5. NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ

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1 5. NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ La naturaleza de la luz es una uestión que ha intrigado a los ientífios desde tiempos muy remotos. Su omprensión es de enorme importania, ya que la luz es uno de los omponentes eseniales que haen posible, por ejemplo, la vida en la tierra a través de la fotosíntesis de las plantas, ó la reepión y transmisión de informaión sobre objetos a nuestro alrededor y de todo el universo. Desde tiempos antiguos se ha espeulado on gran interés sobre la naturaleza y propiedades de la luz. Los griegos pensaban que la luz estaba formada por pequeñas partíulas ó orpúsulos que eran emitidos por una fuente, y al hoar on el ojo del observador estimulaban en él la perepión de la visión. Newton empleo esta teoría orpusular de la luz para expliar algunos fenómenos experimentales por entones onoidos omo la reflexión y la refraión. Sin embargo, en 678, un ontemporaneo suyo, el físio y astrónomo Christian Huygens, propuso que la luz podía onsiderarse un tipo de movimiento ondulatorio, y fue apaz de expliar las leyes de la reflexión y refraión on la teoría ondulatoria. La primera demostraión onvinente de la naturaleza ondulatoria de la luz la dio Thomas Young en 8 al probar que, en ondiiones apropiadas, los haes de luz pueden interferir, es deir se pueden ombinar y anelar entre sí debido a la interferenia destrutiva. En aquella epoa, este omportamiento no podía expliarse on la teoría orpusular. El sueso más importante, relaionado on la omprensión de la naturaleza de la luz fue el trabajo de Maxwell en 873 que desarrollo una brillante teoría en la que se demostraba que la luz es una forma de onda eletromagnétia de alta freuenia que viaja on una veloidad aproximada de 3x 8 m/s. Sin embargo, a prinipios del siglo XX, el físio aleman Max Plank, retoma la teoría orpusular de la luz al introduir el onepto de uantifiaión para poder expliar la radiaión emitida por uerpos alientes. El modelo de uantifiaión presupone que la energía de la onda luminosa se presenta en paquetes de energía llamados fotones. Albert Einstein utilizó el mismo onepto para expliar el llamado efeto fotoelétrio relaionado on la emisión de eletrones por un metal expuesto a la luz. Hoy en día se onsidera que existe una dualidad onda-orpúsulo en lo referente a la naturaleza de la luz, dualidad que se extiende a todo tipo de ondas y partíulas a esala mirosópia, de forma que la luz unas vees se omporta omo onda y otras omo partíula. A ontinuaión pasaremos a analizar en detalle ada uno de los modelos propuestos. 5-

2 5. Naturaleza ondulatoria de la luz 5.. Ondas eletromagnétias. La teoría eletromagnétia de la luz fue elaborada por Maxwell y omprobada experimentalmente por Herz en 888 quién por primera vez produjo y detetó las ondas eletromagnétias por medio de iruitos osilantes observando, omo en las ondas luminosas, la reflexión, refraión, interferenia y polarizaión. Las euaiones de Maxwell en un medio dielétrio, σ y j, isótropo, ε y µ onstantes en todos los puntos y donde no existen argas libres, ρ, pueden esribirse omo. E [5.]. H [5.] x E H µ [5.3] t x H E ε [5.4] t Cuando en un punto del espaio se produe un ampo elétrio variable on el tiempo, sus variaiones produen un ampo magnétio variable también. A su vez, este ampo magnétio variable de origen a un ampo elétrio. Estos ampos elétrio y magnétio variables, onseuenia uno del otro, sin que pueda existir ninguno de ellos aisladamente, se propagan por el espaio onstituyendo las ondas eletromagnétias. Para hallar las euaiones de propagaión operemos de la siguiente forma E x( xh) ε ( x ) ε ( xe) [5.5] t t utilizando la igualdad x ( xh) grad H H [5.6] y dado que por [5.] la divergenia de H es ero y utilizando [5.3] queda t H εµ H [5.7] Tomando rotaionales en [5.3] y operando análogamente se llega a 5-

3 t E E εµ [5.8] Tal y omo vimos en el apítulo, las euaiones [5.7] y [5.8] muestran que los ampos eletromagnétios se propagan obedeiendo la euaión diferenial del movimiento ondulatorio on una veloidad v [5.9] εµ En el vaío, donde tenemos ε y µ, la veloidad de propagaión de las ondas eletromagnétias es igual a.99793x 8 m/s. La forma de las soluiones dependerá en ada aso de la situaión físia. Adoptemos omo soluión una onda plana armónia, para lo ual, en medios isótropos, bastará suponer que el emisor está muy alejado del lugar donde se realiza la observaión, propagándose según la direión u(α,β,γ). Los ampos elétrios y magnétios tomarán la forma E E sen( kru ωt) E e H H sen( kru ωt) H e i( kru ωt) i( kru ωt) [5.] Apliquemos las euaiones de Maxwell a los ampos elétrios y magnétios definidos por [5.]. La omponente x de [5.4] será igual a H y z H z y Ex ε [5.] t De forma análoga para las otras dos omponentes y alulando estas derivadas obtenemos βh γh x αh z y γh αh y z βh x εve εve x y εve z [5.] Estas tres euaiones, teniendo en uenta que los primeros términos son las omponentes del produto vetorial uxh equivalen a la euaión vetorial Hxu εve [5.3] y operando igual on el ampo elétrio 5-3

