Universidad de Alcalá

Transcripción

1 Universidad de Alcalá Escuela Plitécnica Superir Cntrl I Apuntes Alcalá de Henares - 23 de abril de 2014

2 Índice general 1. Luggar gemétric de las raíces Prblema Prblema Prblema Diagrama Bde Representación asintótica Factres básics de G(jω) Trazad de diagramas de Bde Trazad rápid Cmpensación diseñ de PID Prblema Prblema Prblema Prblema Prblema Prblema Prblema Prblema Prblema Prblema Prblema Prblema

3 Capítul 1 Luggar gemétric de las raíces 1.1. Prblema 1 El circuit de la figura 1.1 crrespnde a un sistema de cntrl cn realimentación unitaria. + K (s+3) n Figura 1.1: Cntrl cn realimentación unitaria Se pide: a) Calcular y dibujar el lugar de las raíces del sistema para K > 0, supniend que n=2 b) Estudiar el cmprtamient dinámic del sistema c) Hallar el valr de K que crrespndería a un ceficiente de amrtiguamient de valr 0,5 d) Supniend que el valr del expnente n pasa a valer 3, dibujar el nuev lugar de las raíces y explicar cm evlucina respect al anterir e) Explicar el cmprtamient dinámic a) Lugar de las raíces cn n=2 SOLUCIÓN El lugar de las raíces es el lugar gemétric que describirían ls pls de la función de transferencia C(s)/R(s) cuand varía un parámetr, generalmente una ganancia K. Se parte de la función en laz abiert del sistema: G(s)H(s) = y para dibujar el lugar de las raíces se siguen ls pass siguientes: K (s+3) 2 (1.1) 3

4 1.1. PROBLEMA 1 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Ramas N de pls: n p =2 p 1 = 3 p 2 = 3 N de cers: n z =0 N de ramas: n r =máx[n de pls, n de cers]=max[2,0]=2 N de asínttas (ramas que terminan en el infinit): n a = n p n z =2 Las ramas cmienzan en ls pls y, en este cas, terminan en el infinit. Otras veces terminarán en ls cers. Lugar de las raíces en el eje real Un punt del eje real es lugar de las raíces si mirand hacia la derecha se encuentra cn un númer impar de pls y cers. Cm ls cmplejs se presentan pr pares cnjugads, sl afectan ls pls y cers que están en el eje real. En nuestr cas el eje real n es del lugar de las raíces. Asínttas N de asínttas: n a = n p n z = 2 Centride: σ c = pls cers n a = 3 Ángul de las asínttas: γ m = 180 n a (2k + 1) cn K= 0, 1,... En nuestr cas γ m = ±90 Punts de dispersión sbre el eje real De la ecuación 1 + G(s)H(s) = 0 se despeja K y ls punts de dispersión se calculan de: dk ds = 0 En nuestr cas: K 1 + G(s)H(s) = 1 + (s + 3) = 0 2 K = (s + 3) 2 dk = 2(s + 3) = 0 ds s = 3 = σ D Punts de crte cn el eje imaginari Se calculan de la ecuación característica 1+G(s)H(s) = G(s)H(s) = 1 + (s + 3) 2 + K = 0 s 2 + 6s K = 0 K (s + 3) 2 = 0 En el eje imaginari s = jω y la ecuación anterir se transfrma en: (1.2) (1.3) ω 2 + 6jω K = 0 + j0 Igualand las partes imaginarias y reales a cer, se btiene: 4

5 1.1. PROBLEMA 1 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES ω 2 + 6jω K = 0 6ω = K = ω 2 (1.4) de dnde se deduce ω = 0 y K=-9 l cual es impsible prque K > 0. N hay crtes cn el eje imaginari. También se pdría haber aplicad el criteri de estabilidad de Ruth-Hurwitz. Para cmprbar que las raíces de un plinmi cn tds sus términs psitivs, cm: a 0 s n + a 1 s n a n 1 s + a n = 0 (1.5) estén en el semiplan izquierd, se clcan en la primera fila lr términs pares a 0, a 2, a 4,... y en la segunda fila ls impares a 1, a 3, a 5,... cm se indica en la figura 1.2 s n a 0 a 2 a 4 a 6... n 1 s s n 2 s n 3 s n 4... a 1 a 3 a 5 a 7 b 1 b 2 b 3 b 4 c 1 c 2 c 3 c 4 d 1 d Figura 1.2: Criteri de Ruth Ls ceficientes b i se calculan según: b i = y análgamente ls ceficientes c i y d i : c i = a 0 a 2i a 1 a 2i+1 b 1 a i+1 b 1 d i = a 1 a 2i+1 (1.6) a 1 b 1 b i+1 c 1 c i+1 (1.7) c 1 El cálcul de ls ceficientes b i cntinúa hasta que tds sean cer y el prces cntinúa hasta llegar a la fila s 1. El cnjunt cmplet adquiere frma triangular. El criteri de estabilidad establece que el númer de raíces cn parte real psitiva es igual al númer de cambis de sign de ls ceficientes de la primera clumna. La cndición necesaria y suficiente para que tdas las raíces queden en el semiplan izquierd es que tds ls ceficientes de la ecuación 1.5 sean psitivs y que tds ls términs de la primera clumna del cnjunt de Ruth sean también psitivs. En nuestr cas la tabla que resulta es la de la figura

6 1.1. PROBLEMA 1 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES s2 s1 1 9+K 6 s0 9+K Figura 1.3: Tabla de Ruth en la que se aprecia que tds ls elements de la primera clumna sn psitivs independientemente de K, al ser K > 0. Valga l que valga K las raíces están siempre en el lad izquierd y n crtan al eje imaginari prque si nó pasarían al semiplan derech. El sistema siempre será estable, valga l que valga K. Ánguls de arranque desde ls pls de entrada a ls cers Para hallar el ángul cn el que se sale desde un pl cmplej ( cn el que se entra en un cer cmplej) se restan ( suman) a 180 ls ánguls frmads pr las líneas que salen de ese pl ( cer), a ls demás pls y se suman ( restan) ls ánguls de las que vayan a ls cers. A este criteri se le puede llamar angular. En el cas de que tds ls pls y cers n sean cmplejs se puede aplicar el criteri de fase: ϕ G(s)H(s) = 180 (2k + 1). En nuestr cas: 2θ = 180 (2k + 1) θ = 90 (2k + 1) θ D1 = 90 θ D2 = 90 (1.8) El lugar de las raíces se representa en la figura 1.4. jω K>0 X 3 K=0 σ K>0 Figura 1.4: Lugar de las raíces Cn K=0 ls pls cinciden cn ls de laz abiert y según varía K se desplazan pr el lugar de las raíces. Pr much que aumente K ls pls siempre están en el semiplan derech y nunca se haría inestable. Si K aumenta much, si existirán scilacines de frecuencia elevada y sbreimpulss que pdrían dañar al sistema. b) Cmprtamient dinámic La ecuación característica de un sistema de segund rden es: s 2 + 2ξω n + ω 2 n (1.9) 6

7 1.1. PROBLEMA 1 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES en dnde ξ es el ceficiente de amrtiguamient, ω n es la frecuencia natural del sistema que representa la frecuencia a la que scilaría el sistema si n tuviera amrtiguamient, es decir cn ξ = 0. Esta frecuencia n es bservable. La frecuencia de scilación que puede bservarse en el transitri es la frecuencia natural amrtiguada ω d que siempre es más pequeña que la frecuencia natural ω n. Cuand ξ = 1 el amrtiguamient es crític, si ξ < 1 el sistema es subamrtiguad y cn ξ > 1 es sbreamrtiguad. Tant el valr de ξ cm el de ω n dependen de dnde están situads ls pls. Esta relación para un par de pls cmplejs cnjugads situads en p 1,2 = σ ± jω d se muestra en la figura 1.5 j ω x j ω d ωn 1 ξ 2 σ ωn ξωn β σ Figura 1.5: Relación de ξ, ω n, y ω d cn la psición de ls pls Nótese que csβ = ξ. La función de transferencia de nuestr sistema es: C(s) R(s) = G(s) 1+G(s)H(s) = K = (s+3) 2 +K K s 2 +6s+9+K (1.10) y cmparand las ecuacines características, resulta: 2ξω n = 6 ω 2 n = 9 + K (1.11) El amrtiguamient crític curre cn ξ = 1 pr l que ω n = 3 y K=0. Para valres de ξ < 1 el sistema es subamrtiguad que crrespnde a valres de ω n > 3 y K > 0. Ls valres de K < 0 n se cnsideran en este prblema. c) Valr de K para que ξ = 0, 5 2ξω n = ω n = 6 ω 2 n = 36 = 9 + K K = 27 (1.12) pdría haberse calculad la frecuencia natural amrtiguada ω d y la psición de ls pls. ω d = ω n 1 ξ2 = 3 3 σ = ξω n = 3 (1.13) 7

