Espacio de fases molecular. Distribución de velocidades de Maxwell. Velocidad de efusión por una abertura.

Transcripción

1 Tema TEORÍA CINÉTICA DE UN GAS DILUIDO Y FENÓMENOS DE TRANSPORTE Colisioes biarias. Recorrido libre medio. Espacio de fases molecular. Distribució de elocidades de Maxwell. Velocidad de efusió por ua abertura. Feómeos de trasporte de los gases: iscosidad y coductiidad térmica. El problema del camio aleatorio y el moimieto browiao. Ecuació de trasporte de Boltzma. El Teorema H de Boltzma. [HUA-,4,5; REI-,7,,; AGU-4,5,6,7; KUB-6]

2 Itroducció. Gas diluido. Desequilibrio. Colisioes

3 Itroducció. Hemos tratado situacioes de equilibrio, pero cómo se llega a él? Situacioes de desequilibrio: U río T T > T T Q metal E u sólido: -gas diluido de electroes -ibracioes de la red (fooes) -odas de mometo magético (magoes) Complicado Gas clásico diluido

4 Gas e situació de desequilibrio: - Se llega al equilibrio mediate choques etre las moléculas - E equilibrio tedremos la distribució de elocidades de Maxwell Si cosideramos u gas diluido: - Desidad baja: las moléculas apeas iteraccioa, tiempo etre choques >> tiempo chocado - La probabilidad de choques etre más de dos partículas es despreciable - La logitud de oda de de Broglie de las moléculas es mucho meor que la separació media etre ellas: trayectorias clásicas 4

5 Diferecia etre situció de equilibrio y estacioaria: Sistema aislado e equilibrio: iguo de sus parámetros aría e el tiempo Sistema estacioario: el sistema o está aislado, pero sus parámetros o aría e el tiempo. Hay que cosiderar el etoro: T T > T T Q Situació estacioaria: Hay u gradiete de T e la barra. Pero si los focos so fiitos, acabaremos teiedo T T barra 5

6 Estudiaremos procesos de trasporte e el gas diluído: Trasporte de: - Mometo: Viscosidad - Eergía: Coductiidad térmica - Materia: Difusió Cosideraremos: - elocidad de las moléculas - tiempo etre colisioes - distacia etre colisioes - úmero de colisioes Coceptos: - tiempo de colisió, τ - recorrido libre medio, λ - secció eficaz de dispersió, σ 6

7 Recorrido libre medio: Distacia media etre colisioes m Recorrido libre medio tiempo medio etre colisioes elocidad media Volume barrido por ua molécula hasta que se ecuetra co otra: Secció eficaz de dispersió: σ π D π D λ Recorrido libre medio : λ π D σ 7

8 Difusió: moimieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració El flujo de moléculas a traés de u area A es proporcioal al gradiete de desidad. (ley de Fick) Coeficiete de difusió, D {m /s} 8

9 Coductiidad térmica: trasferecia de eergía e forma de calor debido a u gradiete de temperatura Frio Flujo de calor Caliete El flujo de eergía a traés de u area A es proporcioal al gradiete de temperatura. (ley de Fourier) Coductiidad térmica, K {W m - K - } C : calor específico 9

10 Viscosidad: trasporte de mometo (mometo X, trasportado a lo largo de la direcció Y) Pared e moimieto Si ua superficie se muee respecto a otra, habrá u gradiete de elocidad. Esto produce ua fuerza de arrastre sobre cada superficie. Y X Pared fija Coeficiete de iscosidad: {N m - s - } (CGS: poise)

11 Espacio de fases molecular. Distribució de elocidades de Maxwell. Velocidad de efusió por ua abertura.

12 El modelo simplificado de u gas Partículas iguales, esféricas, macizas y de masa m. Las partículas o ejerce fuerzas a distacia. Las paredes del recipiete so perfectas. Todos los choques so elásticos. No soporta igú campo de fuerzas. N A El espacio que ocupa es isótropo. 6, moléculas mol El olume que ocupa es muy grade, de maera que las distacias etre partículas so muy grades frete a su tamaño. Cumple el límite termodiámico, o sea, que siedo N y V, su desidad de partículas se matiee fiita: N V fiito

13 El espacio de fases molecular. Fució de distribució El estado mecáico de cada partícula se defie por su posició y su elocidad: r( x, y,z ) y ( x, y, z ) El espacio de cofiguració, o de fases, tiee seis dimesioes y cada puto represeta el estado de ua partícula.

