos tenría por tanto x 1,, x I puntos. El número e coorenaas e los puntos epenen el número e imensiones R. X x = x x 1 i I = = = ( x, K, x K, x ) 11 ( x, K, x, K, x ) i1 ( x, K, x, K, x ) I1 1r, ir Ir 1R ir IR Sistema e R-imensiones La istancia entre os puntos e X juega el papel principal en MDS. Se efine la istancia entre os puntos x i y x j y se enota como ij. En el caso e ser la istancia Euclíea y un sistema con R imensiones como el e arriba sería: ij ( x x ) ( x x ), 2 = K i1 j1 ir jr Al igual que con las proximiaes, estas istancias se pueen introucir entro e una matriz e istancias D. D= Aemás es fácil verificar que: ii = 0 para too i, ij = ji para too i y j (simetría)

7 Capítulo 8. Escalao Multiimensional III Diferentes tipos e MDS. El concepto principal e MDS gira en torno a la iea e que las istancias ij entre los puntos e la configuración X eberían corresponer a las proximiaes ij. Esta corresponencia se puee observar a través e un scatter iagram (o iagrama e Shepar). Se puee observar la función que se ha seguio para hacer MDS. Scatter iagram. Si los atos son isimilitues el iagrama e scattering será ecreciente, mientras que si los atos son similitues el iagrama e scattering será creciente. Toos estos conceptos se verán e forma más clara cuano comentemos y representemos gráficamente los resultaos obtenios en un apartao posterior. La forma traicional e escribir una relación eseaa entre proximiaes y istancias es: =a+b, one los valores a y b, para una serie e atos, eben ser escubiertos meiante proceimientos numéricos o con la utilización e cualquier tipo e herramienta informática. Esta fórmula en particular escribe una relación lineal entre y. Un caso particular e la relación anterior es, =b, que escribe una relación lineal entre y meiante una línea recta que pasa por el eje e coorenaas el gráfico. Se puee obtener cualquier tipo e relación que nosotros eseemos ajustano los valores numéricos anteriormente mencionaos, one caa tipo e relación corresponería a un tipo iferente e MDS. Se pueen istinguir, en general, os granes grupos e MDS: MDS métrico. Engloba aquellas relaciones =f() escritas por una fórmula que sigue las relaciones e la métrica. Por ejemplo, para una relación =b si oblamos se obla (Torgerson). MDS no-métrico. Es posible también alcanzar una relación que no es escrita por ninguna fórmula métrica y que se efine sólo por el hecho e que =f() escribe un patrón creciente o ecreciente. En este caso sólo epene el oren e las proximiaes pero no hay relación métrica (Orinal).

8 Capítulo 8. Escalao Multiimensional III Definieno una función objetivo. En este punto, es apropiao ecir algo acerca el proceimiento computacional usao para obtener la configuración e los atos. Existen iferentes aproximaciones computacionales e MDS. Algunas e éstas separan claramente la efinición e la configuración eseaa el proceimiento computacional usao para obtenerla. Otras aproximaciones hacen esta separación menos visible. Aquí, se ha aoptao, como aconseja en [9], hacer una separación clara e la efinición y el proceimiento computacional, pues esto tiene importantes ventajas. Comenzamos efinieno una función objetivo. Ésta aopta istintos nombres en la literatura, como pueen ser: función e error, función e evaluación, función e mérito, el propio e función objetivo y muchos otros. En cualquier caso ésta proporciona un valor que muestra cómo e bien (o e mal) la configuración representa a los atos. Para formar esta función vamos a seguir los pasos que proponen en [9]. 1. El concepto funamental es que las proximiaes se conviertan en istancias a través e una cierta función, esto es: ij =f( ij ) one f( ) ebe ser e algún tipo específico. 2. El siguiente paso para formar icha función, y puesto que estamos vieno cómo e bien se ajusta la configuración a los atos, parece eviente que será la iferencia entre ambas cantiaes, o sea: f( ij ) - ij 3. Puesto que a nosotros nos interesan toas las iscrepancias que surjan e la ecuación anterior, esto es, positivas o negativas, tomamos el cuarao e la cantia anterior. [f( ij ) - ij ] 2 4. Ahora hacemos una suma para toas las proximiaes. [ f( ij) ij ] i i 5. El siguiente paso es iviir la cantia anterior por un factor e escala para hacer el error una meia relativa. El factor e escala usao más habitual es: 2 ij i j 2

