Capítulo 4. Diseño de la secuencia didáctica. 4.1 Análisis Didáctico Análisis de contenido

Transcripción

1 Capítulo 4 Diseño de la secuecia didáctica E este capítulo, presetamos como se icorporaro los elemetos teóricos del aálisis didáctico referido e el capítulo tres, para el diseño de la secuecia didáctica. Los elemetos que utilizamos so: el aálisis de coteido y el aálisis cogitivo. E el primer aálisis, se determió el coteido matemático (estructura matemática) a tratar, las diferetes represetacioes del cocepto y se idetificaro alguos feómeos e los cuales el objeto matemático potecia, es parte de la estructura matemática que los modela. E el segudo aálisis (cogitivo), se idetificaro las capacidades previas de los estudiates, las capacidades que se espera tega después de la istrucció, las competecias matemáticas a las que las capacidades mecioadas puede cotribuir, los obstáculos, errores o dificultades que puede presetar, las trayectorias por dode se puede dar el apredizaje y por último se diseñaro ocho tareas agrupadas e tres bloques que costituye la secuecia didáctica prelimiar. 4.1 Aálisis Didáctico E el cotexto cocreto de la plaificació de ua hora de clase o del diseño de ua secuecia didáctica, el profesor puede orgaizar la eseñaza basádose e cuatro aálisis que susteta el Aálisis didáctico. (Gómez, 2002) 1. El aálisis de coteido 2. El aálisis cogitivo 3. El aálisis de istrucció 4. El aálisis de actuació El aálisis didáctico es u procedimieto cíclico que icluye los cuatro aálisis ateriores, además, atiede a los codicioates del cotexto e idetifica las actividades que idealmete u profesor debería realizar, para orgaizar la eseñaza de u coteido matemático cocreto. E este capítulo, solo realizaremos los dos primeros aálisis Aálisis de coteido El ciclo del aálisis didáctico iicia co la determiació de los objetivos curriculares que se pretede lograr cuado los alumos se efrete al coteido matemático de estudio. E 31

2 particular, e este trabajo, cetraremos uestra propuesta e el objeto matemático potecia y tomaremos como referecia los objetivos y el coteido matemático propuestos e el programa de matemáticas de la Direcció Geeral de Educació Tecológica Idustrial (DGETI), depediete de la Subsecretaría de Educació Media Superior SEMS. (SEMS, 2009) Determiació de Objetivos E este apartado y cosiderado que el estudio de la potecia se ubica e el primer semestre del bachillerato tecológico detro del campo discipliar matemáticas como parte de la asigatura Álgebra, tomaremos como puto de partida, el propósito geeral del programa de matemáticas, los propósitos formativos por competecias y los propósitos por asigatura (Álgebra) que preseta la Reforma Curricular del Bachillerato Tecológico (RCBT) 2009 vigete a la fecha, plateamieto específico e el marco de la RIEMS. a) Propósito geeral del programa de Matemáticas El estudiate, a partir de la apropiació de los coteidos fudametales de las Matemáticas, desarrollará habilidades de pesamieto, comuicació, descubrimieto y trasferecia (hacia otros cotextos y hacia la misma Matemática) que le permita resolver problemas y ser partícipe del desarrollo sustetable de su etoro. b) Propósitos formativos por competecias Las itecioes educativas de la Matemática se hace explicitas a través de las competecias discipliares básicas que los estudiates irá desarrollado al participar e la costrucció de sus saberes. La propuesta metodológica para tal fi la diseña el docete mediate estrategias cetradas e el apredizaje. c) Propósitos por asigatura (Álgebra) Desarrollar la capacidad del razoamieto matemático haciedo uso del leguaje algebraico, a partir de la resolució de problemas de la vida cotidiaa, detro y fuera del cotexto matemático, represetados e modelos dode se aplica coocimietos y coceptos algebraicos, e u clima de colaboració y respeto. 32

3 Para cotribuir al logro de los propósitos ateriores, diseñaremos actividades ecamiadas a itegrar ciertos coocimietos, habilidades, actitudes y valores que a su vez cotribuirá al desarrollo de alguas competecias discipliares e matemáticas y geéricas, que la RIEMS 2008 demada e los estudiates de bachillerato Coteido matemático El objeto matemático potecia, es parte del coteido de la asigatura Álgebra que se estudia e el primer semestre del bachillerato tecológico del subsistema CBTIS. Este objeto matemático, se icluye e la primera uidad leguaje algebraico bajo el ombre de las leyes de los expoetes y radicació e el libro de texto recomedado por la DGETI para el estudio del Álgebra (Acosta, 2006). El objetivo geeral e esta uidad, es que los estudiates apreda a utilizar el leguaje algebraico para platear ecuacioes que les ayude a resolver diferetes tipos de problemas. Este objetivo, se pretede lograr aplicado ciertas leyes de la aritmética para la resolució de los mismos. Y, exteder su domiio de validez al Álgebra Álgebra como aritmética geeralizada. Además, a través del estudio de esta uidad, se iteta que los alumos pueda resolver problemas de diversos tipos; icorpore ua forma de razoamieto abstracto el cual es la diferecia etre la aritmética y el Álgebra ; o tome decisioes a la ligera y les ayude a resolver problemas e otras materias. a) Estructura coceptual del programa de matemáticas (DGETI) El mapa de coteidos coceptuales preseta e u primer ivel el ombre de la asigatura (álgebra, geometría, trigoometría, etc.); e u segudo ivel, aparece los coceptos fudametales, por ejemplo e Álgebra: Leguaje algebraico y Ecuacioes. E u tercer ivel aparece los coteidos subsidiarios (expresió algebraica, operacioes fudametales, ecuacioes lieales y ecuacioes cuadráticas). Por último viee e el cuarto ivel aparece los coceptos, leyes, teoremas, algoritmos, relacioes, que da sigificado a los coceptos que los atecede. Cabe aclarar, que la secueciació presetada puede ser modificada por el profesor, de acuerdo co las actividades que propoga para abordar los coceptos fudametales y subsidiarios de las diferetes ramas. 33

4 E la figura 4.1 presetamos el mapa geeral de coteidos coceptuales para la asigatura Álgebra. Los rectágulos sombreados del mapa, so para ilustrar la estructuració del tema dode propodremos uestra secuecia didáctica. 34

