Herramientas para aplicar la estadística y el control de calidad en las empresas

Transcripción

1 Herramietas para aplicar la estadística y el cotrol de calidad e las empresas Herramietas estadísticas (EHE) Guillermo Sáchez ( Presetació el : Los datos y su represetació Alguas ormas ISO aplicables al cotrol de calidad Herramietas de calidad dispoibles para su uso e la web

2 CotroldeCalidadUCLM.b Los datos Distribució de la població española por pueblos I[1]:= I[]:= poblaciociudades CityData, "Populatio" & CityDataAll, "Spai"; Legthpoblaciociudades Out[]= 8066 I[3]:= Out[3]= Mea, StadardDeviatio, Skewess, Kurtosis, Quatile,.6, IterquartileRage &poblaciociudades N people, people, , , 980. people, 168. people I[4]:= ListLogPlotpoblaciociudades Out[4]=

3 CotroldeCalidadUCLM.b 3 Agrupacioes I[5]:= MaipulateHistogramDropDroppoblaciociudades, a, b, a, 500, 0, 1000, 10, b, 500, 0, 1000, 100, SaveDefiitios True a b Out[5]= Drop::ormal : Noatomic expressio expected at positio 1 i Droppoblaciociudades, 500. Drop::drop : Caot drop positios 500 through 1 i Droppoblaciociudades, 500. Histogram::ldata : DropDroppoblaciociudades, 500, 500 is ot a valid dataset or list of datasets. Drop::ormal : Noatomic expressio expected at positio 1 i Droppoblaciociudades, 500. Drop::drop : Caot drop positios 500 through 1 i Droppoblaciociudades, 500. Histogram::ldata : DropDroppoblaciociudades, 500, 500 is ot a valid dataset or list of datasets. Que se deduce de la represetació de los datos?

4 4 CotroldeCalidadUCLM.b Los datos multivariates Cómo represetarlos? I[53]:= multidata RadomVariateMultivariatePoissoDistributio1,, 3, 4, 15 Out[53]= 5, 6, 3, 6,, 5, 4, 3, 5,, 4, 8, 3, 3, 3,, 7, 4, 4, 6, 5,, 1, 5,, 3, 5, 3,, 3, 8, 11, 8, 3, 9,, 3,,,, 3, 6,,, 7, 5, 6, 9,, 4, 1, 3, 1, 5, 7, 9, 8, 3, 3, 5,, 4, 1, 1, 3, 3, 1, 3, 7, 6, 5, 8, 6, 6, 8, 4,, 3, 0, 0, 8, 4, 5, 4, 5, 3, 4, 3, 5, 8,, 4, 4, 5, 6, 6, 1,,, 5,,, 3, 6, 8, 3, 1, 3,,, 3,, 5, 8, 4, 6, 4, 3, 3, 7, 3,, 4, 4, 6, 4, 1,, 4, 4, 5, 8,,, 0, 3, 4, 6,, 3, 5,, 3, 4,, 6, 7, 4, 3, 4,, 4, 5,, 6, 5, 4, 4, 5, 6, 6, 8, 1, 4, 7, 4, 3, 4, 4, 0, 5, 6,, 10, 4, 6, 5, 3,, 4, 4, 6, 9, 3, 8, 5, 3, 3, 4,,, 3, 1,, 4,, 3, 4, 4,, 4, 3, 3, 6, 3,, 4, 3, 1, 6, 4, 3, 4, 5, 3, 3, 1, 1,, 3, 5, 4, 1,,, 3, 4, 4, 1, 5,,, 10, 8, 5, 5, 5, 3, 3,, 3,, 4, 4,, 8, 1, 3, 8, 3,, 1, 4,, 3, 5, 0, 10,, 3, 9, 5, 11, 9, 3, 5, 9, 3, 4, 5,, 3, 5, 4, 5, 7,, 3, 5, 4, 6, 3, 0, 4, 3, 6, 3, 7, 5, 1, 4, 3, 6, 4, 3, 4, 1, 3, 0,,, 5, 6, 1, 5, 7, 0, 0, 3, 3, 4, 6, 6, 4, 4, 3, 5, 4, 1, 5, 6,, 3, 6,, 4, 5, 8, 8, 6, 8, 8, 10, 4, 8, 10,,, 5,, 4, 5, 4, 9, 10, 3, 3, 6, 3,, 6, 1, 1, 6, 0, 5, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 9, 0,,, 6, 8, 7, 3, 9, 6, 3,, 6 I[54]:= ShowListPoitPlot3Dmultidata, Graphics3DRed, PoitSizeLarge, PoitMeamultidata 10 Out[54]=

5 CotroldeCalidadUCLM.b 5 I[55]:= Histogram3DmultidataAll, 1 ;;, 5 30 Out[55]=

6 6 CotroldeCalidadUCLM.b I[56]:= Row SmoothHistogram3D multidata All, 1 ;; SmoothDesityHistogram multidata, ImageSize All, 1 ;;, ImageSize Medium, Medium Out[56]= Aquí u cojuto de datos trivariates so visualizados de dos formas, e u sistema de coordeadas x,y,z y u plao {x, y} y la coordeada z como burbujas e cuyo tamaño (la coordeada z es el radio de la burbuja).

7 CotroldeCalidadUCLM.b 7 I[57]:= GraphicsRowListPoitPlot3Dmultidata, PlotStyle PoitSize.05, BubbleChartmultidata, BubbleScale "Diameter", BubbleSizes.05,.075, ImageSize Medium Out[57]= U cojuto de datos cuadridimesioales puede ser represetados e u gráfico de burbujas (la cuarta dimesió es el color). I[10]:= BubbleChart3DRadomReal10, 5, 4, ColorFuctio "AvocadoColors" Out[10]=

8 8 CotroldeCalidadUCLM.b Los datos so aleatorios pero frecuetemete sigue distribucioes de probabilidad I[11]:= Maipulate HistogramRadomVariateNormalDistributio0, 1, a, Automatic, "PDF", Epilog FirstPlotPDFNormalDistributio0, 1, x, x, 4, 4, PlotStyle Red, a, 1000, "Número de datos", 50, Número de datos Out[11]= La represetació gráfica os dirá mucho acerca de la distribució de probabiliad I[1]:= data RadomVariated NormalDistributio1, 3, 30; Los represetamos y los comparamos co la fució de desidad de ua població ormal. I[13]:= Show Histogramdata, 5, "ProbabilityDesity", PlotPDFNormalDistributio1, 3, x, x, 0, 0, PlotStyle Thick Out[13]=

