REGIMEN PERMENENTE SENOIDAL

Transcripción

1 A.4. TEOÍA DE UTOS APÍTUO 8: EGEN PEENENTE SENODA ádra d Toría d ircuios Edición 05

2 8. Snoids y fasors. éodo sibólico. Esudiaros ahora l coporaino n régin prann snoidal, s dcir cuando sán alinados por funs sinusoidals d una frcuncia d los circuios linals, invarians n l ipo. Nusra a srá dsarrollar la écnica d análisis dian l éodo fasorial, l cual consis n asociar a cada onda snoidal (d nsión o d corrin un núro coplo dnoinado fasor. Esa écnica s uy iporan n la ingniría por varias razons: a nurosos circuios opran sncialn n régin prann snoidal, b s suan ficin, con aplio rango d aplicabilidad (circuios lécricos, sisas d conrol, lcroagniso, c. c al coo s vrá posriorn n sa isa aria, si conocos la rspusa d un circuio linal invarian n l ipo a una nrada sinusoidal d cualquir frcuncia, podos calcular su rspusa a cualquir sñal priódica qu podaos dsarrollar n sri d Fourir. En la figura s usra una onda snoidal gnérica, cuya xprsión poral s: v( = sn ( v( =.sn( /.sn( T= / Fig. dond: s l valor áxio o apliud d la snoid, s la frcuncia angular xprsada n radians/sgundo. El príodo, dsignado por T, s l inrvalo d ipo rqurido para coplar un ciclo coplo d volución, s dcir, s l ipo ranscurrido nr = 0 y =. ugo, T = / a frcuncia f, xprsada n Hrz (Hz s la invrsa dl príodo, por lo qu podos scribir: f = T f = s l ángulo d fas inicial, dido n radians o grados, y rprsna un dsplazaino hacia la izquirda d la snoid con rspco a una snoid d rfrncia, d anra qu dcios qu sa snoid sá adlanada radians, o / sgundos.

3 Esa onda snoidal pud abién scribirs coo una función cosno: v( = cos ( / y, si dnoinaos = /, ndros qu: Aplicando la idnidad d Eulr: s fácil dosrar qu: v( = cos ( = ( cos cos ( sn sn cos = = cos sn dond = sn = = os érinos y pudn inrprars coo vcors roans: (a Fig. (b rprsna un vcor uniario qu roa n snido anihorario coo s usra n la fig.a, con agniud: = [cos sn ] ½ = y fas: = an = an sn = cos rprsna un vcor uniario qu roa n snido horario, coo s usra n la figura b. as ondas d volución snoidal y cosnoidal pudn inrprars n función d sos vcors roans, y dsd ahora uilizaros la función xponncial coo un dio para drinar las rspusas d los circuios a las xciacions con s ipo d volución. cordando qu la rlación qu xis nr l valor áxio y l ficaz n una onda snoidal s, podos scribir:

4 qu, n bas a la idnidad d Eulr, s: v( = sn( = sn( v( = ( = xprsión n la qu podos obsrvar qu s un núro coplo qu da inforación acrca dl valor ficaz y la fas d una función snoidal dada. Es núro coplo s por dfinición la rprsnación fasorial, o fasor d la función snoidal dada. Así, inroducios una nuva noación, la noación sibólica: = y dcios qu s l fasor asociado a v(. En oras palabras, l fasor "ransfir" la función snoidal dsd l doinio poral al doinio coplo. ( Eplos: v( =..cos ( = [. ( ] = i( =. 6.sn ( = [. 6 ] = 6 0 a xprsión obnida n ( s la fora polar dl fasor, sindo su fora rcangular: = cos sn Tano la fora polar coo la rcangular son suan úils para la rsolución d circuios por l éodo fasorial. a agniud, o ódulo, d dicho fasor srá: y su fas srá: = = = arg = an ( ( onocindo la frcuncia ω d la onda d xciación, podros pasar dl fasor a la xprsión poral d la agniud: v( = [ ] [ ] = [ ( ] = [ cos ( sn( ] Por convnción, rprsnaros los fasors dian l valor ficaz d la agniud, sindo su rprsnación n l plano coplo la osrada n la fig., cuya xprsión n fora polar s:

5 4 = dond indica l ángulo d fas inicial d la agniud n sudio. {} {} Fig. Para hacr uso d los fasors n l análisis d los circuios linals invarians n l ipo n régin prann snoidal s dbn nr prsns los siguins las: a (unicidad: Dos snoids son iguals si y sólo si sán rprsnadas por l iso fasor. a (linalidad: El fasor qu rprsna la cobinación linal d snoids con coficins rals s igual a la isa cobinación linal d los fasors qu rprsnan a las snoids individualn. a (rgla d drivación: A s l fasor d una snoid dada si y solo si A s l fasor d su drivada. a dosración d sos rs las s uy sipl: a : Dos snoids son iguals si y sólo si sán rprsnadas por l iso fasor. D: ] Suponos (A = (B A B A B 0 A = B y (A = (B Si ] Suponos 0 0 ( A ( B (A Si = (B ( A ( B A ( A ( A ( B ( B B a : El fasor qu rprsna la cobinación linal d snoids con coficins rals s igual a la isa cobinación linal d los fasors qu rprsnan a las snoids individualn. San las snoids x ( (A y x ( (A. Sgún vios, l fasor A rprsna a

6 5 la snoid x ( y l fasor A a la snoid x (. San a y a dos núros rals cualsquira, noncs la snoid a x ( a x ( sará rprsnada por l fasor a A a A. D.: o hacos por cálculo: A a A ( ax ( ax( a a y a son núros rals, y por álgbra sabos qu, dados dos núros coplos Z y Z srá: d dond Aplicando so a ( srá: a a i Z a Z i, i i Z a Z a Z a Z A a A a A a A a A a A a Esa xprsión y la indicada con ( nos conducn a: a x ( a x ( A a A a o sa, la snoid a x ( a x ( quda rprsnada por l fasor a A a A. i a : A s l fasor d una snoid dada si y solo si A s l fasor d su drivada. d [ A ] = [ (A ] d D: Acpando qu los opradors linals y d/d conuan, o sa: Por cálculo: d d [ A [ A ] = d d A d [ A d d ( ] = [ A d = A [ sn ( ] = [A = ] = d d ] = A [ A d d A ] cos( ] = [ A. ] Eplo d aplicación: Dbos fcuar una sua d snoids d igual frcuncia. a( A cos ( A cos ( d A cos ( d os qu, lugo d hacr la drivada, la xprsión s rduc a una snoid única d frcuncia ω. Si bin podríaos ralizar l cálculo n fora rigonoérica, s un procso coplicado, por lo qu

7 6 rcurriros a las rglas d rabao con fasors qu hos aprndido. Supondros qu los fasors corrspondins son: A A A A A A , 7,046,8 0,065 4,689 5,87 0,899 oando ω = 77 rad/s, y aplicando la rgla d drivación, l úlio suando pud rprsnars por l fasor: Por lo qu la sua rsula: 6 A 77 0, 7,9 4,548 A A A 56,44,66 6, 08 57,5 corrspondiéndol la siguin volución poral n función dl cosno: cuya rprsnación gráfica s: [ A ] 6,08 cos (77 57,5 7 57, 5 o A Fig. 4 Ercicios d aplicación: a Drinar los fasors qu rprsnan las siguins funcions rals dl ipo. i0cos( 5sn (rfridaal cosno 6 ii cos( sn( (rfridaal sno 4 iii cos( cos( cos( (rfridaal sno b Escribir las funcions porals qu corrspondn a los fasors obnidos. 8 as: 8,66 i a 0 iii a 0 b 8,66 cos ( b 0 ii 0,58 a 5 b 0,58 sn ( 5 Evaluar las siguins canidads coplas y xprsar las rspusas n coordnadas polars y rcangulars