5 Álgebra Leguaje algebraico Ecuacioes Expresió algebraica Operacioes fudametales Ecuacioes lieales Ecuacioes cuadráticas Notació y clasificació Represetació algebraica de expresioes e leguaje comú Iterpretació de expresioes algebraicas Evaluació umérica de expresioes algebraicas Operacioes fudametales Leyes de los expoetes y radicales Productos otables Co ua icógita Resolució y evaluació de ecuacioes Co dos y tres icógitas Sistemas de ecuacioes Métodos de solució Clasificació Métodos de solució Factorizació Figura 4.1: Mapa coceptual geeral de la asigatura Álgebra. 35

6 Setido y sigificado del cocepto potecia Los setidos e los que se usa u térmio coceptual matemático implica, los modos e los que se establece relacioes co otros térmios coceptuales matemáticos, las diferetes formas e las que el térmio coceptual y estas relacioes se puede represetar y los feómeos que susteta al cocepto. (Gómez, 2002) E esta propuesta, abordaremos sistemáticamete el sigificado de la potecia atediedo a tres dimesioes deomiadas estructura coceptual, sistemas de represetació y feomeología. 1. Estructura coceptual E la Figura 4.2, presetamos u mapa coceptual e el que se idetifica y relacioa las pricipales categorías mediate las cuales podemos orgaizar los múltiples sigificados del cocepto potecia. E ella se aprecia la idetificació de cuatro sistemas de represetació y de su feomeología. Es posible desarrollar detalladamete cada ua de sus represetacioes, estableciedo sus elemetos (coceptos) y las relacioes etre ellos (procedimietos). Cocepto Potecia Represetacioes Aalítica Gráfica Numérica Geométrica Multiplicació de Potecias de la misma base Elemetos Valores E el Plao Potecia de Potecias Familias E el espacio Multiplicació de Potecias de bases diferetes Figura 4.2: Mapa coceptual geeral del objeto matemático potecia 36

7 Cosideramos importate aclarar que e el mapa coceptual aterior, marcamos como represetacioes gráficas aquellas que podemos represetar e relació fucioal. Mietras que la represetació geométrica la utilizamos para represetar las figuras geométricas. 1.1 Estructuras matemáticas ivolucradas. Todo cocepto matemático se relacioa co al meos dos estructuras matemáticas: a) la estructura matemática que el cocepto matemático cofigura, e la cual se icluye, los elemetos que le da sigificado. E particular, al objeto matemático potecia le da sigificado las relacioes etre coeficiete, base y expoete así como tambié sus leyes o propiedades. Co el propósito de mostrar las relacioes ateriores, e la figuras 4.3 y 4.4, presetamos dos propuestas para la eseñaza y el apredizaje del objeto matemático potecia e el bachillerato. E la primera, se retoma el plateamieto dado por Wu (2005) y e la seguda el libro de texto recomedado por el subsistema DGETI (Acosta, 2006). 37

8 I. La estructura que desde el puto de vista de la disciplia matemáticas se debe seguir cuado se estudia este cocepto (Wu, 2005). Defiició de Potecia Potecias de bases positivas y expoetes eteros positivos Potecias de bases positivas y expoete Cero Potecias de bases positivas y fraccioes e los expoetes Potecias de bases positivas y expoetes racioales positivos Potecias de bases positivas y expoetes racioales ( veces) m m ( ) m ) ( m m m m A 1 A m m ( ) r s rs r s rs ( ) r ) ( r r Figura 4.3: Estructura coceptual itroducció al Álgebra escolar E este plateamieto, se parte de la defiició de potecias co base positiva y expoetes aturales. Ate esta defiició, se lleva a cabo ua serie de tratamietos para dar sigificado a las leyes de los expoetes que presetamos e la primera columa de la figura aterior. Después, se pretede dar sigificado al expoete cero a través de tratamietos e represetacioes aalíticas aplicado las leyes de los expoetes (aturales). Para el expoete fraccioal se sigue la estructura mostrada ateriormete y solamete se trabaja los expoetes racioales positivos. Ua vez que se trabaja co los expoetes racioales positivos, se hace la geeralizació a expoetes racioales egativos co tratamietos e la represetació aalítica. Fialmete se hace la geeralizació de las leyes de los expoetes de bases positivas y expoetes aturales a bases positivas y cualquier expoete racioal (Fig. 4.3, columa 5). 38

9 II. La estructura propuesta e el libro de texto recomedado por el subsistema DGETI para la eseñaza y el apredizaje del Álgebra. (Acosta, 2006). Leyes de los expoetes Notació cietífica Multiplicacio de potecias de la misma base Elevar ua potecia a u expoete Elevar u producto a u expoete Potecia de u Cociete Divisió de potecias co la misma base Radicales a a a a a aaa a veces veces a mx10 a b m m ab a b ab m m b b m m m b a m a m a a m b m ab m a Figura 4.4: Estructura coceptual libro de texto Este plateamieto, toma como puto de partida la defiició de potecia y luego se aborda brevemete la otació cietífica co tres ejemplos e cotextos extramatemáticos. Después, de igual maera se aborda las leyes restates co ejemplos e la represetació aalítica seguidos de ua serie de tratamietos e dicha represetació. Luego, se ejemplifica e represetacioes uméricas e la misma direcció. Icluimos la radicació como parte de esta estructura ya que es ua poteciació. Aclaramos que e este libro de texto, o se cosidera a los radicales como potecias. De las estructuras presetadas e los plateamietos ateriores, podemos idetificar los elemetos que iteractúa o se relacioa para dar forma y sigificado al objeto matemático potecia. Es decir, so los elemetos que permite ver los diferetes compoetes del objeto y es a través de ellos, que podemos idetificar los diferetes casos particulares que se puede presetar. Por otra parte sus características es posible idetificarlas o expresarlas mediate las leyes o propiedades correspodietes. b) Las estructuras matemáticas de las que el cocepto forma parte. Por ejemplo, el objeto matemático potecia cofigura ua estructura matemática e la que se establece relacioes estructurales co otros coceptos (ver figura 4.5) como: fució expoecial, ecuacioes poliomiales, sumas geométricas, series geométricas, etc. 39

