INFERENCIA, ESTIMACIÓN Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS

Transcripción

1 4 INFERENCIA, ESTIMACIÓN Y CONTRASTE DE IÓTESIS - INTRODUCCIÓN La Etadítica decriptiva y la teoría de la robabilidad va a er lo pilare de u uevo procedimieto (Etadítica Iferecial) co lo que e va a etudiar el comportamieto global de u feómeo La probabilidad y lo modelo de ditribució juto co la técica decriptiva, cotituye la bae de ua ueva forma de iterpretar la iformació umiitrada por ua parcela de la realidad que iterea ivetigar E el iguiete equema repreeta el tema a tratar y que erá dearrollado a cotiuació Etadítica Decriptiva robabilidad y modelo INFERENCIA Etimació Cotrate utual Itervalo Lo método báico de la etadítica iferecial o la etimació y el cotrate de hipótei, que juega u papel fudametal e la ivetigació or tato, alguo de lo objetivo que e perigue e ete tema o

2 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 46 Calcular lo parámetro de la ditribució de media o proporcioe muetrale de tamaño, extraída de ua població de media y variaza coocida Etimar la media o la proporció de ua població a partir de la media o proporció muetral Utilizar ditito tamaño muetrale para cotrolar la cofiaza y el error admitido Cotratar lo reultado obteido a partir de muetra Viualizar gráficamete, mediate la repectiva curva ormale, la etimacioe realizada E la mayoría de la ivetigacioe reulta impoible etudiar a todo y cada uo de lo idividuo de la població ya ea por el cote que upodría, o por la impoibilidad de acceder a ello Mediate la técica iferecial obtedremo cocluioe para ua població o obervada e u totalidad, a partir de etimacioe o reúmee umérico efectuado obre la bae iformativa extraída de ua muetra de dicha població or tato, el equema que e igue e, E defiitiva, la idea e, a partir de ua població e extrae ua muetra por alguo de lo método exitete, co la que e geera dato umérico que e va a utilizar para geerar etadítico co lo que realizar etimacioe o cotrate poblacioale Exite do forma de etimar parámetro la etimació putual y la etimació por itervalo de cofiaza E la primera e buca, co bae e lo dato muetrale, u úico valor etimado para el parámetro ara la eguda, e determia u itervalo detro del cual e ecuetra el valor del parámetro, co ua probabilidad determiada Si el objetivo del tratamieto etadítico iferecial, e efectuar geeralizacioe acerca de la etructura, compoició o comportamieto de la poblacioe o obervada, a partir de ua parte de la població, erá eceario que la parcela de població examiada ea repreetativa del total or ello, la elecció de la muetra requiere uo requiito que lo garatice, debe er repreetativa y aleatoria

3 Apute de Etadítica II 47 Ademá, la catidad de elemeto que itegra la muetra (el tamaño de la muetra) depede de múltiple factore, como el diero y el tiempo dipoible para el etudio, la importacia del tema aalizado, la cofiabilidad que e epera de lo reultado, la caracterítica propia del feómeo aalizado, etcétera Aí, a partir de la muetra eleccioada e realiza alguo cálculo y e etima el valor de lo parámetro de la població tale como la media, la variaza, la deviació etádar, o la forma de la ditribució, etc El etudio muetral o e u tema que etre a formar parte de ete tema, pero i eceitaremo ua erie de cocepto eceario para el dearrollo del tema, y que e detalla a cotiuació - Cocepto báico OBLACIÓN Cojuto de elemeto obre lo que e oberva u carácter comú Se repreeta co la letra N MUESTRA Cojuto de uidade de ua població Cuato má igificativa ea, mejor erá la muetra Se repreeta co la letra UNIDAD DE MUESTREO Etá formada por uo o má elemeto de la població El total de uidade de muetreo cotituye la població Eta uidade o dijuta etre í y cada elemeto de la població perteece a ua uidad de muetreo ARÁMETRO E u reume umérico de algua variable obervada de la població Lo parámetro ormale que e etudia o - La media poblacioal X - Total poblacioal X - roporció ESTIMADOR U etimador θ * de u parámetro θ, e u etadítico que e emplea para coocer el parámetro θ decoocido ESTADÍSTICO E ua fució de lo valore de la muetra E ua variable aleatoria, cuyo valore depede de la muetra eleccioada Su ditribució de probabilidad, e cooce como Ditribució muetral del etadítico ESTIMACIÓN Ete térmio idica que a partir de lo obervado e ua muetra (u reume etadítico co la medida que coocemo de Decriptiva) e extrapola o geeraliza dicho reultado muetral a la població total, de modo que lo etimado e el valor geeralizado a la població Coite e la búqueda del valor de lo parámetro poblacioale objeto de etudio uede er putual o por itervalo de cofiaza - utual cuado bucamo u valor cocreto

