XXX CONCURSO PUIG ADAM DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Facultad de Matemáticas U.C.M. Madrid, 9 de junio de 2012

Transcripción

1 XXX ONURSO PUIG DM DE RESOLUIÓN DE PROLEMS Facultad de Matemáticas U..M. Madrid, 9 de junio de 0 NIVEL I (º de E.S.O.) Primera parte ( hora 0 minutos) Problema. Hay enteros consecutivos, como y 5 por ejemplo, en los ue la suma de sus divisores es la misma. En efecto: = =. Encuentra todas las parejas de enteros consecutivos m y n con m = p, n = 9, p y primos mayores ue, tales ue coincida la suma de sus divisores. (onsidera los casos m > n o m < n) Problema. Un gimnasio dispone de tres bicicletas estáticas (roja, verde y azul) para uso de sus clientes. Durante la semana pasada solamente cuatro de ellos y en días diferentes han practicado con una bicicleta estática. ada uno de ellos ha elegido una bicicleta al azar y todas ellas tienen la misma probabilidad de ser elegida. Determina: a) La probabilidad de ue los cuatro hayan elegido la misma bicicleta. b) La probabilidad de ue ninguno haya elegido la bicicleta verde. c) La probabilidad de ue alguna de las bicicletas haya uedado sin utilizar por ninguno de los cuatro.

2 XXX ONURSO PUIG DM DE RESOLUIÓN DE PROLEMS Facultad de Matemáticas U..M. Madrid, 9 de junio de 0 NIVEL I (º de E.S.O.) Segunda parte ( hora 0 minutos) Problema. ( punto) Si m y n son enteros positivos, ninguno de ellos múltiplo de 0, m n = y m > n, cuál es el resto de la división entera de m entre n? Solución: T = Problema. (,5 puntos) Sea T la respuesta del problema anterior () y v T. Ángel y eatriz corren alrededor de una pista circular de 00 m de longitud. Ángel corre con una velocidad de v m/s y eatriz con (v - ) m/s. Los dos parten a la vez y desde el mismo punto. uántos metros ha recorrido eatriz cuando, al cabo de cierto tiempo, Ángel le saca de ventaja una vuelta completa? Solución: T = Problema. ( puntos) Sea T la respuesta del problema anterior (). Si e y son números reales con + y = y y y y? T Solución: p =, cuál es el valor de 00 Problema. ( punto) Lanzamos al aire tres dados de diferentes colores: azul, rojo y verde, Los dados tienen seis caras numeradas con:,,,, 5 y 6. Observamos el número obtenido en el dado azul, lo multiplicamos por y le sumamos 5. Multiplicamos este resultado por 5 y le sumamos el número obtenido en el dado rojo. l resultado obtenido lo multiplicamos por 0 y le sumamos el número obtenido en el dado verde. Después de este proceso el resultado obtenido fue 86. alcula la suma de los tres números ue se obtuvieron en los dados. Solución: S = Problema. (,5 puntos) Sea S la respuesta del problema anterior (). omo sabes, la uva es una fruta ue contiene mucha agua. Recién cogida el 80 % de su peso es agua. Si las tenemos una semana al sol este porcentaje baja al 5 %. Si cogemos S kg de uvas, cuántos kg pesarán después de una semana al sol? Solución: S = Problema. ( puntos) Sea S la respuesta del problema anterior (). La suma de S + enteros consecutivos es 50. uántos de ellos son primos? Solución: = Sugerencia! Desarrolla (+y) y (+y) y despeja en cada caso +y y +y. Problema. (5 puntos) Sean p y las respuestas de los problemas y. En el triángulo de la figura los tres segmentos ue pasan por P son paralelos a los lados del triángulo y dividen a éste en seis regiones. Si el área de tres de ellas es la ue se muestra, cuál es el área del triángulo? p P p Nota. Si se obtiene la epresión correcta del área del triángulo en términos de p y, aunue no se eplicite el resultado porue no se conocen los valores de p o, también se podrán obtener los 5 puntos del problema.

