MÓDULO: Enseñanza de la Aritmética. y enteros

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1 MÓDULO: Enseñanza de la Aritmética Pensar y producir relaciones aritméticas entre/y con los números naturales y enteros Clase 5 Introducción Estimados colegas, continuando con el propósito de enriquecer progresivamente el significado de los números y operaciones aprendidos en la escuela primaria, y teniendo en cuenta lo que los NAP Matemática (2011) formulan al respecto. En esta quinta clase el objetivo es: Indagar sobre cómo se usan los números naturales y enteros, las relaciones entre ellos y las operaciones para generar nuevas relaciones, nociones y propiedades aritméticas. En otras palabras, les proponemos llevar adelante un ejercicio de producción matemática en torno a estas cuestiones tan esenciales de la Matemática. Varias son las preguntas que orientarán este mini-estudio aritmético: Qué significa comprender el concepto de divisor o el de múltiplo y su relación con la división entera y con la divisibilidad? ( Y los conceptos de "máximo común divisor, de "número primo y los criterios de divisibilidad, y el Teorema fundamental de la Aritmética?) Cuáles son las actividades matemáticas que ayudan a la comprensión de un concepto o de una propiedad, una técnica, un criterio o un teorema aritmético? Página 1

2 Qué papel juegan los distintos objetos ostensivos 1 en la enseñanza y el de la Aritmética y en alguno de sus niveles de algebrización? 1 La representación ostensiva de un objeto matemático a través de símbolos, figuras, discursos, etc., por una parte, tiene un valor representacional: es algo que se puede poner en lugar de algo distinto de él mismo y, por otra parte, tiene un valor instrumental: permite realizar determinadas prácticas que con otro tipo de representación no serían posibles. Lo importante en la actividad matemática no es tanto lo que la herramienta pueda representar, sino su adecuación y efectividad en la realización de la actividad. Los invitamos a pensar, resolver y compartir con sus compañeros de foro la producción personal que realicen a partir de las siguientes tres muestras de problemas, a las que, en su conjunto, decidimos llamar: El desafío de pensar y hacer Aritmética: múltiplos y divisores. Esperamos que, tanto las preguntas, los problemas como los interrogantes, los piensen primero antes de leer el análisis didáctico-matemático presentado en esta clase. Esta acción y reflexión, indudablemente, enriquecerá las discusiones posteriores en los foros de discusión y los posicionará como docentes productores de Matemática, condición necesaria para poder pensar luego una clase donde el objetivo central sea producir, validar y transformar el conocimiento matemático. Es decir, transitar por este tipo de trabajo matemático les ayudará a elaborar posibles innovaciones en sus cotidianas prácticas de enseñanza, al disponer de nuevas herramientas metodológicas y de nuevos problemas en torno a esta temática curricular. Inicio del proceso Página 2

3 La primera muestra de problemas que presentaremos relaciona, a partir de diferentes preguntas, el concepto de múltiplo de un número con la operación producto: PROBLEMA 1 1. El producto de dos múltiplos de 5 es un múltiplo de 5? 1 El producto de un múltiplo de 5 por un múltiplo de 7 es siempre un múltiplo de 5? Es siempre un múltiplo de 35? Para contestar a la pregunta del primer problema, un posible argumento pensando sobre un conocido criterio de divisibilidad que vive en la escuela primaria y que, por ende, se puede reconocer como conocimiento disponible para los estudiantes de los primeros años de secundaria- es: 2 Si se utilizara base 6 Si dos números son múltiplos de 5, se puede afirmar que para representar a los el producto es múltiplo de 5, ya que cada uno de esos números, el número 5 se múltiplos termina en 0 o en 5, por lo tanto, al multiplicar escribiría como en base esos dos números, los productos posibles de sus últimas 10 y, sin embargo, cifras serían 0x0, 0x5, 5x0 o 5x5. De esta manera, el se escribiría como 14 en producto terminará en 0 o en 5 y entonces será un esa base, es decir, no múltiplo de 5. Es decir: se está recurriendo o terminaría en 0. El poniendo en funcionamiento una propiedad que número 10 en base 6 no depende de nuestro sistema de numeración sería múltiplo de 5. posicional 2. Quehacer matemático personal (5.a) Se podrá recurrir a un argumento similar al que se acaba de presentar para resolver el problema 1? Página 3