4 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 48 - Itervalo de cofiaza cuado determiamo u itervalo, detro del cual e upoe que va a etar el valor del parámetro que e buca co ua cierta probabilidad CONTRATE DE IÓTESIS Coite e determiar i e aceptable, partiedo de dato muetrale, que la caracterítica o el parámetro poblacioal etudiado tome u determiado valor o eté detro de uo determiado valore NIVEL DE CONFIANZA Idica la proporció de vece que acertaríamo al afirmar que el parámetro θ etá detro del itervalo al eleccioar mucha muetra - EL CONCETO DE ESTADÍSTICO Y DISTRIBUCIÓN MUESTRAL El objetivo de la iferecia e efectuar ua geeralizació de lo reultado de la muetra de la població La tarea que o ocupa ahora e coocer la ditribucioe de la probabilidad de cierta fucioe de la muetra, e decir, variable aleatoria aociada al muetreo o etadítico muetrale Éto erá útile para hacer iferecia repecto a lo parámetro decoocido de ua població or ello e habla de ditribucioe muetrale, ya que etá baado e el comportamieto de la muetra El primer objetivo e coocer el cocepto de ditribució muetral de u etadítico; u comportamieto probabilítico depederá del que tega la variable X y del tamaño de la muetra Sea x x, ua muetra aleatoria imple (ma) de la variable aleatoria X, co fució de ditribució F, e defie el etadítico T como cualquier fució de la muetra que o cotiee igua catidad decoocida Sea ua població dode e oberva la variable aleatoria X Eta variable X, tedrá ua ditribució de probabilidad, que puede er coocida o decoocida, y cierta caracterítica o parámetro poblacioale El problema erá ecotrar ua fució que proporcioe el mejor etimador de θ El etimador, T, del parámetro θ debe teer ua ditribució cocetrada alrededor de θ y la variaza debe er lo meor poible Lo etadítico má uuale e iferecia y u ditribució aociada coiderado ua població obre la que e etudia u carácter cuatitativo o o Media muetral x = Σ i = x i o Cuaivariaza = Σ ( x x) i = i Toda la variable aleatoria que forma la muetra verifica que o idepediete etre í, que E [ X i ] = y que u V[ ] = X i

5 Apute de Etadítica II 49 o Total t = Σ x i i = - Ditribucioe muetrale Coideremo toda la poible muetra de tamaño e ua població, etoce, como e decía ateriormete, para cada muetra podemo calcular u etadítico (media, deviació típica, proporció,) que variará de ua a otra Aí obteemo ua ditribució de ee etadítico que e llamará ditribució muetral La medida fudametale de eta ditribució o la media, la deviació típica, tambié deomiada error típico, y el total poblacioal, y u ditribucioe muetrale o la iguiete MEDIA MUESTRAL Sea X X, ua ma co media o co E(x)= y co variaza muetral V[ X ] =, etoce la media muetra e ditribuye como ua ormal de parámetro X N(, ) VARIANZA MUESTRAL Sea X X, ua ma idepediete e idéticamete ditribuida, defiimo el etadítico muetral para la variaza como la cuaivariaza muetral = = ( x x), etoce e verifica que ( ) χ TOTAL MUESTRAL Sea X X, ua ma co E(t)= y co V(t)=, etoce e ditribuye como ua ormal ( ; ) t N 3- ESTIMACIÓN UNTUAL U etimador de u parámetro poblacioal e ua fució de lo dato muetrale E poca palabra, e ua fórmula que depede de lo valore obteido de ua muetra, para realizar etimacioe Lo que e pretede obteer e el valor exacto de u parámetro or ejemplo, i e pretede etimar la talla media de u determiado grupo de idividuo, puede extraere ua muetra y ofrecer como etimació putual la talla media de lo idividuo de la muetra

