Desarrollo. Presentación. Objetivos del Proyecto. Un poco de historia y base teórica

Transcripción

1 Desarrollo Presentación El Proyecto Eratóstenes 2012 en el que hemos participao fue una propuesta 1 el Departamento e Física e la Faculta e Ciencias Exactas y Naturales e la Universia e Buenos Aires (Argentina), el Laboratorio Pierre Auger, e la Universia Tecnológica Nacional Regional Menoza (Argentina) y e la Asociación e Física e Argentina. La propuesta fue anunciaa y ifunia en su ía por el Programa NASE (Network Astronomy School Eucation) que fue promovio por el Ministerio e Eucación e la Provincia e Santa Fe. Para poer participar acceimos al sitio Web el Proyecto Eratóstenes e la Universia Nacional e Buenos Aires y registramos allí nuestra escuela. Dese su base e atos y por correo electrónico puimos contactar con otros centros escolares y cotejar pares e meias. Así fuimos realizano nuestros propios cálculos utilizano un proceimiento muy parecio al que usó Eratóstenes hace 2300 años. Más tare, ese la Universia e Buenos Aires, se analizaría toa la información recopilaa para obtener un raio promeio e la Tierra acore con toas las meias realizaas por toos los participantes en el Proyecto. Objetivos el Proyecto Comprener los aspectos geométricos que hacen que los rayos el Sol incian sobre la Tierra e manera iferente en istintas latitues. Describir cómo eterminar el meioía solar veraero en el lugar one uno vive. Meir el ángulo que forman los rayos el Sol con la vertical. Describir cómo se miió el Raio e la Tierra por primera vez hace 2300 años. Calcular el raio terrestre con una aproximación muy aceptable. Formar parte e un proyecto colectivo, ese el cual, con el iálogo activo e iferentes grupos, se puee alcanzar un objetivo común. Un poco e historia y base teórica Hace unos 2300 años, el sabio Eratóstenes (Cirene, 274 a C Alejanría, 194 a C) miió, con bastante exactitu y por primera vez, el tamaño e la Tierra. Eratóstenes tuvo noticia e que, en la ciua e Siena (actual Asuán), en el momento el meioía el solsticio e verano, los rayos el sol inciían perpeniculares hacia el suelo y lograban llegar hasta el fono e un profuno pozo e agua. Este hecho sólo ocurría al meioía e ese ía especial ese el punto e vista astronómico. Sin embargo, en la ciua e Alejanría, al meioía el solsticio e verano, los rayos el sol no inciían e forma perpenicular sobre la tierra: toos los objetos proyectaban algo e sombra. Figura 1. Eratóstenes en Alejanría y Siena (Egipto) 1 Dicha propuesta fue una aaptación Argentina el proyecto WYP Eratosthenes Project realizao en Estaos Unios con ocasión el Año Internacional e la Física en 2005.

2 Eratóstenes pensó que, si la Tierra era plana, toos los objetos eberían proyectar sombras proporcionales en los mismos instantes. No obstante, si la Tierra estaba curvaa (esférica), esta iferencia observaa entre Alejanría y Siena poría tener explicación. Figura 2. Efecto e curvatura Eratóstenes razonaba que la prolongación e los rayos el sol en la ciua e Siena (al igual que la prolongación inferior e toos los objetos verticales) ebería llegar hasta el centro e la Tierra. Así mismo, la prolongación inferior e toos los objetos verticales en Alejanría también ebería llegar hasta el centro e la Tierra. Ambas prolongaciones formarían un ángulo central θ. Figura 3. Ángulo central θ Puesto que los rayos solares llegarían paralelos a la Tierra, este ángulo θ sería fácilmente eterminable si puiéramos meir el ángulo que forman los rayos el sol con la vertical en Alejanría (Principio e Tales). Figura 4. Principio e Tales Figura 5. Determinación e θ El ángulo e inclinación e los rayos solares en Alejanría se puee eterminar fácilmente miieno sombra la longitu e la sombra y la altura e una columna vertical: θ = arctan = 7,2º (meia altura original e Eratóstenes) No obstante, es mucho más interesante expresar los ángulos en raianes:

3 2π ra 7,2º = 7,2º = 0,126ra 360º Ya que un ángulo central meio en raianes viene fácilmente eterminao como cociente entre la longitu e arco y el raio e la circunferencia con el que ha sio trazao: θ = R Cuenta la historia que Eratóstenes contrató un pequeño ejército para que estimara a pie la istancia entre Alejanría y Siena. Distancia entre Alejanría y Siena (Asuán): 800 Km Y así: θ = R = = R θ 800 = 0, Km Un valor muy próximo al aceptao hoy en ía (6371 Km) Figura 6. Distancia entre Alejanría y Siena Métoo empleao por nuestro equipo En primer lugar preparamos un gnomon lo más fiable que se nos ocurrió con objeto e asegurar la verticalia, la horizontalia y minimizar los errores en las meias. Utilizamos un trípoe e un pequeño telescopio y le acoplamos en la parte superior una lámina e plástico con un orificio e 1 cm e iámetro. Por ese orificio entrarían los rayos el sol y se proyectarían sobre una superficie blanca horizontal. Una plomaa suspenia ese ese mismo orificio nos proporcionaría verticalia y la altura el gnomon. La istancia ese el pie e la plomaa hasta el punto luminoso proyectao en el suelo nos aría la longitu e la sombra el gnomon. Una regla, un nivel, un papel blanco, un rotulaor y un bloc e notas fueron toas las cosas que por emás necesitaríamos. x θ = arctan h Figura 7. Determinación e θ Sin embargo, al establecer contacto con ciuaes situaas en el hemisferio sur ebimos moificar un poco el métoo empleao. Caa uno e los observaores (nosotros en el Norte y casi toos los emás en el Sur) eterminaríamos la inclinación e los rayos el sol respecto a la vertical observano alturas y sombras en su respectivos aparatos e meición. Serían los ángulos: θ N y θ S

4 De otro lao, caa uno e los observaores eterminaríamos la istancia e nuestra ubicación hasta el ecuaor: N y S. Esto puee hacerse ese Google Earth, Google maps o bien ese la irección: Proporcionano nuestra latitu (38 N) en icha aplicación y 0 N para el ecuaor. Figura 8. Aplicación On Line e cálculo e istancia al ecuaor Figura 9. θ y como suma e os meiciones Ahora, el ángulo central hasta las os ciuaes es: θ = θ N + θ S Y la istancia entre ciuaes (supuestas en el mismo meriiano): = N + S Y así, otra vez: θ = R R = θ La suposición e que las os ciuaes estén en el mismo meriiano no conuce a errores muy granes ya que las meiciones se realizan en ambos casos en el momento e meioía veraero: cuano el sol alcanza su máxima altitu sobre el horizonte. A posteriori, nosotros hemos ieao una mejora en el métoo respecto a esta última cuestión.

5 En el caso e que las os ciuaes estén en el mismo hemisferio, el ángulo central hasta las os ciuaes es: θ = θ N - θ S Y la istancia entre ciuaes (supuestas en el mismo meriiano): = N - S Pero en efinitiva, otra vez: θ = R R = θ Figura 10. θ y como iferencia e os meiciones Determinación el meioía veraero En la teoría más simple, el meioía ebería ocurrir a las 12:00 h. Pero no es cierto. De un lao, la hora oficial e caa país a uniformia a toos los relojes sin tener en cuenta la longitu geográfica e caa localia. De otra parte, en muchos países se establecen aelantos e hora oficial respecto a la hora astronómica con objeto e ahorrar energía eléctrica (una hora o os horas en España según las épocas). Y finalmente, como la Tierra no posee un movimiento circular uniforme, los meioías veraeros aelantan o atrasan según las estaciones. Figura 11. Cálculos el meioía veraero en Úbea y meiciones

6 En las fechas en que realizamos las meiciones (septiembre) teníamos un aelanto oficial e 2 h. Por estar a 3º 22 al Oeste el meriiano e Greenwich ebimos sumar 13min 28s. De la tabla e la ecuación el tiempo 2 (Universia e Alicante) fuimos restano algunos minutos y segunos caa ía e observación hasta eterminar la hora oficial el meioía veraero. Calenario e activiaes Los momentos e observación se realizaron en fechas previas al equinoccio e otoño: entre el 9 y el 21 e septiembre e septiembre e 2012: Toavía queaban 8 ías para comenzar nuestro curso acaémico cuano toos nuestros alumnos e ciencias e 4º e la ESO se presentaron voluntarios a esarrollar el proyecto. Este primer ía ispusimos nuestros instrumentos en el patio e nuestro colegio y eterminamos e forma experimental el meioía veraero. Para ello trazamos un arco e circunferencia con centro en la caía e la plomaa. Entre las 13:00 y las 15:00 fuimos señalano, e iez en iez minutos, las proyecciones el sol sobre la hoja e papel. Los momentos más importantes eran aquellos en que el sol tocaba la curva trazaa. El punto meio e estos os, junto con la caía e la plomaa nos etermina la irección el meioía veraero. Figura 12. Proceimiento para calcular el meioía veraero Aunque pronto supimos que este momento varía ía tras ía y recurrimos, en consecuencia, a hacer cálculos el mismo para las siguientes fechas (véase la tabla anterior en la figura 10). 2.- Toos los ías, ese el 10 e septiembre hasta el 21 e septiembre, tomamos meias y anotamos las lecturas (a excepción el ía 18 que se presentó muy nublao). 3.- Toos los ías, también ese el 10 e septiembre hasta el 21, registramos nuestras observaciones en la base e atos e la Universia e Argentina a través e su Web. Con toas ellas se haría un cálculo estaístico general e toas las escuelas participantes. 4.- Durante too el mes e septiembre y parte e octubre fuimos establecieno contacto con otras escuelas (29 en total), a través e correo electrónico, para intercambiar pares e meias y realizar nuestros cálculos iniviuales. También intercambiamos fotografías y métoos e cálculo. Nuestros muchachos/as (alumnos e la ESO), así también, puieron hablar con sus compañeros e proyecto en otros países e eaes similares. 2 Ver anexo: tabla ecuación el tiempo (Universia e Alicante)

