TEMA 1 : NOCIONES GENERALES SOBRE MUESTREO ESTADÍSTICO

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1 TEMA 1 : NOCIONES GENERALES SOBRE MUESTREO ESTADÍSTICO * Objetivo del Muetreo Etadítico: etudio de lo método para la obteció de ubcojuto repreetativo de la població. Neceidad e importacia. * Cocepto báico: POBLACIÓN Muetreo Etadítico muetra Població: cojuto de idividuo de la mima aturaleza obre el que pretedemo realizar determiada ivetigació. Muetra: ubcojuto coveietemete eleccioado (repreetativo) de la població. Variable o carácter etudio: la variable (cao cuatitativo) o carácter (cao cualitativo) que pretedemo etudiar e la població. 1 Etudio Exhautivo ( Aplicado a toda la població. Muy caro. A vece impoible ) Muetreo ( Se elige ua muetra. E lo que uele hacere ) No probabilítico Itecioal ( Nada riguroo, pero e ua mucho ) Si Norma ( Cuado la compoició e muy uiforme ) MUESTREO Co reemplazamieto (el idividuo e devuelve a la població ) Probabilítico Si reemplazamieto ( o e devuelve ) El Muetreo Probabilítico e el que debemo utilizar, por er el riguroo y cietífico. E él todo lo idividuo de la població tiee ua probabilidad poitiva de formar parte de la muetra y erá poible aplicar lo coocimieto de cálculo de probabilidade para la obteció de lo errore cometido. Exite varia poibilidade (dieño muetrale) de obteció de ua muetra. Lo pricipale Equema o Técica de Selecció Muetral Probabilítica o: - Muetreo Aleatorio Simple - Muetreo Etratificado Aleatorio (Puede pedirte que elija cuál de lo do coviee aplicar e u cao cocreto, o que elija la muetra ). - Muetreo Aleatorio Simple: Se hace umerado a lo idividuo y eleccioádolo depué valiédoe de úmero aleatorio geerado por ordeador. Todo lo idividuo de la població tiee la mima probabilidad de alir. - Muetreo Etratificado Aleatorio: Se ua cuado e la població hay ubpoblacioe (etrato) que e precio eté repreetada e la muetra. El muetreo aleatorio imple o lo garatiza. Se llama Etratificació al proceo de defiir lo etrato atediedo a lo fie del etudio. Para determiar lo etrato, el criterio a eguir e formarlo de maera que lo idividuo de u mimo etrato reulte lo má homogéeo poible (e relació a la variable o carácter etudio), y que lo de ditito etrato reulte lo má heterogéeo poible. POBLACIÓN N i = º de miembro del etrato E i. N 1 +N N k = N ( total de miembro de la població ) E 1 N 1 E 2 N 2 muetra k E k N k k = ( total de elemeto de la muetra ) Cuado coozcamo el úmero de elemeto que hemo de eleccioar detro de cada etrato, la elecció e realiza por el dieño aleatorio imple ( de ahí el ombre de etratificado aleatorio). Cocepto de Afijació : el reparto del tamaño muetral etre lo k etrato. Tipo de Afijació : a) Igual ( todo lo i iguale ): i = / k, i =1,2,...,k. b) Proporcioal ( cada i e proporcioal al N i ): i = N i / N, i = 1,...,k.