6 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 5 La media de la muetra puede er u etimador de la media de la població, la cuaivariaza muetral e u bue etimador de la variaza poblacioal y el total muetral e u bue etimador del total poblacioal or tato, ua defiició má matemática de u etimador y la propiedade que debe de cumplir u etimador para er bueo Sea X X, ua ma de tamaño, decimo que e u etimador θ * de u parámetro θ i el etadítico que e emplea para coocer dicho parámetro decoocido e ete 3- ropiedade deeable de u etimador La propiedade o criterio para eleccioar u bue etimador o lo iguiete A) Iegadez Diremo que u etimador θ * de u parámetro θ e iegado i u eperaza coicide co el verdadero valor del parámetro E[θ * ] = θ E el cao de que o coicida, diremo que el etimador e egado B) Eficiecia Dado do etimadore θ * y θ * para u mimo parámetro θ, e dice que θ * e má eficiete que θ * i V[θ * ] < V[θ * ] C) Suficiecia Se dice que u etimador de u parámetro e uficiete cuado para u cálculo utiliza toda la iformació de la muetra D) Coitecia Decimo que u etimador θ * de u parámetro θ e coitete i la ditribució del etimador tiede a cocetrare e u cierto puto cuado el tamaño de la muetra tiede a ifiito Lim = ˆ ο ε ˆ ο ˆ ο + ε { [ ]} 3- Método para obteer etimadore El demotrar que u cierto etimador cumple eta propiedade puede er complicado e determiada ocaioe Exite vario método que o va a permitir obteer lo etimadore putuale Lo má importate o MÉTODO DE LOS MOMENTOS e baa e que lo mometo poblacioale y e etima mediate lo mometo muetrale Suele dar etimadore coitete MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS coite e obteer u etimador que hace míima ua determiada fució MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD coite e tomar como parámetro poblacioal el valor de la muetra que ea má probable, e decir, que tega mayor probabilidad Se uele obteer etimadore coitete y eficiete E el má utilizado

7 Apute de Etadítica II 5 La probabilidad de que la media muetral ea igual a la media poblacioal e cero, [ x = ] =, e decir, que erá batate complicado obteer u etimador putual, por ello e utiliza má el Itervalo de Cofiaza y el Cotrate de ipótei 4- ESTIMACIÓN OR INTERVALOS DE CONFIANZA El itervalo de cofiaza etá determiado por do valore detro de lo cuale afirmamo que etá el verdadero parámetro co cierta probabilidad So uo límite o marge de variabilidad que damo al valor etimado, para poder afirmar, bajo u criterio de probabilidad, que el verdadero valor o lo rebaará E ua expreió del tipo [θ, θ ] ó θ θ θ, dode θ e el parámetro a etimar Ete itervalo cotiee al parámetro etimado co ua determiada certeza o ivel de cofiaza E la etimació por itervalo e ua lo iguiete cocepto Variabilidad del parámetro Si o e cooce, puede obteere ua aproximació e lo dato o e u etudio piloto Tambié hay método para calcular el tamaño de la muetra que precide de ete apecto abitualmete e ua como medida de eta variabilidad la deviació típica poblacioal y e deota Error de la etimació E ua medida de u preciió que e correpode co la amplitud del itervalo de cofiaza Cuata má preciió e deee e la etimació de u parámetro, má etrecho deberá er el itervalo de cofiaza y, por tato, meor el error, y má ujeto deberá icluire e la muetra etudiada Llamaremo a eta preciió E, egú la fórmula E = θ - θ Nivel de cofiaza E la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro etimado e la població e itúe e el itervalo de cofiaza obteido El ivel de cofiaza e deota por (-), auque habitualmete uele expreare co u porcetaje ((-) %) E habitual tomar como ivel de cofiaza u 95% o u 99%, que e correpode co valore de,5 y,, repectivamete Valor Tambié llamado ivel de igificació E la probabilidad (e tato por uo) de fallar e uetra etimació, eto e, la diferecia etre la certeza () y el ivel de cofiaza (-) or ejemplo, e ua etimació co u ivel de cofiaza del 95%, el valor e (-95)/ =,5 Valor crítico Se repreeta por Z / E el valor de la abcia e ua determiada ditribució que deja a u derecha u área igual a /, iedo - el ivel de cofiaza Normalmete lo valore crítico etá tabulado o puede calculare e fució de la ditribució de la població or ejemplo, para ua ditribució ormal, de media y deviació típica, el valor crítico para =,5 e calcularía del iguiete modo e buca e la tabla de la ditribució ee valor (o el má aproximado), bajo la columa "Área"; e oberva que e correpode co -,64 Etoce Z / =,64 Si la media o deviació típica de la ditribució ormal o coicide co la de la tabla, e puede realizar el cambio de variable t=(x-)/ para u cálculo