4 Para responder afirmativamente a la segunda pregunta del problema 1, es suficiente con analizar la última cifra de los productos de los números, como el primer caso? O sea, afirmar que: dado que los múltiplos de 35 terminan en 0 o en 5, al igual que cuando se multiplica un múltiplo de 5 por cualquier otro número, entonces el producto de un múltiplo de 5 por 7 siempre es múltiplo de 35. Los conocimientos sobre múltiplos que se usaron para resolver el primer problema (1) son suficientes para la resolución del segundo (1`) o es necesario recurrir a otros conocimientos sobre múltiplos? Al analizar los dos primeros problemas y sus resoluciones, puede afirmarse que se trata, en cierto modo, de problemas similares: se da información sobre los múltiplos de uno o más números y se pretende extraer información sobre los múltiplos de otro número. Sin embargo, el primer problema permite un tratamiento particular -a partir de las características de la representación decimal de los múltiplos de 5 (terminan en 0 o en 5)- que ya no es suficiente para la resolución total del segundo problema. Los múltiplos de 35 terminan en 0 o en 5 y cuando se multiplica un múltiplo de 5 por otro número, en este caso, múltiplo de 7, terminará también en 0 o en 5. Sin embargo, esta no es una argumentación válida para la segunda pregunta, ya que la característica terminan en 0 o en 5 no identifica inequívocamente a los múltiplos de 35; se trata de una condición necesaria pero no suficiente. Piensen sobre el significado de los términos necesaria y suficiente en relación con estos dos problemas. Cómo funcionan estas dos condiciones en este problema? Para ello retomen la resolución del problema 1 a partir del análisis que acabamos de realizar sobre el problema 1. En ambos problemas la propiedad los números terminan en 0 o en 5, se pudo utilizar como propiedad necesaria y suficiente? A qué otra propiedad o propiedades de los números y/o de Página 4

5 los múltiplos de un número será necesario recurrir para resolver efectivamente el problema 1? Entre los problemas 1 y 1 se puede señalar un cambio de números y de una nueva pregunta; en el primero, se trata de dos múltiplos de 5 y se pregunta si el producto es múltiplo de 5; en el segundo, tenemos un múltiplo de 5 por otro de 7 y se pregunta además si el producto de esos dos múltiplos es múltiplo del producto de ambos números. De qué se trata este cambio de problema? Se trata de incluir un cambio en la variable didáctica: números involucrados? Y en ese caso, con qué objetivo? Para que lo sea debería producir una modificación/evolución en los procedimientos de resolución, ya sea de la técnica, en tanto manera de hacer o de las relaciones que la fundamentan, o ya sea de las propiedades involucradas. Se trata ahora de analizar, justamente, si ocurre esa evolución y sobre qué tipos de objetos. En la resolución quedó claro que no se puede afirmar que el producto de un múltiplo de 5 por un múltiplo de 7 sea siempre un múltiplo de 35 recurriendo a la terminación de los múltiplos del producto, ya que existen números que terminan en 0 o en 5 que no son múltiplos de 35. Para justificar que el producto sea un múltiplo de 35, es necesario, por ejemplo, pensar y escribir a los múltiplos de 35 como el producto de 35 por otro número, o sea, usar una propiedad que generalmente aparece en libros de textos o documentos curriculares en los siguientes términos: Página 5

