Movimiento oscilatorio. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

Transcripción

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2 U poco de hisoria. Galileo E diferees docueos se relaa cóo Galileo descubrió el fucioaieo del pédulo. E el año 8, a la edad de 9 años, cuado asisía a ua isa e el Duoo caedral de la ciudad ialiaa de Pisa cua orre de capaario es la célebre orre icliada observó el balaceo de ua lápara de aceie que colgaba del echo ediae u largo cable. Cuado la lápara coezó a oscilar describía arcos grades se ovía rápidaee. Más arde, cuado la oscilació había disiuido el arco que describía era ás pequeño la lápara iba ás despacio, pero el iepo oal de cada oscilació coplea era siepre exacaee el iso. Cóo descubrió Galileo ese hecho? Sipleee usado coo paró de edida su propio pulso, es decir, coado sus pulsacioes cada vez, para asegurar que cada oscilació eía lugar e el iso periodo de iepo. Cuado Galileo llegó a su casa coezó a experiear co bolias de ploo aadas a hilos de diferees logiudes descubrió que, cualquiera que fuese el peso del ploo la bolia ecesiaba el iso iepo para coplear u viaje de ida vuela que solo el cabio e la logiud del hilo afecaba al iepo de la oscilació. Esa observació codujo al iveo del pédulo, usado e los relojes oros isrueos para edir co precisió el iepo. El ipo de oviieo que Galileo esaba esudiado se llaa Moviieo róico Siple, que a parir de ahora escribireos coo M..S. Moviieo oscilaorio. Moviieo róico Siple M..S. Cuado se perurba u sisea ese pierde su posició de equilibrio esable se produce oscilacioes. Se dice que el oviieo de u cuerpo es oscilaorio cuado efecúa oviieos e uo oro ido alrededor de u puo fijo. U oviieo que se repie a sí iso se deoia periódico, siedo el período el iepo ecesario para que se produzca cada repeició. Ua parícula oscila cuado se ueve periódicaee co respeco a la posició de equilibrio. Siseas que desarrolla oviieos periódicos so por ejeplo: El oviieo de u cuerpo suspedido de u resore uelle. El oviieo de la Lua alrededor de la ierra. El oviieo de u pédulo oscilado co pequeña apliud. El oviieo del balací de u reloj. La oscilació de las oléculas de u cuerpo sólido alrededor de posicioes fijas e la red, auque ese oviieo o puede observarse de odo direco. La vibració de las cuerdas de los isrueos usicales al producir los soidos. deás de los ejeplos aeriores, el oviieo periódico se prea e uchos ipos de oviieo odulaorio. E ua oda soora, a que las oléculas del aire oscila a lo largo de la líea de propagació de la oda. La luz oras odas elecroagéicas esá caracerizadas por la oscilació de vecores de capo elécrico agéico perpediculares a la líea de propagació de la oda. Los elecroes de ua aea radiae o recepora oscila rápidaee. De odos los oviieos oscilaorios, el ás iporae es el Moviieo róico Siple M..S., debido a que, adeás de ser el oviieo ás siple de describir aeáicaee, cosiue ua aproxiació u cercaa de uchas oscilacioes ecoradas e la auraleza. Ere las caracerísicas ás iporaes del M..S. desaca:. Es u oviieo periódico, es decir, e iervalos de iepo iguales el óvil adquiere la isa posició las isas caracerísicas de oviieo.. Es u oviieo oscilaorio o de vaivé a abos lados de ua posició ceral de equilibrio.. La áxia separació del cuerpo e su oviieo, coada a parir de su posició de equilibrio se llaa pliud es siepre la isa. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

3 Siseas físicos oscilaes Sisea asa-uelle Cosidereos u uelle de asa despreciable suspedido vericalee de u puo fijo. Si colgaos u cuerpo de asa del exreo libre del uelle, el cuerpo oscila arriba abajo repiiedo su oviieo cada ciero iepo. edida que pasa el iepo, su oviieo va disiuedo sus desplazaieos se hace ás coros pero el cuerpo sigue ardado exacaee el iso iepo e cada ciclo. Es u aparao perfeco para llevar la cuea del iepo su oviieo se llaa M..S. Cuado el uelle esá esirado iede a irar de la asa hacia su posició origial. Cuao ás se desplace la asa aor será la fuerza que ire a la iversa cuado el uelle esá copriido raa de epujar la asa hacia su posició origial. Cualquiera que sea la direcció e la que se ueva la asa aparece ua fuerza para opoerse al desplazaieo. E cada puo de su oviieo, la fuerza ea es proporcioal de direcció opuesa a la disacia desde la posició de equilibrio de la asa. Siuareos el orige del desplazaieo e la posició de equilibrio, prescidiedo de la ifluecia del peso. Cuado el cuerpo se desplaza ua caidad de su posició de equilibrio, el uelle ejerce ua fuerza k que viee dada por la Le de Hooke: F k dode la cosae de proporcioalidad k se deoia cosae elásica del uelle es caracerísica de la rigidez de ése. El sigo eos idica que se raa de ua fuerza resauradora, es decir, se opoe al ido del desplazaieo respeco al puo de equilibrio. plicado la seguda le de Newo F a al sisea forado por la parícula de asa el uelle de cosae elásica k eeos: d F a d F k k d k a a ó d dode se observa que la aceleració es proporcioal al desplazaieo iee ido corario. Esa ecuació diferecial se refiere o solo al caso de ua asa colgada de u uelle, sio a cualquier sisea físico que al ser perurbado iede a recuperar su posició de equilibrio co ua fuerza proporcioal a la perurbació sufrida. Por ejeplo: la presió del aire e u ubo de órgao, el águlo de u pédulo o la roació de ua cuerda de reloj. Esos siseas uchos oros adopa oscilacioes aróicas que puede ser deasiado rápidas para ser visas o deasiado leas para visualizarlas. Si ebargo, idepedieeee de la frecuecia, cada ua de ellas puede ser repreada por la isa ecuació diferecial. d k d Esa es la caracerísica que defie el M..S. puede uilizarse para ideificar siseas que prea esa clase de oviieo, es decir, siepre que la aceleració de u objeo sea proporcioal a su desplazaieo pero co ido opueso, el objeo se overá co M..S. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez k

