Controlabilidad y Observabilidad

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1 Capítlo 6 Controlabilidad y Observabilidad En este capítlo introdcimos los conceptos de controlabilidad y observabilidad. Estos conceptos describen la interacción entre el mndo externo (entradas y salidas) y las variables internas del sistema (estados). La controlabilidad es la propiedad qe indica si el comportamiento de n sistema pede ser controlado por medio de ss entradas, mientras qe la observabilidad es la propiedad qe indica si el comportamiento interno del sistema pede detectarse en ss salidas. 6.. Controlabilidad 6... Definiciones y tests fndamentales Consideremos el sistema de n estados y p entradas ẋ = Ax + B, (6.) con las matrices constantes A R n n y B R n p. Como la controlabilidad relaciona las entradas y los estados del sistema, la ecación de salida es irrelevante. Definición 6. (Controlabilidad). La ecación de estados (6.), o el par (A, B), se dice controlable si para calqier estado inicial x() = x R n y calqier estado final x R n, existe na entrada qe transfiere el estado x de x a x en tiempo finito. En caso contrario, la ecación (6.), o el par (A, B), se dice no controlable. La controlabilidad tiene qe ver con la posibilidad de llevar al sistema de calqier estado inicial al calqier estado final en tiempo finito, no importando qé trayectoria se siga, o qé entrada se se. Ejemplo 6. (Sistemas no controlables). Consideremos el sistema eléctrico de la izqierda en la Figra 6.. El sistema es de primer orden con variable de estado x, la tensión en el capacitor. Si la carga inicial del capacitor es nla, x() =, entonces x(t) = para todo t independientemente de la tensión de entrada aplicada, debido a la simetría de la red. La ecación qe describe el sistema es no controlable. Veamos ahora el sistema de la derecha en la misma figra. Éste tiene dos variables de estado, las tensiones en los dos capacitores, x y x 2. La entrada pede llevar x o x 2 a calqier valor, pero no pede llevar x y x 2 a distintos valores. Por ejemplo, si x () = x 2 () entonces x (t) = x 2 (t) para todo t independientemente de la tensión aplicada en. También aqí, la ecación qe describe el sistema es no controlable. 9

2 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-92 F x x 2 Ω Ω x Ω Ω y x F y Ω F x x 2 Ω Figra 6.: Sistemas eléctricos no controlables Teorema 6. (Tests de Controlabilidad). La sigientes afirmaciones son eqivalentes:. El par (A, B), A R n n, B R n p, es controlable. 2. La matriz de controlabilidad, es de rango n (rango fila pleno). 3. La matriz n n C = [ B AB A 2 B A n B, C R n np, (6.2) W c (t) = t es no singlar para todo t >. Demostración. e Aτ BB T e ATτ dτ = t e A(t τ) BB T e AT (t τ) dτ (6.3) ( 2) Consideremos dos vectores calesqiera x y x R n y n intervalo finito de tiempo t calqiera. Como el sistema es controlable, sabemos qe existe algna entrada (t) qe transfiere el estado de x() = x al estado final x(t ) = x en el tiempo t. Usando la fórmla de variación de los parámetros, tenemos entonces qe se satisface la ecación x = x(t ) = e At x + t e A(t τ) B(τ)dτ, Llamemos z al vector z x e At x. t e A(t τ) B(τ)dτ = x e At x. (6.4) Recordemos de la propiedad qe dice qe toda fnción matricial de na matriz n n se pede expresar como n polinomio matricial de orden n ; entonces podemos escribir e A(t τ) como n polinomio en A (con coeficientes dependientes de τ), e A(t τ) = e At e Aτ n = η k (τ)a k k= = η (τ)i + η (τ)a + + η n (τ)a n (6.5)

3 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-93 Reemplazando (6.5) en (6.4) obtenemos z = = = = t t t t e A(t τ) B(τ)dτ [ η (τ)i + η (τ)a + + η n (τ)a n B(τ)dτ [ Bη (τ)(τ) + AB(τ)η (τ) + + A n Bη n (τ)(τ) dτ η (τ)(τ) [ B AB A 2 B... A n B η (τ)(τ)... dτ = [ B AB A 2 B... A n B t η n (τ)(τ) η (τ)(τ)dτ t η (τ)(τ)dτ... t η n (τ)(τ)dτ = Cr (6.6) donde hemos definido como r el vector de la derecha en la línea anterior a (6.6), y C es la matriz de controlabilidad de (6.2). Así, en otras palabras, la controlabilidad del par (A, B) implica qe la ecación lineal algebraica z = Cr siempre tiene solción, para z y r en R n arbitrarios. Del Teorema 3., sige qe esto scede si y sólo si la matriz C es de rango fila pleno, es decir, n. Hemos mostrado qe 2. (2 3) Mostramos esta implicación por contradicción. Spongamos qe la matriz C tiene rango fila pleno pero qe existe algún t > tal qe W c (t) es singlar. Por la forma del integrando en (6.3), la matriz W c (t) es siempre semidefinida positiva, y qe sea singlar es eqivalente a decir qe existe algún vector no nlo v R n tal qe v T W c (t)v =, es decir, = v T W c (t)v = t v T e Aτ BB T e ATτ vdτ = t v T e Aτ B 2 dτ qe es eqivalente a decir qe v T e Aτ B = para todo τ [, t. Escribiendo la exponencial e Aτ en forma polinomial, similar a (6.5), tenemos = v T e Aτ B = v [ T B AB... A n B η (τ)i p η (τ)i p... η n (τ)i p. (6.7) Como e Aτ B = si B =, la única posibilidad de qe se dé (6.7) para todo τ es qe v T C =, qe implicaría qe el rango fila de C es menor qe n, lo cal es na contradicción, y preba qe 2 3. (3 ) Sean x y x dos vectores calesqiera de R n, y t > arbitrario. Si W c (t) es no singlar para calqier t >, entonces podemos constrirnos la entrada (t) = B T e AT (t t) W c (t )(e At x x ). (6.8)

