Distribuciones continuas de probabilidad. Aplicación al calculo de intervalos de confianza en poblaciones normales

Transcripción

1 Distribucioes cotiuas de probabilidad. Aplicació al calculo de itervalos de cofiaza e poblacioes ormales por Guillermo Sáchez Uiversidad de Salamaca Actualizado : Correspode a u tutorial desarrollado por el autor e el año 000. Se ha vuelto a ejecutar co la versió 8 de Mathematica si practicamete modificar el coteido. Itroducció E esta práctica se describe y da ejemplos de las distribucioes cotiuas de mayor empleo e Cotrol Estadistico de Calidad (CEC). Asimismo se muestra el uso de estas para la determiació del itervalo de cofiaza. Recordemos que ua distribució de probabilidad es u modelo matemático que relacioa el valor de la variable co la probabilidad de ocurrecia de dicho valor e la població cosiderada P{x = x} = p(x). Cuado el parametro toma forma de fució cotiua e u determiado itervalo estamos ate ua Distribució Cotiua. Ejemplo.- Sea ua variable aleatoria X el coteido real de ua garrafa de aceite, e Litros. La distribució de probabilidad se asume que es de la forma: f(x)=/.5 e el itervalo 5.5 x 7.0 (es decir es cotiua e dicho itervalo). Esta distribució es llamada distribució uiforme. La probabilidad de que el coteido de ua detereada garrafa sea meor o igual a 6.0 L se calcula secillamete como: x Represeta graficamete la distribució aterior, a calcular su media y variaza [ Recuerda que la media porrespode a la esperaza matematica E[X] = a xpx x y que VX EX EX b ]. Las distribució cotiuas mas utilizadas e CEC so la Normal, Expoecial, T-Studet, Gamma y Weibull. Distribucioes cotiuas El Mathematica dispoe probablemete mas fucioes de distribució icorporada que igu otro programa: Cotiuous Distributios: tutorial/cotiuousdistributios Distribucio Normal

2 guillermo Sachez DistribucioesCotiuas.b Es probablemete la distribució mas importate. Etre otras muchas propiedades, e muestreo estadistico se utiliza la siguiete: Tomados valores x i de ua poblacio o ecesariamete ormal la media muestral x sigue aproximadamete ua distribució de media m y variaza, es decir x ~ N(m, ) Para obteer obteer iformació de ella podemos utilizar la ayuda e la forma habitual. Por ejemplo? NormalDistributio* NormalDistributiom, s represets a ormal Gaussia distributio with mea m ad stadard deviatio s. NormalDistributio represets a ormal distributio with zero mea ad uit stadard deviatio. à Ojo: Observese que aplica el coveio N(media, desviacio estadar) e vez del mas usual de N(Media, variaza), por eso cuado se emplee algu programa de calculo por primera vez es coveiete cosultar el criterio que aplica e alguos termios PDFNormalDistributiom,, x CDFNormalDistributiom,, x MeaNormalDistributiom, VariaceNormalDistributiom, mx Erfc m x m Ejemplo.-Calcular para ua distribucio Normal -de media 7 y desviació stadard -, a) El valor de la fució desidad y de la fució de distribució para x=5, b) asimetria y c) curtosis. La forma de utilizar estas fucioes es similar a la de las distribucioes discretas, se procederá como sigue: Nota: Para calcular la desidad de probabilidad y la Distribucio (acumulada) de probabilidad se utiliza, respectivamete PDF y CDF, cuyo sigificado es facil obteer directamete de la ayuda PDFNormalDistributio3,, 5N CDFNormalDistributio3,, 5N SkewessNormalDistributio3, KurtosisNormalDistributio3, La represetació gráfica de la fució de desidad se puede hacer facilmete