8 7 as: a (0, a c (0,8 0,566 ( ( 5 ( 0 45 b c ( 0,4 0,447 6,4 0,6 6,4 b (,05,707,99 59 ( ( 45 a d.d.p. n borns d un lno s v( = cos, y la corrin asociada s i(= sn ( 0 A. Drinar l dsfasa nr abas agniuds. 4 a xprsión poral d una d.d.p. s v( = cos 4 4 sn 4. Obnga l fasor asociado. 5 Una d.d.p in coo xprsión poral v( = 6 cos (4 0. a Drinar l príodo d oscilación. b Obnr l dsfasa rspco a una corrin asociada i( = 8 cos (4 70 A. 6 Podría obnr l dsfasa nr las siguins dos agniuds: v( = 4 cos 5 i( = cos ( 45 A? Jusifiqu su rspusa. 8. oporaino d los lnos sipls. pdancia copla Sabos qu, para cualquir lno linal, xis una rlación única nr la nsión y la corrin, dnoinada rlación volapr. ios qu para una rsisncia, una inducancia o una capacidad, las rlacions volapr son: v( i( v ( di( d i ( d v( d Tabién sabos qu, cuando s raa d funcions arónicas (snos o cosnos, la drivación nos da una función arónica d la isa frcuncia, pro dsfasada 90. Por lo ano, n las xprsions anriors, las nsions y corrins van a nr, sipr, una xprsión d la fora: v( = sn ( i( = sn ( on lo ans ncionado, y rcordando qu la rlación nr la xprsión poral y la copla (o fasorial d una agniud s única, podos ralizar la siguin rprsnación gráfica: i( =.sn( = Elno inal v( =.sn( = Elno inal Fig. 5

9 8 Analizaros ahora las rlacions porals qu vinculan a la nsión v( con la corrin i( n cada lno, y obndros la rlación xisn nr l fasor nsión y l fasor corrin n una rsisncia, una inducancia y una capacidad. ros qu dicha rlación s linal, y qu abas agniuds sán vinculadas por una cuación d la fora dond Z s un núro coplo dnoinado ipdancia copla dl lno. 8.. sisncia Para una rsisncia, la nsión y la corrin sán vinculadas por la ly d Oh: Z v( = i( la cual, n régin prann snoidal oa la fora: sn ( sn ( a rprsnación copla d abos ibros, y la aplicación dl la d unicidad conducn a: o ugo, la ipdancia copla para una rsisncia srá: Z 0 0 Sindo ral pura, usra qu la nsión y la corrin coplas n una rsisncia inn la isa fas, difirindo sus agniuds n un facor, lo cual s rprsna n la figura 6. i( v( v( =.i( =. v( / i( / Fig. 6 a poncia insanána n la rsisncia srá:

10 9 p( v( i( sn ( cos a cual vos qu in una coponn invarian n l ipo con una pulsación dobl d la nsión o la corrin: y una coponn variabl cos. Eso iplica qu, aplicando la dfinición visa n l capíulo, ndros un valor dio d poncia P disino d cro, l cual corrspond a la poncia disipada por fco Joul n la rsisncia. En l capíulo 8 vros qu sa poncia s dnoina poncia aciva. Ercicio d aplicación: A una rsisncia d,5 Ω s aplica una d.d.p. v( = 0 cos 0. Obnr la volución poral d la corrin y scribir los fasors asociados a abas agniuds. prsnarlos n un diagraa fasorial. 8.. nducancia: a rlación volapr para una inducancia d hnrios s: d i( v( d plazando por la xprsión poral n abos ibros, nos: d sn( sn cos d sn( sn( a rprsnación copla n función d los fasors asociados a abos ibros conduc a: ( ugo, la ipdancia copla para una inducancia s: Z X s / s a cual rsula sr iaginaria pura, y rcib l nobr d racancia induciva. Ya sa n la xprsión poral o n la xprsión copla, vos qu la rlación nr l ódulo d la nsión y l d la corrin s, y la fas d la nsión difir d la fas d la corrin n / radians. Dado qu = θ /, dcios qu n una inducancia la nsión adlana a la corrin n / radians. as volucions porals y los fasors asociados s rprsnan n la figura 7:

11 0 a poncia insanána srá: p( v(. i( fig. 7 cos. sn sn Obsrvaos qu, a difrncia d lo qu ocurría n la rsisncia, no hay coponn consan, si bin la pulsación abién s l dobl d la d la onda d alinación. a ausncia d coponn consan indica qu l valor dio d la poncia insanána s cro (no hay poncia disipada por fco Joul, inras qu l ára ncrrada por la curva y l d abscisas rprsna la nrgía alrnaivan oada y rornada a la fun por l lno, nrgía asociada al capo agnéico d la inducancia. i( p( v( Fig. 8 Ercicio d aplicación: a corrin d régin prann qu circula por un inducor d H sá rprsnada por l fasor 0,05 40 A. Si la pulsación ω= 00 rad/s, obnr la xprsión poral d dicha corrin, d la d.d.p. n borns y l fasor asociado a la d.d.p. prsnar abas agniuds n un diagraa fasorial.

