Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata ESTRUCTURAS III Pandeo Elástico de Barras

Transcripción

1 Facultad de Igeiería Uiveridad Nacioal de a lata ESTRUCTURAS III adeo Elático de Barra Ig arco Daiel Acti Ig Jua ablo Durrut Sr Julio A Guimmarra

2 ANDEO EASTICO DE BARRAS Itroducció E el etudio de lo cuerpo ometido a tracció, compreió, flexió, corte torió, e ha vito que el problema coite e determiar la le que relacioa la teioe máxima e fució de lo efuerzo la dimeioe de la pieza e etudio Dicha ecuacioe e obtiee, e geeral, etableciedo la ecuacioe de equilibrio etático, de compatibilidad la de borde Co la ecuacioe obteida vimo como e dimeioaba como e podía calcular la deformacioe de la pieza proectada E la técica e repreetaba la pieza que, calculada e la forma idicada ateriormete, e rompía debido a que, bajo la acció de la carga, la forma origiaria de la etructura dejaba de er etable, e decir que por cualquier caua (por pequeña que eta ea) la etructura pierde completamete u forma origial, detruédoe ara iteriorizaro mejor e el problema, coideremo ua barra AB de eje recto, obre la cual actúa do carga de compreió egú el eje de la barra De acuerdo a uetro coocimieto, el cálculo de la ecció lo hacemo coiderado que la barra etá ometida a compreió, luego: A σ Como vemo, calculada aí la barra, la ecció ecearia para oportar e idiferete de la logitud de la mima Ademá coideramo que la barra e de eje idealmete recto, de u material idealmete homogéeo que la fuerza e ecuetra idealmete cetrada a experiecia demuetra que, i e parte de la logitud para la cual la barra o e rompe, aumetamo u logitud, llega u mometo e que la barra pierde u forma, rompiédoe A Eto e debido a que e ha pueto de maifieto ua caua extraña a la previta que dicha caua aparece cuado aumeta la logitud E lógico pear que la caua poible e algua de la tre codicioe (o parte, o la tre cojutamete) ideale: Eje idealmete recto aterial idealmete homogéeo Fuerza idealmete cetrada adm B Aalizado el feómeo uevamete, podemo decir que para cierta logitude la barra era etable que, llegado a u cierto valor de, e volvió ietable or lo tato o e puede calcular ua barra ometida a compreió mediate la formula: A σ adm pue u logitud puede er tal que éta o ea etable No propoemo etoce ver la forma de calcular la barra de maera que ea etable, teiedo e cueta la logitud ara ello comecemo por aalizar el equilibrio de lo cuerpo rígido

3 Equilibrio etable, ietable e idiferete: Sabemo que e codició ecearia pero o uficiete, para que la cofiguració de u cuerpo o itema de cuerpo ea permaete, que el itema de fuerza eté e equilibrio Dicha codició reulta uficiete i el equilibrio de Etable la fuerza e etable Si el equilibrio e ietable, la cofiguració e precaria, Ietable dado que hata la má míima perturbació hace que el itema e aleje imediatamete de la cofiguració que tiee, tediedo a bucar otra que ea etable Idiferete E el cao límite e que el equilibrio e idiferete, el itema puede permaecer e la cofiguració iicial o e cualquier otra próxima a la primera i que el equilibrio e altere Ua forma cláica de aber e que etado de equilibrio e ecuetra u itema e apartarlo u ifiitéimo de la cofiguració iicial ver i, al cear la perturbació, el itema vuelve epotáeamete a la cofiguració de equilibrio o e aparta de ella Iterea epecialmete decidir cuado el equilibrio e idiferete, pue e el cao límite que epara el equilibrio etable del ietable ara decidir (i hacer la experiecia) que e lo que tiede a hacer el itema cuado lo apartamo de u poició de equilibrio, e examia como e modifica a fuerza actuate, o como cambia la eergía total del itema El iterio etático el iterio eergético: ara decidir i ua cofiguració e equilibrio e etable o ietable, e modifica ifiiteimalmete la cofiguració, i variar el valor de la fuerza, e examia i tiede a la poició primitiva o i e aleja de ella E la práctica coviee determiar el equilibrio idiferete, porque aí e cooce la codició límite que epara la do poibilidade ara efectuar tal etudio e puede uar u iterio etático o u iterio eergético a) Criterio etático: e la cofiguració modificada, la fuerza extera cambia u poició repecto al cuerpo geera uevo efuerzo que tiede a alterar la cofiguració ace al mimo tiempo reaccioe itera elática que tiede a llevarla a la poició primitiva Reulta coveiete etoce determiar el valor de la fuerza que iguala la do tedecia, e decir, lo valore ítico de la fuerza que hace el equilibrio idiferete Como ejemplo coideremo ua barra rígida rectilíea vertical, libre e A eláticamete empotrada e B (u reorte, por ejemplo), cargada co ua carga e A a reacció e B vale m para φ a cofiguració vertical e de equilibrio, porque e mometo ulo repecto de B ara decidir i el equilibrio e etable o A o, apartamo la barra de la poició iicial (vertical) u águlo φ El mometo exterior vale: φ e eϕ Y el apoo reaccioa co u mometo: a m ϕ B

