FACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Transcripción

1 PRECALCULO 2010 FACULTAD DE CIENCIAS FISICO-MATEMATICAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Profesor Hugo Alvarez 1

2 CARACTERISTICAS DEL CURSO Este curso forma parte del trayecto de formación asistida para alumnos de la FCFM y N, cuyo diagnóstico recomendó la necesidad del mismo antes de encarar los cursos usuales de Cálculo I o Matemática Aplicada, según la carrera. La decisión de la facultad de que los estudiantes de diversas carreras compartan un grupo de cursos introductorios favorece la interacción de éstos -en contra del aislamiento disciplinar- permitiendo a la vez la ratificación o rectificación de la elección de carrera. El nivel elemental del curso permite una enseñanza no diferenciada para todo el grupo de alumnos. Aquellos que tienen un interés más instrumental, no se perjudican con un ligero matiz formal que resulta a la postre de utilidad en el desarrollo del pensamiento lógico. Por su parte, los amantes del rigor formalista se obligan a pensar en la función modelizadora de la Matemática, que es el aspecto fundamental que este curso destaca. La importante oferta editorial existente en este nivel ha permitido la elección de un libro de texto, y se advertirá en toda la programación que ésta es en realidad un instructivo para elegir un grupo de temas y ejercicios de ese libro, que dejan un conocimiento suficiente en el tiempo de que se dispone. La tarea desarrollada en los últimos años por los autores de textos elementales en la búsqueda de ejemplos de aplicación de la temática del curso, ampliamente reflejada en el libro elegido, permite un curso interesante para una amplia gama de expectativas. El curso comienza con una revisión muy rápida de aspectos operacionales de tipo algebraico, durante los que se trata de enseñar la utilidad del lenguaje matemático para la descripción de procedimientos generales, mostrando el uso de letras como constantes y variables. La posibilidad de apoyar el razonamiento con interpretaciones geométricas es aprovechada cada vez que se ofrece, tanto para desarrollar la intuición geométrica como para usarla en la comprensión de ideas más abstractas. Pasada esta etapa inicial, el resto del curso es una enseñanza conjunta de funciones y geometría analítica, apoyando cada concepto con el otro y usando ambos en la resolución de problemas concretos, avanzando desde los problemas lineales de proporcionalidad directa hacia problemas geométricos con uso de Trigonometría 2

3 PLAN DE ACTIVIDADES Esta es la planificación del curso. Está confeccionada para ser usada con el libro de texto adoptado: Michael Sullivan, Precálculo, 4ª edición, Prentice Hall. Las referencias de páginas, parágrafos y números de ejemplos corresponden, pues, a ese libro. Las unidades que aparecen como títulos sobre el margen derecho son las del programa de la materia. Los números de ejercicio son los de la guía de trabajos prácticos. Los símbolos en el margen tienen la siguiente significación: E Representa el material desarrollado por el docente como explicación general para toda la clase. R Identifica a los ejercicios que los estudiantes deberán resolver en clase con auxilio personal de los docentes del grupo UNIDAD 1. PRELIMINARES 1.1 Repaso de temas de Algebra y Geometría E Conjuntos (como lenguaje). Ejemplo 1 Números Reales. Representación geométrica: la recta real. Orden. Graficación de desigualdades. Intervalos. Valor absoluto. Distancia entre dos puntos. R Ejercicios: 1:a,c,e - 2 ; 3:a,c,e - 4:a,d - 5:a,c - 6:d. E Exponentes. Definición. Leyes de los exponentes. Ejemplo 5. Raíces principales. Ejemplos 6,7 y 8. R Ejercicios 7-8 E Teorema de Pitágoras. Ejemplo 9. Teorema recíproco. Ejemplo 10. R Ejercicios 9-10 E Resolución de problemas. Desarrollo de la solución de los problemas 12 y 13 (Perpendicularidad entre la tangente a un círculo y el radio en el punto de tangencia) R Ejercicio 14 E Demostraciones. Desarrollo de problemas 15 y 16. Racionales e irracionales. Ejercicios 18, 19 y 20. R Ejercicio Ecuaciones UNIDAD 2: ECUACIONES E INECUACIONES 3