10 Fució expoecial Ecuacioes poliomiales Sumas geométricas Series geométricas y a0 f ( x) a x y a0 a1x y a 2 0 a1x a2x a k a 0 a 1 a 2 a k0 a k a 0 a 1 a 2 a k0 y a a x a x 2 ax Figura 4.5 Estructuras matemáticas Co las ateriores represetacioes leguaje atural y represetacioes aalíticas de las estructuras matemáticas, pretedemos mostrar la complejidad del objeto matemático potecia, ya que los alumos deberá iterpretar el sigificado del expoete e cada ua de ellas. Por ejemplo, para la fució expoecial, los estudiates deberá relacioar la forma e que cambia la variable depediete f(x), cuado se varía el valor de la variable idepediete x. E las ecuacioes poliomiales, los estudiates requerirá iterpretar el teorema fudametal del Álgebra para ecotrar las raíces del poliomio. Mietras que e las sumas geométricas ecesitará sumar cada uo de los térmios elevados al expoete idicado para llegar a la resolució del problema. Y fialmete, para las series geométricas, requerirá de calcular la serie e el límite cuado el valor de tiede a ifiito. 2. Sistemas de represetació La exploració de los sigificados de u cocepto, requiere de los sistemas de represetació, ya que a través de ellos es posible idetificar las formas como el cocepto se preseta. (Duval, 1993) Al teer e cueta los sistemas de represetació, se puede destacar varias relacioes (ver Figura 4.6): a) La relació etre dos represetacioes que desiga el mismo objeto o cocepto, detro de u mismo sistema de represetació (tratamietos). Por ejemplo; como resultado de multiplicar dos potecias co la misma base). b) La relació etre dos represetacioes que desiga el mismo objeto o cocepto, perteecietes a sistemas de represetació diferetes (coversió). Por ejemplo, la 40

11 relació etre los parámetros de ua represetació aalítica y los elemetos de ua tabla de valores. c) La relació etre dos represetacioes que desiga dos objetos o coceptos diferetes detro de u mismo sistema de represetació. 41

12 Cocepto Potecia Sistemas de represetació Numérico Feómeos Tratamietos Crecimieto 3(3) a Modelizació Crecimieto Coversió aa 2 a 1+2 a 3 Tratamietos Aalítico Figura 4.6: Coexioes etre elemetos de u mapa coceptual parcial Por cosiguiete, cuado exploramos los sigificados de u cocepto e las matemáticas escolares, debemos teer e cueta tres tipos de elemetos y dos grupos de relacioes etre esos elemetos. I. Los objetos, como casos particulares de u cocepto y que coforma la extesió del cocepto. II. Los coceptos, como predicados que so saturados por los objetos y que coforma estructuras matemáticas. III. Las estructuras matemáticas, que está coformadas por coceptos. Por otro lado, las relacioes descritas e los putos II y III se puede agrupar e dos categorías deomiadas como relacioes verticales y relacioes horizotales. Las relacioes verticales se refiere a las relacioes etre los tres tipos de elemetos: Objeto Cocepto Estructura matemática. 42

13 Mietras que las relacioes horizotales, se refiere a las relacioes etre los sigos e sus diferetes sistemas de represetació (relacioes etre represetacioes) Horizotal Cocepto Potecia Vertical Sistemas de represetació Numérico Feómeos Tratamietos Crecimieto 3(3) a Modelizació Crecimieto Coversio aa 2 a 1+2 a 3 Figura 4.7: Coexioes y procedimietos Abordar los sigificados de u cocepto desde la perspectiva de su estructura coceptual y sus represetacioes, implica idetificar y orgaizar los elemetos (objetos, coceptos y estructuras matemáticas) y las relacioes (horizotales y verticales) correspodietes a ese cocepto. 3. Feomeología Tratamietos Aalítico La feomeología, es la tercera de las dimesioes para orgaizar los sigificados de u cocepto e las matemáticas escolares. E esta dimesió, los feómeos se preseta mediate u cotexto o situació co la cual el cocepto toma setido, o a través de u problema que se aborda y le da setido. 43

14 El objeto matemático potecia, icluye varios modelos de feómeos aturales, sociales y matemáticos que permite describir situacioes y platear iterrogates, que puede dar lugar a problemas, cuya solució se efectúa mediate u modelo. Por ejemplo, predecir y describir la forma e que aumeta u cultivo de bacterias e la seguda fase de crecimieto (M t = Mo.e rt ), datació de la atigüedad de fósiles (M = Mo t ); cálculo de tasas bacarias de iterés V f =P v (1+i), determiar la cocetració de solucioes ph log 1 H, calcular la itesidad soora, 1 10 log etc E geeral, el proceso de idetificar modelos de estas situacioes utiliza sólo alguos de los elemetos y propiedades de la estructura matemática que coocemos como potecia. A cotiuació, citamos ua serie de feómeos que preseta u crecimieto expoecial: 1. El úmero de células de u feto mietras se desarrolla e el útero matero. 2. E ua ecoomía si trastoros, los precios crece expoecialmete, dode la tasa coicide co el ídice de iflació. 3. El úmero de cotraseñas posibles co dígitos crece expoecialmete co. 4. El úmero de operacioes o cálculos ecesarios para resolver u problema NP-completo crece expoecialmete co el tamaño de la etrada, represetable o codificable mediate u úmero etero. 5. El úmero de bacterias que se reproduce por fisió biaria. 6. El úmero de idividuos e poblacioes de ecosistemas cuado carece de depredador. E otras palabras, la idetificació y caracterizació de u modelo de ua situació implica la puesta e juego de ua subestructura de la estructura matemática e cuestió. Por otro lado, los ejemplos presetados muestra que ua misma subestructura se puede relacioar co diversos feómeos. Por ejemplo, la subestructura que permite describir la divisió de u segmeto e la costrucció de fractales, es u modelo de todos aquellos los feómeos que se refiere a la divisió de segmetos o figuras. La descripció de los feómeos la podemos hacer e los tres iveles siguietes: 44

