EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA Matemática Básica y Matemática para Ciencias de la Salud

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1 2013 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA Matemática Básica y Matemática para Ciencias de la Salud Claudio Gaete Peralta Claudio Gaete Peralta matematica53.webnode.cl

2 CLAUDIO GAETE PERALTA TABLA DE CONTENIDOS INTRODUCCION... 3 ECUACIONES... 4 EJERCICIOS PROPUESTOS... 8 FUNCIONES... 9 EJERCICIOS PROPUESTOS LIMITES EJERCICIOS PROPUESTOS CONTINUIDAD EJERCICIOS PROPUESTOS DERIVADAS EJERCICIOS PROPUESTOS... 32

3 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA INTRODUCCION Estos apuntes fueron diseñados con el fin de complementar el aprendizaje matemático junto con lo visto en clases. Se presentan diversos ejercicios resueltos y propuestos, principalmente para carreras de Ciencias de la Salud. 3

4 CLAUDIO GAETE PERALTA ECUACIONES 1. Resuelva la ecuación! " # =1. Solución: Como el discriminante de & ' +&+1 es negativo y el coeficiente que acompaña a & ' es positivo, tenemos que & ' +&+1>0 para todo número real. De esta forma, no hay restricciones previas para resolver la ecuación. Resolviendo, tenemos & ' +5&+6 & ' +&+1 =1/ (&' +&+1) & ' +5&+6=& ' +&+1 5&+6=&+1 4&= 5 &= 5 4 Lo que resuelve el ejercicio 2. Resuelva la ecuación '4# = 5 ' # 4' Solución: En primer lugar, debemos notar que tenemos las siguientes restricciones 2&+1 0 & # ' & 2 0 & 2 Con esto, tenemos que de existir una solución, ésta no puede ser # ' resolver la ecuación. Multiplicando cruzado, tenemos que: ni 2. Procedamos a (2& 1)(& 2)=(2&+1)(&+3) 2& ' 4& &+2=2& ' +6&+&+3 5&+2=7&+3 1=12& # #' =&

5 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA 3. Resuelva la ecuación (&+;) ' (& ;) ' =(;+<) ', donde ;,< son números reales no nulos. Solución: (&+;) ' (& ;) ' =(;+<) ' & ' +2;&+; ' (& ' 2;&+; ' )=(;+<) ' & ' +2;&+; ' & ' +2;& ; ' =(;+<) ' 4;&=(;+<) ' &= (;+<)' 4; 4. Resuelva la ecuación ' 5 5 & = & Solución: En primer lugar, como restricción, tenemos que & 0. La idea principal es poder quitar los denominadores de esta ecuación. Fijándonos en los coeficientes de cada denominador, tenemos que >.?.> (3,2,10)=30 1 De esta forma, si multiplicamos a ambos lados por 30&, seremos capaces de einar los denominadores y trabajar con una ecuación que será más sencilla 2 3& 5 & = & / 30& =21& =21& 45 85=21& =& 1 Note que no se consideró el coeficiente que acompañó a &. 5

6 CLAUDIO GAETE PERALTA 5. Este ejemplo explica el por qué es necesario hacer restricciones antes de empezar a resolver una ecuación. Resuelva la ecuación " + ' 5 =0 E 4FE #' E 4GE 5 E 4!E G Solución: Tenemos que 6 ; ' 7; ; ' 4;+3 3 ; ' 5;+4 =0 6 (; 3)(; 4) + 2 (; 1)(; 3) 3 (; 1)(; 4) =0/ (; 3)(; 4)(; 1) 6(; 1)+2(; 4) 3(; 3)=0 6; 6+2; 8 3;+9=0 5; 5=0 5;=5 ;=1 Con lo que habremos resuelto la ecuación. Sin embargo, esta no puede ser solución, pues, tenemos que ;=1 anula la expresión I J KI+L, que forma parte de un denominador en la ecuación que acabamos de resolver. De esta forma, la ecuación no tiene solución 6. La edad de Fernando es la mitad de la de Pedro. Hace tres años Fernando tenía un tercio de la edad que tendrá Pedro en nueve años más. Cuánto será la suma de las edades en dos años más? Solución: Denotemos por T,U las edades actuales de Fernando y Pedro, respectivamente. Tenemos que I. T= V ' II. T 3= # 5 (U+9) Reemplazando la primera ecuación en la segunda, tenemos que