4 uxe H [5.4] εv Las euaiones [5.3] y [5.4] indian que en la propagaión H y E son siempre perpendiulares entre si y ambos los son a la direión de propagaión u, lo que demuestra que las ondas eletromagnétias, y por ende la luz, son transversales. De las mismas euaiones se dedue que E y H van en fase ya que ambos se anulan y se haen máximos simultaneamente omo se india en la figura 5. y las magnitudes están relaionadas por la expresión H εve. Figura 5.. Onda eletromagnétia propagándose on los vetores E y H perpendiulares a la direión de propagaión, onda transversal, y en fase 5.. Espetro eletromagnétio. Los diversos tipos de ondas eletromagnétias difieren solo en su longitud de onda y freuenia, relaionadas on la veloidad por la expresión λf y en prinipio no se onoe ninguna limitaión para los alores posibles de λ ó f. En la figura 5. se expone el espetro eletromagnétio y los nombres normalmente asoiados on los diversos intervalos de freuenia y longitud de onda. Estos intervalos no están a vees bien definidos y freuentemente se solapan. La lasifiaión habitual del espetro eletromagnétio es la siguiente: a) Ondas de radiofreuenia. Éstas tienen longitudes de onda que van desde algunos kilómetros a.3 m y el intervalo de freuenias es desde algunos Hz hasta 9 Hz. Son las ondas que habitualmente se utilizan en los sistemas de radio y televisión y son generadas por medio de dispositivos eletrónios, prinipalmete iruitos osilantes b) Miroondas. Las longitudes de onda están entre.3 m y -3 m y el intervalo de freuenia es desde 9 Hz hasta 3x Hz. Estas ondas se usan en el radar y otros sistemas de teleomuniaión y se generan on dispositivos eletrónios. ) Espetro infrarrojo. Cubre las longitudes de onda entre -3 m y 7.8x -7 m (78 Å) y el intervalo de freuenia es entre 3x Hz y 4x 4 Hz. Esta 5-4

5 zona se subdivide a su vez en infrarrojo erano, medio y lejano. Estas ondas son produidas por uerpos alientes y moléulas. d) Luz ó espetro visible. Es una banda angosta formada por las longitudes de onda a las uales nuestra retina es sensible. Se extiende desde 7.8x - 7 m hasta 3.8x -7 m y en freuenias desde 4x 4 Hz hasta 8x 4 Hz. Las longitudes de ondas más ortas del espetro visible orresponden a la luz violeta y las más largas a la luz roja, y entre estos extremos se enuentran todos los olores del aro iris. La luz es produida por átomos y moléulas omo resultado de proesos eletrónios. e) Rayos ultravioletas. Cubren desde 3.8x -7 m hasta alrededor de 6x - m on freuenias desde 8x 4 Hz a 3x 7 Hz. Estas ondas son produidas por átomos y moléulas en desargas elétrias y tienen fuertes efetos en proesos químios. f) Rayos X. Esta parte del espetro eletromagnétio abara una gama de longitudes de onda entre -9 m y 6x - m y freuenias entre 3x 7 Hz y 5x 9 Hz. Son produidos por transiiones eletrónias en niveles profundos del átomo. g) Rayos γ: Estas ondas eletromagnétias son de origen nulear y se superponen al límite superior de los rayos X; sus longitudes de onda van desde - m hasta -4 m on freuenias entre 3x 8 Hz y 3x Hz. Figura 5.. Espetro eletromagnétio 5-5

6 5..3 Energía de una onda eletromagnétia. Como todo tipo de onda, las ondas eletromagnétias transportan energía y antidad de movimiento. La energía transportada viene desrita por la intensidad, es deir, por la potenia media por unidad de área inidente sobre una superfiie perpendiular a la direión de propagaión. La antidad de movimiento por unidad de tiempo y por unidad de área transportada por una onda eletromagnétia se denomina presión de radiaión. Sabemos del apítulo que la intensidad de una onda viene dada por el produto de la densidad energétia media por la veloidad de la onda. Las densidades de energía asoiadas al ampo elétrio y al ampo magnétio de una onda eletromagnétia que se propaga en el vaío son u u E B ε E µ? µ B µ E ε E [5.5] donde se ha utilizado el heho de que onda eletromagnétia es igual a B E. La densidad de energía total de la ε u u + E E ub [5.6] y la intensidad de la onda eletromagnétia queda I ε E [5.7] Para el aso de una onda eletromagnétia armónia plana, EE sen(kru-ωt), la intensidad media en el tiempo de la onda eletromagnétia, teniedo en uenta que el valor medio del seno al uadrado es ½, queda I ε E [5.8] Se define el vetor de Poynting S omo ExB S [5.9] µ siendo éste un vetor que tiene por unidades W/m, omo valor promedio del módulo la intensidad de la onda, y omo direión la direion de propagaión de la onda eletromagnétia. Comprobemos este heho para una onda eletromagnétia plana donde ExBEB y el módulo del vetor de Poynting queda 5-6

7 EB E B S [5.] µ µ µ El valor promedio de este módulo, haiendo de nuevo uso del valor promedio del seno al uadrado queda E S [5.] µ Por otro lado la intensidad de la onda, sabiendo que ε µ, queda I E E S ε µ [5.] Las ondas eletromagnétias, además de energía transportan antidad de movimiento. Por tanto, una onda eletromagnétia que inide sobre una superfiie ejere una presión sobre ella que se denomina presión de radiaión P r. Si la superfiie absorbe toda la radiaión inidente, la antidad de movimiento total p por unidad de volumen V edida a la superfiie por la onda en aso de inidenia normal es Ε uv p [5.3] donde se ha heho uso de que la antidad de movimiento y la energía de la onda eletromagnétia se relaionan por la expresión [5.3] Εp, fórmula que posteriormente se expliará. La presión de radiaión, dada por la fuerza dividida entre el área, es por tanto igual a dp dt I S P r [5.4] A En aso de que la superfiie sea un refletor perfeto, la onda reflejada también ede la misma antidad de movimiento a la superfiie y la presión de radiaión para inidenia normal es igual a I S P r [5.5] 5-7