8 1.1. PROBLEMA 1 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES ls pls estarían situads en p 1,2 = σ ± jω d = 3 ± j3 3 que, pr supuest, pertenece al lugar de las raíces. El ángul β valdría tanβ = = 3 β = 60 d) Lugar de las raíces para n=3 Se parte de la función en laz abiert del sistema: G(s)H(s) = y para dibujar el lugar de las raíces se siguen ls pass siguientes: K (s+3) 3 (1.14) Ramas N de pls: n p =3 p 1 = 3 p 2 = 3 p 3 = 3 N de cers: n z =0 N de ramas: n r =máx[n de pls, n de cers]=max[3,0]=3 N de asínttas (ramas que terminan en el infinit): n a = n p n z =3 Las ramas cmienzan en ls pls y, en este cas, terminan en el infinit. Otras veces terminarán en ls cers. Lugar de las raíces en el eje real Un punt del eje real es lugar de las raíces si mirand hacia la derecha se encuentra cn un númer impar de pls y cers. Cm ls cmplejs se presentan pr pares cnjugads, sl afectan ls pls y cers que están en el eje real. En nuestr cas el tram [, 3] es del lugar de las raíces. Asínttas N de asínttas: n a = n p n z = 3 Centride: σ c = pls cers n a = 3 Ángul de las asínttas: γ m = 180 n a (2k + 1) cn K= 0, 1,... En nuestr cas γ m1 = 60 γ m2 = 180 γ m3 = 60 Punts de dispersión sbre el eje real De la ecuación 1 + G(s)H(s) = 0 se despeja K y ls punts de dispersión se calculan de: dk ds = 0 En nuestr cas: K 1 + G(s)H(s) = 1 + (s + 3) = 0 3 K = (s + 3) 3 dk ds = 3(s + 3)2 = 0 s = 3 (dble) = σ D Punts de crte cn el eje imaginari Se calculan de la ecuación característica 1+G(s)H(s) = 0 (1.15) 8

9 1.1. PROBLEMA 1 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES 1 + G(s)H(s) = 1 + (s + 3) 3 + K = 0 K (s + 3) 3 = 0 s 3 + 9s s K = 0 (1.16) En el eje imaginari s = jω y la ecuación anterir se transfrma en: jω 3 9ω 2 + j27ω K = 0 + j0 Igualand las partes imaginarias y reales a cer, se btiene: ω ω = 0 9ω 2 27 K = 0 (1.17) cuyas slucines sn ω = 0 y K = 27 que n es válida al tener que ser K > 0 y ω = 27 y K = 216. Ls punts de crte cn el eje imaginari curren en ±j 27 = ±j5, 19 Aplicand el criteri de Ruth, la tabla crrespnde cn la de la figura 1.6. s s K s1 216 K 9 s0 27+K Figura 1.6: Tabla de Ruth en la que se aprecia que tds ls elements de la primera clumna serán psitivs cuand K < 216. Si K = 216 las raíces están justamente en el eje imaginari y si K > 216 pasarían al semiplan derech haciéndse inestable. El últim términ de la clumna siempre es psitiv al ser K > 0. Ls valres de ω que crrespnden a este valr de K se deducen de: 9ω 2 27 K = 0 9ω = 0 ω 2 = = 27 ω = 27 (1.18) y ls punts de crte cn el eje imaginari curren en ±j 27 = ±j5, 19. Ánguls de arranque desde ls pls de entrada a ls cers Aplicand el criteri de fase: ϕ G(s)H(s) = 180(2k + 1). En nuestr cas: 3θ = 180 (2k + 1) θ = 60 (2k + 1) θ D1 = 60 θ D2 = 180 θ D3 = 60 (1.19) El lugar de las raíces se representa en la figura

10 1.2. PROBLEMA 2 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES jω K=0 K=216 j 27 K=216 X 3 σ K=216 j 27 Figura 1.7: Lugar de las raíces Al tener tres pls el sistema puede hacerse inestable prque la cndición de fase de ϕ G(s)H(s) = 180 puede ser alcanzada (se pdrían alcanzar 270 en el infinit), csa que es impsible en ls sistemas cn ds pls que, en el mejr de ls cass, pdrían alcanzar un desfasaje de 180 en el infinit y cn ganancias infinitas. Cmprtamient dinámic Ahra el sistema es de tercer rden. Teniend en cuenta que cn K = 0 ls pls sn reales per están a punt de que ds de ells se hagan cmplejs, el valr de K = 0 crrespnde al amrtiguamient crític. Desde 0 < K < 216 aparecen scilacines pr l que el sistema es subamrtiguad. Para que un sistema sea sbreamrtiguad sus pls han de ser reales y n existen scilacines. Para K = 216 ls pls sn imaginaris purs y las scilacines se mantienen. El sistema es scilante. Cuand K > 216 el sistema es inestable y la respuesta al impuls sería creciente cn el tiemp hasta destruirse prque alguna de sus variables alcanzaría valres superires a ls permitids Prblema 2 En el sistema de cntrl de la figura 1.8, se pide: + K s s+ 80 s2 16 s Figura 1.8: Cntrl cn realimentación unitaria y amplificadr K a) Calcular el margen de estabilidad del sistema b) Dibujar el lugar de las raíces para valres de K > 0 c) Estudiar el cmprtamient dinámic del sistema en función de ls valres de K 10

11 1.2. PROBLEMA 2 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES d) Obtener el valr de ls pls dminantes que hacen que el sistema respnda cn un máxim sbreimpuls del 0,434 % cuand se le intrduce una señal escalón. (Se btendrán de manera aprximada utilizand el prcedimient gráfic a partir del lugar de las raíces) Nta: El valr del sbreimpuls máxim es M p = e πξ 1 ξ 2 a) Margen de estabilidad La ecuación característica es: SOLUCIÓN 1 + G(s)H(s) = 1 + K(s2 + 16s + 80) s 2 16 (1 + K)s Ks + 80K 16 = 0 La tabla del criteri de Ruth se encuentra en la figura 1.9: = 0 (1.20) s2 s1 s0 1+K 16K 80K 16 80K 16 Figura 1.9: Criteri de Ruth Para que ls elements de la primera clumna sean psitivs se necesita que: 1 + K > 0 K > 1 16K > 0 K > 0 80K 16 > 0 K > 0, 2 (1.21) El más restrictiv es K > 0, 2. Cn valres de K que cumplan esta cndición el sistema siempre será estable. b) Lugar de las raíces Se parte de la función en laz abiert del sistema: G(s)H(s) = Ks2 + 16Ks + 80K s 2 16 (1.22) Ramas N de pls: n p =2 p 1 = 4 p 2 = 4 N de cers: n z =2 z 1 = 8 + j4 z 2 = 8 j4 N de ramas: n r =máx[n de pls, n de cers]=max[2,2]=2 N de asínttas (ramas que terminan en el infinit): n a = n p n z = 0 Las ramas cmienzan en ls pls y, en este cas, terminan en ls cers. 11