7 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA U 2 3=1 3 (U+9) U 2 3=U 3 +3 U 2 U 3 =6/ 6 3U 2U=36 U=36 Reemplazando este valor en la primera ecuación, tenemos que T=18. De esta forma, las edades actuales de Fernando y Pedro son 18 y 36 años respectivamente. Por lo tanto, en dos años más, sus edades serán de 20 y 38 años y así, sumarán 58 años 7. Resuelva la ecuación # + ' '(4#) (4#) = # G( 5) Solución: En primer lugar, como restricciones, tenemos que & 1,& 3. La idea es poder sacar los denominadores, para poder trabajar con una ecuación más sencilla. Si multiplicamos a ambos lados por (& 1) ' (&+3) habremos quedado libres de incógnitas en los denominadores y de esta forma podríamos empezar a resolver la ecuación. Si el lector(a) no queda conforme y desea además sacar los coeficientes de los denominadores, será necesario multiplicar a ambos lados por el mínimo común múltiplo entre 2 y 4 >.?.> (2,4)=4 De esta forma, si multiplicamos a ambos lados de la ecuación por 4(& 1) ' (&+3) podremos trabajar solamente con numeradores y no con denominadores: 1 2(& 1) (& 1) '= 4(&+3) / 4(& 1)' (&+3) 2(& 1)(&+3)+8(&+3)=(& 1) ' 2(& ' +2& 3)+8&+24=(& ' 2&+1) 2& ' +4& 6+8&+24=& ' 2&+1 & ' +14&+17=0 Las raíces de esta ecuación son & # = 4#G #'X ' y & ' = 4#G4 #'X ', lo que resuelve el problema 7

8 CLAUDIO GAETE PERALTA EJERCICIOS PROPUESTOS A. Resuelva las siguientes ecuaciones i. (&+1) 5 (&+1) 5 =6&(& 3) ii. 7(18 &) = 6(3 5&) (7& + 21) 3(2& + 5) iii. 3 ' 1 5 =7 &+ ' iv. v. [ 2 \3 (& 2&)]+4^=4 5&! + " #! " ( ") =3 B. En un curso de 40 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y el resto lee. Cuántos alumnos leen? C. El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la que tendré dentro de 6 años. Qué edad tendré en dos años más? D. La suma de la edad de una madre con las edades de sus dos hijas es 55 años. La edad de la madre es el doble de la edad de la hija mayor y la suma de las edades de las dos hermanas es 25 años. Calcular las edades.

9 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA FUNCIONES 8. Considere la función c(&)= E d, donde ;,<,? y g son números reales y? 0. e f Determine el Dominio y Recorrido de esta función. Solución: En primer lugar, debemos notar que c es una función racional, luego su denominador debe ser distinto de cero. Así, tenemos que?&+g 0 & g? Con esto, tenemos que hi>c=j k f l. Para determinar el recorrido, hagamos m=c(&) y e despejemos & en función de m m= ;&+<?&+g / (?&+g) m(?&+g)= ;&+< m?&+mg=;&+< m?& ;&=< mg &(m? ;)=< mg &= < mg m? ; Donde la división puede ser realizada siempre que m? ; 0, es decir m E e. Así, jn?c=j k E e l 9. Dada la función c(&)=;& ' +<&+?, con ;,< y? números reales, con ; 0. Determine dominio y recorrido de dicha función. Solución: En primer lugar, debemos notar que el dominio de esta función es siempre j. Para determinar el dominio de esta función, debemos analizar dos casos: Caso 1: I>0. En este caso, el recorrido de la función será 2 jn?c=ocp < 2; q, +o 2 Realice la gráfica de la función para entender geométricamente lo que se está haciendo. 9