14 El espacio de fases molecular. Fució de distribució: Es el úmero de partículas por uidad de olume: d r dn dxdydz d d x d y d ( r,, t) f ( r,, t) drd z Segú las hipótesis, la posició, la direcció y el tiempo o so ariables: f ( r,, t) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) x y z Partículas x, y, z Partículas, θ, φ 4

15 El espacio de fases molecular. Fució de distribució Dadas las propiedades de simetría de la fució de partició e el equilibrio: dn dn f d f ( ) d ( ) drd dxdydz θ águlo polar φ águlo azimutal El elemeto de olume e coordeadas esféricas: d seθ d dθ dφ 5

16 El espacio de fases molecular. Fució de distribució cuátas partículas hay e el diferecial de olume del espacio de fases? Partículas, θ y φ aquellas cuyas ariables está etre y + d; θ y θ + dθ y φ y φ + dφ : d ( ) ( ), θ, φ f d seθ dθ dφ Partículas co el módulo de la elocidad etre y +d e cualquier direcció: d ( ) f ( ) d seθ dθ dφ 4π f ( ) d d π o π 6

17 El espacio de fases molecular. Fució de distribució cuátas partículas hay e el diferecial de olume del espacio de fases? cuátas partículas choca co ua pared e el diferecial de tiempo? (todas las que aya hacia la pared y esté a ua distacia { dt} ) El úmero de partículas {, θ, φ} e fució de las que posee u módulo etre y +d: d 4π (, θ, φ ) d se θ dθ dφ Las partículas que está e el olume dv chocará e el tiempo dt. dv da dt cosθ dt dw d partículas e dv (,θ, φ ) dv 7

18 cuátas partículas choca co ua pared e el diferecial de tiempo? Sustituyedo esta expresió: d se 4π (, θ, φ ) d θ dθ dφ d dw se θ cos θ d θ d φ 4π Y ahora itegramos a la semiesfera de elocidades para obteer el úmero de partículas que llega a da e dt: da dt dw da dt π / π d se cos d 4 θ θ θ π dφ 4 Siedo su elocidad media: d d correspode a la distribució de Maxwell-Boltzma si el sistema está e equilibrio d ( ) f ( ) d seθ dθ dφ 4π f ( ) d d π o π 8

19 cuátas partículas choca co ua pared e el diferecial de tiempo? cuátas partículas atraiesa da e dt? FLUJO FLUJO Φ ( ) d º moléculas por uidad de olume f f ( ) d ( ) d seθ dθ dφ X Volume del cilidro da dt cosθ Φ π f ( ) d 4π + f ( ) d Φ Φ 4 P π m k T Recordad el cálculo aproximado: Φ 6 9

20 Distribució de elocidades moleculares de Maxwell-Boltzma.

21 Choques co la pared. Trasferecia de mometo. Presió. El cambio de mometo de la partícula debido a u choque co la pared es: δ ( m ) m cosθ ( m cosθ ) m cosθ se θ cosθ θ θ da se φ θ cos θ

22 Choques co la pared. Trasferecia de mometo. Presió. El cambio total de mometo es: δ ( MV) δ ( m) choques df dt (mcosθ ) dw Y podemos obteer la fuerza ejercida e la pared: Que es la presió: m df dt d se θ cos θ dθ dφ da π p df da m π d se θ cos θ d θ d φ dt

23 Choques co la pared. Trasferecia de mometo. Presió. De ueo itegramos a la semiesfera de elocidades para obteer el úmero de partículas que llega a da e dt para obteer la expresió para la presió: p df da m π d π / seθ cos θ dθ. π dφ m d Recordad:

24 Presió. Eergía itera. Capacidad calorífica. Ua ez obteida la presió podemos obteer estas otras magitudes: Temperatura. N R p m < > p T kt kt m< >< Ec > V N A k R,8 JK N A cm < > kt m Eergía itera. U gas ideal sólo acumula eergía ciética. { < > < > } N U U m kt m < > U U N m { < > < > } Nk( T ) T 4