15 1. Idetificar u feómeo específico: la costrucció del cojuto de Cator, cuyo modelo es l p l Agrupar feómeos específicos e u cierto tipo de feómeo: los feómeos de divisió potecial, co modelo l p l 0 1 b 3. Agrupar tipos de feómeos e categorías: los feómeos que ivolucra la divisió de segmetos, figuras, etc. como la costrucció de la curva de koch, el triagulo de Sierpiski, co u modelo como 1 x a. b Podemos, por lo tato, establecer ua relació etre subestructuras y feómeos e la que a cada feómeo le asigamos la subestructura que le sirve de modelo Aálisis Cogitivo E el aálisis cogitivo, el profesor debe describir las hipótesis acerca de cómo los estudiates puede progresar e la costrucció de su coocimieto sobre la estructura matemática cuado se efrete a las tareas de las actividades de eseñaza y apredizaje. (Gómez, 2002) Segú Gómez, Lupiáñez, (2007), la descripció del progreso de los estudiates debe fudametarse e la idetificació, descripció y relació de los siguietes cico elemetos: a) Las capacidades que los estudiates tiee ates de la istrucció. b) Las capacidades que se espera que los estudiates desarrolle co la istrucció. c) Las hipótesis sobre los camios por los que se puede desarrollar el apredizaje. d) Las dificultades que los estudiates puede ecotrar al abordar las tareas. e) Las tareas que coforma la istrucció. E el cotexto de las matemáticas escolares, la oció de capacidad se refiere al desempeño de u estudiate co respecto a cierto tipo de tarea (por ejemplo, problemas para realizar tratamietos a ua represetació aalítica del objeto matemático potecia la multiplicació de potecias de la misma base aa 2 e otra la forma abreviada de ua potecia a 3 ). 45

16 E este setido, afirmaremos que u estudiate ha desarrollado ua cierta capacidad cuado puede resolver tareas que la requiere. Por lo tato las capacidades, so específicas a u tema cocreto, puede icluir o ivolucrar otras capacidades y está viculadas a tipos de tareas. Por ejemplo, diremos que u estudiate ha desarrollado la capacidad de maejo del sigificado de los elemetos de las represetacioes aalíticas e la multiplicació de potecias, cuado haya evidecia de que éste puede resolver tareas que implica ese aspecto. Los primeros dos putos del procedimieto propuesto requiere que el profesor orgaice iformació sobre lo que los estudiates so capaces de hacer ates de la istrucció y lo que se espera que ellos sea capaces de hacer después de la istrucció Las capacidades que los estudiates tiee ates de la istrucció Para determiar las capacidades previas de los estudiates, diseñaremos u istrumeto de diagostico (cuestioario). E éste, icluiremos oce reactivos que curricularmete los estudiates ha trabajado e toro al objeto matemático potecia (Iformació obteida del aálisis de la reforma e secudaria 2006.Capítulo 1, apartado ). CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO Idustrial y de Servicios CUESTIONARIO MATERIA: Álgebra SEMESTRE: I NIVEL: Medio superior GRUPO PROFESOR: Jesús Mauel Duarte S. FECHA: ALUMNO: El objetivo de este cuestioario es saber más sobre tus coocimietos relacioados co este curso. Tus respuestas ME AYUDARÁN a preparar alguas de las siguietes clases, por tal motivo te ivito a explicar co el mayor detalle posible tus respuestas y justificacioes al resolver el siguiete cuestioario. INDICACIONES Lee co ateció cada uo de los reactivos del siguiete cuestioario y escribe las respuestas co pluma. Si cosideras que tus respuestas tiee que ver co el desarrollo de u proceso es de suma importacia que lo aexes. 1. Qué sigificado tiee para ti 2? 46

17 2. Es posible ecotrar u valor de para el cual la expresió o se pueda calcular? Por qué? 3. Qué sigificado tiee para ti 3 8? 4. Es posible ecotrar u valor de para el cual la expresió o se pueda calcular? Por qué? 5. Qué sigificado tiee para ti 2? 6. Es posible ecotrar u valor de para el cual la expresió o se pueda calcular? Por qué? 7. Calcula la expresió 2 para = 1, 2, 5, 13, 0, -1, -2, -5 y Idetifica los siguietes putos e el plao cartesiao. A:(1, 2 1 ), B:(2, 2 2 ), C:(3, ), D:(0, 2 ), E:(-1, 2 2 ), F:(-2, 2 3 ) y G:(-3, 2 ) 8 y x Cooces algú feómeo o situació que requiera de la expresió afirmativa podrías dar u ejemplo? 2? Si tu respuesta es 10. Algua vez has realizado operacioes algebraicas o de otro tipo co la expresió semejate? Si tu respuesta es afirmativa podrías dar u ejemplo? 2 u otra 11. La població de u país aumeta e promedio de 10 persoas por mil aual Si actualmete tiee 30 milloes de habitates, Cuátos habitates tedrá detro de 30 años? Gracias por su valiosa participació 47

18 Las capacidades que se espera que los estudiates desarrolle co motivo de la istrucció Lupiáñez, Rico, Gómez y Marí (2005) citado e Gómez, Lupiáñez (2007), ha desarrollado u procedimieto para orgaizar esta iformació, basado e la oció de competecia. Esta oció permite establecer u vículo etre la plaificació a ivel local y el diseño curricular global. E este trabajo, para la orgaizació de la iformació acerca de las capacidades de los estudiates ates y después de la istrucció, seleccioaremos las ocho competecias discipliares e matemáticas propuestas e la RIEMS. (SEP, 2008) 1. Costruye e iterpreta modelos matemáticos determiistas o aleatorios mediate la aplicació de procedimietos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacioales, para la compresió y aálisis de situacioes reales o formales. 2. Propoe, formula, defie y resuelve diferetes tipos de problemas matemáticos buscado diferetes efoques. 3. Propoe explicacioes de los resultados obteidos mediate procedimietos matemáticos y los cotrasta co modelos establecidos o situacioes reales. 4. Argumeta la solució obteida de u problema, co métodos uméricos, gráficos, aalíticos y variacioales, mediate el leguaje verbal y matemático. 5. Aaliza las relacioes etre dos o más variables de u proceso social o atural para determiar o estimar su comportamieto. 6. Cuatifica, represeta y cotrasta experimetal o matemáticamete magitudes del espacio que lo rodea. 7. Elige u efoque determiista o uo aleatorio para el estudio u proceso o feómeo, y argumeta su pertiecia. 8. Iterpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos co símbolos matemáticos y cietíficos. Este procedimieto permite establecer la forma e la que ciertas capacidades cotribuye al logro de las ocho competecias (ver tabla 4.1, capitulo 4, pág. 49) y se lleva a cabo orgaizado las capacidades e las filas de ua tabla e idetificado a qué competecias cotribuye e las columas. Por lo tato, podemos orgaizar la iformació sobre el desarrollo matemático de los 48