10 CLAUDIO GAETE PERALTA Caso 2: Is0. En este caso, el recorrido de la función será jn?c$v2,c/2 d 'E 0v 10. La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su efectividad en el tiempo según t/w0$2w ' (6w donde t es la concentración del calmante en el suero medida en milígramos por litro para que haga efecto durante t horas. En qué instante la concentración es de 8 milígramos por litro?. Grafique la función e interprete resultados en el contexto del problema. Solución: Notemos que la gráfica de la función es una parábola con a$21s0, por lo que esta parábola va hacia abajo. Además, tenemos que el vértice es x$/2 < 2;,t/2 < 00$/3,t/300$/3,90 2; Con esto, tenemos que la porción de gráfica de la función es Según la gráfica, tenemos que la máxima concentración de calmante es de 9 milígramos por litro y se da al cabo de 3 horas. Notemos también que el intervalo de tiempo para el análisis de la concentración del medicamente es 0yty6. Para determinar el instante en que la concentración es de 8 milígramos por litro, debemos resolver la ecuación es decir, 8$2w ' (6w w ' 26w(8$0

11 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA Debemos tener en cuenta que las raíces de una ecuación cuadrática se determinan por la fórmula w= <± <' 4;? 2; En este caso, ;=1,<= 6 y?=8, por lo que, reemplazando dichos valores, tenemos que las raíces de t(w) son w # = 4 y w ' = Considere la función {(&)= 3&+5. Determine si esta función es biyectiva o no. En caso afirmativo, encuentre la función inversa { 4#. Solución: En primer lugar, debemos tener en cuenta que hi>c=! 5, +. Recordemos que una función es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva. Veamos primero la inyectividad. Sean },~ hi>c tales que {(})={(~). Es decir, 3}+5= 3~+5 /() ' 3}+5=3~+5/ 5 3}=3~ /:3 }=~ Por lo que la función es inyectiva. La sobreyectividad es clara, en vista de que no hay un codominio especificado 3. Para determinar la función inversa, hagamos m={(&). Con esto, tenemos que m= 3&+5 /( ) ' m ' =3&+5 m ' 5=3& m ' 5 =& 3 Por lo que { 4# (&)= 4! 5 3 Queda como ejercicio para el lector, determinar el recorrido de la función. 11

12 CLAUDIO GAETE PERALTA 12. Determine la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (1,0). Solución: Primero, debemos recordar que la ecuación de la recta que pasa por el punto (;,<) y tiene pendiente > viene dada por la fórmula m <=>(& ;) Haciendo los reemplazos respectivos, tenemos que la ecuación buscada es m 0=3(& 1) Es decir, m=3& 3 (Ecuación principal de la recta) o bien 3& m 3=0 (Ecuación general de la recta) 13. Dé un ejemplo de una recta que sea perpendicular a la recta del ejercicio anterior. Solución: Dos rectas con pendientes > # y > ', respectivamente, son perpendiculares, si el producto de sus pendientes es 1. De esta forma, la pendiente > de la recta buscada debe cumplir con 3>= 1 es decir, >= # 5. Con esto, tenemos que una recta perpendicular a la recta del ejercicio anterior sería de la forma y= # &+, j Encuentre el punto de intersección de las rectas m=2& 3 e m= # G &+# '. Solución: En vista de que estas rectas no son paralelas (pues sus pendientes son distintas), ambas rectas se intersectan (en un único punto). Resolvamos la ecuación 2& 3= 1 4 &+1 2 2& 1 4 &= &=7 2 &= &=2 Reemplazando este valor en cualquiera de las dos ecuaciones de las rectas, tenemos que y=1. Así, el punto de intersección es (2,1)