2 2 OTROS tipo de Muetreo Probabilítico: - M. por Coglomerado: mucha vece erá impoible dipoer del litado de la població (i la població etá cotituída por árbole o aimale). E tale cao e coidera cojuto de elemeto (coglomerado) e la població, y e procede a la elecció de ua muetra aleatoria de coglomerado. Se etudia la variable o carácter etudio e lo elemeto de lo coglomerado eleccioado. A la hora de formar lo coglomerado, la idea ha de er la cotraria que e la formació de etrato : lo coglomerado debe er muy homogéeo etre í y debe exitir la máxima heterogeeidad poible detro de cada coglomerado. Ejemplo: graja i o cabeza de gaado, parcela i o ecia..). - M. Sitemático: i N/ = k, iedo k u úmero atural, etoce podríamo formar co lo N elemeto de la població grupo co k elemeto por grupo. El muetreo itemático obtiee la muetra de elemeto eligiedo al azar el primer elemeto etre 1 y k, y lo retate -1 de forma itemática umado al elemeto eleccioado k, 2k, 3k,..., (-1)k. (Sacar de forma aleatoria el primer idividuo, y lo demá e fució de él. Ej: orteo para ervicio militar). TEMA 2 : INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA Plateamieto geeral del problema de la Iferecia Etadítica: La Etadítica Decriptiva obtiee cocluioe que vale ólo para el cojuto de idividuo etudiado. La Iferecia Etadítica e el cojuto de método que permite formular e térmio probabilítico u juicio obre ua població, a partir de lo reultado obervado e ua muetra tomada al azar. POBLACIÓN 1º pao muetra 2º pao Iferecia Etadítica Detro de la metodología de la Iferecia Etadítica exite do tipo fudametale de método o procedimieto, que e importatíimo aber ditiguir: Putual Procedimieto de Etimació (ua etimació obre u parámetro de iteré) Itervalo de cofiaza Iferecia Etadítica Procedimieto de Cotrate ( o Tet ) de Hipótei (ua preguta obre el valor de u parámetro) - Procedimieto de Etimació Putual: u objetivo e proporcioar, a partir de la iformació recogida e la muetra, valore aproximado razoable de parámetro ( media, variaza, proporcioe...) que o iterea coocer e la població. - Procedimieto de Etimació por Itervalo de Cofiaza: proporcioa, a partir de la iformació recogida e la muetra, u itervalo que cotega, co ua alta probabilidad (ivel de cofiaza), al parámetro objeto de uetro iteré. A partir de dicho itervalo obtedremo ua medida del error máximo cometido cuado aproximamo putualmete el parámetro. - Procedimieto de Cotrate ( o Tet ) de Hipótei: proporcioa, a partir de la iformació recogida e la muetra o muetra, método para decidir cuál de do poible hipótei aceptamo, e relació a cierta cuetió plateada obre el parámetro o parámetro de iteré e la població o poblacioe objeto de ivetigació. Ejemplo de Tet de Hipótei : Χ (variable cuatitativa) C (var. cualitativa) µ (media) p (proporció) Sopecho que µ toma u valor cocreto µ Sopecho que p e mayor o igual que p o e realmete µ = µ ó e µ µ? e realmete p p o ó e p < p o?

3 Població 1 Població 2 Població 1 Població 2 X X C C 3 µ 1 µ 2 p 1 p 2 µ 1 = µ 2 ó µ 1 µ 2? (Tet Hipót.) p 1 p 2 ó p 1 >p 2? (Tet Hipót.) µ 1 - µ 2? (ería u problema de Etimac.) p 1 - p 2? (Probl. de Etimac.) TEMA 3 : NOCIONES GENERALES SOBRE ESTIMACIÓN El objetivo fudametal de la Etimació Etadítica erá etudiar método para obteer bueo valore aproximado de lo parámetro de iteré e la població y acompañarlo co ua medida de lo errore máximo cometido co objeto de aber hata qué puto o fiable la aproximacioe obteida). Para ello ólo utiliza la iformació umiitrada por la muetra. * Cocepto báico : - Etimador: la fució que utilizamo obre la muetra para aproximar (etimar) el parámetro de iteré. - Etimació: lo valore que o proporcioa el etimador (cada muetra obteida o proporcioará ua etimació). Ejempl : Deeo aber el tiempo medio que dedica diariamete al etudio de