9 CotroldeCalidadUCLM.b 9 Test de hipótesis.- Permite saber si es razoable asumir que los datos sigue ua determiada fució de probabilidad El plateamieto cosiste e formular ua hipoteis ula H 0 : Μ = Μ 0 frete a otra alterativa (por ej.:h 1 : Μ Μ 0 ) Para probar H 0 se toma ua muestra aleatoria de la població. Se calcula ua estadística de prueba apropiada, y después se rechaza o o la hipótesis ula H 0. Puede cometerse dos tipos de errores: Error de tipo I.- Α = P{error de tipo I}=P{rechazar H 0 / H 0 es verdadera} Error de tipo II.- Β = P{error de tipo II}=P{o rechazar H 0 / H 0 es falsa} A veces se utiliza el cocepto de potecia de la prueba, P, que se defie como P = 1 - Β = P{ rechazar H 0 / H 0 es falsa}, es decir es la probabilidad de rechazar correctamete H 0 Cometarios Α es coocido como el riesgo de fabricate, o del vededor, ya que deota la probabilidad de rechazar u lote bueo, o de dar por isatisfactorio el fucioamieto de u equipo o proceso que realmete opera correctamete. Β es coocido como el riesgo de comprador ya que deota la probabilidad de aceptar u producto co calidad deficiete o que se permita seguir operado u equipo o proceso que realmete opera icorrectamete, y por cosiguiete fabricado lotes malos. U procedimieto frecuete, para aplicar ua prueba de hipótesis, es fijar el valor de Α y despues diseñar u procedimieto para obteer u valor pequeño de Β. El riesgo de Β e geeral dismiuye cuado el tamaño de la muestra aumeta y se cotrola idirectamete. U procedimieto de este tipo, e el que se fija el valor Α, tiee el problema de que solo os idica si la hipotesis se admite o o, pero o os proporcioa iformació si e ua prueba cocreta el riesgo co el que se ha admitido (o rechazado) al hipotesis ha sido alto o bajo. Para evitar este problema es mas frecuete utilizar el criterio del P-valor que defiimos como el ivel de sigificació mas pequeño co el que rechazariamos la hipótesis ula. Este es el criterio que aplicaremos e lo que sigue.

10 10 CotroldeCalidadUCLM.b Test para comprobar si los datos se puede ajustar a ua determiada distibució Aplicamos varios tests para ver la mejor fució de distribució a la que se ajusta los datos I[14]:= DistributioFitTestdata, Automatic, "HypothesisTestData"; I[15]:= "TestDataTable", All Out[15]= Statistic P- Value Aderso- Darlig Barighaus- Heze Cramér- vo Mises Jarque- Bera ALM Kolmogorov- Smirov Kuiper Mardia Combied Mardia Kurtosis Mardia Skewess Pearso Χ Shapiro- Wilk Watso U Valores de P (P-Values) > 0.05 (como es el caso) idica que es razoable asumir que los datos procede de ua distribució ormal. I[16]:= ProbabilityPlotdata, d Out[16]=

11 CotroldeCalidadUCLM.b 11 Herramietas estadísticas (EHE) E puede descargarse ficheros e Word que cotiee alguas ormas ISO aplicables al cotrol de calidad, co ejemplos e excel. Además se icluye uas serie de cálculos que puede ejecutarse directamete desde el avegador.

12 1 CotroldeCalidadUCLM.b Tecicas de estimació y pruebas relativas a las media y variaza (ISO ) El procedimieto habitual e cotrol de procesos y el cotrol de calidad ese iferir ua serie de coclusioes respecto de la població a partir de ua muestra de la misma. Co frecuecia supodremos que se usa muestras aleatorias. Es decir, se tomará ua muestra x 1,..., x, de maera que las observacioes {x i } se distribuya idepedietemete. Habitualmete supodremos que el muestreo es co reposició, auque o lo sea, pues el tratamieto estadístico es mas secillo y cuado la muestra es muy pequeña comparada co la població o afectara practicamete a las coclusioes. Pruebas ISO Las hipótesis mas usuales a comprobar para poblacioes y muestras so relativas a las estimacioes de las medias y variazas.e las tablas se resume los hipótesis más usuales a comprobar.las letras mayusculas (A, a H) idetifica el procedimieto aplicable de la ISO MEDIAS Variaza coocida Variaza descoocida Comparació de la media co u valor dado A A' Estimació de la media B B' Comparació de dos medias C C' Estimació de la diferecia de dos medias D D' Variazas Comparació de variazas co u valor dado Estimació de la variaza Comparació de dos variazas Estimació de la razó de dos variazas Prueba E F G H Las hipotesis para la variaza so directamete extesibles a las desviacioes estadar si mas que teer e cueta que Σ = Σ E todos los test es ecesario fijar previamete el ivel de sigificació Α (usualmete se elige Α = 0.01, o Α = 0.05)

13 CotroldeCalidadUCLM.b 13 A.- Comparació de Μ co u valor dado m 0 co Σ coocida. Sea Μ la media de ua població (o ecesariamete ormal), de variaza Σ coocida. Tomemos ua muestra co media x y tamaño.comparamos Μ co u valor dado m 0 para los siguietes casos : Hipotesis ula H 0 : Μ = m 0. La hipotesis se rechaza si: x m 0 z 1 Α Hipotesis ula H 0 : Μ m 0. La hipotesis se rechaza si: x m 0 z 1 Α Hipotesis ula H 0 : Μ m 0. La hipotesis se rechaza si: x m 0 z 1 Α Ejemplo 1 Σ Σ Σ 1 3 Uo de los criterios de aceptacio establecidos para utilizar botellas de vidrio, usadas para embasar bebidas gaseososas, es que la resistecia media a la presió itera sea mayor de 175 psi. Ua embotelladora recibe ua muestra de 5 botellas obteiedo los siguietes valores, e psi : {199, 198, 01, 185, 18, 17, 170, 177, 189, 198, 173, 177, 171, 179, 168, 185, 180, 169, 175, 191, 181, 18, 18, 187, 179}. El fabricate iforma que su proceso preseta ua desviació estádar Σ = 10 psi.puede reutilizarse las botellas de este fabricate?. Comezamos por elaborar ua lista co los datos del ejemplo, que llamamos, de presió itera pi, y calculamos su media que llameremos x PI : I[17]:= pi 199, 198, 01, 185, 18, 17, 170, 177, 189, 198, 173, 177, 171, 179, 168, 185, 180, 169, 175, 191, 181, 18, 18, 187, 179; I[18]:= Out[18]= 18 x pi MeapI Se trata de probar la hipótesis co Μ m 0 co m psi. Para ellos aplicamos (3) fijado u ivel de sigificació Α = 5 %. Ahora sustituimos e (3), dode m 0 = 175 psi y Σ = 10 psi. I[19]:= zc : QuatileNormalDistributio0, 1, c I[0]:= Out[0]= 5 LegthpI I[1]:= LS z0.95 Out[1]= 178.9

14 14 CotroldeCalidadUCLM.b I[]:= Out[]= x pi LS True I[3]:= Coclusió : La hipotesis ula H 0 : Μ m 0 es rechazada, por tato se puede cosiderar admisible la hipotesis alterativa H 1 : Μ > m 0. Es decir se puede admitir las botellas para su reutilizació Nota : El test aterior está icorporado e ref/ztest ZTest pi, 10, 175, AlterativeHypothesis "Less" Out[3]=