13 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA 15. Determine el valor de para que la recta & + ( + 1)m + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3& 2m 11 = 0 Solución: Sean #, ' rectas dadas por # : & + ( + 1)m + 3 = 0 y ' :3& 2m 11 = 0 Para determinar la pendiente de la recta #, despejamos m : & + ( + 1)m + 3 = 0 ( + 1)m= & 3 m= +1 & 3 +1 Siempre que 1. Así, la pendiente de # es #. Análogamente, la pendiente de ' es 5 '. Para que las rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser 1, es decir, = 1 +1 =2 3 3 =2( +1) 3 =2 +2 =2 Con esto, tenemos que si =2, las rectas serán perpendiculares 16. La natalidad de una región ha ido disminuyendo linealmente en los últimos años. En 1995 fue de 35 nacimientos por cada habitantes. En el año 2000 fue de 33 por cada personas. Supongamos que denota la natalidad por cada personas y representa el tiempo medido en años desde a) Determine la función lineal de natalidad 4. b) Si el modelo lineal se mantiene igual. Cuál será la natalidad esperada para el año 2015? 4 Note que como la natalidad disminuye linealmente en función del tiempo, la pendiente debe ser negativa. 13

14 CLAUDIO GAETE PERALTA Solución: a) Como depende linealmente de, tenemos que = ( )=> + Para determinar los valores de > y, debemos tener en cuenta que si en 1995 (es decir, =0) hubo 35 nacimientos por cada habitantes, entonces reemplazando en la ecuación, tenemos que 35=> 0+ Además, en el año 2000 (es decir, =5) hubo 33 nacimientos por cada habitantes, entonces reemplazando en la ecuación, tenemos que 35= 33=> => => Con esto, tenemos que = ( )= b) Dado que = ( )= ' +35 reemplazando =20, tenemos que! = = 8+35=27 Así, la natalidad para el año 2015 será de 27 personas por cada habitantes 17. Resuelva la siguiente ecuación 2 # 3 4! =6 Solución: Aplicando logaritmo, tenemos que log(2 # 3 4! )=log6 log(2 # )+log(3 4! )=log6 (&+1)log2+(& 5)log3=log6

15 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA &log2+log2+& log3 5log3=log6 &log2+& log3=log6+5log3 log2 Lo que resuelve el ejercicio 18. Resuelva la siguiente ecuación &(log2+log3)=log6+5log3 log2 log2+log3 &= log6+5log3 log2 = log6 log log G (&+1)+log G (&)= 1 2 = log6 log 729 Solución: En primer lugar debemos notar que tenemos dos restricciones, debido al dominio de la función logaritmo: &+1>0 &>0 Intersectando ambas condiciones, llegamos a que &>0. De encontrar una solución, debe entonces, ser positiva. log G (&+1)+log G (&)= 1 2 log G \(&+1)(&)]= 1 2 (&+1)(&)=4 # ' & ' +&=2 & ' +& 2=0 Lo que nos da una ecuación cuadrática, cuyas raíces son & # =1 y & ' = 2. En vista de que &>0, tenemos que la solución a nuestra ecuación es &=1 19. Sean A, ˆ>0. Si c=a(1+r), demuestre que = Š Œ 4Š ŒŽ Š Œ(# ). Solución: Aplicando logaritmo, tenemos que 15

16 CLAUDIO GAETE PERALTA log?=loga(1+ˆ) log?=log +log(1+ˆ) log? log = log(1+ˆ)/:log(1+ˆ) logc loga log(1+ˆ) = Con lo que se tiene la igualdad. 20. Una Isapre calcula que el número de sus afiliados (w), después de t años, está dada por : (w)= (0,04),! a) Cuántos afiliados tiene inicialmente la Isapre? b) Cuántos afiliados tendrá después de 3 años? c) Al cabo de cuántos años habrán afiliados? Solución: a) A(0)= b) A(3)= (0,04),! 5 = (0,04) #,! c) Para esto, resolvemos la ecuación Aplicando logaritmo, tenemos = (0,04),! /: ,3=(0,04),! log0,3=0,5wlog(0,04) log 0,3 log0,04 =0,5w/: 0,5 0,324 w