6 Definición 1: Un número entero b es múltiplo de un número entero a si existe un número entero c tal que b = a x c En este caso se dice también que a es divisor de b o que a divide a b o que b es divisible por a. Además esta escritura permite hacer visible otro divisor de b, el número que existe, o sea, el número c. Justamente a partir de la definición de múltiplo se puede afirmar que a es divisor de b o que a divide a b o que b es divisible por a, si b es múltiplo de a y por lo tanto existe un número c tal que a x c = b. En otras palabras, se definen las relaciones de divisor de de divide a y de divisible por en función de la de múltiplo de quedando además visibilizada a través de los objetos ostensivos usados, la propiedad de que los divisores de un número siempre aparecen de a pares, al momento de validar la propiedad de ser múltiplo. Es importante señalar que un objeto ostensivo usado muy comúnmente en primaria para representar los múltiplos de un número, por ejemplo, los múltiplos de 5 es el siguiente: Queda claro que esta representación tiene muy poco poder instrumental, ya que no pone al descubierto los divisores del número. Tal como se mencionó en la introducción de la Clase, la importancia de qué ostensivo usar está determinada por su valor instrumental que siempre depende del contexto y de qué se quiere lograr, en ese contexto, con esa representación. Estas cuatro relaciones: múltiplo de, divisor de, divide a y divisible por conforman las relaciones básicas de la teoría de la divisibilidad en los números enteros junto a las siguientes dos nuevas maneras de expresar la Definición 1: Un número entero b es divisible por un número entero a si existe otro número entero c tal que b = a x c o así: Un número entero a divide a un número entero b si existe otro número entero c, tal que b = a x c Página 6

7 En cualquiera de las tres situaciones la notación usada es: a l b Por otra parte, la definición 1, en su última interpretación, permite realizar una importante distinción entre dos expresiones muy usadas en esta temática curricular: Si a 0, alb indica una relación entre los números enteros a y b, que se lee a divide a b y no una operación. En ese caso, resulta que c= ` por lo que la definición de la relación de divisibilidad es equivalente a la siguiente: Si a 0, a divide a b si, y sólo si, el número racional ` es entero. Además, si alb se sabe que b = a x k (k Z), lo que permite deducir que: b = (-a) x (-k), -b = a x (-k) y -b = (-a) x k Por lo tanto, se pueden afirmar las siguientes relaciones: -alb, al-b y al-b disponiéndose así de una nueva propiedad en el conjunto de los números enteros, a saber: Cualquier número entero t tiene los mismos divisores y múltiplos que -t. En consecuencia, analizando por separado los casos a = 0 y b = 0, las relaciones de divisibilidad son trabajadas entre números naturales permitiéndose, desde la institución matemática, hacer una extensión al conjunto de los números enteros. Este argumento permite justificar la delimitación que sobre este tema se efectúa en varios libros de texto de la escuela secundaria. En efecto, en la mayoría de ellos se trabaja la unidad curricular: Divisibilidad en el conjunto de los números naturales y, en los propios NAP-Matemática se solicita explícitamente trabajar las relaciones de divisibilidad en el conjunto de los números naturales. Sin embargo, querríamos hacer notar que en el contexto escolar actual en el que viven y se desarrollan los números enteros, valdría reflexionar, en este especial ámbito curricular, que no todas las propiedades funcionan igual en positivos y negativos, en particular la cuestión de múltiplos y divisores. Página 7