12 8.. apacidad a rlación volapr n un capacior s: d i( v( d Para ondas snoidals d frcuncia, nos: d sn( d Ecuación qu, n fora copla, s: sn( cos( sn( (. a ly d Oh xprsada n fora fasorial n un capacior nos conduc noncs a: Z / X X Dond Z rsula sr un núro coplo d par ral nula y par iaginaria, qu s dnoina racancia capaciiva. Es igualn corrco dcir qu la racancia capaciiva s.podos obsrvar qu la agniud d la nsión y la d la corrin n un capacior sán vinculadas por un facor /, y las fass sán rlacionadas por / radians. Dado qu = /, dcios qu n una capacidad la corrin adlana a la nsión n / radians, o qu la nsión "arasa" la corrin n / radians. Esos rsulados s usran n la fig. 9. i( v( i( = d v( d z = =. v( / i( / /.5.. Foras Fif. d Onda Fig. 9

13 a poncia insanána p( n un capacior s: p( v( i( sn. sn ( sn os qu, al coo aconció n la inducancia, carc d érino consan, por lo qu su valor dio s cro (no hay poncia disipada por fco Joul, osrando una variación alrnan d pulsación dobl d la onda d alinación, y dond l ára ncrrada por la curva rprsna la nrgía d capo lécrico inrcabiada con la fun. onario: Al discuir la circulación d una corrin a ravés d un capacior supusios qu las placas saban sparadas por un dilécrico idal, o sa, sin pérdidas. En la ralidad, los dilécricos sán suos a pérdidas, las cuals suln sr dsprciabls. Si a psar d odo dbn sr nidas n cuna, l capacior podrá sr rplazado por l odlo d la figura 0, dond vos un capacior idal punado por una rsisncia qu rprsna las pérdidas d nrgía n l dilécrico dl capacior ral. A parir d s odlo, vos qu la corrin copla n l capacior s igual a la sua d dos corrins: una d valor, a ravés d, qu adlana / a la nsión n l iso, y una corrin rlaivan pquña a ravés d, n fas con la nsión. i( i ( i ( 8. v( Fig. 0 os así qu la corrin n un capacior ral adlana a la nsión un ángulo nor qu /. El ángulo s dnoina ángulo d pérdidas dl capacior ral y su agniud dpnd dl arial y la frcuncia uilizados, variando dsd pocos sgundos hasa varios grados. El valor d la angn d, spcificado n ablas para dilécricos líquidos y sólidos s dnoina facor d poncia d los dilécricos. Finaln, dfinios la conducancia coo la rcíproca d la rsisncia y la suscpancia coo la rcíproca d la racancia para los lnos visos, uilizando la nonclaura osrada a coninuación: rsisncia G = / (conducancia inducancia = B (suscpancia induciva capacidad = B ( suscpancia capaciiva Ercicio d aplicación: A ravés d un capacior d = 0 μf hay una d.d.p. v( = 00 cos ( Drinar la corrin n fora poral, y los fasors asociados a abas agniuds. prsnarlos n un diagraa fasorial.

14 8. ys d Kirchhoff n fora fasorial Dcios qu un circuio linal, invarian n l ipo, sá n régin prann snoidal a la frcuncia / si y solo si odas las nsions d raa, odas las corrins d raa y odos los poncials d nudos son snoids d la isa frcuncia /. En sas condicions, odas las corrins y nsions posn un fasor asociado, con lo qu l análisis d un circuio n régin prann snoidal s rduc a la rsolución d cuacions linals algbraicas con coficins coplos. 8.. y d Kirchhoff d corrins Sa l circuio d la figura. i v i v i v i 4 v 4 Fig. En régin prann snoidal, a la pulsación, la K n valors insanános n l nudo s: i ( i ( i ( = 0 Si k s l fasor qu rprsna a la snoid i k (, la cuación anrior s scrib coo: ( ( ( 0 y, uilizando los las d linalidad y unicidad, nos qu: cordando qu A ra la ariz (n x b d coficins d las corrins, la prira ly d Kirchhoff n fora aricial rsula sr: Ai( 0 A 0 dond s l vcor coluna cuyos lnos son los fasors corrins d raa 0,... b. 8.. y d Kirchhoff d nsions Apliquos ahora la KT al caino crrado d la figura (obsrvaos qu l rcorrido s raliza n snido anihorario suando las d.d.p. n valors insanános.

