Herramientas estadísticas (HE)

Transcripción

1 Herramieta etadítica (HE) Realizado por: Guillermo Sáchez. Actualizado: E ete documeto e decribe la herramieta etáditica (HE web) dipoible para realizar calculo etaditico dede la web de ENUSA o bie directamete utizado el programa Mathematica. A la verió web puede accedere dede Gecetro: Iicio > Operacioe Combutible Nuclear > Aplicacioe>WebMathematica>Cálculo/Etadítica/Gráfica o dede ecribiedo e u avegador web (icluo dede el exterior de la red de ENUSA): Ua vez accedamo a la direcció web idicada deplegamo el iguiete meu: De la optioe que e muetra e la gráfica aterior aqui e decribe hata tet de ormalidad, excluido ( La fucioe relacioada co Tet de ormalidad o objeto de otro documeto).

2 2 CotrolCalidad.b El paquete Itervalo La fucioe idicada ha ido dearrollada utilizado el programa Mathematica, co tal fi e ha cotruido u paquete deomiado CotrolCalidad. E lo que igue cotaremo la fucioalidade del paquete que puede ejecutare co Mathematica al que puede accedere detro de ENUSA, via termial erver o directamete via web egu e ha idicado al pricipio. Si e opta por acceder al paquete directamete co Mathematica e dipoe de ua gra veratilidad pero requiere coocimieto del programa, e el cao de acceder a la HE web lo cálculo co muy ecillo pero e tedra meo veratilidad. E ete documeto motramo como e utiza el paquete itervalo y e alguo cao e idica como e puede reproducir el mimo cao utilizado HE web. Lo primero que hemo de hace e cargar el paquete. Need["Etaditica`CotrolCalidad`"] CotrolCalidad, verio El paquete permite calcular calcular itervalo de cofiaza de la media y lo de toleracia de poblacioe, ai como el tamaño muetral. E el cao de lo itervalo de cofiaza de la variaza o eta icorporado al paquete, e explica como puede calculare utlizado la fucioe de Mathematica. E documeto e ua ayuda del paquete o obtate pude acceder a ua ayuda ma reumida de la ditita fucioe dipoible como igue (pule obre la que deee):? "Etaditica`CotrolCalidad`*" Etaditica`CotrolCalidad` g1 limitebilateral p1 izesample z1 g2 limiteuilateral ProbAlfa t1

3 CotrolCalidad.b 3 Itervalo de cofiaza de la media para variaza coocida Sea y _ la media de cierta medida realizada a ua muetra procedete de ua població de la que e cooce u variaza que e σ 2. Llamamo itervalo de cofiaza para y _ co ivel de cofiaza (1 - α) aquel que tiee ua probabilidad de (1 - α)0% de coteer la verdadera media μ. El cálculo de itervalo de cofiaza de la media o requiere que la població ea ormal. Límite uilateral iferior Y p = y - z(1 - α) σ Límite uilateral uperior Y p = y + z(1 - α) σ Límite bilateral iferior Y p = y - z(1 - α / 2) σ Límite bilateral uperior Y p = y + z(1 - α / 2) σ Calcular lo itervalo de cofiaza uilaterale y bilaterale para: y _ =.34, σ = 1.23, = 30, y α = 0.0, upueta variaza coocida z1[.34, 1.23, 30, 0.0] {uilateral:, {LS.7094, LI }, bilateral:, {LS.7801, LI }} Correpode a :

4 4 CotrolCalidad.b

5 CotrolCalidad.b Itervalo de cofiaza de la media para variaza decoocida Sea y _ la media de cierta medida realizada a ua muetra procedete de ua població de la que e o cooce u variaza, pero i la variaza muetral. El cálculo de itervalo de cofiaza de la media o requiere que la població ea ormal. Si decoocemo la variaza de la població utilizarmo la ditribució t que la que e verifica t = (y _ - μ)/(/ ), dode e la deviació etádar muetral, co la que e obtiee lo iguiete límite para lo itervalo Límite uilateral iferior Y p = y - t( - 1, 1 - α) Límite uilateral uperior Y p = y + t( - 1, 1 - α) Límite bilateral iferior Y p = y - t( - 1, 1 - α / 2) Límite bilateral uperior Y p = y + t( - 1, 1 - α / 2) Calcular lo itervalo de cofiaza uilaterale y bilaterale para: y _ =.34, σ = 1.23, = 30, y α = 0.0, upueta variaza coocida t1[.34, 1.23, 30, 0.0] {uilateral:, {LS.7216, LI }, bilateral:, {LS.7993, LI }} Correpode a :