4 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-94 Veamos qe esta entrada transfiere el estado del sistema de x a x en el tiempo t. Efectivamente, reemplazando (t) de (6.8) en la fórmla de variación de los parámetros para x(t ) tenemos ( t ) x(t ) = e At x e A(t τ) BB T e AT (t τ) dτ Wc (t ) ( ) e At x x = e At x W c (t )W c (t ) ( e At x x ) = x. Como x, x, y t > son arbitrarios, hemos mostrado qe el sistema es controlable. Ejemplo 6.2. En el Ejemplo 2.4 vimos la linealización de n péndlo invertido. La ecación de estados lineal de n péndlo dado es ẋ = x + (6.9) 5 2 y = [ x. Calclamos la matriz de controlabilidad C = [ B AB A 2 B A 3 B = Pede mostrarse qe esta matriz tiene rango 4; por lo qe el sistema es controlable. Por lo tanto, si el ánglo x 3 = θ se desviara ligeramente de cero, existe n control qe lo retorna a cero en tiempo finito. De hecho, la controlabilidad nos garantiza qe existe n control capaz de llevar la posición del carro, x = y, el ánglo x 3 = θ, y ss derivadas a cero. Este hecho es consistente con la experiencia de balancear n escobillón sobre la palma de na mano. Cabe notar qe si bien esto es estrictamente cierto, en la práctica el control necesario pede ser imposible de implementar; por ejemplo si se exceden los límites admisibles de corriente del motor qe meve el carro Control de mínima energía y gramiano de controlabilidad La ley de control (t) de (6.8) tiene na propiedad interesante: es el control qe gasta mínima energía en llevar al sistema del estado x al estado x en el tiempo t, en el sentido de qe para otro control ũ(t) qe haga la misma transferencia siempre se cmple qe. t ũ(τ) 2 dτ t (τ) 2 dτ = (x T e AT (t ) x T )W c (t ) ( t = (x T e AT (t ) x T )W c (t )(e A(t ) x x ) ) e A(t τ) BB T e AT (t τ) dτ Wc (t )(e A(t )x x ) = W 2 c (t )(e A(t ) x x ) 2. (6.)

5 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-95 Vemos de (6.) qe la mínima energía de control es mayor canto mayor sea la distancia entre x y x, y canto menor el tiempo de transferencia t (ya qe W c (t ) es más cercano a ser singlar). Si la matriz A es Hrwitz, la integral W c (t) (6.3) converge para t =. En ese caso notamos simplemente W c (t) = W c, y se llama gramiano de controlabilidad. Si el par (A, B) es controlable, entonces por el Teorema 6..2 la matriz de controlabilidad (transpesta) C T = B T B T A... B T A n es de rango n. Vimos en el Teorema 5.8 en 5.4 qe esta condición, si la matriz A es Hrwitz, garantiza qe W c es la única solción, y positiva definida, de la ecación AW c + W c A T = BB T. (6.) Las fnciones MATLAB Cc=ctrb(A,B) y W=gram(A,B) calclan respectivamente la matriz de controlabilidad C y el gramiano de controlabilidad W c. Para saber si n sistema es controlable podemos cheqear el rango de C o W c. Para calclar el control de mínima energía (6.8) necesitamos la matriz W c (t ), qe podemos calclar sando el Teorema 4. (ver) implementando W c (t) = [ [ A BB T [ I n n e n A T t n e AT t, En MATLAB: O=zeros(n,n); I=eye(n); Wt=[I,O*expm([A,B*Bˆ{T};O,-Aˆ{T}*t)*[O;expm(Aˆ{T}*t); Ejemplo 6.3. La Figra 6.2 ilstra na plataforma de las sadas para estdiar sistemas de sspensión para atomóviles. El sistema consiste de na plataforma cyos extremos la sstentan al piso mediante sistemas independientes de resortes y amortigadores de fricción viscosa. Asmiendo la masa de la plataforma cero, cada sistema de amortigación en los extremos recibe la mitad de la ferza aplicada a la plataforma. Las constantes de los resortes se asmen y los coeficientes de fricción viscosa 2 y respectivamente. Tomando los desplazamientos de la posición de eqilibrio de los extremos de la plataforma como variables de estado, tenemos qe la sigiente ecación de estados describe este sistema ẋ = [,5 x + [,5. Si los desplazamientos iniciales son distintos de cero, y si no hay ferza aplicada, la plataforma va a volver a s posición de eqilibrio exponencialmente (los atovalores de la matriz A del sistema son,5 y, por lo qe el sistema es asintóticamente estable). En teoría el sistema tomaría n tiempo infinito en alcanzar s posición de eqilibrio. Nos planteamos el sigiente problema: si x ( ) = y x 2 () =, podemos aplicar na ferza qe lleve la plataforma a s posición de eqilibrio en 2 segndos? La respesta no parece obvia pes la misma ferza se aplica a los dos sistemas de amortigación.

6 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT x x 2 Figra 6.2: Sistema plataforma Calclamos el rango de la matriz de controlabilidad rango [ B AB [,5,25 = rango = 2. Vemos qe el sistema es controlable y, para calqier x(), existe na entrada qe transfiera al sistema de x() a s posición de eqilibrio en 2 segndos. Calclamos la matriz 2 ([ [ e,5τ,5 [,5 [ ) e W c (2) =,5τ e τ e τ dτ [,262,367 =.,367,498 Así la ferza 2 (t) = [,5 [ [ [ e,5(2 t) e e (2 t) Wc (2) e 2 = 58,82e,5t + 27,96e t para t [, 2 lleva al estado del sistema de x() = [, T a [, T en 2 segndos, como se ve en la Figra 6.3. Si recalclamos la ferza necesaria para transferir el estado de x al eqilibrio pero ahora en 4 segndos, obtenemos [,2454,3325 W c (4) =,3325, (t) = 3,8e,5t +,69e t (6.2) Notar qe el control qe hace la misma tranferencia pero en n tiempo mayor es significativamente más peqeño (sa menos energía). Cál será la ferza necesaria si t? Ejemplo 6.4. Consideramos de nevo el sistema plataforma de la Figra 6.2, pero esta vez asmiendo qe las constantes de los resortes y los coeficientes de fricción viscosa son todos igales a. La ecación de estados del sistema deviene Esta vez tenemos qe ẋ = [ rango C = rango + [. [ = y el sistema no es controlable. Si x () = x 2 () no existe entrada qe peda transferir el sistema a cero en tiempo finito.

7 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT Figra 6.3: Actación y Variación de los Estados Tests PBH de controlabilidad Los tests de Popov-Belevitch-Hats (PBH) no son tan comnes como los presentados en el Teorema 6., pero tienen interpretaciones geométricas interesantes y nos van a servir para analizar controlabilidad en forma de Jordan. Hay dos tipos de tests PBH, de atovectores, y de rango. Lema 6. (Test PBH de atovectores). El par (A, B) es no controlable si y sólo si existe n atovector izqierdo v R n de A, tal qe Demostración. vb =. ( ) Spongamos qe existe n atovector izqierdo v de A, va = λv, (6.3) tal qe vb =. Mltiplicando por derecha ambos lados de (6.3) por B obtenemos vab = λvb =. Mltiplicando por derecha ambos lados de (6.3) por AB obtenemos va 2 B = λvab = λ 2 vb =. Así, mltiplicando (6.3) por A 2 B, A 3 B,..., segimos la secencia hasta mostrar qe vc = v [ B AB A n B =, qe implica qe el rango fila de la matriz de controlabilidad es menor qe n, rango C < n. Por el Teorema 6., el par (A, B) es no controlable. ( ) Ejercicio.