4 Etaremo e el cao de equilibrio etable i: Será ietable i: Y erá idiferete i: e < a e > a e a Como φ debe er pequeño, podemo poer que: e ϕ ϕ uego el etado ítico erá: e a or lo tato: ϕ m ϕ De dode: m ítico ara valore de meore de, iempre que coideremo φ pequeño, la barra e etable, e decir e matiee vertical Veamo u feómeo itereate ara ello plateamo la ecuació: m ϕ eϕ ϕ Dode vemo que para ϕ >, e ϕ > m Reulta que i la actuate e igual a, el equilibrio e idiferete al comiezo del giro luego e vuelve etable Ademá vemo que i actúa ua > la barra e deplaza hata u águlo φ e que e vuelve etable U feómeo parecido ucede e la etructura, co el icoveiete que para llegar a la deformació que equilibre el efuerzo exterior eria eceario u material ifiitamete elático reitete b) Criterio eergético: cuado e varía la cofiguració primitiva equilibrada del itema elático, e tiee ua variació del trabajo itero, que e u aumeto, ua variació de la eergía potecial de poició de la fuerza, que e ua dimiució Sabemo que el equilibrio primitivo e etable, ietable o idiferete egú que la eergía total del itema e aumetada, dimiuida o permaece cotate Como o iterea el cao de equilibrio idiferete, bata coiderar como icógita la fuerza ecearia para igualar el trabajo itero al extero eto reulta del hecho de que la dimiució de la eergía potecial de la fuerza depede de éta de la deformacioe, la eergía elática acumulada depede de la deformacioe Aplicada al ejemplo de la barra rígida empotrada e u elático, i damo u giro φ, e el reorte e acumula ua eergía elática A i, que depede de la caracterítica m del reorte de φ, o de : A A δ i ( m ϕ) ϕ A A a fuerza dearrolla u trabajo A e que vale: φ δ A e E el etado de equilibrio idiferete: A e A i ϕ uego: δ m, pero δ ( co ϕ) B

5 m ϕ or lo tato: ( co δ) Como φ debe er pequeño, dearrollado e erie el co φ, reulta: 6 ϕ ϕ ϕ ϕ co ϕ + + K!! 6! ϕ or lo tato: co ϕ Reulta etoce: m Aalicemo el problema upoiedo que el itema e ecuetra e equilibrio para u águlo φφ, e decir: m ϕ o δ m ϕ or lo tato: ( co ϕ ) Queremo ver i e ecuetra e equilibrio etable o o ara ello damo ua variació a φ e dφ E tal cao la eergía de poició varia e: ΔA e ( co ϕ ) [ co( ϕ + dϕ) ] ( ϕ + dϕ) co ϕ o [ co ] por Talor: ΔA [ ϕ e( ϕ ) dϕ co ϕ ] e( ϕ ) dϕ co e Si dφ e u aumeto, la variació de eergía e ua dimiució, de ahí el igo egativo a eergía potecial elática ha variado e: m m m m dϕ m ϕ ΔA i ( ϕ + dϕ) ϕ ϕ + mϕdϕ + (a) dϕ ΔA i m ϕdϕ + m or lo tato: dϕ ΔE m ϕ dϕ + m e( ϕ ) dϕ Dado que por razoe de equilibrio etático o eϕ m ϕ Reulta e( ϕo ) dϕ m ϕdϕ (b) Comparado la do variacioe de eergía (a) (b) vemo que la eergía total ha m dϕ aumetado e: El equilibrio e etable, e decir que al pricipio el equilibrio e idiferete, pero luego e traforma e etable

6 Como e aplica el iterio etático: Ya hemo dicho que debemo modificar mu poco la cofiguració equilibrada eibir la ecuació o la ecuacioe extera la teioe itera que correpode a la ueva cofiguració, e decir, e impoe que la ueva cofiguració ea tambié equilibrada (equilibrio idiferete) El valor de la fuerza (o fuerza) que e deduce de dicha A e ecuació que hace al equilibrio idiferete e el valor ítico de la mima (o mima) Ha que ditiguir etre etructura de elemeto rígido viculado etre í por medio elático la etructura totalmete formada de elemeto elático Ejemplo del primer grupo e el cao a vito Se trata de uo o poco grado de libertad pue bata poco parámetro para defiir u poició B φ Si teemo el cao de la etructura de la figura iguiete, formada por tre bada rígida de igual logitud, viculada e C C por uioe elática de caracterítica elática m m, determia E ete cao la cofiguració depede de lo do parámetro f f (de valore pequeñíimo) f odemo eibir: f f f, o giro relativo e () () e puede eibir: f f f f f ϕ f f f f f C ϕ + + f f C a codicioe de equilibrio e la rótula o: m f ( f f ) m f ( f f) Que podemo eibir: C ( C ) f + f m C ( C ) f + f m o que cotitue u itema de ecuacioe co icógita (f f ) Ua olució ería f f, que correpode a la poició recta, que e lógicamete equilibrada ara que eté e equilibrio el itema para otra cofiguració exige que f f, ello ocurrirá i la matriz del itema e ula, e decir: C C ( + C ) + C C C, ecuació que correpode al equilibrio idiferete 5