6 6 CotrolCalidad.b

7 CotrolCalidad.b 7 Cálculo de itervalo de toleracia e poblacioe ormale Cocepto E cotrol de calidad a vece e eceario defiir el itervalo de toleracia (o cofudir co itervalo de cofiaza). Coideremo ua població de la que tomamo ua muetra de tamaño e la que medimo cierta caracterítica y (diámetro, deidad, peo, etc.). Calculamo u media y y u deviació etádar. El cliete puede requerir que dicha caracterítica eté detro de u itervalo de toleracia. Defiimo el 0p-éimo percetil al la valor Y p por debajo del cual etá el 0p % de la població, o, lo que e equivalete, aquel valor para el que la obervacioe de muetra aleatoria de la població cae co ua probabilidad p. E ocaioe o iterea etimar el valor de Y p aociadole u itervalo de cofiaza, (1 - α) 0%. Ejemplo: Deeamo calcular el valor por debajo del cual etá el 9% de la població co u ivel de cofiaza del 9%. Problema imilare coite e calcular límite cetrale detro de lo cuale etá el 0p% de la població, y límite iferiore por ecima del cual etá 0p% de la població. Aimimo u límite uperior de cofiaza (1 - α) 0% para el percetil 0p-éimo e equivalete al límite uperior de toleracia por debajo del cual etá al meo ua proporció p de la població co ua probabilidad 1 - α. Ua iterpretació imilar cabe del límite iferior de toleracia. La expreioe epecífica para obteer lo límite de toleracia Y p o la iguiete (requiere que la població ea ormal) Límite uilateral iferior Y p = y - t' - 1, - z(p) ; 1 - α Límite uilateral uperior Y p = y + t' - 1, z(p) ; 1 - α Límite bilateral iferior 1 Y p = y - t' - 1, - z 1 + p 2 Límite bilateral uperior ; 1 - α Y p = y + t' - 1, z 1-p 2 ; 1 - α

8 8 CotrolCalidad.b dode t' e la ditribució t - Studet o cetral Debajo e muetra ejemplo de la la fució de deidad (PDF) y la ditribució acumulada (CDF) para la NocetralStudetTDitributio [ν,δ]) co ν grado de libertad y u parámetro de o cetralidad δ. Plot[Evaluate@ Table[PDF[NocetralStudetTDitributio[2, δ], x], {δ, {-2, 0, 3}}], {x, -6, 8}, Fillig Axi] Plot[Evaluate@ Table[PDF[NocetralStudetTDitributio[ν, 2], x], {ν, {0., 3, }}], {x, -1, 6}, Fillig Axi] Plot[Evaluate@ Table[CDF[NocetralStudetTDitributio[2, δ], x], {δ, {-2, 0, 3}}], {x, -6, 8}, Fillig Axi]

9 CotrolCalidad.b 9 Calculo de k,α,p Calculo de k,α,p e el cao uilateral Para calcular la k de forma exacta e aplica: t' - 1, - z(p) ; 1 - α La fució aterior tiee el problema que requiere grade recuro de ordeador cuado aumeta. Podemo aplicar ua aproximació para el cao uilateral cuado el el valor empieza a er elevado (>) k,α,p t' - 1, z(p) = ; 1 - α dode a = 1 - [z (1 - α)] 2 [2 ( - 1)] b = [z (p)] 2 - [z (1 - α)] 2 z (p) + z 2 (p) - a b 1/2 a Ejemplo: Calcular la k uilateral para :, de a, icremetado de e. La aplicamo al cao de que alfa = 0.0 y 0.1 y F (fraccio de la població e el itervalo): 0 a 7 Comparamo lo reultado co lo tabulado (eta dipoible e vario itio de iteret) y apea hay diferecia Table[{{, p}, g1[, 0.0, p]}, {,,, }, {p, 0, 7, 0.02}] // TableForm γ = 1-0.0= Table[{{, p}, g1[, 0.1, p]}, {,,, }, {p, 0, 7, 0.02}] // TableForm γ = 1-0.1=