8 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 5 Co eta defiicioe, i tra la extracció de ua muetra e dice que "3 e ua etimació de la media co u marge de error de,6 y u ivel de cofiaza del 99%", podemo iterpretar que el verdadero valor de la media e ecuetra etre,7 y 3,3, co ua probabilidad del 99% Lo valore,7 y 3,3 e obtiee retado y umado, repectivamete, la mitad del error, para obteer el itervalo de cofiaza egú la defiicioe dada ara u tamaño fijo de la muetra, lo cocepto de error y ivel de cofiaza va relacioado Si admitimo u error mayor, eto e, aumetamo el tamaño del itervalo de cofiaza, teemo tambié ua mayor probabilidad de éxito e uetra etimació, e decir, u mayor ivel de cofiaza or tato, u apecto que debe de teere e cueta e el tamaño muetral, ya que para dimiuir el error que e comete habrá que aumetar el tamaño muetral Eto e reolverá, para u itervalo de cofiaza cualquiera, depejado el tamaño de la muetra e cualquiera de la formula de lo itervalo de cofiaza que veremo a cotiuació, a partir del error máximo permitido Lo itervalo de cofiaza puede er uilaterale o bilaterale UNILATERAL [ X < z ] = ó [ X z ] = BILATERAL z < X < z 4- Itervalo de cofiaza para la media co variaza coocida Sea X ua variable aleatoria que e ditribuye como X N(, ), i utilizamo la media muetral ( X ) como etimador, etoce X N(, ) Tipificado, cetramo el etimador, cambiado de orige y de ecala obteiedo x Z = N(;) / Etoce, el itervalo de cofiaza o la probabilidad para el etimador media co la variaza coocida viee dado por lo iguiete parámetro z x < < z / = z < x < z =

9 Apute de Etadítica II 53 x z < < x + z Cambiamo todo lo igo, para coeguir la media () poitiva [ x + z / x - z / ] = (- ) Ordeado la iformació [ x - z / < < x + z / ] = (- ) or tato, el itervalo e, x z ; x + z 4- Itervalo de cofiaza para la media co variaza decoocida y 3 Sabemo que para cualquier ditribució, por el Teorema Cetral del Límite, i tiee u tamaño de muetra grade, e puede aproximar o e ditribuye como ua Normal de parámetro X N(, ), iedo la cuaideviació típica muetral E coecuecia, x Z = N(;), / y procediedo de forma aáloga a la aterior llegamo a que el itervalo de cofiaza que bucamo e x z ; x + z 43- Itervalo de cofiaza para la media co variaza decoocida y <3 artiedo de ua població Normal, e eta codicioe la variable aleatoria e ditribuye como ua t-studet co - grado de libertad de la forma,

10 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 54 x / t Cotruimo etoce el itervalo de cofiaza a u ivel (- )% de la forma t ; < x < t = t / ; ; ; < x < t =, de maera que i cotiuamo depejado de forma aáloga a lo cao ateriore e obtiee u itervalo de cofiaza I C x t ; x + t ; ; 44- Itervalo de cofiaza para la proporció Baádoo e ua variable aleatoria que e ditribuye como ua Biomial, X B( ; p); y la aproximació de ua ditribució Biomial por ua Normal cuado el tamaño de la muetra e muy grade, e ha vito que e puede exprear como X N p; pq Segú eto, la variable aleatoria defiida como Y=X/ e ( ) ditribuye como Y N( p; pq / ) Al tipificar, o queda Z p = N(;) pq Etoce, el itervalo de cofiaza o la probabilidad para el etimador proporció viee dado por lo iguiete parámetro p z pq ; p + z pq ;