7 Como C C cotiee a, i utituimo u valore, teemo ua ecuació de egudo grado e, que da lo valore de correpodiete a do cofiguracioe Supogamo, para obteer valore, que m m, luego C C C, etoce: m C C + + ± 6 C C m/ m/ C m m E decir:, C f a olució C correpode a: (-) f +f f f -f, e decir: f -f C Y la olució C correpode a: (-) f +f, e decir: f f Como vemo, la meor carga ítica e para f f m/ m/ la maor para f -f, u deformada o muetra que el puto medio etre C C o e deplaza, e decir como i e hubiera impueto u vículo e dicho puto, de ahí que dé maor carga ítica Como vemo co lo do ejemplo aalizado, para la etructura rígida co vículo elático, la ecuacioe de equilibrio que exprea la igualdad de la olicitacioe extera e itera e correpodecia de lo vículo elático, cotitue u itema de ecuacioe homogéea que correpode a parámetro icógita De la matriz del itema hecha ula, que cotitue la olució para el itema idiferete, acamo lo valore ítico de la carga (autovalore) Obteido lo valore ítico, la ecuacioe del itema o irve para determiar la relació etre lo valore de lo parámetro de la deformació, llegádoe a cofiguracioe poible de equilibrio idiferete Coviee detacar que o e obtiee lo valore aboluto de la deformacioe io la relació etre ello para cada cofiguració aemo ahora al cao de la etructura elática E tale cao lo deplazamieto que puede imprimire a cada puto o idepediete etre í olo debe cumplir co la codició de cotiuidad de la etructura Etoce e eta etructura teemo ifiito grado de libertad, porque teemo ifiito deplazamieto a aplicació de la codició de que el equilibrio ea idiferete, e decir que exita equilibrio etre la fuerza extera e itera e cada puto de la etructura, lleva al etablecimieto de u itema de ifiita ecuacioe co ifiita icógita, que podemo exprear mediate ua ecuació diferecial que cotiee a la fució ara el cao de etructura lieale (i efecto de barra curva), dicha ecuació e: E J, ecuació de equilibrio para la flexió a olució de eta ecuació (equivalete a reolver u itema de ecuacioe) o da la fució (x) llamada autofució, la codicioe límite determia lo valore ítico de la carga (autovalore) Aplicado lo aterior al cao de ua barra recta co carga egú u eje de compreió co la codició de que u extremo olo puede deplazare egú el eje, e tiee, dado ua pequeña deformació: E J, E J 6

8 x E J +, llamado obteemo la ecuació: + Ecuació diferecial que debe cumplire e todo lo puto de la barra a olució de eta ecuació e del tipo: A e ( x) + B co( x) a codicioe de borde de la barra etablece: ara: x B A e ( x) ara: x, e decir: A e( ) e ( ) π π πx π, por lo tato: la olució erá: A e o ditito valore que puede tomar defie la ifiita poibilidade de olució El meor valor de e para correpode a ua cofiguració co olo e lo apoo El que le igue para correpode a ua cofiguració co e tre puto, e decir, e lo do apoo e el puto medio x / El aálii hecho o lleva a la olució que la cofiguracioe que correpode a la ditita poibilidade del equilibrio idiferete o fucioe iuoidale De maera que i partimo de ete coocimieto la olució del problema puede hacere i reolver el itema de ifiita ecuacioe co ifiita icógita (itegrar la ecuació diferecial), plateado la ecuació del equilibrio de fuerza extera e itera e u olo puto Si elegimo el puto de medio e él plateamo el equilibrio i e, teemo: e ( x ),, ( ) i x x e π, por lo tato x π πx π e, por lo tato x uego utituedo e la ecuació de equilibrio: π E J, E J π Si hubiéramo elegido otra le para, obtedríamo otro valor 7

9 Como e aplica el iterio eergético: Como e ha dicho, otra forma para defiir i ua cofiguració e etable o ietable, e utilizado el iterio de que la eergía total del itema e míima o máxima E decir, i modificado ifiiteimalmete la cofiguració del itema, la eergía total del mimo aumeta, el equilibrio e etable; i dimiue e ietable Si la eergía permaece cotate el equilibrio e idiferete or ejemplo, e el cao de ua barra A B, cargada axialmete co do carga de compreió, e acorta paado de A a A A acortádoe e Δ - A δ Si por ua caua extraña hacemo que la barra tome la forma A curva A B, a carga deciede δaa realiza u trabajo: ΔA e δ Que repreeta la dimiució de la eergía potecial de poició Al mimo tiempo e la barra e acumula la eergía itera de flexió ΔA i que e uma a la eergía potecial elática exitete de compreió a eergía total dimiue e ΔA e δ aumeta e ΔA i ; o ea varia e: B Δ U Δ Δ A i A e Si la variació e poitiva, U teia u valor míimo, correpodiedo al equilibrio etable; i la variació e egativa, U teia u valor máximo, correpodiedo al equilibrio ietable Si ΔU, U o varía el equilibrio e idiferete Ete e el cao que iterea, pue determia la, que epara lo do campo E importate detacar que admitida ua cofiguració mu próxima a la poició recta, o ea flexioado la barra, reulta defiido el ΔA i δ que o depede de, de maera que i e pequeña e tedrá δ < ΔA i i e mu grade e tedrá δ > ΔA i ógicamete exitirá u valor de tal que δ ΔA i dicho valor e el or lo tato: ΔA i δ El valor de δ lo podemo eibir igual a ΔA e (por el teorema de Catigliao), e decir el trabajo de ua, etoce: ΔA i () ΔA e Tambié ΔA i e puede eibir e fució de ² odemo poer ΔA i ²ΔA i, etoce ΔA ΔA de dode: e i ΔA e () ΔA i Vemo aí ditita forma de exprear Etudiaremo el cao particular de ua barra de ecció cotate, articulada e u extremo Sea (x) la ecuació de la elática que adopta la barra cuado e deforma u ifiitéimo El valor de δ lo podemo calcular por diferecia etre la logitud de la elática la de la cuerda, e decir: δ ( ) ( ) ( ) dx dx + d dx ( + ) d dx 8