10 CotrolCalidad.b Calculo de k,α,p e el cao bilateral Al igual que e el cao uilateral el método de la t-tudet o cetral requiere u coumo eleva de recuro de ordeador, aplciamo la aproximació iguiete k,α,p z[(1 + p) / 2] ( - 1) χ 2 ( - 1; α) 1/ Ejemplo: Calcular la k bilateral para :, de a, icremetrado de e. La aplicamo al cao de que alfa = 0.0 y 0.1 y F (fraccio de la població e el itervalo): 0 a 7 Comparamo lo reultado co lo tabulado y apea hay diferecia Table[{{, p}, g2[, 0.0, p]}, {,,, }, {p, 0, 7, 0.02}] // TableForm γ = Table[{{, p}, g2[, 0.1, p]}, {,,, }, {p, 0, 7, 0.02}] // TableForm γ = Ejemplo: Calcular el valor de K uilateral y bilataral para ua muetra de tamaño =, co alfa = 0.1, y P =. { g1[, 0.1, ], g2[, 0.1, ]} {2.778, 2.648}

11 CotrolCalidad.b 11 Calular lo limite uilaterale y bilaterale para ua poblacio del que tomamo ua muetra de tamaño co media.34 y dev. tadar: 1.23 co alfa =.0 y P = 0.2 limitebilateral[.34, 1.23, 30, 0.0, ] {LS , LI 7.33} limiteuilateral[.34, 1.23, 30, 0.0, ] {LS 13.06} Ejemplo.- Tomemo 30 medida experimetale que repreeta ua muetra de la població. Medimo cierta caracterítica para la que e etablece como límite de aceptació (toleracia) que el 9% de la població etá por debajo de 1 probabilidad del 90%.) Lo reultado de la 30 medida o lo iguiete :

12 12 CotrolCalidad.b medida = {.98, 7., 8.08, 7.76, 1., 7.64, 9.92, 8.39, 9.67, 11.46,.7, 9.6, 8.98,.01, 7.74, 8.77, 8.09,.83, 12.31, 9.78, 8.0,.4, 8.93, 6.92,.26, 7.91, 12.2, 11.61, 13.77, 12.47}; Ahora procedemo a comprobar i e verifica y + k 30,0.1, < y, = {Mea[ medida], StadardDeviatio[medida]} {9.2733, } y + g1[30, 0., ] Tambie podemo calcular el limite directamete co : limiteuilateral y,, 30, 0., {LS } Luego aceptaríamo la població pue etá debajo de 1

13 CotrolCalidad.b 13 Criterio para determiar i ua muetra etá detro del itervalo de toleracia para u P y alfa dado Dado u itervalo de toleracia defiido por lo límite uperior e iferior (LS, LI) pretedemo aber i ua muetra de media x y deviació etadar etá compredida e el itervalo de toleracia para u P dado Coocido lo LS e LI de aceptacio, y lo parametro muetrale x, y, e trata de calcular p fijado α y ver i ete p e mayor o igual que u P dado. Para ello: a) Hacemo Y p = LS y Y p = LI e y obteemo g1[, alfa, ps] LS - x y de aquí ps g1[, alfa], LS - x = p LS g1[, alfa, 1 - pi] x - LI y de aquí pi g1[, alfa], x - LI = p LI dode p LS idica la proporcio de la població compredida etre LS y 0 y p LI idica la proporcio de la població compredida etre LI y 0 (etrictamete e vez de 0 e -, pero aumimo que la variable x ólo toma valore poitivo). b) La població erá aceptada i e verifica que p LS -p LI = p P, iedo P la proporció de la població que e coidera aceptable. Creamo ua etecia que o automatice el aterior proceo (para P = y alfa = 0.0), dode mea e la media de la muetra x, ize u tamaño, ul le LS, ul el LI y igma la de la muetra Ejemplo Sea x =.34, = 1.23, LS = 1.3, LI = 7.4, = 30, E rechazable la muetra para u alfa = 0.0 y u P =?. La olució aplicado la etecia aterior e que co dicha muetra podriamo aceptar la població p1[.34, 1.23, 30, 0.0,, 1.3, 7.4] // Quiet {{6283}, True}