11 Apute de Etadítica II Itervalo de cofiaza para la variaza E poblacioe Normale ya hemo vito que la variable aleatoria ( ) χ ara u ivel de cofiaza de (- )% viee dado por, ( ) ; ; χ χ = < < Si ivertimo y depejamo, o queda, ( ) ( ) ( ) ; ; ; ; χ χ χ χ = = Y por tato, el itervalo de cofiaza para la variaza e ( ) ( ) ; ; ; χ χ 5- CONTRASTE DE IÓTESIS El problema cetral de la iferecia etadítica e u problema de toma de deciioe, del cual la etimació y el cotrate de hipótei o apecto importate, difereciado etre í, pero complemetario U cotrate de hipótei o Tet de hipótei etadítico e ua prueba de igificació o ua prueba etadítica, que idica el proceo mediate el cual decidimo i ua propoició repecto de la població, debe er aceptada o o Eta propoició e lo que e deomia hipótei etadítica E ua regla de deciió que o dice cuado aceptar y rechazar la hipótei, co eto vemo i lo dato de ua muetra o compatible o o co lo de la població Ua hipótei etadítica, por tato, e ua propoició acerca de la fució de probabilidad o de la fució de deidad de probabilidad de ua variable aleatoria o de varia variable aleatoria Tal propoició debe referire bie a la forma de la

12 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 56 ditribució de probabilidad, bie al valor o valore de lo parámetro que lo defia o bie a ambo ipótei etadítica e, ua afirmació acerca de la ditribució de la població uede haber hipótei etadítica e cotexto paramétrico y o paramétrico El cotrate de hipótei etadítico e baará e la iformació proporcioada por la muetra De modo, que i rechazamo la hipótei, queremo idicar que lo dato de la muetra ofrece cierta evidecia obre u faledad Si la aceptamo implemete queremo igificar que o e rechaza U cotrate de hipótei coite, por tato, e etudiar do hipótei (hipótei ula), (hipótei alterativa), de maera que el ivetigador divide lo reultado muetrale e do zoa; ua zoa de rechazo y otra de aceptació, de maera que egú como obtegamo el reultado, aceptaremo o rechazaremo la hipótei Al aplicar u cotrate de hipótei, claificamo lo puto del epacio muetral e do regioe excluyete y complemetaria Regió de Rechazo o Regió Crítica La formada por el cojuto de lo valore del etadítico de cotrate que o lleva a rechazar la hipótei ula, e llama regió crítica (lo puto que delimita la regió crítica e llama puto crítico) Regió de Aceptació o Regió de No Rechazo E la formada por el cojuto de lo valore del etadítico de cotrate que o lleva a aceptar la hipótei ula 5- lateamieto de la hipótei etadítica Aquella hipótei que e deea cotratar e llama hipótei ula (o), por tato, la que e acepta o rechaza como cocluió del cotrate La hipótei ula uele er ua etrategia o medio del que e irve el ivetigador para probar la alterativa Suele ir acompañada por la hipótei alterativa o hipótei experimetal, imbolizada por