3 DistribucioesCotiuas.b 3 PlotPDFNormalDistributio3,, x, x, 0, Aproximació de las distribució Biomial y de Poisso a la Normal Para valores grades de, co p 0, p /, la distribució biomial se puede aproximar por ua ormal de media p y variaza p(-p). Asimismo ua distribució de Poisso se puede aproximar a ua ormal cuado la media l 5, siedo mejor mietras mas alto es l. Distribucio Expoecial Esta fució se utiliza fudametalmete para estimar el tiempo de fallo de u equipo o u compoete.? ExpoetialDistributio ExpoetialDistributiol represets a expoetial distributio with scale iversely proportioal to parameter l. à PDFExpoetialDistributio, x CDFExpoetialDistributio, x MeaExpoetialDistributio VariaceExpoetialDistributio x x 0 x x 0 Ejemplo 3.- La tasa de fallo de ua lampara electrica es de 0 4 h. Cual es la duració media estimada?. E este caso l=0 4 y por tato

4 4 guillermo Sachez DistribucioesCotiuas.b MeaExpoetialDistributio0 4 e horas La probabilicad de fallo e fucó del tiempo, para u periodo [0,T], co T =00000, podemos represetarla como sigue: PlotCDFExpoetialDistributio0 4,t, t, 0, Distribucio Gamma Esta fució se utiliza especialmete para estimar la probabilidad de fallo e sistemas redudates. las caracteristicas fudametales so: Iformatio"GammaDistributio", LogForm False GammaDistributioa, b represets a gamma distributio with shape parameter a ad scale parameter b. GammaDistributioa, b, g, m represets a geeralized gamma distributio with shape parameters a ad g, scale parameter b, ad locatio parameter m. à PDFGammaDistributio,, x CDFGammaDistributio,, x MeaGammaDistributio, VariaceGammaDistributio, x x Gamma x 0 GammaRegularized, 0, x x 0 Ejemplo 4.-Cosideremos u sistema de alimetació de corriete electrica esta formado por dos geeradores diesel redutes coectados e paralelo (u equipo esta descoectado pero listo para fucioar e caso de fallo del otro). La tasa de fallo de cada

5 DistribucioesCotiuas.b 5 equipo esta dado por ua distribució expoecial co ua tasa de fallo de 0 4 h. El cojuto será ua distribució gamma co a=, y b=/l=0 4. El tiempo medio de fallo esperado para el cojuto es: MeaGammaDistributio, Distribucio Weibull Esta fució es muy versatil pues ua apropiada elecció de los parametros alfa y beta permite ajustar datos experimetales a esta fució. Iformatio"WeibullDistributio", LogForm False WeibullDistributioa, b represets a Weibull distributio with shape parameter a ad scale parameter b. WeibullDistributioa, b, m represets a Weibull distributio with shape parameter a, scale parameter b, ad locatio parameter m. à PDFWeibullDistributio,, x CDFWeibullDistributio,, x MeaWeibullDistributio, VariaceWeibullDistributio, x x x 0 x x 0 Gamma Gamma Gamma Ejemplo 5.- El tiempo de fallo de u computador cetral satisface ua fució de Weibull co a= / y b =000 h. El tiempo medio de fallo esperado es: MeaWeibullDistributio, Distribucio (ji-cuadrado) Esta fució es util para estimar a partir de ua muestra aleatoria formada por valores x i, i=,..., e ua població ormal verificadose que ~(-) S.? ChiSquareDistributio ChiSquareDistributio represets a c distributio with degrees of freedom. à

6 6 guillermo Sachez DistribucioesCotiuas.b PDFChiSquareDistributio, x CDFChiSquareDistributio, x MeaChiSquareDistributio VariaceChiSquareDistributio x x x 0 Gamma GammaRegularized,0, x x 0 Distribucio t-studet Esta fució es util e muestreo cuado el úmero de valores es pequeño.? StudetTDistributio StudetTDistributio represets a Studet t distributio with degrees of freedom. StudetTDistributiom, s, represets a Studet t distributio with locatio parameter m, scale parameter s, ad degrees of freedom. à PDFStudetTDistributio, x CDFStudetTDistributio, x MeaStudetTDistributio VariaceStudetTDistributio x Beta, Beta, x HypergeometricF,, 3, x Beta, 0 Idetermiate True Idetermiate True Distribucio F Esta fució se emplea etre otras cosas para comparar las variazas muestrales S y S de dos poblacioes N(, ) N(, ). Tiee la propiedad F, ~ S S