12 1.2. PROBLEMA 2 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Lugar de las raíces en el eje real Un punt del eje real es lugar de las raíces si mirand hacia la derecha se encuentra cn un númer impar de pls y cers. Cm ls cmplejs se presentan pr pares cnjugads, sól afectan ls pls y cers que están en el eje real. En nuestr cas el tram [ 4, 4] es del lugar de las raíces. Asínttas N de asínttas: n a = n p n z = 0 N tiene Punts de dispersión sbre el eje real De la ecuación 1 + G(s)H(s) = 0 se despeja K y ls punts de dispersión se calculan de: dk ds = 0 En nuestr cas: 1 + G(s)H(s) = 1 + K(s2 + 16s + 80) = 0 s 2 16 K = (s2 16) s s + 80 dk ds = 2s(s2 + 16s + 80) + (s 2 16)(2s + 16) (s s + 80) 2 16s 2 192s 256 = 0 s s + 16 = 0 σ D1 = 1, 55 σ D2 = 10, 45 El punt de dispersión σ D2 n es válid al n pertenecer al lugar de las raíces. El valr de K crrespndiente a s = 1, 55 es: (1.23) K = (s2 16) s s + 80 = (( 1, 55) 2 16) = 0, 236 (1.24) ( 1, 55) ( 1, 55) + 80 Punts de crte cn el eje imaginari Ecuación característica 1+G(s)H(s) = 0 (1 + K)s Ks + 80K 16 = 0 (1.25) Aplicand el criteri de Ruth, la tabla crrespnde cn la de la figura 1.9. en la que se aprecia que el límite de la estabilidad (eje jω) curre cuand: 1 + K = 0 16K = 0 80K 16 = 0 (1.26) De la primer ecuación K = 1, que n es slución válida al ser K > 0. De la segunda ecuación K = 0 y cm: resulta: K = (s2 16) s s (1.27)

13 1.2. PROBLEMA 2 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES s 2 16 = 0 (1.28) y ls punts de crte serían: s = ±4 que sn reales y n crrespnden al eje jω. De la última ecuación, K = 16 = 1 resultand la ecuación: s s = 0 (1.29) cuyas slucines sn s = 8 3 real y pr l tant n válida y s = 0 que es el únic punt de crte cn el eje imaginari. Ánguls de salida desde ls pls de entrada a ls cers Siguiend el criteri angular, en la figura 1.10 puede apreciarse ls ánguls a sumar y restar crrespndientes al primer pl. Φ z1 z1 jω 4 8 X θp2 X p2= 4 p1=4 σ z2 Φz2 4 Figura 1.10: Ángul de salida desde el pl p 1 θ p1 = 180 θ p2 + φ z1 + φ z2 = arctan( 4 12 ) + tan 1 ( 4 12 ) = = arctan( 4 12 ) + tan 1 ( 4 (1.30) 12 ) = 180 En la figura 1.11 puede apreciarse ls ánguls a sumar y restar crrespndientes al segund pl. 13

14 1.2. PROBLEMA 2 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Φ z1 z1 jω 4 8 θp1 X X p2= 4 p1=4 σ z2 Φz2 4 Figura 1.11: Ángul de salida desde el pl p 2 θ p2 = 180 θ p1 + φ z1 + φ z2 = arctan( 4 4 ) + tan 1 ( 4 4 ) = 0 (1.31) En la figura 1.12 puede apreciarse ls ánguls a sumar y restar crrespndientes al primer cer. z1 jω 4 8 θp2 θp1 X X p2= 4 p1=4 σ z2 Φz2 4 Figura 1.12: Ángul de entrada al cer z 1 φ z1 = θ p1 + θ p2 φ z2 = tan 1 ( 4 12 ) tan 1 ( 4 ) 90 = 26, 57 4 (1.32) El tr cer es simétric a éste pr l que entrará cn φ z2 = 26, 57 El lugar de las raíces se representa en la figura

15 1.2. PROBLEMA 2 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES jω 26,57 K=0 X 4 1,5 5 K=0,236 K=0 X 4 σ Figura 1.13: Lugar de las raíces Cmprtamient dinámic Dependiend de ls valres de K el sistema se cmprta de la siguiente manera: 0 < K < 0, 2 Sistema inestable 0, 2 < K < 0, 236 Ls pls sn reales. Sbreamrtiguad. K = 0, 236 Ls pls están a punt de ser cmplejs. Amrtiguamient crític. K > 0, 236 Pls cmplejs. Sistema subamrtiguad. Situación de ls pls para un sbreimpuls determinad El sbreimpuls queda determinad pr el valr del amrtiguamient según la ecuación: M p = e πξ 1 ξ 2. Tmand neperians: πξ 1 ξ 2 = LnM p π 2 ξ 2 = (1 ξ 2 )(LnM p ) 2 ξ 2 [π 2 + (LnM p ) 2 ] = (LnM p ) 2 LnM p ξ = π2 + (LnM p ) 2 ξ = Ln0, = 0, 866 π2 + (Ln0, 00434) 2 (1.33) Cm csβ = ξ resulta β = cs 1 ξ = cs 1 0, 866 = 30. Trazand este ángul en la gráfica del lugar de las raíces se btiene la figura

16 1.3. PROBLEMA 3 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES jω β =30 X 4 j0,9 j0,9 X 4 σ 1,7 Figura 1.14: Ubicación de ls pls para un sbreimpuls del 0,434 % en dnde se aprecia que el valr aprximad de la situación de ls pls es p 1,2 = 1, 7 ± j0, Prblema 3 Un sistema de cntrl en laz cerrad tiene la siguiente ecuación característica en su frma plinómica: s 2 (s + 9) + K(s + 1) = 0 a) Calcular la ganancia en laz abiert G(s)H(s) del sistema en función de K, supniend que dich sistema tiene un cer en s = 1 b) Dibujar el lugar de las raíces para valres de K mayres de cer c) Estudiar el cmprtamient dinámic del sistema d) A partir del lugar de las raíces, calcular el valr de ls pls dminantes para que el tiemp de establecimient valga 6,28 s e) En las cndicine del apartad anterir calcular el valr del tercer pl y el valr de K Nta: El tiemp de establecimient viene dad pr t s = a) Ganancia en laz abiert La ecuación característica crrespnde a SOLUCIÓN π ξω n 1 + G(s)H(s) = 0 = s 2 (s + 9) + K(s + 1) = 1 + K(s+1) s 2 (s+9) pr l que la ganancia en laz abiert es: b) Lugar de las raíces para K > 0 G(s)H(s) = K(s+1) s 2 (s+9) Se parte de la función en laz abiert G(s)H(s) = K(s+1) s 2 (s+9) 16

17 1.3. PROBLEMA 3 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Ramas N de pls: n p =3 p 1 = 0 p 2 = 0 p 3 = 9 N de cers: n z =1 z 1 = 1 N de ramas: n r =máx[n de pls, n de cers]=max[3,1]=3 N de asínttas (ramas que terminan en el infinit): n a = n p n z = 2 Las ramas cmienzan en ls pls y, en este cas, una termina en el cer y ds en el infinit. Lugar de las raíces en el eje real Un punt del eje real es lugar de las raíces si mirand hacia la derecha se encuentra cn un númer impar de pls y cers. Cm ls cmplejs se presentan pr pares cnjugads, sól afectan ls pls y cers que están en el eje real. En nuestr cas el tram [ 9, 1] es del lugar de las raíces. Asínttas N de asínttas: n a = n p n z = 2 pls cers Centride: σ c = n a = 9 ( 1) = 4 2 Ángul de las asínttas: γ m = 180 n a (2k + 1) cn K= 0, 1,... En nuestr cas γ m = 90 (2k + 1) = ±90 Punts de dispersión sbre el eje real De la ecuación 1 + G(s)H(s) = 0 se despeja K y ls punts de dispersión se calculan de: dk = 0 ds En nuestr cas: 1 + G(s)H(s) = 1 + K(s + 1) s 2 (s + 9) = 0 K = s2 (s + 9) s + 1 dk ds = ( 3s2 18s)(s + 1) + (s 3 + 9s 2 ) = 0 (s + 1) 2 s 3 + 6s 2 + 9s = 0 σ D1 = 0 σ D2 = 3 (dble) Ls valres de K crrespndientes a s = 0 y s = 3 sn K = 0 y: (1.34) K = s2 (s + 9) = ( 3)2 ( 3 + 9) = 27 (1.35) s También se pueden calcular más fácilmente mediante la cndición de módul G(s)H(s) = 1 ya que siempre que estems en algún lugar de las raíces, el módul de la ganancia en laz abiert valdrá la unidad y la fase 180. Cm ls paréntesis tip (s + p 1 ) cuand se sustituye s pr el punt de dispersión representan la distancia del punt de dispersión a ls pls, a las cers, resulta: Kd z dp 1 dp 2 dp 3 = 1 K = dp 1dp 2 dp 3 = d z 2 = 27 (1.36) 17