8 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-98 Lema 6.2 (Test PBH de rango). El par (A, B) es controlable si y sólo si Demostración. rango [ si A B = n para todo s. ( ) Si rango[si A B = n para todo s, no pede existir ningún vector no nlo v tal qe v[si A B = [v(si A) vb =. Por lo tanto, no pede haber ningún vector qe cmpla simltáneamente vs = va y vb =. Por el test PBH de atovectores, el sistema es controlable. ( ) Ejercicio Controlabilidad y transformaciones de semejanza Teorema 6.2 (Invariancia de la controlabilidad respecto a cambio de coordenadas). La controlabilidad es na propiedad invariante con respecto a transformaciones de eqivalencia (cambios de coordenadas). Demostración. Consideremos el par (A, B) con matriz de controlabilidad C = [ B AB A n B y s par eqivalente (Ā, B), donde Ā = PAP y B = PB, y P es na matriz no singlar. La matriz de controlabilidad del par (Ā, B) es C = [ B Ā B Ā n B = [ PB PAP PB PA n P PB = P [ B AB A n B = PC. Como P es no singlar, tenemos qe rango C = rango C Observabilidad Definiciones y tests fndamentales El concepto de observabilidad es dal al de controlabilidad, e investiga la posibilidad de estimar el estado del sistema a partir del conocimiento de la salida. Consideramos el sistema lineal estacionario ẋ = Ax + B y = Cx + D A R n n, B R n p, C R q n, D R q p. (6.4) Definición 6.2 (Observabilidad). La ecación de estado (6.4) es observable si para calqier estado inicial x() (desconocido), existe n tiempo finito t tal qe el conocimiento de la entrada y la salida y sobre el intervalo [, t es sficiente para determinar en forma única el estado inicial x(). En caso contrario el sistema no observable.

9 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-99 Ejemplo 6.5 (Sistemas no observables). En el circito de la izqierda en la Figra 6.4, si la entrada es nla, la salida es idénticamente nla para calqier tensión en el capacitor, debido a la simetría de las resistencias. Sabemos qe la entrada y la salida son ambas nlas, pero la tensión inicial en el capacitor (el estado) pede no serlo y no podemos determinarla. Este sistema es no observable. Ω 2Ω H Ω Ω x F x x 2 y Ω Ω Ω x H 2Ω x F Ω x 2 y Figra 6.4: Sistemas eléctricos no observables El circito de la derecha en la Figra 6.4 tiene dos variables de estado, la corriente por la indctancia, x, y la tensión en el capacitor x 2. La entrada es na fente de corriente. Si = y la tensión inicial en el capacitor es nla, x 2 () =, la salida es nla independientemente de la corriente en la indctancia, qe no necesariamente es nla. El estado inicial x () no pede ser determinado del conocimiento de e y, y el sistema es no observable. Dado n estado inicial x() y na entrada (t), la salida del sistema está dada por la fórmla t y(t) = Ce At x() + C e A(t τ) B(τ)dτ + D(t). (6.5) Para estdiar observabilidad, la salida del sistema y(t) y la entrada (t) se sponen conocidas, siendo el estado inicial x() la única incógnita. Así, de (6.5) podemos escribir Ce At x() = ȳ(t) y(t) C t donde la variable ȳ(t) es na fnción conocida. e A(t τ) B(τ)dτ + D(t), (6.6) Observación para n tiempo fijo Cómo resolvemos (6.6) para obtener x() de ȳ(t)? Para n tiempo t fijo, Ce At es na matrix q n real y constante, e ȳ(t) n vector q constante. Por s definición, ȳ(t) está siempre en la imagen de Ce At, por lo qe siempre existe na solción x(). La cestión es si existe na solción única. En general, dado qe hay menos variables medibles qe el número de estados del sistema, tenemos qe q < n. En este caso la matriz Ce At tiene rango a lo smo q, y por lo tanto tiene n espacio nlo no trivial. En consecencia, según los resltados de 3.3, si q < n la solción no es única, y no podemos hallar n único valor x() de (6.6) para n t fijo dado. Para poder determinar x() en forma única de (6.6) es necesario tilizar el conocimiento de y(t) y (t) sobre n intervalo de tiempo de longitd no nla, como mostramos en el sigiente teorema.

10 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2 - Teorema 6.3 (Test W o de observabilidad). La ecación de estados (6.4) es observable si y sólo si la matriz W o (t) R n n es no singlar para todo t >. W o (t) = t e ATτ C T Ce Aτ dτ (6.7) Demostración. Mltiplicamos por izqierda ambos lados de (6.6) por e ATt C T y lego integramos sobre [, t, lo qe da ( t ) t e ATt C T Ce At dt x() = e ATt C T ȳ(t)dt. Si W o (t ) es no singlar, entonces t x() = Wo (t ) e ATt C T ȳ(t)dt, (6.8) qe da na única solción x(). Así hemos mostrado qe si W o (t) es no singlar entonces el sistema es observable. Para mostrar la reversa spongamos qe W o (t ) es singlar. Por s definición, W o (t ) es semi-definida positiva, o sea qe existe n vector constante v R n tal qe v T W o (t )v = = t t Pero, por la propiedad de la norma, esto implica qe v T e ATt C T Ce At vdt Ce At v 2 dt =. Ce At v, para todo t [, t. (6.9) Si (t) entonces, en particlar, las condiciones iniciales x() = v = y x() = dan ambas la misma salida y(t) = Ce At x() y por lo tanto no peden diferenciarse. Esto mestra qe si W o (t) es singlar el sistema es inobservable, completando la preba del teorema. De la definición de la matriz W o (t) vemos qe la observabilidad sólo depende de las matrices A y C. Así, la observabilidad es na propiedad del par (A, C), e independiente de las matrices B y D. Teorema 6.4 (Dalidad entre controlabilidad y observabilidad). El par (A, C) es observable si y sólo si el par (A T, C T ) es controlable. Demostración. Ejercicio; es inmediata de las definiciones de W c (t) y W o (t). El teorema de dalidad hace inmediata la demostración de tests de observabilidad análogos a los de controlabilidad del Teorema 6.. Teorema 6.5 (Tests de Observabilidad). La sigientes afirmaciones son eqivalentes:. El par (A, C), A R n n, C R q n, es observable.

11 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-2. La matriz de observabilidad, C CA O = CA 2, O Rnq n, (6.2) CA n es de rango n (rango colmna pleno). 3. La matriz n n W o (t) = t es no singlar para todo t >. e ATτ C T Ce Aτ dτ = t e AT (t τ) C T Ce A(t τ) dτ (6.2) Observación a través de diferenciación Una forma alternativa de resolver (6.6) es a través de la diferenciación repetida de ȳ(t) en t = (qe eqivale a la diferenciación repetida de la entrada y la salida). Es fácil verificar qe ȳ() = Cx(), ȳ() = CAx(),..., ȳ (n ) () = CA n x(), por lo qe podemos escribir C ȳ() CA x() = ȳ(), es decir, Ox() = ỹ(). (6.22) CA n ȳ (n ) () Por constrcción, ỹ() está en la imagen de O, y si el sistema es observable, el rango colmna de O es pleno, rango O = n. Entonces, por el Teorema 3.2, existe na solción única del sistema de ecaciones (6.22), dada por x() = [O T O O T ỹ(). (6.23) Notar qe aún segimos necesitando conocimiento de ȳ(t) en n entorno de t = para poder determinar ȳ(),..., ȳ (n ) (). Si bien es factible implementar observación mediante este método de diferenciación, en la práctica no es recomendable, ya qe la medición de y(t) va a inclir casi siempre rido de alta frecencia. La diferenciación de ȳ(t) amplifica el rido, amentando los errores en el cálclo de x(). Por otro lado, como la integración tiene el efecto de filtrar rido de alta frecencia, es mcho mejor implementar el cálclo de x() a través de la fórmla (6.8) Gramiano de observabilidad Si la matriz A es Hrwitz, la integral W o (t) de (6.7) converge para t =. En ese caso notamos simplemente W o (t) = W o, y se llama gramiano de observabilidad. Si el par (A, C) es observable, entonces la matriz de observabilidad O = C CA... CA n