15 4 v ( v ( v 4 ( = 0 dado qu v ( (, usando linalidad y unicidad srá: k k 4 habíaos viso qu la KT s xprsa n fora aricial coo: Por lo qu, n fora fasorial, srá: 0 T ( A ( b b n T A 8.. lacions volapr para los lnos d circuio. Una aplicación dirca d los rs las a las rlacions volapr n l doinio poral conduc a las siguins xprsions fasorials: Elno Exprsión poral Exprsión Fasorial sisor v( = i( nducor v( = di( / d apacior i( = dv( / d Fun d nsión conrolada por nsión Fun d nsión conrolad por corrin n v ( = v ( v 4 ( = r i 5 ( 4 r 5 Fun d corrin con. por corrin i 8 ( = i 7 ( 8 Fun d corrin conrolada por nsión i 4 ( = g v 5 ( 7 4 g 5 dond s ganancia n nsión, s ganancia n corrin, g s conducancia d ransfrncia, y r s rsisncia d ransfrncia d las funs conroladas. En érinos d fasors, vos qu las cuacions d raa s vulvn cuacions algbraicas linals con coficins coplos, dado qu son fasors (núros coplos, s ral puro y y son núros iaginarios puros. 8.4 Análisis d circuios n régin prann snoidal Trabaaros con l circuio sri d la figura, alinado con una fun d nsión snoidal. Suponos qu ha ranscurrido un ipo lo suficinn largo coo para qu l circuio haya alcanzado l régin prann snoidal.

16 5 Fig. En fora poral, la KT n l caino crrado dl circuio d la figura (a rsula: 0 ( v ( v ( v ( v S y sindo qu la volución d las agniuds s snoidal d frcuncia : sn ( sn ( sn ( S sn ( S = 0 o, lo qu s lo iso: 0 S S Agrupando érinos, ndros: 0 s r c 0 s d dond: A parir d sa xprsión, qu corrspond al circuio d la figura b, podos hallar la corrin, sin ncsidad d rcurrir al circuio original, sino a parir dl quivaln fasorial: s solvindo para s obin: i s s arcg s s S os así qu ano la apliud coo la fas d la solución: v ( v ( v ( v( i( (a (b 0 S

17 6 s i s arcg sán rlacionadas con los valors d los lnos d la rd y la apliud, la fas y la pulsación d la fun d alinación d la isa. El dnoinador d la cuación qu nos pri calcular la corrin s Z canidad copla qu indicaos con la lra Z y qu rprsna la ipdancia dl circuio a la pulsación. El ódulo d la ipdancia (qu indicaos con la lra inúscula z s: z a ipdancia Z pud rprsnars gráfican dian un riángulo rcángulo, coo s usra n la figura (a, al cual dnoinaros dsd ahora riángulo d ipdancia, cuyos caos son, rspcivan, la rsisncia oal dl circuio y la racancia oal X, y su hiponusa s l ódulo d la ipdancia z: z X z X G Triángulo d pdancias, Triángulo d Adiancias caso inducivo. caso inducivo. Triángulo d pdancias, caso capaciivo (a (b (c Fig. vrificándos qu: X / = g ab aclarar qu, dado qu la racancia (par iaginaria d la ipdancia Z in la fora:, sgún sa la rlación nr abos suandos podrá sr posiiva o ngaiva. En caso d sr posiiva, diros qu l circuio pos carácr inducivo, inras qu si s ngaiva diros qu l circuio pos carácr capaciivo, n cuyo caso l riángulo d ipdancias s rprsnará invrido (figura c y B

