Décimas Jornadas de Economía Monetaria e Internacional La Plata, 12 y 13 de mayo de 2005

Transcripción

1 Univrsidad Nacional d La Plaa Décimas Jornadas d Economía Monaria Inrnacional La Plaa, y 3 d mayo d 5 Una Rconsidración Mamáica dl Modlo d "Ovrshooing" dl Tipo d Cambio Aljo Macaya (Univrsidad d Bunos Airs)

2 Una Rconsidración Mamáica dl Modlo d Ovrshooing dl Tipo d Cambio Aljo Macaya Faculad d Cincias Económicas Univrsidad d Bunos Airs Marzo 5 Rsumn Es rabajo raa sobr la solución gnralizada o disribucional dl modlo d ovrshooing dl ipo d cambio d Dornbusch. S musra qu la solución dl jrcicio d modificación d la ofra monaria pud nconrars uilizando funcions gnralizadas. Absrac This papr dals wih h gnralizd or disribuional soluion of Dornbusch xchang ra ovrshooing modl. I provs ha h soluion o h xrciss of chang in h quaniy of mony rquirs using gnralizd funcions.

3 Una Rconsidración Mamáica dl Modlo d Ovrshooing dl Tipo d Cambio Aljo Macaya Inroducción El rabajo invsiga un camino para hallar la solución gnralizada dl modlo d ovrshooing o dsbordamino dl ipo d cambio d Dornbusch (976). Dornbusch sudió n un modlo macroconómico l fco sobr l ipo d cambio d un aumno no anicipado n la canidad d dinro. Posriormn Wilson (979) ralizó una xnsión dl modlo para considrar prurbacions dl mismo orign pro anicipadas. En ambos rabajos las propidads d la solución, para l jrcicio d modificación d la ofra monaria, furon sudiadas n forma cualiaiva. En sa noa mosramos qu su búsquda ropiza con la ncsidad d considrar la drivada d una función disconinua. An sa inconvnin, sin mbargo, la inroducción d funcions gnralizadas o disribucions prmi salvar la dificulad. Las xprsions qu s obinn, y qu carcn d las caracrísicas d suavidad d las solucions clásicas, sólo saisfacn la cuación difrncial n snido disribucional. Si bin la ara d rsolución d la cuación pud rsular complja opracionalmn, lo cual dpndrá ambién dl procso supuso para la ofra monaria, una vz obnida la solución la misma pud sr analizada para sudiar su comporamino. Las funcions gnralizadas han sido uilizadas por l Profsor Olivra dsd mdiados d la década dl 8 n l sudio d difrns problmas conómicos, prmiiéndol rformular y ampliar disinos ópicos d oría conómica. En s rabajo la uilización d funcions gnralizadas s d carácr écnico aunqu suscpibls d inrpración. Dividimos l rabajo n rs sccions adicionals y un apéndic al final. La primra scción rvisa l méodo d variación d parámros d Lagrang para nconrar la solución d una cuación difrncial d sgundo ordn compla con condicions d conorno. En la sgunda par s plana la forma srucural dl modlo y lugo s rsulv l sisma aplicando l méodo dsarrollado n la scción prvia. Finalmn, n la úlima scción, s musra qu l jrcicio d modificación d la ofra monaria pud rsolvrs analíicamn nconrando la solución d una cuación difrncial d sgundo ordn dond l érmino no-homogéno s ncunra dado por la suma d dos ipos d funcions gnralizadas. En Rodríguz () y Tohmé () pudn consulars sínsis y comnarios sobr la obra d conomías disribucionals d Olivra.