25 5 Capacidad calorífica. A partir de la expresió para la eergía itera se obtiee la capacidad calorífica del gas: R Nk T U C V V ( ) T T N k U U R C c V V

26 Pricipio de equipartició de la eergía Toda ariable mecáica que exprese la eergía e forma de cuadrado cotribuye a la eergía itera como la mitad de la costate de Boltzma por la temperatura absoluta. E x Teoría clásica de los calores molares U x N Sea ua molécula que posee f ariables mecáicas, o grados de libertad, que expresa la eergía e forma de cuadrado. U N f k T f R T kt El calor molar del gas aldrá: U f f c V R T N k 6

27 Ejemplos Eergía ciética de traslació: Eergía ciética de rotació: Eergía ciética de ibració : Eergía potecial de ibració : m x + my + I x ϖ x + Iyϖy + m x + my + k x + k y + m I z m k z z ϖ z z 7

28 8 Calor molar del gas ideal R T U c V V º) Gas mooatómico. R R c T H c p p 5 + º) Gas diatómico. R T U c V V 5 R R c T H c p p 7 + º) Gas poliatómico. Grados de libertad, f 6 ó más, siedo traslacioes y rotacioes: R R 6 T U c V V R R R R c T H c p p 4 + +

29 Modelo del sólido Cristal formado por átomos o moléculas mooatómicas. Ordeados e el espacio. Cada partícula ibra sobre su posició de equilibrio y tiee tres grados de libertad ciéticos y tres poteciales: U 6 cv c p R R T V 9

30 Recorrido libre medio. Tiempo medio etre colisioes. Secció eficaz de dispersió.

31 Colisioes: tiempo de colisió, recorrido libre medio. Sea ua molécula co elocidad. Sea P(t) la probabilidad de que pase u tiempo t si sufrir choques. ω dt ω : : P( ), P( t) si t, P( t ) probabilidad de que ua molécula sufra u choque e el tiempo etre t y t+dt. Probabilidad por uidad de tiempo. Frecuecia de colisió. Es idepediete de la historia pasada. Puede depeder de la elocidad. Permite obteer P(t). P( t + dt ) P( t) ( ω dt ) P dp dt ω P( t + dt ) P( t) + l P ω t + C dp( t) dt dt P( t) C P( ) C exp( ω t) Supodremos que la elocidad o aría (o muy poco) etre choques. La probabilidad es idepediete del tiempo. P( t) exp( ω t)

32 Colisioes: tiempo de colisió, recorrido libre medio. P(t) : probabilidad de que la molécula pase u tiempo t si sufrir choques P( t) exp( ω t) Defiimos: probabilidad de que ua molécula tega u choque e el iteralo [t,t+dt], después de estar u tiempo t si sufrir choques ω P ( t) ω dt ( t) dt ( t) e t ω dt Esta uea probabilidad equiale a: probabilidad de sobreiir t MENOS probabilidad de sobreiir t+dt ( t) P( t) P( t + dt ) dp dt dt Codició de ormalizació: (seguro que la partícula choca e algú mometo) ( t) dt

33 Colisioes: tiempo de colisió, recorrido libre medio. Tiempo de colisió (o de relajació): es el tiempo medio etre choques. τ t t ( t) dt t e ω dt ω t ω Y podemos escribir: ( t) dt e t τ dt τ ω y τ puede depeder de la elocidad Recorrido libre medio: distacia recorrida etre choques. l( ) τ ( ) τ l τ λ

34 Recorrido libre medio: Distacia media etre colisioes m Recorrido libre medio tiempo medio etre colisioes elocidad media Volume barrido por ua molécula hasta que se ecuetra co otra: Secció eficaz de dispersió: σ π D π D λ Recorrido libre medio : λ π D σ 4

35 Colisioes: recorrido libre medio. Secció eficaz de dispersió Ates:, Después:, (Icluye potecial de iteracció) V V Sistema de referecia fijo e : Φ Tras la dispersió, habrá dn partículas de tipo co elocidad etre y +d (e la direcció dω) Ω {θ, φ} σ ( Ω, V ) ( V σ V - R r - r Flujo de partículas tipo que icide e las tipo por uidad de area y de tiempo ) Secció eficaz diferecial de dispersió, es la proporcioalidad etre estas magitudes: dn, Φ y d Ω Secció eficaz total de dispersió: σ dn σ ( Ω, V ) Φ d Ω ( V ) σ ( Ω, V ) d Ω Ω 5