18 7 Tal coo habíaos viso anriorn, la invrsa d la ipdancia rcib l nobr d adiancia: Y su ódulo srá Y G B Z X y G B X X X l cual corrspond a la hiponusa dl riángulo d adiancia rprsnado n la figura (b, X sindo G= (conducancia y B = (suscpancia sus caos. X X Si considraos un dipolo forado por una inrconxión arbiraria d lnos linals invarians n l ipo, sindo la alinación dl iso una snoid d frcuncia, dnoinaros ipdancia d puno oriz d dicho dipolo a la frcuncia a la rlación nr l fasor y l fasor : Z ( A parir d sa xprsión, vos qu: Z( Z v z i v i v i por lo qu l ángulo d la ipdancia, qu s usra n la figura (a, rsula sr la difrncia nr l ángulo d fas d la nsión y l ángulo d fas d la corrin. A parir d sa xprsión podos obsrvar qu dicho ángulo podrá sr posiivo o ngaivo, sgún sa qu la nsión adlan o aras a la corrin, o sa qu l circuio nga coporaino inducivo o capaciivo. El iso ángulo aparc n l riángulo d la figura (b. Aplicación: onsidros la conxión sri d dos dipolos cualsquira, los cuals pudn caracrizars dian sus ipdancias Z (ω y Z (ω, y supongaos qu l circuio s halla n régin prann snoidal. Quros calcular la ipdancia d nrada o d puno oriz Z dl dipolo quivaln. Por inspcción d la fig. 4 a, vos qu la KT dic qu Y la K sablc qu = =. Por lo ano, Z Z Z

19 8 z z Z (a Y (b Y Y 8.5 Fig.4 Para la siuación dual, osrada n la fig. 4 b, la KT da qu, y la K qu, por lo qu la adiancia d nrada o d puno oriz srá: Y Y Y onocindo la fora d calcular la ipdancia quivaln d dipolos concados n sri y la adiancia quivaln d dipolos concados n parallo, s sipl calcular la ipdancia o adiancia d puno oriz d circuios cobinados sriparallo. Ercicios d aplicación: S disponn n sri una bobina d = 0 H, un capacior d = F y una rsisncia d valor = 9 Ω, alinados con una fun d nsión snoidal d 00 ficacs y ω = 00 rad/s. Dibuar l circuio ransforado. Obnr la volución poral y l fasor asociado a la corrin. prsnar las agniuds n un diagraa fasorial. En l circuio d la figura siguin hallar la d.d.p. v( y su fasor asociado. v( 0 0 cos 000 A 0 0 H 00 uf a Hallar la ipdancia d puno oriz Z(ω b alcular su valor para ω = 0 y ω = rad/sg c Explicar, dian un razonaino físico, l valor d la isa para ω = 0 y ω =

20 9 i( 0,5F v( Z 4 H a.: 4( 6 a Z( ( 4 c Z( 4 b Z( 0 0 Z(0 Z( (,6, 6,86 4 Para los siguins circuios razar los diagraas fasorials d nsions y d corrins. X = X / = U U = X U U X = U P =00A X = 4 U=00 X = / (a (b a: a U 00 U (50 50A (00 00 (50 50A U ( 00 b U (00 00 ( A U p (00 00 (00 00 A (50 50 A 5 El circuio osrado sá n régin prann snoidal. Suponr v ( = cos. a onsruir un diagraa fasorial osrando odas las nsions y corrins indicadas. b Hallar la nsión d régin prann snoidal (. ( 0,5F i ( v ( v ( i ( i( H

21 0 a.: ( ( (0,5 (0,5 0,5 a 0,5 E A A A b (,5 cos( 45 6 Sabindo qu ( cos( : i a alcular S y xprsarla n fora poral. b Trazar l diagraa fasorial d las nsions y las corrins indicadas. i ( 0,5F 0,5F H i ( v ( v ( i S ( v ( v S ( a.: a ( 8,6 cos( 79,9 v v S b ( 4 (,5 A S ( 4,5 (,5 S (,5 8,5 (,5 A 7 Para l siguin circuio, sindo ( cos ( 45 i S a Usando fasors, obnr la solución d régin prann snoidal para v o ( i (. b alizar un diagraa fasorial n l qu figurn odas las nsions y corrins. i S ( i ( H 0,5F v o ( a.: v o ( = cos ( 5 i ( =,44 cos ( 8 En l siguin circuio obnr v(, sindo ( cos( Trazar l diagraa fasorial d las agniuds indicadas. i

22 6 H v( u ( i ( 50F 6 u ( i ( i ( 4H a.: v( 47,6 cos(000 6,9 9 a En l circuio d la figura, obnr v( i ( uilizando los daos dl diagraa fasorial; graficar odas las agniuds uilizadas. b alcular l valor d. = r/s u = unidad gráfica Escala : u = ols Escala : u = Apr H v( i( v ( i ( H i ( u u a.: v( i ( 0,5F cos( 90, cos( 5,4 A 0 Hallar los lnos qu coponn las ipdancias Z y Z indicando sus valors n, H, F, suponindo qu cada ipdancia sá copusa por un único lno. v( 50sn(0 4 i( 400 cos(0 6 v( i( Z Z 0 alizar l diagraa fasorial dl circuio d la figura y hallar la xprsión poral d la nsión v f ( d la fun.