4 Veaos ahora cóo se puede obeer experiealee el valor del desplazaieo e fució del iepo. d k La ecuació requiere que sea ua fució cua seguda derivada sea la isa d k fució pero egaiva excepo por u facor cosae. Cooceos dos fucioes cua seguda derivada iee esa propiedad que so las fucioes o coo. Por ejeplo: d d d ω ωcosω ω ωcosω ω ω d d d La seguda derivada de u o o de u coo os da de uevo la fució origial uliplicada por u facor egaivo. Esa propiedad o sufre igua aleració si uliplicaos a la fució o por cualquier cosae. Elegios que la cosae sea, de odo que el valor áxio de será. d k Podeos eoces escribir ua solució de la ecuació coo: d ω Por lo que la cosae puede adquirir cualquier cobiació de solucioes o coo. d k La solució de la ecuació e la fora ás geeral posible es ω co d las cosaes, odavía descoocidas. Si ua parícula se ueve a lo largo del eje Y, por defiició decios que iee u oviieo aróico siple cuado su desplazaieo respeco a la posició de equilibrio esá dado e fució del iepo por ua ecuació del ipo: dode, so cosaes. ω es la elogació o disacia de la parícula a la posició de equilibrio. ω es la frecuecia agular. ω se deoia fase del oviieo. es la fase iicial o cosae de fase. Su valor deeria la posició de la parícula e el isae iicial,. reprea el desplazaieo áxio se deoia pliud. Las cosaes esá odavía ideeriadas por lo ao so arbirarias, lo que sigifica d k que cualquier elecció de saisfará la ecuació de odo que es posible ua d gra variedad de oviieos del oscilador, odos co la isa. Para deeriar las cosaes, derivaos la ecuació ω dos veces co respeco al iepo. d d ω cosω ω ω d d d k Susiuedo e la igualdad obeeos: d Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

5 ω ω k ω ω k ω k lo que sigifica que la ecuació ω es, de hecho, ua solució de la ecuació del oviieo de u oscilador aróico. La apliud la fase iicial del oviieo se puede calcular a parir de las codicioes iiciales del oviieo, eso es, de los valores de la elogació de la velocidad v cuado. v cos v cos v cos Suado iebro a iebro obeeos el valor de la apliud: v cos cos v v ω Dividiedo iebro a iebro ere obeeos el valor de la fase iicial del oviieo: v g g cos v v ω arcg v π Si e la ecuació ω icreeaos el iepo e, la fució resulae es: ω ω π ω ω π ω lo que sigifica que la fució se vuelve a repeir después de u iepo ω π. Esa caidad es lo que e adelae llaareos el Período del oviieo lo repreareos co la lera. El periodo es el iepo que eplea el objeo para realizar ua oscilació coplea alrededor de su posició de equilibrio. Su uidad es el segudo seg. k π ω π k π k d k odos los oviieos dados por la ecuació iee el iso período de oscilació d ese depede solaee de la asa de la parícula de la cosae k del uelle, caracerísica de su rigidez. El iepo requerido para hacer u ciclo copleo o depede de la apliud de las oscilacioes. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

6 La Frecuecia de u oscilador es el úero de vibracioes copleas por uidad de iepo. Se reprea por la lera f es el úero de oscilacioes por segudo. La frecuecia es el recíproco del período esá dada por: f f π k La uidad de frecuecia es el ciclo por segudo ciclo/seg que recibe el obre de Herzios Hz. Por ejeplo, si el iepo ecesario para ua oscilació coplea es 'seg, la frecuecia es de Hz. Cuao ás rígido sea el uelle, es decir, valor de k ás grade, aor será la frecuecia. Cuao aor sea la asa eor será la frecuecia. k Dado que ω, coo k f se deduce que f ω ω π f. π π Esa caidad se deoia Frecuecia agular. iee la diesió del recíproco del iepo lo radiá iso que la velocidad agular su uidad es el. Más adelae vereos su sigificado. segudo Dado que los valores de la fució o oscila ere, los valores de la elogació esará copredidos ere. El siguiee dibujo uesra cóo se puede obeer experiealee el desplazaieo e fució del iepo para ua asa colgada de u uelle. Para coprobar ese experieo egachaos a la asa colgada del uelle u roulador cua posició, siepre la isa, sea perpedicular a u rollo de papel que se ueve perpedicularee al roulador hacia la izquierda co velocidad cosae. El roulador va dibujado el desplazaieo verical e fució del iepo e ese caso se cosidera el desplazaieo posiivo cuado el uelle se coprie. Debido al oviieo del uelle, el roulador solaee se ueve vericalee. El hecho de que el papel sobre el que se dibuja la gráfica se ueva co velocidad cosae hacia la izquierda hace que dicha gráfica coicida co ua siusoide. Moviieo róico Siple -6- Jua Bragado Rodríguez

7 E u uelle, de cuo exreo cuelga ua asa, veos que e la posició de equilibrio, la velocidad es áxia la aceleració ula, ieras que e los exreos la aceleració es áxia la velocidad ula. Moviieo róico Siple -7- Jua Bragado Rodríguez

8 Si e la verical del uelle co el roulador oaos sucesivaee varias foografías obeeos la siguiee secuecia de foograas: Decios que u edio esá perurbado o que esá oscilado, cuado ua propiedad física de él la presió, la desidad, la eperaura, su geoería, ec. varía co el iepo. El oviieo odulaorio esudia la propagació de ua perurbació a ravés del espacio. Quizás el ás iuiivo se observa cuado lazaos ua piedra a u esaque: la perurbació producida e el lugar dode ipaca cora el agua se rasie a las parículas de agua circudaes forádose uas odas cocéricas que avaza por la superficie. Si colocáseos u corcho floado veríaos que, e cuao sea alcazado por la oda, se poe a vibrar e su plao verical si desplazarse laeralee. El corcho oscila arriba abajo pero o se desplaza e la direcció de avace de la oda. El oviieo de las parículas del agua e la superficie, e la que se esá propagado ua oda, es ua cobiació de desplazaieos rasversales logiudiales da coo resulado que las parículas e la superficie se ueva e raecorias casi circulares. Cada parícula se desplaza horizoal vericalee desde su posició de equilibrio. Pero las olas o so odas logiudiales i rasversales. E vez de ello cada parícula del agua de la superficie da vuelas alrededor de u pequeño círculo, cada uo de ellos leveee desplazado del siguiee, dado e cojuo la failiar odulació de la superficie del agua. E los feóeos odulaorios se rasie la vibració o perurbació la eergía que lleva asociada, pero o ha raspore de aeria lo que sigifica que ua oda raspora eergía a ravés del espacio si que se desplace aeria. El hecho de que os parezca que las parículas se desplaza co la oda es ua era ilusió. coiuació se observa varias foografías de ua oda aróica e disios isaes. E rojo se reprea ua de las parículas que vibra que os perie ideificarla e los diferees oeos. Moviieo róico Siple -8- Jua Bragado Rodríguez