10 Como coideramo ua curva mu achatada, ( )² e ua catidad pequeña frete a la uidad, por lo tato: 6 ( + ) + + K Etoce: dx dx δ + E cuato al valor de la variació del trabajo itero por flexió: ( ) ΔA i dx dx dx tiee: Etoce: () dx dx Ecuació que o da e equivalete a () Obervemo que i e la expreió de ΔA i, utituimo el valor de por e ΔA i dx dx, reemplazado e δδa i, e tiee: δ dx dx dx dx De dode: (), e equivalete a () dx Como vemo, uado cualquiera de la do ecuacioe () o (), e eceario para reolver el problema, el coocimieto de la fució (x) Si eta (x) e debiera coocer exactamete, o eria útil ete método, pue e tal cao e habría a reuelto el problema por otro método a realidad e que ete método e mu útil por el hecho que, auque e utilice ua fució (x) arbitraria (ditita de real), e obtiee u valor de aproximado ógicamete que el error erá tato meor cuato má e acerque la (x) elegida a la real El valor de que aí e obtiee e iempre aproximado e exceo, ello e debido a que al upoer ua (x) arbitraria equivale a upoer que la barra e ha deformado egú tal (x), e lugar de la real Como para obligar a la barra a eguir tal (x), ditita de la que adoptaría epotáeamete, e eceario agregar vículo oportuamete ditribuido a lo largo de u logitud, eto apoo aumeta la etabilidad de la barra 9

11 ara elática upueta iguale, e decir para fucioe (x) arbitraria igualmete ditate de la real, la expreió: d dx dx (), dx da ua aproximació otablemete maor que la: d dx dx () d dx dx Ello e debido a que la () cotiee a e lugar de ; do fucioe poco diferete etre í (como la fució arbitraria la real) tiee diferecia porcetuale maore etre u diferecia primera má au etre la derivada eguda or ello, iempre que ea cómodo, e preferible uar la ecuació () E el cao de barra de ecció variable, la ecuacioe a utilizar o iguale a la () () co la úica diferecia que J debe coiderare detro de la itegrale: J dx dx ( ) E ; ( ) E dx dx J a vetaja del método eergético repecto del método etático, coite e el hecho que para obteer reultado atifactorio, e evita la itegració de ecuacioe difereciale, que algua vece reulta impoible o mu complicada la olució x 6 f dx 6 f dx Ejemplo: para motrar la diferecia etre lo reultado por aplicació de la ecuacioe () () Supogamo que la ea dada por ua parábola: f ( x x ) Obervemo que la ecuació elegida o e f ( x) la oportua porque cte ootro 8 f abemo que, e variable Calculamo: 5 6 f 8 ( x x + x ) dx + f ( x + x ) 6 f dx 6 f 6 f f dx dx f

12 Empleado la ecuació () e tiee: 6 f () (error 6%) 6 f Empleado la ecuació () e tiee: 6 f () (error %) 8 f 5 Dode vemo que da e exceo que la () e má aproximada que la (), a π que: (real), π² 986 Valor riguroo de la carga de padeo: Como vimo, la carga ítica de padeo olo provoca flecha mu pequeña a que la forma de equilibrio que puede determiar o ifiitamete próxima a la recta E itereate etudiar el cao e que ea poible flecha fiita, e dicho cao e eceario hacer uo de la relació diferecial exacta de la elática: ρ [ + ( ) ] Sutituedo e lugar de u valor haciedo la itegració (a ea por método aproximado o exacto) e llega egú Scheider al iguiete valor de la flecha e el cetro: 9 85 C C + C C + K, iedo C 8 π Y que: π 9 π K a expreió de C o dice que i < reulta C < por lo tato e hace imagiaria, e decir o exite deformació a barra e ecuetra e equilibrio etable Si reulta C por lo tato Si > reulta C > por lo tato e tiee valore de reale poitivo Vemo etoce que para cada carga >, e tiee ua flecha, por lo tato i el material fuee ifiitamete elático reitete, o e preetaría la ietabilidad del equilibrio o reultado obteido por el etudio exacto, difiere de lo del etudio aproximado por medio del cual e obtiee la fórmula de Euler Hata (E) la forma recta e de equilibrio etable A partir de (E) comieza la flexió de la pieza, teiédoe para cada > ua elática de equilibrio co flecha determiada; claro etá que eto e upoiédoe material ifiitamete elático reitete or lo tato bajo eta hipótei o e preeta i el equilibrio idiferete co ifiita elática poible para (E), i el equilibrio ietable para > (E), que reulta de la teoría aproximada

13 ero lo materiale o o ifiitamete elático reitete, como e virtud de la flexió, la pieza trabaja a flexió compueta para carga > (E), pero mu poco diferete de, el material queda ujeto a teioe que obrepaa la σ etoce a o o aplicable lo reultado de la teoría Veamo cuato e poible obrepaar la carga (E) i peligro para la barra: Cuado > (E) e tiee: σ + A W Tratemo de exprear eta ecuació de maera que el aálii ea bie claro ara ello poemo: (E) (E) + k, que i la utituimo e C, reulta: C π π π Coiderado dede a k<<, reulta: C + k k ( + k) + k Sutituedo ete valor de C e la expreió de e tiee, coiderado olo el primer térmio: π k Aí e tiee:,9 k k ( C + ) π k π + k k π k + k Al obteer ete valor de e forma fácil podemo hacer el etudio Ejemplo: Coideremo que la ecció de la barra ea cuadrada de lado a6 cm, luego: A 6cm, a J 8cm, 8 i i,78, ω 6 a a