4 . Méodo d variación d parámros Los méodos disponibls para rsolvr modlos qu incluyn la hipósis d prvisión prfca son variados (cf. Blanchard y Fischr, 989, pág. 6 y Lsli, 993, pág. 5). Aquí dsarrollarmos l d variación d parámros qu, a nusro nndr, pos la vnaja d prmiir obnr la solución d la cuación compla mdian ingrals dfinidas. Eso significa qu los límis d ingración aparcn xplíciamn n la solución. Considrmos la cuación difrncial d sgundo ordn: [.] x () s + a x () s + b x() s = f() s s T ab, Con condicions d conorno: [.] x( )= x [.3] x( T)= x T El insan corrin d impo lo dnoarmos por, sando comprndido nr T. La solución d la cuación homogéna s d la forma: r s r s [.4] x() s = c + c, si r r Dond r y r son las raícs caracrísicas d []. Por la aplicación qu samos inrsados n raar asumirmos qu las raícs caracrísicas posn signos opusos: r > y r <. Para la búsquda d la solución paricular s propon una función d la forma: [.5] () = () r s r s x s c s + c () s, sindo c () s y c () s funcions a drminar. Esas funcions s obinn a parir dl siguin sisma d cuacions (cf. Elsgolz, 977, pág. ): [.6] [.7] r s r s c () s = r s r s r c r () s f( s) Rsolvindo [6] las cuacions difrncials para las funcions vinn dadas por: f( s) c () s = r r r s Dos d los méodos más uilizados para rsolvr sos problmas son l d coficins indrminados y l d facorización. Para nconrar la solución d la cuación con l primro s db suponr cira forma funcional para ésa y lugo d rmplazarla n la cuación s ncunran los valors d los coficins a parir d idnificar xprsions smjans nr los dos lados d la cuación. Con l sgundo, la cuación s xprsa n érminos d opradors (rzago y/o adlanamino) qu lugo s invirn para hallar la solución.

5 [.8] f( s) c () s = r r r s Dada f( s ), la obnción d las funcions c () y c () no s indpndin dl camino d ingración lgido. La razón s ncunra n qu, dados los signos d las raícs, la ingración pud acuar como un procso d dscuno o capialización. Esamos inrsados n obnr una solución acoada para la cuación nohomogéna. Tnindo n cuna los signos d las raícs y las condicions d conorno, las funcions s pudn drminar ingrando sobr: [.7 ] T T f( s) () r s r r c s ds = ds, s dcir, r s [.7 ] c() = c( T) + f( s) ds r r T Nomos qu al dsinar la raíz posiiva al inrvalo d ingración qu comprnd l fuuro, los valors d f( s ) más ljanos s dscunan n mayor magniud qu los valors d la función n punos más próximos al insan corrin. Ingrando [8]: [.8 ] r s f( s) c () s ds = ds, por lo ano, r r r s [.8 ] c() = c( ) + f( s) ds r r En sa solución ocurr algo similar a la anrior. Como la sgunda raíz asumimos qu ra ngaiva, los valors d f( s ) más crcanos al insan corrin rcibn mayor pondración con rspco a los más ljanos n l pasado. Rmplazando n [5] rsula: T r r r ( s ) r ( s ) [.9] x() = c( T) + c( ) + f() s ds+ f() s ds r r r r, qu s una solución gnral d []. Las consans c ( T ) y c( ) qudan drminadas por [] y [3]. A parir d sas condicions obnmos: T rt T r r ( s T) r ( s ) c ( T) = xt f( s) ds x ( f( s) ds r r)( T ) ( r r)( T ) r r r r c x s ds x s ds T r T r r ( T) r ( s ) r ( s T) ( ) = f( ) f( ) ( r r)( T ) T ( r r)( T ) r r r r 3