12 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-2 es de rango n. Vimos en el Teorema 5.8 en 5.4 qe esta condición, si la matriz A es Hrwitz, garantiza qe W o es la única solción, y positiva definida, de la ecación W o A + A T W o = C T C. (6.24) Las fnciones MATLAB Ob=obsv(A,C) y Wo=gram(A,C ) calclan respectivamente la matriz de observabilidad O y el gramiano de observabilidad W o. Cheqeando el rango de O o W o determinamos si n sistema es observable Tests PBH de observabilidad La dalidad nos permite también extender los tests PBH al caso de observabilidad. Lema 6.3 (Test PBH de atovectores). El par (A, C) es no observable si y sólo si existe n atovector derecho v R n de A, tal qe Cv =. Lema 6.4 (Test PBH de rango). El par (A, C) es observable si y sólo si [ si A rango = n para todo s. C Observabilidad y transformaciones de semejanza Teorema 6.6 (Invariancia de la observabilidad respecto a cambio de coordenadas). La observabilidad es na propiedad invariante con respecto a transformaciones de eqivalencia (cambios de coordenadas). Ejemplo 6.6 (Controlabilidad y observabilidad de n circito RLC Bay [999). Analizamos controlabilidad y observabilidad del circito RLC de la Figra 6.5. Las ecaciones de estado sando la tensión en el capacitor v c y la corriente en la indctancia i L como variables de estado, la tensión de alimentación v s como entrada, y la tensión sobre la indctancia v x como salida, son [ [ vc 2 RC = i L [vc C + i L L v x = [ [ v C + v i s. L [ RC v s L El sistema es de segndo orden, n = 2, con na entrada y na salida, p = = q. Constrimos la matriz de controlabilidad C, C = [ B AB = [ 2 + RC R 2 C 2 LC L RLC El rango de C pede cheqearse mediante el determinante, det C = det [ 2 + RC R 2 C 2 LC L RLC = R 2 LC R 2 LC 2 L 2 C = R 2 LC 2 L 2 C. (6.25)

13 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-3 R C i L v s v c L v x Figra 6.5: Circito RLC La condición para qe este determinante sea cero es Por otro lado, la matriz de observabilidad O es [ [ C C = =, CA 2 RC R 2 LC 2 C L 2 C =, qe da R = L/C. qe es siempre de rango completo. En conclsión, el sistema es siempre observable, pero pede llegar a ser no controlable si R = L/C. Veamos cómo aparece la posibilidad de pérdida de controlabilidad desde el pnto de vista externo; analizamos la fnción transferencia. La calclamos de (6.25) con la fórmla conocida, Ĝ(s) = C(sI A) B + D = [ [ s + 2 = = L RC C s [ RC + L [ [ s C s(s + 2/RC) + /LC s s + RC LC = ( s + ) RC LC s s + + RC LC = s ( ) s + RC s s + RC LC [ s C [ RC + L L s + 2 RC [ RC + L Calclamos la raíces del polinomio denominador (el polinomio característico de la matriz A) resolviendo la forma cadrática, obteniendo s,2 = RC ± R 2 C 2 LC Vemos qe ambas raíces tienen parte real negativa, por lo qe podemos conclir qe el sistema será asintóticamente (y por ende, BIBO) estable para todo valor de R, L y C. En particlar, si R = L/C (valor de R para el cal el sistema deviene no controlable) tenemos s,2 = RC ± LC LC = RC

14 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-4 es decir, dos raíces igales. Para este valor de R la fnción transferencia qeda Ĝ(s) = s ( ) s + RC s ( ) s + 2 = ( ), s + RC RC qe es ahora n sistema de primer orden. Lo qe scede para este particlar valor de R es qe los elementos almacenadores de energía combinan ss efectos de tal manera qe el sistema se comporta, desde el pnto de vista externo, como n sistema de primer orden. La pérdida de controlabilidad y la cancelación de n par polo-cero en la fnción transferencia para este particlar valor de R no es na coincidencia; como veremos en la sección sigiente, necesariamente debe haber cancelaciones en la fnción transferencia si el sistema es no controlable o no observable Descomposiciones Canónicas En esta sección presentamos formas canónicas de las ecaciones de estado qe descomponen al sistema en ss partes controlables y no controlables y observables y no observables. Estas descomposiciones permiten establecer la relación entre controlabilidad y observabilidad y fnción transferencia, generalizando las observaciones qe hiciéramos en el Ejemplo 6.6. Estas descomposiciones mestran también cándo na realización en espacio de estados es mínima. Consideramos el sistema lineal y estacionario en ecaciones de estado ẋ = Ax + B y = Cx + D donde A R n n, B R n p, C R p n, D R q p. (6.26) Sea ˆx = Px, donde P es na matriz no singlar, P R n n. Entonces la ecación de estados ˆx =  ˆx + ˆB y = Ĉ ˆx + ˆD donde  = PAP, ˆB = PB, Ĉ = CP, ˆD = D, (6.27) es eqivalente a (6.26). Todas las propiedades de (6.26), inclyendo estabilidad, controlabilidad, y observabilidad, se preservan en (6.27). Además, como es fácil comprobar, tenemos qe C ˆ = PC, Ô = OP. El sigiente resltado mestra qe si el sistema (6.26) no es completamente controlable, es posible definir n sistema de orden redcido con igal fnción transferencia (es decir, eqivalente a estado cero) y controlable. Teorema 6.7 (Descomposición controlable/no-controlable). Sea el sistema (6.26) con matriz de controlabilidad C tal qe rango C = rango [ B AB A n B = n < n. Sea la matriz n n de cambio de coordenadas P = [ q q 2... q n... q n