7 DistribucioesCotiuas.b 7? FRatioDistributio FRatioDistributio, m represets a F-ratio distributio with umerator ad m deomiator degrees of freedom. à PDFFRatioDistributio,,x CDFFRatioDistributio,,x MeaFRatioDistributio, VariaceFRatioDistributio, x x Beta x 0 BetaRegularized x,, x 0 x Idetermiate True 4 4 Idetermiate True Determiació de itervalos estadísticos para la media e poblacioes ormales Itroducció U problema frecuete e medidas de variables estadísticas ( ispecció, itercomparacioes, validacioes, etc) es el establecimieto de itervalos de cofiaza, toleracia y de predicció. Aquí vamos a mostrar como se puede estimar los itervalos de cofiaza e el caso de poblacioes ormales cuado se desea garatizar que ua proporció de la població este etre determiados límites co u probabilidad determiada. Vamos a utiliza el programa Mathematica, del que vamos a ecesitar el siguiete paquete. Ejecuta la celda

8 8 guillermo Sachez DistribucioesCotiuas.b BegiPackage"Estadistica`Itervalos`" v desarrollado por Guillermo Sachez Kexacto::usage "Calcula la K uilateral por u metodo exacto"; g::usage "Calcula la K uilateral"; g::usage "Calcula la K bilateral"; K::usage "Muestra la K uilateral"; K::usage "Muestra la K bilateral"; limitebilateral::usage "Muestra los limites superior e iferior del itervalo"; limiteuilateral::usage "Muestra los limites superior e iferior del itervalo"; z::usage "Calcula los itervalos de cofiaza de la media, variaza coocida, para el t::usage "Calcula los itervalos de cofiaza de la media, variaza descoocida, par p::usage "Calcula si se acepta o rechaza ua muestra "; Begi"`Private`" g_, alfa_, p_ : Modulezp, za, a, b, zp QuatileNormalDistributio0,, p; za QuatileNormalDistributio0,, alfa; a za^ ; b zp^ za^; K, alfa, p zp Sqrtzp^ aba; g_, alfa_, p_ : Modulez, ji, z QuatileNormalDistributio0,, p; ji QuatileChiSquareDistributio, alfa; K, alfa, p zsqrt ji ; limitebilateralmedia_, sd_, _, alfa_, p_ "LS" media g, alfa, psd, "LI" media g, alfa, psd; limiteuilateralmedia_, sd_, _, alfa_, p_ "LS" media g, alfa, psd, " zmedia_, sd_, _, alfa_ : Moduleza, zb, za QuatileNormalDistributio0,, alfa; zb QuatileNormalDistributio0,, alfa; "uilateral:", "LS" media zasdsqrt, "LI" media zasdsqrt, "bilater tmedia_,sd_,_,alfa_: Moduleza,zb,zaQuatileStudetTDistributio,alfa; zbquatilestudettdistributio,alfa; "uilateral:","ls"mediazasdsqrt,"li"mediazasdsqrt, "bilateral:","ls"mediazbsdsqrt,"li"mediazbsdsqrt; pmea_, sigma_, size_, alfa_, p_, ul_, ll_ : ModulepLS, pli, pls FidRootgsize, alfa, ps ul measigma, ps, 0.5, 0.99, MaxIteratios 50,; pli FidRootgsize, alfa, pi mea llsigma, pi, 0.0, 0., MaxIteratios 50,; pls pli p; Ed EdPackage Estadistica`Itervalos` Estadistica`Itervalos`Private` Estadistica`Itervalos`Private` Lo coveiete es que salve la celda aterior como paquete e u directorio que llamara Estadistica, etoces copie ese directorio e Mathematica Applicatio, etoces podrá llamar al paquete que siempre que lo ecesite:

9 DistribucioesCotiuas.b 9 Needs"Estadistica`Itervalos`"? "Estadistica`Itervalos`" Estadistica`Itervalos` g K K limiteuilateral t g Kexacto limitebilateral p z Notació m, s = Valores verdaderos de la media y desviació estadar de la població. y, s = Estimadores de la media y desviació estadar muestral. za = El percetil a de la distribució ormal estádar N(0,). Ejemplo: el valor de z para ua ormal N(0,) por debajo del cual se ecuetra el 95% de la població es z(0.95) =.64. tm ; a = El percetil a de la t Studet co m grados de libertad. Ejemplo: el valor de t para a = 95% y m = 5 es t5 ; 0.95 =.0. t' m, d; a = El percetil a de la t Studet o cetral co m grados de libertad y u parametro de descetralizacio d. Su iterpretació es mas compleja que e los casos ateriores. T-Studet No cetral Vamos a ecesitar la T-Studet No cetral. La iformació dispoible e al ayuda es la siguiete:? NocetralStudetTDistributio NocetralStudetTDistributio, d represets a ocetral Studet t distributio with degrees of freedom ad ocetrality parameter d. à La fució de desidad de esta distribució es PDFNocetralStudetTDistributio,, x x Gamma HermiteH, x x Su represetació gráfica es para = 0, y d =

10 0 guillermo Sachez DistribucioesCotiuas.b PlotPDFNocetralStudetTDistributio0,, x, x, 0, Itervalos de cofiaza Coceptos Al dar u estadístisco (ej: la media), además de su valor frecuetemete debemos precisar la icertidumbre existete e la estimació. Sea _ y la media, llamaremos itervalo de cofiaza para _ y co ivel de cofiaza ( - a) aquel que tiee ua probabilidad de ( - a)00% de coteer la verdadera media m. Los límites geeralmete suele ser: a) Bilateral cetrado _ y que cosiste e calcular _ y ± k s tal que la verdadera media está compredida e el itervalo co ua probabilidad 00p%. b) Uilateral superior que cosiste e calcular _ y + k s tal que la verdadera media m está por debajo _ y + k s co ua probabilidad 00p%. c) Uilateral iferior que cosiste e calcular _ y - k s tal que la verdadera media m está por ecima de _ y - k s co ua probabilidad 00p%. Si tomamos muestras de ua població, y de cada muestra calculamos la media y i, las expresioes específicas para los límites de los distitos itervalos de y, que deotamos por Y p para u ivel de cofiaza ( - a)00% so las siguietes: Variaza coocida Si coocemos la variaza de la població, s, por el teorema cetral del límite, sabemos que el error relativo e la determiació de m mediate la media muestral _ y es: z = (y _ - m)/(s/ ) es ua variable ormal estádar de lo que se deduce los siguietes límites para los itervalos Límite uilateral iferior Y p y z Límite uilateral superior Y p y z Límite bilateral iferior

11 DistribucioesCotiuas.b Y p y z Límite bilateral superior Y p y z Variaza descoocida Si descoocemos la variaza de la població utilizarmos la distribució t que la que se verifica t = (y _ - m)/(s/ ), dode s es la desviació estádar muestral, co la que se obtiee los siguietes límites para los itervalos Límite uilateral iferior Y p y t, s Límite uilateral superior Y p y t, s Límite bilateral iferior Y p y t, s Límite bilateral superior Y p y t, s Itervalos de toleracia Lo haremos e ua sesió ueva por ello salimos de la actual Quit Coceptos Defiimos el 00p-ésimo percetil al la valor Y p por debajo del cual está el 00p % de la població, o, lo que es equivalete, aquel valor para el que las observacioes de muestra aleatoria de la població cae co ua probabilidad p. E ocasioes os iteresa estimar el valor de Y p asociadole u itervalo de cofiaza, ( - a) 00%. Ejemplo: Deseamos calcular el valor por debajo del cual está el 95% de la població co u ivel de cofiaza del 95%. Problemas similares cosiste e calcular límites cetrales detro de los cuales está el 00 p% de la població, y límites iferiores por ecima del cual está 00 p% de la població. Asimismo u límite superior de cofiaza ( - a) 00% para el percetil 00p-ésimo es equivalete al límite superior de toleracia por debajo del cual está al meos ua proporció p de la població co ua probabilidad - a. Ua iterpretació similar cabe del límite iferior de toleracia. Las expresioes específicas para obteer los límites de toleracia Y p so las siguietes