15 CotroldeCalidadUCLM.b 15 A'.- Comparació de Μ co u valor dado m 0 co Σ descoocida. Sea Μ la media de ua població (o ecesariamete ormal), de variaza coocida Σ.Tomemos ua muestra co media x y desviació estadar muestral S, tamaño. Comparamos Μ co u valor dado m 0 para los siguietes casos : Hipotesis ula H 0 : Μ = m 0. La hipotesis se rechaza si: x m 0 t 1 Α, Ν S 4 Hipotesis ula H 0 : Μ m 0. La hipotesis se rechaza si: x m 0 t 1 Α, Ν Hipotesis ula H 0 : Μ m 0. La hipotesis se rechaza si: Ejemplo x m 0 t 1 Α, Ν S S 5 6 Repetir el ejercicio aterior asumiedo como estimador de variaza el de la muestra. Empezaremos por calcular la desviació stadardzde la lista pi (la media es la ates calculada) I[4]:= S pi StadardDeviatiopI Out[4]= 3 1 se trata de probar la hipótesis Μ m 0 co m 0 = 175 psi. Para elloaplicamos (5) fijado u ivel de sigificació Α=5%. Determiar el valor de z 1Α I[5]:= tc : QuatileStudetTDistributioLegthpI 1, c Ahora sustituimos e (5), dode m 0 = 175 psi. I[6]:= x pi 175 SpI t0.95 Out[6]= False Coclusió : La hipotesis ula H 0 : Μ m 0 es rechazada. Es admisible la hipotesis alterativa H 1 : Μ > m 0, por tato se puede admitir las botellas para su reutilizació Nota : El test aterior está icorporado e ref/alterativehypothesis I[7]:= LocatioTestpI, 175, AlterativeHypothesis "Less", SigificaceLevel.05 Out[7]=

16 16 CotroldeCalidadUCLM.b B.- Estimació de Μ para ua població co variaza Σ coocida. Sea ua població co media Μ, o ecesariamete ormal, co variaza Σ coocida. Tomemos ua muestra co media x y tamaño. Se trata de estimar Μ para los siguietes casos: Itervalo de cofiaza bilateral x z 1 Α Itervalos de cofiaza uilaterales Ejemplo 3 Σ Μ x z 1 Α Μ x z 1 Α Σ Μ x z 1 Α Σ Calcular el itervalo de cofiaza para la media de la lista del ejemplo 1. Asumir que Σ =10. Podemos resolverlo utilizado la ecuacio (7) o mas directamete utilizado NormalCI del paquete HypothesisTestig que la icorpora. Σ I[8]:= x pi 10 z0.975, x pi 10 z0.975 Out[8]= , I[9]:= Needs"HypothesisTestig`" I[30]:= MeaCIpI, KowVariace 10^ Out[30]= , 185.9

17 CotroldeCalidadUCLM.b 17 B.- Estimació de Μ para ua població co variaza Σ descoocida. Sea ua població co media Μ, o ecesariamete ormal, co variaza Σ descoocida. Tomemos ua muestra co media x, desviació estadar s, tamaño y grados de libertad Ν = - 1. Se trata de estimar el itervalo de cofiaza de Μ para los siguietes casos Itervalo de cofiaza bilateral S S x t 1 Α, Ν Μ x t 1 Α, Ν 10 Itervalos de cofiaza uilaterales Μ x t 1 Α, Ν S 11 Μ x t 1 Α, Ν S 1 Ejemplo 4 U dosificador para el embasado de u producto farmaceutico ha estado parado meses. Se vuelve a poer e marcha, se sabe que ateriormete el peso medio embasado era Μ= pero se descooce el valor de Σ. Se sospecha que el proceso puede estar desajustado. Para comprobarlo se toma ua muestra de 1 uidades obteiedose para esta muestra x = y s = Esta el proceso desajustado (apliquese u ivel de sigificacio del 1 %)? Lo podemos resolver directamete aplicado la ec(10) I[31]:= t 0.99,11 QuatileStudetTDistributio1 1, 0.99 Out[31]= I[3]:= LS 13.58t 0.99, Out[3]= Es decir, la regió de aceptació vedrá dado por todos los valores x y la de rechazo x Como esta fuera de la regió de aceptació admitiremos que el dosificador esta desajustado. Al mismo resultado podemos llegar utizado StudetTCI del paquete HypothesisTestig (Ojo: este paquete asume u itervalo bilateral por eso el ivel de cofiaza es 0.01 e cada setido, es decir, el total es 0.0) I[33]:=? StudetTCI StudetTCIΜ, Σ, df gives a cofidece iterval based o Studet's t distributio with df degrees of freedom. I[34]:= StudetTCI 13.58, , 11, CofideceLevel 0.98 Out[34]=

18 18 CotroldeCalidadUCLM.b C.- Comparació de Μ 1 y Μ, de poblacioes co Σ 1 y Σ coocidas. Sea las medias, Μ 1 yμ, de poblacioeso ecesariamete ormales co variazasσ 1 yσ coocidas. Tomamos ua muestra de cada població, co medias x 1 y x tamaños 1 y. Calculamos Σ d Σ 1 1 Σ Comparamos Μ 1 y Μ para los siguietes casos: Hipotesis ula H 0 : Μ 1 = Μ. La hipotesis se rechaza si: Hipotesis ula H 0 : Μ 1 Μ. La hipotesis se rechaza si: Hipotesis ula H 0 : Μ 1 Μ. La hipotesis se rechaza si: Ejemplo 5 13 x1 x z 1 Α Σ d 14 x1 x z 1 Α Σ d 15 x1 x z 1 Α Σ d 16 Ua fabrica produce u alambre de cobre co u alargamieto medio x _ 1= 7.9% y Σ 1 =.64%, obteidos del resultado de 30 medidas. Se prueba u uevo procedimieto de fabricació. Se toma ua muestra de 13 uidades a partir de la cual obtiee ua media x _ = 8.7% (se asume el mismo valor de Σ). Puede cosiderarse que el proceso sigue garatizado el mismo ivel máximo de alargamieto?. Se trata de probar la hipotesis H 0 : Μ 1 Μ, para lo cual aplicamos (15). Previamete ecesitamos calcular Σ d dado por (13) y cotiuació aplicaremos (15) aplicado u ivel de sigificació Α=5% I[35]:= Clear"Global`" I[36]:= Σ d Σ 1 Σ ; 1 I[37]:= zc : QuatileNormalDistributio0, 1, c I[38]:= x 1 7.9; x 8.7; I[39]:= LI x z0.95 Σ d. Σ 1.64, Σ.64, 1 30, 13 Out[39]= I[40]:= x 1 LI Out[40]= False Es decir, se admite la hipótesis H 0 : Μ 1 Μ, y por tato se acepta que el uevo proceso matiee el mismo ivel máximo de alargamieto.

