a-b cos b ; 10º, C = ; 29º, tg = 2, = 71º, A = 93º59'09'' A B A B tg 0, º,

Transcripción

1 1.- Razonar si uede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes: a) a=60º00 31, =137º0 40, c=116º00 3 ) A=70º00 5, =131º10 15, =94º50 53 c) a=64º4 03, =4º30 10, =58º40 5 d) c=116º1 05, A=70º51 15, =131º0 6 e) a=58º46, =137º0 50, =131º5 33 f) A=70º, =119º, =76º g) a=90º, =67º38, =48º50 a) Alicando el teorema del eno: a c a = c + sensenc A A = = 0, sensenc A=73º03 3. Análogamente, a c = a c + senasenc = = 0, senasenc =131º3 43 c a c = a + senasen = = 0, senasen =96º55 57 ) Alicando el teorema del eno ara ángulos: A + A = + sensen a a = = 0, sensen a=57º Análogamente, + A = A + senasen = = 0, senasen =137º A = A + senasen c = = 0, senasen =115º57 16 c) Alicando el teorema del eno: c = a + senasen = 0, c = 50º 33'38'' Por las analogías de Neer: a- a- A sen + tg A = cotg ; tg cotg a+ = a + sen Saiendo que: a + a = 53º, ; 10º, = ; 9º, = llegamos al sistema: A+ A+ tg =, = 71º, A = 93º59'09'' A A tg 0, º, = 48º 1'4'' = = Unidad docente de Matemáticas 1

2 d) Alicando el teorema del eno ara ángulos: = A + senasen c = 0, = 95º 3'1'' Alicando las analogías de Neer: A a+ c a+ tg = tg = 7, = 97º, A+ A sen a c a tg = tg = 0,8463 = 39º, A+ sen a = 58º 3'08'' = 137º 4'18'' e) Por el teorema del seno: sen a sen sen a sen A = 69º08'09'' < a < = sen A = = 0, sen A sen sen A = 110º 51'51'' < a < Resolvemos ahora dos triángulos esféri, uno ara A 1 =69º08 09 y otro ara A =110º ª solución: A 1 =69º08 09 Alicando las analogías de Neer: A1 + c1 a+ tg = tg = 1, c1 = 113º 54'11'' A1 a 1 tg = = 1, =9º31 55 a+ A1 + t g ª solución: A =110º51 51 Alicando las analogías de Neer: A + c a+ tg = tg = 3, c = 150º 35' 8'' A a tg = = 3, =147º3 56 a+ A + t g f) Por el teorema del seno: sen a sen sen 76º sen119º 64º34'08'' sen = = = 0, sen A sen 70º = 115º 5'5'' > a > A Solución única y alicando las analogías de Neer: Unidad docente de Matemáticas

3 A + c a + 94º30' tg = tg = tg 95º4'56'' = 0, c = 81º9'6'' A ( 4º30' ) a A + ( 19º4'55'') tg = cot g = tg 94º30' = 0, = 73º17'46'' a + ( 95º4'55'' ) g) Triángulo rectilátero que su olar es rectángulo y or el entágono de Neer: A =180º-a=90º; =180º-=11º ; =180º-c=131º10 a A =90º 90º-c 90º- a =cotg cotg =0,3597 a = 68º 55' A = 180 a = 111º 05' =sen(90º- )sen = = 0, sen = 10º ' = 180º = 59º 38' =sen(90º-c )sen c = = 0, sen c = 135º 3' = 180º c = 44º 37'.- Resolver, si es osile, los siguientes triángulos esféri rectángulos, siendo A=90º: a) a=60º 07 13, =59º ) =167º 03 38, =157º c) a=11º 4 36, =76º a) (90º-c)=senasen=0, c = 48º 00'33'' < a < A 131º59'7'' a=cotgcotg tg = 1, 059 = 50º 0'0'' =cotgatg tg = tga = 0, = 41º 5'14'' ) sena=sen/sen=0,71873 Unidad docente de Matemáticas 3