8 5. Naturaleza orpusular de la luz A prinipios del siglo XX, la físia se enfrentó a una serie de fenómenos, analizados a ontinuaión, que onduian a que la radiaión eletromagnétia era de arater orpusular en su interaión on la materia a diferenia de su arater ondulatorio uando se propaga. Estos resultados mararían el omienzo de una nueva disiplina onoida omo físia uántia. 5.. Radiaión del uerpo negro. Se llama radiaión térmia a la radiaión emitida por un uerpo omo onseuenia de su temperatura. Todos los uerpos emiten esta radiaión a su derredor, y la absorben de él. Reibe el nombre de uerpo negro todo uerpo que absorbe toda la energía radiante de ualquier freuenia que llega sobre él. Si un uerpo que umple on estas ondiiones se ilumina on luz visible, ninguna radiaión retorna y presentará olor negro. Un uerpo negro perfeto no existe en la naturaleza, pero se aproxima muho a él en la zona del espetro visible la pequeña boa de una avidad reubierta de negro de humo, tal y omo se muestra en la figura 5.3, ya que toda la luz que penetra por ella es absorbida en la primera ó suesivas Figura 5.3. Cuerpo negro definido omo aquel que absorbe toda la energía que llega sobre él reflexiones internas. Pues bien, si alentamos la avidad a una temperatura T, por la boa de la avidad sale una radiaión uyo espetro freuenial podemos analizar. La físia lasia arroja el siguiente resultado para la densidad de energía por intervalo freuenial emitida por el uerpo negro 8πf kt ( f ) df df [5.6] u T onoida omo fórmula de Rayleigh-Jeans y representada en la figura 5.4 junto a los resultados experimentales medidos. La disrepania entre modelo teório y resultados experimentales es evidente. En el límite de freuenias bajas, el espetro lásio se aproxima a los resultados experimentales, pero a medida que la freuenia ree, la prediión teória tiende a infinito mientras que los experimetos muestran que la densidad de energía siempre permanee finita y de heho tiende a ero para freuenias muy altas. Este fallo de la teoría lásia es onoido en físia omo la atástrofe ultravioleta. 5-8

9 Figura 5.4. Densidad de energía por intervalo freuenial emitida por el uerpo negro, fórmula de Rayleigh-Jeans, junto a los resultados experimentales De auerdo on la físia lásia, la energía de una onda en partiular puede tener ualquier valor de forma ontinua entre ero e infinito y bajo esa hipótesis se desarrollo la teoría de Rayleigh-Jeans. Plank, sin embargo hizo la sorprendente suposiión de que la densidad de energía de las ondas eletromagnétias variaba de forma disreta según múltiplos de un valor elemental de la forma ε nhf [5.7] donde n es un número entero, f la freuenia de la radiaión y h es una onstante universal llamada onstante de Plank uyo valor enontrado experimentalmente es igual a h 6.63x -34 J.s Con esta hipótesis se llega a que la densidad de energía por intervalo freuenial emitida por el uerpo negro es igual al onoido omo espetro del uerpo negro de Plank u 8 f hf f ) df π df [5.8] hf KT e T ( 3 que reprodue adeuadamente los resultados experimentales tal y omo muestra la figura 5.5. La drástia suposiión de Plank implia que la emisión de luz, y en general de toda onda eletromagnétia, se realiza en forma de partíulas, orpúsulos ó uantos de energía hf. 5-9

10 Figura 5.5. Densidad de energía por intervalo freuenial emitida por el uerpo negro según el modelo de Plank 5.. Efeto fotoelétrio. Este fenómeno onsiste en que uando un metal reibe luz, emite eletrones denominado fotoeletrones. Analizando esta emisión de fotoeletrones se observan los siguientes hehos: a) La orriente de fotoeletrones es proporional a la intensidad del haz inidente b) La energía inétia máxima de los eletrones arranados no depende de la intensidad del haz inidente, solo depende de la freuenia ) La energía inétia máxima de los fotoeletrones es una funión lineal de la freuenia de la luz utilizada de la forma mv E max Af W [5.9] d) Existe para ada metal una freuenia umbral por debajo de la ual no se produe emisión de eletrones ualquiera sea la intensidad de la luz inidente e) La emisión es instantanea on la llegada de la luz al metal La expliaión que dió Einstein a este fenómeno se basa en que un haz de luz es un horro de partíulas, fotones, de energía hf. Cuando sobre el metal llega un fotón, éste puede eder toda su energía a un eletrón el ual puede ser arranado del metal, en uyo aso la energía inétia máxima del eletrón será igual a E hf W donde W es la energía de ligadura del eletrón. Esta euaión se max ajusta on la experienia [5.9]. Si hf no es igual ó mayor que W, no se arranan eletrones. La freuenia umbral será por tanto fh/w y la onstante A de [5.9] será la onstante de Plank. 5-

11 Teniendo en uenta que la veloidad de los fotones en el vaío es, de la teoría de la relatividad se deduen las propiedades de masa, energía y antidad de movimiento del fotón Masa( reposo) E p p h λ [5.3] 5..3 Efeto Compton. En 9 se observó, estudiando la dispersión de rayos X por la materia, que los rayos que salían dispersados en diferentes direiones tenían diferentes longitudes de onda y mayores que la radiaión inidente, independientemente del material atravesado. Este heho no se puede interpretar por la físia lasia pues si se supone que la difusión de rayos X se debe a que los eletrones de la materia entran en vibraión on la freuenia de la onda eletromagnétia inidente, debería radiar on la misma freuenia, Figura 5.6. Choque de un fotón on un eletrón osa que no ourre. El fenómeno fue expliado por Compton admitiendo que la luz está onstituida por fotones de energía hf, los uales sufren hoque elástios on los eletrones libres ó débilmente ligados de la materia, en uyos hoques se onserva la energía y el momento tal y omo se muestra en la figura Dualidad onda-orpúsulo. Las experienias que aabamos de analizar y su justifiaión exigen onsiderar los haes de luz omo horros de partíulas, denominadas fotones, de energía hf. Por otro lado, los fenómenos de la interferenia y difraión de luz, bien estudiados y experimentados, ertifian el arater ondulatorio de la misma. Esta situaión indue a la siguiente interpretaión: a) Los aspetos ondulatorio y orpusular de la luz no son inompatibles ni ontraditorios, son dos aspetos omplementarios de un mismo ente físio, la luz, y los fenómenos lumínios no pueden ser enteramente desritos si no se tiene en uenta ambos aspetos b) La propagaión de la luz viene gobernada por sus propiedades ondulatorias ) El interambio de energía entre luz y materia viene determinado por sus propiedades orpusulares a través del fotón de energía hf y antidad de movimiento h/λ. 5-