19 estudiates co respecto a u tema específico (objeto matemático potecia) ates y después de la istrucció. Para cocretar las capacidades que deseamos que los estudiates desarrolle y las dificultades que puede teer al abordar las tareas y poder establecer los camios por los que se puede desarrollar el apredizaje, debemos idetificar, orgaizar y seleccioar los sigificados relevates del cocepto potecia del aálisis de coteido hecho ateriormete. Para ilustrar el procedimieto, vamos a supoer que el profesor decide trabajar co la multiplicació de potecias de la misma base, la cual por su experiecia o por iformació que surge del aálisis de coteido, es importate detro del objeto matemático potecia. Por lo tato, trataremos de desarrollar las capacidades ecesarias para que los estudiates pueda resolver problemas que ivolucre el sigificado de los elemetos de las represetacioes uméricas de la potecia. Además, cosideramos que la mayoría de los alumos so capaces de resolver alguas tareas relacioadas co el recoocimieto y la caracterizació de este objeto matemático. Es decir, puede idetificar los diferetes elemetos de las represetacioes uméricas y aalíticas, evaluar ua potecia, producir represetacioes uméricas y aalíticas de potecias de grados uo, dos y tres, dar ejemplos de potecias co diferetes bases y expoetes, etre otras cosas. Si embargo, la experiecia del profesor e cursos ateriores y revisioes bibliográficas le ha mostrado que los estudiates tiee dificultades para establecer la relació etre las diferetes represetacioes uméricas y la represetació aalítica. Por ejemplo, ser capaz de recoocer y de utilizar hechos como que la base a y los expoetes m y e la expresió a (m+) idetifica la multiplicació de potecias de base a y que sus expoetes m y se suma. (Figura 4.8). E otras palabras, el iterés del profesor debe cetrarse e lograr que los alumos sea capaces de resolver problemas que ivolucra el sigificado umérico y aalítico de la base y el expoete. 49

20 Multiplicació de Potecias Potecias (2)*(2)(2) (1+2) 2 3 (3)*(3)(3) (1+2) 3 3 (7)*(7)(7) (1+2) m (m+) 11 l l=m+ m veces veces (a)*(a)(a) a 1 a 2 (1+2) a 3 a a a a a a a m veces veces a m a a (m+) a l Figura 4.8: Relació etre elemetos uméricos y aalíticos El problema del profesor cosiste e ecotrar formas de cotribuir a que los alumos pueda superar estas dificultades. La potecia es ua estructura matemática compleja (ver figura 4.2, pág. 34) y este tema es ta sólo u aspecto de ésa complejidad. Auque el problema es cogitivo (el desarrollo de uas ciertas capacidades y la superació de alguas dificultades), compreder y abordar ese problema cogitivo requiere que se coozca co suficiete detalle la complejidad y multiplicidad de los sigificados del cocepto potecia. Dicho problema cogitivo tedrá sigificado, desde la perspectiva del diseño de actividades de eseñaza y apredizaje, cuado se haya producido ua descripció suficietemete detallada del cocepto al que hace referecia. Cocepto Potecia Represetacioes Aalítica Gráfica Numérica Geométrica Multiplicació de Potecias de la misma base Elemetos Valores E el Plao Potecia de Potecias Familias E el espacio Multiplicació de Potecias de bases diferetes Figura 4.2: Mapa coceptual geeral del objeto matemático potecia 50

21 E la figura 4.3, se aprecia alguas de estas relacioes. Se observa alguos de los procedimietos para trasformar ua represetació umérica e otra y alguas de las posibles relacioes etre feómeos y subestructuras de la potecia que les puede servir de modelo. Y tambié se observa ua primera aproximació a la relació etre el sistema de represetació umérico y aalítico (que se llama, e la Figura 4.6, coversió etre represetacioes). Esta relació se establece etre elemetos de las diferetes represetacioes uméricas (los parámetros) y elemetos de la represetació gráfica (coeficiete, base y expoete). Auque o se represeta e la figura, hay ua gra variedad de coexioes (relacioes) etre estos elemetos. Por lo tato, desde el puto de vista del aálisis de coteido, estos ejemplos da muestra de la complejidad del problema e cuestió. Cocepto potecia Sistemas de represetació Numérico Feómeos Tratamietos Crecimieto 3(3) a Modelizació Crecimieto Coversió aa 2 a 1+2 a 3 Tratamietos Aalítico Figura 4.6: Coexioes etre elemetos de u mapa coceptual parcial Siguiedo el procedimieto propuesto por Lupiáñez y colaboradores (2005), citado e Gómez, Lupiáñez (2007), e la tabla 4.1 idetificamos alguas de las capacidades que está implicadas e este problema y marcamos marcado aquellas competecias a las que éstas cotribuye. 51

22 Eumeramos las capacidades e las filas de la tabla y las orgaizamos e seis grupos. Las columas correspode a las ocho competecias mecioadas ateriormete y que se ecuetra al pie de la tabla. Capacidades que pretedemos promover e los estudiates y competecias discipliares e matemáticas bajo el marco de la Reforma Itegral e la educació Media superior 2008 a las que dichas capacidades cotribuye Capacidades a promover Competecias Costruye y establece distitas represetacioes de la potecia. C1 Idetifica las pricipales variables (base y el expoete) de ua situació problema, costruye tablas y orgaiza la iformació. C2 Elabora diagramas que describe la situació problema co sus pricipales variables. C3 Establece las relacioes que mejor se ajusta al comportamieto de las variables registrado e las tablas y diagramas. Expresa y orgaiza sus ideas mediate tablas C4 Decodifica e iterpreta la iformació orgaizada e tablas. x x C5 Registra sus ideas e tablas. x x C6 Comuica sus ideas por medio de tablas. x x x Expresa y orgaiza sus ideas mediate diagramas. C7 Decodifica e iterpreta los diagramas. x x C8 Registra sus ideas e diagramas. x C9 Comuica sus ideas co diagramas. x x Modela e iterpreta feómeos aturales, sociales y matemáticos usado y creado diferetes represetacioes. C10 Iterpreta feómeos aturales, sociales y matemáticos usado y creado diferetes represetacioes. C11 Aplica modelos para iterpretar feómeos diversos. x x C12 Geera y aplica modelos matemáticos e diferetes cotextos. x x x x x x x x x Justifica la solució de los problemas mediate diferetes represetacioes. C13 Por medio del leguaje atural x C14 Matemáticamete por medio del leguaje umérico x x Competecias discipliares matemáticas 52