18 1.3. PROBLEMA 3 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Punts de crte cn el eje imaginari Aplicand el criteri de Ruth, la tabla de la ecuación característica crrespnde a la de la figura s3 s2 s1 s K K K K Figura 1.15: Criteri de Ruth El límite de la estabilidad (eje jω) curre cuand K = 0 y ls punts de crte currirían en s = 0 y s = 9. Este últim punt n es válid al ser real y n crrespnder cn el eje jω y el punt de crte s = 0 es dble pr l que realmente será una tangencia. Ánguls de salida desde ls pls de entrada a ls cers En la figura 1.16 puede apreciarse ls ánguls a sumar y restar, que sn sencills al estar ls pls y cers en el eje real. jω p 1,2 X p 3 z 1 X σ Figura 1.16: Pls y cers de la ecuación característica 2θ p1,2 = ±180 θ p3 + φ z1 = ± = ±180 θ p1,2 = ±90 θ p3 = ±180 θ p1 θ p2 + φ z1 = ± = 0 φ z1 = ±180 + θ p1 + θ p2 + +θ p3 = ± = 180 (1.37) El lugar de las raíces se representa en la figura

19 1.3. PROBLEMA 3 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES jω p 1,2 p 3 X 4 3 z 1 X σ Figura 1.17: Lugar de las raíces En el punt de dispersión, que crrespnde a K = 27, ls tres pls cinciden. c) Cmprtamient dinámic 0 < K < 27 En cuant K se hace psitiva, hay ds pls cmplejs cnjugads pr l que existen scilacines y el sistema es subamrtiguad. K = 27 En ese punt ls tres pls sn reales y, ds de ells, están en el límite de hacerse cmplejs. Amrtiguamient crític. K > 27 El sistema scila amrtiguadamente. Subamrtiguad. d) Situación de ls pls para un tiemp de establecimient determinad El tiemp de establecimient depende de la frecuencia natural ω n y del ceficiente de amrtiguamient ξ según la ecuación: t s = Cm según el enunciad t s = 6, 28 segunds, entnces ξω n = 0, 5. La parte real de ls pls valdrá pues σ =, ξω n =, 0, 5. La parte imaginaria se btiene, aprximadamente, mirand en la gráfica del lugar de las raíces, resultand para ls ds pls dminantes p 1,2 = 0, 5 ± j0, 5. π ξω n e) Situación del tercer pl y valr de la ganancia Siempre que el númer de pls mens el númer de cers sea igual mayr que 2 n p n z 2, se puede aplicar la regla de Grant dada pr: pls de G(s)H(s) = Raices de [1 + G(s)H(s)] (1.38) En nuestr cas 9 = ( 0, 5 + j0, 5) + ( 0, 5 j0, 5) + p 3 de dnde p 3 = 8. 19

20 1.3. PROBLEMA 3 CAPÍTULO 1. LUGGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES El valr de K puede btenerse de la cndición de módul G(s)H(s) = 1 K = s2 (s + 9) s + 1 = ( 8)2 ( 8 + 9) = 64 7 = 9, 14 (1.39) 20

21 Capítul 2 Respuesta en frecuencia. Diagramas de Bde Es la respuesta en régimen permanente de un sistema ante una entrada sinusidal. El estudi se hace variand la frecuencia de la señal de entrada en un rang de interés y bservand la salida. N es necesari btener las raíces de la ecuación característica. Las pruebas sn sencillas y muy precisas pudiéndse deducir la función de transferencia de sistemas cmplicads y extender el diseñ a sistemas de cntrl n lineales. Es imprtante distinguir ls diferentes dminis en ls que se suele trabajar en tería de cntrl: Dmini del tiemp: Fácil de entender cn ls sentids per muy difícil el análisis matemátic asciad (ecuacines diferenciales que describen fenómens físics reales). En él td es real y n serían necesaris ls númers cmplejs. Cncepts cm velcidad de respuesta, cnstantes de tiemp, tiemps de subida, retards, sbreimpulss, amrtiguamient, etc. cbran td su sentid. Pr ejempl, la tensión en brnas de un cndensadr sería: v c (t) = 1 i c (t)dt (2.1) C Dmini de la frecuencia: Es el dmini de la transfrmada de Furier. Es un dmini imaginari cuya variable es la pulsación jω, dnde ω = 2πf. Las funcines de transferencia sn fáciles de btener prque se limitan a analizar el sistema baj una excitación sinusidal de frma análga al análisis cn fasres de circuits en alterna. Pr ejempl, la tensión en brnas de un cndensadr sería: V c (jω) = I c(jω) jωc (2.2) que, pr tra parte, es la transfrmada de Furier de la ecuación 2.1. En este dmini n puede hablarse estrictamente de pls y cers, aunque se haga frecuentemente dada su similitud cn el dmini de la transfrmada de Laplace. Dmini transfrmad: Es el dmini de la transfrmada de Laplace ( transfrmada Z en sistemas discrets). Es un dmini imaginari cuya variable cmpleja es s = σ + jω. El pas del dmini de la frecuencia al dmini transfrmad se realiza cambiand jω pr s. 21

22 2.1. REPRESENTACIÓN ASINTÓTICA CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE Tant en dmini transfrmad cm en el de la frecuencia aparecen ls cncepts de anch de banda, funcines de transferencia, pls, cers, etc. En la figura 2.1 se representan alguns de ls cncepts anterirmente descrits. Figura 2.1: Representación de un sistema en el dmini transfrmad. Señales de entrada y salida en el dmini del tiemp. Funcines de transferencia en ls dminis transfrmad y de la frecuencia. Módul y fase de la función de transferencia en el dmini de la frecuencia Tres sn las herramientas que suelen emplearse en este dmini y las tres visualizan el mism fenómen desde diferentes punts de vista: ls diagramas de Bde, de Nyquist y de Nichls, que pueden representar cualquier función de transferencia per la que más interés tiene es la ganancia de laz G(jω)H(jω) Representación asintótica El diagrama de Bde de una función de transferencia se representa mediante ds gráficas: la del lgaritm del módul y la del ángul de fase en función de ω. La representación de una magnitud lgarítmica expresada en decibelis es: G(jω)dB = 20 lg G(jω) (2.3) Cuand se trata de una relación de ptencias la definición de decibeli sería: G(jω)dB = 10 lg G(jω) (2.4) En ls diagramas de Bde se emplea papel semilgarítmic, es decir, el eje de abscisas es realmente el lg ω, y el eje de rdenadas está escalad nrmalmente, en db. 22