17 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA 21. Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardíaca en adultos y se obtuvo los siguientes resultados Dosis administrada en mg Disminución frecuencia cardíaca (latidos por minuto) 0,5 0,75 1 1,25 9,05 10,075 11,1 12,125 Suponiendo que los datos siguen un modelo lineal, determine a) La función que representa el problema b) Interprete la pendiente de la recta en términos de la tasa de cambio c) Si se administran 2 mg, Cuál es la disminución en la frecuencia cardíaca? d) Para qué dosis la frecuencia cardíaca disminuye en 10 latidos por minuto? Solución: a) Denotemos por F a la frecuencia cardíaca, la cual depende linealmente de la cantidad de medicamento en milígramos, que denotaremos por C. De este modo, tenemos la siguiente relación T=T(t)=>t+ Además la pendiente de esta recta será >= #, F!4,!,F!4,! de, usando la tabla vemos que, por ejemplo 9,05=4,1 0,5+ 7= = #, '! =4,1. Para calcular el valor,'! De este modo, T(t)=4,1t+7 b) El valor de la pendiente se interpreta del siguiente modo: por 1 mg de medicamento, hay una disminución en la frecuencia cardíaca de 4,5 latidos por minuto. c) T(2)=4,1 2+7=15,2 d) 10=4,1 t+7. Luego, t=0,

18 CLAUDIO GAETE PERALTA EJERCICIOS PROPUESTOS A. Dada las siguientes funciones, calcule los valores indicados c(2), c(1), c(0), si c(&)= # 5 hš # ', h( 1), h(# 5 ), si h(&)=(5&5 +& ' + # F )' {š #, {(7),{( 7), si {(&)= G Ÿ &G +5, & 0, 0s&s7 # ž œ # #, &>7 B. La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo de bacterias, varía de acuerdo a (&)= (& 2) ' +1 donde &, representa el tiempo de exposición a fuentes de energía calórica. a) Señale el intervalo de tiempo en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva. b) Después de cuánto tiempo la temperatura es máxima? c) Realice la gráfica de la función e interprete en el contexto del problema. C. Graficar la función c(&)=5& ' +6& 3, indicando su vértice, zona de crecimiento y decrecimiento, cortes con el eje X e Y, si es posible. D. Encuentre la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta de ecuación 3&+2m 1=0 y pasa por el punto ( 1, ' ). Grafique esta recta. 5

19 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA E. Determine cuál de las siguientes parábolas corta al eje X. Fundamente su respuesta a) m=& ' +9&+18 b) m= & ' 8&+20 c) m=& ' 15&+54 d) m=2& ' +8&+7 e) Todas cortan al eje F. Resuelva la ecuación log ' (7& 1) log ' (3&+5)=1. G. El valor de reventa V de un equipo radiográfico se comporta de acuerdo a la ecuación V= e 4,!, en que t son los transcurridos desde el momento de la compra. a) Cuál es el valor original del equipo radiográfico? b) Cuál es el valor esperado de reventa, después de 5 años? c) Después de cuántos años el valor de reventa será de $ ? H. Encuentre el valor numérico de n Š #' 1 +log log! 125 log F ª I. Después de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000 estudiantes, el número de estudiantes infectados después de t días, se pronostica por 3000 (w)= n 4,X! En qué período de tiempo se estima que los infectados lleguen aproximadamente a 1000 estudiantes? 19