23 1. Costruye e iterpreta modelos matemáticos determiistas o aleatorios mediate la aplicació de procedimietos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacioales, para la compresió y aálisis de situacioes reales o formales. 2. Propoe, formula, defie y resuelve diferetes tipos de problemas matemáticos buscado diferetes efoques. 3. Propoe explicacioes de los resultados obteidos mediate procedimietos matemáticos y los cotrasta co modelos establecidos o situacioes reales. 4. Argumeta la solució obteida de u problema, co métodos uméricos, gráficos, aalíticos y variacioales, mediate el leguaje verbal y matemático. 5. Aaliza las relacioes etre dos o más variables de u proceso social o atural para determiar o estimar su comportamieto. 6. Cuatifica, represeta y cotrasta experimetal o matemáticamete magitudes del espacio que lo rodea. 7. Elige u efoque determiista o uo aleatorio para el estudio u proceso o feómeo, y argumeta su pertiecia. 8. Iterpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos co símbolos matemáticos y cietíficos. Tabla 4.1: Tabla de capacidades y competecias Las hipótesis sobre los camios por los que se puede desarrollar el apredizaje Abordar el problema propuesto, implica recorrer el camio que lleve a los estudiates de ua situació e la cual ha desarrollado uas capacidades básicas co respecto al cocepto potecia, a otra situació e la que los estudiates sea capaces de resolver problemas que ivolucra el sigificado de los expoetes de las formas aalíticas de la potecia. El profesor puede describir estas dos situacioes co la ayuda del procedimieto propuesto por Lupiáñez y colaboradores (2005), Citado e Gómez, Lupiáñez (2007). Si embargo, la iformació orgaizada e el aálisis de coteido muestra que o hay u úico camio por el que el apredizaje se puede desarrollar si se quiere trasformar la situació iicial e la situació fial. Para pasar de ua situació a la otra, es ecesario que los estudiates desarrolle o ya haya desarrollado ua serie de capacidades itermedias. Para este propósito puede haber diferetes camios que ivolucra diferetes capacidades y diferetes tareas puede poer e juego diferetes capacidades de los estudiates (ver la Figura 4.8). 53

24 C1 C2 C10 C11 C3 C12 Puto Iicial C4 C5 C6 C13 C14 Puto Fial C7 C8 C9 Figura 4.9: Trayectorias cogitivas o posibles camios de apredizaje E la Figura 4.9: Hemos idetificado alguas capacidades (Ci) y alguos camios y hemos difereciado alguos vículos co ua líea cotiua para idicar ua selecció de camios. Por ejemplo, ua tarea puede requerir la iterpretació de u feómeo social (C10) y, e cosecuecia, ecesita Idetificar las pricipales variables ivolucradas e ua situació problema (C1), y co éstas, elaborar diagramas o tablas que describa la situació (C2), comuicar sus ideas co diagramas (C9) y Justificar la solució de los problemas matemáticamete mediate el leguaje umérico (C14). E este setido, el profesor debe decidir qué capacidades puede llegar a poerse e juego co motivo de la tarea que propoga. El aálisis de los posibles camios puede iducirlo a cambiar la tarea, depediedo de su percepció de cuáles so las capacidades relevates e ese mometo. Por ejemplo, puede decidir diseñar ua tarea que poga e juego ciertas capacidades porque ellas cotribuye a uas competecias que se cosidera importates detro del diseño curricular global ya que cotribuye a competecias que se cosidera relevates e el cotexto e cuestió. 54

25 Las dificultades que los estudiates puede ecotrar al abordar las tareas Otro criterio que el profesor debe cosiderar para idetificar los posibles camios de apredizaje y seleccioar las tareas, es su coocimieto sobre los errores, dificultades y obstáculos que los estudiates comete e el tema de iterés, ya que todas las teorías sobre la eseñaza y el apredizaje de las matemáticas coicide e idetificar los errores de los alumos e el proceso de apredizaje, determiar sus causas y orgaizar la eseñaza co base e esa iformació. Por lo aterior, los profesores deberá ser sesibles a las ideas previas de los alumos y utilizar las técicas del coflicto cogitivo para lograr progreso e el apredizaje. E particular para este trabajo cosideraremos los Obstáculos, errores y dificultades e toro al cocepto potecia. Cosideramos importate declarar lo que e este trabajo cosideramos como error, dificultad y obstáculo lo plateado por D. Gódio (2004). Dode explicita que u error es cuado el alumo realiza ua práctica (acció, argumetació, etc.) que o es válida desde el puto de vista de la istitució matemática escolar. El térmio dificultad lo utiliza para idicar el mayor o meor grado de éxito de los alumos ate ua tarea o tema de estudio. Por lo tato, si el porcetaje de respuestas icorrectas (ídice de dificultad) es elevado se dice que la dificultad es alta, mietras que si dicho porcetaje es bajo, la dificultad es baja. Además, dicho autor cosidera u obstáculo cuado el error o se produce por falta de coocimieto, sio porque el alumo usa u coocimieto que es válido e alguas circustacias, pero falla e otras e las cuales se aplica idebidamete. A cotiuació, e la tabla 4.2, presetaremos ua caracterizació sobre los obstáculos, errores y dificultades que comete los estudiates, cuado trabaja co la maipulació de expresioes algebraicas, que requiere de la aplicació de las leyes de los expoetes que susteta al cocepto potecia desde dos vertietes. E la primera, que costa de las tres primeras seccioes de la tabla, icluiremos u codesado de los resultados detectados e ivestigacioes e toro a los expoetes. Mietras que e la seguda vertiete, icluiremos los resultados distitos a los presetados e las tres seccioes ateriores de u cuestioario que se aplicó a profesores de secudaria, 55