19 CotroldeCalidadUCLM.b 19 C.- Comparació de Μ 1 y Μ, de poblacioes co Σ 1 y Σ descoocidas. Sea las medias, Μ 1 y Μ, de poblacioes (o ecesariamete ormales) co variazas Σ 1 y Σ, descoocidas pero que se puede asumir iguales. Tomemos ua muestra de cada població, co medias x 1 y x, tamaños 1 y, y calculemos: s d 1 x 1 x 1 x x Compararemos Μ 1 y Μ para los siguietes casos: Hipotesis ula H 0 : Μ 1 = Μ. La hipotesis se rechaza si: Hipotesis ula H 0 : Μ 1 Μ. La hipotesis se rechaza si: Hipotesis ula H 0 : Μ 1 Μ. La hipotesis se rechaza si: x x 1 t 1 Α, Ν s d 18 x 1 x t 1 Α, Ν s d 19 x 1 x t 1 Α, Ν s d 0 Ejemplo 6 Ua compañia petrolera proto debe dejar de veder gasolia que cotiee tetraetil-plomo que sustituirá por otra libre de plomo. Para la gasolia si plomo pretede coservar el mismo idice octáico. Para ello realiza 10 medidas del idice octaico e cada uo de las gasolias. Los resultados se muestra a cotiuació. Puede asumirse que el idice octaico de ambos tipos de gasolia es el mismo?. (Se aplicará para u itervalo de cofiaza del 99% y se asumira variazas descoocidas e iguales.) I[41]:= plomo 89.5, 90.0, 91.0, 91.5, 9.5, 91.0, 89.0, 89.5, 91.0, 9.0; siplomo 89.5, 91.5, 91.0, 89.0, 91.5, 9.0, 9.0, 90.5, 90.0, 91.0; Se trata de probar la hipotesis de que las medias so iguales. Puede hacerse calculado el p-valor y aceptato la hipotesis si p>0.05 I[44]:= LocatioTestplomo, siplomo, VerifyTestAssumptios "EqualVariace", SigificaceLevel.01 Out[44]= Por tato se acepta la hipotesis de que ambas gasolias preseta el mismo idice octaico.

20 0 CotroldeCalidadUCLM.b D.- Estimació de la diferecia de Μ 1 y Μ de dos poblacioes co Σ 1 y Σ, coocidas. Sea Μ 1 y Μ las medias de dos poblacioes (o ecesariamete ormales) co variazas Σ 1 y Σ, coocidas. Tomemos ua muestra, co medias x 1 y x, tamaños 1 y, y calculamos: Σ d Σ 1 1 Σ Estimemos el itervalo de cofiaza para la diferecia etre Μ 1 y Μ. Itervalo de cofiaza bilateral x 1 x z 1 Α Σ d Μ 1 Μ x 1 x z 1 Α Σ d Itervalos de cofiaza uilaterales Ejemplo 7 1 Μ 1 Μ x 1 x z 1 Α Σ d 3 Μ 1 Μ x 1 x z 1 Α Σ d 4 Utilizado los datos del idice octáico del ejercicio 6, y asumiedo que las variazas obteidas so aproximadamete las de la població. Puede cosiderarse que la diferecia etre las medias de ambos tipos de gasolia so iguales? Podemos aplicar las ecs(1) y () o utilizar el paquete CoficeceItervals que ya las icluye. Cosideraremos u ivel de cofiaza del 95%. I[45]:=?? MeaDiffereceCI MeaDiffereceCIlist 1, list gives acofideceiterval forthedifferece betweethepopulatiomeasestimatedfrom list 1 ad list. I[46]:= AttributesMeaDiffereceCI Protected, ReadProtected OptiosMeaDiffereceCI CofideceLevel 0.95, KowVariace Noe, EqualVariaces False MeaDiffereceCIplomo, siplomo, CofideceLevel 0.95 Out[46]= 1.136, El valor "0" (diferecia de medias) está compredido e el itervalo aterior y por tato se puede admitir que la deferecia de medias es ula.

21 CotroldeCalidadUCLM.b 1 D'.- Estimació de la diferecia de Μ 1 y Μ de dos poblacioes co Σ 1 y Σ, descoocidas. Sea Μ 1 y Μ las medias de dos poblacioes (o ecesariamete ormales), co variazas, Σ 1 y Σ, descoocidas. Tomemos ua muestra de cada població, co medias x 1 y x y tamaños 1 y, y calculamos: s d 1 x 1 x 1 x x Estimemos el itervalo de cofiaza para la diferecia etre Μ 1 y Μ. Itervalo de cofiaza bilateral x 1 x t 1 Α, Ν s d Μ 1 Μ x 1 x t 1 Α, Ν s d 6 Itervalos de cofiaza uilaterales Μ 1 Μ x 1 x t 1 Α, Ν s d 7 Μ 1 Μ x 1 x t 1 Α, Ν s d 8 Ejemplo 8 Se toma muestras de dos tipos de gasolia: co plomo y otra si plomo. Se mide el idice octáico (los valores so los del ejemplo 6). Podemos cosiderar que la gasolia co plomo y si plomo preseta el mismo idice octáico medio. (Se asumirá variazas descoocidas e iguales.) I[47]:= MeaDiffereceCIplomo, siplomo, CofideceLevel 0.95, EqualVariaces True Out[47]= , El valor "0" (diferecia de medias) está compredido e el itervalo aterior y por tato se puede admitir que la deferecia de medias es ula.

22 CotroldeCalidadUCLM.b F.- Estimació de la variaza Cosiderese la variable aleatoria x ormal. Se seleccioa ua muestra aleatoria x 1,..., x. Se calcula su variaza muestral s. Podemos costruir el itervalo de cofiaza para Σ como sigue: Caso bilateral 1 s Χ 1 Α, 1 Σ 1 s Χ Α, 1 9 Caso uilaterales Σ 1 s Χ Α, 1 30 Σ 1 s Χ 1 Α, 1 31 Para obteer obteer iformació sobre la distribucio Χ o ChiSquareDistributio podemos utilizar la ayuda e la forma habitual I[48]:=? ChiSquareDistributio ChiSquareDistributioΝrepresetsaΧ distributiowith Νdegrees offreedom. Cuya fució de desidad es: I[49]:= PDFChiSquareDistributio, x Out[49]= x x 1 Gamma x 0 0 True Ejemplo 9 U fabricate está iteresado e la determiació de la resistecia a la rotura de u determiado tipo de fibras siteticas. Ua muestra de 16 fibras da como presió de rotura la de la lista: fibra1. Por experiecias ateriores se cosidera que los valores está ormalmete distribuidas. Etre que valores estará compredida la media y la variaza (calculadas co u 95% de itervalo de cofiaza)? I[50]:= fibra , 5.07, 49.9, 51.66, 5.16, 49.7, 48.00, 49.96, 49.0, 48.10, 47.90, 46.94, 51.76, 50.75, 49.86, 51.76; El itervalo de cofiaza de la media esta dado por: I[51]:= MeaCIfibra1 Out[51]= , El itervalo de cofiaza para la variaza se obtiee aplicado la ec(19) que esta icluida e VariaceCI: I[5]:= VariaceCIfibra1 Out[5]= ,

23 CotroldeCalidadUCLM.b 3 Calcular el itervalo de cofiaza para la variaza del ejemplo aterior I[53]:= ChiSquareCI0.146^, 1 1, CofideceLevel 0.95 Out[53]= ,

24 4 CotroldeCalidadUCLM.b G.- Comparació de dos variazas. Sea x 1 ~N(Μ 1, Σ 1 ) y x ~N(Μ, Σ ), dode Μ 1, Σ 1, Μ, Σ so descoocidas: deseamos costruir u itervalo de cofiaza para s 1 s, dode s 1 y s so variazas muestrales obteida, respectivamete, de 1 y observacioes aleatorias. Hipotesis ula H 0 : s 1 = s. Se rechaza si: S 1 S 1 F 1 Α, 1, 1 1 o S 1 S F 1 Α, 1 1, 1, 3 Hipotesis ula H 0 : s 1 s. Se rechaza si: S 1 S F 1 Α, 1 1, 1 33 Hipotesis ula H 0 : s 1 s. Se rechaza si: S 1 S 1 F 1 Α, 1, Ejemplo 10 Deseamos coocer si debemos asumir la hipotesis utilizada e el ejemplo 6 de variazas iguales. Se trata de cotrastar la hipoteis H 0 : Σ 1 =Σ frete a la la alterativa H 1 : Σ 1 Σ Aplicamos el test para cotrastar la hipotesis de la razó de variazas F 0 = S 1 S = 1 frete a F 1 =S 1 S 1. La hipotesis ula F 0 = 1 o puede ser rechazada para como Α=0.05 i para cualquier ivel de sigificacio de Αp=0.73 I[54]:= VariaceEquivaleceTestplomo, siplomo Out[54]=