9 Moviieo róico Siple -9- Jua Bragado Rodríguez

10 Ejeplo: Moviieo de u boe sobre las olas U boe se balacea arriba abajo. El desplazaieo verical del boe viee dado, por la fució 6 Si el desplazaieo viee dado e eros el iepo e segudos, calcular: a La apliud, frecuecia agular, fase iicial o cosae de fase, frecuecia periodo del oviieo. b Dóde se ecuera el boe cuado seg? c Deeriar la velocidad la aceleració e cualquier iepo. d Calcular los valores iiciales de la posició, la velocidad la aceleració del boe. Solució rad a rad 6 seg f 796Hz seg 6 b 6 d d dv c v cos 6cos a d 6 6 d d 6 d Haciedo '6 6 v 6cos 6 seg a 6 seg Cuado coezaos a coar el iepo seg el boe se ecuera a 6 de alura respeco de la posició de equilibrio ar e cala, la velocidad es de la aceleració es de seg. Cuado 9 seg el boe se ecuera a la áxia alura por ao la elogació seg es áxia. Esa áxia alura se llaa pliud es de, la velocidad se aula la aceleració es áxia egaiva. Para seg el boe se ecuera e la posició de equilibrio, la velocidad es áxia pero egaiva la aceleració ula. Para 87 seg el boe se ecuera e la posició ás baja, la velocidad es ula la aceleració es áxia posiiva, ec. odo lo aerior queda reflejado e las siguiees gráficas: Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

11 Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

12 Pédulo Siple Ha siseas que o esá soeidos esricaee a ua fuerza del ipo de la le de Hooke F kx, pero que puede cosiderarse coo si esuviera soeidos a ua fuerza de ese ipo, coo por ejeplo el Pédulo Siple. El pédulo es u ejeplo cillo de M..S. El pédulo siple se llaa así porque cosa de u cuerpo de asa suspedido de u puo fijo ediae u hilo iexesible de logiud fija L asa despreciable coparada co la asa del cuerpo. Nauralee es iposible la realizació prácica de u pédulo siple, pero sí es accesible a la eoría. El sisea que acabaos de describir se llaa pédulo siple o aeáico, e coraposició co los pédulos reales, úicos que puede cosruirse cuos oviieos podeos observar. El pédulo realiza u M..S. cuado se desplaza ligeraee de su posició de equilibrio puo que correspode co la posició de eergía poecial íia se deja evolucioar libreee bajo la acció de la gravedad. Si la cuerda fora u águlo co la verical, supodreos que las úicas fuerzas que acúa sobre el cuerpo de asa so el peso la esió e la cuerda, es decir, igorareos el rozaieo co el aire la reacció de posibles odas de presió eiidas al aire circudae. Las copoees del peso so dos: ua de valor g cos a lo largo de la cuerda ora de valor g agecial al arco circular e el ido de decreciee. La fuerza agecial del peso es ua fuerza recuperadora dirigida e direcció opuesa al desplazaieo. Si s es la logiud del arco edido desde la pare iferior de la circuferecia hasa la asa, se verifica que el arco s es igual produco del águlo por el radio L, es decir: s L. La fuerza correspodiee a la copoee del peso que se ecuera a lo largo de la cuerda se aula co la esió de la cuerda, por lo que si se cosidera úicaee la fuerza correspodiee al desplazaieo agecial a la raecoria aplicado la ª le de Newo se obiee: d s d d d g L g d d g L E la ecuació diferecial se observa que la asa o aparece, lo que sigifica que el oviieo de u pédulo o depede de su asa. Vaos a supoer que la logiud del pédulo L es ucho aor que el arco s que el desplazaieo agular es suficieeee pequeño, co lo que se puede hacer la aproxiació. Esa aproxiació se puede hacer porque, haciedo u desarrollo e serie de la fució x corado ese desarrollo e el prier ério, la diferecia ere x x es sólo de u % cuado º. Por ao, si el pédulo o oscila co deasiada apliud, su ecuació de oviieo agular es la de u M..S. a que Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

13 d θ d g d θ iee la isa fora que la ecuació diferecial de u M..S. k. L d Si la solució de la ecuació diferecial es la solució para la ecuació diferecial del pédulo d θ d g θ L d k d será: θ θω Para deeriar la frecuecia agular el periodo del pédulo derivaos dos veces la ecuació diferecial. d d d d g ωcosω ω ω. Susiuedo e obeeos: d d L ω g ω L g ω ω ω L ω g L ω g L Coo π L g sigifica que la frecuecia el periodo de u pédulo depede de su logiud de g, pero o de la asa so idepediees de la apliud de la oscilació, para pequeños. Eso es iporae, porque sigifica que odos los pédulos de igual logiud oscilará del iso odo. El pédulo siple suele uilizarse e la prácica para gra caidad de aplicacioes que se podría dividir e dos bloques: - Medir iepos. Su periodo es cosae salvo rozaieos variacioes de L por las codicioes erodiáicas o de g por la laiud o aliud es fácil visualizar el úero de oscilacioes. - Medir g. Las edidas de g co ese éodo so basae precisas, lo que es iporae porque cabios locales de g puede dar iforació valiosa sobra la localizació de recursos ierales o eergéicos. El Pédulo Cicloidal. Pédulo Isócroo El periodo de las oscilacioes del pédulo siple es el iso sólo para pequeñas apliudes, si ebargo exise u pédulo especial e el que el periodo es idepediee de la apliud. Ese pédulo se llaa Pédulo Cicloidal, porque coo explica Huges e su libro Horologiu oscillaoriu, que fue el auor de ese descubriieo, dicho pédulo esá basado e ua propiedad de la curva geoérica llaada Cicloide. E el libro Huges escribe: «El pédulo siple o puede ser cosiderado coo ua edida del iepo segura uifore, porque las oscilacioes aplias arda ás iepo que las de eor apliud; co auda de la geoería he ecorado u éodo, hasa ahora descoocido, de suspeder el pédulo, pues he ivesigado la curvaura de ua deeriada curva que se presa adirableee para lograr la deseada uiforidad. Ua vez que hube aplicado esa fora de suspesió a los relojes, su archa se hizo a pareja segura, que después de uerosas experiecias sobre la ierra sobre el agua, es idudable que esos relojes ofrece la aor seguridad a la asrooía a la avegació. La líea ecioada es la isa que describe e el aire u clavo sujeo a ua Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

14 rueda cuado ésa avaza girado; los aeáicos la deoia cicloide, ha sido cuidadosaee esudiada porque posee uchas oras propiedades; pero o la he esudiado por su aplicació a la edida del iepo a ecioada, que descubrí ieras la esudiaba co ierés puraee cieífico, si sospechar el resulado.» Chrisia HUYGENS: Horologiu oscillaoriu 67 La Cicloide es la curva razada por u puo de ua circuferecia cuado ésa gira sobre ua líea si deslizarse por ella. Si iverios esa curva obeeos la Cicloide iverida e la que las oscilacioes alrededor de la posició de equilibrio so rigurosaee isócroas e ua raecoria cicloidal coo la aerioree descria. El periodo de las oscilacioes, que es idepediee de la apliud de las isas, viee dado por la r expresió, dode r es el radio de la circuferecia que geera la cicloide. Por cosiguiee, el pédulo rigurosaee isócroo deberá ser al que la asa pedular describa ua ra- g ecoria cicloidal. El pédulo cicloidal puede cosruirse a la aera de Huges suspediedo el hilo ere dos cooros sólidos que iee la fora de arcos de cicloide agees e su puo de uió. l oscilar el pédulo, el hilo se ciñe a uo u oro de esos dos cooros cicloidales, la logiud efeciva del pédulo queda así disiuida e ua proporció que depede de la apliud de las oscilacioes. Huges deosró que si la circuferecia que geera los dos cooros cicloidales iee precisaee u radio que es la cuara pare de la logiud del hilo de suspesió del pédulo l r eoces la asa del pédulo describe u arco de cicloide cua circuferecia geerariz iee el iso radio r. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