26 preparatoria y ivel superior co diferetes años de experiecia e estos coteidos (cuarta secció). Cabe aclarar que e la ivestigació realizada por Martíez (2000), que hace alusió a feómeos didácticos osotros los iterpretamos como obstáculos, errores y dificultades debido a la aturaleza de los mismos. Ivestigacioes 1 Martíez (2000) 2 0 =0 Obstáculos, errores y dificultades Por defiició de potecia 0 2 es: El 2 multiplicado cero veces es cero. 2 0 =2 No hay ada como expoete ( 2)( 2)( 2) El dos se multiplica ua vez Multiplicació Repetida ( ) =8 y se le coloca el sigo meos. El sigo meos idica que el puto se recorre a la izquierda tatas veces como idique el valor absoluto del expoete. Es ua multiplicació. 2 0 =1 Falta de leyes para argumetar 2 1 = , 2 Solo utiliza la memoria No se iterpreta como resultado de ua expoeciació sio como ua otació Ferrari (2001) El uso de estructuras multiplicativas para itroducir la potecia. 2 0 =0 y 2 0 =2 2 1 =(2)(1) y 2 1 =(2)(2) 56

27 3 Dolores, Martíez, Farfá, Carrillo, y López (2007) 1 2 Sigificado de 3 Sigificado de =(-2)(-2)(-2)=-8 2 Itroducció de la defiició de potecia como multiplicació reiterada a a a a a veces 4 Cuestioario Tabla 4.2: Obstáculos, errores y dificultades Se iterpreta como multiplicació e ambos iveles. Aplicació equivocada de la ley de multiplicació de potecias. Si argumetos Las tareas que coforma la istrucció Hasta ahora hemos sugerido procedimietos para idetificar y orgaizar las capacidades de los estudiates ates y después de la istrucció y para teer e cueta las dificultades de los estudiates e la descripció de los posibles camios a lo largo de los cuales se puede desarrollar el apredizaje. Pero, esta reflexió o ha icluido la selecció de las tareas. Los camios que recorra los estudiates, depederá de las tareas que se les propoga. La descripció de las capacidades y de los posibles camios de apredizaje le permite al futuro profesor producir cojeturas sobre esos camios y, al hacerlo, revisar las tareas que puede propoer e su diseño. E la Figura 4.10 describimos el procedimieto que u profesor puede realizar para seleccioar las tareas que formará parte de su propuesta de plaificació. 57

28 Capacidades ya desarrolladas Dificultades Capacidades que se desea desarrollar Puto iicial Posibles camios De apredizaje Puto fial Tarea 1 La caracterizació de las capacidades ates y después de la istrucció y de los posibles camios de apredizaje, da elemetos al profesor sobre las capacidades que sería deseable los estudiates pusiera e juego al realizar las tareas. Co esta iformació, puede diseñar y seleccioar ua primera versió de esas tareas (Tareas 1 e la figura 4.10). Ua vez que tiee idetificadas uas tareas, él debe verificar cuáles so las capacidades que ellas requiere y aquellas que los estudiates puede poer e juego al abordarlas. Esta revisió le dará luces para revisar su propuesta de tareas y podrá producir ua ueva versió de ellas (Tareas 2 e la Figura 4.10). BLOQUE I: Tipos de tareas I: problemas de crecimieto expoecial El propósito de este bloque de tareas es que los estudiates cojeture sobre el papel de la multiplicació repetida e la resolució de problemas y desarrolle compresioes acerca de la situació problemática ivolucrada (crecimieto expoecial). E cocreto, este bloque de tareas el estudiate requiere aplicar la multiplicació de potecias co base etera positiva (a) y expoetes aturales () y expoete cero Capacidades que se Puede poer e juego Tarea 2 Figura 4.10: Ciclo de plaificació local a a a a a veces 58

29 Tarea 1: El secreto Problema1. Ua persoa se etera de u secreto que ua familia guarda celosamete e u documeto a las 10 de la mañaa (10:00 AM), y trascurridos 10 miutos (10:10 AM), lo cueta a sus dos mejores amigos pidiédoles que lo matega e secreto. Pero, diez miutos después estas persoas rompe el pacto de cofiaza cotádoselo cada ua a otros dos ítimos amigos. Si este secreto fuera cotado de este modo, siempre cada diez miutos y siempre a dos uevos amigos que o lo coocía. Y, cosiderado que e Hermosillo, Soora hay habitates. A qué horas estará todos los habitates eterados? 59

30 Problema 2. Ecuetra cuatas persoas puede eterarse de u secreto e u día determiado, si la iformació se trasfiere diariamete de la forma expresada e el siguiete diagrama. Justifique su respuesta. Persoa-1 Perso1 P2 P3 P1 Persoa 1 P-2 P2 P3 P1 P-3 P2 P3 P1 P-1 P2 P3 P1 Persoa 0 Persoa 2 P-2 P2 P3 P1 P-3 P2 P3 P1 P-1 P2 P3 P1 Persoa 3 P-2 P2 P3 P1 P-3 P2 P3 60

31 Problema 3. Abstracció: Complete la siguiete tabla y propoga algú feómeo atural o social que pueda explicarse a partir de la iformació que se te preseta. Justifique su respuesta. Día o. (7) (7)(7)(7)(7)(7)(7)

32 Tarea 2: Divisió de u cuadrado Problema 4. Se quiere dividir u cuadrado e cuadrados iguales, durate 100 veces de la siguiete forma. El primer cuadrado se divide e cuatro. Los cuadrados resultates se divide cada uo e cuatro y así sucesivamete. Ecuetra cual es el úmero total de cuadrados geerados e la divisió 100. Problema 5. La siguiete figura represeta la forma e que se quiere dividir u cuadrado u determiado úmero de veces. Si estas divisioes se lleva a cabo durate 73 veces. Ecuetra el total de cuadrados geerados e dicha divisió. Justifique su respuesta. Problema 6. Si el úmero de cuadrados iguales que resulta de u determiado úmero de divisioes de u cuadrado es E cuátos cuadrados iguales se divide el cuadrado origial? Por qué? 62

33 Problema7. Escriba los ecabezados de la tabla, complétela y explique qué situació represeta la iformació que cotiee. Por qué? x 63