25 CotroldeCalidadUCLM.b 5 H.- Estimació de la razó de dos variazas Σ 1 Σ Sea x 1 ~N(Μ 1, Σ 1 ) y x ~N(Μ, Σ ). Deseamos costruir u itervalo de cofiaza para Σ 1 Σ. Coocemos las variazas muestrales S 1 y S obteidas de 1 y observacioes aleatorias. Para ello procedemos como sigue: Caso bilateral Casos uilaterales Ejemplo 11 1 F 1 Α, 1 1, 1 Σ 1 S 1 Σ S 1 Σ 1 S Σ 1 Σ F 1 Α, 1, 1 1 S 1 F 1 Α, 1 1, 1 Σ S 1 S F 1 Α, 1, 1 1 o S 1 S Cosideremos los valores del idice de octaaje del ejemplo aterior. Nos plateamos se podemos asumir la hipotesis utilizada de supoer variazas iguales I[55]:=? VariaceRatioCI VariaceRatioCIlist 1, list givesacofideceiterval fortheratioofthe populatiovariacesestimated from list 1 adfrom list. I[56]:= VariaceRatioCIplomo, siplomo Out[56]= , Como "1" está compredido e el itervalo aterior o rechazamos la hipótesis S 1 S =1

26 6 CotroldeCalidadUCLM.b I.- Comparació de medias e el caso de datos apareados (ISO (E)) Sea dos observacioes x i e y i de cierta propiedad o caracteristica. Se dice que so datos apareados si: a) Correspode a la observació del mismo elemeto i pero bajo diferetes codicioes, b) Correspode a dos elemetos que se puede cosiderar similares e todos los aspectos para la caracteristica que es objeto del test. Codicioes de aplicació: La serie d i = x i - y i, so valores aleatorios idepedietes, co media d y media Σ d s d, que se supoe sigue aproximadamete ua distribució ormal. Hipotesis ula H 0 : d = d 0. La hipotesis se rechaza si: d d 0 t 1 Α, Ν Σ d 37 Hipotesis ula H 0 : d d 0. La hipotesis se rechaza si: d d 0 t 1 Α, Ν Σ d 38 Hipotesis ula H 0 : d d 0. La hipotesis se rechaza si: d d 0 t 1 Α, Ν Σ d 39 Samples were draw from a pool of water at 10 radomly selected locatios. Each sample was tested for zic cocetratio at both the surface of the water ad the bottom of the pool: I[57]:= bottom.430,.66,.567,.531,.707,.716,.651,.589,.469,.73; surface.415,.38,.390,.410,.605,.609,.63,.53,.411,.61; I[59]:= LocatioTestbottom, surface, 0, Out[59]= "TestDataTable", "PairedT", AlterativeHypothesis "Greater" Statistic P- Value Paired T

27 CotroldeCalidadUCLM.b 7 J.-Test de hipótesis para para paramétros biomiales I[14]:= I[1]:= Quit zc : QuatileNormalDistributio0, 1, c A veces e vez de u valor dado por ua variable cotiua lo que teemos es que u item cuya ispecció es se rechaza o se acepta (pasa, o pasa) si que este se le mida u valor cocreto: Por ejemplo: dispoemos de u aillo a traves del cual se hace pasar el item: este pasa o o pasa. E estos casos hablamos de parámetros biomiales Comparació de p co u valor dado p 0 Deseamos comprobar la hipótesis H 0 : p = p 0 (Parámetro biomial p co u valor dado p 0 ) frete a la hipotesis alterativa H 1 : p p 0. Aplicaremos la aproximació a la distribució ormal de la biomial. Para comprobar la hipotesis aterior tomamos ua muestra aleatoria de x items. Z 0 x 0.5 p 0 p 0 1 p 0 si x " p 0 40 Z 0 x 0.5 p 0 p 0 1 p 0 si x p 0 41 La hipotesis ula H 0 : p = p 0 se rechaza si Z 0 > Z Α Ejemplo U taller fabrica freos para la idustria del automovil. Deseamos comprobar si el proceso produce u rechazo del 10%. Para ello tomamos ua muestra de 50 uds y ecotramos que 41 so defectuosos (usar u ivel de sigificació Α=0.05). Se trata de comprobar H 0 : p = 0.1 frete a H 1 : p p 0. Se trata de calcular Z 0 para lo que aplicamos (40) I[]:= Z % Out[]= Calculamos z / y lo comparamos co Z 0 I[3]:= Out[3]= AbsZ 0 z True Coclusió: La hipotesis ula H 0 : p = 0.1 deberá ser rechazada

28 8 CotroldeCalidadUCLM.b Comparació de dos parametros biomiales: p 1 y p Deseamos comprobar la hipótesis de igualdad de dos parametros biomiales H 0 : p 1 = p frete a la hipotesis alterativa H 1 : p 1 p. Aplicaremos la aproximació a la distribució ormal de la biomial. Para comprobar la hipotesis aterior tomamos ua muestra aleatoria de 1 observacioes de la població 1 y de de la població. Supodremos que x 1 y x so el úmero de items defectuosos e cada muestra. Los parametros biomiales para cada muestra so: p 1 = x 1 / 1 y p = x /. Etoces si la hipotesis ula es cierta:p =p 1 = p y los dos estimadores muestrales puede ser combiados e u estimador cojuto: p ' 1 p ' 1 p ' 1 4 El estadistico para comprobar H 0 es: Z 0 p ' 1 p ' 43 p ' 1 p ' La hipotesis ula H 0 : p 1 = p se rechaza si Z 0 > Z Α Ejemplo Cierto úmero de idividuos padece ua misma efermedad. Se divide e dos grupos A, formado por 9 pacietes y B, por 83. Se le admiistra u uevo farmaco Neopharmacol al grupo A pero o al B, por lo demás ambos grupos so tratados ideticamete. El úmero de pacietes recuperados de la efermedad e el grupo A so 66 y 54 e el B. Mejora el Neopharmacol el tratamieto? (usar u ivel de sigificació Α=0.05). Hacemos la hipotesis de que el Neopharmacol o mejora el tratamieto, es decir: supoemos que la probabilidad de recuperació de ambos grupos so iguales. Se trata de comprobar la hipotesis H 0 : p A = p B, frete a la alterativa: H 1 : p A p B Para evitar ambigüedades e los símbolos que vamos a utilizar los defiimos previamate utilizado el paquete `Notatio` I[4]:= I[5]:= Needs"Notatio`" Symbolize A; Symbolize B; Symbolizep ' I[16]:= A 9 Out[16]= 9 I[17]:= B 83 Out[17]= 83