12 5.3 Veloidad de la luz La primera mediión no astronómia de la veloidad de la luz la llevó a abo el físio franés Fizeau en 849. Sobre una olina se sitúa una fuente luminosa y un sistema de lentes dispuesto de tal forma que la luz reflejada en un espejo semitransparente se enfoa sobre uno de los hueos existentes en una rueda dentada omo se ve en la figura 5.7. Sobre otra olina distante se sitúa un espejo que refleja la luz haia atrás, de modo que pudiera ser vista por un observador del modo que se muestra en la figura. La rueda dentada puede girar siendo variable su veloidad de rotaión. A bajas veloidades de rotaión, la luz es visible por el observador porque la luz que pasa a través de un hueo de la rueda dentada no queda obstruida por el diente siguiente después de reflejada en el espejo. Entones se aumenta la veloidad de rotaión hasta que la luz que pasa a través del hueo de la rueda dentada queda obstruida por el diente siguiente y se deja de observar luz. El tiempo neesario para que la rueda gire a través del ángulo omprendido entre dos hueos suesivos es igual al tiempo empleado por la luz en reorrer la distania de la rueda al espejo y volver a la rueda. Figura 5.7. Método de Fizeau para la medida de la veloidad de la luz Se define en la atualidad que la veloidad de la luz en el vaío, y por ende del resto de las ondas eletromagnétias, es m/s [5.3] y entones se define en funión de esta veloidad la unidad estándar de longitud, el metro. El valor 3x 8 m/s para la veloidad de la luz es sufiientemente exato para la mayoría de las apliaiones 5-

13 5.3. Prinipio de relatividad. A finales del siglo XIX, los físios asumían que la naturaleza ondulatoria de la luz llevaba aparejada la neesidad de la vibraión de alguna sustania desonoida, que denominaban eter que llenaba el espaio, de forma análoga a las vibraiones del aire que dan lugar al sonido. Asumiendo que este supuesto eter fuese estaionario, enontramos que la luz se desplaza on respeto al eter a una veloidad. Si la tierra se moviera a través del eter on veloidad v, entones la veloidad de la luz on respeto a la tierra debería depender de la direión de propagaión. Por ejemplo, debería ser -v para un rayo de luz que se propaga en la misma direión del movimiento de la tierra y +v en la direión opuesta. En 88, Mihelson y Morley demostraron experimentalmente que la veloidad de la luz era la misma en todas las direiones. Estos resultados obligaron a abandonar el onepto de eter, las ondas eletromagnétias se propagan en el vaío, y movieron a Einstein en 95 a enuniar su prinipio de relatividad basado en el heho de que la veloidad de la luz es una invariante físio que tiene el mismo valor para todos los observadores. Esta invariania obliga a profundos ambios en el movimiento relativo entre observadores tal y omo se asumía en la meánia lásia. En espeial la hipótesis de que el tiempo es igual para todo observador no puede ser ierta. Dado que veloidad es distania dividida entre tiempo, tenemos que ajustar el tiempo y la distania, si el oiente debe ser el mismo para observadores en movimiento relativo, omo en el aso de la veloidad de la luz. Las nuevas transformaiones, denominadas transformaiones de Lorentz, entre dos observadores en movimiento relativo on veloidad v según el eje x, ompatibles on la invariania de la veloidad de la luz son x t m x vt v vx t v m v y y z z [5.3] Estas nuevas transformaiones obligaron al desarrollo de una nueva rama de la físia, físia relativista, que enuentra su prinipal apliaión en el rango de las altas energías uando las veloidades de las partíulas se aproximan a la veloidad de la luz. 5-3

14 5.4 Propagaión de la luz Hemos visto omo la propagaión de la luz viene gobernada por la euaión de ondas desarrollada en el apartado 5.. Sin embargo, antes de que Maxwell desarrollara la teoría de las ondas eletromagnétias, la propagaión de la luz fue desrita empíriamente por dos prinipios desarrollados por Huygens y Fermat, posteriormente deduidos a partir de la euaión de ondas. Estos dos prinipios, que pasamos a ontinuaión a enuniar, permitieron expliar muhos de los fenómenos asoiados a la propagaión de la luz Prinipio de Huygens. Consideremos un frente de ondas esfério que proede de un foo puntual. Vimos en apítulos anteriores omo el frente de ondas es el lugar geométrio de los puntos on fase onstante. Si en el instante t el radio del frente de ondas es r, su radio en el instante t+ t es r+ t siendo la veloidad de la onda. Sin embargo, si una parte de la onda se ve bloqueada por un obstáulo, ó si la onda pasa a través de diferentes medios, es muho más difíil la determinaión del nuevo frente de ondas en el instante t+ t. La propagaión de una onda a través del espaio puede desribirse utilizando un método geométrio onoido omo prinipio de Huygens Figura 5.8. Prinipio de Huygens para la propagaión de la luz un trayeto desde A hasta B de longitud s omo Cada punto de un frente de ondas primario sirve omo foo de ondas esférias seundarias que avanzan on una veloidad y freuenia igual a las de la onda primaria. El frente de ondas primario al abo de un ierto tiempo es la envolvente de estas ondas elementales. La figura 5.8 muestra la apliaión del prinipio de Huygens a la propagaión de una onda plana y una onda esféria Prinipio de Fermat. En un medio homogeneo de índie de refraión n, definido n omo n/v, se define el amino óptio (L) de la luz que ha reorrido ( L ) ns [5.33] Si el medio es heterogeneo on variaión ontinua del índie de refraión tenemos que el amino óptio es igual a 5-4