14 14 CotrolCalidad.b

15 CotrolCalidad.b 1 Criterio para determiar i fijado alfa, el tamaño muetral y el valor de K que porcetaje de la poblacio etá detro del itervalo de toleracia Tomamo ua muetra de tamaño 30, y fijamo u ivel de cofiaza alga = 0.0. Aplicado u K uilateral cocreto queremo aber aplicado ee K que porcetaje de la població quedaria detro del itervalo: como ejemplo tomamo K = {2, 2.2, 2.12} Trapoe[{{2, 2.2, 2.12}, Flatte[P /. Map[Solve[g1[30, 0.0, P] #, P, Real] &, {2, 2.2, 2.12}]]}] // Quiet {{2, 29747}, {2.2, 49279}, {2.12, 474}} Dato el tamaño muetral, el ivel de cofiaza y la fraccio defectuoa calcular el tamaño muetral para u muetreo imple co cero rechazo El problema ma frecuete e muetreo e determiar el tamaño de la muetra y el úmero de ud. o coforme e la muetra. Vamo a decribir como realizarlo e el cao de muetreo imple. Sea ua població de tamaño N, del que decoocemo el úmero de ud defectuoa. La probabilidad P a de que haya r o meo defectuoa o viee dada por la ditribució hipergeométrica. r P a = x=0 dode D x N - D - x N D f Número de pieza defectuoa e el lote (decoocida). Fraccio de ud defectuoa: f = D/N, f e decoocida, e toma como valor la fracció

16 16 CotrolCalidad.b máxima, p A, de la població que admitiriamo que ete formada por ud fuera de lo límite de toleracia. α aumir). = ivel de igificació (Probabilidad de cometer u error de tipo I que etamo dipueto a = tamaño muetral E el cao particular de que el criterio de aceptació ea c = 0 P a = (1 - f ) N N Ejemplo : Calcular la probabilidad de que e ua muetra de tamaño 28 procedete de ua població de 00 ud co u 1% de defectuoa aparezca ua muetra defectuoa ProbAlfa[00, 28, 0.01] Fijado Pa podemo calcular el tamaño muetral. Ete calculo e realizado por la fució izesample Ejemplo : Queremo calcular el tamaño muetral para ua població que tiee 00 uidade e la que admitimo ua fracció máxima de uidade defectuoa del 1%, co u ivel de igificació de 0.0 izesample[0, 0.0, 0.01] 9 izesample[0, 0.0, 0.01] N debe er 0 o mayor Programa uado e webmathematica E el iguiete ejemplo e cácula el tamaño muetral para poblacioe de ditito tamaño:n: {0, 0,00, 00, 00} (N debe er 0 o mayor) fijado u ivel de cofiaza alfa = 0.0 y upoiedo que hay ua fracció f= 0.01 de defectuoa. El reultado da el tamaño de la muetra e cada uo de lo cao, para que ea aceptable tomada ee muetra igua de la uidade deberia er defectuoa. TableForm[{ {0, 0, 00, 00, 00}, Map[izeSample[#, 0.0, 0.01] &, {0, 0, 00, 00, 00}]}]

17 CotrolCalidad.b 17

18 18 CotrolCalidad.b Itervalo de cofiaza para la variaza El paquete