15 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-5 donde las primeras n colmnas son n colmnas linealmente independientes de la matriz C, y las restantes colmnas se eligen arbitrariamente de forma qe P sea no singlar. Entonces la transformación de eqivalencia ˆx = Px o x = P ˆx lleva (6.26) a la forma [ [ [ ˆx C [ÂC  = 2 ˆxC ˆB + C ˆx C ÂC ˆx C y = [ Ĉ C Ĉ C [ ˆx C ˆx C + D, donde  C R n n y  C R (n n ) (n n ) y la ecación de estados de orden n ˆx C =  C ˆx C + ˆB C ŷ = Ĉ C ˆx C + D es controlable y tiene la misma fnción transferencia qe (6.26). (6.28) (6.29) Demostración. Por lo visto en 3.4, la colmna i de  es la representación de Aq i en la base {q,..., q n,..., q n }. Pero los vectores Aq i, para i =, 2,..., n son linealmente dependientes del conjnto {q,..., q n }, y linealmente independientes del conjnto {q n +,..., q n }. Así la matriz  tiene la forma mostrada en (6.28). Las colmnas de ˆB son la representación de las colmnas de B con respecto a {q,..., q n }. Ahora, las colmnas de B dependen solamente del conjnto {q,..., q n }, así qe ˆB tiene la forma dada en (6.28). Si Cˆ es la matriz de controlabilidad de (6.28), entonces rango C = rango C ˆ = n. Es fácil verificar qe [ C ˆ ˆB = C  C ˆB C  n ˆB C C  n C ˆB C [ C ˆ = C  n ˆB C C  n C ˆB C, donde Cˆ C = [ ˆB C  C ˆB C  n C ˆB C es la matriz de controlabilidad de ( C, ˆB C ). Pesto qe las colmnas de  k ˆB C C para k n son linealmente dependientes de las colmnas de Cˆ C, la condición rango C = n implica rango Cˆ C = n. Así, la ecación (6.29) es controlable. Finalmente, mostramos qe (6.29) tiene la misma matriz transferencia qe (6.26), qe es la misma qe la de (6.28), pes (6.26) y (6.28) son algebraicamente eqivalentes. No es difícil verificar qe [ [ si ÂC  2 (si ÂC ) = M s(  C (s( ÂC) donde M = (si  C )  2 (si ÂC). Así, la matriz tranferencia de (6.28) es [ĈC [ [ si  C C  2 ˆB C C + D s( ÂC = [ [ (si  Ĉ C C C ) M C (s(  = Ĉ C (si  C ) ˆB C + D, C) qe no es otra qe la matriz traferencia de (6.29), completando la demostración. [ ˆB C + D

16 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-6 En la transformación de eqivalencia ˆx = Px, el espacio de estados se descompone en dos sbespacios fndamentales: el sbespacio controlable, generado por todos los vectores en ˆx de la forma [ ˆx C, y el sbespacio no controlable, generado por todos los vectores en ˆx de la forma [ ˆx C. Dado qe (6.29) es controlable, la entrada pede transferir el estado ˆx C desde calqier estado inicial a calqier otro estado. Sin embargo, la entrada no pede controlar a ˆx C, porqe, como se ve de (6.28), no afecta a ˆx C nio directamente, ni indeirectamente a través del estado ˆx C. Eliminando los estado no controlables obtenemos na ecación controlable de dimensión menor (n ) qe es eqivalente a estado cero a las ecaciones de estado originales. La descomposición del sistema en s partes controlables y no controlables pede hacerse en MATLAB con la fnción ctrbf(a,b,c). Ejemplo 6.7 (Descomposición de n sistema no controlable). Consideremos el sistema de tercer orden ẋ = x + (6.3) y = [ x Calclamos el rango de la matriz de controlabilidad del sistema, rango C = rango [ B AB A 2 B 2 = rango = 2 < 3, 2 por lo qe (6.3) no es controlable. Elegimos como matriz de cambio de coordenadas las primeras dos colmnas de C, y la restante la elegimos linealmente independiente a estas dos, P = Q. Haciendo ˆx = Px obtenemos el sistema eqivalente. ˆx = x [ y = 2. x y el sistema redcido controlable ˆx = y = [ [ x + 2 x [ (6.3)

17 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-7 El sistema redcido (6.3) tiene la misma matriz transferencia qe (6.3), [ s + 2 Ĝ(s) =. s 2 2s + s En forma dal obtenemos la sigiente descomposición del sistema en ss partes observables y no-observables. Teorema 6.8 (Descomposición observable/no-observable). Sea el sistema (6.26) con matriz de observabilidad O tal qe C CA rango O = rango. = n 2 < n. Sea la matriz n n de cambio de coordenadas CA n p p 2. p n P. = p n2 donde las primeras n 2 filas son n 2 filas linealmente independientes de la matriz O, y las restantes filas se eligen arbitrariamente de forma qe P sea no singlar. Entonces la transformación de eqivalencia ˆx = Px o x = P ˆx lleva (6.26) a la forma [ [ [ ˆx O ÂO ˆxO = + ˆx Ō  2  Ō ˆx C y = [ Ĉ O [ ˆx O + D, ˆx Ō [ ˆB O donde  O R n 2 n 2 y ÂO R (n n 2) (n n 2 ) y la ecación de estados de orden n 2 ˆx O =  O ˆx O + ˆB O ŷ = Ĉ O ˆx O + D es observable y tiene la misma fnción transferencia qe (6.26). (6.32) (6.33) En la transformación ˆx = Px el espacio de estados de orden n se divide en dos sbespacios. El sbespacio observable, de orden n 2, consiste de todos los vectores de la forma [ ˆxO ; el otro sbespacio, de orden n n 2, es el sbsepacio inobservable, qe consiste de todos los vectores de la forma [. ˆx Ō El estado ˆx O pede detectarse desde la salida, pero no así el ˆx Ō, como pede verse en (6.32). Eliminando los estados inobservables obtenemos el sistema (6.33) de orden n 2, qe es eqivalente a estado cero al original (tiene la misma fnción transferencia).

18 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-8 Teorema 6.9 (Descomposición de Kalman). Toda ecación en variable de estados (6.26) pede llevarse, mediante na transformación de eqivalencia, a la forma canónica donde ˆx CO  CO  3 ˆx CŌ ˆx CO =  2  CŌ  23  24 ÂCO ˆx ˆx CŌ  43 ÂCŌ y = [ Ĉ CO ĈCO ˆx + D, ˆx CO ˆx CŌ CO ˆx CŌ + ˆB CO ˆB CŌ (6.34) ˆx CO : ˆx CŌ : ˆx CŌ : ˆx CŌ : estados controlables y observables estados controlables pero no observables estados no controlables pero observables estados no controlables ni observables. Además, la ecación de estados (6.26) es eqivalente a estado cero a la ecación controlable y observable ˆx CO =  CO ˆx CO + ˆB CO ŷ = Ĉ CO ˆx CO + D (6.35) y tiene la matriz transferencia Ĝ(s) = Ĉ CO (si  CO ) ˆB CO + D. y Figra 6.6: Descomposición de Kalman Este teorema pede ilstrarse gráficamente como se mestra en la Figra 6.6. La ecación (6.26) se descompone primero sando el Teorema 6.7 en ss partes controlables y no controlables. Lego descomponemos cada sbecación obtenida sando el Teorema 6.8 en ss partes observables y no observables.

