El Campo Eléctrico INTRODUCCIÓN

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN En este tema introduciremos el campo eléctrico y veremos cómo puede describirse mediante las líneas de campo, las cuales indican la magnitud y dirección del campo, discutiremos el comportamiento de las cargas puntuales y las distribuciones continúas de carga y finalmente los dipolos en campos eléctricos. El Campo Eléctrico La fuerza eléctrica ejercida por una carga sobre otra es un ejemplo de acción a distancia, semejante a la fuerza gravitatoria ejercida por una masa sobre otra. Para evitar el problema de la acción a distancia se introduce el concepto de campo eléctrico E. Una carga crea un campo eléctrico E en todo el espacio y este campo ejerce una fuerza sobre la otra carga. La fuerza es así ejercida por el campo en la posición de la segunda carga, más que por la propia primera carga que se encuentra a cierta distancia.

2 Figura 1: Una pequeña carga testigo en las proximidades de un sistema de cargas La figura 1 muestra una serie de cargas puntuales, q 1, q 2 y q 3 dispuestas arbitrariamente en el espacio. Si situamos una carga q 0 en algún punto próximo a este sistema de cargas, sobre ella se ejercerá una fuerza. La presencia de la carga q 0 cambiará generalmente la distribución original de las restantes cargas, particularmente si las cargas están depositadas sobre los conductores. Sin embargo, podemos elegir q 0 suficientemente pequeña para que su efecto sobre la distribución de carga sea despreciable. En estas condiciones diremos que se trata de una carga de ensayo o testigo, pues se utiliza para estudiar el campo creado por otras cargas sin perturbarlas. La fuerza neta ejercida sobre q 0 es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas sobre q 0 por cada una de las otras cargas del sistema. Según la ley de Coulomb, cada una de estas fuerzas es proporcional a q 0. El campo eléctrico E en un punto se define como la fuerza resultante sobre una carga de ensayo positiva q 0 dividida por q 0 : E = F/ q 0 con q 0 pequeña La unidad SI del campo eléctrico es el newton por coulomb (N / C). En la tabla se relacionan las magnitudes de algunos de los campos eléctricos encontrados en la naturaleza. Obsérvese que el campo eléctrico es un vector que obedece al principio de superposición. Es decir, el campo eléctrico resultante producido por un sistema de cargas se determina calculando el campo eléctrico debido a cada carga del sistema por separado y después sumando estos vectores para obtener el campo eléctrico resultante. Algunos Campos Eléctricos en la Naturaleza

3 E, N/C En los cables domésticos 10-2 En las ondas de la radio 10-1 En la atmósfera 10 2 En la luz solar 10 3 Bajo una nube tormentosa 10 4 En la descarga de un relámpago 10 4 En un tubo de rayos X 10 6 En el electrón de un átomo de hidrógeno 6 X En la superficie de un núcleo de uranio 2 X El campo eléctrico E es un vector que describe la condición en el espacio creado por el sistema de cargas puntuales. Desplazando la carga ensayo q 0 de un punto a otro, podemos determinar E en todos los puntos del espacio (excepto el ocupado por la carga q). El campo eléctrico E es, por tanto, una función vectorial de la posición. La fuerza ejercida sobre una carga de ensayo q 0 en cualquier punto está relacionada con el campo eléctrico en dicho punto por: F = q 0 E El campo eléctrico debido a una sola carga puntual q i en la posición r i puede calcularse a partir de la ley de Coulomb. Si situamos una pequeña carga testigo positiva q 0 en algún punto P a la distancia r i0, la fuerza que actúa sobre ella es: F i0 = k q i q 0 ^r i0 r 2 i0 en donde ^r i0 es el vector unitario que apunta de q 1 a q 0. El campo eléctrico en el punto P debido a la carga q i es, por tanto: E i0 = k q i r 2 i0

4 El campo disminuye con la distancia creado por un generador Van de Graaff que posee una gran carga negativa que atrae los iones positivos de la llama más próxima, mientras que la llama de la derecha no se afecta por el campo en donde r i0 es la distancia de la carga al punto P llamado punto del campo y ^r i0 es un vector unitario que apunta desde la carga hasta P. Esta es la ley de Coulomb referida al campo eléctrico creado por una sola carga puntual. El campo eléctrico resultante debido a una distribución de cargas puntuales se determina sumando los campos originados por carga separadamente: E = E i = k q i r 2 i0 Un sistema de dos cargas iguales y opuestas q separadas por una pequeña distancia L se denomina dipolo eléctrico. Su característica fundamental es el momento dipolar eléctrico p, o vector que apunta de la carga negativa a la positiva y cuya magnitud es el producto de la carga q por la separación L. Si L es el vector desplazamiento de la carga positiva contado desde la carga negativa, el momento dipolar es: p = q L Para el dipolo mostrado en la figura 3, el desplazamiento de la carga positiva es L = 2ai y el momento dipolar eléctrico es:

5 p = 2 a q i En función del momento dipolar, el campo eléctrico sobre el eje del dipolo en un punto a gran distancia x tiene la magnitud: E = 2 k p / x 3 Es decir, el campo eléctrico en un punto alejado del dipolo es proporcional al momento dipolar y disminuye con el cubo de la distancia. Líneas de Campo Eléctrico Resulta conveniente representar el campo eléctrico dibujando las líneas que indican la dirección del campo en cualquier punto. El vector campo E es tangente a la línea en cada punto e indica la dirección del campo eléctrico en dicho punto. Las líneas del campo eléctrico se llaman también líneas de fuerza, ya que muestran la dirección de la fuerza ejercida sobre una carga testigo positiva. En todo punto próximo a una carga positiva, el campo eléctrico apunta radialmente alejándose de la carga. Las líneas de campo eléctrico, por tanto, divergen desde un punto ocupado por una carga positiva. Igualmente, el campo eléctrico próximo a una carga puntual negativa apunta radialmente hacia esta carga y, por tanto, las líneas de campo eléctrico están dirigidas siempre hacia una carga negativa. El razonamiento utilizado en los ejemplos precedentes puede aplicarse para dibujar las líneas de fuerza de cualquier sistema de cargas puntuales. En un lugar próximo a cada una de las cargas, las líneas del campo poseen la misma separación y según el signo de la carga se alejan o se acercan a ella. Lejos de todas las cargas, la estructura pormenorizada del sistema no es importante, y las líneas del campo son las mismas que las correspondientes a una única carga puntual igual a la carga neta del sistema. Para una futura referencia resumimos a continuación las reglas para dibujar las líneas de campo eléctrico: 1. Las líneas de campo eléctrico comienzan en las cargas positivas y terminan en las negativas (o en el infinito). 2. Las líneas se dibujan simétricamente saliendo o entrando en la carga. 3. El número de líneas que abandonan una carga positiva o entran en una carga negativa, es proporcional a la carga. 4. La densidad de líneas (número de ellas por unidad de área perpendicular a las mismas) en un punto es proporcional al valor del campo en dicho punto. 5. A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas de campo están igualmente espaciadas y son radiales como si procediesen de una sola carga puntual igual a la carga neta del sistema.

6 6. No pueden cortarse nunca dos líneas de campo. La regla 5 se deduce del hecho de que E tiene una dirección única en cualquier punto del espacio (excepto en el punto ocupado por una carga puntual o donde E = 0). Si se cortasen dos líneas, existirían dos direcciones para E en el punto de intersección. Líneas de Campo Eléctrico Movimientos de cargas puntuales en campos eléctricos. Cuando una partícula con carga q se coloca en una campo eléctrico E, experimenta la acción de una fuerza qe. Como hemos visto, las fuerzas gravitatorias que actúan sobre una partícula son usualmente despreciables en comparación con las fuerzas eléctricas. Si la fuerza eléctrica es la única fuerza significativa que actúa sobre la partícula, ésta adquiere una aceleración: a= (q / m) E siendo m la masa de la partícula.* Si el campo eléctrico se conoce, puede determinarse la relación carga a masa de la partícula a partir de la aceleración medida. Por ejemplo, en el caso de un campo eléctrico uniforme, la trayectoria de la partícula es una parábola semejante a la de un proyectil en un campo gravitatorio uniforme. La medida de la desviación de los electrones en un campo eléctrico uniforme fue utilizada por J.J. Thompson en 1897 para demostrar la existencia de los electrones y para medir su relación carga a masa. El osciloscopio y el tubo de imágenes de un televisor son ejemplos de aparatos basados en el movimiento de los electrones en campos eléctricos. Daremos ahora algunos ejemplos de movimientos de electrones en campos eléctricos constantes. Los problemas de este tipo pueden resolverse utilizando las fórmulas de la