7 Según el Informe Final 3 presentao por la Universia e Argentina: En total participaron 167 escuelas americanas y os españolas. Los alumnos involucraos en la activia superaron el número e Las meiciones se realizaron entre el 10/09 y el 21/09 e septiembre e Los pares e escuelas que aportaron a la meición conjunta fueron 110, istribuias e acuero a métoos e optimización en base a las coorenaas geográficas e toos los participantes y al ía e meición. Los valores obtenios por caa par e escuelas para el raio terrestre R variaron entre 4.000Km y 9.000Km. Con los resultaos obtenios se confeccionó un histograma, y se realizó un ajuste con una istribución gaussiana. A partir e icho ajuste se obtuvo como resultao: R = (6.430 ± 120) Km y 10 e abril. Presentación el proyecto en las IV Jornaas e la Ciencia e Úbea e mayo e Con motivo el 18 aniversario el Parque e las ciencias e Granaa, nuestros alumnos expusieron sus experiencias a otros centros y al público en general en la XVI Feria e la Ciencia y Jornaa e Puertas Abiertas. También expusieron un corto científico en el III Maratón e ocumentales científicos en el aula invitano a participar en la nueva eición 2013 el Proyecto Eratóstenes iberoamericano. Nuestro trabajo Hemos contactao con 29 centros escolares iferentes y hemos realizao 46 pares e meias con sus corresponientes cálculos. Mostramos aquí unos pocos ejemplos e los cálculos realizaos con algunas e ellas: Figura 13. Cálculos realizaos con algunas escuelas asociaas 3 Ver anexo: Informe Final Proyecto Eratóstenes 2012 (Universia e Argentina)

8 Los cálculos realizaos en la Hoja Excel anterior siguen las pautas explicaas en puntos anteriores: 1. De la altura e gnomon y su sombra obtenemos el ángulo e inclinación e los rayos solares sombra respecto a la vertical el lugar (columna F) por meiación e: θ = arctan (meio gnomon en raianes) y se suman los os valores obtenios para obtener el ángulo central total θ. 2. Sumamos las istancias respectivas al ecuaor para obtener la istancia total (columna E). 3. Y finalmente se calcula: R = (columna G), estimano el error cometio (columna H). θ Observación: cuano las os ciuaes están en el mismo hemisferio restamos ángulos y istancias como ya habíamos mencionao. En muchos casos obtuvimos resultaos veraeramente buenos (errores menores el 1%). Aemás e la fiabilia e nuestro gnomon, se suma la gran istancia en latitu que nos separa e las escuelas asociaas. Too ello hace que los errores se minimicen. Es por ello por lo que nos gustaría ifunir esta experiencia a otros centros españoles en una eición próxima. Los resultaos e los 46 pares e meias pueen verse en una Hoja Excel fabricaa por nuestro equipo. Nuestra aportación particular al métoo Como las ciuaes asociaas están muy separaas en longitu geográfica (pensemos aquí en una meia e 60º) se prouce un pequeño error e métoo. Poemos observar en las figuras 11 y 14 cómo la longitu mínima e la sombra e caa ía va aumentano caa 24 horas. Por ejemplo: el ía 10 e septiembre meía 64,2 cm, mientras que el ía 11 meía 65,4 cm. Una iferencia e 1,2 cm naa espreciable. El tiempo e retraso entre las os meias realizaas en iferentes localizaciones se ebe a la rotación e la Tierra hasta que se alcanza el meioía veraero el seguno punto e observación. Si la rotación completa (360º) conlleva un aumento e 1,2 cm en la longitu e nuestra sombra, los 60º (en meia) eberían llevar un aumento e 60º x 1,2 cm / 360º = 0,2cm. Como sabemos nuestra longitu y las e las escuelas asociaas, poemos hacer correcciones sumano a nuestra sombra una pequeña cantia. De esa manera simulamos que estamos sobre el mismo meriiano y que realizamos la meición en el mismo instante. Figura 14. Variación iaria e la sombra mínima

9 Véanse algunos ejemplos e esta corrección en las figuras siguientes. Figura 15. Detalle e las correcciones Figura 16. Algunos ejemplos con nuestras correcciones añaias