Instituto Tecnológico de Saltillo

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1 Instituto Tecnológico de Saltillo Departamento de Ciencias Básicas Curso de Nivelación Cuadernillo de trabajo Precálculo M.C José Luis Flores Aguilar M.C Edna M. González Martínez M.C Silvia Polendo Luis Ing. Sergio Fernando Gaytán Aguirre M.C Martin Martínez Rodriguez M.C María De La Paz Solís Álvarez M.C L. Marisol Valdés González Verano 00

2 Índice Parte I Problemas I Unidad. Tópicos selectos de geometría analítica Sesión Recta Sesión Recta (cont.) Sesión Parábola Sesión Elipse Sesión 5 Circunferencia Sesión 6 Circunferencia (cont.) Sesión 7 Hipérbola Sesión 8 Aplicaciones de las cónicas Unidad. Funciones 7 Sesión 9 Producto cartesiano y definición de relación Sesión 0 Definición de función, dominio y rango Sesión Funciones polinomiales y racionales Sesión Funciones racionales (cont.) Sesión Funciones exponenciales Sesión Funciones logarítmicas Sesión 5 Resolución de ecuaciones logarítmicas Unidad. Tópicos selectos de trigonometría Sesión 6 Ángulos y conversiones Sesión 7 Funciones circulares Sesión 8 Gráficas de funciones trigonométricas Sesión 9 Identidades básicas ii

3 ÍNDICE Parte II Soluciones II Unidad. Tópicos selectos de geometría analítica 5 Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Unidad. Funciones Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Unidad. Tópicos selectos de trigonometría 0 Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Respuestas de. la. sesión Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés iii

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5 Parte I Problemas I

6 Unidad. Tópicos selectos de geometría analítica Sesión. Recta. Escribe la ecuación de la recta que contenga el (los) puntos indicados, y/o que tengan la pendiente indicada y/o las intersecciones indicadas. Escribe la ecuación final en la forma pendiente ordenada al origen y = mx+b. a) (0,); m = b) ( 5,); m = 5 c) (,8); (,0) d) Intersección con el eje y en y m = e) La intersección con el eje x es 6 y con el eje y es. f) Intersecta al eje x en - y al eje y en. g) (,0); m = Sesión. Recta (cont.). Escribe la ecuación para la recta que contenga los puntos indicados y que cumpla la condición indicada. Escribe la respuesta final en la forma estándar Ax+By = C, A > 0 a) (,); paralela a y = x 5 b) (,); perpendicular a y = x c) (, ); vertical d) (5,0); paralela a xy = e) (0, ); perpendicular a x+y = 9. Con referencia al cuadrilátero con vértices A(0, ), B(, ), C(, 5), D(, ) a) Muestra que AB es paralelo a DC. b) Muestra que AB es perpendicular a BC.

7 . Tópicos selectos de geometría analítica Sesión. Parábola. Grafica cada ecuación y localiza el foco y la directriz. a) y = x b) y = x c) y = 0x d) x = 0y. Encuentre la ecuación de una parábola con vértice en el origen, elija como eje al eje x o al eje y, y: a) Directríz : y = b) Foco : (0, 7) c) Directríz : x = 6. Encuentra la ecuación de la parábola que tenga su vértice en el origen, su eje como se indica y que pase por el punto dado: a) Eje y; (,) b) Eje x; (,6) c) Eje y; ( 6, 9). Usa la definición de parábola y la fórmula de la distancia para encontrar la ecuación de la parábola con: a) Directríz : y = ; Foco : (,) b) Directríz : x = ; Foco : (6, ) Sesión. Elipse. Traza una gráfica de cada ecuación, encuentre las coordenadas de los focos, determina las longitudes de los ejes menor y mayor. a) x 5 + y = b) x + y 5 = c) x +9y = 9 d) 5x +9y = 5. Encuentra una ecuación de la elipse en la forma x a +y =, si el centro está en el origen y además cumple b con lo siguiente: a) Eje mayor sobre el eje x, L EM = 8 y L em = 6. b) Eje mayor sobre el eje y, L EM = y L em = 6. c) Eje mayor sobre el eje x, L EM = 6 y la distancia de los focos hasta el centro es igual a 6. d) Eje mayor sobre el eje y, L em = 0 y la distancia de los focos hasta el centro es igual a 70. Longitud del eje mayor Longitud del eje menor Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés

8 . Tópicos selectos de geometría analítica Sesión5. Circunferencia. En los siguientes ejercicios, determine la ecuación estándar del círculo que satisfaga las condiciones dadas. a) Centro (, ) y radio 8. b) Centro en el origen, pasa por (, 7). c) Extremos de un diámetro son P(, ) y Q(7, 5). d) Centro (7, ); tangente al eje x.. Demuestre que la ecuación dada es un círculo y, determine el centro y el radio del mismo. a) x +y x+y+ = 0 b) x +y +6y + = 0 c) x +y +x = 0 d) 6x +6y +8x+y+ = 0 Sesión 6. Circunferencia (cont.). Trace la gráfica de la ecuación dada y escríbela en su forma estándar. a) x +y +6xy+5 = 0 b) x +y 6x+y+00= 0 c) x +y 6x 8y + = 0 d) x +y x 8y = 0 e) x +y x+0y+77= 0 f) 5x +5y 9x9y6= 0 Sesión7. Hipérbola. Encuentre los focos, vértices y asíntotas de cada hipérbola, y trace su gráfica. a) y x 5 = b) x y = d) y x = 0 e) 9x 6y = c) 5y 9x = 5. Deduzca una ecuación de la hipérbola que cumpla con las condiciones dadas. a) Focos en (±6, 0), vértices en (±, 0) b) Vértices en (0, ±6), ecuaciones de asíntotas y = ± x c) Vértices en (0, ±6); la hipérbola pasa por ( 5, 9) d) Focos en (±, 0); la hipérbola pasa por (, ). e) Focos en (0, ±); longitud del eje transversal. Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés

9 . Tópicos selectos de geometría analítica Sesión 8. Aplicaciones de las cónicas. Una pequeña empresa adquiere una computadora por $,000. Después de años se espera que el valor de la misma sea de $00. Para fines de contabilización, el negocio utiliza la depreciación lineal para obtener el valor de la computadora en un tiempo dado. Esto quiere decir que si V es el valor de la computadora en el tiempo t, entonces se utiliza una ecuación lineal para relacionar V con t. a) Obtenga la ecuación lineal que relaciona V con t. b) Determine el valor depreciado de la computadora después de años de la fecha de adquisición.. Al nivel del mar, la presión del agua es la misma que la del aire por encima del agua, 5 lb/pulg. Por debajo de la superficie, la presión aumenta en. lb/pulg por cada 0 pies de profundidad. a) Obtenga una ecuación para la relación entre presión y profundidad por debajo de la superficie del océano b) A qué profundidad es la presión igual a 00 lb/pulg. En el puente colgante de la figura, la forma de los cables de suspensión es parabólica. Los pilones, u horcas (torres de apoyo), están separados 600 metros de distancia, y el punto más bajo de los cables portadores está a 50 metros por debajo del extremo superior de los pilones. Deduzca la ecuación de la parte parabólica de los cables, colocando el origen del sistema de coordenadas en el vértice. Figura.: Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés

10 . Tópicos selectos de geometría analítica. El telescopio Hale, del observatorio del Monte Palomar, tiene un espejo de 00 pulgadas de diámetro, como se ve en la figura. Ese espejo tiene una forma parabólica que concentra la luz de las estrellas en el foco primario, el cual es el foco de la parábola. El espejo tiene.79 pulgadas de profundidad en el centro. Calcule la distancia focal del espejo parabólico, que es la distancia del vértice al foco. Figura.: 5. El frontón de una puerta se construye con la forma de la mitad superior de una elipse, como se ve en la figura. El frontón tiene 0 pulgadas de alto en su punto de máxima altura, y 80 pulgadas de ancho en su base. Calcule la altura del frontón a 5 pulgadas del centro de la base. Figura.: 6. Para un objeto en órbita elíptica en torno a la Luna, los puntos de la órbita que están más cerca y más lejos del centro de la Luna se llaman perilunio y apolunio, respectivamente. Son los vértices de la órbita. El centro de la luna está en uno de los focos de la órbita. La nave espacial Apollo se puso en órbita lunar cuyo perilunio estaba a 68 millas y el apolunio a 95 millas de la superficie del satélite. Suponiendo que la Luna es una esfera de 075 millas de radio, deduzca una ecuación de la órbita de la Apollo. Figura.: Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 5

11 . Tópicos selectos de geometría analítica 7. Luz de una lámpara forma un área iluminada en la pared, como se ve la figura 5. Por qué el contorno de ésta área iluminada es una hipérbola? Cómo se debe sujetar una lámpara sorda para que su haz luminoso forme una hipérbola en el suelo. Figura.5: 8. Algunos cometas, como el Halley, son parte permanente del sistema solar, y describen órbitas elípticas en torno al Sol. Otros atraviesan el sistema solar sólo una vez, y describen una trayectoria hiperbólica, con el Sol un uno de sus focos. La figura 6 muestra la trayectoria de uno de esos cometas. Deduzca una ecuación de la trayectoria, suponiendo que el máximo acercamiento del cometa al Sol es d 0 9 millas, y que la trayectoria que traía antes de acercarse al sistema solar forma un ángulo recto con la trayectoria con que continúa después de dejar el sistema. Figura.6: Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 6