3 XXX ONURSO PUIG DM DE RESOLUIÓN DE PROLEMS Facultad de Matemáticas U..M. Madrid, 9 de junio de 0 NIVEL II (º de E.S.O.) Primera parte ( hora 0 minutos) Problema. En la parábola y = inscribimos el triángulo rectángulo PQR, con ángulo recto en Q. Las coordenadas de sus vértices P(p, p ), Q(, ) y R(r, r ) son todas números enteros. Demuestra ue p r 0. Problema. Formamos una sucesión de la siguiente manera: - Los dos primeros términos son 0,. - continuación los dos números siguientes a los dos primeros términos de la sucesión, es decir,,. - continuación los cuatro números siguientes a los cuatro primeros términos de la sucesión ue serán:,,,. - continuación los ocho números siguientes a los ocho primeros términos de la sucesión, ue serán:,,,,,,,. - continuación los dieciséis números siguientes a los dieciséis primeros términos de la sucesión, ue serán:,,,,,,,,,,,,,,, 5. - Y así sucesivamente con los treinta y dos siguientes, etc. omo has visto, los treinta y dos primeros términos son: 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5. Determina: a) uántas veces aparece el en los 6 primeros términos? b) uál es el término a 0 de la sucesión? c) En ué puesto aparece el número 9 por tercera vez? d) uánto suman los 8 primeros términos de la sucesión?

4 XXX ONURSO PUIG DM DE RESOLUIÓN DE PROLEMS Facultad de Matemáticas U..M. Madrid, 9 de junio de 0 NIVEL II (º de E.S.O.) Segunda parte ( hora 0 minutos) Problema. ( punto) Un ortoedro (caja rectangular) tiene de dimensiones 80. Qué fracción de su volumen ocupa la región del espacio formada por los puntos interiores al ortoedro y ue distan más de de cualuiera de sus caras? Solución: T = Problema. ( punto) Ninguno de estos dos números M = [ 6] y N = [ 7] de tres cifras es divisible por 9, pero en cambio el producto M N sí es divisible por 9. alcula el mayor valor posible para +. Solución: S = Problema. (,5 puntos) Sea T la respuesta del problema anterior () alcula la mayor de las soluciones reales de la log ecuación log significa logaritmo decimal. Solución: T = T, donde log Problema. ( puntos) Sea T la respuesta del problema anterior () y N = T 7. uántos enteros positivos de N cifras no tienen entre sus dígitos ni el ni el 9? Solución: p = Problema. (,5 puntos) Sea S la respuesta del problema anterior () uántos grados mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de S lados? Solución: S = Problema. ( puntos) Sea S la respuesta del problema anterior () y n la suma de los tres factores primos de S. Si r y s son las soluciones de la ecuación F F F 0, en la ue F n representa n n n el n-ésimo número de Fibonacci. alcula el producto (r + ) (s +). (En la sucesión de Fibonacci F = F = y cada término, a partir de F es igual a la suma de los dos anteriores) Solución: = Problema. (5 puntos) Sean p y las respuestas de los problemas y. En los triángulos rectángulos y D de la figura se verifica ue p 5 r w y ue y. alcula el valor de y. w y r D Nota. Si se obtiene la epresión correcta de y en términos de p y, aunue no se eplicite el resultado porue no se conocen los valores de p o, también se podrán obtener los 5 puntos del problema.

5 XXX ONURSO PUIG DM DE RESOLUIÓN DE PROLEMS Facultad de Matemáticas U..M. Madrid, 9 de junio de 0 NIVEL III (º de achillerato) Primera parte ( hora 0 minutos) Problema. El pentágono DE, inscrito en una circunferencia, verifica ue las longitudes de tres de sus lados son: =, = y D = 8. Si la diagonal D pasa por el punto medio de la diagonal, calcula todas las posibles longitudes enteras ue puede tomar el lado E. Problema. U El cuadrilátero PUIG tiene forma de cometa, es decir, PU = IU, PG = IG. Si el ángulo en U es doble ue el ángulo en G y [Área del triángulo PIG] = 0 [Área del triángulo PUI], calcula el coseno del ángulo en G. P I G