15 B B ds B ( L ) nds dt t [5.34] A A v A Así pues, el amino óptio puede definirse omo el produto de la veloidad de la luz en el vaío por el tiempo que tarda en reorrer la trayetoria. El prinipio de Fermat establee que: La trayetoria seguida por la luz para pasar de un punto A a otro punto B es aquella para la ual el amino óptio es mínimo. Esta definiión, y dado que es una onstante, es equivalente a afirmar que el tiempo de reorrido de la luz debe ser un mínimo. 5.5 Reflexión y refraión Un medio transparente a la luz se define por su índie de refraión n que omo hemos visto viene dado por la euaión n [5.35] v siendo la veloidad de la luz en el vaío y v la veloidad en el medio. De las definiiones de ambas veloidades llegamos al resultado εµ n ε rµ v ε µ r [5.36] Para la mayoría de los materiales óptios de interés µ r dado que no son ferromagnétios on lo que el índie de refraión es igual a la raiz uadrada de la onstante dielétria relativa. De [5.35] se dedue que el índie de refraión es una parámetro adimensional mayor que la unidad, dado que siempre es mayor ó igual que v. La tabla 5. muestra los índies de refraión de varias sustanias. Tabla 5.. Índie de refraión de diferentes sustanias para luz de longitud de onda λ589 nm Sustania n Sustania n Sólidos a ºC Líquidos a ºC Diamante (C).49 Beneno.5 Fluorita (CaF ).434 Alohol Etílio.36 Cuarzo (SiO ).458 Glierina.473 Vidrio rown.5 Agua.333 Hielo (H O).39 Gases a ºC, atm Poliestireno.49 Aire.93 Cloruro sódio (NaCl).544 CO

16 Cuando un haz de luz inide sobre una superfiie límite de separaión entre dos medios, tal omo una superfiie aire-vidrio, parte de la energía luminosa se refleja y parte se transmite dando lugar al fenómeno de la reflexión y refraión ya analizados en el apítulo. Siguiendo el esquema de la figura 5.9, las leyes que rigen este fenómeno son la ley de la reflexión, el ángulo inidente es igual al ángulo reflejado ϑ [5.37] ϑ Figura 5.9. Reflexión y refraión de la luz en la superfiie límite entre dos medios y la ley de la refraión ó de Snell que liga ángulo inidente y ángulo refratado en funión de los índies de refraión de los medios n [5.38] senϑ nsenϑ Experimentalmente se ha omprobado que no hay un ambio de freuenia al pasar la luz del primer medio al segundo medio. Dado que si que hay un ambio de veloidades de propagaión, esto implia que la longitud de onda debe ambiar. Si la longitud de onda en el vaío es λ, la longitud de onda λ en un medio de índie de refraión n es λ λ [5.39] n 5.5. Deduión mediante el prinipio de Huygens. Analiemos los fenómenos de reflexión y refraión utilizando la onstruión de Huygens. La figura 5..a muestra un frente de ondas plano AA que inide sobre un espejo en el punto A. El ángulo φ que forma el frente de ondas on el espejo es igual al ángulo de inidenia θ que forma la perpendiular al espejo y los rayos perpendiulares al frente de ondas. De auerdo on el prinipio de Huygens ada punto de un frente de ondas puede onsiderarse omo un punto de una fuente de ondas elementales seundarias. La posiión del frente de ondas al abo de un tiempo t se enuentra onstruyendo las ondas elementales de radio t on entros en el frente de ondas AA. Las ondas elementales que no iniden sobre el espejo forman la parte BB del nuevo frente de ondas. Los frentes de onda que iniden sobre el espejo se reflejan y forman la parte B B del nuevo frente de ondas. Mediante una onstruión semejante se obtiene el frente de ondas C C a partir de las ondas elementales de Huygens que se originan en el frente de ondas B B. La figura 5..b es una parte aumentada de la figura 5..a en la que se muestra AP, parte del frente de ondas original. Durante el tiempo t, la onda elemental proedente del punto P alanza al 5-6

17 espejo en el punto B y la onda elemental proedente del punto A alanza el punto B. El frente de ondas reflejado BB forma un ángulo φ on el espejo que es igual al ángulo de reflexión θ entre el rayo reflejado y la normal al espejo. Los triángulos ABP y BAB son ambos triángulos retángulos on la hipotenusa omún AB y los atetos iguales AB BPt. De aquí que estos triángulos sean semejantes y que los ángulos φ y φ sean iguales lo ual implia que el ángulo de reflexión θ es igual al ángulo de inidenia θ, ley de la reflexión. (a) Figura 5..a) Frente de ondas plano inidiendo sobre un espejo y b) detalle del proeso de reflexión del frente de ondas AP Figura 5.. Refraión de un frente de ondas plano (b) La figura 5. muestra una onda plana que inide sobre una superfiie plana. Apliquemos la onstruión de Huygens para hallar el frente de ondas de la onda transmitida. El segmento AP india una porión del frente de ondas en el medio que inide sobre la superfiie on un ángulo de inidenia φ. En el instante t la onda elemental proedente de P reorre la distania v t y alanza el punto B sobre la línea AB que separa ambos medios, mientra que la onda elemental proedente del punto A reorre una distania v t dentro del segundo medio. El nuevo frente de ondas BB no es paralelo al frente de ondas original AP porque son diferentes las veloidades de transmisión en ambos medios. Del triángulo APB vt senφ AB vt AB senφ vt senθ [5.4] Análogamente y a partir del triángulo AB B 5-7