23 2.1. REPRESENTACIÓN ASINTÓTICA CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE Las ventajas de utilizar diagramas de Bde sn que las multiplicacines de magnitudes se cnvierten en sumas y las divisines en restas. Además, la escala lgarítmica del eje de abscisas permite ampliar el rang de bajas frecuencias, ya que, la frecuencia ω = 0 se representa en el punt lg 0 = en el eje de abscisas. Es decir, el eje de abscisas n tiene valres de ω negativs. Ls valres negativs serían valres de ω menres que 1, pr l que su lgaritm es negativ. Cn td, la ventaja más imprtante es que si se representan las asínttas, en lugar de la función exacta, el trazad es inmediat cn sól saber la situación de ls pls y cers de la función de transferencia. Las bandas de frecuencia pueden venir dadas en ctavas en décadas, cm se representa en la figura 2.2 Figura 2.2: Bandas de frecuencia en ls diagramas de Bde La frecuencia f 2 es n ctavas más alta que f 1 cuand f 2 = 2 n f 1 y análgamente la definición de década seria f 2 = 10 n f 1. La ctava se crrespnde cn una escala musical Factres básics de G(jω) En general la función de transferencia pdría expresarse de la frma: y en db sería: G(jω) = KA 1(jω)A 2 (jω) B 1 (jω)b 2 (jω) (2.5) G(jω) db = 20 lg K +20 lg A 1 (jω) +20 lg A 2 (jω) 20 lg B 1 (jω) 20 lg B 2 (jω) (2.6) y respect a la fase: /G(jω) = /K + /A 1 (jω) + /A 2 (jω) /B 1 (jω) /B 2 (jω) (2.7) Obsérvese cóm al expresarl en db ls factres se cnvierten en sumands y la gráfica ttal, tant del módul cm de la fase, será la suma de las gráficas parciales de cada sumand. Además, las funcines a representar sn del tip f(lg ω) lineales, pr l que si el eje de abscisas se tma x = lg ω en vez de ω las funcines f(x) que hay que representar líneas rectas. Teniend en cuenta que las funcines de transferencia de sistemas reales sól pueden tener pls cers reales si ls tienen cmplejs vendrán dads pr pares cnjugads, la frma de ls diferentes factres que pueden aparecer sn: K (jω) ±1 (1 + jω ω 1 ) ±1 [1 + 2ξ jω ω n + ( jω ω n ) 2 ] ±1 que se crrespnderían cn una ganancia cnstante, cn un cer pl en el rigen, un cer pl en el punt real ω 1 y pr últim ls factres cuadrátics que crrespnden a un par de cers pls cmplejs cnjugads situads en ξω n ± jω n 1 ξ2. 23

24 2.1. REPRESENTACIÓN ASINTÓTICA CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE Si ls pls cers sn múltiples, el prblema se reduce a sumar tantas veces la misma gráfica cm rden de multipicidad tenga. El valr de ω 1 es real y psitiv y estams diciend que existe un pl cer en ω 1. En el dmini de la frecuencia n es del td aprpiad hablar de pls y cers. Su significación plena está en el dmini transfrmad. El términ jω+ω 1 se transfrmaría en s+ω 1 y el pl, prpiamente dich, estaría situad en s = ω 1. Teniend est en cuenta, se seguirá habland de pls y cers en el dmini de la frecuencia. a) Factr ganancia K El módul será 20 lg K = C te y la fase pdrá ser La representación, en el cas de K negativa, se indica en la figura 2.3 db K db 0, ω Φ 180 0, ω Figura 2.3: Representación exacta en diagramas de Bde de una cnstante negativa b) Factres integrales y derivativs (jω) ±1 En ests cass también se representa la función exacta y n las asínttas. En el cas de crrespnder a un cer, el factr sería (jω). Módul de (jω): 20 lg jω = 20 lg ω db (2.8) Fase de (jω): En el cas de crrespnder a un pl, el factr sería (jω) 1. Φ = 90 (2.9) Módul de (jω) 1 : 20 lg 1 jω = 20 lg ω db (2.10) 24

25 2.1. REPRESENTACIÓN ASINTÓTICA CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE Fase de (jω): Φ = 90 (2.11) El prblema se reduce a representar funcines del tip ±20 lg ω en un plan en el que el eje de abscisas es, precisamente, lg ω pr l que serán líneas rectas de pendiente ±20dB/década que pasan pr el rigen. Si la pendiente se expresara en db/ctava la relación lineal entre ellas es: 20 db/década=6 db/ctava. Su representación gráfica se muestra en la figura 2.4 db db dB/decada dB/decada 20 0, ω 20 0, ω Φ Φ 90 0, ω 90 0, ω (a) (b) Figura 2.4: Representación exacta en diagramas de Bde de (a) factr integral (jω) 1 y (b) factr derivativ (jω) Nótese que el rigen está situad en el punt (ω, db) = (1, 0) que en papel semilgarítmic sería (lg ω, db) = (0, 0). c) Factres de primer rden (1 + jω ω 1 ) ±1 En el cas de un cer: Módul de (1 + jω ω 1 ): 20 lg 1 + jω ( ) 2 ω ω < ω 1 = 20 lg 1 = 0dB Asíntta 1 10 ω 1 = 20 lg 1 + = ω c = ω 1 = = 10 lg 2 = 3dB ω 1 ω > 10ω 1 = 20 lg ω 20 lg ω 1 Asíntta 2 (2.12) Fase de (1 + jω ω 1 ): Φ = tan 1 ω ω < ω 1 = 10 tan 1 0, Asíntta 1 = ω c = ω 1 = = tan 1 1 = 45 0 ω 1 ω > 10ω 1 = tan Asíntta 2 (2.13) 25

26 2.1. REPRESENTACIÓN ASINTÓTICA CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE La representación de las asínttas y de la curva exacta se indica en la figura 2.5 db 40 20dB/decada 20 3dB 0 0,01 0, Φ ω/ω /decada 0,01 0, ω/ω 1 Figura 2.5: Representación asintótica de Bde del factr de primer rden (1 + jω ω 1 ) Si se tratara de un pl el factr sería: (1 + jω ω 1 ) 1 y las gráficas resultantes serían las mismas per cambiand el sign de las pendientes cm se muestra en la figura db 0, dB/decada ω/ω 1 Φ 0, /decada ω/ω 1 Figura 2.6: Representación asintótica de Bde del factr de primer rden (1 + jω ω 1 ) 1 En el cas de ser un cer pl dble se multiplicarían pr 2 las pendientes. d) Factres de segund rden [1 + 2ξ jω ω n + ( jω ω n ) 2 ] ±1 En el cas de ds cers cnjugads: 26

27 2.1. REPRESENTACIÓN ASINTÓTICA CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE Módul de [1 + 2ξ jω ω n + ( jω ω n ) 2 ]: ( 20 lg 1 + 2ξ jω ω n + ( jω ω n ) 2 = 20 lg 1 ω2 ω 2 n ) 2 + ( 2ξ ω ω n ) 2 = ω < ω n 10 = 20 lg 1 = 0dB Asíntta 1 = ω c = ω n = = 20 lg 2ξ = 6dB + ξ db ω > 10ω n = 40 lg ω 40 lg ω n Asíntta 2 La pendiente de la asíntta 2 es de 40dB/década cm crrespnde a ds cers. Fase de [1 + 2ξ jω ω n + ( jω ω n ) 2 ]: Φ = tan 1 2ξ ω ω n 1 ω2 ω 2 n = ω < ω n 10 = tan 1 (0, 2ξ) 0 0 Asíntta 1 ω = ω n = = tan 1 = 90 0 ω > 10ω n = tan 1 ( 0, 2ξ) Asíntta 2 (2.14) (2.15) Si se tratara de ds pls cmplejs cnjugads el factr sería: [1 + 2ξ jω ω n + ( jω ω n ) 2 ] 1 y las gráficas resultantes serían las mismas per cambiand el sign de las pendientes cm se muestra en la figura 2.7 Figura 2.7: Representación asintótica de Bde del factr cuadrátic [1 + 2ξ jω ω n + ( jω ω n ) 2 ] 1 Cn ceficientes de amrtiguamient pequeñs aparecen sbreimpulss que pueden llegar a ser peligrss. 27