6 Si l horizon d impo s xind hasa infinio, T, supondrmos qu: T lim f( ) T r ( s T) y limt f( s) ds <, noncs l valor d las r ( s ) T s ds < consans rsula: lim c ( T) = lim x T T T r T lim ( ) f( ) lim r ( s ) r r T ( r r) T c = x s ds T xt r r Admás, si suponmos qu n l largo plazo la solución convrg a la solución d rt quilibrio o paricular noncs dbmos xigir qu limt xt =. En érminos dl diagrama d fass asociado a la cuación, sa condición s quivaln a slccionar como solución la rama sabl dl sisma d cuacions difrncials 3. Asumamos qu s vrifica sa úlima condición noncs: lim c ( T) T = lim T c( ) = x( ) f( s) ds r r Rmplazando n [9]: r ( s ) r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) f( ) + f( ) + f( ) r s r r s r s x x s ds s ds s ds r r r r r r Sindo una solución paricular dl problma. Si obsrvamos los úlimos dos r ( s ) érminos dl lado drcho podmos noar qu las funcions r ( s ) y acúan como pondradors o funcions d pso d f( s ) ; la primra dscuna los valors fuuros d f( s ) minras la sgunda oorga mayor pso a los valors d f( s ) dl pasado rcin.. El modlo Las cuacions dl modlo son las siguins: [.] * r = r + [.] h p= λ r+ φ y [.3] i * p π u κ ( p) σ r γ y f y y = Rcordmos qu una cuación difrncial dl ipo [.] pud xprsars simpr como un sisma d dos cuacions difrncials d primr ordn. 4

7 A coninuación s indica l significado d cada una d las variabls: : logarimo naural dl ipo d cambio nominal. r : asa nominal d inrés domésica. * r : asa nominal d inrés xranjra, s asum fija. h : logarimo naural d la canidad nominal d dinro. p : logarimo dl nivl d prcios. : ipo d cambio d quilibrio a largo plazo. y : produco bruo domésico n érminos rals, s asum consan n l nivl d plno mplo para odo insan d impo. * y : produco bruo xranjro n érminos rals, s asum fijo. Los coficins λ, σ, φ, π, u, f, κ y γ son odos posiivos. Supondrmos π = 4. Un puno sobr una variabl indica su drivada con rspco al impo. El país domésico s pquño n l mrcado mundial d capials y, por lo ano, nfrna una asa d inrés dada. La primra cuación sablc la condición d quilibrio para l mrcado d valors n condicions d movilidad d capials y prfca susiución nr acivos una vz ajusado l difrncial d rndimino por la asa sprada d dprciación. La sgunda cuación s la condición d quilibrio para l mrcado d dinro, dada por la igualdad nr ofra y dmanda d saldos monarios rals. La dmanda d dinro s una función linal d la asa d inrés domésica y dl ingrso ral. S asum prvisión prfca n l mrcado d acivos financiros. En l mrcado d bins l produco domésico s un susiuo imprfco d las imporacions. El nivl d prcios d los bins imporados s ncunra dado. La cuación [3] dscrib l comporamino dl nivl d prcios domésico cuando l mrcado d bins s ncunra n dsquilibrio. La dmanda, d * = + κ ( ) σ + γ +, dpnd ngaivamn dl prcio rlaivo d y u p r y f y los bins domésicos 5 y d la asa nominal d inrés minras posiivamn d los nivls d produco domésico y xranjro. La ofra d bins s supon fija: s y = y. 4 No s pird gnralidad al ralizar s supuso. Las unidads d valors y canidads pudn volvrs a xprsar n ora bas d al modo qu π =. 5 Una vrsión compla dl prcio rlaivo d los bins domésicos con rspco a los * * imporados s ( + p p), dond p s l logarimo naural dl nivl d prcios xranjro. Si s normaliza l nivl d prcios xranjro n uno, noncs rsula p * = (Dornbusch, ob. ci.). 5