36 Colisioes: recorrido libre medio. Cuál es la probabilidad de choque por uidad de tiempo? Flujo de partículas tipo que icide sobre el diferecial de olume: Φ ( V dt da ) dt da V Número de partículas tipo dispersadas por uidad de tiempo e todas las direccioes, por todas las moléculas que haya e d r: ( V σ ) ( d r ) La probabilidad de choque por uidad de tiempo para ua molécula se obtiee diidiedo por el úmero de moléculas tipo que hay e d r: ( d ) r ω τ V σ La probabilidad de choque aumeta si aumeta: La elocidad molecular, La desidad La secció eficaz de dispersió 6

37 7 Colisioes etre moléculas: recorrido libre medio. Recorrido libre medio V σ τ λ V será cercao a V V +, V +, V cm + V Y si las moléculas so idéticas: Por lo tato: σ λ

38 Colisioes etre moléculas: recorrido libre medio. Estimacioes uméricas: λ σ σ π d Gas a temperatura ambiete y atmósfera. p 6 dias / cm, T K, p / kt.4 9 molecs / cm diámetro típico : d. m 8 cm σ 6 cm λ 5 cm >> d Nitrógeo: 4 λ 5 cm / s, τ 6 s 9 ω τ s ( microodas) 8 π kt m 8

39 9

40 Viscosidad y trasporte de mometo. Coeficiete de iscosidad de u gas diluido. Límites de alidez. 4

41 Feómeos de trasporte Trasporte de ua determiada propiedad a lo largo de ua direcció, y a traés de la superficie ormal a esa direcció. Modelo: Las moléculas llea las propiedades que teía e la posició de su última colisió, que ocurrió a ua distacia igual a u recorrido libre medio de la liea (superficie) a traés de la cual estudiamos el trasporte. z + λ z - λ λ 4

42 Feómeos de trasporte Trasporte de la propiedad F a lo largo de la direcció z. Flujo de F: catidad de F trasportada por uidad de area y de tiempo. Flujo de partículas que icide sobre u da e dt: Φ ( dt da ) dt da + F ( z 6 J z J z F ( z J z 6 F ( z λ ) + λ ) F ± λ ) F ( z ) ± λ z J + z J z 6 F λ z Flujo de F: J z z + λ z - λ (si el gradiete de F o es muy grade) F λ z λ 4

43 Feómeos de trasporte. Viscosidad Trasporte de mometo (Ejemplo: mometo X, trasportado a lo largo de la direcció Z) U río Pared e moimieto Z X Pared fija Si ua superficie se muee respecto a otra, habrá u gradiete de elocidad. Esto produce ua fuerza de arrastre sobre cada superficie. p t F Fuerza ejercida sobre el gas (o pared) P zx aumeto medio, por uidad de tiempo y de area del plao, de la compoete x del mometo del gas sobre el plao, debido al trasporte eto de mometo por parte de las partículas que atraiesa dicho plao. 4

44 Feómeos de trasporte. Viscosidad Trasporte de mometo (Ejemplo: mometo X, trasportado a lo largo de la direcció Z) z + λ z - λ λ J z λ F z P zx aumeto medio, por uidad de tiempo y de area del plao, de la compoete x del mometo del gas sobre el plao, debido al trasporte eto de mometo por parte de las partículas que atraiesa dicho plao. P zx J + z J J + z m x ( z 6 J z 6 m x ( z z λ ) + λ ) P zx iee - se a η z x P zx λ m z η m λ x 44

45 Viscosidad: relacioes y límites de alidez η m λ Relació Presió-gradiete de elocidad P η λ P η η λ z x λ PV σ NkT E kt m N / 8 π V P kt m m Relació Viscosidad-Temperatura. La iscosidad es idepediete de la presió η σ m 8 π kt m η π mkt σ σ tambié depede de T Pero todo esto sólo ale si el gas es diluído 45

