28.1. Los campos. Capítulo 28

Transcripción

1 28 El campo eléctrico El 25 de agosto de 1989, doce años después de su lanzamiento, la nave espacial Voyager 2 pasó cerca del planeta Neptuno, a una distancia de km. de la Tierra. Entre otros descubriminetos, el Voyager reportó la observación de seis lunas previamente desconocidas de Neptuno y un ssitema de anillos. La clave para entender este tipo de comunicación está en el campo electromagnético. Los electrones ue se mueven en los circuitos eléctricos del Voyager establecen un campo eléctrico y las variaciones de su movimiento causan perturbaciones en el campo para viajar a la velocidad de la luz. Más de 4 horas más tarde, los electrones en los cricuitos de la Tierra detectan estos cambios en el campo y se mueven en concordancia con estas Los campos En la matemática se estudia a los campos escalares y a los campos vectoriales. Las distribuciones de temperatura o presión en un recinto son ejemplos de campos escalares ue asocian un valor numérico a cada punto en el espacio, en tanto ue una distribución de velocidades en un fluído y la aceleración gravitacional son ejemplos campos vectoriales ue asocian un vectro a cada punto en el espacio. Cuando se estudió al campo gravitacional g, se definió como la fuerza gravitacional F por unidad de masa de prueba m 0, o Halliday, Resnick, Krane 1 Fisica II

2 g = F m 0. (28.1) Este es un campo vectorial y es, generalmente, estático cunado la distribución de masas del cuerpo gravitacional permanece constante. Cerca de la superficie de la Tierra, y en puntos cercanos entre sí, el campo es uniforme, lo ue significa ue g tiene la misma magnitud y dirección en los puntos vecinos. En el caso gravitacional se tiene ue una masa interactúa directamente con otra masa masa pero más propiamente la interacción se puede expresar como. masa campo masa El campo eléctrico E Haciendo una analogía con la fuerza gravitacional, la fuerza de Coulomb entre las cargas invita a representar la interacción entre cargas como carga carga Halliday, Resnick, Krane 2 Fisica II

3 . Y si de nuevo se tiene a un intermediario, entonces carga campo carga. Esto es, la primera carga establece un campo eléctrico y la segunda interactúa con dicho campo. Así, el problema de determinar la interacción entre las cargas se reduce a: (1) determinar, mediante mediciones o cálculos, el campo eléctrico establecido por la primera carga en cada punto del espacio y (2) calcular la fuerza ue el cmapo ejerce sobre la segnuda carga puesta en un punto particular del espacio. Así, por analogía con el caso gravitacional, y usando una carga de prueba positiva 0 en un punto partivcular, se tiene E = F 0. (28.2) La dirección de E es la misma ue la de F ya ue 0 > 0. En el SI la unidad de medida es (N/C). La figura 28.1 ilustra el campo eléctrico ue actúa como intermediario en la interacción entre dos cargas. En la figura 1a, la carga 1 establece un campo eléctrico en el espacio ue la rodea. El campo actúa sobre la carga 2, ue resulta en la fuerza F 2. La figura 1b muestra la situación simétrica. Halliday, Resnick, Krane 3 Fisica II

4 Figura 28.1 Estrictamente lo correcto es considerar F E = lím. (28.3) Ejercicio 1. Se coloca a un protón dentro de un campo eléctrico uniforme E. Cuál debe ser la magnitud y dirección de la fuerza electrostática ue actúe sobre el protón para balancear justo su peso? Solución. De la ecuación (28.2), reemplazando 0 por e y F por mg, se tiene Halliday, Resnick, Krane 4 Fisica II

5 E = F = mg 0 e = ( kg)(9.8 m/s 2 ) = N/C C ue apunta verticalmente hacia arriba El campo eléctrico debido a cargas puntuales Sea 0 una carga de prueba positiva colocada a una distancia r de una carga puntual. La magnitud de la fuerza ue experimenta 0 debida a la presencia de es Figura 28.2 F = 1 0 r 2. La magnitud del campo eléctrico en el sitio en el ue se encuentra 0 es E = F 0 = 1 r 2. (28.4) Halliday, Resnick, Krane 5 Fisica II