4 E Ecuaciones en una variable. Conjunto solución. Ecuaciones equivalentes. Procedimientos que conducen a ecuaciones equivalentes. Ejemplos 1 y 2. Pasos para resolver ecuaciones. Ejemplo 3. R Ejercicio 1. E Ecuaciones cuadráticas. Fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas (sin deducción). Ejemplos 7 y 8. R Ejercicio 2: a,b E Otros trucos para resolver ecuaciones. Factorización: Extracción de factores comunes puede simplificar ecuaciones. Ejercicios 2: c, d. Ecuaciones con valor absoluto. Ejemplo 4. Ejercicios 3: e, f, h. R Completar ejercicio 3. E Problemas que originan ecuaciones. Ejercicios 4 y 6. R Ejercicios Aplicaciones E Modelización matemática. Ejemplo 1. R Ejercicio 8. E Planteamiento de ecuaciones: ejemplo 2. Interés: ejemplo 3. Ejercicio 14. R Ejercicios E Movimiento uniforme: ejemplos 4 y 5. R Ejercicios E Problemas geométricos: ejemplos 6 y 7. Mezclas: ejercicio 19. R Ejercicios Inecuaciones E Concepto de inecuación. Propiedades. Resolución de inecuaciones. Conjunto solución. Notación de intervalos. Ejemplos 1 y 2. R Ejercicio 31. E inecuaciones cuadráticas. Ejemplos 3 y 4. Inecuaciones polinómicas de mayor grado. Ejemplo 5. R Ejercicio 32. E Inecuaciones racionales. Ejemplo 6. Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos 9-10 R Ejercicio 33. 4

5 UNIDAD 3: COORDENADAS 1.6. Coordenadas rectangulares y gráficos E Coordenadas de puntos en el plano. Distancia. Ejemplo 1. Punto medio de un segmento. Ejemplo 3. R Ejercicios 1 2-3: a, b, c - 4. E Gráfico de una ecuación. Ejemplos 4 5. Intersecciones con los ejes. Simetrías. Ejemplos 6 7 y 8. R Ejercicios E Ecuación de un círculo. Formas standard y general. Graficación. Ejemplos R Ejercicios La línea recta E Pendiente. Ejemplos 1 2. Ecuación de una recta. Forma puntopendiente. Rectas horizontales y verticales. Ecuación dados dos puntos. R Ejercicios E Ecuaciones en forma general y en forma pendiente-ordenada al origen. Ejemplo 7. Rectas paralelas y perpendiculares. Teoremas. Ejemplo 11 R Ejercicios 15:a, b, c, g UNIDAD 4: FUNCIONES 2.1. Funciones y sus gráficas E Definición. Evaluar funciones en puntos. Dominio de una función. Variable independiente y dependiente. Ejemplo 5 y 6. Ejercicio 1: a, b, d. R Completar ejercicio 1. E Gráfica. Identificar valores máximos y mínimos. Identificación de curvas en el plano que son la gráfica de funciones. Ejemplo 7. Pares ordenados. Rango de una función. Ejercicio 2. R Ejercicios : b, d Operaciones con funciones. E Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones (Dominio). Ejemplo 1. Composición de funciones. Definición. Ejemplo 4. Ejercicio 14 a. Ejemplo 5. Ejercicio 15 a. Ejemplo 6. R Ejercicios. 12: a, b, d 13: c 15 b 16 c Funciones Inversas. E Definición. Función 1-1. Ejemplo 1. Inversa de una función (definición). Ejemplos 2 y 3. Ejercicio 19 b. Determinación de una inversa. 5

6 Ejemplo 4 y 5. R Ejercicios. 18 c 19 c 20 a, b. 21 d. UNIDAD 5. FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES 3.1. Funciones cuadráticas 2 2 E Definición. Gráfica de f ( x) = x y de f ( x) = x. Vértice, eje de simetría. Ejemplo 1. Ejemplo 2. Ejemplo 3. R Ejercicios. 1 2: a, c Funciones polinomiales E Definición. Ejemplo 1. R Ejercicio 5. E Funciones potencia. Definición. Gráfica de R Ejercicio 6. n x, n par e impar Funciones Racionales E Definición. Dominio. Ejemplos 1 y 2. Fracciones propias e impropias. Escritura de una función racional como un polinomio más una fracción propia. Asíntotas verticales, ejemplo 4. Asíntotas horizontales y oblicuas: Ejemplos 6,7 y 8. R Ejercicios 7: a, d. 8: b, d, e. E Técnicas de graficación: seis pasos para graficar una función racional. Ejemplos 9 y 10. R Ejercicios 9: a, c, e. UNIDAD 6. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Angulos y sus medidas E Sistema sexagesimal. Ejemplo2. Radianes. Ejemplo 3. R Ejercicio 1. E Conversiones de grados a radianes y viceversa. Ejemplos 4 y 5. R Ejercicios 2 3 (algunos) 4 b Funciones Trigonométricas E Definición a través del círculo unidad. Ejemplos 1 y 2. R Ejercicio 5. E Ejemplos 3, 4 y 5. Funciones trigonométricas en 30º y 60º. R Ejercicios