15 U pédulo cosruido de acuerdo co esos pricipios es rigurosaee isócroo, el periodo de sus oscilacioes es: l g r g La evolvee del haz de recas orales a ua curva recas perpediculares a la curva e cada uo de sus puos se llaa Evolua de ua curva correspode al lugar geoérico de sus ceros de curvaura. La Evolua de ua Cicloide es ora Cicloide. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

16 Cosideracioes geerales de los osciladores aróicos Cuado u oscilador aróico es perurbado, la perurbació produce ua fuerza que lo epuja de uevo a la posició iicial dode la fuerza es cero, pero la iercia lo aiee e oviieo hasa que la fuerza de recuperació lo deiee lo hace reorar uevaee. Esa es la ecia del oscilador aróico siple. Si fuera realee siple coiuaría el oviieo para siepre, coo ua áquia de oviieo coiuo, pero los osciladores reales o so siples a que siepre acúa oras fuerzas rozaieo, resicia del aire, ec. que iede a raleizar sus oviieos. Ese es el oivo por el cual de vez e cuado se debe dar cuerda a los relojes o cabiar sus pilas. El rozaieo coviere la eergía e calor esa eergía debe ser reeplazada para aeer el reloj e fucioaieo, pero icluso cuado la cuerda del reloj se va acabado el periodo de iepo para cada uo de sus ciclos peraece cosae. Ese hecho e cocreo fue descubiero por Galileo Galilei quie observó que u pédulo arda el iso iepo e coplear cada oscilació auque su oviieo esé exiguiédose. Galileo abié observó que odos los pédulos de la isa logiud oscila co la isa frecuecia idepedieeee de sus asas. Galileo, que descubrió la le de caída de los cuerpos se dio cuea de que u pédulo es igual que u cuerpo que cae. Si odos los cuerpos cae co el iso rio, idepedieeee de sus asas, eoces odos los pédulos de la isa logiud debería oscilar co el iso rio idepedieeee de sus asas. Por qué el periodo de u pédulo o depede de su asa? La pregua la coesó Isaac Newo. Gracias a la le de caída de los cuerpos de Galileo, Newo se dio cuea de que odos los objeos cae a la superficie de la ierra co la isa aceleració cosae. Eoces, desde u puo de visa cocepual, vio la coexió ere pédulos de asas diferees cuerpos caedo libreee. E ciero ido, uilizado pédulos de diferees asas, Newo puso a prueba la le de caída de los cuerpos si la veaja del vacío. Co los osciladores aróicos, los relojeros fuero capaces de aporar precisió uiforidad co la edició del iepo. Ua hora e Cabridge llegó a durar exacaee lo iso que e Veecia. El oviieo aróico que regula la precisió de u reloj del abuelo es el pricipio que sua la precisió de los oderos relojes de cuarzo e los que illoes de oscilacioes por segudo arca la hora co icreíble precisió. El M..S. se puede ecorar e ua eore variedad de feóeos físicos: uelles co asa, pédulos, ubos de órgaos, circuios elécricos, áoos e u reículo crisalio, ec. El M..S. es la respuesa de la auraleza al esíulo sobre cualquier sisea e equilibrio esable, por eso es a iporae. E el M..S. la frecuecia el periodo so idepediees de la apliud. El hecho de que la frecuecia del M..S. sea idepediee de la apliud iee iporaes cosecuecias e uchos capos. E el capo de la úsica, por ejeplo, sigifica que el oo de ua oa que se oca e u piao, que correspode a la frecuecia, o depede de la fuerza co la que se oca la oa, es decir, de la iesidad de la isa, que correspode a la apliud. Si las variacioes de apliud uvie u gra efeco sobre la frecuecia, los isrueos usicales o sería aroiosos. Ua vez que se ha dado ua oa, el oo del soido peraece igual auque disiua las vibracioes. Los oviieos periódicos queda descrios e fució del iepo por ua fució aróica, o o coo. Si la descripció de u oviieo requiriese ás de ua fució aróica, e geeral sería u oviieo aróico, pero o u M..S. Es u iporae coocer el Moviieo róico Siple, a que el eorea de Fourier esablece que cualquier clase de oviieo periódico puede cosiderarse coo la superposició de oviieos aróicos siples. Moviieo róico Siple -6- Jua Bragado Rodríguez

17 Relació ere el M..S. el Moviieo Circular Uifore M.C.U. Exise ua relació aeáica cilla, pero iporae, ere el M..S. el oviieo circular co velocidad cosae. Podeos dar ua ierpreació geoérica cilla a las ecuacioes que describe u M..S. cosiderádolo coo la proecció de u oviieo circular uifore sobre uo de sus diáeros. Esa repreació resula úil para describir alguas caracerísicas del M..S. para deeriar el resulado de superpoer dos M..S. E esa repreació, llaada de Fresel, se cosidera u puo que gira co velocidad agular alrededor de ua circuferecia de radio. El vecor que va desde el cero de la circuferecia hasa la posició isaáea del puo sobre la circuferecia se deoia vecor roaorio. Mieras el vecor roaorio gira co velocidad agular, su proecció sobre u diáero de la circuferecia sigue u M..S. Cuado la parícula ha recorrido u águlo la proecció sobre el eje de las es: ω que coicide co la ecuació del oviieo aróico siple, por ao, la proecció sobre ua reca de ua parícula P que se ueve co oviieo circular uifore es u M..S. es la Elogació o disacia de la parícula que vibra a la posició de equilibrio e cualquier isae. es la pliud o elogació áxia. ω es la velocidad agular de la parícula. es la cosae de fase o Fase iicial. Es el águlo que ha recorrido la parícula e el isae e que coezaos a coar el iepo. ω es la Fase o águlo recorrido por la parícula e u isae de iepo. Moviieo róico Siple -7- Jua Bragado Rodríguez

18 La frecuecia el período del oviieo circular uifore so los isos que la frecuecia el período correspodiees al M..S. De acuerdo co eso, el M..S. es el oviieo que describe sobre uo de los diáeros de la raecoria circular la proecció de u cuerpo que se ueve co u M.C.U. La proecció del oviieo circular sobre el eje es ω cosω a que cos por ser águlos copleearios, por lo ao podeos cosiderar el oviieo circular de ua parícula coo la cobiació de dos oviieos aróicos siples perpediculares que iee la isa apliud frecuecia pero que posee u diferecia de fase relaiva de /. π π Ejeplo 6 ω 6 79 ω Moviieo róico Siple -8- Jua Bragado Rodríguez