8 Es sisma d rs cuacions drmina valors o sndros d quilibrio d largo plazo para, p y r dada cira función dl impo para la ofra nominal d dinro, h= h() s. El sisma anrior pud rducirs al sudio d oro sisma pro d un ordn infrior rmplazando la cuación [] n las dos rsans. Oprando d sa forma y volvindo a xprsar l modlo n érminos d dsviacions con rspco a los valors d quilibrio d largo plazo (dond suponmos hs () [.4] i λ = i κ ( κ + λ σ) p p p h) rsula: Dfinamos z p p y w, noncs [4] pud scribirs como: i w λ w [.5] = i κ ( κ + λ σ) z z Eliminando una cuación n l sisma anrior: σ κ [.6] w + κ + w w= λ λ Cuya solución d acurdo con [.9] s: [.7] () ( ) r r w = c T + c( ), dond: r = ( κ + σ λ) + ( κ + σ λ) + ( κ λ) > y r ( κ σ λ) ( κ σ λ) ( κ λ) 4 Rornando a las variabls originals: [.8] () = + c( T) r + c( ) r = < Las condicions d conorno son: ( ) = y T ( ) = T. Por lo ano, r c( T) = + rt ( ) ( )( ) ( ) r r T T ( r r )( T ) r T r c( ) = ( T ) + ( )( ) ( ) r r T ( r r)( T ) Si l horizon d impo s prolonga hasa infinio, T, noncs los valors d las consans son: lim c ( T) = lim T T T ( ) rt r rt T T T ( r r ) lim c ( ) = lim Para qu la solución sa acoada n l impo dbmos imponr la condición rt limt T = y noncs rsula: 6

9 lim ( ) T c T = r ( ) lim T c ( ) = Susiuyndo n [8] obnmos: r ( ) [.9] () = + ( ), qu s una solución paricular d [6] y qu corrspond a la rama sabl dl sisma 6. La solución para l nivl d prcios pud obnrs a parir d la primra fila dl sisma [5]. 3. Solución paricular n l caso d una prurbación prmann y anicipada En s modlo uno d los jrcicios principals consis n l sudio d la raycoria qu sguirán l ipo d cambio y l nivl d prcios an un aumno d la ofra monaria. Supongamos, como n Wilson (ob. ci.), qu n l insan s anuncia qu un príodo fuuro l banco cnral xpandirá la canidad nominal d dinro n h. Es ipo d jrcicios s usual n los modlos con prvisión prfca. En un conxo dond los agns conocn l modlo, s dcir, las cuacions y los valors d sus parámros, y uilizan oda la información disponibl para formar sus xpcaivas s pudn analizar los fcos d un cambio anicipado n alguna variabl xógna (cf. Blanchard y Fischr, ob. ci., pág. 4). El sisma d cuacions difrncials qu dscribn s procso a parir d vin dado por: [3.] i w λ w λ H( s ) h = + i κ ( κ + λ σ) z λ σ H( s ) h z s [, + ) Dond H( s ) s la función d Havisid 7 y s ha uilizado para dscribir la prurbación prmann qu ocurr n l insan. Oprando d la misma forma qu n la scción prvia y nindo prsn qu la drivada gnralizada d la función d Havisid s la disribución dla d Dirac, δ( s ), obnmos 8 : 6 El supuso acrca qu l sisma convrg n l largo plazo a la solución paricular implica qu s djn d lado las llamadas solucions d burbujas (cf. Blanchard y Fischr, ob. ci., 9 y ). 7 s a La función d Havisid s dfin d la siguin manra: H( s a) =. s < a 8 Nós qu la función d Havisid no s drivabl n snido corrin n s = a. Para sudiar las propidads d sa función considrada como disribución pud consulars Kanwal (997) ó algún xo sobr análisis funcional. 7