20 CLAUDIO GAETE PERALTA LIMITES 22. Determine el valor de los siguientes límites: a) # 4# 4# Solución: 4' b) X 4X Solución: & 1 # & 1 = # & 1 & 1 &+1 &+1 = & 1 # (& 1) &+1 = 1 # &+1 =1 2 = X X 2 & 8 = & & 8 (& 8) ( & ' X & +2 & 2 & 8 &' & ' +4) = X & ' +2 & & & +4 = 1 12 c) 45 44#' G 5 Solución: & ' & 12 & ' +4&+3 = (& 4)(&+3) 45(&+1)(&+3) = &+4 45&+1 = d) Solución: 4# &+5 2 & ' = 1 &+5 2 4# & ' & &+5+2 = 4# (& 1)(&+1) &+5+2 = &+1 = 4# (& 1)(&+1) &+5+2 = 1 4# (& 1) &+5+2 = 1 8

21 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA 23. Suponga que el tamaño de una población en el instante w es (w)= ;w +w,w 0 Siendo ; y constantes positivas. Suponga que el tamaño límite de la población es ± (w)=1,24 10" y que en el instante w = 5, el tamaño de la población es la mitad del tamaño límite. Utilice la información anterior para determinar el valor de las constantes ; y. Solución: 1,24 10 " ;w = (w)= ± ± +w = ; =; ± w +1 Por lo que 1,24 10 " =;. Además, sabemos que (5)= 1, ' =0,62 10" 25 0,62 10 " = +5 4, ! = Determine la existencia de # c(&), donde c(&)= =0,62 10 ". Es decir, ³ 4# G4' 4# Solución: Tenemos que Ÿ 1 &+4 2 & ', &s1 1 c(&)= ž & œ & ', &>1 1 Analizando los límites laterales, tenemos 21

22 CLAUDIO GAETE PERALTA 1 &+4 2 # µc(&)= # µ & ' 1 = 1 &+4 2 # µ & ' (1 &+4 4) 1 1 &+4+2 = # µ (&+1)(& 1)( 1 & & = # µ (&+1)(& 1)( 1 &+4+2 = (& 1) # µ (&+1)(& 1)( 1 &+4+2 = 1 # µ (&+1)( 1 &+4+2 = 1 8 Mientras que & # c(&)= # & ' 1 = & & ' (& 1+4 4) 1 & = # µ (&+1)(& 1)( & & 1 # (&+1)(& 1)( & = 1 # (&+1)( & 1+4+2) =1 8 En vista de que los límites laterales son distintos, # c(&) no existe

23 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA EJERCICIOS PROPUESTOS Calcule el valor de los siguientes límites (si es que existen) A. 45 B. 'F 4'F C. ± &+1 & D. ± ' 5 ¹ # E. # c(&), donde c(&)=º F. #4 #4 & 4# 4#, &s1 +&+2, &>1 23

24 CLAUDIO GAETE PERALTA CONTINUIDAD 25. Considere la función Ÿ & 1 9 & c(&)=, 5s& 9 & 5 ž œ & ' &+1, & 5 & ' 11&+18, &>9 & 9 Estudie la continuidad en j de c. Solución: Debemos analizar la continuidad en los puntos &=5 y &=9, en vista de que en el resto de los puntos, la función es continua. Continuidad en &=5: Haciendo uso de límites laterales, tenemos que Mientras que! µc(&)=! µ&' &+1=25 5+1=21 & 1 9 &! c(&)= =! & 5 & 1 9 &! & 5 & 1+ 9 & = (& 1) (9 &) (& 5) & 1+ 9 & = 2& 10! (& 5) & 1+ 9 & = 2(& 5)! (& 5) & 1+ 9 & =! 2! & 1+ 9 & = =1 2 En vista que los límites laterales son distintos,! c(&) no existe y por lo tanto, c no es continua en &=5. Continuidad en &=9: Nuevamente, haciendo uso de los límites laterales, tenemos que & 1 9 & µc(&)= = 8 µ & 5 4 = 2 2