13 Apute de Etadítica II 57 La hipótei alterativa e la que e verifica cuado o e verifica la hipótei ula El plateamieto de o permite elaborar u modelo robabilítico a partir del cual podemo llegar a la deciió fial A u vez, al platear ua hipótei, eta puede er imple o compueta Ua hipótei e imple i e epecifica exactamete el valor del parámetro Ua hipótei e compueta, i cotiee do ó má valore del parámetro La hipótei ula (o) por er má cocreta uele er imple y la alterativa, compueta E frecuete platearla como complemetaria 5- Supueto La upoicioe que podemo hacer depediedo del tipo de cotrate que eceitemo o a) Supueto acerca de la caracterítica ó de lo dato que e va a maipular, como puede er la idepedecia de la obervacioe, ivel de medida utilizada, etc b) Supueto acerca de la forma de ditribució de partida Normal, Biomial, etc La violació de lo upueto podrá ivalidar má o meo el modelo probabilítico y llevaro a deciioe erróea Cociere al ivetigador coocer la coecuecia que e deriva de la violació de tale upueto obre el modelo or ete motivo, i e platea lo upueto debe er míimo y o demaiado exigete or ejemplo, e puede platear de partida oblacioe de partida ormale Muetra idepediete Obervacioe de la muetra idepediete 53- Etadítico de Cotrate Etadítico de Cotrate e, aquel etadítico (T) que utilizamo para tomar ua deciió e u cotrate de hipótei Ete etadítico e ua variable aleatoria, co ua ditribució muetral determiada, que o dará la probabilidade aociada a u valor o u determiado itervalo de valore del etadítico de cotrate Ete deberá cumplir toda la caracterítica que e mecioaro ateriormete cuado e habló de lo etadítico 54- Regla de deciió Ua regla de deciió e el criterio utilizado para decidir i aceptamo o rechazamo la hipótei ula, a partir del epacio muetral de valore del etadítico de cotrate y probabilidade aociada

14 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 58 Ete criterio coite e dividir tal epacio e do zoa mutuamete excluyete y exhautiva la zoa de rechazo o regió crítica y la zoa de aceptació La zoa de rechazo etá cotituida por aquello valore del etadítico de cotrate que e aleja mucho de o, por lo tato e muy poco probable que ocurra i o e verdadera or ejemplo, a cotiuació e puede ver do ejemplo de cotrate, uo uilateral y otro bilateral, auque e puede crear mucho má U cotrate de hipótei uilateral e de la forma (hay má forma) o θ = θo θ θo U cotrate de hipótei bilateral e de la forma o θ = θo θ θo Decidimo que u cotrate e uilateral o direccioal, i para tomar la deciió de rechazar o o ervimo excluivamete de lo valore muy grade o excluivamete de lo valore muy pequeño del etadítico de cotrate Decidimo que u cotrate e bilateral o o direccioal, i utilizamo lo valore muy grade y muy pequeño de lo poible valore del etadítico de cotrate Si la ditribució, bajo la, ólo puede etar a la derecha erá má potete i colocamo a la derecha toda la regió crítica

15 Apute de Etadítica II 59 Si la ditribució, bajo la, puede etar a la derecha o la izquierda ería u tet má potete el que poe parte de la regió crítica a la derecha y parte a la izquierda El valor e llama ivel de igificació o ivel de riego y repreeta a la probabilidad de que u ivel cocreto del etadítico de cotrate, caiga e la zoa de rechazo o crítica, e decir, e el cojuto de valore del etadítico de cotrate que o lleva a la deciió de rechazar la hipótei ula El valor (-) e llama ivel de cofiaza, e el cojuto de valore del etadítico de cotrate que o lleva a la deciió de aceptar la hipótei ula E lo cotrate uilaterale etá cocetrada e uo de lo do extremo de la ditribució, e ua úica cola E lo cotrate bilaterale e reparte etre lo do extremo de la ditribució, e la do cola Lo cotrate uilaterale uele er mejore que lo cotrate bilaterale La elecció de uo u otro, etá codicioada al plateamieto de la hipótei alterativa Ejemplo Si o 5 5 Si o = 5 5 E uilateral E bilateral 55- Cálculo del etadítico y toma de deciió Ate de poder tomar ua deciió e debe recopilar lo dato co lo que e va a trabajar, e decir, e obtiee lo dato de ua ó varia muetra y lo etimadore del parámetro (proporció, media, etc) correpodiete, calculamo el valor cocreto del etadítico de cotrate y fijado el ivel de igificació co la zoa crítica, i el valor de tal etadítico cae e la zoa crítica, rechazamo la hipótei ula y por tato, aceptamo la hipótei alterativa E ete cao debemo iterpretar que o hay evidecia uficiete para decidir que e fala E cao cotrario e aceptará la hipótei ula 56- Errore e lo cotrate de hipótei Cuado e realiza u cotrate de hipótei, iempre debemo teer e cueta que cuado aceptamo o rechazamo ua hipótei puede que etemo cometiedo u cierto error Cuado Rechazamo o, igifica que o e fala y cuado aceptamo o, igifica que o e verdadera or tato, e puede coiderar, do tipo de errore que e puede cometer cuado e realiza u cotrate - Error tipo I ( ) E el error que e comete e la deciió del cotrate cuado e rechaza la hipótei ula (o), iedo correcta (cierta) - Error tipo II (β) E el error que e comete e la deciió del cotrate cuado e acepta la hipótei ula (o), iedo fala