8 PREGUNTA 1 Dados 2 números naturales distintos, si uno de ellos es divisor del otro seguro que será el menor, es verdadera esta propiedad también en Z? Es suficiente dar un ejemplo para afirmar que esa propiedad no es verdadera: -8 < 2 y en realidad 2 es divisor de -8. Indudablemente, este tipo de 3 En este caso, la inversión del orden cuando se los considera reflexión sobre ciertas propiedades que dan cuenta en los enteros positivos o del funcionamiento de los números cuando se los considera en los enteros 3 favorecería la comprensión sobre dicho enteros negativos. 2<8, sin conjunto de números y, en particular, sobre el embargo -2>-8. funcionamiento de los enteros negativos que tantas dificultades acarrea a los alumnos. Un caso especial. El número 0, con estas relaciones, cumple un rol diferente al de todos los otros números enteros, ya que resulta ser múltiplo de todos los números, o sea, es divisible por cualquier número entero y solo es divisor de sí mismo. Además, todo múltiplo de un número entero puede escribirse como un producto de dos números (es decir, de dos factores) los cuales no tienen por qué ser alguno de los dos igual al número en cuestión; sin embargo, en el caso del 0, debe necesariamente suceder que al menos uno de los factores sea el número 0. PREGUNTA 2 Uno de los elementos de la división recibe también el nombre de divisor; por ejemplo, en a: b se dice que b es el divisor de esa división. Se puede también afirmar que b es un divisor de a con la definición dada más arriba? Página 8

9 Siempre? Nunca? A veces? Cuándo? En síntesis, a pesar de usar la misma expresión divisor -tanto para referirse a un elemento de la división como a un elemento de la relación de divisibilidad, dependiendo del contexto estos dos objetos- funcionan diferentes. Como ya trabajamos en clases anteriores, no se puede dividir por el número 0; o sea, el 0 no puede funcionar como divisor en la operación de división, mientras que, en el marco de la relación de divisibilidad, es correcto referirse al 0 como divisor del 0. Continuemos el proceso, generalizando propiedades a partir de la primera muestra de problemas Se podrá afirmar, en general, que: El producto de dos números naturales es un múltiplo de ambos. El producto de un múltiplo de un número natural por el múltiplo de otro número natural es siempre un múltiplo del producto de ambos. En el primer caso, si a y b son dos números naturales, axb es claramente un múltiplo de a, aunque no se conozca qué número es, ya que el número b es el factor que se necesita según la definición dada de múltiplo para que axb sea múltiplo de a. Análogamente axb es claramente un múltiplo de b. En otras palabras, la misma escritura como producto permite validar las dos afirmaciones generales antes expuestas. O sea: esta representación de múltiplo de un número tiene un alto valor instrumental. Si bien el proceso realizado hasta aquí es solo un ejemplo particular del trabajo que se puede llevar adelante en torno a la divisibilidad en N, esta primera muestra de dos problemas permite empezar a darle sentido a las afirmaciones de Chevallard y Godino, incluidas en el texto de la introducción a este Módulo, cuando dicen: "El motor de avance en la construcción de los saberes está constituido por los problemas que se encadenan y se reproducen" (Chevallard, 1985) Página 9

10 "Un verdadero problema debe poner en funcionamiento nuevos significados del contenido que se hace funcionar" (Godino, 2009). Continuamos Nuevos grupos de problemas Pensemos ahora sobre la siguiente muestra de nuevos problemas que plantea relaciones entre múltiplos y/o divisores y la operación suma: PROBLEMA 2 2. Justificar que es un múltiplo de 11 sin necesidad de calcular la suma, puede mostrar otro divisor, más allá del 11? Cuando decimos, en general nos referimos a que la propiedad sea válida, independiente del sistema de numeración posicional y de los números considerados. 2. La suma de un múltiplo de 11 más un múltiplo de 7, es un múltiplo de 11? Es un múltiplo de 7? Es un múltiplo de 11+7? Quehacer matemático personal (5.b) Qué propiedades y/o definiciones y/o técnicas se pueden retomar de la primera muestra para resolver el problema 2? El trabajo realizado, permite enunciar una generalización? En otras palabras, crear nuevas relaciones entre la operación suma y la propiedad ser Página 10