28 2.2. TRAZADO DE DIAGRAMAS DE BODE CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE El módul del factr [1 + 2ξ jω ω n + ( jω ω n ) 2 ] 1 es: 1 ( ) 2 ) (2.16) 2 1 ω2 + (2ξ ωωn El mayr sbreimpuls (pic de resnancia) curre cuand sea mínim f(jω) = ( ) 2. 2ξ ω ω n Derivand e igualand a cer se btiene la pulsación de resnancia: ( 2 1 ω2 ωn 2 1 ω2 ωn 2 ω 2 n ) ( = 2ξ 2 ω r = ω n 1 2ξ 2 ) 2ω + 8ξ2 ω ωn 2 ωn 2 = 0 ( 1 ω2 ω 2 n ) 2+ (2.17) Esta frecuencia es real y psitiva siempre que 0 < ξ < 1 2 = 0, 707. Cuand ξ 1 2 la frecuencia de resnancia es imaginaria, es decir, n existe y tampc habrá pic resnante. Pr tr lad, si ξ 0 la frecuencia de resnancia ω r tiende a la frecuencia natural ω n y si ξ 0, 707 la frecuencia de resnancia tiende a cer. La frecuencia natural amrtiguada ω d que aparece en la respuesta transitria valía ω d = 1 ξ 2 que siempre es mayr que la frecuencia de resnancia. Para 0 < ξ < 1 2, sustituyend el valr de la frecuencia de resnancia de la ecuación 2.17, en la ecuación 2.16, se btiene el pic de resnancia M r : M r = 1 2ξ 1 ξ 2 (2.18) Para ξ 0, 707 M r = 1 n existe pic de resnancia. Debe recrdarse que cn 0, 707 < ξ < 1 la respuesta es scilatria, per las scilacines están muy amrtiguadas y apenas sn perceptibles. Si el ceficiente de amrtiguamient es nul, (la frecuencia de resnancia ω r cincide cn la frecuencia natural ω n ), el sbreimpuls es infinit y el sistema se destruiría. Pr es es tan imprtante estudiar la frecuencia natural de puentes y tras estructuras que pueden venirse abaj si sn excitadas cn esta frecuencia Trazad de diagramas de Bde Sea la ganancia G(jω), cn ω en rad/s: G(jω) = 200(jω + 5) 2 jω(jω + 1)[(jω) jω ] (2.19) Esta función tiene un cer dble en ω z1 = 5 rad/s y ds pls reales en w p1 = 0 y w p2 = 1 rad/s y ds pls cmplejs cnjugads dads pr ω n = 2500 = 50 rad/s y 2ξω n = 20, es decir ξ = 0, 2 y pr l tant ls pls cmplejs cnjugads están situads en: w p3,4 = ξω n ± jω n 1 ξ2 = 10 ± j48, 99 (2.20) 28

29 2.2. TRAZADO DE DIAGRAMAS DE BODE CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE De tdas frmas, ls valres que interesan para representar el factr cuadrátic sn ls de ω n y ξ sabiend que para valres pr debaj de ξ = 0, 5 ya aparecen sbreimpulss imprtantes. L primer que habría que hacer es pner ls factres en la frma estudiada, es decir: G(jω) = (1 + jω 5 )2 ] = 2500jω(1 + [1 jω ) + 20 (jω)2 jω (1 + jω 5 )2 jω(1 + [1 jω ) + 20 (jω)2 jω ] (2.21) Módul Se calcula en db: G(jω) db = 6dB + 40 lg 1 + jω 5 20 lg ω 20 lg 1 + jω ( 20 lg jω ) ( jω ) 2 (2.22) 50 La representación de cada un de ests sumands pr separad y el resultad de su suma algebraica se indica en la figura 2.8 db 40dB/dec 20 6dB 0,1 0,5 x x ω ω r dB/dec Mr 40dB/dec Figura 2.8: Representación asintótica de Bde del módul del ejempl Fase El valr de la fase es: Φ = 2 tan 1 ω 5 90 tan 1 ω 1 tan 1 20ω 2500 ω 2 (2.23) La representación de cada un de ls sumands y su resultante se muestra en la figura

30 2.3. TRAZADO RÁPIDO CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE Φ 90 /dec 0,1 0,5 x x ω 45 /dec /dec Figura 2.9: Representación asintótica de Bde de la fase del ejempl Observand el valr inicial de la pendiente en ls diagramas de Bde puede deducirse el tip del sistema. Si la gráfica del módul cmienza hrizntal, el sistema es de tip cer. Si cmienza cn una pendiente de -20 db/década es de tip 1 y si la pendiente es de -40 db/década es de tip 2. Ls ceficientes estátics de errr de psición, de velcidad y de aceleración también se reflejan en ls diagramas de Bde, según se indica en la figura 2.10 Kp db db 20 db/dec Kv= ω v Tip 0 ω Tip 1 ω v ω db 40 db/dec Ka= ω a 2 Tip 2 ω a ω Figura 2.10: Tip y errres estátics en ls diagramas de Bde 2.3. Trazad rápid Habiéndse justificad la representación de ls diagramas de Bde, se expnen a cntinuación las reglas que permiten trazarls directamente. 30

31 2.3. TRAZADO RÁPIDO CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE Módul 1. Situar ls pls y cers indicand claramente si sn sencills múltiples. En el cas de factres cuadrátics situar el valr de ω n 2. Obtener el valr, bien la pendiente, cn la que parte la gráfica desde haciend ω 0 3. Cada cer simple intrduce una pendiente de +20 db/década. Si es múltiple de rden n, la pendiente será +20n db/década 4. Cada pl simple intrduce una pendiente de -20 db/década. Si es múltiple de rden n, la pendiente será -20n db/década 5. Cmprbar el valr, la pendiente, cn la que finaliza la gráfica haciend ω 6. Si la gráfica n empieza ni termina en valres cncrets sin en pendientes es necesari determinar un punt pr el que pase. Para ell, se tma un valr de ω alejad al mens una década de cualquier pl cer y se calcula el módul de la función de transferencia de frma aprximada, despreciand ls sumands frente a ls que sean 10 veces mayr. Aplicación al módul del ejempl anterir G(jω) = 200(jω + 5) 2 jω(jω + 1)[(jω) jω ] (2.24) El valr cn el que se inicia la gráfica es: G(0) = jω2500 = 2 jω (2.25) Al ser ω = 0, el valr cn el que se inicia es per cnserv ls términs en jω prque me permite saber que trae una pendiente de -20 db/década y una fase de 90. Cm n cnzc un valr inicial desde el que partir, tm un valr de ω alejad al mens una década de tds ls pls y cers, pr ejempl ω = 0, 1 rad/s y calcul de frma aprximada el módul de la función de transferencia: G(jω) j0, = 20 = 26 db (2.26) En la figura 2.8 puede cmprbarse este valr. A partir de este valr se van aplicand ls punts 3 y 4 y se termina cmprband el valr, la pendiente, final. G( ) = 200(jω)2 jω(jω)(jω) = 200 (2.27) 2 (jω) 2 La gráfica finaliza cn una pendiente de -40 db/década. En la figura 2.11 puede seguirse el desarrll descrit. 31

32 2.3. TRAZADO RÁPIDO CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE db 20dB/dec 26 x x 0,1 0, ω 20 40dB/dec 40 40dB/dec Figura 2.11: Representación rápida del módul del ejempl Fase 1. Situar ls pls y cers indicand claramente si sn sencills múltiples. En el cas de factres cuadrátics situar el valr de ω n 2. Marcar una década antes y tra después de cada un de ls pls y cers. 3. Obtener el valr de la fase cn la que parte la gráfica desde haciend ω 0 4. Cada cer simple intrduce una pendiente de +45 /década durante ds décadas: la anterir y la siguiente al valr del cer. Si es múltiple de rden n, la pendiente será +45n /década 5. Cada pl simple intrduce una pendiente de 45 /década durante ds décadas: la anterir y la siguiente al valr del pl. Si es múltiple de rden n, la pendiente será 45n /década 6. Cmprbar el valr, la pendiente, cn la que finaliza la gráfica haciend ω Aplicación a la fase del ejempl anterir G(jω) = 200(jω + 5) 2 jω(jω + 1)[(jω) jω ] (2.28) El desarrll puede seguirse en la figura