12 Unidad. Funciones Sesión 9. Producto cartesiano y definición de relación. Sean A = {,,} y B = {a,b} encuentre: a) A B b) B A c) A A d) B B. Sean X = {,,} y Y = {,,5,6,7} encuentra y representa en un diagrama sagital el conjunto relación R que está dado por: a) Si x divide a y con residuo cero b) x+ > y +. Explica con tus propias palabras qué es una relación? Sesión 0. Definición de función, dominio y rango. Expresa el concepto de función.. Determina si la terna (A,B,f) define una función y da las razones que te permiten concluir. a) A = {a,b,c}, B = {,6,,5} y la regla de correspondencia f(a) =, f(b) = 6, f(c) =,f(b) = 5 A a b c f B 6 5 7

13 . Funciones b) A = {,0,,}, B = {5} y la regla de correspondencia f() = 5, f(0) = 5, f() = 5,f() = 5 A 0 f B 5. Especifique el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = 7x b) y = 5 x c) h(x) = x d) y = 5x +x 7 e) g(x) = x +x+ f) q(x) = lg(x+). En los siguientes problemas determine si la gráfica es una función, si lo es utilícela para encontrar el dominio y rango. a) b) c) d) π π Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 8

14 . Funciones Sesión. Funciones polinomiales y racionales. Encuentre el dominio y codominio de cada función. a) f(x) = x b) y = 5 c) g(x) = x +x d) y = x x e) h(x) = x + f) y = g) k(x) = x h) y = 5 x x +9. Identifique que tipo de función es indicando su dominio y codominio. a) b) c) d) Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 9

15 . Funciones. Relacione las siguientes columnas: a) La gráfica de la función y = x +x es: b) Sea ax+by+c = 0 una función lineal, cuánto vale la pendiente? c) Qué tipo de función es h(x) =? d) El dominio de la función l(x) = 6x+ x 8 es: e) Cuál es la gráfica de una función constante? dfff R {,} Una línea recta Un polinomio c b Constante R {} Una parábola a b Sesión. Funciones racionales (cont.). Bosqueje la gráfica y obtenga el dominio, asíntotas horizontales y verticales (si existen) de las siguientes funciones: a) f(x) = x +x x +x b) y = 5 x c) g(x) = x x+ d) y = x x x e) h(x) = x f) y = x x +8 Sesión. Funciones exponenciales. Evalúe cada expresión, redondeando a dos decimales a) e b). c) 0.6 d) (5.6 ) Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 0

16 . Funciones. Relacione cada gráfica con una de la siguientes funciones a) y = x b) y = x c) y = x d) y = x i) ii) 5 iii) iv) 5 5 Sesión. Funciones logarítmicas. Pasa de la forma exponencial a la forma logaritmica a) = 8 b) 8 = 8 c) e x+ = 0.5 d) 0 m = n. Expresa la ecuación dada en forma de exponecial a) log = b) log = 5 c) ln5 = x d) lny = 5 Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés

17 . Funciones. Relacione la función logaritmo dada con las siguientes gráficas a) y = log x b) y = log x+ c) y = log (x+) d) y = log x i) ii) iii) iv) Sesión 5. Resolución de ecuaciones logarítmicas. Resuelva las siguientes ecuaciones a) x = 8 b) x = c) 5 x+ = 5 d) 7 x +x = 9 e) ( 9) x = 7 f) 5 x +5 = 0 g) x 9 x = h) log 6 = y i) log 7 = y j) ln(x+) = lnx k) log (x ) = Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés

18 Unidad. Tópicos selectos de trigonometría Sesión 6. Ángulos y conversiones. Convierta los grados en radianes. a) 0 c) 5 e) 70 g) 0 b) 5 d) 5 f) 0 h) 50. Convierta los radianes en grados a) π 9 c) π 6 e) π g) 5π b) 5π d) π f).π h) π. Convierte cada ángulo a grados decimales con tres cifras decimales. a) 5 b) Convierte cada ángulo a la forma grado-minuto-segundo. a).0 b) Relacione las siguientes columnas: a) Si dos ángulos son suplementarios y uno mide la mitad del otro, cuánto mide cada uno?. b) Encuentra dos ángulos complementarios, si uno es la cuarta parte del otro. c) Si un ángulo concavo mide 5 cuanto mide su ángulo convexo. d) Encuentre el ángulo que es igual a su complemento. e) Qué ángulo es igual a un quinto de su conjugado? 6 70 y y 0 0 y y 8