11 múltiplo. Resolver ahora el problema 2. Cuál es la utilidad de los ejemplos en esta actividad? Qué resultado permiten generalizar? Enuncien y justifiquen tal generalización. Qué hubiera sucedido si, en lugar de hacer pensar las relaciones sobre el 11 y el 7, se hubiera colocado el 8 y el 24? Y el 8 y el 12? Qué generalizaciones, o sea, qué nuevos objetos aritméticos, se ponen a funcionar? Para recordar y reflexionar Los objetos matemáticos no son en sí mismos, en forma absoluta y a priori nociones, teoremas, proposiciones, propiedades o técnicas, sino que su significado está asociado al uso que se le da en la resolución de situaciones extra o intra matemáticas. En el trabajo anterior la definición de múltiplo es utilizada como una técnica que permite encontrar divisores de una suma, sin resolverla. Por ejemplo, es claramente múltiplo de 7, siendo su otro factor el 24 ( ), sin necesidad de resolver la suma y escribir al 168 = Continuemos con múltiplos en N Retomemos el objeto múltiplo funcionando, por ahora, en el conjunto de los números naturales, aunque la definición haya sido expuesta en el conjunto de los números enteros. Sigamos avanzando en la construcción de relaciones aritméticas en torno a los múltiplos, divisores y sus relaciones con las operaciones de suma y Página 11

12 producto. Valdría, como se anticipara al comienzo de este proceso, que cada propiedad lograda en N sea repensada en el conjunto de todos los números enteros. Tercera muestra de situaciones/problemas: PROBLEMA 3 3. El resultado de sumar dos múltiplos de 5, es siempre un múltiplo de 10? Qué condiciones han de cumplir dos múltiplos de 5 para que su suma sea un múltiplo de 10? 3 En qué casos la suma de dos múltiplos de 18 será también un múltiplo de 90? Análogamente al primer problema que se resolvió en la primera muestra, esta situación 3 permite una resolución particular a partir de las características de la representación del sistema de numeración posicional de los múltiplos de 5 (terminan en 0 o en 5) y de los múltiplos de 10 (terminan en 0). Quehacer matemático personal (5.c) Construyan un argumento para resolver la primera cuestión, que tome como punto de apoyo estos criterios de divisibilidad muy conocidos, respecto a los múltiplos de 5 y de 10. Se podrá recurrir a un argumento similar al usado para este problema 3 para contestar la pregunta 3, ya que estos nuevos números mantienen la misma relación de divisibilidad que los anteriores (18 es un divisor de 90 como 5 es un divisor de 10)? Por lo tanto, se trata nuevamente de un cambio en la variable didáctica: números involucrados. Tal como se trabajó en la primera muestra de problemas para que sea verdaderamente un cambio de variables, debería producir una evolución en los Página 12

13 procedimientos de resolución, ya sea de la técnica o de las propiedades puestas en juego. Se trata, nuevamente, de analizar si ocurre esa evolución. Es claro que en 3 no se pueden usar criterios de divisibilidad basados en las terminaciones de los números, por lo que hay que buscar relaciones entre ellos referidas a la propiedad aritmética de ser múltiplo. Por ejemplo, si se pensara la resolución de 3), relacionando el objeto múltiplo con su dual (dos objetos que hacen referencia a relaciones diferentes en una misma expresión) divisor de la siguiente manera: se sabe que, como 5 es un divisor de 10, entonces todo múltiplo de 10 es también un múltiplo de 5; y que como 10 = 2x5, los múltiplos de diez aparecen en los múltiplos pares de 5. Por lo tanto, una nueva pregunta que exige el problema 1 es: Cuándo aparecen múltiplos pares de 5 como suma de dos múltiplos de 5? Esto ocurre cuando se suman dos múltiplos pares o cuando se suman dos múltiplos impares de 5. Por ejemplo (3x5)+ (7x5) son múltiplos impares y la suma es múltiplo de 10; o (2x5)+ (4x5) que son múltiplos pares cuya suma es un múltiplo de 10. Esta es la condición que permite dar solución a la segunda pregunta del problema 3 y que abre la posibilidad de pensar en nuevas situaciones que conserven la relación inicial entre los números: uno múltiplo del otro. En efecto, trabajemos ahora sobre el problema 3. Es suficiente afirmar para su resolución que, dado que 18 es un divisor de 90, entonces todo múltiplo de 90 es también un múltiplo de 18? O es necesario también averiguar con qué periodicidad aparecen los múltiplos de 90 dentro de los múltiplos de 18? O sea, encontrar que cada 5 múltiplos de 18 aparece un múltiplo de 90. Propuesta de Estudio Página 13