4 a1 = 36º38'0'' < A < a = 143º 1'58'' < A < Dos soluciones de tal forma que es otuso: tg c = 34º34'34'' senc = = 0, tg c1 = 145º 5'6'' = 7º00'07'' sen = = 0, = 107º 59'53'' a catetos otusos corresonde hiotenusa aguda y ángulos otusos. c) Por el teorema del seno: sen sen A sen 76º 44'15''sen 90º sen = 1,0551 sen a = sen11º 4'36'' = No existe tal triángulo. 3.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, =40º y c=100º, hallar la altura esférica sore el lado a y decir si es interior o exterior al triángulo. a H h h c A Si la altura sore el lado a es interior (h), al triángulo A, entonces y han de ser amos agudos o amos otusos, ues son ángulos que se oonen al cateto h, en los triángulos rectángulo en que h),divide al triángulo A. Si la altura es exterior (h), entonces han de ser y 180º- amos agudos o amos otusos, es decir, y tienen distinto carácter. Por tanto, hemos de hallar rimero y : a c = = = 34º 49' 11'' sena senc c a = = =118º 58' 36'' sena sen Luego al ser las soluciones válidas = 34º <90º y = 118º 58 36, deducimos que la altura sore el lado a es exterior al triángulo A y su valor es un ángulo agudo. onsiderando el triángulo AH rectángulo en H senh= sensenc= h = 34º 1' 59'' 145º 47' 1'' > 90º 4.- alcular los ar de circunferencia máxima corresondientes a: a) Altura sore el lado c. ) Mediana sore el lado c. c) isectriz del ángulo. =54º10' A=84º30' c=104º' Unidad docente de Matemáticas 4

5 a) Se descomone el triángulo en dos triángulos rectángulos y la altura se otiene or el teorema del seno: senh=sen.sena= h = 53º 48' 11'' < A < H 16 º 11' 49'' > 90º =54º10' A=84º30' H h c=104º' =54º10' c/ m A=84º30' c=104º' ) Puesto que conocemos dos lados y el ángulo comrendido, utilizamos el teorema del eno: m=(c/)+sensen(c/)a con c/=5º11 luego m=65º08 40 c) Es necesario calcular el ángulo en el triángulo A: =54º10' / a=c+sensenca= z a=94º Otra vez el teorema del eno: A=84º30' c a Z c=104º' = = 104º50'30'' en senasen el triángulo AZ el teorema del eno ara ángulos: Z = A + senasen Z = 66º1' y con el teorema del seno senz sen sen 61º 5'31'' = senz = sena z =, z > A > Z sena senz senz 118º 07'9'' lo que significa que no saemos cuál es la solución correcta, ara ello odemos volver a utilizar el teorema del eno ara ángulos: A + Z A = Z + senzsen z z = z = 61º 5'30'' senzsen z 5.- Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo se verifica: a) Un cateto y su ángulo ouesto son amos agudos o amos otusos. ) Si los catetos son amos agudos o amos otusos, entonces la hiotenusa es aguda; ero si un cateto es agudo y otro es otuso, entonces la hiotenusa es otusa. Unidad docente de Matemáticas 5

6 a) Por el entágono de Neer: =sen(90º-)sen=sen < 90º y <90º sen = > 0 >90º y >90º y amos agudos o amos ousos. ) Ahora es: a=sen(90º-)sen(90º-c)=c < 90º > 0 a = c > 0 a < 90º c< 90º c > 0 > 90º < 0 a = c > 0 a < 90º c > 90º c< 0 < 90º > 0 a = c < 0 a > 90º c > 90º c< 0 Recírocamente: a < 90º a = c > 0 signo( ) = signo( c) y c son amos agudos o amos otusos. a > 90º a = c < 0 signo( ) signo( c) y c son de distinto cuadrante. 6.- Demostrar que en un triángulo esférico equilátero se verifica: a) A = a /(1+ a) ) sec A - sec a = 1 c) (a/) sen (A/) =1. Equilátero: los tres lados iguales a==c Y or el teorema del eno a = c + sen sen c A= a + sen a A Y desejando a a A = sen a a a a(1 a) a(1 a) a a) A = = = = sen a 1 a (1 + a)(1 a) 1+ a a 1 1+ a 1 ) Por el aartado anterior: sec A seca = = = = 1 A a a a a α 1+ α α 1 α c) Saemos que: = y sen = y así en nuestro caso: a A 1+ a 1A s en = = 1 + a 1 A = y or el aartado a) a 1 = 1+ a 1 = 1+ a = 1 1+ a 1+ a Unidad docente de Matemáticas 6