46 Viscosidad: relacioes y límites de alidez Gas diluido: baja, λ >> d, d σ alta, λ << L d << λ << L PV NkT E kt P m m N / 8 π V kt m Gas muy diluido:, λ L, F, η Habrá que cosiderar choques etre móléculas y de las moléculas co las paredes Probabilidad total de choque: τ τ V σ molecs paredes L λ x τ τ molecs + τ paredes Recorrido libre medio total: λ λ λ τ λ + L σ + L σ η m λ η π σ π d mkt σ Si λ, η, L Gas de Kudse, ya o tiee setido hablar de iscosidad 46

47 Viscosidad: estimacioes uméricas Nitrógeo a temperatura ambiete y atmósfera : p 6 dias / cm p / kt.4 cm, T K, molecs / cm diámetro típico : d. m σ 5 4 η.8 6 cm / s, 4 g cm 9 λ s ( poise) 5 8 cm cm >> d PV P λ NkT E kt m σ η m λ η η π P / λ m N / mkt σ 8 π V σ π d kt m 47

48 Coductiidad térmica y trasporte de eergía. Coeficiete de coductiidad térmica de u gas diluido. Relació co el coeficiete de iscosidad y la capacidad calorífica. 48

49 Feómeos de trasporte. Coductiidad térmica Trasferecia de eergía e forma de calor debido a u gradiete de temperatura El flujo de eergía a traés de u area A es proporcioal al gradiete de temperatura. (ley de Fourier) Frio Flujo de calor Caliete T T T ( z ), > z z Q z flujo de calor (eergía). Gas ideal: eergía ciética. Q z T κ z Coductiidad térmica, κ {W m - K - } 49

50 Feómeos de trasporte. Coductiidad térmica Trasferecia de eergía e forma de calor debido a u gradiete de temperatura z + λ z - λ λ J z λ F z Q z flujo de calor (eergía). Gas ideal: eergía ciética. Q z J + z J z iee - se a J + z 6 ε ( z λ ) J z 6 ε ( z + λ ) Q z ε λ z ε λ T T z κ ε λ T λ C Q z T κ z C : calor específico 5

51 Coductiidad térmica : relacioes y límites de alidez κ κ es idepediete de la presió Relació Viscosidad-Coductiidad térmica. κ η C κ σ λ C C m π c C σ V PM kt m σ tambié depede de T PV P λ NkT E kt m σ η m λ η η π P / λ m N / mkt σ 8 π V σ π d kt m Nota: κ real es mayor. Las moléculas más rápidas llea más eergía ciética, y o hemos cosiderado la distribució de elocidades de Maxwell, sio que hemos cosiderado a todas las moléculas co la elocidad media. Además, todo esto sólo ale si el gas es diluído κ η γ c V PM γ aría etre. y.5 5

52 Coductiidad térmica : Aplicació a gases o clásicos. Trasporte de calor e metales κ gas λ C κ metal? E u metal: - gas de electroes - ibracioes de la red (fooes) κ metal : Cotribuye los electroes alrededor del iel de Fermi: kt E F..8 kt Gas de electroes: k.6.4 Velocidad de Fermi: C e F E F / m.. E / E F Recorrido libre medio: choques co fooes ( f ) y co impurezas ( i ) 5

53 5 Coductiidad térmica : Aplicació a gases o clásicos. Trasporte de calor e metales Recorrido libre medio de los electroes: choques co fooes ( f ) y co impurezas ( i ) A baja T hay pocos fooes excitados térmicamete: (lo eremos e FD y BE) La desidad de impurezas es fija, por tato: ) (, K T T i i < κ κ λ σ λ C λ κ A alta T: predomia la dispersió por fooes ) (, D f f T T T T θ κ κ λ < E geeral, fooes + impurezas: T b T a i f + + κ κ κ κ T

54 Coductiidad térmica de u sólido aislate a baja temperatura No hay electroes, el calor se trasporta por las ibracioes de la red κ λ C f f T soido idep. T C k idep. T λ Log. de dispersió del foó tamaño del sólido, idep. de T Por tato, para u aislate a baja temperatura: κ T 54

55 Autodifusió y trasporte de moléculas. Coeficiete de autodifusió de u gas diluido. Coductiidad eléctrica y trasporte de carga. Coeficiete de coductiidad eléctrica de u sistema de partículas cargadas 55