18 vt senφ AB vt AB senφ vt senθ [5.4] Igualando valores obtenemos senθ v n senθ senθ v n senθ [5.4] obteniendo la ley de Snell de la refraión Deduión mediante el prinipio de Fermat. La figura 5. muestra dos trayetorias en las uales la luz sale del punto A, hoa ontra la superfiie plana y se propaga hasta el punto B. Apliando el prinipio de Fermat el reorrido entre A y B será aquel que se realize en el menor tiempo posible. Como en este problema la luz siempre se mueve en el mismo medio, el tiempo será mínimo uando la distania sea mínima. Esta distania APB es mínima uando el ángulo de inidenia es igual al de reflexión. Figura 5.. Trayetorias posibles de la luz en un proeso de reflexión para ir de A a B En el aso de la refraión, la figura 5.3 india la geometría que sirve para enontrar el trayeto de mínimo tiempo entre los puntos A y B. Si la distania reorrida en el medio es L y la reorrida en el medio es L, el tiempo que tarda la luz en reorrer el trayeto AB es t L v n L L + v nl + L n + L n [5.43] Figura 5.3. Trayetoria de mínimo tiempo entre A y B en un proeso de refraión 5-8

19 Utilizando las igualdades deduidas de la figura 5.3 L L a b + x + ( d x) [5.44] y haiendo el tiempo un mínimo respeto a x obtenemos dt dx n + n dl dx dl dx [5.45] A partir de [5.44] dl dx dl dx x L senθ d x senθ L [5.46] Introduiendo estos resultados en [5.45] tenemos n senθ + n( senθ ) n senθ n senθ [5.47] que es la ley de Snell de la refraión Fatores de reflexión y transmisión. La fraión de energía luminosa reflejada y transmitida al inidir la onda sobre una superfiie límite depende del ángulo de inidenia, la orientaión del vetor ampo elétrio y de los índies de refraión según unas euaiones denominadas fórmulas de Fresnel. Para el aso espeial de inidenia normal el fator de reflexión r, fraión de intensidad reflejada, y el fator de transmisión t, fraión de intensidad transmitida, vienen dados por r I i n + n I r n n [5.48] t I 4n n t [5.49] Ii ( n + n) donde I I es la intensidad inidente, I r la reflejada y I t la transmitida y n y n los indies de refraión de los dos medios. La onservaión de la energía obliga a que la suma de r y t sea igual a. 5-9

20 5.5.4 Reflexión interna total. Cuando el índie de refraión del segundo medio es menor que el del primero n >n, la ley de Snell implia que θ r > θ i. Al ir aumentando el ángulo de inidenia sobre la superfiie, el ángulo del rayo refratado subirá de valor hasta alanzar los 9º para un ángulo de inidenia rítio θ tal y omo se muestra en la figura 5.4. Para ángulos de inidenia mayores que θ no existe rayo refratado y toda la energía se refleja, fenómeno onoido omo reflexión interna total. Una apliaión muy interesante de este fenómeno es la transmisión de un haz de luz a lo largo de una fibra de vidrio transparente denominada fibra óptia. Figura 5.4.a) Reflexión interna total para un ángulo de inidenia mayor que θ y b) ejemplo del fenómeno en la superfiie de separaión agua/aire A partir de la ley de Snell se puede deduir el valor de este ángulo rítio n sen n θ [5.5] Figura 5.5. Espejismo motivado por aire aliente en las eranías del suelo Espejismos. Cuando el índie de refraión de un medio ambia de forma ontinua, la refraión es ontinua de forma que la luz se va urvando gradualmente. Un ejemplo interesante de este aso es la formaión de un espejismo. En un día aluroso es freuente tener era del suelo una apa de aire más aliente, y por tanto menos denso que el aire que tiene enima. La veloidad de la luz es ligeramnete mayor en esta apa menos densa, de manera que el haz que pasa de la apa más fría a la más aliente se urva tal y omo se muestra en la figura 5.5.

21 5.6 Polarizaión En toda onda tranversal, la vibraión es perpendiular a la direión de propagaión de la onda. Por ejemplo, una onda luminosa que se mueva en la direión X, tendrá un ampo elétrio E perpendiular a esta direión, por ejemplo el Y según se muestra en la figura 5.6, on un ampo magnétio B según el eje Z. Si la vibraión se mantiene paralela a una línea del espaio se die que la onda está linealmente Figura 5.6. Onda de luz propagándose según el eje X linealmente polarizada polarizada. El plano de polarizaión se define omo el plano en el que osila el ampo elétrio, en este aso el plano XY. Figura 5.7. Onda de luz propagándose según el eje X irularmante polarizada Otra soluión posible en forma de onda plana de la euaión de ondas es aquella en la que los ampos eletrios y magnétios tienen una magnitud onstante, pero rotan alrededor de la direión de polarizaión dando omo resultado una onda polarizada irularmente tal y omo se india en la figura 5.7. Esta nueva soluión se obtiene ombinando dos soluiones linealmente polarizadas omo por ejemplo E B y y E sen( kx ωt), E o mb os( kx ωt), B o z ± E z o os( kx ωt) B sen( kx ωt) o [5.5] que orresponde a un defasaje de π/ entre las omponentes de ada ampo. El extremo del vetor E define una irunferenia en el espaio. En aso de que las amplitudes de ada omponente sean diferentes se obtiene una polarizaión elíptia. La mayoría de la ondas produidas por una fuente están polarizadas. Por ejemplo las ondas eletromagnétias produidas por una antena dipolar están linealmente polarizadas on el vetor ampo elétrio paralelo a la antena. En ambio las ondas produidas por muhas fuentes normalmente no están polarizadas. Una fuente luminosa típia ontiene millones de átomos que atúan independientemente dando lugar a luz no polarizada. 5-