29 CotroldeCalidadUCLM.b 9 I[18]:= pa 66 A N Out[18]= I[19]:= pb 54 B N Out[19]= I[0]:= p ' A pa B pb A B Out[0]= N La hipotesis ula H 0 : p 1 = p se rechaza si Z 0 > Z Α Calculamos z y lo comparamos co Z 0 Coclusió: La hipotesis ula H 0 : p A p B deberá ser aceptada y por tato o podemos decir que NeoPharmacol mejore el tratamieto

30 30 CotroldeCalidadUCLM.b K.- Itervalos de cofiaza para paramétros biomiales A veces es ecesario costruir el itervalo de cofiaza 100(1-Α)% para ua distribució para el parametro p de ua distribució biomial. Este parametro correspode a la fracció o coforme (rechazada) de u lote o proceso. Asumimos que es coocido. Si de ua muestra aleatoria ua catidad 1 es o coforme etoces u estimador de la media p es p = 1. Hay varias aproximacioes para costruir el itervalo de cofiaza. Si es grade y p0.1, etoces puede utilizarse la aproximació ormal, resultado u itervalo de cofiaza 100(1-Α)%. co Σ = p 1p p Z Α Σ Σ ( " p " pz Α ( 44 Si es pequeño, etoces se utiliza directamete la distribució biomial para establecer los itervalos de cofiaza de p. Si es grade y p es pequeño (<1), etoces la distribució de Poisso es adecuada. E el caso de parametros biomiales, p 1 y p etoces podemos costruir el itervalo de cofiaza 100(1-Α)% para las diferecias como sigue: p 1 p Z Α Σ 1 1 Σ " p 1 p " p 1 p Z Α Σ 1 1 Σ 45 co p i = i y Σ i = p i 1p i, i= 1, De ua muestra aleatoria de 80 cojietes de cigueñales 15 preseta u rugosidad mayor que la permitida e la especificació correspodiete. Cuales so los límites del itervalo, calculados co u 95% de cofiaza, par la fracció o coforme?, Puede asumirde la aproximació de la biomial a la ormal?. La fracció media de elemetos o comformes es p = 15/ por tato y es grade, por tato sí puede utilizarse la aproximació de la biomial por ua ormal para estimar el itervalo de cofiaza de los elemetos o coformes. Por tato puede aplicarse la ecuació (40) I[1]:= Out[1]= p I[]:= itervalo p 1 p. 80; Usamos la fucio z[c] ates defiida para obteer los coeficietes Z, para Α = 0.05 I[3]:= LimiteSuperior, LimiteIferior pz0.975 itervalo, p z0.975 itervalo Out[3]= , E resume, p 0.730

31 CotroldeCalidadUCLM.b 31 Ejercicios propuestos El resultado de los esayos para verificar la resistecia a la rotura, e ewtos, de dos muestras de cable procedetes de dos fabricates A y B so los siguietes: I[4]:= muestraa.97,.58, 1.949,.36,.040,.133, 1.855, 1.986, 1.64,.915; muestrab.86,.37,.388, 3.17, 3.158,.751,.,.367,.47,.51,.104,.707; I[6]:= E la resolució del ejercicio aplica los criterios y el formato establecido e la ISO (E) a) Se puede asumir que cada muestra procede de ua població ormal? Resolució b) El fabricate A dice que su proceso produce cables co ua resistecia media m A =.40 ewtos y ua Σ A = El test se aplicará a ua muestra de tamaño A =10. Puede asumirse esta hipotesis?.(utilicese u ivel de sigificació Α = 0.05) Resolució x A MeamuestraA Out[6]=.1761 I[7]:= c 1 Α. Α 0.05 Out[7]= Calculamos, separadamete, primero el termio de la decha de la ec(1) y a cotiuació del de la izda, y aplicamos (1) I[8]:= l1 zc Σ. Σ , 10 Out[8]= I[9]:= l Abs x A m A. m A.40 Out[9]= 0.39 I[30]:= Out[30]= l l1 True Por tato, se cocluye que hipotesis H 0 : Μ = m 0 se rechaza Ejemplos adicioales c) Repite el apartado aterior utilizado la desviació stadard de la muestra A, s A d) El fabricate B idica que su proceso tiee ua Σ B = 0.311, y que para determiar la media toma ua muestra de tamaño B =1. Puede asumirse que sus cables preseta ua resistecia media a la rotura similar al fabricate A. e) Repite el apartado aterior utilizado las desviacioes stadards de la muestra A, s A, y de la muestra B, s B.

32 3 CotroldeCalidadUCLM.b f) Estima el itervalo cetral para la diferecia etre las medias de A y B, co u 95% de cofiaza. Asume que Σ A y Σ B so las proporcioadas por los fabricates. g) Repite el apartado aterior utilizado las desviacioes stadards de la muestra A, s A, y de la muestra B, s B y asumiedo que Σ A = Σ B. h) La especificació para la aceptació de los cables especifica que la variaza de la resistecia a la rotura o debe exceder Σ o = Puede asumirse, a partir de las muestras A y B, que los fabricates cumple co este requisito?. i) A partir de las muestras A y B, estima el itervalo cetral, co u 95% de cofiaza, para Σ A y Σ B. j) A partir de las muestras A y B, puede asumirse que las variazas de ambas poblacioes so iguales Σ A = Σ B. k) A partir de las muestras A y B, estima el itervalo cetral, co u 95% de cofiaza, para Σ A /Σ B.

33 CotroldeCalidadUCLM.b 33 El paquete Itervalos E este apartado se describe el paquete Itervalos que permite calcular itervalos de cofiaza de la media y los de toleracia de poblacioes, asi como el tamaño muestral. I[31]:= Needs"Estadistica`CotrolCalidad`" CotrolCalidad, versio I[3]:=? "Estadistica`CotrolCalidad`" Estadistica`CotrolCalidad` limite- limite- Uil- sizes- Bilat- ater- ProbA- amp- g1 g eral al p1 lfa le t1 z1

34 34 CotroldeCalidadUCLM.b Alguas de las fucioes del paquete itervalo puede ejecutar directamete e u avegador web:

35 CotroldeCalidadUCLM.b 35 Itervalos de cofiaza de la media para variaza coocida Sea y la media de cierta medida realizada a ua muestra procedete de ua població de la que se cooce su variaza que es Σ. Llamamos itervalo de cofiaza para y co ivel de cofiaza (1 - Α) aquel que tiee ua probabilidad de (1 - Α)100% de coteer la verdadera media Μ. Límite uilateral iferior Y p y z1α Σ Límite uilateral superior Y p y z1α Σ Límite bilateral iferior Y p y z1α Σ Límite bilateral superior Y p y z1 Α Σ Calcular los itervalos de cofiaza uilaterales y bilaterales para: y = 50, Σ = 3, = 30, y Α = 0.10.