6 XXX ONURSO PUIG DM DE RESOLUIÓN DE PROLEMS Facultad de Matemáticas U..M. Madrid, 9 de junio de 0 NIVEL III (º de achillerato) Segunda parte ( hora 0 minutos) Problema. ( punto) uántos pares ordenados de números enteros (, y) verifican la ecuación 8 y y 5? Solución: T = Problema. ( punto) alcula el número de dos cifras [] ue verifica [] + [] = 00 Solución: S = Problema. (,5 puntos) Sea T la respuesta del problema anterior () y k = 5 + T alcula el mayor entero n para el cual el valor numérico de la epresión n kn + 77 es un número primo. Solución: T = Problema. (,5 puntos) Sea S la respuesta del problema anterior (). Hay un valor de a para el ue la suma de las soluciones de la ecuación, con incógnita, a a es S. Hállalo. Solución: S = Problema. ( puntos) Sea T la respuesta del problema anterior (). En el triángulo, con = T, el ángulo en es de 0º. alcula el número de valores enteros de para los ue hay dos posibles valores para la longitud de. Solución: p = Problema. ( puntos) Sea S la respuesta del problema anterior (). alcula el mayor valor de n para el ue 5 n divide a!!! S! Solución: = Problema. (5 puntos) Sean p y las respuestas de los problemas y. En el interior del triángulo euilátero señalamos un punto D cuyas distancias a dos de los lados del triángulo son p y +. alcula la distancia desde D al vértice común a esos dos lados. D p + Nota. Si se obtiene la epresión correcta de dicha distancia en términos de p y, aunue no se eplicite el resultado porue no se conocen los valores de p o, también se podrán obtener los 5 puntos del problema.

7 NIVEL I RESPUESTS Problema. Hay enteros consecutivos, como y 5 por ejemplo, en los ue la suma de sus divisores es la misma. En efecto: = =. Encuentra todas las parejas de enteros consecutivos m y n con m = p, n = 9, p y primos mayores ue, tales ue coincida la suma de sus divisores. (onsidera los casos m > n o m < n) p + p = p Por otro lado: 0 6 Si m > n entonces m n p En este caso p 77 ue no es un número primo. 0 6 Si m < n entonces m n p 9 0 En este caso p 0 ue sí es un número primo. La solución única ue se obtiene es m = p = 06 y n = 9 = 07. Problema. Un gimnasio dispone de tres bicicletas estáticas (roja, verde y azul) para uso de sus clientes. Durante la semana pasada solamente cuatro de ellos y en días diferentes han practicado con una bicicleta estática. ada uno de ellos ha elegido una bicicleta al azar y todas ellas tienen la misma probabilidad de ser elegida. Determina: a) La probabilidad de ue los cuatro hayan elegido la misma bicicleta. b) La probabilidad de ue ninguno haya elegido la bicicleta verde. c) La probabilidad de ue alguna de las bicicletas haya uedado sin utilizar por ninguno de los cuatro. a) P R R R R V V V V b) P V V V V 6 8 c) Designando mediante R a ninguno elige la roja, V ninguno elige la verde y ninguno elige la azul, podemos escribir: P R V P R P V P P R V P R P V P R V y teniendo en cuenta ue las tres tienen la misma probabilidad y ue alguna de las tres se ha utilizado, el problema se reduce a: R V PR PR V P

8 RESPUEST L PROLEM ENDENDO. NIVEL I = 6 5 M = 5 = 65 y N = 6 = 6. omo 65 = T = 9. v 9 7. La velocidad de Ángel es 7 m/s y la de eatriz 6 m/s. omo la distancia recorrida y por lo tanto el número de vueltas es directamente proporcional a la velocidad, 7 6 tenemos: n 6. Por lo tanto eatriz da 6 vueltas y recorre T = 00 m n n. Teniendo en cuenta ue y y y y y y( y) y ue + y =, tenemos ue y y. Igualmente y y y y y. Sustituyendo en la epresión ue nos dan, se obtiene: 00 y y y ( y) ( y) 6( y) 5( y) y omo y y debe ser positivo, sólo tiene sentido cuando y = y resulta y. p = v 6 r 6 tiene sentido r = 6 y por lo tanto a = 5. Por lo tanto S = 7. a 5 5 r 0v 86 r a 5 5 r 8 omo 5 5 a es impar sólo. Si consideramos ue la parte de la uva ue no es agua no pierde peso, tenemos: % de = 0 % de 7. S = kg 85. S + = 9. Si 9 números consecutivos suman 50, el del centro es 950 : 9 = 50. Los números son: 6, 7,,5 y los únicos primos son: 7 y 5. =. Los triángulos, GFP, PED y HPI son semejantes. omo la razón de las p I áreas es el cuadrado de la razón de D P semejanza, se deduce ue: H y E GF = = py y. Por lo tanto p ( p p ) La p p p G = py F y p p razón de semejanza entre los triángulos y HPI es y la razón de sus áreas p p p ( p p ) por lo ue el área de = p. ( p p ). p p Sustituyendo los datos p = y =, se obtiene ue el área de =.