14 A partir de las consideraciones anteriores, expongan argumentos para justificar el siguiente resultado general: Si d es un divisor de m, entonces todo múltiplo de m es también un múltiplo de d. Los múltiplos de m aparecen con una periodicidad de m sobre d dentro de los múltiplos de d. Estos resultados, donde se hacen funcionar de manera relacionada los objetos duales múltiplo de y divisor de, son los que sostienen, justifican, fundamentan la técnica buscada para resolver problemas del siguiente tipo: En qué casos la suma de múltiplos de un número a es también múltiplo de un número m que es, a su vez, múltiplo de a? Enuncien la técnica general y compártanla con su tutor en su portafolio personal. Agreguen esta técnica general escrita como un teorema al conjunto de resultados /generalizaciones /nociones que se han producido y registrado a partir de las tres muestras de problemas anteriores. Para finalizar la clase Con la última actividad nos proponemos enriquecer una micro-teoría aritmética - producida por ustedes para que, junto a las definiciones y otros resultados explicitados en esta clase, puedan ser utilizados en nuevos problemas como los siguientes, en los cuales no solo se propone resolverlos sino que se expliciten qué propiedades, definiciones, relaciones se usan y a su vez emergen. Nos encontramos en una semana para avanzar sobre la última clase! Página 14

15 Bibliografía de referencia Becker, Pietrecola y Sánchez (2001). "Aritmética". Editorial Red Olímpica. Argentina. Courant y Robbins (1979) Qué es la Matemática. Editorial Aguilar (2da impresión) Madrid, España. Chevallard, Y. (1991): La transposición didáctica. Grenoble. La Pensée Sauvage. AIQUE. Buenos Aires. Etchegaray, S. (2001)."Tesis de Maestría. Análisis Epistemológico y Didáctico de nociones elementales de la teoría de Números". Universidad Nacional de Río Cuarto. Gentile; E. (1991). "Aritmética Elemental en la Formación Matemática". Editorial OMA. Argentina. Godino, J.D. (2009). "Categorías de análisis de los conocimientos del profesor de matemáticas". Unión, Revista Iberoamericana d Educación Matemática, 20, España. Actividades Actividad Obligatoria: Con el propósito de ir construyendo ideas para el trabajo final, les pedimos la producción individual escrita que consideren los siguientes puntos: 1. Elegir una de las actividades denominadas Insumos para el Trabajo Final que fueron propuestas en las clases 3 y 4 correspondientes a la actividad matemática sobre problemas aritméticos y la división funcionando en los distintos conjuntos numéricos. 2. Desarrollar los ítems del insumo elegido y proponer un análisis didáctico-matemático, mediante el desarrollo y/o Página 15