36 36 CotroldeCalidadUCLM.b Itervalos de cofiaza de la media para variaza descoocida Sea y la media de cierta medida realizada a ua muestra procedete de ua població de la que se o cooce su variaza, pero si la variaza muestral Si descoocemos la variaza de la població utilizarmos la distribució t que la que se verifica t = (y - Μ)/(s/ ), dode s es la desviació estádar muestral, co la que se obtiee los siguietes límites para los itervalos Límite uilateral iferior Y p y t1, 1Α Límite uilateral superior Y p y t1, 1Α s s Límite bilateral iferior Y p t1, 1Α y Límite bilateral superior Y p t1, 1Α y s s

37 CotroldeCalidadUCLM.b 37

38 38 CotroldeCalidadUCLM.b Cálculo de itervalos de toleracia e poblacioes ormales Coceptos E cotrol de calidad a veces es ecesario defiir el itervalo de toleracia (o cofudir co itervalo de cofiaza). Cosideremos ua població de la que tomamos ua muestra de tamaño e la que medimos cierta característica y (diámetro, desidad, peso, etc.). Calculamos su media y y su desviació estádar s. El cliete puede requerir que dicha característica esté detro de u itervalo de toleracia. Defiimos el 100p-ésimo percetil al la valor Y p por debajo del cual está el 100p % de la població, o, lo que es equivalete, aquel valor para el que las observacioes de muestra aleatoria de la població cae co ua probabilidad p. E ocasioes os iteresa estimar el valor de Y p asociadole u itervalo de cofiaza, (1 - Α) 100%. Ejemplo: Deseamos calcular el valor por debajo del cual está el 95% de la població co u ivel de cofiaza del 95%. Problemas similares cosiste e calcular límites cetrales detro de los cuales está el 100p% de la població, y límites iferiores por ecima del cual está 100p% de la població. Asimismo u límite superior de cofiaza (1 - Α) 100% para el percetil 100p-ésimo es equivalete al límite superior de toleracia por debajo del cual está al meos ua proporció p de la població co ua probabilidad 1 - Α. Ua iterpretació similar cabe del límite iferior de toleracia. Las expresioes específicas para obteer los límites de toleracia Y p so las siguietes (requiere que la població sea ormal) Límite uilateral iferior Y p y t' 1, zp ; 1Α s Límite uilateral superior Y p y t' 1, zp ; 1Α s Límite bilateral iferior Y p y t' 1, zp ; 1 Α s Límite bilateral superior Y p y t' 1, zp ; 1 Α s

39 CotroldeCalidadUCLM.b 39 dode t ' es la distribució t Studet o cetral NocetralStudetTDistributio [Ν, ]) a ocetral Studet t co Ν grados de libertad y u parámetro de o cetralidad. I[86]:= Plot EvaluateTablePDFNocetralStudetTDistributio5,, x,,, 0, 3, x, 6, 8, Fillig Axis Out[86]= I[87]:= Plot EvaluateTableCDFNocetralStudetTDistributio5,, x,,, 0, 3, x, 6, 8, Fillig Axis Out[87]= Calculo de k,α,p (método exacto) k,α,p t' 1, zp ; 1Α De forma exacta puede calculase aplicado: I[88]:= K1Exacto, Α, p : Module z, z QuatileNormalDistributio0, 1, p; 1 Sqrt QuatileNocetralStudetTDistributio 1, zsqrt, 1 Α Ejemplo: La k(95/95) uilateral para ua muestra de tamaño a 10 so I[89]:= Out[89]= Tabler, K1Exactor, 0.05, 0.95, r,, 10, 6.597, 3, , 4, , 5, 4.068, 6, , 7, , 8, , 9, , 10,.91096

40 40 CotroldeCalidadUCLM.b Los valores so practicamete ideticos a los ecotrados e las tablas cosultadas Calculo de k,α,p (Método aproximado) El método aterior requiere u cosumo eleva de recursos de ordeador que lo hace poco adecuado cuado el valor empieza a ser elevado (>10). Ua aproximació excelete a (13) puede obteerse para el caso bilateral, que es el mas complicado aplicado la siguiete aproximació k,α,p z1p 1 Χ 1; Α 1 Expresado e el leguaje del Mathematica es 1 1 I[90]:= g, Α, p : Module z, ji, z Quatile NormalDistributio0, 1, 1p ; ji QuatileChiSquareDistributio 1, Α; z 1 ji 1 1 Ejemplo: La k(95/95) bilateral para ua muestra de tamaño = 50 y otra para = 1000 so I[91]:= g50, 0.05, 0.95 Out[91]= I[9]:= g1000, 0.05, 0.95 Out[9]= Estos valores muestra ua excelete aproximació para los ecotrados e tablas Tambie podemos aplicar ua aproximació para el caso uilateral cuado el el valor empieza a ser elevado (>10). k,α,p t' 1, zp ; 1Α z p z p a b 1 a dode a 1 z 1 Α 1 b z p z 1Α Expresado e el leguaje del Mathematica es I[93]:= g1, Α, p : Module zp, za, a, b, zp QuatileNormalDistributio0, 1, p; za QuatileNormalDistributio0, 1, 1 Α; a 1 za 1 ; b zp za ; zp zp a b a

41 CotroldeCalidadUCLM.b 41 I[94]:= g110, 0.05, 0.95 Out[94]=.8748 Los aproximació aumeta co el tamaño de la muestras: Ejemplo: Calcular la k(95/95) uilateral para ={10, 100, de 10 e 10} : I[95]:= Out[95]= Table, g1, 0.05, 0.95,, 10, 100, 10 10,.8748, 0,.37835, 30,.0851, 40,.1171, 50,.05849, 60,.01681, 70, , 80, , 90, , 100,

42 4 CotroldeCalidadUCLM.b Criterios para determiar si ua muestra está detro del itervalo de toleracia para u P y alfa dados Dado u itervalo de toleracia defiido por los límites superior e iferior (LS, LI) pretedemos saber si ua muestra de media x y desviació estadar s está compredida e el itervalo de toleracia para u P dado Coocidos los LS e LI de aceptacio, y los parametros muestrales x, s y, se trata de calcular p fijado Α y ver si este p es mayor o igual que u P dado. Para ello: a) Hacemos Y p = LS y Y p = LI e (10) y obteemos g1, alfa, ps $ LS x y de aquí ps g1, alfa, LS x p LS s s g1, alfa, 1pI $ xli y de aquí pi g1, alfa, xli p LI s s dode p LS idica la proporcio de la població compredida etre LS y 0 y p LI idica la proporcio de la població compredida etre LI y 0 (estrictamete e vez de 0 es -, pero asumimos que la variable x sólo toma valores positivos). b) La població será aceptada si se verifica que p LS -p LI = p P, siedo P la proporció de la població que se cosidera aceptable. Creamos ua setecia que os automatice el aterior proceso (para P = 0.95 y alfa = 0.05), dode mea es la media de la muestra x, size su tamaño, ul le LS, ul el LI y sigma la s de la meustra

43 CotroldeCalidadUCLM.b 43 Criterios para determiar si fijado alfa, el tamaño muestral y el valor de K que porcetaje de la poblacio está detro del itervalo de toleracia

44 44 CotroldeCalidadUCLM.b Dato el tamaño muestral, el ivel de cofiaza y la fraccio defectuosa calcular el tamaño muestral para u muestreo simple co cero rechazos El problema mas frecuete e muestreo es determiar el tamaño de la muestra y el úmero de uds. o coformes e la muestra. Vamos a describir como realizarlo e el caso de muestreos simples. Sea ua població de tamaño N, del que descoocemos el úmero de uds defectuosas. La probabilidad P a de que haya r o meos defectuosas os viee dada por la distribució hipergeométrica. r P a x0 dode D x ND x N D f Número de piezas defectuosas e el lote (descoocidas). Fraccio de uds defectuosas: f DN, f es descoocida, se toma como valor la fracció máxima, p A, de la població que admitiriamos que este formada por uds fuera de los límites de toleracia. Α asumir). = ivel de sigificació (Probabilidad de cometer u error de tipo I que estamos dispuesto a = tamaño muestral E el caso particular de que el criterio de aceptació sea c = 0 P a 1f N N, etoces fijado Pa podemos calcular