9 NIVEL II. RESPUESTS Problema. En la parábola y = inscribimos el triángulo rectángulo PQR, con ángulo recto en Q. Las coordenadas de sus vértices P(p, p ), Q(, ) y R(r, r ) son todas números enteros. Demuestra ue p r 0. QP ( p p, p ) p,, r ) r, QR ( r r omo el ángulo en Q es recto, se verifica: QP QR 0 p r p r 0 p r p p r r r podemos simplificar y se obtiene: Operando, 0 omo p p p r 0 p r ó r En cualuiera de los dos casos al sumar se obtiene + p + r = 0. p r Problema. Formamos una sucesión de la siguiente manera: - Los dos primeros términos son 0,. - continuación los dos números siguientes a los dos primeros términos de la sucesión, es decir,,. - continuación los cuatro números siguientes a los cuatro primeros términos de la sucesión ue serán:,,,. - continuación los ocho números siguientes a los ocho primeros términos de la sucesión, ue serán:,,,,,,,. - continuación los dieciséis números siguientes a los dieciséis primeros términos de la sucesión, ue serán:,,,,,,,,,,,,,,, 5. - Y así sucesivamente con los treinta y dos siguientes, etc. omo has visto, los treinta y dos primeros términos son: 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5. Determina: a) uántas veces aparece el en los 6 primeros términos? b) uál es el término a 0 de la sucesión? c) En ué puesto aparece el número 9 por tercera vez? d) uánto suman los 8 primeros términos de la sucesión? a) Los números ue aparecen en los 6 primeros términos son: 0,,,,, 5 y 6. Las veces ue cada uno aparece repetido son el coeficiente correspondiente de (a + b) 6, es decir,, 6, 5, 0, 5, 6,. Luego el aparece 5 veces. También pueden contestar, desde el a hasta el a 6 el estará tantas veces como el en los treinta y dos primeros términos. Por lo tanto habrá = 5. b) La sucesión está escrita por bloues de potencias de dos: 0,,,, Escribimos 0 como suma de potencias de, esto es: 0 = = omo el ue ocupa el lugar 0 es 0 y cada vez ue se aumenta una potencia de el número aumenta en, el pedido será. c) La primera vez aparece ocupando el puesto número 9 = 5. La segunda vez cuando, después de esos 9 términos, se escriba por primera vez el siguiente a 8, es decir, después de haber añadido 8 términos. Y la tercera cuando, después de esos términos, se escriba por primera vez el siguiente al siguiente de 7. En total, el 9 aparecerá por tercera vez en el puesto = = 896. d) 8 = 7. Los coeficientes de (a + b) 7 son:, 7,, 5, 5,, 7,. Por lo tanto habrá: cero, 7 unos, doses, 5 treses, 5 cuatros, cincos, 7 seises y siete. La suma es: = 7 ( ) = 7 6 = 8.

10 RESPUEST L PROLEM ENDENDO. NIVEL II T. log log log log 0 log log log La solución buscada es T = N = 0 7 = cifras. Números de cifras con: 0,,,, 5, 6, 7 y 8 menos los ue comienzan por 0. VR VR p = 8 8, 8,. 6 7, es: =. S =, 9 7. Por lo tanto el máimo de + 60º. 80º 50º S = 50. omo 50 = 5, los factores primos son, y 5 y su suma es 0. La sucesión de Fibonacci es:,,,, 5, 8,,,, 55, 89,, y los términos buscados son: F 0 = 55, F = 89, F =. Las soluciones, r y s, de la ecuación = 0 verifican: r s, r s Por lo tanto ( r ) ( s ) r s r s. = Teniendo en cuenta las relaciones 5 y 5 p y r w p r w r w rw y r w w r 8 p Sustituyendo se obtiene: y 8 w y D r p p 0 p y y y y y y y y de donde se obtiene y p. Sustituyendo p = 8, = se obtiene finalmente 8 6 y 8 ( 7 ) p