10 σ κ κ [3.] w + κ + w w= H( s ) h δ( s ) h λ λ λ λ Para buscar la solución paricular d sa cuación podmos uilizar l méodo raado n la primra scción. En s caso, la aplicación dl érmino dl lado drcho d [] sobr los difrns inrvalos d ingración, conform a [.7 ] y [.8 ], admi una inrpración: por un lado, ingrar sobr (, T ) significa qu los agns dbn conocr l procso qu sguirán las variabls fundamnals n l fuuro (la ofra d dinro n nusro caso) y, noncs, la forma d rar sos sucsos al insan corrin s dsconándolos. Por oro lado, ingrar nr y implica qu l comporamino pasado d las variabls xógnas ambién drmina l valor corrin dl ipo d cambio. En s modlo la incidncia s ncunra asociada al nivl d prcios qu, al ajusars al dsquilibrio nr ofra y dmanda d bins, rprcu sobr l mrcado d dinro (pus rduc la canidad ral d dinro provocando l aumno d la asa d inrés). Supondrmos qu n l largo plazo l ipo d cambio alcanza un nuvo valor d quilibrio,, d acurdo con l cambio n la canidad d dinro. Es dcir, lim ( ) =. Enoncs, la solución paricular d [] s 9 : [3.3] r λ r r( ) λ r r( ) () = + c( ) + H( ) + + [ H( ) ] h λ ( r r) λ ( r r) La sgunda consan s drmina asignando una condición sobr l sado inicial dl mrcado d bins. S supon qu n l insan n qu s raliza l anuncio l mrcado d bins sá n quilibrio, noncs: h κ + r r ( ) r [3.4] c( ) = > λ r r r A coninuación s dsacan algunos aspcos d la solución: [a] Dado l supuso sobr l sado inicial dl mrcado d bins y la hipósis sobr formación d xpcaivas, la nuva información provoca un salo dl ipo d cambio n l insan. La magniud dl salo s mayor a mdida qu l impo d dscuno dl sucso (la difrncia ) ind a cro (los momnos d anuncio y d ralización dl cambio n la ofra monaria coincidn). Una inrpración conómica dl primr rsulado s qu como l ipo d cambio no 9 En un apéndic al final dl rabajo incluimos los cálculos para obnr las solucions d la cuación dl ipo d cambio y para l nivl d prcios. 8

11 pud salar n (d ora manra implicaría la posibilidad d podr obnr bnficios arbirando n un insan ans dl cambio n h ) y l mrcado d bins ajusa lnamn noncs l ipo d cambio corrin db aumnar. Por oro lado, l sgundo rsulado dic qu cuano más ljano sa l horizon d implmnación d la políica noncs la rcomposición d carra qu ralizan los agns s hará n forma gradual. [b] Al adlanars l ipo d cambio al aumno n la canidad d dinro l mrcado d bins s dsquilibra produciéndos (por la mjora dl ipo ral d cambio) un xcso d dmanda. La suba dl nivl d prcios rduc la canidad ral d dinro induc la suba d la asa d inrés para quilibrar l mrcado d dinro. El nivl d prcios y l ipo d cambio subn conjunamn hasa qu ocurr la variación d la ofra d dinro. [c] La solución s coninua n = pro su drivada prsna un salo. Esa disconinuidad n la drivada s vincula con la corrcción d la ndncia dl ipo d cambio qu ralizan los agns una vz producida la variación sprada d la ofra monaria. En érminos conómicos: la prsión producida por l incrmno dl nivl d prcios sobr l mrcado d dinro y qu había inducido la suba d la asa d inrés dsaparc al incrmnars la canidad d dinro. Nós qu por la coninuidad dl ipo d cambio y por la disconinuidad d su drivada la condición [.] implica qu la asa d inrés n = prsna un salo (gráficos 3 y 6). [d] Cualquira sa l insan d cambio n la ofra monaria l dsbordamino dl ipo d cambio s produc, aunqu su magniud disminuy con rspco al caso original. La innsidad dl dsbordamino s mnor porqu los cambios fuuros s dscunan n l insan corrin, prmiindo qu la raycoria hacia l quilibrio d largo plazo s ralic n forma mas suav (la alura dl salo inicial disminuy). [] En l largo plazo l ipo d cambio alcanza un nuvo valor d quilibrio dado por + h. Los gráficos, y 3 dscribn l comporamino n l impo dl ipo d cambio, dl nivl d prcios y d la asa d inrés para l caso n qu coincidn l momno d anuncio con l d ralización dl cambio n la canidad d dinro. El sisma par d un sado inicial d quilibrio y n l insan = s prurbado por una xpansión n la ofra nominal d dinro. El supuso sobr qu l mrcado d bins ajusa suavmn al dsquilibrio implica qu l ipo d cambio db salar para mannr l quilibrio n l mrcado d acivos financiros. El incrmno d la canidad d dinro 9