16 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 6 E la iguiete tabla e puede ver de forma má cocreta Acertar Rechazar Verdadera (- ) Deciió correcta Error tipo I Fala β Error tipo II (-β) Deciió Correcta De aquí e puede obteer la iguiete cocluioe que debe de teere e cueta El ERROR II e el má grave, al que tambié e le cooce como potecia del cotrate, y e repreeta co la letra β e el valor de igificació, o dice a partir de qué valor etamo cometiedo u error tipo I Aí, la probabilidade aociada a lo tipo do tipo de Error viee dada por la iguiete expreioe - Nivel de igificació o tamaño del cotrate ( ) =(error tipo I}={rechazar o / o cierta} - otecia del cotrate ( β ) β= {rechazar o / o fala}=-{ Aceptar o / o fala}= -{error tipo II} 57- otecia de u cotrate Se llama potecia de u cotrate a la probabilidad de rechazar o, cuado e fala Su probabilidad e -β Má etrictamete debería llamare potecia de regió crítica No e má que la probabilidad de que éta detecte ua o fala dado u valor para Lo valore de y β o tiee la mima importacia picológica E el ivetigador el que e cada cao deberá aber que error tiee má importacia para tratar de dimiuirlo ara dimiuir el valor de e eceario aumetar el tamaño de la muetra 58- Curva de potecia de u cotrate Fijado u ivel de igificació ( ), ua hipótei ula y ua hipótei alterativa, tedremo ua potecia para cada valor que tome la hipótei alterativa ( ) La curva

17 Apute de Etadítica II 6 que e obtiee al relacioar lo poible valore de co lo correpodiete (-β), e llama curva de potecia o fució de potecia Cuato mayor e el ivel de igificació (probabilidad Error Tipo I) mayor e la potecia 59- Efecto del tamaño de la muetra e la potecia Se trata de poer de maifieto cómo, mateiedo cotate, al aumetar el tamaño de la muetra decrece el valor de β, y por tato, e icremeta la potecia, la capacidad del cotrate para ditiguir y Al igual que ocurría e lo itervalo de cofiaza, el tamaño de la muetra erá importate para determiar el error que e comete o cual e el tamaño de la muetra eceario para mateer u determiado error míimo 5- Nivel de igificació y ivel critico Se puede defiir el ivel de igificació () como la máxima probabilidad de rechazar la o cuado e cierta El ivel de igificació lo elige el ivetigador ate de realizar el cotrate, para que o ifluya e u deciió or lo tato el ivel de igificació repreeta el riego máximo admiible al rechazar o El ivel crítico e calcula depué de obteer el valor del etadítico de cotrate y repreeta el riego míimo co el que e rechaza o 5- Violació de lo upueto e lo cotrate de hipótei A cotiuació, e detalla de forma equemática e que ituacioe e debe utilizar otra ditribucioe aociada a la ormal 5- Utilizació de la ditribució T-Studet, e el cotrate de a) Idepedecia ma y població pequeña b) Normalidad Si la muetra e grade o preeta erio problema Si la muetra e pequeña lo cotrate uilaterale aumeta el error or lo tato, i la muetra e grade haremo u cotrate uilateral, i utilizamo la ditribució t-tudet y o e puede aumir que la població e ormal 5- Utilizació de la ditribució T-Studet, e el cotrate de - a) Idepedecia Muy importate b) Normalidad