56 Feómeos de trasporte. Difusió moimieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració El flujo de moléculas a traés de u area A es proporcioal al gradiete de desidad. (ley de Fick). J z N A t D z Habrá moimieto hasta lograr ua distribució uiforme. N A t J + z J z iee - se a Coeficiete de difusió, D {m /s} 56

57 Feómeos de trasporte. Difusió moimieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració z + λ z - λ λ J z λ F z N A t J + z J z iee - se a + ( z 6 ( z 6 J z J z + λ ) λ ) J z λ z J z N A t D z D λ 57

58 Feómeos de trasporte. Difusió moimieto de ua sustacia debido a u gradiete de su cocetració z + λ z - λ λ N t t ( A dz ) A J ( z ) A J ( z dz t Ecuació de coseració del úmero de partículas J z t z J z D z z + iee se a λ z z D ) λ 58

59 Coeficiete de difusió: relacioes y depedecias D λ D sí depede de la presió D π P σ ( k T ) m σ tambié depede de T Cuato más caliete y meos deso está el gas, mejor se muee las moléculas PV P λ NkT E kt m σ η m λ η π m N / mkt σ 8 π V σ π d kt m Relació Viscosidad-Difusió D η m ρ D ρ η γ γ aría etre. y.5 η P / λ 59

60 Coeficiete de difusió: estimacioes Nitrógeo a temperatura ambiete y atmósfera : p 6 p / kt diámetro dias / cm típico : 6 σ cm 4 5 cm / s, η.8 D 4.5cm.4 g cm / s 9 d, s T molecs / cm K,. m λ ( poise) Experimetal a 7K y atmósfera : D.85cm / s 5 8 cm cm >> d PV P λ NkT E kt D D m σ η m λ η η π P / λ λ π P σ m N / mkt σ 8 π V σ π d ( k T ) m kt m D η m ρ 6

61 La difusió tratada como u problema de camio aleatorio Las moléculas tiee desplazamietos aleatorios tras las colisioes. Estudiaremos la compoete Z de dichos desplazamietos: s : compoete Z del desplazamieto i-ésimo La molécula parte de Z, tras N choques... z N i s i Los desplazamietos so aleatorios: z s i Pero la dispersió o es ula: z N i s i + N i, j i j s i s j Por tato estudiaremos la eolució de la dispersió co el tiempo 6

62 6 La difusió tratada como u problema de camio aleatorio La dispersió es: j i j i s s s s s N z ) ( t s t t s z z z z y x + + τ τ τ dt e t t t τ s Número de desplazamietos e tiempo t: τ t N t s N t z τ ) ( + N j i j i j i N i i s s s z, τ τ λ λ, D D t D t z ) (

63 La difusió tratada como u problema de camio aleatorio Lo relacioaremos co la ecuació de difusió (gradietes de desidad): ( t ) z N z ( z, t ) dz N t z dz D z t z N z t D N dz (por partes) y, z t z N ( z, t ) dz ecuació de difusió D t z D si z z ± D t Así, usado el camio aleatorio, el coeficiete de difusió es: z ( t ) τ t D τ cm D λ 6

64 Coducció eléctrica j z j z Carga eléctrica media que cruza da e dt e la direcció z (desidad de corriete) σ E Ley de Ohm e Partículas cargadas, e u campo eléctrico, que choca cotra otras partículas E Modelo: j z partículas cargadas (q) por uidad de olume q Justo tras u choque: Si debido al choque : z, z z m d dt q E m? z q E q E z t + z ( t m τ σ e q m τ ) τ λ σ rcm kt m q σ e m σ q mkt 64 partículas cargadas, partículas cotra las que choca σ

65 Ecuació de trasporte de Boltzma. El Teorema H de Boltzma. 65

66 Ecuació de trasporte de Boltzma. Cómo eolucioa el gas (su fució de distribució) co el tiempo? Se matiee el úmero de partículas: 66

67 Ecuació de trasporte de Boltzma. Cómo eolucioa el gas (su fució de distribució) co el tiempo? Si la fuerza extera depede solamete de la posició: Por tato, e ausecia de colisioes: (la ec. de arriba es la defiició de deriada!) D f ( r,, t) 67