16 resoluciones contextualizadas en una problemática didáctica, recuperando reflexiones e ideas desarrolladas en las clases, las actividades propuestas y lecturas bibliográficas realizadas. (Pueden utilizar materiales de lecturas de otros módulos que han cursado en la Especialización). Nota: Para el análisis matemático pueden tener en cuenta: por ejemplo, que, en caso de elaborar o considerar conjeturas, si éstas son válidas siempre?, nunca?, a veces?, bajo qué condiciones se cumpliría dicha conjetura?. En la contextualización en una problemática didáctica pueden proponer, por ejemplo: El análisis didáctico matemático de producciones de alumnos; Las dificultades que se presentaron en las entrevistas y las concepciones de los estudiantes frente a un problema de división; Los significados emergentes a partir de problemas aritméticos que involucran incógnitas y variables; La gestión de la clase ayudando a poner en diálogo diferentes tipos de procedimientos y el uso de recursos aritméticos para favorecer la construcción del sentido del álgebra; El papel de la conjetura, el contraejemplo y la generalización de propiedades aritméticas en el desarrollo de la actividad matemática; Los diferentes significados del objeto división al pasar de un conjunto numérico a otro; Cuestiones que involucren algunas de las complejas relaciones entre los diferentes elementos que funcionan en la división, entre otras. Foro de consultas Continúa abierto el Foro de Consultas generales del módulo en el cual podrán presentar inquietudes, problemas o dudas en relación con Página 16

17 la propuesta de trabajo del módulo. Requisitos de presentación de la Actividad: Deberán tener en cuenta los siguientes criterios: La producción deberá hacerse por escrito y será de carácter individual. En cuanto a la presentación del trabajo escrito deberán tener en cuenta las siguientes pautas: Forma de presentación: El documento final será presentado en un archivo escrito en procesador de texto y deberá contener un mínimo de dos y no más de cuatro páginas tamaño A4. Se deberá utilizar el siguiente formato: Tipo de letra: Arial - Tamaño 11 pts - Interlineado 1,5 pts., Margen derecho: 2,5 cm Superior 2,5 cm Inferior 2,5 cm. Portada: en la misma se consignará: - Titulo original del trabajo - Nombre del/a cursante, Institución, Localidad y Provincia y . Desarrollo. Bibliografía, listada respetando las normas APA. La producción realizada deberá enviarse por correo interno al tutor en un archivo nombrado de la siguiente manera: Act_Clase5_Nombre_Apellido publicación. El tiempo para participar es de una semana desde su Página 17

18 Actividades optativas Foro Sobre el Quehacer Matemático Personal 5 a, b y c" En este foro los esperamos para compartir sus producciones, inquietudes, conjeturas sobre las cuestiones planteadas a lo largo de la clase. Insumo para el Trabajo Final En cada clase se propondrán actividades que luego se constituirán en insumos concretos para el Trabajo Final del módulo. Sugerimos que las vayan resolviendo con tiempo a fin de llegar al final del cursado con el material elaborado. Elegir uno de los siguientes problemas para presentarlo como parte del Trabajo Final del módulo y dar respuesta a lo que se pide en el seleccionado. Problema 1: (i) Si a l b + c, será cierto que a l b o a l c? (ii) Y si a l b x c, qué relación puede establecer a con cada uno de los factores? (iii) Si a l b y a l c, qué relación se puede establecer entre a y la suma de los múltiplos de b con los de c? Problema 2: En cada uno de los siguientes casos, determine los números naturales n Página 18

19 que satisfacen la relación planteada i) n l n+1 ii) n-2 l n+2 iii) n-3 l n 2 +1 Qué generalización se puede enunciar? Valide su respuesta. Problema 3: i) Será cierto que la suma de dos números impares consecutivos es siempre múltiplo de 4? Si ahora se considera el producto de dos números pares consecutivos, conjeture por qué números resulta divisible ese producto. Valide toda afirmación que proponga. Actividad 3 - Recorrido por promoción "La división los distintos conjuntos numéricos" Llegando al final de la clase 5 les proponemos que dentro del Recorrido por Promoción realicen la Actividad Nº3 que recupera lo trabajado durante las Clases 4 y 5. Página 19

20 Cómo citar este texto: Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 5: Pensar y producir relaciones aritméticas entre/y con los números naturales y enteros. Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación. Esta obra está bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0 Autoras del material: El diseño y escritura de las clases del módulo fue realizado por Irma Elena Saiz y Silvia Catalina Etchegaray Página 20