SISTEMA DIÉDRICO. Perpendicularidad

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Raquel Rodríguez Zúñiga
hace 6 años
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1 SISEMA DIÉDRICO Perpendiculridd

2 CONCEPOS PREVIOS En el plno bidimensionl, sbemos que 2 rects son perpendiculres entre sí cundo se cortn (tendrán por tnto un punto en común) formndo un ángulo recto. En el espcio, 2 rects son perpendiculres entre sí cundo se cortn (tendrán por tnto un punto en común) o se cruzn (no tendrán puntos comunes) formndo un ángulo recto (observndo ls rists del cubo, podemos fácilmente comprobr cómo hy rists ortogonles que se cortn, definiendo los vértices, y rists ortogonles que se cruzn). Igulmente, 2 plnos o un rect y un plno son perpendiculres entre sí cundo se cortn formndo un ángulo recto. os plnos ortogonles tendrán por tnto un rect común, resultnte de dich intersección, y l rect y el plno ortogonles tendrán lógicmente un punto común, resultdo de su intersección. En sistem diédrico y, en generl, en los sistems que utilizn proyecciones cilíndrics, l perpendiculridd no constituye un invrinte proyectivo, como p.e. el prlelismo; l perpendiculridd no se conserv entre ls proyecciones homónims de ls rects ortogonles ni entre ls trzs correspondientes de los plnos ortogonles, slvo csos prticulres que veremos continución.

3 EOREMAS de l PERPENDICUARIDAD eorem 2 eorem 1 Un rect R norml un plno P es perpendiculr tods ls rects de este plno, tengn o no puntos comunes con ell. rect R, norml un plno P, es perpendiculr tods ls rects de este plno; Pt es un rect más del plno P, y l l vez su trz o rect de intersección con un segundo plno, Q. Estndo Pt contenid en el plno Q, l rect R se proyectrá sobre dicho plno (r) norml l trz Pt existente entre los plnos. El trzdo de rects normles plnos o vicevers no ofrece dificultd, l conservrse l perpendiculridd entre ls trzs del plno y ls proyecciones homónims de un rect. eorem 3 Si dos rects R y S son perpendiculres en el espcio, y un de ells (R en este cso) es prlel un plno Q, sus proyecciones cilíndrics sobre dicho plno serán igulmente ortogonles.

4 EJERCICIOS sobre PERPENDICUARIDAD

5 Ejercicio 1 rzr un plno perpendiculr un rect - que pse por un punto ddo P'-P''. P'' P'

6 Se puede hllr el plno de dos mners, medinte un rect horizontl o medinte un rect frontl del plno. 1º rzmos por P'-P'' un horizontl de plno h'-h'' de form que h'' es prlel y h' perpendiculr (h es un rect horizontl, por lo que h' y se proyectrán ortogonlmente, según lo estudido en el teorem de ls tres perpendiculres). Vh P'' h'' P' h'

7 2º Hllmos l trz verticl Vh de l rect horizontl h'-h'' y por est trzmos α2 perpendiculr ; desde el punto de corte de α2 con trzmos α1 perpendiculr y tenemos el plno α1-α2 perpendiculr - y que ps por el punto P'-P''. α 2 Vh P'' h'' P' α 1 h'

8 3º El mismo ejercicio lo podemos resolver con un rect frontl. rzmos por P'-P'' un frontl de plno f'-f'' de form que f' es prlel y f'' perpendiculr. Hllmos l trz horizontl Hf de l frontl f'-f'' f'' P'' Hf P' f'

9 4º Por l trz horizontl HF de l frontl f'-f'' trzmos α1 perpendiculr ; desde el punto de corte de α1 con trzmos α2, perpendiculr y tenemos el plno α1-α2 perpendiculr - y que ps por el punto P'-P''. α 2 f'' P'' Hf P' f' α 1

10 Ejercicio Nº 2 Por un punto P'-P'' trzr un plno perpendiculr otro ddo. Anlizndo el ejercicio, vemos que tiene infinits soluciones, puesto que por un punto ddo psrán infinitos plnos perpendiculres otro. Resolvemos uno de ellos. 2 P'' P' 1

11 os infinitos plnos que buscmos, pr ser ortogonles α, tienen que tener un elemento común: l rect r que, psndo por P es perpendiculr dicho plno. 1º Por ello, trzmos por el punto P'-P'' un rect - perpendiculr l plno ddo: perpendiculr α1 y perpendiculr α2. 2 P'' P' 1

12 2º Hllmos ls trzs Vr y Hr de l rect -, y que por ells tendrán que psr ls trzs del plno que buscmos. 2 P'' Vr Hr P' 1

13 3º enemos infinits soluciones posible; por ello, comenzmos dibujndo, p.e., un trz β2, trz verticl del plno pedido, psndo por Vr ; por el punto de corte de est trz con l dibujremos l otr trz, trz horizontl β1, que tiene que psr por Hr pr contener l rect. Según qué trz trcemos primero, nos sle un plno u otro, por eso tiene infinits soluciones. os plnos proyectntes que contienen l rect r serín igulmente cóods soluciones de este ejercicio. ß 2 P'' Vr Hr P' ß 1

14 EJERCICIO Nº 3 rzr un plno perpendiculr otros dos plnos ddos α y β que pse por un punto A'-A''. A'' ß2 A' ß1

15 1º rzmos por el punto A'-A'' dos rects - y -' perpendiculres los plnos α y β. Pr ello por A'' trzmos y ', proyecciones verticles perpendiculres α2 y β2 respectivmente; por A' trzremos ls proyecciones horizontles de ls rects, y, que serán perpendiculres α1 y β1 respectivmente. ' A'' ß2 A' ß1