12 guillermo Sachez DistribucioesCotiuas.b Límite uilateral iferior Y p y t', zp ; s Límite uilateral superior Y p y t', zp ; s Límite bilateral iferior Y p y t', zp ; s Límite bilateral superior Y p y t', zp ; s Calculo de k,,p (método exacto) Los factores que e la formulas (9) a () multiplica a s se cooce como k,a,p y está dados por la ecuació k,,p t', zp ; De forma exacta puede calculase aplicado: KExacto_, _, p_ : Modulez, z QuatileNormalDistributio0,, p; Sqrt QuatileNocetralStudetTDistributio, z Sqrt, Ejemplo: La k(95/95) uilateral para ua muestra de tamaño a 0 so Tabler, KExactor, 0.05, 0.95, r,, 0, 6.597, 3, , 4, , 5, 4.068, 6, , 7, , 8, 3.879, 9, 3.034, 0,.9096 Los valores so practicamete ideticos a los ecotrados e las tablas cosultadas Calculo de k,,p (Método aproximado) El método aterior requiere u cosumo eleva de recursos de ordeador que lo hace poco adecuado cuado el valor empieza a ser elevado (>0). Ua aproximació excelete a (3) puede obteerse para el caso bilateral, que es el mas complicado aplicado la siguiete aproximació k,,p z p ; Expresado e el leguaje del Mathematica es

13 DistribucioesCotiuas.b 3 g_, _, p_ : Modulez, ji, z QuatileNormalDistributio0,, p ; ji QuatileChiSquareDistributio, ; z ji Ejemplo: La k(95/95) bilateral para ua muestra de tamaño = 50 y otra para = 000 so g50, 0.05, g000, 0.05, Estos valores muestra ua excelete aproximació para los ecotrados e tablas Tambie podemos aplicar ua aproximació para el caso uilateral cuado el el valor empieza a ser elevado (>0). k,,p dode t', zp a z b z p z ; z p z p ab a Expresado e el leguaje del Mathematica es g_, _, p_ : Modulezp, za, a, b, zp QuatileNormalDistributio0,, p; za QuatileNormalDistributio0,, ; a za ;bzp za zp ; zp ab a g0, 0.05, Los aproximació aumeta co el tamaño de la muestras: Ejemplo: Calcular la k(95/95) uilateral para ={0, 00, de 0 e 0} : Table, g, 0.05, 0.95,, 0, 00, 0 0,.8748, 0,.37835, 30,.085, 40,.7, 50,.05849, 60,.068, 70,.98533, 80,.9605, 90,.9409, 00,.9344 Criterios para determiar si ua muestra está detro del itervalo de toleracia para u P y alfa dados Dado u itervalo de toleracia defiido por los límites superior e iferior (LS, LI) pretedemos saber si ua muestra de media x y desviació estadar s está compredida e el itervalo de toleracia para u P

14 4 guillermo Sachez DistribucioesCotiuas.b dado Coocidos los LS e LI de aceptacio, y los parametros muestrales x, s y, se trata de calcular p fijado a y ver si este p es mayor o igual que u P dado. Para ello: a) Hacemos Y p = LS e (9) y Y p = LI e (0) y obteemos g, alfa, ps LS x y de aquí psg, alfa, LS x p LS s s g, alfa, pi x LI y de aquí pig, alfa, x LI p LI s s dode p LS idica la proporcio de la població compredida etre LS y 0 y p LI idica la proporcio de la població compredida etre LI y 0 (estrictamete e vez de 0 es -, pero asumimos que la variable x sólo toma valores positivos). b) La població será aceptada si se verifica que p LS -p LI = p P, siedo P la proporció de la població que se cosidera aceptable. Creamos ua setecia que os automatice el aterior proceso (para P = 0.95 y alfa = 0.05), dode mea es la media de la muestra x, size su tamaño, ul le LS, ul el LI y sigma la s de la meustra p[mea_, size_, ul_, ll_, sigma_] := Module[{pLS, pli}, pls = FidRoot[g[size, 0.05, ps] == (ul - mea)/sigma, {ps, 0.5, 0.99}][[,]]; pli = FidRoot[g[size, 0.05, - pi] == (mea - ll)/sigma, {pi, 0.0, 0.}][[,]];{pLS, pli, pls - pli >= 0.95}] Ejemplo Sea x 0., s = 0.3, LS = 0.8, LI = 9.3, = 50, Es rechazable la muestra para u alfa = 0.05 y u P = 0.95?. La solució aplicado la setecia aterior es que co dicha muestra podriamos aceptar la població p0., 50, 0.8, 9.3, , , True Aclaració. Este criterio da valores muy próximos al caso bilateral, auque algo mas coservadores como era de esperar. Veamoslo co u ejemplo Sea x 0, s = 0.3, = 50, calculemos el caso cetrado, pero utilizado e u caso los k uilaterales co a fijo = 0.05, utilzado el criterio bilateral y uilaral Co el criterior bilateral los límites de toleracia estaria e 0 g50, 0.05, g50, 0.05, Co el caso uilateral seria 0 g50, 0.05,