9 Capítulo 8. Escalao Multiimensional 6. Finalmente, se toma la raíz cuaraa e too lo anterior, resultano: [ f( ij) ij] i j f stress = 2 Esta ecuación se conoce como stress formula 1 y fue esarrollaa por Joseph B. Kruskal, autor e [9]. Existen variantes a esta fórmula pero únicamente en el factor e escala, como por ejemplo la stress formula 2. Una interpretación rápia e la fórmula anterior es la siguiente, si f- stress crece cuano aumentamos el número e imensiones, esa configuración es peor. Lo que buscamos por tanto es la función f que minimice f-stress, esto es: i j ij 2 stress (,X) = min f-stress (,X,f) la mejor f. all f Hay que usar Por otro lao señalar que f-stress es siempre 0. Si f-stress = 0, entonces hemos conseguio la representación perfecta puesto que se cumple exactamente la iguala ij =f( ij ), para toos los valores e proximia ij. Por supuesto, esto no es posible conseguir en la mayoría e los casos. III Proceimiento computacional. El primer paso consiste en encontrar la mejor f. Esto significa minimizar el f-stress para y X fijas. Una vez que la función f esté fija y eciamos cuál será nuestra función objetivo, sólo nos queará encontrar la mejor configuración X partieno e los atos. Hay que ver la configuración que alcanza el mejor valor posible e la función objetivo. Proceimiento steepest escent. Hay que encontrar un punto e partia para la búsquea. Existen varias opciones para elegir el punto e partia, que serán trataas cuano expliquemos los resultaos obtenios. Dese este punto e partia buscamos un camino que haga isminuir el stress y seguimos por ahí hasta que no poamos isminuirlo más, así sucesivamente hasta que no poamos escener e ninguna manera. Hay que señalar que en la práctica estos pasos no se han seguio puesto que el programa informático SPSS hace toos esos pasos automáticamente y sólo muestra el cómo varía el stress con respecto a un aumento en la imensionalia.

10 Capítulo 8. Escalao Multiimensional III Dimensionalia. Hay que iferenciar entre la mejor imensión y la imensión más apropiaa. A simple vista parece sencillo elegir entre estas os expresiones, pero vamos a aclarar su significao. Mejor imensión. Hace referencia al número e imensiones que obtiene un valor más pequeño el error (stress). Dimensión más apropiaa. Hace referencia al número e imensiones interpretables. Este número puee ser menor o mayor que el número e imensiones reales. Se pueen ar los os casos siguientes: Que haya más irecciones interpretables que imensiones reales. Puee haber, en un espacio biimensional por ejemplo, cuatro irecciones interpretables. Esto puee suceer por muchas razones: que un atributo aunque se hace presente en la interpretación su efecto no sea tan fuerte como para crear una nueva imensión, que una característica está relacionaa con otra o bien porque sólo es relevante para unos pocos estímulos, etc. Se puee ar el caso contrario, en el que haya por ejemplo, tres imensiones reales pero sólo os sean interpretables. Aemás una interpretación puee concernir a os imensiones reales. En cualquier caso elegir el número e imensiones tal, que proporcione un menor error, no es garantía e obtener los mejores resultaos. En nuestro trabajo, la elección el número e imensiones se ha realizao atenieno al criterio subjetivo a la hora e interpretar la configuración, esto es, vieno cuántas imensiones somos capaces e interpretar y consierano la fórmula que explicaremos en un apartao posterior, que especifica el número máximo e imensiones interpretables para un conjunto finito e objetos e entraa. III Diagrama e Scattering o iagrama e Shepar. En el iagrama e Scattering para cualquier configuración se representan las istancias frente a las proximiaes y la función f que mejor se aapta a icha configuración. El iagrama contiene puntos ( ij, ij ) para caa proximia. Los valores f( ij ) no son realmente istancias sino cantiaes que simulan istancias. Examinano un iagrama e Scattering lo primero que se puee observar es cómo se ajustan los puntos el Scattering a la función f.