la Matemática u alumo de ete itituto. Saco ua muetra de 30 alumo y calculo para ello la media ( media muetral ). Sale 17 3 miuto. A partir de aquí etimo que la media de la població e de 17 3 miuto. Para etimar la media poblacioal he uado como etimador la media muetral, y ha alido ua etimació de 17 3 miuto. - Error e la etimació: e la ditacia etre el verdadero valor del parámetro objeto de etudio y la etimació proporcioada por el correpodiete etimador. Lo ideal ería que el error fuee ulo, pero eo o erá poible dado que la etimació etá calculada co ua iformació parcial (la proporcioada por la muetra) y o co la iformació total. Uo de lo objetivo de la Etimació Etadítica erá tratar de coeguir que dicho error ea lo meor poible. Cuado damo ua etimació de u parámetro poblacioal, iterea acotar el error máximo que podamo cometer. * Objetivo de la teoría de etimació: - Valore aproximado de parámetro poblacioale. - Cálculo de errore máximo cometido co la etimacioe putuale. X (variable cuatitativa) C (var. cualitativa) µ (media poblacioal) p (proporció poblac.) σ 2 (variaza) * Etimació putual de parámetro de iteré e Ciecia Sociale : Eecialmete o tre lo parámetro de iteré e ua ivetigació : la media poblacioal (como medida iformativa de la cetralizació) y la variaza poblacioal (como medida iformativa de la diperió), e cao de etar ivetigado ua variable e la població ; y la proporció de perteecer a determiada categoría epecífica, cuado el iteré e cetra e etudiar cierto carácter cualitativo e la població. Para tale parámetro coideraremo lo iguiete etimadore :

4 PARÁMETRO MEJOR ESTIMADOR (el que da meor error e cada cao ) ( Cao cuatitativo : upogamo la muetra de dato x 1, x 2,..., x ) media poblacioal µ Media Muetral x = variaza poblacioal σ 2 Cuai-variaza Muetral 2 = i =1 x i i =1 ( x i x ) ( Cao cualitativo ) proporció poblac. p Proporció Muetral p Nota: etimador cetrado e el que tiee la buea propiedad de que el valor medio de u etimacioe coicide co el verdadero valor del parámetro que e quiere etimar. Lo etimadore propueto má arriba tiee ea buea propiedad, por eo o lo má apropiado. * Etimació por itervalo de cofiaza: Obtiee lo errore máximo. E vez de obteer u valor putual, obteemo u itervalo de forma que haya alta probabilidad de que el verdadero valor del parámetro e ecuetre e dicho itervalo. Decimo alta probabilidad y o 100% de probabilidad, pue para garatizar ua probabilidad del 100% tedría que coger u itervalo ta amplio que dejaría de er operativo (o erviría). E la Ciecia Sociale lo corriete e pedir ua probabilidad del 95%. Coideremo, por ejemplo, el parámetro µ (media poblacioal). Diremo que u itervalo ( L 1, L 2 ) e u iervalo de cofiaza para µ e ecuetre realmete e ( L 1, L 2 ) e del 95%, e decir, i µ al 95% i la probabilidad de que Pr [ L 1 < µ < L 2 ] = 0 95 Ejemplo: Si decimo que el itervalo ( 6 1, 7 6 ) e u itervalo de cofiaza para la media al 95%, que remo decir co ello que hay u 95% de probabilidad de que la media poblacioal µ e ecuetre compredida etre 6 1 y 7 6. Se llama ivel de cofiaza de u itervalo a la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro (el de la població ) e ecuetre e dicho itervalo. E el ejemplo aterior diríamo que el itervalo de cofiaza para la media ( 6 1, 7 6 ) tiee u ivel de cofiaza del 95%. Itervalo: ( L 1, L 2 ) Nivel de cofiaza: 1 α, co α (0,1), mide la probabilidad que e tiee de que la media poblacioal perteezca al itervalo de cofiaza ; expreado e porcetaje ería 100 ( 1 α ) %. Si la cofiaza e 1 α, el valor α da ua medida del riego que aumimo (α e llama ivel de igificació ). Pr ( L 1 < µ < L 2 ) = 1 α Lo valore má uuale : α = α = 0 90 (1 α ) 100 = 90% t α = α = α = 0 95 (1 α ) 100 = 95% t α = 1 96 α = α = 0 99 (1 α ) 100 = 99% t α = Eto valore, y otro que e pudiera eceitar, etá e la tabla fial