45 CotroldeCalidadUCLM.b 45 Test de ormalidad EHE icluye u cojuto de test de ormalidad. Es de destacar el test de D Agostio que aplica a muestras co grade I[33]:= I[34]:= Needs"Estadistica`NormalityTests`"? "Estadistica`NormalityTests`" Estadistica`NormalityTests` DAgostioPearsoKSquareTest JarqueBera KurtosisM multiormal- TestStatistic NormalityTests Omibus Sigificace Urzua ormalityteststatistic Residuals SkewessM

46 46 CotroldeCalidadUCLM.b Ejemplos: Normalilty test: JarqueBera, Urzua, DAgostio testdata1 is a vector of uiformly distributed radom umbers betwee zero ad oe; testdata is a vector of umbers draw from the Normal(3,1) distributio.therefore the tests should reject ormality for testdata1 ad ot reject for testdata. To o reject the ormality of the data Crit Stat Crit. Value I[104]:= testdata1 RadomReal0, 1, 1000; I[105]:= testdata RadomRealNormalDistributio3, 1, 1000; I[106]:= ormalityteststatistictestdata1, Method JarqueBera, Sigificace 0.05 Out[106]//TableForm= Test Stat N for crit Crit.Value at I[107]:= ormalityteststatistictestdata, Method JarqueBera, Sigificace 0.05 Out[107]//TableForm= Test Stat N for crit Crit.Value at I[108]:= ormalityteststatistictestdata, Method Urzua, Sigificace 0.01 Out[108]//TableForm= Test Stat N for crit Crit.Value at I[109]:= Usig DAgostioPearsoKSquareTest the Normally distributed data should ted to have pvalues that are ot too small. At least should be requirer PValue DAgostioPearsoKSquareTesttestdata1 Out[109]= KSquareStatistic , PValue 0. I[110]:= DAgostioPearsoKSquareTesttestdata Out[110]= KSquareStatistic , PValue

47 CotroldeCalidadUCLM.b 47 Ejemplos: Multiormality Test : Omibus, KurtosisM, SkewessM We will simulate a MultiormalDistributio I[35]:= mu, 3, 4; I[36]:= sigma 1, 1, 1 3, 1, 1 3, 1 4, 1 3, 1 4, 1 5 ; I[37]:= multi1 RadomRealMultiormalDistributiomu, sigma, 100; I[38]:= multi Roud100 multi1; I[39]:= To o reject the ormality of the data Crit Stat Crit. Value multiormalteststatistictrasposemulti, Method Automatic, Sigificace 0.9 Out[39]//TableForm= Automatic Test Stat N for crit Crit.Value at I[40]:= multiormalteststatistictrasposemulti, Method Omibus, Sigificace 0.9 Out[40]//TableForm= Omibus Test Stat N for crit Crit.Value at I[41]:= multiormalteststatistictrasposemulti, Method KurtosisM, Sigificace 0.9 Out[41]//TableForm= KurtosisM Test Stat N for crit Crit.Value at I[4]:= multiormalteststatistictrasposemulti, Method SkewessM, Sigificace 0.9 Out[4]//TableForm= SkewessM Test Stat N for crit Crit.Value at Ejemplo icliació cabezales I[43]:= icliacio1.4, 0.3, 1.36, 0.48, 0.48, 1.94, 0.6, 0.38, 1., 0.15, 0.56, 1.15, 0.5, 0.,.08, 0.6, 0.5, 0.7, 0.6, 0.5, 0.88, 0.56, 0.6, 0.7, 0.68, 0.18, 1.6, 0.68, 1.48, 0.18, 0.68, 0.4, 0.58, 1.48, 0., 0.5, 0.34, 0.4, 0.56, 0., 1.74, 0.3, 0.16, 0.58, 1.84, 0., 0.86, 0.4, 0.4, 0.16, 1.1, 0.64, 0.6, 0.3, 0.18, 0., 0.88, 0.8, 1.6, 0., 0.5, 0.5, 1.5, 0.6, 0.9, 0.16, 1.7, 0.6, 0.7, 0.6, 0.84, 0.18, 0.3, 0.14, 0.6, 0.4, 0., 0.3,.54, 0.38, 0.4, 0.5, 1.5, 0.48, 0.7, 0.14, 1.54, 0.34,.5, 0.18,.04, 0.44, 0.54, 1.74, 1.5, 1., 0.88, 0.18, 1.74, 0.7, 0.4, 0.5, 1.58, 0.64, 0.5, 0.6, 0.65, 0.5,.6, 1.,., 0.44;

48 48 CotroldeCalidadUCLM.b I[44]:= I[45]:= icliacio 0.9,.54, 0.4,., 1.5, 0.3, 0.86,.04, 1.38,.34, 1., 1.4, 1.8,.54, 0.6, 0.7, 0.88,.18, 0.75, 0.7, 1.44,.1, 1.6, 1.54, 0.54, 0.76, 0.64, 0.7, 1.94,.1, 1.9, 1.9, 1.64, 1.1, 1.4, 1.7, 1.8,.08, 1.1, 1.4, 1.68, 1., 1.68, 1., 3.6, 0.38,.1,.3, 1.3,., 0.68,.54, 0.68, 0.74, 1.5,.1,.1, 3.04, 0.5,., 0.9,.8, 1.1, 3.0, 1.3,.98, 1.1, 1.4, 1.6, 3.1,.3, 1.; multiormalteststatistictrasposeicliacio1, Method Automatic, Sigificace 0.9 Out[45]//TableForm= Automatic Test Stat N for crit Crit.Value at I[46]:= multiormalteststatistictrasposeicliacio1, Method Omibus, Sigificace 0.9 Out[46]//TableForm= Omibus Test Stat N for crit Crit.Value at I[47]:= multiormalteststatistictrasposeicliacio1, Method SkewessM, Sigificace 0.9 Out[47]//TableForm= SkewessM Test Stat N for crit Crit.Value at I[48]:= multiormalteststatistictrasposeicliacio1, Method KurtosisM, Sigificace 0.9 Out[48]//TableForm= KurtosisM Test Stat N for crit Crit.Value at I[49]:= multiormalteststatistictrasposeicliacio, Method Automatic, Sigificace 0.9 Out[49]//TableForm= Automatic Test Stat N for crit Crit.Value at I[50]:= multiormalteststatistictrasposeicliacio, Method Omibus, Sigificace 0.9 Out[50]//TableForm= Omibus Test Stat N for crit Crit.Value at I[51]:= multiormalteststatistictrasposeicliacio, Method SkewessM, Sigificace 0.9 Out[51]//TableForm= SkewessM Test Stat N for crit Crit.Value at I[5]:= multiormalteststatistictrasposeicliacio, Method KurtosisM, Sigificace 0.9 Out[5]//TableForm= KurtosisM Test Stat N for crit Crit.Value at