22 5.6. Polarizaión por absorión. Algunos ristales ortados adeuadamente presentan la propiedad de transmitir solo la luz polarizada según una direión determinada, denominada eje de transmisión. Al inidir luz no polarizada sobre estos ristales, la luz transmitida presentará una ampo elétrio paralelo al eje de transmisión. Si situamos un segundo ristal polarizador uyo eje de transmisión forma un ángulo θ on el primero, figura 5.8, la omponente del Figura 5.8. Proeso de polarizaión por absorión utilizando ristales polarizadores ampo elétrio a lo largo del eje de transmisión del segundo polarizador sera Eosθ, siendo E el ampo elétrio entre ambos ristales. Dado que sabemos que la intensidad de la onda es proporional a la amplitud al uadrado, la intensidad de la luz transmitida por ambos ristales será igual a I I os θ [5.5] donde I es la intensidad sobre el segundo polarizador, denominado analizador, que es la mitad de la intensidad inidente sobre el primer polarizador Polarizaión por reflexión. Cuando luz no polarizada se refleja en una superfiie plana entre dos medios transparentes, la luz reflejada está parialmente polarizada. El grado de polarizaión depende del ángulo de inidenia y de los índies de refraión de ambos medios. Brewster desubrió en 8 que uando los rayos refratados y reflejados son perpendiulares, la onda reflejada está totalmente polarizada, estando su ampo elétrio perpendiular al plano de inidenia tal y omo se muestra en la figura 5.9. El ángulo de inidenia para el que ourre este fenómeno se denomina ángulo de polarizaión θ p y su determinaión es senilla a partir de 5.9 donde se observa que ϑ 9º ϑ p que junto a la ley de Snell lleva a Figura 5.9. Proeso de polarizaión por reflexión al inidir la luz sobre la superfiie on θ p n tg p n θ [5.53] 5-

23 Mientras, la luz transmitida está solo parialmente polarizada debido a que solo se refleja una pequeña fraión de la luz inidente. Debido al fenómeno de la polarizaión de la luz reflejada, las gafas fabriadas on ristales polarizantes son muy efiaes a la hora de evitar deslumbramientos. La luz reflejada en lagos ó en la nieve presentará un plano de inidenia prátiamente vertial on lo que el ampo elétrio de la luz reflejada será horizontal. Los ristales polarizados on sus ejes de transmisiones vertiales absorberán gran parte de la luz reflejada evitando los deslumbramientos. 5.7 Dispersión de la luz La dependenia del índie de refraión de un material on la longitud de onda, y por tanto on la freuenia, reibe el nombre de dispersión. Para la mayoría de los vidrios óptios y sustanias transparentes, n disminuye on la longitud de onda según la fórmula de Cauhy B n ( λ) A + [5.54] λ donde A y B son onstantes a determinar experimentalmente. Cuando un haz de luz blana inide formando un ierto ángulo sobre un prisma de vidrio, el ángulo de refraión orrespondiente a las longitudes de onda más ortas es ligeramente mayor que el orrespondiente a las longitudes de onda más largas. Por onsiguiente, las longitudes de onda más ortas (violeta) se desvían más que las largas (rojo) dando lugar a la dispersión del haz de luz blana en sus olores ó longitudes de onda onstituyentes, figura 5.. Analiemos este fenómeno onsiderando un prisma óptio omo un medio transparente limitado por dos superfiies planas que forman un ángulo diedro α. De la marha del rayo en la figura 5. y del triángulo AI I se dedue, teniendo en uenta que ε y ε son negativos y ε y ε positivos, ε ε α [5.55] El ángulo δ que forma la proyeión del rayo inidente on el emergente se llama desviaión angular del rayo y se toma omo positiva si al llevar el rayo emergente sobre el inidente se va en sentido antihorario. Para alular δ basta onsiderar que es el ángulo externo en el triángulo JI I δ ˆ + ˆ ( ε ε ) + ( ε ε ε ε α [5.56] ) 5-3

24 Figura 5.. Dispersión de un haz de luz blana en un prisma dando lugar a sus longitudes de onda, olores, onstituyentes Si el rayo está ompuesto de dos haes monoromátios λ y λ+dλ, y debido al fenómeno de la dispersión, a la salida del prisma habrá una variaión en la desviaión de ada uno de los haes denominada dispersión angular dδ, figura 5.. Para alular este ángulo difereniamos [5.55], [5.56] y la ley de Snell onsiderando que ε y α son onstantes Figura 5.. Difraión de un rayo de luz en las superfiies de un prisma d ε, dε dδ dε ε dε + senεdn osεdε + senεdn os nos n ε dε y operando, junto a [5.55], llegamos a la euaión senα δ dn [5.57] osε osε d Figura 5.. El rayo de luz inidente sobre el prisma está ompuesto de dos longitudes de onda 5-4

25 5.8 Absorión de la luz La absorión de la luz durante su propagaión a través de un medio ourre en aso de que la freuenia de la onda eletromagnétia oinida on la freuenia natural de resonania de alguna de las argas presentes en el medio. Sabemos que el ampo elétrio de la onda eletromagnétia ejererá una fuerza osilante sobre las argas elétrias, eletrones negativos e iones positivos, existentes en el material moviéndolas de su posiión de equilibrio. Por tanto aparee una osilaión forzada de las argas en torno a su posiión de equilibrio, situaión físia ya analizada en el apítulo. De este análisis sabemos que para una freuenia del ampo elétrio igual a la freuenia natural de osilaión del sistema tendremos resonania y habrá una absorión por parte del medio de energía eletromagnétia provoando una atenuaión de la luz. La absorión seletiva de iertas freuenias es responsable del olor de los materiales. Para un medio de onstante dielétria relativa ε r, permeabilidad magnétia relativa µ r y ondutividad elétria σ, la euaión diferenial de ondas queda de la forma E E E σµ µ r + µ µ rε ε r [5.58] t t que presenta omo soluión, en forma de onda eletromagnétia plana propagándose a lo largo del eje x E E e i( kx ωt) [5.59] formalmente análoga a las soluiones ya estudiadas, pero en este aso el vetor de onda del medio absorbente es un número omplejo que vale k µ r r r µ ε ε ω + iσµ µ ω [5.6] Reordando la relaión entre vetor de onda e índie de refraión introduimos el índie de refraión omplejo definido omo k n~ ω, n ~ n + iκ [5.6] La parte real del índie de refraión oinide on la definiión anteriormente expuesta de índie de refraión en la euaión [5.35]. La parte imaginaria, denominada oefiiente de extinión κ, da uenta omo veremos de los fenómenos 5-5