16 2º Hllmos ls trzs de ls rects - y -': Vr-Hr y Vs-Hs. ' A'' Vr Hr ß2 A' Hs ß1

17 3º Uniendo ls trzs verticles Vr y Vs determinremos l trz verticl β2 del plno buscdo; unimos continución ls trzs horizontles Hr y Hs y tendremos determind l trz horizontl β1 del plno buscdo; ls trzs buscds tienen que cortrse en. ' A'' Vr Hr ß2 A' Hs ß1

18 Ejercicio Nº 4 Por un rect dd - trzr un plno perpendiculr otro plno ddo α. 2 1

19 s trzs del plno tiene que psr por ls trzs de l rect -. 1º Hllmos ls trzs de l rect -, que son los puntos Vr-Hr, por los que hremos psr β1 y β2. 2 Vr Hr 1

20 2º ommos un punto culquier P'-P'' de l rect - y trzmos l rect -' perpendiculr l plno α ddo: será perpendiculr l trz α1 y ' será perpendiculr α2. 2 ' Vr P'' P' Hr 1

21 3º Hllmos ls trzs Vs y Hs de l rect -'. 2 ' Vr P'' Vs Hs P' Hr 1

22 4º Uniendo ls trzs verticles Vr y Vs obtenemos l trz verticl β2 del plno buscdo; unimos igulmente Hr y Hs y obtenemos l trz horizontl β1 del plno perpendiculr l plno α y que ps por l rect -. 2 ß ' Vr P'' Vs Hs P' ß Hr 1

23 Ejercicio Nº 5 Dds dos rects - y -' determinr el plno α que ls contiene y hllr l intersección con un plno perpendiculr α que pse por el punto ddo A'-A''. A'' ' A'

24 1º Hllmos el plno que determinn ls rects - y -', pr lo que hllmos ls trzs de mbs rects Vr-Hr y Vs. Vr A'' ' Vs A' Hr

25 2º Unimos Vr con Vs y obtenemos α2; después por Hr trzmos α1 prlel y tenemos el plno buscdo que contiene mbs rects. 2 Vr A'' ' Vs A' Hr 1

26 3º Pr trzr un plno perpendiculr l y determindo que pse por A'-A'', bst trzr l horizontl de plno t'-t'' en l que t' se perpendiculr, proyección horizontl de l horizontl -'. Culquier plno que conteng l rect t será solución del ejercicio, y que será perpendiculr l α. 2 Vr Vt A'' t'' ' Vs A' Hr t' 1

27 4º rzmos el plno β1-β2 en que l trz verticl β2 ps por Vt y l trz horizontl β1 es prlel t'. 2 Vr ß Vt A'' t'' ' Vs A' Hr ß t' 1

28 5º Hllmos hor l rect i de intersección de los plnos α y β. El punto de corte de α2 y β2 determin de modo directo l trz verticl Vi de l rect de intersección. En este cso, vmos considerr que ls trzs horizontles no se cortn en el dibujo, por lo que necesitremos un plno uxilir de poyo que nos permit encontrr un segundo punto de l rect i. 2 Vr ß Vt A'' t'' ' Vs A' Hr ß t' 1

29 6º Pr determinr el otro punto trzmos un plno uxilir f2 que cort los plnos α y β según ls horizontles x'-x'' y v'-v''. 2 Vr ß f 2 x'' Vt A'' t'' ' Vs v'' A' Hr ß v' t' 1 x'

30 7º Por el punto de corte de ls rects uxilires x' y v' ps l rect i de intersección de los plnos α y β. Como y tenemos dos puntos de dich rect, únicmente nos qued dibujr sus proyecciones i'-i'' y solucionmos el ejercicio. 2 Vr ß f 2 x'' Vt A'' i'' t'' ' Vs v'' A' Hr ß v' t' i' 1 x'

31 Ejercicio Nº 6 Ddos el punto A'-A'', l rect - y un plno α, trzr por el punto A'-A'' un plno β perpendiculr l rect - y hllr l intersección del plno α y del plno β. A'' A'

32 1º Por el punto A'-A'' trzmos un rect perpendiculr -; como y sbemos, nos yudremos de un rect horizontl de plno como l -', en l que es perpendiculr. Hllmos l trz Vs y dibujmos l trz verticl β2 perpendiculr ; por el punto de corte de l trz verticl con l trzremos β1, perpendiculr y por consiguiente prlel. ß2 ' A'' Vs A' ß1

33 2º Pr hllr l intersección de los plnos α1-α2 y β1-β2 cuys trzs se cortn fuer de los límites del dibujo, nos uxilimos de dos plnos prlelos los de proyección f2 (plno horizontl) y O1 (plno frontl) y hllmos sus intersecciones con los plnos α1-α2 y β1-β2. ß2 f 2 ' A'' Vs O1 A' ß1

34 3º intersección del plno f2 con los plnos α1-α2 y β1-β2 son ls horizontles m'-m'' y n'-n'', que se cortn en el punto B'-B''. Por ese punto ps l rect de intersección i'-i'' que buscmos. Necesitremos otro punto. ß2 f 2 m'' B'' n'' ' A'' Vs O1 n' A' B' ß1

35 4º intersección del plno O1 con los plnos α1-α2 y β1-β2 son ls frontles t'-t'' y v'-v'' que se cortn en el punto C'-C'', que es el otro punto por el que ps l intersección i'-i''. t'' C'' v'' ß2 f 2 m'' B'' n'' ' A'' Vs O1 v' m' C' n' A' t' B' ß1

36 5º Unimos B'-B''con C'-C'' y tenemos l intersección i'-i'' de los plnos α1-α2 y β1-β2. t'' C'' v'' ß2 f 2 m'' B'' n'' ' A'' Vs i'' i' O1 v' C' n' A' t' B' ß1

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