7 5.3.- Propiedades de las Funciones Trigonométricas (Restringirse a seno, coseno y tangente) E Dominio y rango. Período. Ejemplo 1. Signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes. Ejemplo 2. Identidades fundamentales: (3) y (5). Ejemplo 4. Paridad. Ejemplo 5 (a,b,d) R Ejercicios 10: a, e 11, a 12 a 13 a Trigonometría del Triángulo Rectángulo E Funciones trigonométricas de un ángulo como razones de los lados de un triángulo rectángulo. Cofunciones de ángulos complementarios. Ejemplo 2 (a,b,c). Angulo de referencia. Ejemolos 3, 4 y 5 R Ejercicios 19: a, f 20: a, e 21: a, c Aplicaciones E Solución de triángulos rectángulos. Ejemplos 1 y 2. Problemas de aplicación. Ejemplos 3, 5, 7 y 9 R Ejercicios 23 a Gráficos de las funciones seno y coseno E El gráfico de la función y = sen x. Características de la función seno. Gráfico de y = cos x. Características. Ejemplos 3-4. R Ejercicios 31 y Gráfico de la función tangente E Pag. 412 hasta características de la función tangente inclusive. R Ejercicio Funciones trigonométricas inversas E La función seno inversa: pag.417/19. Ejemplos La función coseno inversa. Ejemplo 6. La función tangente inversa (tener a mano la tabla 7 de pag. 412). Ejemplo 8. R Ejercicios E Ejemplos R Ejercicios 39: a, c 40 a 41: a, d

8 UNIDAD 7. TRIGONOMETRIA Suprimir ejercicio Teorema de adición E Teorema (c/idea de demostración) cos( α + β ) = cosα cos β senα sen β cos( α β ) = cosα cos β + senα sen β Ejemplos 1-2. Funciones del ángulo complementario: (7a) y (7b) R Ejercicios 2:c 4: a. E Teorema de adición para seno (s/dem.). fórmulas (8) y (9). Ejemplo 3. R Ejercicios 2: a, b, d. E Teorema de adición para tangente (s/dem.). flas. (10) y (11). Ejemplo 8. R Ejercicios 4: d, e 7.3. Angulo doble E Ejemplos 1-2a, flas. (3), (4) y (5). Deducción de las flas. (6), (7), (8) y (9). R Ejercicios 6: a, b. Suprimir ejercicios 7,8 y de 11 en adelante. UNIDAD 8.- CONICAS EN EL PLANO 9.2. Parábola E Definición. Fla. (1). Teorema :fla. (2). Ejemplo 1. Lado recto. Ejemplo 2. Tabla 1 R Ejercicios 1 2: a, b - 3: a, b. E Tabla 2. Ejemplos 6 y 7. Propiedad reflectante (fig. 14) R Ejercicios 3: e, f Elipse E Definición. Deducción de la fla. (2). Relación entre a, b y c. Ejemplos 1 y 2. Fla. (3) para elipses de eje mayor vertical. Tabla 3. Método del jardinero y propiedad reflectante R Ejercicios : a, c 10 a Hipérbola E Definición. Fla. (2) sin demostración. Ejemplos 1 y 2. Fla. (3). Asíntotas. Ejemplo 5. Cambio de centro. Tabla 4 R Ejercicios R Ejercicio 18: a, d 19 8