33 2.3. TRAZADO RÁPIDO CAPÍTULO 2. DIAGRAMA BODE Φ x x 0,1 0, ω 45 /dec /dec 45 /dec 90 /dec /dec 90 /dec 90 /dec Figura 2.12: Representación rápida de la fase del ejempl Se situan ls cers y pls y se marcan las pendientes que intrducen en sus ds décadas crrespndientes. El valr inicial de la fase es: G(0) = pr l que la fase inicial es de jω2500 = 2 jω (2.29) A partir de ahí se intrducen las pendientes crrespndientes a cada tram y se cmprueba el valr final: G( ) = 200(jω)2 jω(jω)(jω) = 200 (2.30) 2 (jω) 2 La fase final es de 180. Es imprtante ntar que la expresión de la función de transferencia puede venir dada de ds frmas diferentes: (s + ω z1 )(s + ω z2 ) G(s)H(s) = K 1 (2.31) (s + ω p1 )(s + ω p2 ) bien: G(s)H(s) = K 1 ( s ω z1 ( s ω p1 + 1)( s ω z2 + 1) + 1)( s ω p2 + 1) La ganancia K en baja frecuencia se calcula haciend s 0 pr l que en el primer cas: K = G(0)H(0) = K 1 ω z1 ω z2 ω p1 ω p2 (2.32) (2.33) y en el segund: K = G(0)H(0) = K 1 (2.34) 33

34 Capítul 3 Cmpensación diseñ de PID 3.1. Prblema 1 Un sistema, cn realimentación unitaria, tiene una función de transferencia en laz abiert: 1 G(s) = (3.1) s(s + 1) Para que se cumplan las especificacines de respuesta transitria: ξ = 1 2 y ω n = 2 rad/seg a) Diseñar un reguladr PD real mediante el métd de cancelación cer-pl. b) Diseñar un reguladr PD real mediante el métd de la bisectriz. Slución En laz cerrad la ecuación característica será: y sustituyend ls valres de ξ y ω n : pr l que ls pls en laz cerrad han de estar en: s 2 + 2ξω n s + ω 2 n = 0 (3.2) s s + 4 = 0 (3.3) s 1,2 = 2 ± j 2 (3.4) El cmpensadr PD intrduce un cer y un pl y su función de transferencia es: La ganancia de laz cn cmpensación será: G c (s) = K c s + ω z s + ω p (3.5) G(s)H(s)G c (s) = K c s + ω z s + ω p 1 s(s + 1) (3.6) a) Cancelación cer-pl 34

35 3.1. PROBLEMA 1 Cm se indica que el PD es real, tant el cer ω z cm el pl ω p del cmpensadr serán reales. El cer del cmpensadr ω z cancelará el pl de la función de transferencia sin cmpensar, es decir ω z = 1: s G(s)H(s)G c (s) = K c s + ω p s(s + 1) = K 1 c s(s + ω p ) La función de transferencia en laz cerrad del sistema cmpensad es: cuya ecuación característica es: bien: C(s) R(s) = G c (s)g(s) 1 + G c (s)g(s)h(s) (3.7) (3.8) 1 + G c (s)g(s)h(s) = 0 (3.9) G c (s)g(s)h(s) = 1 (3.10) Cm ls pls en laz cerrad sn las raíces de la ecuación característica, tendrán que cumplir la ecuación 3.130, es decir, que el módul de G c (s)g(s)h(s) sea la unidad (cndicin de amplitud) y su fase ±180 (cndicin de fase). En la figura 3.1 pueden verse ls ánguls de ls que se btiene la cndición de fase: 135 α = 180 α = 45 (3.11) s 1 2 x ωp α 2 x 135 ο Figura 3.1: Cndición de fase del pl cn cmpensadr PD en laz cerrad El valr de ω p será: tan α = tan 45 = 2 ω p 2 = 1 ω p = 2 2 El valr de K c se btiene de la cndición de amplitud: G c (s)g(s)h(s) = 1 K c 1 s(s+ω p) 1 = K c s= 2+j 2 s(s+2 2) = Kc = 1 4 s= 2+j 2 (3.12) (3.13) K c = 4 La función de transferencia del cmpensadr será: G c (s) = 4 s + 1 s (3.14) 35

36 3.1. PROBLEMA 1 b) Métd de la bisectriz Es un métd que suele hacerse gráficamente per aquí l reslverems analíticamente. 1.- Desde un pl desead en laz cerrad s 1 = 2 + j 2 se traza la hrizntal PA y la recta que l une al rigen PO, cm se indica en la figura 3.2 A s 1 P 45 ο 135 ο 135 ο 2 2 x O Figura 3.2: Ángul del que hay que hallar la bisectriz 2.- Se traza la bisectriz PB y se hallan ls ánguls de interés cm se indica en la figura 3.3 A 67,5 ο s 1 P ,5 ο x B 2 O Figura 3.3: Bisectriz PB 3.- Se calcula la fase que ha de aprtar el cmpensadr El pl en laz cerrad s 1 ha de cumplir la cndición de fase, pr l que: /G(s 1 )H(s 1 ) + /G c (s 1 ) = ±180 (3.15) Es decir: / 1 s 1 (s 1 + 1) + φ = ±180 (3.16) pr l que: / 1 s 1 (s 1 + 1) = 135 tan = = 241 (3.17) φ = = 61 (3.18) 4.- A cada lad de la bisectriz, se trazan las rectas que frman cn ella un ángul de φ/2 = 30, 5 cm se indica en la figura

37 3.2. PROBLEMA 2 A s 1 P φ / x ω p φ /2 B 22,5 ο 2 ω z x O Figura 3.4: Situación del cer y del pl del cmpensadr 5.- El pl del cmpensadr está en: tan(22, , 5 ) = tan 53 = ω p 2 2 (3.19) y el cer en: ω p = tan 53 = 3, 29 (3.20) tan(30, 5 22, 5 ) = tan 8 = 2 ωz 2 (3.21) ω z = 2 2 tan 8 = 1, 21 (3.22) 6.- La ganancia del cmpensadr se btiene de la cndición de módul que ha de cumplir el pl s 1 = 2 + j 2: K s 1 + 1, 21 1 c s 1 + 3, 29 s 1 (s 1 + 1) = 1 K c = 1, 8 (3.23) La función de transferencia del cmpensadr es: 3.2. Prblema 2 s + 1, 21 G c (s) = 1, 8 s + 3, 29 (3.24) Un sistema, cn realimentación unitaria, tiene una función de transferencia en laz abiert: K G(s) = (3.25) s(s + 3) Para que se cumplan las especificacines de respuesta transitria: ξ = 1 2 y ω n = 5rad/seg a) Diseñar un reguladr PD real mediante el métd de cancelación cer-pl. b) Diseñar un reguladr PD real mediante el métd de la bisectriz. Slución En laz cerrad la ecuación característica será: y sustituyend ls valres de ξ y ω n : s 2 + 2ξω n s + ω 2 n = 0 (3.26) s 2 + 5s + 25 = 0 (3.27) 37

38 3.2. PROBLEMA 2 pr l que ls pls en laz cerrad han de estar en las raíces de la ecuación anterir: s 1,2 = 2, 5 ± j2, 5 3 (3.28) También se pdrían haber puest directamente sin reslver la ecuación: s 1,2 = ξω n ± ω n 1 ξ2 = 2, 5 ± j2, 5 3 (3.29) El cmpensadr PD intrduce un cer y un pl y su función de transferencia es: La ganancia de laz cn cmpensación será: G c (s) = K c s + ω z s + ω p (3.30) s + ω z K G(s)H(s)G c (s) = K c s + ω p s(s + 3) (3.31) En general, cuand el sistema esté cmpensad la ecuación característica (laz cerrad) será: 1 + G(s)H(s)G c (s) = 0 bien G(s)H(s)G c (s) = 1 (3.32) cuya representación sería, precisamente, el lugar de las raíces del sistema cmpensad en laz cerrad. En un punt cualquiera s 1 del lugar de las raíces se tendrá que cumplir la cndición de fase: /G(s 1 )H(s 1 )G c (s 1 ) = 180 (3.33) y la cndición de módul: La cndición de módul puede pnerse cm: G(s 1 )H(s 1 )G c (s 1 ) = 1 (3.34) G(s 1 )H(s 1 ) G c (s 1 ) = 1 (3.35) y nrmalmente se ajusta K para que G(s 1 )H(s 1 ) = 1 y así la cndición que hay que impner al cmpensadr es G c (s 1 ) = 1. En nuestr cas el ajuste de K sería: K s 1 (s 1 + 3) = K ( 2, 5 + j2, 5 3)( 2, 5 + j2, ) = K 21, 8 = 1 (3.36) pr l que K = 21, 8 a) Cancelación cer-pl Cm se indica que el PD es real, tant el cer ω z cm el pl ω p del cmpensadr serán reales. El cer del cmpensadr ω z cancelará el pl de la función de transferencia sin cmpensar, es decir ω z = 3: s , 8 G(s)H(s)G c (s) = K c s + ω p s(s + 3) = K 21, 8 c s(s + ω p ) La función de transferencia en laz cerrad del sistema cmpensad es: (3.37) C(s) R(s) = G c (s)g(s) 1 + G c (s)g(s)h(s) (3.38) 38