19 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-9 Vemos en la Figra 6.6 qe sólo la parte controlable y observable del sistema está conectada tanto a las entradas como a las salidas. Ésta es la única parte del sistema qe determina la matriz transferencia, lo qe mestra la razón de por qé la representación en matriz tranferencia (externa) no es necesariamente eqivalente a la representación en espacio de estados (interna). Los atovalores de las sbmatrices  CŌ, ÂCO, ÂCŌ no aparecerán como polos de la matriz transferencia. El sistema (6.35), tomado como realización de la matriz transferencia del sistema, es na realización mínima, pesto qe no pede obtenerse otra realización de orden menor con la misma matriz tranferencia. Toda realización mínima es controlable y observable y del mismo orden. En MATLAB pede calclarse con la fnción minreal. Ejemplo 6.8. Tomemos el circito de la Figra 6.7. El circito tiene catro almacenadores de energía, por lo qe podemos esperar na realización en ecaciones de estados de orden 4. Analicemos primero el sistema desde el pnto de vista físico. Dado qe la entrada es na fente de corriente, respestas debidas a condiciones iniciales en L o C no aparecerán a la salida, por lo qe las variables de estado asociadas x y x 2 serán no observables (no podemos determinar ss condiciones iniciales a partir de observación de la entrada y la salida). De la forma similar, la variable de estado asociada a L 2 será no controlable. Debido x 2 L R C x L 2 Ω C 2 2 Ω x x 3 Ω Ω + y - Figra 6.7: Circito no controlable ni observable a la simetría de los resistores de Ω en el pente, la variable de estado asociada al capacitor C 2 no será ni controlable ni observable. Como vemos, la tensión de salida se redce a y = 2(/2) =. La fnción transferencia del sistema es entonces na ganancia estática ĝ(s) =. Veamos ahora al circito analizando ss ecaciones de estado. Asignando las variables de estado como se indicó, el circito pede describirse por,5 ẋ =,5 y = [ x + x + Pesto qe la ecación ya se encentra en la forma canónica (6.28), el sistema pede red-,5

20 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2 - cirse a la realización controlable ẋ C = [,5 x C + y = [ x C +. [,5 La salida es independiente de x C ; así la ecación pede redcirse a y =, qe coincide con lo qe ya habíamos visto en el análisis físico del circito Condiciones en Ecaciones en Forma Modal La controlabilidad y la observabilidad son invariantes respecto a transformaciones de eqivalencia. En particlar, si transformamos el sistema a s forma canónica modal, es decir, aqella en la qe la matriz  está en s forma de Jordan, las condiciones para cheqear controlabilidad y observabilidad se velven bastante simples. Consideremos las ecaciones de estado ẋ = Jx + B y = Cx, (6.36) donde la matriz J está en forma de Jordan. Para simplificar la formlación del resltado, spongamos qe J tiene sólo dos atovalores distintos, λ y λ 2, y qe pede escribirse en la forma J [ J J 2 J = = J 2 J 3 [ J2, (6.37) J 22 donde las matrices J, J 2 y J 3 son tres bloqes de Jordan asociados al atovalor λ, y las matrices J 2 y J 22 son dos bloqes de Jordan asociados al atovalor λ 2. Notación: Denotamos la fila de B correspondiente a la última fila de J i j como b i j, y la colmna de C correspondiente a la primera colmna de J i j como c pi j. Teorema 6. (Descomposición en forma modal).. La ecación de estados (6.36) es controlable si y sólo si los tres vectores fila {b, b 2, b 3 } son linealmente independientes y los dos vectores fila {b 2, b 22 } son linealmente independientes. 2. La ecación de estados (6.36) es observable si y sólo si los tres vectores colmna {c, c p2, c p3 } son linealmente independientes y los dos vectores colmna {c p2, c p22 } son linealmente independientes.

21 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2 - Antes de probar el Teorema 6., disctimos ss implicaciones y lo ilstramos con n ejemplo. Si na ecación de estados está en forma canónica modal, entonces la controlabilidad de las variables de estado asociadas a n mismo atovalor peden cheqearse por separado de las demás variables de estado, asociadas a otros atovalores. La controlabilidad de variables de estado asociadas a n mismo atovalor dependen solamente de las filas de la matriz B correspondientes a las últimas filas de los bloqes de Jordan asociados a ese atovalor. Todas las demás filas de B son irrelevantes a la controlabilidad de esos modos. De forma similar, esta observación se aplica a la observabilidad de los estados asociados a n mismo atovalor, con la salvedad de qe son las colmnas de C correspondientes a las primeras colmnas de los bloqes de Jordan asociados al atovalor. Ilstramos con n ejemplo. Ejemplo 6.9 (Descomposición en forma modal). Sea el sistema en forma canónica modal [ λ [ λ [ [λ [ ẋ = [λ x + λ λ 2 [ (6.38) λ y = 2 x La matriz J tiene dos atovalores distintos, λ y λ2. El atovalor λ tiene tres bloqes de Jordan asociados, de órdenes 2,,. Las filas de B correspondientes a las últimas filas de estos bloqes son [, [, [. Las tres filas son linealmente independientes. Asociado con λ 2 hay sólo n bloqe de Jordan, de orden 3. La fila de B correspondiente a la última fila del bloqe es [, qe es no nlo, y por lo tanto linealmente independiente (la única forma qe n conjnto de n solo vector sea linealmente dependiente es qe sea nlo). Por el Teorema 6. conclimos qe el sistema es controlable. Las condiciones de observabilidad para (6.38) son qe las tres colmnas, 2, sean linealmente independientes, qe lo son, y qe la colmna sea linealmente independiente, qe no lo es. Conclimos qe el sistema (en particlar el último modo λ 2 ) no es observable.

22 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-2 Vamos a dar na idea de la demostración del Teorema 6. sobre el sistema (6.38) del ejemplo anterior. Antes de ir a la demostración, veamos qé forma tiene el diagrama de bloqes del sistema (6.38). Por la simplicidad de los bloqes de Jordan, la inversa (si J) en (6.38) pede escribirse directamente (la antitransformada Laplace de e Jt ) como (si J) = [ s λ (s λ ) 2 s λ s λ s λ s λ 2 (s λ 2 ) 2 (s λ 2 ) 3 s λ 2 (s λ 2 ) 2 s λ 2. (6.39) Usando (6.39) podemos dibjar el diagrama de bloqes de la Figra 6.8. Cada cadena de bloqes corresponde a n bloqe en (6.39); como hay catro bloqes de Jordan, tenemos catro cadenas en el diagrama de bloqes de la Figra 6.8. b b 2 b c s λ x s λ x 2 y s λ c p2 y x c p y b 3 s λ x 3 c p3 b 22 b 2 y b 2 x 2 x 22 x 2 s λ 2 s λ 2 s λ 2 c p2 y y c 2 c 22 y Figra 6.8: Diagrama de Bloqes pede asignarse como variable de estados, como mostra- La salida de cada bloqe mos en la Figra 6.9. s λ i