6 La figura 28.2 muestra la magnitud y dirección de E en varios puntos alrededor de una carga puntual. Cuando se tienen N cargas puntuales se aplica el principio de superposición para calcular el campo eléctrico en un punto dado (diferente de la localización de las cargas puntuales), de modo ue E en el punto de interés es E = E 1 + E 2 + E = N E i. (28.5) i=1 Ejercicio 2. En un átomo de helio ionizado (un átomo de helio en el ue se ha eliminado a uno de sus dos electrones), el electrón y el núcleo están separados por una distancia de 26.5 pm. Cuál es el campo eléctrico debido al núcleo en la localización del electrón? Solución. De la ecuación (28.4), con 0 (la carga total del núcleo) igual a +2e : E = 1 r 2 = ( 8.99) 10 9 N m2 C 2 ) 2( C) ( m) 2 = N/C. Ejercicio 3. La figura 28.3 muestra una carga 1 =+1.5 µc y una carga 2 = +2.3 µc. La primera carga está en el origne del eje x y la segunda está en una posición x = L, donde L = 13 cm. En cuál punto P, a lo largo del eje x el campo eléctrico es cero? Halliday, Resnick, Krane 6 Fisica II

7 1 x 2 E 2 P E 1 L Figura 28.3 x Solución. El punto debe estar entre las posiciones de las cargas debido a ue sólo en esta región las fuerzas ejercidas por 1 y 2 sobre una carga de prueba se oponen mutuamente. Si E 1 es el campo eléctrico debido a 1 y E 2 el debido a 2, las magnitudes de estos vectores deben ser iguales, o De la ecuación (28.4) se tiene ue 1 1 x 2 = 1 2 (L x) 2, donde x es la coordenada del punto P. Resolviendo para x x = L / 1 = 13cm 1 + = 5.8 cm. 2.3µC/1.5µC Halliday, Resnick, Krane 7 Fisica II

8 El dipolo eléctrico d z r x P x La figura 28.4 muestra una carga positiva y una negativa de la misma magnitud,, y separadas una disdtancia d; a esta configuracion se le llama dipolo eléctrico. Se pretende calcular E en el punto P, a una distancia x a lo largo del bisector perpendicular de la línea ue pasa a través a las cargas. r E Figura 28.4 E E E = E + + E. E + = E = 1 r 2 = 1 x 2 + (d/2) 2, (28.6) es la magnitud del campo. Haciendo el desarrollo en forma vectorial: las posicines de las cargas son (0, d/2) para +, (0, d/2) para y (x,0) para el punto P. Así ue E = ( xî (d/2)ĵ xî + (d/2)ĵ [x 2 + (d/2) 2 ] 3/2 [x 2 + (d/2) 2 ] 3/2 ) = 1 d ĵ [x 2 + (d/2) 2 ] 3/2. Como puede verse, coincide con el resultado ue se muestra en la figura Halliday, Resnick, Krane 8 Fisica II

9 Así, se define a p como el momento dipolar eléctrico: p = d. (28.7) El momento dipolar eléctrico es una propiedad fundamental de las moléculas, ue con frecuencia tienen una carga positiva y una carga negativa de la misma amgnitud, separadas por una distancia definida. En mcuhas ocasiones se observa al campo eléctrico de un dipolo desde puntos P desde una distancia x d. Usando la expansión binomial se puede aproximar E = 1 p x 3 1 [x 2 + (d/2) 2 ] 3/2 = 1 p x 3 por lo ue (1 + y) n n(n 1) = 1 + ny + y , 2! E = 1 p x 3 [ ( d 1 + 2x [ ( ) 2 ] 3/2 = 1 [ ( p x )( ) 2 ] d 2 2x )( ) 2 d +...] 2x E = 1 p x 3. (28.8) Halliday, Resnick, Krane 9 Fisica II

10 La figura 28.5 muestra la magnitud del campo eléctrico como función de la distancia. 0 E(x) x x x10-10 Figura 28.5 Tal como se esperaba, a medida ue crece la distancia entre P y el dipolo ambas expresiones dan resultados cada vez más parecidos. Halliday, Resnick, Krane 10 Fisica II

11 28.4. Las líneas de fuerza Michael Faraday no apreció el concepto del vector campo eléctrico pues lo consideraba en términos de líneas de fuerza. 1. Las líneas de fuerza indican la dirección del campo eléctrico en cualuier punto. 2. Las líneas de fuerza se originan en las cargas positivas y teminan en las negativas. 3. Las líneas de fuerza se trazan de manera ue el número de líneas por unidad de sección transversal (perpendicular a las líneas) sea proporcional a la magnitud del campo eléctrico El campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga Aunue la carga eléctrica está cuantizada, una colección de un gran número de cargas elementales se puede ver como una distribución continua de carga. El campo establecido por una distribución continua de cargas se puede calcular dividiendo a la distribución en elementos infinitesimales d. Cada elemento de carga Halliday, Resnick, Krane 11 Fisica II