5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL 5 N = tamaño de la POBLACIÓN X (var. cuatitativa) µ (media poblac.) = tamaño de la muetra x (media muetral) 2 (variaza e la muetra) Deotemo por µ la media de cierta variable X que deeamo ivetigar e la població. Apoyádoo e la muetra geérica x 1, x 2,..., x, e trata de obteer u itervalo que icluya a µ co u ivel de cofiaza 1 α. Supodremo muetra de tamaño uperior a 30 y obtedremo el itervalo de cofiaza para la media poblacioal bajo la hipótei de que la variable X igue u modelo N( µ, σ ) o bie, cao de que X o iga dicho modelo, que el tamaño muetral e uperior a 100 ( eta codicioe e dará e lo problema de electividad ) : X N ( µ, σ ) y > 30, o bie X N ( ) pero > 100 E la codicioe ateriore, el itervalo de cofiaza para µ e : x - tα, x + tα x - t α x x + t α dode : x e la media muetral e el tamaño de la muetra e la deviació típica ( tomaremo la de la muetra i la de la població fuera decoocida ) t α = i el ivel de cofiaza e 90% ( α = 0 10 ) t α = 1 96 i el ivel de cofiaza e 95% ( α = 0 05 ) t α = i el ivel de cofiaza e 99% ( α = 0 01 ) Si la muetra fuera grade, habría que itroducir el factor de correcció : N N Se etiede que ua muetra e GRANDE i e de al meo u 7% de la població ( ua muetra de u 10% ería grade ). Si e u problema o da el tamaño de la població, igoramo ete auto, pero i lo da, habría que comparar co él el tamaño de la muetra, pue i e alcaza el 7% diríamo que la muetra e grade, y habría que itroducir el factor de correcció. E tal cao, el itervalo de cofiaza para la media poblacioal quedaría aí : x - tα N- N, x + tα N- N

6 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL 6 N = tamaño POBLACIÓN C (var. cualitativa) p (prop. poblacioal.) = tamaño muetra p (prop. muetral) Codicioe que debe cumplire ( garatiza que la aproximació a la Normal erá válida ) : p > 5 ( 1 p ) > 5 o bie (e cumplirá e Selectividad) La expreió del itervalo de cofiaza depede del tamaño de la muetra : i 30 < 100 p ˆ ± tα 1 4 i > 100 p ˆ ± tα ( ) p ˆ 1- ˆ p p... p p +... Para muetra grade, habría que itroducir (multiplicado y e el mimo lugar que dijimo ate) el iguiete factor de correcció: N N 1 ERROR MÁXIMO COMETIDO CON LAS ESTIMACIONES PUNTUALES E lo má itereate, pue e lo que íbamo periguiedo. Para la media El cao má defavorable que podríamo ecotraro ería que la media (poblacioal) etuviera fuera del itervalo que dimo ate. Pero i etuviera detro, el cao má defavorable ería que etuviera e u extremo del itervalo. Por tato el ERROR MÁXIMO e la emilogitud del itervalo : x - tα x x +tα emax = tα Para la proporció Razoado de igual forma e tiee : emax = tα 1 4 i 30 < 100 emax = tα ( ) p ˆ 1- ˆ p i > 100

7 7 * Problema de la determiació del tamaño muetral : Coite e determiar el tamaño de muetra eceario para garatizar, co u ivel de cofiaza 1 α, la etimació del parámetro objeto de etudio co u error máximo iferior o igual a cierto valor cocreto ε. Media : t α ε t 2 α 2 ( e etima a travé de ua muetra piloto ) ε 2 Proporció: el mimo plateamieto co la expreió correpodiete del error ( p e etima a travé de ua muetra piloto ). TEMA 4 : NOCIONES GENERALES SOBRE TEORÍA DE TESTS DE HIPÓTESIS * Objetivo: a partir de la iformació muetral, el tet o cotrate de hipótei o permite elegir etre do hipótei complemetaria relativa a cierto parámetro poblacioal, la que e má aceptable ( meo rechazable ) dede el puto de vita etadítico. * Cocepto báico : - Hipótei Nula ( H 0 ) e Hipótei Alterativa ( H 1 ). E CCSS e corriete colocar e H 1 aquello que e etá itereado e probar ( lo que e opecha cierto ). - El cotrate de hipótei e bilateral cuado e la hipótei alterativa o marcamo u etido ( e decir, aparece el igo ) y e uilateral cuado marcamo u etido ( aparece < ó > ). - Tipo de Errore : Error Tipo I