MMII_CV_c1 CÁLCULO VARIACIONAL: Introducción y modelo básico.

Transcripción

1 MMII_CV_c CÁLCULO VARIACIONAL: Introucción moelo básico. Guión Esta es una clase e introucción al Cálculo e Variaciones (CV). Por un lao, se establece su relación con otros campos e la Optimización en Matemática Aplicaa, establecieno las iferencias con la Programación Matemática el Control Óptimo. Por otro lao, se estuia, con un ejemplo, la relación entre los moelos e optimización el CV con los problemas e contorno e las ecuaciones iferenciales, que son el objeto el curso. En la seguna parte e la clase, se introuce el moelo básico el CV, que es el caso más sencillo que sirve e base para las etensiones el mismo que serán objeto e las clases siguientes. Para su introucción se utiliza una aproimación intuitiva que en términos e las perturbaciones e las traectorias caniatas a óptimas que nos permitirá obtener las Coniciones Necesarias e Primer Oren e Óptimo Local el moelo básico. Libros recomenaos: Apuntes e Métoos Matemáticos Ecuaciones Diferenciales Cálculo Variacional, e L. Elsgoltz. Ejercicio recomenao: Obtener los etremales e Opt J ( ) ( ' ) e () ; () e e Estas notas son solo una aua, que ni pretener ni pueen sustituir a la asistencia a clase, one se esarrollan los conceptos, se aclararán las uas se subsanaran posibles erratas, a la consulta e la bibliografía recomenaa.

2 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VARIACIONAL Se trata e obtener una función *() que optimice (maimice o minimice) un funcional J( ) efinio en E, one E es un espacio e funciones. Opt J(), E,one J: E () J(()) f(,, '), one E es un espacio normao funcional, por ejemplo, (),, E C,, one, sieno el conjunto e funciones amisibles efinio por: E porque sus traectorias pasan por los puntos fijos: E : ( ), ( ) Las () amisibles son toas las traectorias que pertenecieno a E cumplan la conición e pasar por los puntos: (, ), (, ). Denominamos curva o traectoria óptima, *() aquella que optimiza el funcional J(), que poemos efinir por: *() arg óptimo e J(), E, one arg. es la función argumento e. El valor óptimo el funcional lo epresaremos: J( * )=J *. El CV lo utilizamos para caracterizar los problemas e contorno e las ecuaciones iferenciales, es lo que enominaremos la formulación variacional (FV) e estos problemas. Es por lo tanto una formulación alternativa a las formulaciones fuerte ébil que hemos estuiao en los capítulos anteriores. La FV se plantea los problemas e contorno en términos e minimizar la energía el sistema. La FV es equivalente a la FD por su generalia teórica. Su teoría métoos serán aplicables para resolver problemas e ecuaciones en erivaas parciales tanto lineales como no lineales. El CV tiene métoos numéricos propios, como por ejemplo el métoo e elementos finitos, e Ritz, e Garlequin etc., que no estuiaremos pero que quea como tema voluntario para los alumnos interesaos.

3 Comparemos el CV: Opt J( ), E, con los métoos e optimización que conocemos en imensión finita, que se enominan e Programación matemática (PM): Opt f ( ), n. En PM optimizamos funciones efinias en subespacios e n. La versión moerna el CV es el Control óptimo (CO): Opt J( u, v), u U E, vv E (one u es variable e estao, efine el sistema, v es variable e control). Ej_CV_c: Para un problema e contorno lineal efinio por una EDO lineal, veamos cuales son su FF su FV. Sea una EDO efinia por el operaor e Sturm Liouville regular: L SL u F( ), SL, l, L p( ) q( ) con las coniciones e contorno: u() ; ( pu ')( l) En la FV el problema se formula en términos e optimizar el funcional: J u pu qu uf u u() l ( ) ( ' ) No es necesario eplicitar las coniciones e contorno Newmann, pues surgen como coniciones naturales en la FV, como estuiaremos. MODELO BÁSICO DEL CÁLCULO DE VARIACIONES (MB(CV)) Opt J( ) f, ( ), ( ) V C, ; ( ), ( ) De toas las funciones amisibles (traectorias) buscamos las que optimizan el funcional J(). Coniciones e regularia: f C. Estuiaremos sólo la minimización el funcional, pues: min J() = - ma(-j()). Veamos las efiniciones básicas e mínimo local global: 3

4 J( *) J( ), V * es mínimo global e J en V si: * es mínimo local e J en V si: J( *) J( ), V, próimo a * Para efinir la proimia entre funciones, se introucen las métricas: - Variaciones fuertes (VF) o e oren cero: Si ( ) *( ),, * o, lo que es lo mismo, si *. - Variaciones ébiles (VD) o e oren uno: Si * ' '*, * próimas próimas En el ejemplo las traectorias están próimas según las VF pero no según las VD. La notación que se va a usar es: * óptimo local; caniato a óptimo local (si verifica las coniciones necesarias e óptimo). J* J( *) o J J( ). Por otro lao, ponremos hacieno referencia a las funciones e perturbación h respecto e la caniata a traectoria óptima,, usano un escalar, h h ; h V hc : h( ) h( ), h funciones e perturbación, emparentaas con las funciones e prueba e la FD, La conición e mínimo local: * * h h' * J* J J*, V, pro, nos quea: J f (, h, ' h') f (,, '), h V Desarrollo f en serie e Talor e alreeor e, a lo largo e h, h' : 4

5 J 3 f f h f ' h ' f h f ' ' h ' f ' hh ' o ( ) f 3 J J J o( ), h V que se puee epresar por: (, one J f h f h' ), variaciones e primer oren e J en, J f h f h' f hh', variaciones e seguno oren e J en,. J J J o( ), J J J o( ),, lo que implica que: J J o( ), h V, La conición necesaria e primer oren para óptimo local (cno (ol)) se obtiene pasano al límite cuano tiene a cero: J, h V (f h f h'), h V Integrano por partes el seguno término e las cn(ol): f h' hf h f h f, pues h ( ) ( ) h h(f f ), h V Lema e Funamental el Cálculo e Variaciones (LFCV): C, (),, h, h V Demostración por reucción al absuro: Suponemos que Por ser C ', ', : ( ), ', ', : ( ) Tomano ( ' ) ( ' ), ', ' hv ; h resto h pues h, lo que contraice h. 5

6 C Aplicano el LFCV a: f f ; ( ),, h cno(ol): f f,, Ecuación enominaa e Euler, que es una EDO e º oren, que junto con las coniciones e contorno constitue el problema e contorno que efine las cno(ol). Su resolución proporciona los etremales (caniatos a óptimo local): f () f () f () ' f () '' ( ) ; ( ) 6