19 Moviieo róico Siple -9- Jua Bragado Rodríguez

20 Coposició de oviieos aróicos siples. Desfase Cosidereos la superposició o ierferecia de dos M..S. bajo la hipóesis siguiee: la resulae de dos o ás oscilacioes aróicas es sipleee la sua de las oscilacioes aisladas. La palabra ierferecia se eplea para describir el efeco producido al cobiar dos odas que se desplaza siuláeaee a ravés de u edio. Cuado dos odas de igual, direcció frecuecia ierfiere fora ua oda resulae que es la sua de las dos odas que ierfiere. El Desfase ere dos odas es la diferecia ere sus fases. El desfase puede exisir ere dos odas de cualquier ipo, pero e ese caso os referireos a solo al exie ere dos odas siusoidales de la isa frecuecia. El desfase se puede expresar coo: - U águlo e radiaes. El águlo de desfase se suele reprear ediae el síbolo. - U iepo e segudos. El iepo de desfase lo vaos a reprear co el síbolo. - Ua disacia e eros. Exi dos odos de edir el desfase ere dos odas que iee la isa frecuecia agular : Mediae ua gráfica f x El águlo de desfase lo edireos e radiaes ediae la diferecia ere las fases de las dos odas, es decir,. Mediae ua gráfica f Ha dos aeras de calcular el iepo de desfase ó d : a Coo la diferecia eporal, e segudos, exie ere rad u puo de ua de las odas el equivalee a la ora oda. d seg rad / seg Viee dado por la expresió: b Coo el águlo de desfase, e radiaes. Para calcular el desfase coo u águlo ha que uliplicar el iepo de desfase por la frecuecia agular de las odas. Si las odas iee la isa frecuecia el cálculo del desfase se obiee coo la diferecia ere las fases de las dos odas,. π Ejeplo: Sea las fucioes e. /. El desfase es: rad ó d seg. 6 Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

21 Ejeplo: Sea las fucioes 6.,, 6,, el periodo es seg, el desfase ere ellas rad 6 ó seg d Ejeplo: Sea las fucioes 8. El desfase e radiaes ere las dos fucioes es: rad 8 Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez El desfase e segudos ere las dos fucioes es: seg

22 Superposició de dos M..S. de la isa direcció la isa frecuecia Dos fuerzas proporcioales al desplazaieo puede acuar siuláeaee sobre u iso cuerpo el resulado es la superposició del M..S que produce idepedieeee cada uo. Vaos a esudiar la superposició o ierferecia de dos M..S. de la isa direcció frecuecia, el priero co apliud fase iicial el segudo co apliud fase iicial, que produce u desplazaieo de ua parícula a lo largo de ua isa líea. El desplazaieo de la parícula producido por cada M..S. esá dado por: ω ω La superposició de esos dos M..S. da coo resulado u M..S. e el que el desplazaieo resulae de la parícula esá dado por la sua de. ω ω Vaos a deosrar que el desplazaieo resulae,, correspode a u M..S. de ecuació ω. La apliud la fase se obiee a parir de la siguiee figura para el isae iicial de iepo. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

23 De la figura se deduce, aalizado los riágulos, que x x x. La copoee del vecor sua OP de los vecores roaes OP OP es jusaee la sua las copoees de OP OP. Por ora pare, a que el águlo ere los vecores roaes OP OP iee u valor fijo de, el vecor OP iee ua agiud cosae, roa abié alrededor de O co ua velocidad agular cosae. Por cosiguiee el vecor roae OP geera u oviieo aróico siple de frecuecia agular, podeos escribir ω plicado el eorea del Coo al riágulo forado por los vecores el valor de la apliud resulae. PP OP, OP calculaos cos 8º cos cos La fase iicial del oviieo resulae la obeeos calculado g e la priera figura. g x x x cos cos por ao: arcg cos cos Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

24 Ejeplo 6 6 El desfase ere los dos M..S. es: rad 6 6 ó seg 6 6 La apliud del M..S. resulae la calculaos a ravés de la fórula: 6 cos La fase del M..S. resulae la calculaos a ravés de la fórula: 9 89º cos cos 6 rad arcg El desfase ere los dos M..S. es: rad 6 6 ó seg seg 6 / / 6 Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

25 Casos pariculares a Si eoces se dice que los dos oviieos esá e fase. Dos M..S. esá e fase si la diferecia de fase es cero ó u úliplo eero de radiaes, es decir, k π k Z. La apliud del M..S. resulae es: cos ese ipo de ierferecia se la deoia cosruciva. E el caso de que. ese ipo de ierferecia e deoia copleaee cosruciva. eoces Coo, la fase iicial del M..S. resulae es: arcg arcg arcg g cos cos cos El M..S. resulae edrá la isa direcció, la isa frecuecia su apliud será la sua de las dos. Ejeplo Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

26 b Si eoces se dice que los dos oviieos esá e oposició de fase o corafase. Dos M..S. esá e oposició de fase si la diferecia de fase es u úliplo ipar de veces radiaes, es decir, k k Z. E ese caso, los vecores roaorios so opuesos la apliud del M..S. resulae es: cosk es decir, es igual a la diferecia de las apliudes de los dos M..S. La fase iicial del M..S. resulae es: arcg cos cos arcg cos cos arcg arcg g cos Los dos M..S. ierfiere aeuádose a que sus apliudes se resa. El M..S. resulae edrá la isa direcció la isa frecuecia. Ejeplo E paricular, si los dos M..S. se cacela uuaee e cada puo se dice que la ierferecia es desruciva. Moviieo róico Siple -6- Jua Bragado Rodríguez

27 Ejeplo c Si eoces se dice que los dos oviieos esá e cuadraura. Dos M..S. esá e cuadraura si la diferecia de fase es u úliplo ipar de veces radiaes, es decir, k Z k. E ese caso la apliud del M..S. resulae es: cos k Moviieo róico Siple -7- Jua Bragado Rodríguez La fase iicial del M..S. resulae, coo se observa e la figura adjua, es: g arcg arcg

28 Ejeplo 6 6 6º 66 cos cos arcg g 66 d Si k k Ejeplo Ua parícula esá soeida, siuláeaee, a dos M..S. de la isa direcció frecuecia. Si las ecuacioes de los dos M..S. so los descrios a coiuació, describir el oviieo resulae. Moviieo róico Siple -8- Jua Bragado Rodríguez cos 9 cos

29 7 º cos cos arcg g 876 Ejeplo Ua parícula esá soeida, siuláeaee, a dos M..S. de la isa direcció frecuecia. Si las ecuacioes de los dos M..S. so los descrios a coiuació, describir el oviieo resulae. La apliud la fase iicial del oviieo resulae so: 7 86 cos cos 89 cos cos arcg cos cos arcg El desfase ere es: e rad seg 9 Moviieo róico Siple -9- Jua Bragado Rodríguez