12 induc la caída d la asa domésica d inrés conjunamn con l rconocimino d una dprciación dl ipo d cambio n l largo plazo. Ambos facors rducn la dmanda d acivos locals y causan la dprciación dl ipo d cambio. La magniud d la dprciación inicial db sr la suficin como para compnsar, lugo, la disminución d la asa d inrés domésica con una aprciación anicipada d la monda. Gráfico : Tipo d cambio 5,89 5,86 5,83 Tipo d cambio 5,8 5,77 5,74 5,7 () 5,68,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, Noa: Los gráficos furon ralizados con los valors siguins: λ =,5, σ =,5, κ =, h = y h = ln(33) ln(3). * r =,5, ln(3) Timpo Gráfico : Nivl d prcios 5,8 5,8 Nivl d prcios 5,78 5,76 5,74 5,7 5,7 p() 5,68,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, Timpo

13 Gráfico 3: Tasa d inrés % 5% Tasa d inrés %,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, -5% -% -5% r() -% Timpo En los gráficos 4, 5 y 6 s dscribn los sndros d las mismas variabls pro para l caso qu, parindo d un sado inicial d quilibrio, l sisma s prurbado n l insan = por l anuncio d un incrmno fuuro, n = 3, n la canidad d dinro. 5,86 Gráfico 4: Tipo d cambio 5,83 Tipo d cambio 5,8 5,77 5,74 5,7 () 5,68,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, Timpo

14 Gráfico 5: Nivl d prcios 5,8 5,8 Nivl d prcios 5,78 5,76 5,74 5,7 5,7 p() 5,68,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, Timpo % Gráfico 6: Tasa d inrés 5% Tasa d inrés % 5% %,,5,,5,,5 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, -5% r() -% Timpo En las figuras qu sigun abajo s ralizan, para cada uno d los casos rcién raados, los corrspondins análisis cualiaivos. La lína horizonal dscrib combinacions d nivls d prcios y ipos d cambio dond, para una canidad d dinro dada, los mrcados d dinro y acivos s ncunran n quilibrio d largo plazo. La lína con pndin posiiva infrior a la unidad dscrib punos dond los mrcados d dinro y bins sán n quilibrio. El movimino dl sisma cuando l mrcado d bins sá n dsquilibrio s rprsna por la lína d flchas con pndin ngaiva. El puno E, n la inrscción d ambas curvas con la biscriz dl cuadran, s l quilibrio inicial. An un aumno n la canidad d dinro l nuvo puno d quilibrio vin dado por la inrscción d las curvas d razo punado n l puno E.

15 En la figura s dscrib l primr caso ans analizado y qu corrspond al movimino d una vz dsd l puno E hasa l puno A y lugo a ravés d la rama sabl l sisma convrg hacia E. Figura p p E p i = h = h + h i p = = h h h h h i = = + p E A i = = h h En cambio, cuando xis ciro inrvalo d impo nr anuncio y ralización dl cambio n la canidad d dinro, l salo inicial s a parir d E hasa algún puno n l sgmno EA, como l puno B d la sgunda figura. Las solucions nconradas para () y p () nos prmin conocr cómo pud sr la raycoria dsd B hasa algún puno sobr la rama sabl. Por un lado, la rlación nr p() sa dado por: ( r r) ( ) ( ) λ r r p() p = () ( r r) ( ) r r ( ), p y () La xprsión nr corchs s anula para = (sindo consisn con p( ) = p y ( ) > ) y s infrior a para >. Por lo ano, cualquir puno ( (), p ()) s ncunra dbajo d la rca d 45 (Wilson, ob. ci., pág. 644). Por oro lado, las vlocidads d ajus d () y p(), lugo dl salo inicial, son difrns y no maninn la rlación a lo largo dl impo. Inicialmn l nivl d prcios ajusa más rápidamn, dado qu rcib l impaco dl ipo d cambio ral. Lugo, s v disminuida por l propio aumno d p () y dl incrmno d r (). El insan a parir dl cual () ajusa más rápidamn qu p (), si xis, vin dado por: 3