19 . Tópicos selectos de trigonometría Sesión7. Funciones circulares. Encuentra las coordenadas para cada punto circular. a) W(π) b) W(6π) c) W( π) d) W( π ) e) W( π ) f) W( π ) g) W( π ) h) W( π 6 ) i) W( π ) j) W( π ). Encuentra el valor exacto de cada expresión (si es que existe) sin usar calculadora. a) cos(0) b) sen( π 6 ) c) sen( π ) d) tan( π ) e) tan( π ) f) sec(0) g) sec( π ) h) tan( π ) i) csc(0) Sesión 8. Gráficas de funciones trigonométricas. Grafique las siguientes funciones trigonometrías y además determine el periodo y la amplitud. a) y = sen(x) ( ) b) y = cos x+ π ( ) c) y = sen x π d) y = cos(x) e) y = cos(x)+ f) y = sen(x) Sesión9. Identidades básicas. Demuestra que los siguientes problemas son identidades. a) sen(α) sec(α) = tan(α) b) cot(υ) sec(υ) sen(υ) = c) sen( x) cos( x) = tan(x) Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés

20 . Tópicos selectos de trigonometría d) sen(α) = tan(α)cot(α) csc(α) e) cot(υ)+ = csc(υ) ( cos(υ)+sen(υ) ) f) cos(x) sen(x) sen(x)cos(x) = csc(x) sec(x) g) sen (t) cos(t) +cos(t) = sec(t) h) cos(x) sen (x) = sec(x). Convierte los siguientes problemas a formas que impliquen sen(x), cos(x) y/o tan(x) mediante identidades de suma o resta. a) sen(0 x) b) sen(80 x) c) tan ( x+ π ). Demuestra las identidades en los siguientes problemas. a) [sen(x)+cos(x)] = +sen(x) b) sen (x) = [ cos(x)] c) cos(x) = tan(x)sen(x) Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 5

21 Parte II Soluciones II

22 Unidad. Tópicos selectos de geometría analítica Respuestasde la sesión.. geo a) y = x+ b) y = 5 x+ c) y = x+ 8 d) y = x+ e) y = x+ f) y = x+ g) y = x Respuestasde la sesión.. geo a) x y = b) x y = 9 d) xy = 5 e) x y = c) x =. geo a) m AB = = m DC. b) (m AB )(m Bc ) = ( )( ) =. Respuestasde la sesión.. a) y = x x= f(,0) 5

23 . Tópicos selectos de geometría analítica b) y = x x= 6 6 f(,0) 6 6 c) y = 0x x= f( 5,0) d) x = 0y 0 5 f ( ) 0, y= Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 6

24 . Tópicos selectos de geometría analítica. geo a) x = y b) x = 8y c) y = x. geo a) x = 8y b) y = x c) x = y. geo a) x xy 8 = 0 b) y +8y 8x+8 = 0 Respuestasde la sesión.. geo a) F : (, 0), F : (, 0), L EM = 0, L em = 5 F F 5 b) F : (0, ), F : (0, ), L EM = 0, L em = 5 F 5 F Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 7

25 . Tópicos selectos de geometría analítica c) F : ( 8, 0), F : ( 8, 0), L EM = 6, L em = F F d) F : (0, ), F : (0,), L EM = 0, L em = F F 5 6. geo a) x 6 + y 9 = c) x 6 + y 8 = b) x 6 + y = d) x 00 + y 70 = Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 8

26 . Tópicos selectos de geometría analítica Respuestasde la sesión5.. geo a) (x+) +(y +) = 6 b) x +y = 65 c) (x) +(y +) = d) (x 7) +(y +) = 9. geo a) C(, ), r = b) C(0,), r = 7 c) C (, 0), r = d) C (, ), r = Respuestasde la sesión6.. geo a) Es una circunferencia punto centrada en (, 6). C b) No representa lugar geométrico. c) (x) +(y ) = C 5 6 Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 9

27 . Tópicos selectos de geometría analítica d) ( x ) +(y ) = C e) ( x ) +(y +5) = C f) ( x 9 0) +(y 9 0 ) = C 5 6 Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 0

28 . Tópicos selectos de geometría analítica Respuestasde la sesión7.. geo a) V(0, ±); F(0, ± 6); y = ± 5 x 5 5 b) V(±,0); F(±,0); y = ±x c) V(0, ±); F(0, ± ); y = ± 5 x Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés

29 . Tópicos selectos de geometría analítica d) V ( ( 0, ± ) ; F 0, ± 5 ) ; y = ± x e) V(± 5, 0); F(±, 0); y = ± x. geo a) x y 8 = 0 b) y 6x 66= 0 c) 0y 6x 70 = 0 d) x 8y 8 = 0 e) y x = 0 Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés

30 . Tópicos selectos de geometría analítica Respuestasde la sesión8.. a) V = 950t+000 b) $50. a) P = 0.p+5 b) P = pies / 5.6pulg. 6. x,556,0 + y 5560 = 7. a) Porque la pared corta paralelamente al cono.. x = 600y pulg 8. b) La lámpara debe de ser paralela al suelo. x ( ) 0 9 y ( ) = 0 9 Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés

31 Unidad. Funciones Respuestasde lasesión9.. a) A B = {(,a),(,b),(,a),(,b),(,a),(,b)} b) B A = {(a,),(a,),(a,),(b,),(b,),(b,)} c) A A = {(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} d) B B = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}. a) R = {(,),(,6),(,),(,6),(,)} A f B b) R = {(,),(,),(,),(,5)} A f B Respuesta individual

32 . Funciones Respuestasde la sesión0.. Respuesta individual. a) De acuerdo a la definición de función, la terna (A,B,f) no define una función, puesto que al elemento b del dominio le corresponden dos (6,5) del contradominio. b) En este caso la terna si representa una función, ya que a todo elemento del domino le corresponde uno y solo un elemento del contradominio.. a) R b) R { } c) (,0] d) R e) R {} f) (, ). a) No es una función. b) Lagráficasídetermina una función cuyodominio y rangoestán dadospor R y (0, ) respectivamente. c) La gráfica sí determina una función cuyo dominio está dado por R y su rango por (,) d) No es una función. Respuestasde la sesión.. a) D : R Cod : R b) D : R Cod : 5 c) D : R Cod : ( ], 8 d) D : R {} Cod : R {} e) D : R Cod : R f) D : R Cod : g) D : R Cod : R h) D : R Cod : R. a) Función lineal, D : R y Cod : R. b) Función cuadrática, D : R y Cod : (,]. c) Función cuadrática, D : R y Cod : [, ). d) Función constante, D : R y Cod : 5. Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 5

33 . Funciones. a) Una parábola b) a b c) Constante d) R {} e) Una línea recta Respuestasde lasesión.. a) D : R {0} 6 x=0 5 y= Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 6

34 . Funciones b) D : R { } x= y= c) D : R { } x= y= Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 7

35 . Funciones d) D : R e) D : R {0} x=0 5 5 y=0 f) D : R y= Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 8

36 . Funciones Respuestasde la sesión.. a) 0.09 b) 0. c) 0.7 d) 6.7. a) iv) b) iii) c) i) d) ii) Respuestasde la sesión.. a) log 8 = b) log 8 8 = c) ln0.5 = x+ d) log 0n = m. a) ( ) b) 5 = c) e x = 5 d) e 5 = y. a) i) b) iv) c) iii) d) ii) Respuestasde la sesión5.. a) x = b) x = c) x = d) x = y x = e) x = f) x = ± g) x = h) y = i) y = j) x = e k) x = Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés 9

37 Unidad. Tópicos selectos de trigonometría Respuestasde lasesión6.. trig a) 8 π c) π e) π g) 8 π b) π d) 6 π f) π h) π. trig a) 0 c) 0 e) 0 g) 75 b) 5 d) 70 f) 558 h) 60. trig a) b) 5.. trig a).0 b) trig a) 0 y 60 b) 7 y 8 d) 5 e) 60 c) 6 Respuestasde lasesión7.. trig a) (,0) e) (0,) h) (, ) b) (,0) c) (,0) d) (0,) f) (0,) ( ) g), i) j) ( ), (, ) 0

38 . Tópicos selectos de trigonometría. trig a) b) c) d) e) N.D. f) g) h) i) N.D. Respuestasde la sesión8.. a) A = y P = π b) A = y P = π c) A = y P = π d) A = y P = π e) A = y P = π f) A = y P = π a) b) π π π π π π π π c) d) π π π π π π π π e) f) π π π π π π π π No Definido Amplitud Periodo Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés

39 . Tópicos selectos de trigonometría Respuestasde lasesión9.. Hay diferentes demostraciones.. trig a) ( cos(x) sen(x) ) b) sen(x) c) tan(x)+ tan(x). Existen diferentes posibles demostraciones. Flores/Gaytan/González/Martínez/Polendo/Solís/Valdés