14 ara cm: S t 7 ; E kg ; σ kg cm cm (E) π 9,86 8 ( E) 88kg, 88 σ 8 6 Coideremo que, Kg (uo por mil) (E) E decir: k 9 k,,9 k,9, 6,8cm ,8 σ + + A W 6 6 σ kg cm Valor mu por ecima de σ, por lo tato la ecuació a o e cierta Coiderado que, 8888 Kg (uo por diez mil) E decir: k,,9cm 88 σ 8 +,9 kg 6 cm Tambié por ecima de σ, por lo tato la ecuació o e cierta ara 7 cm, reulta: ( E) 7kg ; (E) σ 85 kg cm Coiderado,6 77 Kg (, por diez mil) E decir: k, 6,8cm 7 σ 85 +,8 6 kg cm E decir que aumetado la carga Kg e 7 Kg e paa de 85 Kg/cm a Kg/cm Como vemo la carga ítica riguroa difiere e u valor iigificate de la carga ítica de Euler, por lo tato co uficiete aproximació e puede admitir que el comiezo tega lugar para la carga de Euler Ete feómeo de padeo e mu peligroo para la etructura debido a que ua pequeña variació e la carga produce ua fuerte flexió (gra ) derrumbádoe la etructura i que aparezca igú igo exterior que la haga prever Al valor de la carga de Euler e la uele llamar carga de padeo ideal, a que e upoe la exitecia de la codicioe ideale ate mecioada:

15 padeo: Eje idealmete recto aterial idealmete homogéeo Carga idealmete cetrada Y e la deiga co ki A la teió de compreió que la correpode e la deiga teió ideal de σ ki ki A or lo tato e la zoa elática, e decir iempre que σ ki σ, e tedrá: ki π π E ki λ σ dode λ ( J ) A E lugar del limitar el periodo elático por medio de la teioe, e puede hacer por medio de la relació de ebeltez, a que i σ σ, e tiee: ki λ π E σ E decir que la ecuacioe para ki σ ki vale para todo λ λ σ σ p Validez de Euler λ p λ

16 Barra co otra codicioe de borde: El cao vito de barra comprimida co u do extremo articulado e el que má e preeta e la práctica ara otra codicioe e u extremo e puede calcular la carga ítica E (carga de Euler) e forma aáloga, obteiédoe: (a) (b) (c) (d) ki π ki π ki π ki π Se defie como logitud de padeo o logitud ficticia a la correpodiete a ua barra que e ecuetra articulada e u extremo la que para igual ecció traveral, poee la mima carga de padeo que la correpodiete a la de la barra a calcular Aí para el cao (a) la logitud de padeo vale: π π k k ara el cao (b): k ara el cao (c): k ara el cao (d): k Trabajado co eta logitude de padeo k e reduce lo cao (a), (b) (c) al cao de la barra articulada e u do extremo por lo tato e puede trabajar iempre co la fórmula: ki π π E σ ki k λk 5

17 Obteció de la carga ítica para lo cao a), b) c) d) a) E J, x E J + E J + obteemo la ecuació: +, llamado Ecuació diferecial que debe cumplire e todo lo puto de la barra a olució de eta ecuació e del tipo: A e( x) + B co ( x) + a codicioe de borde de la barra etablece: ara: x B + B A e( x) co( x) + x ara: A co co( x ) + ( ), e decir: A ara: x ( co( ) ), e decir: ( ) π co π, por lo tato: π 6

18 b) R E J, Rx x E J + Rx E J + Rx, llamado obteemo la ecuació: Rx + a olució de eta ecuació e del tipo: ( x) + B co ( x) A e + Rx a codicioe de borde de la barra etablece: ara: ara: ara: x B A e A co ( x) x x Ae + ( ) ( ) + Rx + R R () () Teemo u itema de do ecuacioe co do icógita, cuo determiate debe er igual a cero para o teer olució trivial co e ( ) ( ) tg ( ), Ecuació que e cumple aproximadamete e π π, por lo tato: π 7

19 c) x E J, E J E J +, llamado obteemo la ecuació: + a olució de eta ecuació e del tipo: A e ( x) + B co( x) a codicioe de borde de la barra etablece: ara: ara: x B A e ( x) x A co( ), or lo tato: co ( ), e decir: π π, por lo tato: π 8

20 d) x E J, E J + E J + obteemo la ecuació: +, llamado a olució de eta ecuació e del tipo: A e( x) + B co ( x) + a codicioe de borde de la barra etablece: ara: x B + B A e( x) co( x) + x ara: A co co( x ) + ( ), e decir: A ara: x e ( ), e decir: ( ) π e π, por lo tato: π 9