7 aceleración constante o las ecuaciones correspondientes al movimiento de proyectiles. *Con frecuencia la velocidad de un electrón en un campo eléctrico es una fracción importante de la velocidad de la luz; en este caso, las leyes de Newton del movimiento deben sustituirse por la teoría especial de la relatividad de Einstein. Dibujo esquemático de un tubo de rayos catódicos utilizado en la televisión de color. Los haces de electrones procedentes del cañón electrónico, a la derecha, activan sustancias fosforescentes sobre la pantalla a la izquierda, dando lugar a un punto brillante cuyo color depende de la intensidad relativa de cada haz. Los campos eléctricos establecidos entre las placas deflectoras en el cañón desvían los haces. Éstos barren la pantalla siguiendo una línea horizontal, se desvían hacia abajo y barren otra línea. La pantalla entera es barrida cada 1/30 s. Dipolos Eléctricos en Campos Eléctricos. En algunas moléculas, el centro de la carga positiva no coincide con el centro de la carga negativa, incluso en la ausencia de un campo eléctrico externo. Estas moléculas polares se dice que tienen un momento dipolar eléctrico permanente. Cuando se coloca una molécula de este tipo dentro de un campo eléctrico uniforme, no existe sobre ella ninguna fuerza neta, pero aparece un par que tiende a hacer girar la molécula, de modo que el dipolo se alinea con el campo. El momento ejercido por dos fuerzas iguales y opuestas, o par, es el mismo alrededor de cualquier punto en el espacio. El momento alrededor de la carga negativa tiene la magnitud F 1 L sin = qel sin pe sin. El momento está dirigido normalmente al papel, hacia adentro, de tal modo que tiende a situar el momento dipolar p en la dirección del campo eléctrico E. El momento del par puede escribirse convenientemente como el producto vectorial del momento dipolar p y el campo eléctrico E:

8 p X E Cuando el dipolo gira un ángulo, el campo eléctrico realiza un trabajo dw = - d pe sin d El signo menos es debido a que el momento tiende a disminuir. Igualando este trabajo con la disminución de energía potencial, resulta: e integrando du = -dw = + pe sin d U = - pe cos + Uo Es costumbre elegir como energía potencial cero la energía potencial correspondiente a una situación en la que el dipolo es perpendicular al campo eléctrico, es decir, cuando = 90. Entonces Uo = 0, y la energía potencial del dipolo es: U = - pe cos - p. E En un campo eléctrico no uniforme, una molécula polar experimenta una fuerza neta, ya que el campo eléctrico tiene magnitudes distintas en los centros de la carga positiva y negativa. Un ejemplo de molécula polar es el HCl, formado esencialmente por un ion hidrógeno positivo de carga +e combinado con un ion cloro negativo de carga -e. Otro ejemplo de molécula polar es el agua. El momento dipolar de la molécula de agua es el principal responsable de la absorción energética que experimentan los alimentos en un horno de microondas. Como todas las ondas electromagnéticas, las microondas poseen un campo eléctrico oscilante que puede hacer vibrar a los dipolos eléctricos. La vibración del momento dipolar eléctrico de la molécula de agua en resonancia con el campo eléctrico oscilante de las microondas da lugar a la absorción de energía transportada por las microondas.

9 Densidad de carga eléctrica. Densidad de carga volumétrica. Cuando una carga eléctrica es distribuida en toda una región del espacio, podemos definir la densidad de carga eléctrica promedio como la carga total en la región dividida por el volumen de la región. La densidad de la carga eléctrica se simboliza por y tiene las unidades de coulomb sobre metro cúbico, cuando el volumen V contiene la carga total q, entonces la densidad de carga promedio es: prom = q / V La carga total puede ser encontrada del volumen y la densidad de carga promedio, es decir: q = ( prom ) (V) Estas relaciones son similares a la definición de la densidad de la masa. En la interacción entre cargas, supongamos que lleguen a un arreglo equilibrado en el cuál la fuerza neta actuando en cada carga sea cero; por lo tanto, es frecuente encontrar distribuciones de carga que no son uniformes. Podemos definir la densidad de la carga variable en función de la posición, esto es: (^r) donde ^r = x â x + yâ y + zâ z que describe la presencia de cargas infinitesimales (dq en cada región infinitesimal) del espacio con volumen dv; es decir que podemos expresar la densidad de carga como: (r) = dq/dv El diferencial de volumen dv puede expresarse en diferentes sistemas de coordenadas dependiendo del problema en cuestión, y puede ser: cartesianas, esféricas y cilíndricas. Densidad de carga lineal y superficial. Si la región cargada eléctricamente es muy delgada comparada con su longitud y distante de otros cuerpos, entonces se puede representar por una línea matemática (ideal), con una distribución de carga unidimensional. La distribución de carga lineal se puede representar por: =dq/dl