11 Capítulo 8. Escalao Multiimensional Aemás se pueen ver también la interpretación e la fórmula e stress 1 y 2. Interpretación geométrica e f-stress 1 raíz _ cuaraa _ e _ la _ iscrepancia _ vertical _ entre _ el _ punto _ y _ la _ curva raíz _ cuaraa _ e _ la _ is tancia _ entre _ el _ punto _ y _ el _ eje Interpretación geométrica e f-stress 2 raíz _ cuaraa _ e _ la _ iscrepancia _ vertical _ entre _ el _ punto _ y _ la _ curva raíz _ cuaraa _ e _ la _ is tancia _ el _ punto _ a _ la _ línea Una ventaja que posee MDS es que es una técnica muy robusta, en el sentio que si una configuración es obtenia usano una función f eterminaa, ésta no será muy iferente e usar otra configuración con otra f. Esto ocurre cuano el número e objetos I es elevao, o al menos cuano cumple cierta conición que veremos a continuación. Si el número e objetos I no es elevao icha robustez esparece. Otro fenómeno importante enominao egeneración se muestra también e forma clara en el iagrama e Scattering. Este fenómeno significa que los puntos se sitúan en un pequeño número e localizaciones, esto ocurre si se cumplen las coniciones siguientes: Se usa MDS no métrico. Los objetos tienen una agrupación propia que proviene e su naturaleza. Normalmente en tres o menos grupos, one las (i)similitues entro e estos grupos son (menores)mayores que con respecto a los emás grupos. III Interpretación e la configuración. Tomaa una ecisión acerca e la configuración elegia y, por tanto, el número e imensiones, el siguiente paso consiste en interpretar estas imensiones, esto es, arles un nombre sobre conceptos que tengan relación con los atos e entraa. Esto no es una tarea fácil y, en nuestro caso, nos hemos ayuao e otra técnica e análisis multivariante, como es el Análisis Jerárquico e Grupos (HCA), que será explicaa en un apartao posterior. Un aspecto importante a tener en cuenta es, ao un número e objetos, qué número máximo e imensiones porá explicar e forma coherente ese conjunto e atos e entraa. Existe una regla que nos proporciona esta elección. ( I 1) 4R one I es el número e estímulos y R el número e imensiones.

12 Capítulo 8. Escalao Multiimensional Hay que mirar en la frontera e la configuración. Como ijimos anteriormente los ejes e la configuración eben tener un significao entro el campo e aplicación tratao. Debio a que en muchas ocasiones el número e imensiones obtenias es mayor a tres, se hace imposible su representación espacial. Para solucionar esto se pueen ver las proyecciones e los puntos en ichos ejes representaos os a os. Hay que hacer notar que estos ejes pueen ser rotaos, ya que lo que se mantiene y, en lo que se basa MDS, es en las istancias existentes entre los puntos, las cuales se conservan incluso cuano se rotan los ejes, sin embargo las proyecciones cambian rásticamente. En algunas ocasiones la interpretación e las imensiones no es naa fácil y como solución a esto se intentan agrupar los objetos e entraa en grupos o regiones que tengan características compartias. Esto ocurre a menuo cuano se representa la solución 2-D para atos cuya imensionalia óptima es mayor. III Escalao multiimensional ponerao WMDS (Weighte Multiimensional Scaling) Si bien esta técnica no ha sio utilizaa a lo largo e este proyecto, la explicaremos brevemente porque consiera aspectos que antes no fueron trataos. Toa la teoría explicaa hasta ahora se conoce con el nombre e CMDS (Classical MDS) pues fue la que se esarrolló en los inicios. Sólo consiera una matriz e proximiaes, lo que a efectos prácticos significa que los valores incluios en esta matriz son resultao e la meia e los istintos valores iniviuales proporcionaos por los iversos iniviuos. Ahora bien, consieremos que para caa uno e los K iniviuos que establecen los criterios e proximia entre los objetos e entraa, se construye una matriz istinta. Existirán por tanto K matrices e proximiaes istintas. La característica principal e caa una e esas matrices es que contienen rasgos istintivos el criterio similitu e caa iniviuo, puesto que caa uno e ellos verá los objetos e entraa según su juicio. La notación explicaa en un apartao anterior sigue sieno vália, pero ahora hay que introucir esos rasgos iferenciaores en las fórmulas, para ello se hace uso e unos pesos Weighte que contienen esta información. Habrá por tanto K pesos istintos w k