21 Barra empotrada e u extremo eláticamete apoada e el otro: Supoiedo u apoo elático (por ejemplo u reorte) i dicho extremo e deplaza ua catidad f, aparece ua fuerza logitudial de valor c f, i e c la cotate del reorte f Al cargar la barra co ua carga axial de compreió, evidetemete ua de la poicioe de Y c f equilibrio erá la recta, i la carga toma el valor de la carga ítica e poible tambié ua forma curvada de equilibrio, por ejemplo la dibujada e la figura a ecuació diferecial aproximada de la elática erá: + c f x, e decir: X + c f x a olució de eta ecuació como e imediata vale: c f A e( x) + B co( x) + x, que debe atifacer la codicioe de borde: ) ara: x ) ara: x ( ) + B co( ) + B c f ( ) + a () da: A e a () da: A co, c f De dode: A co( ) a que utituida e la ecuació de plateado el cao de que para x, debe er f, e tiee: ( ) ( ) c f e c f f +, co que e puede eibir: c c f tg( ) +, que e la codició de padeo Eta e atiface para f, e decir la olució trivial, o cuado e ulo el factor etre corchete De eta última codició reulta: tg( ) c Eta ecuació reuelta para cada valor de c o permitirá obteer el valor de Si c obteemo el cao de ua barra empotrada e u extremo libre e el otro, teiédoe que:

22 π tg ( ), e decir π Si c, teemo el cao de la barra empotrada co el otro extremo articulado fijo: ( ) tg, que reuelta da: π, π

23 AICACIÓN A ÓRTICOS: órtico co do articulacioe: Bucaremo la carga itica de lo parate del pórtico de la figura, upoiedo como poició de equilibrio la ifiitamete próxima idicada e la figura () Se coidera eta deformació pue, como e fácil de ituir, le correpoderá meo carga ítica que a la otra elática poible, que e la de figura () Al er la etructura imétrica, cada parate puede er coiderado como ua barra comprimida, libre e u extremo (el iferior) empotrada eláticamete e el otro (el uperior) a ecuació diferecial e: f + A J B + θ Cua olució e: J θ J A e( x) + B co( x) Y la codicioe de borde: x Fig: x θ x de () reulta B, luego: A e( x) ara platear la () calculamo la rotació de la tagete al parate, que vale: ( ) x A co( ), la rotació e A del ditel, que reulta ua Fig: barra ometida a la acció de do pare f Dicha rotació vale: θ 6 uego la codició () da: f A co( ) 6 Y como: f A e, pue e x f A e( ) Reulta: co( ) e( ) ; 6 E decir: co( ) e( ) 6 (*) co( ) e( ) 6 ( ) θ ⅔

24 relació: ( ) J 6 J ecuació de dode e obtiee para cada valor de la tg J J Si la barra de la etructura o iguale, reulta:,5 ( ) 6 tg, de dode π Reultado:,8 5, E el cao de que el ditel fuee mu rígido e correpodecia co el parate, tedríamo el cao de ua barra empotrada libre e el otro extremo, tedríamo que: J, o, luego de la ecuació (*) acamo que debe er: co ( ), e J decir: π, por lo tato: π Dijimo cuado defiimo logitud de padeo que la barra de la etructura e puede etudiar como doblemete articulada iempre que e trabaje co la logitud de padeo de la mima Veamo cuato vale e uetro cao k ara ello llamaremo co: J z, iedo z, que e obtiee de tg( ) 6 para cada J J valor de 6 ; luego: k z J Igualamo ete valor al que le correpodería e la barra doblemete articulada de logitud k; aí reulta: z π, de dode: π k k z El etudio umérico de la ecuació: J π J tg( ) 6, muetra que la curva f, coicide J z J aproximadamete co: π J +,8 J z k J +,8 ; J, por lo tato, utituédola e la expreió de, e tiee: k Fórmula eta que o permite etudiar rápidamete la carga de padeo del pórtico baádoe e el cálculo de la logitud de padeo

25 Cao de u marco rectagular: Sea el cao de u marco rectagular ometido a J la acció de la fuerza que comprime la parate A B AC BD Supoiedo que lo puto A, B, C D o pede deplazare lateralmete, ua de la figura de padeo J J puede er la plateada Coiderado que la etructura e imétrica, podemo etudiar la barra AC, la que etará ometida a la fuerza a lo pare e A C debido a lo efecto de lo ditele AB CD C D a ecuació erá: J x ( ) uego: + Y llamado, la olució de la ecuació diferecial erá: A C x ( x) + B co( x) A e +, olució geeral de la ecuació homogéea má olució particular de la ecuació completa a cotate A B, el mometo o tre valore icógita, que para determiarlo erá eceario utilizar la iguiete codicioe de borde: ara x debe er ara x debe er ara x debe er θ Siedo θ el giro e A del ditel ometido a do pare e lo extremo A θ B Aplicado la primer codició teemo: A e( ) + B co( ) +, de dode: B +, de la eguda codició, iedo: A co( x) B e( x), reulta: A co B e A ara platear la tercera codició debemo calcular θ e A para el traveaño AB, que lo calculamo como igue (por viga cojugada): θ B

26 uego, coocido ete valor e tiee la tercera codició: θ A co( ) A E decir que e tiee el iguiete itema de tre ecuacioe: A + B + A co B e + A + B or er el itema homogéeo, la olució trivial da: A B, e decir que correpode a la forma iicial de equilibrio etable para pequeño valore de ero para determiar el valor de e eceario que exita olució para A, B, para ello la codició idipeable e que e aule el determiate de la icógita Eta codició e etoce la de padeo, llamádoe al determiate: determiate de padeo: co e Dearrollado: co + que e puede eibir: e, + tg + tg J J + tg + tg J J, J o io: tg +, J que e la codició de padeo de la cual e obtedrá u valor de para cada valor J de J 5