10 La densidad de carga lineal está expresada en unidades de C/m Si la carga se encuentra distribuida sobre una superficie en una región del espacio distante de otros cuerpos se puede representar matemáticamente por la siguiente expresión: (r) = dq/ ds El diferencial de superficie se debe expresar en sus coordenadas apropiadas. La densidad de carga superficial está dada en unidades de coulomb / metro². Campo Eléctrico E sobre el eje de una carga lineal finita. Una carga uniforme Q está distribuida a lo largo del eje x desde x = 0 a x = L. La densidad de carga lineal para esta carga es = Q / L. Queremos determinar el campo eléctrico producido por esta carga lineal en un punto P sobre el eje x, en x = x o, siendo x o > L. Si elegimos un pequeño elemento diferencial dx que dista x del origen. El punto del campo P se encuentra a una distancia r = x o - x de este elemento de carga. El campo eléctrico debido a este elemento de carga está dirigido a lo largo del eje x y su magnitud es: Sustituyendo = Q / L resulta de x = k dq = k dx (x o - x) 2 (x o - x) 2 E x = k Q x o (x o - L) Como puede verse, si L es mucho menor que x o, el campo eléctrico en x o es aproximadamente kq / x o 2. Es decir, si estamos suficientemente lejos de la carga lineal, ésta se comporta como una carga puntual. Campo Eléctrico E sobre la mediatriz de una carga lineal finita. Determinaremos a continuación el campo eléctrico debido a una carga lineal uniforme de longitud L y carga total Q en un punto P sobre la mediatriz (perpendicular en su punto medio) de la línea. Hemos escogido un sistema de coordenadas tal que el origen se

11 encuentra en el centro de la carga lineal, la carga está distribuida sobre el eje x y el punto del campo P está sobre el eje y. El campo tiene una componente paralela a la carga lineal y otro perpendicular a ésta. Sin embargo, dada la simetría de la distribución por cada carga elemental a la derecha del origen, existe otro a la izquierda que produce una componente paralela a de, igual y opuesta. Por tanto, cuando sumemos todos los elementos de carga de la línea, los componentes paralelos se anularán y sólo necesitamos calcular el componente de E perpendicular a la carga lineal. E y = k L y (y 2 + L 2 /4) en donde Q= L es la carga total. Como era de esperar, en un punto muy alejado de la mediatriz la carga lineal finita se comporta como una carga puntual. Campo Eléctrico E próximo a una carga lineal infinita Si el punto está muy próximo a una carga lineal, o alternativamente, la carga lineal es de gran longitud, de modo que y «L, entonces E y = 2 k y Así pues, cuando la distancia y desde la carga lineal infinita a un punto del campo crece, el campo eléctrico disminuye según 1 / y. Campo Eléctrico E sobre el eje de una carga anular Para un anillo de radio a cargado uniformemente con una carga total Q. Deseamos determinar el campo eléctrico en un punto P del eje del anillo a una distancia x del centro del mismo. El campo de es producido por una carga elemental dq. Este campo tiene una componente de x dirigida a lo largo del eje del anillo y una componente de perpendicular al eje. A partir de la simetría vemos que el campo resultante debido al anillo entero debe estar dirigido a lo largo del eje del anillo, es decir, se anulará la suma de las componentes perpendiculares. En particular, la componente perpendicular indicada será contrarrestada por el debido a otra porción de la carga directamente opuesta a la indicada. La componente axial debido a la parte de carga es E x = k Q x (x² + a²) 3/2 Podemos comprobar este resultado analizando los valores extremos de x. Para x = 0, resulta E x = 0, resultado lógico, ya que para cada elemento del anillo el campo en el centro se

12 cancela por el producido por el elemento directamente opuesto en el otro lado del anillo. Cuando x es mucho mayor que a, puede despreciarse a² frente a x² en el denominador de la ecuación. Así se obtiene Ex = kq / x². Es decir, lejos del anillo, éste se comporta como una carga puntual, lo cual era de esperar. Campo eléctrico E en el eje de un disco uniformemente cargado Para un disco uniformemente cargado de radio R y carga total Q. Queremos determinar el campo eléctrico sobre el eje del disco. Como el área del disco es R², la carga por unidad de área es = Q / R². El campo eléctrico sobre el eje del disco será paralelo al eje. Podemos calcular este campo considerando el disco con una serie de cargas en forma de anillos concéntricos, obteniendo la siguiente expresión: E x = / x/(r 2 + x 2 )) Campo eléctrico E en las proximidades de un plano infinito de carga El resultado importante del campo próximo a un plano infinito de carga puede obtenerse a partir de la ecuación del campo eléctrico de un disco haciendo que R tienda a infinito o que x tienda a 0. Entonces E x = /