30 La fució que reprea el oviieo resulae es la sua de las dos fucioes si seg 9 Ejeplo Ua parícula esá soeida, siuláeaee, a dos M..S. de la isa direcció frecuecia. Si las ecuacioes de los dos M..S. so los descrios a coiuació, describir el oviieo resulae. La apliud la fase iicial del oviieo resulae so: 7 cos cos 8º cos cos arcg arcg cos cos arcg La fució que reprea el oviieo resulae es la sua de las dos fucioes. 7si Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

31 El desfase ere e Coo se observa e la gráfica es: rad ó seg π π π δ seg. Podeos calcular para qué valores de la elogació del oviieo resulae será áxia pliud. Derivaos la fució del M..S. resulae e igualaos a cero. 76 cos cos arccos k k k 68 k Para esos valores de la elogació es áxia, posiiva o egaiva, coo se observa a coiuació: Para k Para Para k k Para k Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

32 Ejeplo Ua parícula esá soeida, siuláeaee, a dos M..S. de la isa direcció frecuecia. Si las ecuacioes de los dos M..S. so los descrios a coiuació, describir el oviieo resulae. 78 cos cos cos cos cos cos cos g rad arcg º La ecuació del M..S. resulae es: 9 76 El desfase ere es: e rad ó seg La elogació para es: La elogació para 9 es: Para calcular cuáles so los valores de para los que la elogació del oviieo resulae es áxia pliud, derivaos la fució correspodiee al M..S. resulae e igualaos a cero. 9 cos 9 cos 76 Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez k k k 6 98 arccos 9

33 Para k Para k Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

34 Superposició de dos M..S. de la isa direcció disia frecuecia Para el esudio de dos M..S. de disia frecuecia coviee recordar la defiició de fució periódica. Ua Fució Periódica f, cuple la siguiee propiedad para odo valor de : f f dode a la cosae se la deoia Periodo de la fució. Geeralizado lo aerior podeos obeer f f co,,,, ec. Ejeplo Cuál es el período de la fució Si f es periódica se debe cuplir: f cos f cos cos? cos f cos cos Sabeos que se verifica cos x k cos x co k Z eeros, por ao para que se cupla la igualdad se requiere que: k k es decir 6 k 8 k co k k Z El íio valor para se obiee cuado k k, es decir, coo se observa e la siguiee gráfica: Vaos a esudiar cuáles so las codicioes que iee que cuplir las fucioes o coo para que cualquier sua de fucioes o coo resule ua fució periódica. Cosidereos la fució f cos cos. Para que sea periódica eeos que ecorar dos eeros ales que debe ser u úero racioal. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

35 o es u ú- Ejeplo La fució f cos cos o es periódica, a que ero racioal. Ejeplo La fució racioal. f cos cos o es periódica, a que o es u úero Ejeplo La fució o es u úe- / ro racioal. f o es periódica, a que Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

36 ω ω Dos M..S. viee descrios por las ecuacioes e. El águlo ere los vecores roaes OP OP ahora o es cosae, por lo que el vecor resulae OP o iee logiud cosae o roa co velocidad agular cosae. E cosecuecia el oviieo resulae o es u M..S. Si aalizáraos los vecores roaorios os ecoraríaos algo parecido a la sua vecorial de las agujas del reloj, dode cada ua se ueve a su propio rio. l eer los dos M..S. disia frecuecia, la fució resulae la obeeos suado las dos fucioes. dode la apliud del oviieo resulae es: cos ω ω Se dice eoces que la apliud es odulada oscila ere los siguiees valores cuado k cuado k. El periodo de odulació esá dado por: La fase iicial se obiee cuado seg. M π ω ω arcg cos cos Ejeplo Ua parícula esá soeida, siuláeaee, a dos M..S. de la isa direcció disia frecuecia apliud. Si las ecuacioes de los dos M..S. so los descrios a coiuació, describir el oviieo resulae Moviieo róico Siple -6- Jua Bragado Rodríguez

37 6 cos 6 cos La apliud de color azul e la gráfica se dice que es odulada varía ere. ω ω plicado la rasforació de sua de os e produco cos x x x cos cos ω ω ω ω cos El resulado es el produco de dos fucioes que depede del iepo es decir ua fució odula a la ora. La oscilació resulae o es u oviieo aróico siple, auque las odulacioes si so aróicas la frecuecia agular viee dada por la expresió ω ω ω que es la frecuecia proedio de las dos oscilacioes. Moviieo róico Siple -7- Jua Bragado Rodríguez La apliud de la vibració resulae varía co el iepo viee dada por la fórula:

38 ω cos ω ω cos M M dode a la expresió M ω ω ω se la deoia frecuecia de odulació. Esa apliud se llaa pliud odulada, su valor, que depede de la frecuecia de odulació, varía ere los valores exreos cosecuecia del valor del coo. E la oscilació resulae ha oeos e los que las dos oscilacioes se superpoe e fora cosruciva oros oeos e los que se superpoe e fora desruciva. La resulae edrá oeos de apliud doble oeos de apliud ula. Coclusió El oviieo resulae de suar dos o ás oviieos aróicos siples de diferee frecuecia agular se cooce coo vibració pulsae. Esa vibració se caraceriza porque la frecuecia del oviieo es proporcioal al proedio de las frecuecias ivolucradas, pero la apliud del oviieo varía co el iepo geerado lo que se cooce coo evolvee de la oda. Ejeplo Ua parícula esá soeida, siuláeaee, a dos M..S. de la isa direcció, isa apliud disia frecuecia. Si las ecuacioes de los dos M..S. so los descrios a coiuació, describir el oviieo resulae cos 6 6 cos 6 cos cos Por lo ao la apliud oal es cos La apliud abié la podeos calcular a ravés de la fórula que heos obeido al pricipio: 6 8cos 8 6 8cos Moviieo róico Siple -8- Jua Bragado Rodríguez que varía ere

39 E la siguiee gráfica se observa las pulsacioes de ese ipo de oviieo co la odulació de la apliud e color azul. Para la apliud 8 8cos 6 Para la apliud cos Moviieo róico Siple -9- Jua Bragado Rodríguez