16 λ r > ln ( < ) ( r r) λ r Pud dmosrars qu l argumno dl logarimo naural s mnor a la unidad. La xprsión s snsibl a λ (nós qu s coficin dfin l ajus ncsario d la asa d inrés para quilibrar l mrcado d dinro) y, por lo ano, la posibilidad d qu l sndro s dscriba por una curva con pndin infrior o suprior a la unidad dpnd d y d los valors d los coficins. Para ilusrar l caso adopmos los valors supusos n los gráficos: λ =,5, +,366 σ =,5 y κ =. Obnmos noncs: > + ln,38 3, 464,366. Si = 3, rsula qu n l inrvalo (;,38] l nivl d prcios ajusa más rápidamn qu l ipo d cambio minras qu n [, 38;3) sucd lo conrario. D sa forma, l sisma alcanza punos d la rama sabl qu s ncunran a la drcha dl nuvo quilibrio. El ipo d cambio y l nivl d prcios llgan a la rama sabl n l insan n qu s produc l cambio n la canidad d dinro. Figura p p E p i = = + h h h h h h h i p = = i = = + h p E B C A i = = h h Finalmn nomos qu n la cuación difrncial [3.] la función d Havisid sá asociada con los cambios d nivl qu opran sobr las variabls dl sisma a largo plazo minras la disribución d Dirac sobr l cambio brusco qu sufr la raycoria d cada una d las variabls n la convrgncia hacia l nuvo puno quilibrio d largo plazo (puno C n la sgunda figura). 4

17 Apéndic A. Solución paricular d [3.] σ κ κ w + κ + w w= H( s ) h δ( s ) h λ λ λ λ Pud alcanzars ingrando los érminos dl lado drcho d la cuación difrncial d acurdo con [.9]. Para mayor claridad, los cálculos d ingración los dividirmos n cuaro pars. Cada una d sas sccions corrspondrá a la ingración d uno d los érminos dl lado drcho d [3.] d acurdo a los difrns inrvalos. D sa forma, la primra par corrspond a la ingración dl primr érmino sobr l primr inrvalo, s dcir: κ h r [] ( s κ h H( ) r { ( s ) ) ds = H( ) + H( ) } ( r r ) λ r ( r r ) λ La sgunda par corrspond a la sgunda xprsión sobr l mismo inrvalo: h r ( s ) h r ( ) δ ( s ) ds= H( ) ( r r ) λ, ( r r ) λ [] [ ] + dond uvimos prsn qu δ ( s a) g( s) ds= g( a), n ano H( ) s uiliza para indicar H( ) =. < Nuvamn ingramos la primra xprsión pro ahora sobr l sgundo inrvalo: κ h r ( s ) κ h r( ) [3] H( s ) ds = H( ) ( ) ( r r ) λ r ( r r ) λ Finalmn, la cuara par corrspond al sgundo érmino considrado sobr l sgundo inrvalo: h r ( s ) h r( ) [4] δ ( s ) ds = H( ) ( r r ) λ ( r r ) λ Sumando sas cuaro xprsions y rordnando érminos obnmos la solución paricular d [3.]. B. Solución para l nivl d prcios y asa d inrés Susiuyndo la solución hallada para () n la primra fila dl sisma [3.], nindo prsn qu λ r r = κ y ordnando érminos alcanzamos la solución para l nivl d prcios: 5