7 7.- Un avión vuela de Madrid a Tokio a una altitud de m siguiendo un círculo máximo de la esfera terrestre. Saiendo que las coordenadas de Madrid y Tokio son: Madrid: latitud: Norte 40º 6 ; longitud: Oeste 3º 4 Tokio latitud: Norte 35º 40 ; longitud: Este 139º 45 : y que el radio de la tierra es 6370 km, se ide: a) Qué distancia recorre el avión entre Madrid y Tokio? ) A qué distancia del Polo Norte asa aroximadamente? c) Se denomina írculo Polar Ártico a una circunferencia menor sore la tierra tal que en ella, en el solsticio de verano, el Sol no se one en todo el día. El írculo Polar Ártico se encuentra a una latitud Norte 60º 30. Sorevuela el mencionado avión el írculo Polar Ártico? A c a) Datos: A=139º45 +3º4 =143º7 = 90º-40º6 =49º34 a c=90º-35º40 =54º0 solución del triángulo: A(olo); (Madrid); (Tokio) alicando el teorema del eno: a = c + sen senc A otenemos a=96º48 44 or lo que la distancia recorrida es d = a(radianes). R = a (π/180) ( ) = km (el avión vuela a 10km sore la suerficie, de ahí el radio ) ) Del triángulo anterior calculamos el ángulo Alicando el teorema del eno c = a + sena sen Sale = 9º09 38 (rumo del avión desde Madrid) Ahora se lantea el siguiente triángulo esférico rectángulo con el unto más cercano al olo Los datos son =90º, = 49º34 y =9º09 38 ( y son comunes al triángulo anterior) senh= sen. sen = sen(9º09 38 ) sen(49º34 ) otenemos h = 1º 46 1 (solución aguda, h< 90º ues <90º en un triángulo rectángulo) La distancia al olo es la longitud del lado h. La distancia es aroximada si se considera la distancia al unto que identifica el Polo Norte sore la suerficie de la Tierra. Vamos a aroximarla or la distancia a la vertical del Polo a 10 km de altitud. Distancia al Polo. (1º46 1 ) π/180º ( )= km. c) como h=1º46 1 < (90º-60º30 )=9º30, SÍ SE SOREVUELA EL ÍRULO POLAR Ejercicios rouestos Resolver los siguientes triángulos esféri: 1) A=90º, =38º 17 46, c=37º ) A=90º, =5º 38 34, =50º ) =114º 31 18, =119º 4 34, =7º ) A=11º 4 3, =61º 1 40, a=7º ) A=161º 16 3, =16º 57 15, a=163º ) Un avión arte de un lugar cercano a Nueva York (74º1 longitud Oeste; 40º4 latitud Norte) con rumo 30º10 (dirección Norte y Oeste). Dar las coordenadas del unto de su recorrido más cercano al Polo Norte. 7) Un avión vuela de Madrid a Nueva York a una altitud de m. Unidad docente de Matemáticas 7

8 De Madrid sale con rumo Noroeste y vuela.000 km hasta llegar a un unto en el cual vira ara dirigirse directamente a Nueva York. Saiendo que las coordenadas de Madrid y Nueva York son Madrid: 3º 30' Oeste; 40º43' Norte Nueva York: 74º00' Oeste; 40º7' Norte (La Tierra se considera una esfera de radio 6370 km y que el avión recorre ciclos de la esfera). Se ide: a). Distancia entre Madrid y Nueva ork. ). Distancia recorrida or el avión. Soluciones a los ejercicios rouestos 1) a=51º 13 46, =5º 38 34, =50º ) a=51º 13 46, =38º 17 46, c=37º a1 = 65º31'13",c1 = 85º13'50",A1 = 60º19'7" 3) a = 46º 4'38",c = 94º 46'10",A = 43º 44'35" 4) =64º 46 8, c=17º 58 40, =17º = 45º40'31", c1 = 146º06'6", 1 = 141º8' 17" 5) = 134º19'9", c = 54º0'33", = 114º49'3" 6) Longitud: 4º 46 4 y latitud 67º36 4 1) a) D=5857 km. ) Distancia total 5948 km. Unidad docente de Matemáticas 8

9 Nomre de archivo: sol-esferica04-05.doc Directorio: :\Documents and Settings\Administrador\Escritorio Plantilla: Normal.dot Título: SOLUIÓN HOJA 5 TRIGONOMETRÍA ESFÉRIA Asunto: Autor: MATEMÁTIAS Palaras clave: omentarios: Fecha de creación: 10/01/005 8:09 amio número: 9 Guardado el: 18/01/005 9:00 Guardado or: Luis Seastian Tiemo de edición: 35 minutos Imreso el: 7/09/008 7:04 Última imresión comleta Número de áginas: 8 Número de alaras: (arox.) Número de caracteres: (arox.)