26 de absorión de luz presentes en el material. Introduzamos en el ampo elétrio dado por la euaión [5.59] el índie de refraión omplejo n ~. ωnx ~ κωx ωnx i( ωt) i( ωt) E x, t) E e E e e [5.6] ( Es deir una onda de freuenia ω que se propaga por el medio on una veloidad de fase /n y una amplitud que se atenua on la longitud de propagaión κωx según el fator e. Sabemos que la intensidad de la onda eletromagnétia es proporional al uadrado de la amplitud on lo que la intensidad de la onda vendrá dada por I I e αx [5.63] donde I es la intensidad en x y α es el oefiiente de absorión del material definido omo α κω 4πκ λ [5.64] El oefiiente de absorión es fuertemente dependiente de la freuenia de la onda eletromagnétia inidente pudiendo absorberse en el material unos olores y no otros. 5-6

27 Problemas. Una bombilla elétria de 5 W emite ondas eletromagnétias uniformemente en todas las direiones. Calular la intensidad, la presión de radiaión y los ampos elétrios y magnétios a una distania de 3 m.. La distania entre los espejos en el dispositivo de Fizeau es de km, la rueda dentada tiene 5 mm de radio y 5 dientes. Cuál debe ser la veloidad de giro de la rueda para que la luz deje de verse? 3. Un rayo de luz que se propaga en el aire entra en el agua on un ángulo de inidenia de 45º. Si el índie de refraión del agua es de,33, uál es el ángulo de refraión? 4. Considerese un haz de luz monoromátia on longitud de onda en el vaío de 59 nm. Calular la longitud de onda de este haz en un vidrio on índie de refraión n,5. 5. Una radiaión de freuenia f5x 4 s - se propaga en el agua. Calular la veloidad de propagaión y la longitud de onda de diha radiaión. 6. En el fondo de una vasija llena de líquido de índie de refraión n hay un pequeño objeto. La vasija tiene una altura h r. Hallar la altura aparente a la que se enuentra el objeto uando se mira éste on inidenia normal siendo el índie de refraión del medio donde se enuentra el observador n. 7. Hallar el desplazamiento que experimenta un rayo de luz al atravesar una lámina de m de espesor e índie de refraión,5 si el rayo inidente forma un ángulo de 45º on la normal. 8. En una lámina plana de uarzo, n,544, de aras paralelas inide un rayo on un ángulo erano a ero. Calular el porentaje de la intensidad luminosa del rayo que emerge a través de la lámina. 9. Un vidrio dado posee un índie de refraión de n,5. Cuál es el ángulo rítio para la reflexión total de la luz que sale del vidrio y entra en el aire?. Sea una lámina de vidrio, n,75, on forma de uña y rodeada de aire. Calular el ángulo α que forman las dos aras de la uña sabiendo que un rayo de luz que inide sobre una de las aras on un ángulo de 3º se refrata sobre la otra según el ángulo rítio.. Un rayo de luz inide sobre la ara exterior de un vidrio on índie de refraión,655. Sobre la ara superior se ondensa un líquido desonoido. La reflexión interna total sobre la superfiie vídrio-líquido se produe uando el ángulo de inidenia en la superfiie vídrio-líquido es 53,7. Cuál es el índie de refraión del líquido desonoido? Si se eliminase el líquido, uál sería el ángulo de inidenia para la reflexión interna total?. Para el ángulo de inidenia hallado en el apartado anterior, uál es el ángulo de refraión del rayo dentro de la pelíula del líquido? Emergerá un rayo a través de la pelíula del líquido haia el aire que está enima?. Luz no polarizada de intensidad 3 W/m inide sobre dos pelíulas polarizadoras uyos ejes de transmisión forman entre si un ángulo de 6º. Cuál es la intensidad de la luz transmitida por la segunda pelíula? 5-7

28 3. Hallar la veloidad de grupo de un haz de luz en un vidrio óptio que umple la fórmula de Cauhy. 4. Calular la variaión de desviaión que experimenta un rayo luminoso después de atravesar un prisma de vidrio, α6º y n,6, sobre el que inide on un ángulo de 4º uando el medio que lo rodea ambia de aire a agua. 5. Calular el ángulo diedro α de un prisma, n,54 para una longitud de onda de λ656,3 nm, sabiendo que un rayo que inide on un ángulo de 6º se desvía un ángulo de 48º Demostrar que el ángulo de inidenia ε sobre un prisma, de ángulo diedro α e índie de refraión n, que hae mínima la desviaión δ a la salida del mismo α umple que sen ε nsen. 7. Para el prisma del problema 5 se onoe que su índie de refraión para λ486, nm es,593. Calular la dispersión angular existente al inidir sobre el prisma un haz luminoso, ompuesto de dos longitudes de onda, λ656,3 nm y λ589,3 nm, on un ángulo de 6º. 8. El índie de refraión omplejo del Ge a 4 nm viene dado por n ~ 4,4 + i,5. Calular para el Ge a 4 nm la veloidad de fase de la luz y su oefiiente de absorión. 5-8