23 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-3 s λ i x ẋ s x λ i Figra 6.9: Estrctra interna de λ i Consideremos la última cadena de la Figra 6.8. Si b 2 =, la variable de estados x 2 no está conectada a la entrada y por lo tanto no es controlable, independientemente de los valores de b 22 y b 2. Por otro lado, si b 2 =, entonces todas las variables de estado en la cadena son controlables. Si hay dos o más cadenas asociadas con el mismo atovalor, entonces reqerimos la independencia lineal de los primeros vectores ganancia de esas cadenas. Las cadenas asociadas a distintos atovalores se peden cheqear por separado. Las mismas observaciones se aplican a la observabilidad, excepto qe son los vectores colmna c pi j los qe jegan el rol de los vectores fila b i j. Idea de la demostración del Teorema 6.. Mostramos el resltado sobre el sistema (6.38) sando el Test PBH de rango 6.2, qe dice qe (A, B) es controlable sii la matriz [si AB tiene rango pleno para cada atovalor de A. O sea qe tenemos [ si J B = [ s λ s λ s λ s λ s λ 2 s λ 2 s λ 2 (6.4) La matriz J tiene dos atovalores distintos, λ y λ 2, con tres y n bloqes de Jordan asociados. Evalando s = λ obtenemos b b [ λ I J B b 2 = b 3 λ λ 2 b 2 λ λ 2 b 22 λ λ 2 b 2 b b b 2 b 3 b 2 b 22 b 2. (6.4) El rango de la matriz no cambia por operaciones elementales entre colmnas o filas. Smamos el prodcto de la segnda colmna de (6.4) por b a la última colmna de la matriz,

24 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-4 qe da b b 2 b 3. λ λ 2 b 2 λ λ 2 b 22 λ λ 2 b 2 Como λ y λ 2 son distintos, λ λ 2 =. Smamos el prodcto de la séptima colmna por b 2 /(λ λ 2 ) a la última colmna. En forma similar, samos la sexta, y lego la qinta colmna para cerear los tres últimos elementos de la última colmna, obteniendo b b 2 b 3. (6.42) λ λ 2 λ λ 2 λ λ 2 Es claro de (6.42) qe la matriz tiene rango pleno sii las filas b, b 2 y b 3 son linealmente independientes. Procediendo de igal forma para cada atovalor distinto podemos demostrar el teorema. Ejemplo 6.. Consideremos las ecaciones de estado en forma modal ẋ = x y = [ 2 x. Hay dos bloqes de Jordan, no de orden 3 asociado al atovalor, y otro de orden asociado al atovalor 2. La entrada de B correspondiente a la última fila del primer bloqe de Jordan es ; la ecación de estado no es controlable. Las dos entradas de C correspondientes a las primeras colmnas de los dos bloqes de Jordan son no nlas; el sistema es observable Ecaciones de Estado Discretas Los conceptos y tests de controlabilidad y observabilidad para sistemas en tiempo discreto son análogos a los de tiempo contino. Existen sin embargo dos diferencias importantes:. Si n sistema en tiempo contino es controlable, existe na entrada qe transfiere el estado del sistema entre dos estados calesqiera en n intervalo de tiempo finito arbitrario, no importa can peqeño este intervalo de tiempo sea. En el caso de tiempo discreto, este intervalo de tiempo no es arbitrario; existe n tiempo mínimo µ, tal qe toda transferencia de estados debe necesariamente hacerse en n tiempo mayor o igal a µ.

25 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT Para sistemas en tiempo contino, si se pede llevar el estado al origen desde calqier otro estado, siempre se pede hacer lo contrario: llevar el estado desde el origen a calqier otro estado. En sistemas discretos esto no se cmple si la matriz A es singlar. Volveremos estas dos diferencias con n poco más de detalle en n momento. Resmimos primero las definiciones y principales tests de controlabilidad y observabilidad para sistemas en tiempo discreto. Consideramos el sistema con A R n n, B R n p y C R q n. x[k + = Ax[k + B[k y[k = Cx[k, (6.43) Definición 6.3 (Controlabilidad de sistemas en tiempo discreto). La ecación de estados en tiempo discreto (6.43), o el par (A, B), se dice controlable si para calqier estado inicial x[ = x R n y calqier estado final x R n, existe na secencia de entrada de lon gitd finita qe transfiere el estado x de x a x. En caso contrario, la ecación (6.), o el par (A, B), se dice no controlable. Teorema 6. (Tests de Controlabilidad). La sigientes afirmaciones son eqivalentes:. El par (A, B), A R n n, B R n p, es controlable. 2. La matriz de controlabilidad, es de rango n (rango fila pleno). C = [ B AB A 2 B A n B, C R n np, (6.44) 3. La matriz n n es no singlar. W dc [n = n (A) m BB T (A T ) m (6.45) m= 4. La matriz [A λi B R n (n+p) tiene rango fila pleno para cada atovalor λ de A. Definición 6.4 (Observabilidad de sistemas en tiempo discreto). La ecación de estado (6.43) es observable si para calqier estado inicial x[ (desconocido), existe número entero k > tal qe el conocimiento de la entrada y la salida y desde k = a k es sficiente para determinar en forma única el estado inicial x[. En caso contrario el sistema no observable. Teorema 6.2 (Tests de Observabilidad). La sigientes afirmaciones son eqivalentes:. El par (A, C), A R n n, C R q n, es observable. 2. La matriz de observabilidad, es de rango n (rango colmna pleno). C CA O = CA 2, O Rnq n, (6.46) CA n

26 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT La matriz n n es no singlar. W do [n = n (A T ) m C T C(A) m (6.47) m= 4. La matriz [ A λi C R(n+q) n tiene rango colmna pleno para cada atovalor λ de A Índices de Controlabilidad y Observabilidad Sean A R n n y B R [ n p tales qe el par (A, B) es controlable. En consecencia, la matriz C = [B AB... A n B tiene rango n. Claramente, sobran colmnas en C, ya qe hay np; esto se debe a qe hay más de na entrada y por lo tanto B tiene p colmnas. Srge entonces la cestión de si todas las colmnas de B son necesarias, o bien, si todas aportan a la controlabilidad del sistema. Esta cestión nos lleva al concepto de índices de controlabilidad, qe en el caso de tiempo discreto tiene na interpretación física importante. Para introdcir los índices de controlabilidad del par (A, B), veamos na forma eficiente y natral de seleccionar n colmnas linealmente independientes de la matriz C. Si B = [b b 2... b p, escribimos C en forma explícita como C = [b b p. Ab Ab p.. A n b A n b p Bsqemos colmnas LI en C de izqierda a derecha. Por constrcción, si drante la búsqeda A i b m resltara LD de las colmnas a s izqierda, todas las colmnas asociadas a b m qe sigen en C (o sea, A i+ b m, A i+2 b m, etc.) serán también LD de las colmnas de C ya seleccionadas. Sea µ m el número de colmnas LI en C aportadas por la colmna b m de B; es decir, las colmnas b m, Ab m,..., A µ m b m son LI en C y A µ m+i b m es LD para i =,,... Si C tiene rango n, necesariamente debe cmplirse qe µ + µ µ p = n. Definición 6.5 (Índices de Controlabilidad). Los números {µ, µ 2,..., µ p } son los índices de controlabilidad asociados al par (A, B). El número µ = máx(µ, µ 2,..., µ p ) es el índice de controlabilidad asociado al par (A, B). No es difícil comprobar qe los índices de controlabilidad son invariantes frente a reordenamientos de las colmnas de B o frente a cambios de coordenadas. Para sistemas en tiempo discreto, el índice de controlabilidad µ representa el tiempo mínimo en qe se pede realizar calqier transferencia de estados en n sistema controlable. No es posible transferir calqier estado a otro con na secencia de control de longitd menor a µ. Una definición dal, los índices de observabilidad, ν, ν 2,..., ν q, srge de seleccionar las colmnas LI en la matriz de observabilidad O asociadas a las filas de C. Sea ν m el número de filas LI en O asociadas a la fila c m de C. Se cmple qe ν + ν ν q = n.