40 ω ω Si so casi iguales eoces M la apliud flucuará leaee. Iagieos, para siplificar, que e el isae iicial las dos odas que llega a u puo se ecuera e fase. Coo la frecuecia de ua de ellas es ligeraee superior a la de la ora, aquella que iee la frecuecia ligeraee aor se irá reardado, aueado el desfase respeco de la ora hasa ecorarse e oposició de fase, puo e el que la apliud de la oda resulae será ula. Poserioree las dos odas se ecorará e fase de uevo se suará las apliudes de las dos odas, ec. Eso se puede coprobar al acivar al iso iepo dos fuees de soido que iee casi la isa frecuecia, por ejeplo de Hz Hz. Nuesro sisea audiivo percibirá u úico soido correspodiee a ua oda co ua frecuecia de Hz, proedio de las dos, cua apliud varía co ua frecuecia de Hz. Si ebargo el soido resulae crece repeidaee después decae e lugar de peraecer cosae. Esas variacioes repeidas e apliud se deoia pulsacioes o baidos. Las pulsacioes se percibe para diferecias e las frecuecias de hasa ó Hz. Si la diferecia es aor coieza uevaee a percibirse los dos soidos siuláeaee. edida que las frecuecias de los soidos se hace ás cercaas, la frecuecia de pulsació se hace ás lea. Es por eso que u úsico puede afiar ua guiarra co ora fuee de soido sipleee escuchado las pulsacioes ieras icreea o disiue la esió de la cuerda. l fial, las pulsacioes se hace a leas que se desvaece las dos fuees esá e oo Cosidereos dos M..S. de igual apliud pero de frecuecias ligeraee diferees. Ejeplo Ua parícula esá soeida, siuláeaee, a dos M..S. de la isa direcció, isa apliud frecuecias ligeraee diferees. Si las ecuacioes de los dos M..S. so los descrios a coiuació, describir el oviieo resulae calculado el periodo de baido el de vibració. 6 E geeral el M..S. resulae lo podeos expresar a ravés de la fució: cos cos cos cos Si observaos las dos odas, vereos que esá periódicaee e fase fuera de fase, es decir, ha ua aleracia e el iepo ere ierferecia cosruciva e ierferecia desruciva. E los puos dode las odas esá e fase, se observa que la apliud de la oda resulae sua de las dos es el doble que la apliud de cada oda, e cabio, e los puos e los que las odas esá e oposició de fase, la apliud resulae es cero. El periodo de baido o de odulació es: Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

41 seg B w w El periodo de vibració es: 8 seg La gráfica de color rojo uesra la apliud odulada la gráfica de color azul el resulado de la coposició de los dos M..S. Ha uchos feóeos físicos e los que el oviieo de ua parícula es la superposició de dos M..S. de frecuecias agulares ligeraee diferees. Por ejeplo, puede obeerse fácilee pulsacioes co dos diapasoes de igual frecuecia, si ás que odificar ligeraee la de uo de ellos co u pequeño rozo de cera adherido a ua de sus raas. Los diapasoes que aes soaba al uísoo producirá e ese caso pulsacioes u arcadas. Si los diapasoes iee frecuecias de Hz Hz, el oído percibirá u soido de Hz. Las vibracioes de los diapasoes se rasie por el aire llega al ípao del oído, pero ése o recooce dos oas diferees sio ua úica oa de frecuecia igual al proedio de las dos frecuecias co variacioes e la apliud. E ese caso, se produce u baido de Hz, es decir, e seg. el soido se hará ás ieso e dos ocasioes. Es lógico que cofore las frecuecias de las odas se aproxia ás, la frecuecia del baido es cada vez eor, hasa que cuado se iguala el baido desaparece. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

42 Superposició de dos M..S. de direccioes perpediculares. Figuras o Curvas de Lissajous Las curvas deoiadas Figuras de Lissajous so las raecorias seguidas por ua parícula que oscila siuláeaee e dos direccioes perpediculares ere sí. E geeral so disias la apliud la frecuecia e abas direccioes, ere las dos oscilacioes puede haber ua diferecia de fase arbiraria. odos los casos que heos viso hasa ahora se refiere a la superposició de M..S. e ua sola diesió. Para su aálisis heos uilizado los vecores roaorios e el plao, de al fora que la proecció del vecor sobre ua deeriada direcció reprea el oviieo esudiado. Vaos a cosiderar ahora el caso e el que ua parícula se ueve e u plao de al odo que sus coordeadas x e oscila co M..S. plicado u éodo siilar a los aalizados hasa ahora, vaos a esudiar la cobiació de dos M..S. que acúa sobre los ejes X e Y respecivaee cuo oviieo resulae se ecuera e el plao XY, es decir, vaos a superpoer dos oscilacioes aróicas que esá e líeas perpediculares. El oviieo a lo largo del eje X viee dado por la ecuació: x x x El oviieo a lo largo del eje Y viee dado por la ecuació: Las ecuacioes aeriores so las ecuacioes paraéricas de la raecoria se reprea gráficaee ediae los diagraas roaorios de la figura adjua. Para describir ese oviieo coezaos dibujado dos circuferecias de radios x. La de radio x la usareos para los desplazaieos e el eje X la de radio para los desplazaieos e el eje Y. La descripció de ese oviieo lo podeos reprear gráficaee de la siguiee aera: Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

43 plicado los vecores roaorios proecado las respecivas posicioes de x e para u iepo deeriado, se obiee u puo que queda ecuadrado dero de u recágulo de lados x. El prier M..S. se reprea proecado el exreo del vecor roaorio x sobre el eje x. La abscisa x del exreo del vecor roaorio de la figura iferior da la abscisa x de la `parícula oscilae. El segudo M..S. se reprea proecado el exreo del vecor roaorio sobre el eje. La ordeada del exreo del vecor roaorio de la figura superior da la ordeada de la parícula oscilae. Por ao, proecado verical horizoalee los exreos de esos vecores roaorios puede deeriarse la posició de la parícula e u isae cualquiera. El diagraa aerior uesra la posició de la parícula e los isaes. Ejeplo Dibujar la curva de Lissajous para los valores, es decir x e. x co x La frecuecia correspodiee al eje es doble que la del eje x por lo que el iepo e dar ua vuela a la circuferecia es la iad que e el eje x. Para dibujar la curva de Lissajous correspodiee dividios la circuferecia de eje x e 8 pares iguales coezado e el orige, a que la fase iicial es cero, las ueraos correlaivaee de la a la 8. Lo iso haceos e la circuferecia correspodiee al eje por lo que la ueració dará dos vuelas a la circuferecia. razaos recas de al fora que defiios las posicioes de los 8 puos los uios siguiedo los úeros correlaivos. El resulado es la figura de Lissajous para el caso que esaos raado. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

44 Ejeplo Supogaos dos M..S. de direccioes perpediculares ere sí dados por las expresioes x e. Reprear gráficaee a ravés de las fu- cioes rigooéricas la curva de Lissajous que resula. Las curvas que viee a coiuació correspode a algua de las figuras de Lissajous para varias razoes de frecuecias diferecias de fase iiciales. Si las frecuecias so coesurables, coo e las figuras repreadas, la parícula recorre ua ora vez ua raecoria cerrada, pero si o lo so la raecoria o se cierra sobre sí isa la figura resula a veces u coplicada. Si las frecuecias so casi coesurables, la raecoria cabia co gra leiud, si el propio oviieo es u rápido, coo sucede a eudo e el caso de las figuras obeidas co u oscilógrafo, la ipresió es de ua curva cerrada que va cabiado de fora gradualee. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