68 Ecuació de trasporte de Boltzma. Cómo eolucioa el gas (su fució de distribució) co el tiempo? Si hay colisioes: R R R d r d Número de moléculas que etra e el elemeto de olume (6D) cetrado e {r,} por uidad de tiempo debido a las colisioes R d r d Número de moléculas que sale del elemeto de olume (6D) cetrado e {r,} por uidad de tiempo debido a las colisioes 68

69 Ecuació de trasporte de Boltzma. Se puede escribir de forma más geeral como: Operador de Liouille: ( Nota: egrita ector ) 69

70 Ecuació de trasporte de Boltzma. Colisioes etre moléculas. Ates:, Después:, Este proceso saca partículas de la celda.(se correspode co el térmio R). Habrá u proceso ierso que las meta. La frecuecia de estos sucesos será proporcioal a los productos de las ocupacioes de las celdas iolucradas: f f y f f Queremos saber cuato es R (o el ierso), cómo se hace? Hay que obteer cuáto ale las 6 icógitas {, } 7

71 Ecuació de trasporte de Boltzma. Colisioes etre moléculas. R R R d r R d r d d Número de moléculas que etra e el elemeto de olume (6D) cetrado e {r,} por uidad de tiempo debido a las colisioes Número de moléculas que sale del elemeto de olume (6D) cetrado e {r,} por uidad de tiempo debido a las colisioes Ates:, Después:, 6 icógitas {, } La coseració del mometo y de la eergía supoe 4 ligaduras. Queda icógitas. Elegimos que sea la direcció de la molécula tras la colisió: Ω {θ, φ} Defiimos la secció eficaz diferecial, σ (Ω ) σ (Ω ) Es tal que el úmero de colisioes por uidad de tiempo y por uidad de olume espacial etre partículas de los flujos co desidades y, y que de lugar a que la partícula salga e la direcció dω sea: 7

72 Ecuació de trasporte de Boltzma. Colisioes etre moléculas. ectores Itegrado a todos los y Ω obteemos el térmio de pérdidas, R: R El térmio de gaacia,, se obtiee de forma similar, y fialmete podemos escribir: f i f ( i ), f i f ( i ) es fija y so fució de σ ( Ω ), y Ω es fució de las elocidades relatias de las moléculas. 7

73 Ecuació de trasporte de Boltzma. Colisioes etre moléculas. Qué podemos obteer de esto? La fució de distribució e equilibrio, (etre otras cosas) E equilibrio: f f f f log Esto es ua ley de coseració f + log f log f + log Se puede escribir como: Pero tambié teemos la coseració de la eergía: ( ) + ( ) ( ) + ( ) Por tato sólo so compatibles las que cumpla: f ( ) f Y de aquí sacamos la fució de distribució e equilibrio, la fució Maxwell-Boltzma 7

74 Ecuació de trasporte de Boltzma. Colisioes etre moléculas. Fució de distribució Maxwell-Boltzma Para obteer el factor de ormalizació: Itegrado se obtiee: Tambié se puede obteer la eergía ciética media por partícula: 74

75 Ecuació de trasporte de Boltzma. El teorema H de Boltzma. Se defie la fució H de Boltzma: Si la fució de distribució eolucioa de acuerdo co la ecuació de Boltzma, etoces H, para u gas uiforme e ausecia de fuerzas exteras, uca puede aumetar: H está relacioada co la etropía del gas por H - S / k B 75

76 Ecuació de trasporte de Boltzma. El teorema H de Boltzma. Cosideremos u gas co desidad espacial uiforme, y si fuerzas exteras actuado sobre él. Etoces la ecuació de trasporte será: Se defie la fució H de Boltzma: Su deriada temporal es: Y se puede escribir como: 76

77 Ecuació de trasporte de Boltzma. El teorema H de Boltzma. Esta expresió, salo el último factor, es simétrica frete al cambio de partícula (,), y salo u factor si cambiamos estados iicial y fial. Por tato, se tiee 4 expresioes equialetes para dh/dt. Se promedia y se obtiee: Como Log es creciete, y los dos últimos factores tiee sigos opuestos: 77