27 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-7 Definición 6.6 (Índices de Observabilidad). Los números {ν, ν 2,..., ν q } son los índices de observabilidad asociados al par (A, C). El número ν = máx(ν, ν 2,..., ν q ) es el índice de observabilidad asociado al par (A, C). Como pede esperarse, los índices de observabilidad son también invariantes respecto a reordenamientos de las filas de C y respecto a cambio de coordenadas. En sistemas discretos, el índice de observabilidad ν asociado al par (A, C) representa la longitd más corta de secencias de entradas y salidas necesarias para determinar en forma nívoca el estado inicial del sistema. Los tests de controlabilidad y observabilidad en formas canónicas y modal de sistemas en tiempo discreto son exactamente igales a los de sistemas en tiempo contino Controlabilidad al Origen y Alcanzabilidad Existen en realidad tres definiciones aceptadas para controlabilidad, asociadas con la posibilidad de. tranferir calqier estado a calqier estado (la qe hemos presentado) 2. tranferir calqier estado al origen, llamada controlabilidad al origen, y 3. tranferir el estado desde el origen a calqier estado, llamada controlabilidad desde el origen, o alcanzabilidad. Para sistemas lineales, estacionarios, y en tiempo contino, las tres definiciones son eqivalentes por eso vimos sólo la primera. Para sistemas lineales, estacionarios, y en tiempo discreto, si la matriz A es no singlar, de nevo, las tres definiciones son eqivalentes. sin embargo, si A es singlar, el sistema pede ser no controlable según, pero controlable según 2. Por ejemplo, tomemos el sistema x[k + = [ 2 x[k + [ [k. (6.48) La matriz de controlabilidad C = [ 2 tiene rango, por lo qe (6.48) es no controlable. Sin embargo, para calqier x[ = [ α β, la entrada [ = 2α + β transfiere x[ a x[ =, en n paso. Notar qe A en (6.48) es singlar Controlabilidad, Observabilidad y Mestreo La mayoría de los sistemas de control se implementan en forma digital, para lo cal casi siempre se necesita disponer de n modelo en tiempo discreto del sistema. En vimos na forma de obtener n modelo en EE discreto exacto en los instantes de mestreo.

28 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-8 Cabe entonces pregntarse si las propiedades de controlabilidad y observabilidad se conservarán en el modelo discretizado. En esta sección vemos na condición sficiente para qe esto sceda. Sea el sistema en tiempo contino ẋ(t) = Ax(t) + B(t) y(t) = Cx(t). (6.49) Si la entrada es seccionalmente constante a intervalos reglares T, (t) = (kt) [k, para t [kt, (k + )T), entonces, como vimos en 4.2.2, el estado en el instante (k + )T pede expresarse como x[k + x((k + )T) = A d x[k + B d [k, y[k = Cx[k (6.5) donde A d e AT, ( T B d ) e Aτ dτ B. (6.5) Si el sistema en tiempo contino (6.49) es controlable (observable), la controlabilidad (observabilidad) del sistema discretizado (6.5), (6.5)depende del período de mestreo T y de los atovalores λ i de la matriz A. Teorema 6.3 (Mestreo no patológico). Spongamos qe el sistema (6.49) es controlable (observable). El sistema discretizado (6.5), (6.5) con período de mestreo T es controlable (observable) si, dados dos atovalores calesqiera λ i, λ j de A tales qe Re[λ i λ j =, se satisface la condición de mestreo no patológico Im[λ i λ j = 2πm, con m =, 2,.... (6.52) T Si el sistema (6.49) es de na entrada, la condición (6.52) es también necesaria para controlabilidad (observabilidad) del sistema (6.5), (6.5). El teorema da na condición sficiente para garantizar qe el sistema discretizado sea controlable (observable) si el contino lo es. Esta condición sólo afecta a atovalores complejos conjgados de A; si A sólo tiene atovalores reales, entonces el sistema discretizado es siempre controlable (observable) para todo T > si el sistema contino lo es. Si A tiene atovalores complejos conjgados α ± jβ, entonces si el período de mestreo T es tal qe no sea múltiplo de π/β, el sistema discreto es controlable (observable) si el contino lo es. Si T = mπ/β para algún entero m, entonces el sistema discreto pede no ser controlable (observable). Ejemplo 6.. Consideremos el sistema de na entrada ẋ(t) = Ax(t) + B(t) y spongamos qe la matriz C = [B AB... A n B es invertible (o sea, el sistema es controlable). La condición de controlabilidad para el sistema discretizado es qe la matriz T T T e Aτ dτb e AT e Aτ (n )AT dτb e e Aτ dτb C d = } {{ } } {{ } } {{ } (6.53) A d B d B d A n d B d

29 6. Controlabilidad y Observabilidad Notas de CAUT2-9 sea invertible. Es claro qe si existieran dos números enteros q y r tales qe e qat = e rat, entonces (6.53) no podrá ser invertible. Por ejemplo, tomemos [ [ ẋ(t) = x(t) + (t). Obtenemos el sistema discreto [ cos T sen T x[k + = sen T cos T x[k + [ cos T sen T. (6.54) Pede comprobarse fácilmente qe si T = mπ, con m =, 2,..., entonces el sistema discreto (6.54) será no controlable. si agregamos la salida y(t) = [ x(t), para los mismos valores de T se pierde observabilidad en el sistema discretizado. Ejemplo 6.2. Consideremos el sistema hidrálico de la Figra 6.. Es obvio qe (t) no pede afectar a x 2 (t), por lo qe es intitivamente evidente qe el sistema es no controlable. Un modelo en EE linealizado de este sistema, con parámetros nitarios [Rgh, 995, t x t x 2 t y t Figra 6.: Sistema de tanqes desconectados Ejemplo 6.8, es ẋ(t) = y(t) = [ [ x(t) + x(t) [ (t) y mestra qe es no controlable (está en forma canónica modal). Ejemplo 6.3. El sistema hidrálico de la Figra 6. no es tan obvio como el de la Figra 6., anqe pede verse qe x (t) y x 3 (t) no peden ser afectadas en forma independiente por (t). La ecación de estados linealizada, con parámetros nitarios, es y da la matriz de controlabilidad ẋ(t) = 3 y(t) = [ x(t) 4 C = 3 4 x(t) + (t)