18 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 6 c) Igualdad de variaza 53- Utilizació de la ditribució Chi-Cuadrado ( χ ), e el cotrate El upueto de ormalidad lleva coigo u error, que o podemo corregir aumetado el tamaño muetral 54- Utilizació de la ditribució F-Sedecor e el cotrate de / No e puede uar i la poblacioe o o ormale o lo tamaño de la muetra o o grade Tampoco debe utilizare i la idepedecia o e egura 5- ropiedade deeable e lo cotrate de hipótei El ivetigador debe eleccioar aquella prueba que le irve para cotratar u hipótei y procurar que e cumpla lo upueto que la uteta, ademá debe de reuir eta propiedade Carecia de Sego U Cotrate de ipótei e ua prueba iegada de o, i la probabilidad de rechazar o cuado e fala, e igual o mayor que la probabilidad de rechazar o cuado e cierta E decir, i u potecia e mayor ó igual que u ivel de igificació Coitecia Ua ecuecia de cotrate e coitete frete a toda la alterativa i, i u fució de potecia e aproxima a, a medida que tiede al ifiito Se upoe y cotate 53- El cocepto de p-valor Cuado e realiza u cotrate de hipótei abemo que a partir del ivel de igificació delimitamo la zoa de aceptació y de rechazo E ocaioe e muy itereate calcular el ivel de igificació a partir del cual la hipótei ula,, e va a rechazar Eta e la idea o cocepto del p-valor, e decir, [ Z ] p = El p-valor puede coiderare como el valor límite para que u cotrate ea igificativo, e decir, elegido u ivel de igificació, e rechazará i p z exp

19 Apute de Etadítica II Cotrate de hipótei para la media co variaza coocida Supogamo ua població Normal ara realizar ete cotrate el etadítico mejor coocido e la media muetral, X N(, ) Como ya e cooce u ditribució, el etadítico de cotrate erá x N(;) / odemo hacer tre tipo de cotrate Se preupoe que la hipótei ula e cierta, y e rechaza cuado A) = RECAZO i x / z

20 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 64 B) RECAZO i z x / C) < RECAZO i z x < / E cao cotrario e acepta la hipótei ula 55- Cotrate de hipótei para la media co variaza decoocida y 3 Supogamo ua població Normal ara realizar ete cotrate el etadítico mejor coocido e la media muetral, ), ( N X Como ya e cooce u ditribució, el etadítico de cotrate erá (;) / N x odemo hacer tre tipo de cotrate Se preupoe que la hipótei ula e cierta, y e rechaza cuado A) = RECAZO i / z x B) RECAZO i z x / C) < RECAZO i z x < / E cao cotrario e acepta la hipótei ula 56- Cotrate de hipótei para la media co variaza decoocida y <3 Supogamo ua població Normal ara realizar ete cotrate el etadítico mejor coocido e la media muetral, t X Como ya e cooce u ditribució, el etadítico de cotrate erá

21 Apute de Etadítica II 65 / t x odemo hacer tre tipo de cotrate Se preupoe que la hipótei ula e cierta, y e rechaza cuado A) = RECAZO i ; / t x B) RECAZO i ; / t x C) < RECAZO i ; / < t x E cao cotrario e acepta la hipótei ula 57- Cotrate de hipótei para la proporció Supogamo ua població Normal ara realizar ete cotrate el etadítico mejor coocido e la proporció muetral, pq p N ; Como ya e cooce u ditribució, el etadítico de cotrate erá (;) N q p p odemo hacer tre tipo de cotrate Se preupoe que la hipótei ula e cierta, y e rechaza cuado A) = RECAZO i z q p p

22 Iferecia, etimació y cotrate de hipótei 66 B) RECAZO i z q p p C) RECAZO < i z q p p < E cao cotrario e acepta la hipótei ula 58- Cotrate de hipótei para la variaza Supogamo ua població Normal ara realizar ete cotrate el etadítico mejor coocido e la variaza muetral Como ya e cooce u ditribució, el etadítico de cotrate erá ( ) χ Como e ete cao, la ditribució del etadítico o e imétrica, podremo hacer tre mimo tipo de cotrate, pero e ete cao habrá que teer e cueta ea o imetría Se preupoe que la hipótei ula e cierta, y e rechaza cuado A) RECAZO = i ( ) ; χ χ B) RECAZO i ( ) χ C) RECAZO < i ( ) χ < E cao cotrario e acepta la hipótei ula