27 E el cao que J >> J, e decir que lo parate figure empotrado e u extremo, e tiee la codició de padeo reducida a: a que e cumple para tg π, de dode: π Valor que coicide co el a vito para la barra doblemete empotrada E el cao ivero: J << J, e decir que lo extremo de lo parate queda articulado, e tiee: tg π a que e cumple para, de dode: π Valor que coicide co el obteido para la barra co extremo articulado E ete cao etoce e ve que la carga ítica para el parate de u marco π etará compredido etre π, por lo tato la logitud de padeo k valdrá: k 6

28 ANDEO OR DIFERENCIAS FINITAS k- k k+ Aparte de itegrar la ecuació diferecial de la elática directamete, o aplicar el método eergético para reolver columa ometida a compreió, e puede uar diferecia fiita Recordemo que i teemo ua cierta curva f(x), lo valore de la derivada e u puto etá dado por: k+ k k k+ k + k k Vamo a aplicarla al cao de ua barra doblemete articulada, cua ecuació diferecial vimo que erá: + O ea: +, co Expreado eta ecuació e diferecia fiita reulta: k + k + k + k O ea: + + k + k k k k + k ( ) + k+ () / Ejemplo: ea ua barra doblemete articulada de ecció cotate Como primera aproximació dividimo a la etructura e do parte Supoemo ademá ua deformació mu pequeña E eta codició, reulta: Aplicado la ecuació () al puto cetral reulta: + +, pero, Como, etoce e aula el parétei: 8 8 π Siedo el valor exacto 9,87, reulta u error del 9% 7

29 Supogamo ahora que tomamo do puto itermedio, e decir que ; etoce reulta: / E el puto () la ecuació e: co, ademá, etoce: 9 Como etoce: 9 9 or lo tato reulta: 9, de dode e tiee u error del 9% Si tomamo tre puto itermedio, el acho del itervalo ería / el itema de ecuacioe a platear, el iguiete: / E el puto () teemo: + ( ) + E el puto () teemo: + ( ) + Como ademá, reulta: ( ) + + ( ) ara que la olució ea ditita de la trivial, debe er: ( ) E decir: + + De dode: ± 8 ± ( ±,77) a codició má defavorable e co el igo egativo:,989 8

30 9,7 6,586 9,7 que tiee u error de 5% Si dividimo e k parte iguale, e platearía u determiate (determiate de padeo) de la iguiete forma: ( ) ( ) ( ) ( ) K K K K K K K K K Del cual, dearrollado la raíz poitiva meor de permite obteer Extrapolació de Richardo: Se ha demotrado que cuado e platea ua ecuació diferecial de egudo orde e diferecia fiita, el error que e obtiee e proporcioal al cuadrado del acho de la malla or eo i para u acho de malla S, el error e e, para u acho S erá: e S S _ e S _ e S S S Y como: e e e Reulta: ero para:, olució real e + e e + + Y para: ( ) + + De dode: uego: ( ) Y queda fialmete que: 9

31 E decir que coociedo la olució por diferecia fiita para do acho de malla, podemo extrapolar u valor de má exacto E ete cao repreeta el coeficiete de la carga ítica, cuo valor exacto que e π Aplicádolo a la primera eguda aproximació, teemo: 8 ara 9 ara 9, (error,78%) Aplicádolo ahora a la eguda tercera, reulta: ara 9 9,7 ara 9, , , ,7 (error,%) Solució por recurrecia: ara el cao de uar ua malla mu dea el proceo de reolver el determiate de padeo e mu egorroo Eto e puede evitar por medio del método de recurrecia, e decir ecotrar la carga ítica mediate aproximacioe uceiva De la ecuació geeral e diferecia fiita acamo: ( ) k k k + Que e le fórmula de recurrecia que permite formar u itema de ecuacioe lieale homogéea, por medio de tateo determiar el valor de /5 5 Aí, i coideramo Jcte, e tiee: co 5 Si e la última ecuació utituimo el valor de correcto debe aulare, pue ella o e fució de E decir que la última ecuació o da ua forma de reolver el problema, pero e platea ua ecuació de cuarto grado e lo que dificulta la olució o iflue obre el valor de Ahora bie, dado que el valor de, podemo proceder aí:

32 Se toma u valor arbitrario para, que ea maor que cero or ejemplo Se adopta u valor para e reemplaza e la ecuacioe de,, 5 Si 5 e corrige el adoptado, aí iguiedo hata hallar el correcto or ejemplo, tomado 9 : ( 9 5), 6,6,6,6896,6896,6,6,9 5,9,6,69,65 Tomemo ahora el valor : ( 5), 6,6,6,56,56,6,6,897,897,6,56,6 5 Iterpolado reulta 9,57 Otra forma de proceder e la iguiete: 9,,75 6 /6,75,75,75,6,6,75,75,855 No e eceario eguir, pue debería er, por lo tato Δ,5 6 5 Adoptado :,7 6,7,7,97,97,7,7,67 por lo tato Δ -,5 Adoptado 9,5 reulta:,76 6,76,76,5,5,76,76,76 por lo tato Δ,6 Adoptado 9,8 tedremo: 9,8,78 6,78,78,985 por lo tato Δ -,8,985,78,78,7