11 NIVEL III RESPUESTS Problema. El pentágono DE, inscrito en una circunferencia, verifica ue las longitudes de tres de sus lados son: =, = y D = 8. Si la diagonal D pasa por el punto medio de la diagonal, calcula todas las posibles longitudes enteras ue puede tomar el lado E. Los triángulos M y DM son semejantes por tener sus ángulos iguales. Su razón de semejanza es k, por lo tanto, como M = M =, se deduce ue M, 8 MD. Por el teorema del coseno 8 cos cos80º 6 0 Operando se obtiene: D cos(80º ) También por semejanza se puede obtener más rápido. D. omo E < D los posibles valores enteros de E son:,,,,. M 8 E D

12 Otra forma de hacerlo. Problema. Los triángulos PD y P son semejantes con razón de semejanza k. Por lo tanto P y PD Igualmente P y PD son semejantes P 8 con razón de semejanza k ' D 6 Por lo tanto D. 6 omo el arco ue abarca es menor de 80º, como refleja la figura. Y el E ángulo en E es obtuso, por lo ue en el triángulo ED el lado mayor es D. 6 En conclusión, como E D los únicos valores enteros posibles para E son:,,,,. Problema. El cuadrilátero PUIG tiene forma de cometa, es decir, PU = IU, PG = IG. Si el ángulo en U es doble ue el ángulo en G y [Área del triángulo PIG] = 0 [Área del triángulo PUI], calcula el coseno del ángulo en G. Área de PUI. sen Área de PGI. y y sen omo Área de PGI = 0 (Área de PUI) 0 sen cos y sen y Por el teorema del coseno. PI cos y y y cos y cos 06cos cos cos y cos ( cos ) ( cos ) Igualando las epresiones obtenidas. cos 0 cos cos 06 cos ( cos ) cos P 0 y U G y I

13 NIVEL III. RESPUEST L PROLEM ENDENDO.. 8 y y 5 y 5 Las soluciones son los puntos de una circunferencia de centro (, ) y radio r = 5 y las enteras corresponden a las ternas pitagóricas,,, 5 y a 0, 5, 5. omo se muestra en la figura hay soluciones con números enteros. T (-, - ) (0, ) (, ) (, ) (, - ) (7, ) (8, ) (9, - ) (0, - 5). k = 5 + = 9. (8, - 5) (, - 6) n 9n 77 ( n ) ( n 7) P( n). (7, - 6) (, - 7) Los valores numéricos de esta epresión serán números primos si y solamente si de los dos factores uno de ellos igual a uno y el otro un número primo. n n P() 7 7 De donde se deduce ue n =. n 7 n P() 7 7 T. En el caso de un triángulo rectángulo en, como el ángulo en es de 0º y = se obtiene = 6. El lado no puede ser menor ue 6 ni mayor o igual a. Si = 6 sólo hay un valor posible para, en este caso 6 Si 6 < < hay dos valores posibles para la longitud de, uno ue corresponde al triángulo con ángulo agudo en y otro cuando el ángulo en es obtuso. Por lo tanto los únicos valores enteros de ue nos dan dos posibilidades para son: 7, 8, 9, 0 y. En total 5 casos. p = omo [] < 00 [} > 00 de donde se deduce ue los únicos valores posibles de son: 6, 7, 8 y 9. Probando cada uno de ellos se obtiene como única solución = 8 y =. [] = 8. S = 8 a 0 a a a a a y ( a) par a La suma de las tres soluciones es a 6 8 a 8.. a Las soluciones son = - 8, = y = (con + a = + 8 = 50, par) S = 8. En los factoriales 5!, 6!, 7!, 8! y 9! hay un factor 5 en cada uno. En los factoriales 0!,!,!,! y! hay dos factores 5 en cada uno. En los factoriales 5!, 6!, 7! y 8! hay tres factores 5 en cada uno. En total = 7.. sen ; ( ) sen(60º ) p p cos sen ( ) 6p ( ) 6p p 6p 6 ( ) p( ) ( ) 6p D + p p p 8 p Para = 7 y p = 5 se obtiene 00 0