18 r r ( λ r) r( ) r ( λ r) r( ) p() = p+ λ r c( ) + H( ) + + [ H( ) ] h r r r r La asa d inrés s drmina a parir d disribucionalmn [3.3]: * r = r + i ; drivando * r λ r r( ) λ r r( ) r () = r + r c( ) + H( ) r + [ H( ) ] r h λ ( r r) λ ( r r) C. Prubas d los punos [a], [c], [d] y [] [a] Salo inicial dl ipo d cambio. Evaluando l ipo d cambio n, d acurdo con [3.3], obnmos: = λ r y por [3.4] rsula rordnando érminos: r r ( ) ( ) = + c( ) + h λ ( r r) r ( ( ) ) = h> λ r Por lo ano, la alura dl salo inicial disminuy cuando aumna l impo d dscuno dl sucso ó s rduc la variación n la canidad d dinro. [c] Coninuidad d la solución y disconinuidad d la drivada n =. Los límis larals coincidn como pud comprobars hacindo: lim ( ) ( ) λ r r = + c + h λ ( r r) r λ r r λ r lim + ( ) = + c( ) + h c( ) h + = + + λ ( r r) λ ( r r) En ano las drivadas larals son disinas como pud obsrvars a parir d los límis siguins: ( ) ( ε) r λ r lim + = r c( ) + r h ε ε λ ( r r) ( + ε) ( ) r λ r lim + = r c( ) + r h ε < ε λ ( r r) [d.] Magniud dl ovrshooing para =. En = l ipo d cambio alcanza l valor: λ r r ( ) = + c( ) + + h λ ( r r) y rmplazando por l valor d la sgunda consan:,, 6

19 ( κ + r) λ r ( r r) ( ) ( ) = h λ r ( r r) λ ( r r) = Esa xprsión, considrada como función d [, ), in valor máximo n (impo d dscuno dl sucso nulo). El ovrshooing d valor máximo, nindo n cuna qu λ r r = κ, s igual a: ( ) = h h = > λ r Esa magniud coincid con la obnida n l rabajo original (cf. Dornbusch, ob. ci., pág. 69). [d.] Magniud dl dsbordamino para >. Para probar qu cualquira sa l momno d cambio n la ofra monaria l ipo d cambio simpr dsbordará ncsiamos un rsulado prvio: λ r >. A parir dl valor d r obnido ans y dspués d algunas opracions algbraicas llgamos a sa condición: λ + σ >, qu s vrifica simpr qu λ <. 4 ( ) El inrvalo formado por los valors qu pud omar l ipo d cambio como función d prsna un ínfimo para. El ínfimo pud calculars omando: lim ( ) λ r = + + h λ ( r r) Dado l signo d la dsigualdad anrior rsula: λ r ( ) = h h = + > λ ( r r). Esos rsulados coincidn con los obnidos cualiaivamn por Wilson (ob. ci., pág. 643, párrafo 4 y xprsión 3). [] Tomando lími n [3.3] rsula: lim ( ) = + h Uilizando la noación d Dornbusch la quivalncia s: r = θ = v. Sindo θ un coficin posiivo d vlocidad d ajus d las xpcaivas dl ipo d cambio y v= v( π, δθλσ,,, ) oro coficin qu afca a la vlocidad d ajus d la asa d dprciación vrdadra. La condición para qu no s produzcan rrors n las xpcaivas s: v= v( π, δθλσ,,, ) = θ. La solución d sa cuación vin dada por: θ = r. Por lo ano, si rmplazamos r por θ rsula: ( ) = h h = + >. λ θ 7

20 Bibliografía O. J. Blanchard y S. Fischr, Lcurs on Macroconomics, Elvnh prining, MIT Prss, Massachuss, 989. R. Dornbusch, Expcaions and Exchang Ra Dynamics, Journal of Poliical Economy 84 (Dicimbr): 6-76, 976. L. Elsgolz, Ecuacions Difrncials y Cálculo Variacional (dición n spañol), Sgunda Edición, Ediorial Mir, Moscú, 977. R. P. Kanwal, Gnralizd Funcions, Thory and Tchniqu, Birkhäusr, Boson, 997. D. Lsli, Advancd Macroconomics: Byond IS-LM,. Mc. Graw-Hill, 993. E. A. Rodríguz, Hacia un Mayor Alcanc d las Economías Disribucions. Comnario dl arículo Funcions vcorials y produco funcional d disribucions d Julio H. G. Olivra, Anals d la Asociación Argnina d Economía Políica,. F. Tohmé, Comnario sobr l rabajo Funcions vcorials y produco funcional d disribucions, por l Prof. Dr. Julio H. G. Olivra, Anals d la Asociación Argnina d Economía Políica,. C. A. Wilson, Anicipad Shocks and Exchang Ra Dynamics, Journal of Poliical Economy 87 (Junio): ,