12 establece un campo de en un punto P, y el campo resultante se en P se encuentra usando el principio de superposicion, de modo ue E = de. (28.9) En coordenadas rectangulares E x = de x, E y = de y y E z = de z. Por lo ue de = 1 d r 2, (28.10) donde r es la distancia entre el elemento de carga d y el punto P. Una distribución continua de carga está descrita por su denisdad de carga. En una distribución lineal, con densidad lineal de carga λ se tiene d = λds, (28.11) Si la distribución de cargas es uniforme entonces λ es constante y si L es la longitud del objeto d = ds. (28.12) L Halliday, Resnick, Krane 12 Fisica II

13 Si la carga está distribuida sobre una superficie, con densidad superficial de carga σ se tiene d = σda, (28.13) Si la distribución de cargas es uniforme entonces σ es constante y si A es el área superficial del objeto d = da. (28.14) A Cuando la carga está distribuida en tres dimensiones, con densidad volumétrica de carga ρ se tiene d = ρdv, (28.15) Si la distribución de cargas es uniforme entonces ρ es constante y si V es el volumen del objeto d = dv. (28.16) V Un anillo de carga La figura 28.6 muestra un anillo delgado de radio R ue porta una densidad lineal de carga uniforme λ alrededor de su circunferencia. Cuál es el campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del plano del anillo y a lo largo de su eje central? Halliday, Resnick, Krane 13 Fisica II

14 z de cos de de P r z R y ds x Figura 28.6 Considere un elemento ds del anillo en alguna posición arbitraria del mismo. El elemento de carga es d = λds, y establece un elemento diferencial de campo de en el punto P. es la magnitud del campo. de = 1 λds xî yĵ + z ˆk x 2 + y 2 + z 2 (28.17) x 2 + y 2 + z 2 Halliday, Resnick, Krane 14 Fisica II

15 Considerando un elemento ds del lado diametralmente opuesto (haciendo una rotación de180 alrededor del eje z ), se localizará en ( x, y, z), así el elemento diferencial del campo eléctrico es de = 1 λds x 2 + y 2 + z 2 xî + yĵ + z ˆk x 2 + y 2 + z 2 Por lo ue sumando estas dos contribuciones se tiene de = 1 λds x 2 + y 2 + z 2 z ˆk x 2 + y 2 + z 2 (28.18) Este resultado es el mismo para cada paerja de elementos ds ue sean diametralmente opuestos, así ue 1 zλds E = ˆk (R 2 + z 2 ) 3/2 (28.19) Así ue la magnitud es E = zλ Pero = λ(2πr), así ue ds (R 2 + z 2 ) 3/2 = zλ(2πr) (R 2 + z 2. (28.20) ) 3/2 Halliday, Resnick, Krane 15 Fisica II

16 z E z = E = (R 2 + z 2. (28.21) ) 3/2 La ecuación (28.21), da la dirección correcta para el campo cuando z < 0?, y cuando < 0? Para puntos z R se tiene E z 1 z 2 (z R). (28.22) A grandes distancias la distribución de cargas se parece a una carga puntual. Un disco de carga La figura 28.8 muestra un disco circular de plástico de radio R, ue porta una densidad de carga superficial uniforme σ en su superficie superior. Cuál es del campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del disco a lo largo de su eje? Conviene dividir al disco en sectores anulares de radio w y anchura dw, de modo ue su carga es d = σda = σ(2πw)dw. (28.23) Usando el resultado del ejercicio anterior se tiene Halliday, Resnick, Krane 16 Fisica II

17 z de P z dw x w R y Figura 28.7 Así Integrando se obtiene zσ2πw dw σz de z = (z 2 + w 2 = (z 2 + w 2 ) 3/2 (2w)dw. ) 3/2 4ɛ 0 E z = E z = σ 2ɛ 0 ue sólo es válida para z>0. de z = σz 4ɛ 0 ( 1 R 0 ) z z 2 + R 2 (z 2 + w 2 ) 3/2 (2w)dw. (28.24) (disco cargado) (28.25) Halliday, Resnick, Krane 17 Fisica II

18 Para z R se tiene ue E z = σ 2ɛ 0 (hoja infinita). (28.26) La línea infinita de carga La figura 28.8 muestra una sección de una línea infinita de carga cuya densidad lineal de carga tiene un valor consdtante λ. Cuál es el campo E a una distancia y de la línea? z z -z dz d r de z y P r de y de y x Figura 28.8 Halliday, Resnick, Krane 18 Fisica II