y Error Tipo II. Al aplicar u tet de hipótei, acabamo eligiedo ua de la do hipótei. Podemo etoce cometer ólo uo de eto do errore, y e importate ditiguirlo bie : Error Tipo I : coite e rechazar H 0 cuado lo realmete cierto e H 0. Error Tipo II : coite e aceptar H 0 iedo fala. - Nivel de igificació α. E la probabilidad de cometer u error Tipo I ( la probabilidad de etar equivocado i, tra efectuar el tet, aceptamo la hipótei alterativa ). La fijamo ootro, poiedo valore pequeño ( 0 01 ó 0 05 ). Iterea cotrolar el Error Tipo I y el valor de ( y dejar de cotrolar el Error Tipo II, ya que o puede cotrolare lo tre valore). APLICACIÓN DEL TEST: E la práctica e reduce a obteer do valore, uo llamado valor experimetal ( V exp ó t exp ), que e obtiee de la iformació umiitrada por la muetra o muetra y otro deomiado valor teórico (V teórico ó V α ó t α ), que bucaremo e la tabla de determiada ditribució de probabilidad e fució del ivel de igificació α. Comparado ambo valore e cocluye co la aceptació o la o aceptació de la hipótei alterativa egú idicamo a cotiuació : Partimo de : X Cao etudiado : µ (media poblacioal) x (media muetral) X N[ ] y > 30 ó (dev. típica muetral) X N[ ] pero > 100 No dará u valor coocido µ o Plateamo do Hipótei : Hipótei Nula ( H 0 ) : µ = µ 0 Hipótei Alterativa ( H 1 ) : µ µ 0 No hablará de u ivel de igificació α ( α = 0 01 ó α = 0 05 ). No pregutará i para ee ivel de igificació del 1% (α = 0 01 ) ó del 5% (α = 0 05 ) podríamo rechazar la hipótei H 0.

8 Lo que teemo que hacer: Teemo que calcular u Valor Experimetal y u Valor Teórico : Vexp = texp = x µo 8 V teórico = t α ( i α = 0 10, 1 96 i α = 0 05 ; i α = 0 01 u otro valor que obtedremo uado la tabla que o da e el exame, i α o e iguo de eto tre) Por último hay que aplicar la iguiete Regla de deciió: Si V exp > V teórico Podemo rechazar H 0 ( hemo podido demotrar H 1 ) co u riego de Error Tipo I igual a α. Si V exp V teórico Podemo aceptar H 0 ( o hemo podido demotrar H 1 ). Importate : aceptar H 0 o quiere decir que realmete e cumpla µ = µ o.sólo igifica que, dede u puto de vita etadítico, o hay motivo razoable para cocluir que dicha igualdad ea fala. PROBLEMAS 1) Ua muetra aleatoria de 100 alumo que e preeta a Selectividad revela que la media de edad e de 18 1 año. Halla u itervalo de cofiaza del 95% para la media de la edad de todo lo etudiate que e preeta a Selectividad abiedo que la deviació típica de la població e ) U fabricate de bombilla abe que la deviació típica de la duració de la bombilla e de 100 hora. Calcula el tamaño de la muetra que e ha de ometer a prueba para teer ua cofiaza del 95% de que el error de la duració media que e calcule ea meor que 10 hora. 3) E ua muetra de 145 peroa mayore de 65 año e ha ecotrado que el ivel medio de coleterol e de x = 240 mg / 100 ml, co deviació típica x = 45 mg / 100 ml. Co u ivel de cofiaza del 95%, podemo admitir que la media de la població geeral e de 226 mg / 100 ml?. 4) A 150 alumo eleccioado aleatoriamete e determiada regió e le pregutó i utilizaba la biblioteca de u itituto para la preparació de u exámee. El úmero de repueta afirmativa fue de 60. A partir de dicha iformació : a) Etimar el porcetaje de alumo de ea regió que utiliza para la preparació de u exámee la biblioteca de u itituto. b) Obteer el error máximo cometido co dicha etimació para u ivel de cofiaza del 99%. 5) A ua muetra de 169 deportita eleccioado aleatoriamete e cierta població e le pregutó cuáto tiempo dedicaba diariamete a u etreamieto. Como reume de la iformació recogida, e obtuvo u tiempo medio de 4 3 hora y ua deviació típica de 1 5 hora. Para u ivel de igificació del 1% ( α = 0 01 ), podríamo rechazar la hipótei de que el tiempo medio al día que dedica u deportita de dicha població a u etreamieto e de 4 hora?.