34 Bloque II. Tipos de tareas II: Fractales El objetivo cocreto de este bloque de tareas es que el estudiate aplique la multiplicació de potecias co base racioal positiva y expoetes aturales resolució de problemas. Tarea 1. Cojuto de Cator b b b b b veces e la El cojuto de Cator es el primer fractal coocido. Fue ideado por George Cator e 1883 como ejemplo de cojuto de logitud cero cuyos putos se puede idetificar uo a uo co todos los putos de ua recta (que tiee logitud ifiita). Problema 1. Se quiere costruir el cojuto de Cator a partir de la siguiete iformació. Se parte de u segmeto de logitud 1. Se divide e tres partes iguales y se elimia la parte cetral. Después, cada ua de las dos partes se divide e tres partes iguales y se elimia de uevo las partes cetrales e cada ua de ellas y así sucesivamete durate 20 divisioes. Ecuetre la logitud de cada ua de las partes del cojuto de Cator después de las divisioes propuestas. Problema 2. Dada la situacio problema aterior, establezca ua logitud del segmeto de partida diferete y ecuetre la logitud de cada ua de las partes del cojuto de Cator. Tarea 2. La curva de Koch La curva de Koch fue ideada por Helge vo Koch e 1904 como ejemplo de curva de logitud ifiita coteida e u recito acotado y si tagete e cualquier puto. Nota. La curva de Koch es la curva a la que se va aproximado las sucesivas poligoales que resulta e cada paso. 64

35 Problema 3. El Igeiero Leyva, quiere costruir la curva de Koch itegrada por partes iguales. La costrucció iicia co la divisió de u segmeto de logitud 1 e 3 partes iguales; e la parte cetral se costruye u triágulo equilátero, al cual se le suprime la base. Posteriormete, co cada ua de las partes de la figura geerada se repite el procedimieto aterior y así sucesivamete hasta llegar a la figura formada por las partes iguales. Ecuetra la logitud de cada parte de la curva. Problema 4. Dada la situacio problema aterior, establezca ua logitud del segmeto de partida diferete y ecuetre la logitud de cada ua de las partes de la curva de Koch. Tarea 3. El triágulo de Sierpiski El triágulo de Sierpiski fue ideado por Waclaw Sierpiski e Problema 5. Se quiere costruir u triágulo de Sierpiski co triágulos. Para su costrucció se parte de u triágulo equilátero de lado 1. El primer paso cosiste e dividirlo e cuatro triágulos equiláteros iguales (lo que se cosigue uiedo los putos medios de los lados) y elimiar el triágulo cetral, es decir os quedamos co los tres triágulos equiláteros de los vértices. El segudo paso de la costrucció cosiste e hacer lo mismo que hemos hecho e el primer paso sobre cada uo de los tres triágulos que forma obteidos e el paso aterior y se cotiua repitiedo los pasos así sucesivamete. Cuáto mide el lado de los triágulos que forma el triágulo de Sierpiski? 65

36 Problema 6. Dada la situacio problema aterior, establezca ua logitud del segmeto de partida diferete y ecuetre la logitud de cada ua de los lados de los triagulos que forma el triágulo de Sierpiski. Tarea 4. La alfombra de Sierpiski Problema 7. La costrucció del fractal coocido como la alfombra de Sierpiski Se lleva a cabo de la siguiete maera. Se parte de u cuadrado de lado 1 y el primer paso cosiste e dividirlo e ueve cuadrados iguales (lo que se cosigue dividiedo cada lado e tres partes iguales) y elimiar el cuadrado cetral, es decir os quedamos co ocho cuadrados. El segudo paso de la costrucció cosiste e hacer lo mismo que hemos hecho e el primer paso sobre cada uo de los ocho cuadrados obteidos e el paso aterior. Y se repite el proceso ifiitas veces, obteiedo como resultado fial el objeto fractal coocido como alfombra de Sierpiski. Si queremos costruir la alfombra de Sierpiski co 23 repeticioes. Cuál es la logitud de los lados de los cuadrados resultates e esa divisió? Problema 8. Dada la situacio problema aterior, establezca ua logitud del lado del cuadrado iicial diferete y ecuetre la logitud de cada ua de las partes que costituye la alfombra de Sierpiski. Bloque III. Tipos de tareas III: Matemáticos El objetivo de este bloque de tareas es istitucioalizar la defiició de potecia a a a a a e itroducir a los estudiates a la multiplicació de potecias co base atural veces positiva y expoetes aturales y cero a a m a m 66

37 Tarea 1 Estudiate: Tiempo: 100 miutos 1. Completa las siguietes tablas. Tabla 1 Multiplicació de úmeros aturales Resultados e potecias Resultados e úmeros aturales x x2x2x2x x2x2x2x2x2x x2x2x2x2x2x2x x 2x 2 x...2 x 2 93 veces Explica que sigifica para ti los úmeros de la columa aterior

38 Tabla 2 Multiplicació de úmeros aturales Resultados e potecias Resultados e úmeros aturales x x7x x7x7x7x7x x7x7x7x7x7x7x7 Explica que sigifica para ti los úmeros de la columa aterior x 7x 7 x...7 x veces

39 Tabla 3 Multiplicació de úmeros aturales Resultados e potecias Resultados e úmeros aturales x17x17x x 654 x... x654 56veces Explica que sigifica para ti los úmeros de la columa aterior x 3918 x... x veces

40 2. Completa los ecabezados y realiza las operacioes que se te idica e las siguietes tablas. Tabla 1 Multiplicació de úmeros aturales Resultados expresados e potecias Que observas e los expoetes 2 3 (2 )(2 ) 7 2 (2x2x2x2x2x2x2) (2x2x2) ( 2 x 2x.. x2 )( 2 x 2x.. x2 ) 25 veces 47 veces ( 2 x 2x.. x2 )( 2 x 2x.. x2 ) veces m veces 70

41 Tabla 2 Multiplicació de úmeros Naturales Resultados expresados e potecias Que observas e los expoetes (7x7)(7x7x7) x 7 94 ( 7 x 7x.. x7 )( 7 x 7x.. x7 ) 16 veces 37 veces ( 7 x 7x.. x7 )( 7 x 7x.. x7 ) veces m veces 71

42 Multiplicació de úmeros Naturales (217x217)( 217x217x217) Tabla 3 Resultados expresados e potecias Que observas e los expoetes ( x x 714x x714 ) x )( 16 veces 37 veces ( a a a )( a a a ) veces m veces 3. Defie que es ua potecia utilizado: Leguaje atural Literales Muestre u ejemplo 4. Defie que sigifica la multiplicació de potecias. Leguaje atural Literales Muestre u ejemplo 72