9 PROGRAMA ANALITICO Unidad 1: PRELIMINARES. Conjuntos numéricos. Representación de los números reales en la recta. Gráfica de desigualdades en la recta real. Intervalos. Valor absoluto de un número real. El valor absoluto como distancia entre dos puntos en la recta. Exponentes. Uso de las propiedades de los exponentes. Simplificación de radicales. Teorema de Pitágoras. Algunas Fórmulas útiles de la Geometría. Unidad 2: ECUACIONES E INECUACIONES. Ecuación de una variable. Conjunto solución. Restricciones sobre el dominio de la variable. Procedimientos que conducen a ecuaciones equivalentes. Ecuaciones cuadráticas. Completación del cuadrado. Resolución por factorización. Resolución utilizando la fórmula cuadrática. Traducción de descripciones verbales a ecuaciones. Notación de porcentaje. Conversión a notación decimal y fraccionaria. Conversión de notación decimal y fraccionaria a porcentaje. Resolver problemas de aplicación variados, por ejemplo que involucren: Porcentajes. Movimiento uniforme y otros conceptos físicos. Conceptos geométricos: área, perímetro, volumen. Comercio y finanzas, etc. Desigualdades o inecuaciones en una variable. Propiedades. Uso de las propiedades para obtener el conjunto solución de inecuaciones. Resolución de desigualdades sencillas que involucren valor absoluto. Unidad 3: COORDENADAS Coordenadas Rectangulares. Fórmula de distancia. Punto medio. Gráfica de ecuaciones en el plano. Localización de algunos puntos. Intersecciones con los ejes. Simetrías. Efectos gráficos. Circunferencia. Definición. Ecuación. Gráfica de una circunferencia dada la forma general. (Uso de completar cuadrados). Recta. Pendiente. Ecuación de la recta dados: a) un punto y la pendiente, b) dos puntos. Gráficas, intersecciones con los ejes. Forma general de la ecuación de la recta. Rectas paralelas y perpendiculares. Unidad 4: FUNCIONES Y SUS GRAFICAS Definición. Dominio, Imagen. Ejemplos. Dada una fórmula encontrar los valores de la función. Dado un punto, determinar si pertenece a la función. Fórmula implícita y explícita. Identificación gráfica de funciones. Obtención de información de una función a partir de su gráfica. (dominio, rango, puntos de intersección con los ejes). 9

10 Funciones crecientes y decrecientes. Pares e impares. Funciones especiales: función lineal, función identidad, función cuadrática, cúbica, valor absoluto, de proporcionalidad inversa, funciones definidas por partes. Técnicas de graficación. Corrimientos horizontales y verticales. Reflexiones respecto de los ejes. Operaciones con funciones. Composición de funciones. Funciones 1-1. Definición de inversa de una función. Determinación de la inversa. Construcción de Funciones. Unidad 5: FUNCIONES RACIONALES Y POLINOMIALES. Funciones cuadráticas. Graficación utilizando corrimientos. Localización del vértice. Eje e intersecciones. Funciones polinomiales. Función potencia de grado n. Funciones racionales. Determinación del dominio. Asíntotas. Graficación de funciones racionales. Análisis de algunas gráficas. Descomposición en fracciones parciales. Unidad 6: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Angulos y sus medidas. Funciones trigonométricas definidas por medio de la circunferencia unitaria. Propiedades de las funciones trigonométricas. Dominio y rango. Período y signo. Identidades fundamentales. Trigonometría del triángulo rectángulo. Gráficas de las funciones seno y coseno. Gráficas de tangente, cosecante, secante y cotangente. Funciones trigonométricas inversas. Unidad 7: TRIGONOMETRÍA Identidades trigonométricas. Coseno y seno de la suma y diferencia. Fórmula para ángulo doble y mitad. Ley del seno y del coseno. Resolución de triángulos. Aplicaciones. Unidad 8: CONICAS EN EL PLANO Parábola. Definición como lugar geométrico y deducción de la fórmula. Lado recto. Gráfico. Propiedades reflectantes. Elipse. Definición y fórmula. Relaciones entre los semiejes y la distancia focal. Gráficos y propiedad reflectante. Hipérbola. Fórmula. Asíntotas. Cambio de centro. 10

11 RÉGIMEN DE APROBACIÓN Asistencia: La asistencia a las clases no es obligatoria. Pero sí es obligatorio conocer todo lo que en ellas se comunica y cumplimentar los trabajos prácticos evaluables que en ellas se proponen, previo anuncio, con 48 horas de anticipación, en la página de la materia, en La aprobación del 75% de estas actividades es condición necesaria para acceder a la recuperación general. Parciales: Existen dos exámenes escritos compuestos de problemas y ejercicios semejantes a los resueltos en la guía de ejercitación. Cada uno de ellos es recuperable en la semana siguiente a la de su realización. La aprobación de los dos parciales (directamente o por recuperación) es condición suficiente para la aprobación de la materia. Caso contrario, previo cumplimiento de los requisitos de asistencia, se puede aprobar a través de una recuperación general. La recuperación adicional para alumnos con capacidades especiales prevista por las resoluciones 52/85 y 66/85 C. S., se aplica a uno de los parciales pero no a la recuperación general. No existe examen final y, consecuentemente, tampoco examen libre. La materia sólo se aprueba por promoción. BIBLIOGRAFÍA Michael Sullivan, Precálculo - 4ta. Edición - Prentice Hall. Miguel de Guzmán, José Colera y Adela Salvador, Matemáticas (Bachillerato) 3 volúmenes., Anaya Miguel de Guzmán, José Colera y Adela Salvador, Matemáticas (C.O.U.) tomos I y II., Anaya. Hugo Alvarez, Notas de Cálculo, N. E. U., San Luis,