39 3.2. PROBLEMA 2 cuya ecuación característica es: bien: 1 + G c (s)g(s)h(s) = 0 (3.39) G c (s)g(s)h(s) = 1 (3.40) Cm ls pls en laz cerrad sn las raíces de la ecuación característica, tendrán que cumplir la ecuación 3.130, es decir, que el módul de G c (s)g(s)h(s) sea la unidad (cndicin de amplitud) y su fase ±180 (cndicin de fase). En la figura 3.5 pueden verse ls ánguls de ls que se btiene la cndición de fase: 120 α = 180 α = 60 (3.41) s 1 2,5 3 x ωp α 2,5 x ο 120 Figura 3.5: Cndición de fase del pl cn cmpensadr PD en laz cerrad El valr de ω p será: tan α = tan 60 = 2,5 3 ω p 2,5 = 3 ω p = 5 (3.42) El valr de K c se btiene de la cndición de amplitud aplicada al pl en laz cerrad cn cmpensación s 1, que puest que se ha ajustad K para que G(s)H(s) = 1 se traduce en: G c (s 1 )G(s 1 )H(s 1 ) = G c (s 1 ) = 1 s K 1 +3 c s 1 +5 = 4,35Kc = 1 K 5 c = 1, 14 La función de transferencia del cmpensadr será: (3.43) G c (s) = 1, 14 s + 3 (3.44) s + 5 b) Métd de la bisectriz Es un métd que suele hacerse gráficamente per aquí l reslverems analíticamente. 1.- Desde un pl desead en laz cerrad s 1 = 2, 5 + j2, 5 3 se traza la hrizntal PA y la recta que l une al rigen PO, cm se indica en la figura 3.6 A s 1 P 2,5 3 ο 60 ο 120 ο 120 x 2,5 O Figura 3.6: Ángul del que hay que hallar la bisectriz 39

40 3.2. PROBLEMA Se traza la bisectriz PB y se hallan ls ánguls de interés cm se indica en la figura 3.7 A 60 ο s 1 P 2,5 3 ο ο 120 x ο B 2,5 O Figura 3.7: Bisectriz PB 3.- Se calcula la fase que ha de aprtar el cmpensadr El pl en laz cerrad s 1 ha de cumplir la cndición de fase, pr l que: /G(s 1 )H(s 1 ) + /G c (s 1 ) = ±180 (3.45) Es decir: / 21, 8 s 1 (s 1 + 3) + φ = ±180 (3.46) / 21, 8 s 1 (s 1 + 3) = , 5 3 tan = , 41 = 203, 41 0, 5 (3.47) pr l que: φ = 203, = 23, 41 (3.48) 4.- A cada lad de la bisectriz, se trazan las rectas que frman cn ella un ángul de φ/2 = 11, 7 cm se indica en la figura 3.8 A s 1 P 2,5 3 ο 60 41,7 ο 18,3 ο 120 x x B 2,5 O ο Figura 3.8: Situación del cer y del pl del cmpensadr 5.- El pl del cmpensadr está en: tan 41, 7 = ω p 2, 5 2, 5 3 (3.49) y el cer en: ω p = 2, 5 + 2, 5 3 tan 41, 7 = 6, 35 rad/s (3.50) tan 18, 3 = ω z 2, 5 2, 5 3 (3.51) 40

41 3.3. PROBLEMA 3 ω z = 2, 5 + 2, 5 3 tan 18, 3 = 3, 93 rad/s (3.52) 6.- La ganancia del cmpensadr se btiene de la cndición de módul que ha de cumplir el pl s 1 = 2, 5 + j2, 5 3: K s 1 + 3, 93 21, 8 c s 1 + 6, 35 s 1 (s 1 + 3) = 1 K c = 1, 26 (3.53) La función de transferencia del cmpensadr es: s + 3, 93 G c (s) = 1, 26 s + 6, 35 (3.54) 3.3. Prblema 3 Un sistema cn realimentación unitaria tiene una función de transferencia el laz abiert: G(s) = K s(s + 1)(s + 3) (3.55) Para que se cumplan las especificacines de respuesta transitria: ξ = 0, 4 y ω n = 1, 4 rad/seg a) Diseñar un reguladr PD real mediante el métd de cancelación cer-pl. b) Diseñar un reguladr PD real mediante el métd de la vertical. c) Diseñar un reguladr PD real mediante el métd de la bisectriz. d) Justificar cual es el mejr métd. Slución En laz cerrad la ecuación característica será: y sustituyend ls valres de ξ y ω n : pr l que ls pls en laz cerrad han de estar en: s 2 + 2ξω n s + ω 2 n = 0 (3.56) s 2 + 1, 12s + 1, 96 = 0 (3.57) s 1,2 = 0, 56 ± j1, 28 (3.58) El cmpensadr PD intrduce un cer y un pl y su función de transferencia es: G c (s) = K c s + ω z s + ω p (3.59) Ajustand la ganancia K para que G(s 1 )H(s 1 ) = 1 se btiene: G(s 1 )H(s 1 ) = K s 1 (s 1 + 1)(s 1 + 3) = K = 1 5, 17 K = 5, 17 (3.60) La ganancia de laz cn cmpensación será: G(s)H(s)G c (s) = K c s + ω z s + ω p 5, 17 s(s + 1)(s + 3) (3.61) 41

42 3.3. PROBLEMA 3 a) Cancelación cer-pl Cm se indica que el PD es real, tant el cer ω z cm el pl ω p del cmpensadr serán reales. El cer del cmpensadr ω z cancelará el primer pl, que n esté en el eje imaginari, de la función de transferencia sin cmpensar, es decir ω z = 1: s + 1 5, 17 G(s)H(s)G c (s) = K c s + ω p s(s + 1)(s + 3) = K 5, 17 c s(s + 3)(s + ω p ) La función de transferencia en laz cerrad del sistema cmpensad es: cuya ecuación característica es: bien: C(s) R(s) = G c (s)g(s) 1 + G c (s)g(s)h(s) (3.62) (3.63) 1 + G c (s)g(s)h(s) = 0 (3.64) G c (s)g(s)h(s) = 1 (3.65) Cm ls pls en laz cerrad sn las raíces de la ecuación característica, tendrán que cumplir la ecuación 3.130, es decir, que el módul de G c (s)g(s)h(s) sea la unidad (cndicin de amplitud) y su fase ±180 (cndicin de fase). En la figura 3.9 pueden verse ls ánguls de ls que se btiene la cndición de fase: α = 180 α = 38 (3.66) x ωp s 1 α x 28 x 3 0,56 1, Figura 3.9: Cndición de fase del pl cn cmpensadr PD en laz cerrad El valr de ω p será: tan α = tan 38 = 1,28 ω p 0,56 ω p = 2, 2 rad/s = 0, 78 (3.67) El valr de K c se btiene de la cndición de amplitud aplicada al pl en laz cerrad cn cmpensación s 1 : G c (s 1 )G(s 1 )H(s 1 ) = 1 K c 5,17 s 1 (s 1 +3)(s 1 +ω p ) K c = 1, 57 5,17 = K c ( 0,56+j1,28)( 0,56+j1,28+3)( 0,56+j1,28+2,2) = K c5,17 = 1 8,14 (3.68) La función de transferencia del cmpensadr será: G c (s) = 1, 57 s + 1 s + 2, 2 (3.69) 42