45 ω ω ω x El orige del iepo lo escogereos de odo que la fase iicial del oviieo a lo largo del eje X sea cero. El desfase ere los dos oviieos será. De ese odo las ecuacioes de los oviieos a lo largo del eje X del eje Y será: Si E ese caso, x e se ecuera e fase. x x x x Si dividios ere sí abas expresioes obeeos la siguiee ecuació que correspode a ua reca. Geoéricaee esa ecuació reprea ua reca co pediee posiiva que pasa por el orige, pero coo el oviieo esá iscrio dero de u recágulo que lo egloba, de lados x, lo que queda al fial es u sege- reca siuado e la diagoal del recágulo o de que iee pediee posiiva. Ese segeo esá repreado e la figura adjua el oviieo que resula es u M..S. de apliud x a que el desplazaieo a lo largo de la diagoal es: x x x x r x x x Si E ese caso, x e se ecuera e oposició de fase. x x Si dividios ere sí abas expresioes obeeos la siguiee ecuació, que correspode a ua reca. x x x x Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

46 Geoéricaee esa ecuació reprea ua reca co pediee egaiva que pasa por el orige, pero coo el oviieo esá iscrio dero de u recágulo que lo egloba, de lados x, lo que queda al fial es u segeo de reca siuado e la diagoal del recágulo que iee pediee egaiva. El oviieo es uevaee u M..S. de apliud x. Se dice que cuado ó la ierferecia de los M..S. perpediculares de la isa frecuecia da lugar a ua polarizació recilíea. Si E ese caso se dice que los oviieos a lo largo de los ejes X e Y esá e cuadraura. Elevaos al cuadrado las dos expresioes. x x cos x x cos Dividiedo la priera expresió ere x la seguda ere suado iebro a iebro las expresioes resulaes obeeos: x x cos x x x cos x Geoéricaee esa ecuació reprea ua elipse recorrida e el ido de las agujas del reloj. Se obiee la isa elipse si ó pero el oviieo es e ido corario a las agujas del reloj. Por ao, cuado la diferecia de fase es la ierferecia de dos M..S. de igual frecuecia direccioes perpediculares da lugar a ua polarizació elípica. Moviieo róico Siple -6- Jua Bragado Rodríguez

47 Vaos a esudiar ahora el caso e el que los dos oviieos iee la isa frecuecia la isa apliud, es decir: ω ω ω x Para u valor arbirario de la diferecia de fase, la raecoria es aú ua elipse pero sus ejes esá roados co respeco a los ejes de coordeadas. Veaos cóo obeer la ecuació geeral para las diferees elipses. x [ cos cos ] x x Coo cos x cos x x cosδ x δ Supogaos que Si 9º xcos9º x 9º x que correspode a la circuferecia repreada e la priera figura cuo oviieo es e el ido de las agujas del reloj. odas las deás figuras se obiee susiuedo e la ecuació geeral la apliud por por el valor correspodiee. Si º xcosº x º x 86 x Si º xcosº x º 86 x x Si 8º xcos8º x 8º x Si º x cos º x º 86x x, ec., ec., Moviieo róico Siple -7- Jua Bragado Rodríguez

48 Moviieo róico Siple -8- Jua Bragado Rodríguez

49 ω ω x Vaos a supoer e ese caso, por coodidad de cálculo, que las apliudes so iguales que la fase iicial del oviieo a lo largo del eje X es, co lo cual el desfase es. Sea x [ cos cos ] x Si Si Si Moviieo róico Siple -9- Jua Bragado Rodríguez

50 Si Si Si Si 6 Si 8 9 Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

51 ω ω x x 9 x 9 x 9 x 8 6 x 6 6 x 7 x cos Logo de la BC x Logo del laboraorio Licol x 7 7 Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

52 Orogoalidad de Seos Coos Se dice que u cojuo de fucioes so orogoales e el iervalo, si dadas dos fucioes cualesquiera de dicho iervalo cuple la siguiee codició: f k f b a f b a si r si f f Ejeplo Coprobar que las fucioes so orogoales e el iervalo., d d Ejeplo Coprobar que las fucioes so orogoales e el iervalo cos,. cos d Supogaos el siguiee cojuo ifiio de de fucioes orogoales e el iervalo,.,...,,,...,,cos,cos,cos Vaos a coprobar su orogoalidad oado las fucioes por pares:. cosω f f cos d cos d a que es u úero eero.. ω f f cos cos cos d cos cos d Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

53 . f cosω f cosω. f ω f ω. f ω f cosω cos cos d d cos d, R E esos res úlios casos, para resolver las iegrales ha que usar las fórulas rigooéricas de rasforacioes de producos de os coos e suas así coo las del o coo del águlo doble. álisis de Fourier del oviieo periódico Ua fució periódica f de periodo iee la propiedad de que f f coo se ha viso aerioree. Ese oviieo geeral oscilaorio puede expresarse coo ua cobiació de oviieos aróicos siples. Cosidereos, por ejeplo, el oviieo cuo desplazaieo esá descrio por la expresió: f B Esa expresió reprea la superposició de dos M..S. de frecuecias agulares periodos. La fució f abié es periódica su periodo será. Sea f co e, coo se observa el las gráficas siguiees. Los periodos de e so respecivaee el de f es. Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez

54 Del razoaieo aerior se observa que suado oviieos aróicos siples cuas frecuecias sea úliplos de ua frecuecia fudaeal cuas apliudes sea seleccioadas correcaee e geeral la apliud de los aróicos se expresa geeralee coo u ciero ao por cieo e relació a la oda fudaeal podeos obeer casi cualquier fució periódica arbiraria. Lo iverso abié se cuple cosiue el eorea de Fourier. E el ejeplo siguiee se reprea la fució f dode las frecuecias sucesivas se obiee suado a la aerior las apliudes correspode a co,,,... siedo,, 6, eorea de Fourier El eorea de Fourier esablece que ua fució periódica expresarse de la siguiee fora: f de periodo puede a f a cosω a cos ω a cosω... a b ω b ω b ω... b ω cosω... que se cooce coo serie de Fourier. la frecuecia ω se la deoia frecuecia fudaeal a las frecuecias ω,ω,ω,..., ω se las deoia aróicos o sobreoos. El plaeaieo geeral cosise e lo siguiee: dada ua fució periódica f, por ejeplo de periodo, quereos escribirla coo ua cobiació de fucioes e la que iervega úicaee os coos, que so las fucioes periódicas de periodo ás siples coocidas. Ua serie de ese ipo recibe el obre de Serie rigooérica o Serie de Fourier. Llaareos Serie de Fourier asociada a f, a ua serie rigooérica. La serie puede desarrollarse igual para cualquier fució durae cualquier duració fiia de iepo ieras la copoee fudaeal de la serie pasa por u ciclo copleo. Si llaaos al coiezo del periodo al fial de dicho periodo, el periodo de la copoee fudaeal será, por ao: ó Moviieo róico Siple -- Jua Bragado Rodríguez...