23 ( i 0, sn(000a 0 i 0H ( 0 50F i f ( v f ( 60H 4.5 Análisis d circuios con inducancias acopladas n régin prann snoidal. Dsacoplaino por ipdancias. D acurdo a lo viso n l capíulo 6, la nsión n borns d dos inducancias acopladas al coo s usran n la figura 5 sará dada por: di di di di v v d d d d i ( i ( v ( v ( Fig. 5 El signo a aplicar dpndrá d qu la corrin ingrs a abas bobinas por los borns hoólogos ( o no (. En régin prann snoidal, aplicando las rglas opracionals visas, sas xprsions oan la siguin fora: Dado qu, sgún hos viso, la ransforación a noación sibólica no alra l cupliino d las lys d Kirchhoff, podos raar un circuio acoplado scribindo dircan las cuacions corrspondins n fora sibólica. Así, para l circuio d la figura 6, las cuacions d la K y la KT son: E E Fig.6

24 ( ( ( ( ( ( ( E E Ahora, procdros a susiuir por n la cuación ( por n la cuación (: ( ( ( ( E E ordnando, ndros: ] ( [ ( ( ] ( [ E E Si dibuaos l circuio corrspondin a sas cuacions, vos qu s l siguin: Fig.7 oparando con l circuio qu originó l sisa d cuacions, vos qu la racancia ω. fu rplazada por ω (, la racancia ω por ω ( y qu n la raa aparció una racancia ω, la cual no in ralización física n un circuio con lnos linals, dado qu corrspondría a una inducancia ngaiva, pro qu rprsna l fco d inducancia uua nr las bobinas acopladas. Esa fora d dsacoplaino s dnoina dsacoplaino por ipdancias, y, sgún s dsprnd dl procdiino ralizado, pud aplicars oda vz qu las inducancias acopladas concurran a un iso nudo. oo nora gnral, l rplazo s hará sgún s usra n la figura 8, d acurdo a qu al nudo coún concurran o no los borns hoólogos: E E ( (

25 4 * * ( ( * * ( ( Fig. 8 Ercicios d aplicación: En l circuio d la figura, drinar v(. /50 F 8 0 cos 0 0, H 0, H v( 0, H Dos inducancias acopladas inn sus borns arcados coo s usra n la figura. os borns hoólogos son a y d. S unn los borns b y c, sindo i ad ( =. cos(0a, hallar v ab ( y v cd (. = H = H a b c d = 4H a.: v ab ( = 0. cos(0 90 v cd ( = 60. cos (0 90 Dos inducancias acopladas inn borns dsignados coo usra la figura. Sabindo qu la corrin i cd ( = 0A y la corrin i ab ( = 8. sn(00a, producn las nsions v ab ( = sn(00 90 v y v cd ( = 00. sn(00 90 v, asignar un conuno convnin d borns hoólogos a las inducancias. Si l fabrican infora qu l coficin d acoplaino s 0,8 hallar, y. a b c d a.: = 5H = 5H = 4H Borns hoólogos a y d 4 Escribir la KT n los cainos arcados para cada una d las rds d la figura. a óo dbrían rlacionars a, b y para qu l circuio d la figura (b sa lécrican quivaln a las inducancias acopladas dl circuio d la figura (a.?

26 5 a b a b (a a.: a = b = = (b 5 En l siguin circuio drinar E, y U, sabindo qu = A E U =A a.: E ( 4 (8 8A U (4 6 En l siguin circuio a Drinar los borns hoólogos d los arrollainos dados. b Planar las cuacions qu prian rsolvrlo. c Enconrar la rlación E E qu hac qu sa nula, y dar la xprsión d A n s caso E A E 4 a.: E E A ( 45 (0,5 0,5 E