33 Aí iguiedo e puede etablecer el valor de correcto para el acho de malla adoptado Aplicació a J variable: J / Supogamo la iguiete columa ometida a ua fuerza de compreió Eta e podría reolver como i fuee ua viga doblemete articulada de logitud doble Etoce podemo platear la olució por recurrecia de la iguiete forma; iedo 6 la codició que me permite calcular el Recordemo que la expreió geérica era: ( ) k k+ k J / Tedremo e ete cao do valore de, e decir: J J J J lateamo la olució por recurrecia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Haciedo como, adoptado u valor de, reemplazamo e el itema de ecuacioe aterior verificamo i 6 ; i o e verifica, tomamo otro aí uceivamete hata que 6

34 ANDEO DE BARRAS CON CARGA DISTRIBUIDA Supogamo la iguiete barra, empotrada-libre, ometida a ua carga ditribuida qcte, de logitud Cuado la carga era putual, vimo que: π a olució del problema de carga ditribuida la hacemo mediate el empleo del método eergético qcte Coideremo la iguiete deformada: X Sabemo que e debe cumplir la codició de equilibrio idiferete, por lo tato debe er: δ ΔTΔU η Siedo ΔT el trabajo de la fuerza exteriore ΔU el ξ trabajo itero de deformació Vamo a platear cada uo de eto térmio Supogamo que la deformada de la viga co carga ditribuida, e igual a la de la viga co carga cocetrada: πx δ co () Y Calculamo el mometo flector e ua ecció x: x x x πξ πx q dξ( η ) q δ co δ co dξ x x πx πξ q δ co co dξ x πx πξ q δ co ( x) e π x x πx q δ co ( x) πx + e π π x q δ πx πx ero ΔU dx co ( x) + e dx, π π que ua vez itegrada da: q δ 6 9 π π Δ U + Vamo a determiar ahora ΔT:

35 d ΔT dx λ dx (ara el cao de carga putual) E uetro cao e: ΔT q d dx ( x) dx q ( x) Operado llegamo a la expreió: δ π πx e dx q π δ πx πx ΔT e dx x e dx 8 Reolviedo eta itegral e obtiee: q π δ T 8 π Δ lateado la igualdad de eergía, reulta: q δ π π π 8 π q δ ( q ) 7,89 Comparado la carga ditribuida co la cocetrada: π,6 7,89 ( q) Vemo que la cargada e forma ditribuida reite tre vece má carga que la cocetrada, por lo tato e puede repreetar ua carga ditribuida como ua carga cocetrada de valor ⅓ de la carga ditribuida E el cao de ua combiació de carga: qcte π, ( q)

36 ara el cao de articulada articulada: π ara q p qcte 8,6 ( q) ara q p π,5 q ara q p 5

37 ROBEA Determiar la carga máxima de la iguiete etructura tal que e igú puto de la mima e obrepae el σad Kg/cm, iedo σ p Kg/cm σ f Kg/cm : Dato: 8 cm B C D x cm E Barra AB: D e, cm D i, cm J z 7, cm c/u A,5 cm c/u Barra BC: D cm Aπ cm Jπ/ cm z x A 5 cm cm ara toda la barra: E, * 6 Kg/cm Barra CDE: DIN Nº 8 A8 cm J 5 cm J z cm z Reolució: Y f c f Reolver eta etructura e reolver el cao que e oberva e la figura X Dode la etructura BC CDE e reemplazada por el reorte de cotate c or lo tato debemo hallar la cotate c de dicha etructura ara ello upoemo que actúa ua carga decoocida: El diagrama de mometo erá: El deplazamieto total del puto B erá: BC CDE δ B δb + δc BC Dode δ B e el acortamieto de la CDE barra BC por compreió; δ C e el deplazamieto del puto C por acció de la carga B * C D E 6

38 BC Cálculo de δ B : or la le de Hooke erá: δ BC B A E BC 5 π, 6,76 [ cm] Cálculo de δ C CDE : Aplicado el teorema de Catigliao teemo: C C D E D E * * J δ CDE C D dx + dx C E D ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( + ) CDE δc,8 Cálculo de δ B : δ δ δ B B B δ BC B + δ CDE C (,76 +,8),876 Cálculo de c: Como abemo que c δb, reemplazado el valor de δb e la aterior, reulta (c e el valor de para δ B ): B δ B,876 c c 8,8 Kg c 8,8 Kg,876 cm cm 7

39 Cálculo de la carga ítica : Aplicado la ecuació tg( ) c podemo hallar, a que coocemo el valor de c Eta ecuació la reolvemo por tateo: tg tg tg 8,8 6 6,,8,, ,8, 6,8 I) Supogamo Kg tg 8 obteemo: 8, paado todo de radiae a grado ( 5 ) tg( 5 8 ) tg( 5 ), 66 tg,66,8 II) Supogamo 5 Kg 5 tg,6,8, (,6), 98 tg ( ) tg( 7 ), 76,6 5 tg 5,76,98 5 Kg 8

40 El valor de la teió ítica σ erá: σ σ Kg A,5 cm 655 Kg cm Como σ > σ tomamo como σ σ ad, luego el valor máximo e erá: ad ad 9,6 65Kg ad 65Kg Valor admiible para la etructura NOTA: Ete apute ha ido realizado baádoe e la teoría dada por el Ig Ricardo Acti, rofeor de la ateria hata el año 987 9