15 DistribucioesCotiuas.b 5 0 g50, 0.05, Determiació de itervalos estadísticos para la media e poblacioes ormales Objeto Vamos a determiar el itervalo de cofiaza para la desviació estádar y la variaza: a) Para ua població ormal co media m y desviació estádar s de la que se toma ua o varias muestras. b) Para varias poblacioes ormales que tiee ua misma variaza, N(x, s), N(x, s),..., N(x, s), de cada ua de las cuales se toma ua muestra. Itervalo de cofiaza para la variaza de ua població ormal Sea X, X..., X variables aleatorias (v.a.) ormales N(0,) idepedietes etre sí. Se puede demostrar que la variable: Y X X... X es u distribució c co grados de libertad La fució de desidad (fdd) de c es PDFChiSquareDistributio, x x x x 0 Gamma La fució gamma se defie como z t z e t dt 0 E al fig. se represeta la fdd de c para distitos valores de. PlotPDFChiSquareDistributio5, x, PDFChiSquareDistributio0, x, PDFChiSquareDistributio5, x, x, 0, 60, PlotRage All De ua muestra ormal N(m,s) tomamos ua muestra aleatoria {X, X..., X }. Si a cada valor X i le restamos la media m y lo dividimos etre la variaza s y lo elevamos al cuadrado obtedremos () que es ua distribució de

16 6 guillermo Sachez DistribucioesCotiuas.b las mismas caracteristicas que (), es decir tedremos ua distribució c Y X X... X i X i Fijado u coef. de cofiaza g podemos ecotrar dos umeros a y b de forma que Pa c b =g, dode a = c, -g y b = c, +g para lo que proceemos como sigue: P a X i b i P b i X i a i X i Sustituimos a y b por sus valores y reagruparmos los termios para obteer el itervalo de cofiaza para, i s, X i s,, X i i E el caso e que la media m sea descoocida se tiee e cueta que de acuerdo al teorema de Fisher - s c / es ua distribució c - y se procedede forma similar al caso aterior obteiedose s c, s c, Determiació del itervalo de cofiaza de s de varias poblacioes ormales que tiee e comú la misma variaza Sea varias poblacioes N(x, s), N(x, s),..., N(x g, s),..., N(x m, s), de cada ua de las cuales se toma ua muestra de tamaño co la que se determia la desviació estádar de dicha muestra. U ejemplo de este tipo es el caso de u proceso productivo del que vamos tomado periodicamete muestras aleatorias idepedietes del que medimos u parametro p. Para dicho parametro de cada muestra teemos su media y variaza x g, s g. Pasado u tiempo tedremos las variazas {s,..., s m }de m muestras que asumimos tomadas co el proceso bajo cotrol. Nuestro objetivo es calcular la dispersió atural s del proceso, que supoemos descoocida, co u determiado itervalo de cofiaza. A los límites de dicho itervalos les deomiamos Límite Superior de Cotrol (LSC s ) y Límite Iferior de Cotrol (LIC s ). Para cualquier muestra que tomemos co posterioridad mediremos su desviació típica, s m, si s m está compredido e el itervalo (LSC s, LIC s ) cosideramos que dicha muestra se ha tomado co el proceso está bajo cotrol, e caso cotrario cosideraremos que está desajustado. Para determiaar el itervalo de cofiaza para s hemos de calcular la esperaza matematica E[s] y su dispersió D[s] Esperaza matematica de s, E[s] Recordemos que la esperaza matematica para fucioes cotiuas se defie como Ez zf z z z E uestro caso z es s. Para determiar la fdd f z zteemos e cueta que s sigue ua distribució c s - y hacemos la trasformació s = y = x. De esta forma obtemos la fdd de s s s

17 DistribucioesCotiuas.b 7 f s y f x dx dy f xy fs PDFChiSquareDistributio, x. x y y y Gamma y 0 Como s = s para obteer la fdd (PDF) de s hacemos el cambio de variable z = y f s z f s y dy dz f s yz z fz_ fs z. y z z z z Gamma z 0 Para calcular la esperaza matemática sustituimos e (6) Itegratez fz, z, 0,, Assumptios Re 0&&Re 0 FullSimplify Gamma Gamma 0&&0 Gamma Gamma 0&&0 por tato Es c co c_ Gamma ; Gamma Dispersió de s, D[s] La dispersió esta dada por Ds Es Es como Es resulta Ds c 3 co y Es c

18 8 guillermo Sachez DistribucioesCotiuas.b c3_ c FullSimplify Gamma Gamma Determiació del itervalo de cofiaza El itervalo de cofiaza para s se puede determiar a) Utilizado el criterio habitual que se emplea e la costruccio de cartas de cotrol que cosiste e calcularlo para 3 s o b) fijado el ivel de cofiaza a Itervalo de cofiaza para 3 s Se calcula como sigue E[s]- k D[s] s E[s]+ k D[s] a) Para s coocida LSC s = B s co B = c + 3 c 3 B_ c 3c3 FullSimplify Gamma 3 Gamma Gamma Gamma LIC s = B s B = c - 3 c 3 B_ c 3c3 FullSimplify Gamma 3 Gamma Gamma Gamma a) Para s descoocida LSC s = B 4 s co B 4 = c + 3 c 3 c LIC s = B 3 s co B 3 = c - 3 c 3 c B4_ c 3c3 c FullSimplify 3 Gamma Gamma Gamma Gamma

19 DistribucioesCotiuas.b 9 B3_ c 3c3 c FullSimplify 3 Gamma Gamma Gamma Gamma Ejemplo: Calcular B4 para = 5, 0, 5, 0, 5 Tablei, B4i, i, 5, 5, 5 N 5.,.089, 0.,.769, 5.,.578, 0.,.48977, 5.,.435 Itervalo de cofiaza dado a Se trata de calcular: Ps LSC s s=s 0 =a, para ello se realiza la siguiete trasformació: P s s LSC s s=s 0 =a s como s = LSC s s s = c - se trata de calcular LSC s =s c a, - Si s es descoocida, que es lo ormal, se tiee e cueta que s= s c resultado LSC s = s c c a, - Llamamos calfa = c c a, - calfa_, _ : c Sqrt QuatileChiSquareDistributio, Ejemplo: El coeficiete a aplicar para calcular el Límite superior de cotrol para u ivel de cofiaza bilateral de a= 0.05 y u tamaño de muestra de 5 uds será calfa0.05, 5.94 Ejemplo: Supogamos que co las características ateriores hemos obteido co el proceso bajo cotrol que s =.0. Co posterioridad hemos tomado ua muestra m obteiedo s m =.8. Para saber si el proceso sigue bajo cotrol comprobamos si s m LSC s

20 0 guillermo Sachez DistribucioesCotiuas.b calfa0.05, Como.8 es mayor que este valor el proceso estaría fuera de cotrol Es importate aclarar que usualmete se suele aplicar el criterio 3 s pues si se elije iveles de cofiaza muy altos (a>0.0) el riesgo de falsos rechazos puede ser iaceptable.