25 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA Por otro lado, c(&)= & ' 11&+18 & 9 = (& 9)(& 2) = & 9 & 2=7 En vista que los límites laterales son distintos, c(&) no existe y por lo tanto, c no es continua en &=9 26. Dada la siguiente función Ÿ &5 ; 5 & ;, &>1 {(&)= ž & ; œ & ;, &s1 Defina { de modo que sea continua en &=1. Solución: Debemos definir el valor de {(1) para que la función sea continua en x=1. Para esto, se debe cumplir que {(1)= {(&)= # µ # {(&) Ahora bien, # µ{(&)= 4 E # µ 4E = # µp 4 E = # µ & ' E E 4E E E + & 1 = ; + ; ' q= # µ 1 1+ ; + ; ' 4E (4E)š E = E # {(&)= # 4E Luego, necesitamos que 5 4E =1+;+;' 1+ ; ³; ' +³; ' 1 =1+;+; ' 1+ ; + ; ' (1+;+; ' )š1+ ; +;+; ; +;+; ; +;³; ' +;³; ' +³; ' =1 +; ' +; ' ; +; ' ³; ' =1 +; ' +; ' ; +; ' ³; ' =0 5 El lector observador se dará cuenta que ;=0 es una solución inmediata de la ecuación, sin la necesidad de hacer mayores cálculos. 25

26 CLAUDIO GAETE PERALTA ; š ; +³; ' +;+; ; +³; G +; ' +; ' ; =0 Entonces, uno puede ver que una solución a esta ecuación debe cumplir que ; =0, es decir, ;=0. Con esto, la función Ÿ &5 1,si&>1 & 1 {(&)= 1, &=1 ž & 1 œ,si&<1 & 1 Es continua en &=1 27. Calcule el valor de ª;+& ± & ; Solución: Por continuidad de la función raíz, tenemos que ; ª;+&» ± & ; =ª ;+& ± & ; =¼ & +1 ± 1 ; & 1 =ª ± 1 =1 28. Dada la función & ' 4&+3, & 3 h(&)=º & 3 5, &=3 Determine si la función h es continua en &=3. Solución: Para que la función sea continua en &=3, debe de ocurrir que Ahora bien, tenemos que 5 h(&)= 5 & 2 4&+3 & 3 Por lo tanto, h no es continua en &=5 h(&)=h(3)=5 5 (4#)45) = 5 = 45 5 (& 1)=2 5

27 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA EJERCICIOS PROPUESTOS A. Considere la función c(&)= ž Ÿ & 1 & 1, 0s&s1 ;, &=1 1 œ2 &5 +& 1, &>1 Determine el valor de ; para que la función sea continua en &=1 B. Dada la función Ÿ &+&', & 0 {(&)= & ž œ0, &=0 Determine si { es o no continua en &=0. 27

28 CLAUDIO GAETE PERALTA DERIVADAS 29. Dada la función c(&)= &, encuentre el valor de c (2) mediante su definición. Solución: Tenemos que c(&) c(2) & 2 c (2)= = ' & 2 ' & 2 & 2 = ' & 2 &+ 2 &+ 2 = & 2 ' (& 2) &+ 2 = 1 ' &+ 2 = Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la función c(&)= &, en el punto (2,1) Solución: Recordemos lo siguiente Ecuación de la recta tangente a una función f(x) en el punto (?,c(?)) j : m c(?)=c (?)(&?) Ecuación de la recta normal a una función f(x) en el punto (?,c(?)) j : m c(?)= 1 c (?) (&?) Con esto, por el ejercicio anterior, tenemos que c (2)= # ' '. Luego, j : m c(2)=c (2)(& 2)

29 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA m 2= (& 2) m= & Mientras que j : m c(2)= 1 c (2) (& 2) m 2= 2 2(& 2) m= 2 2& Encuentre la derivada de la función h(&)=n # ln(3& ' +2) Solución: Haciendo uso de la fórmula del producto y de la regla de la cadena, tenemos que h (&)=e # ln(3& ' +2)+ " 5 ' ve # 32. Calcule un polinomio de segundo grado ¾(&)=;& ' +<&+?, con ¾( 1)=6,¾ (1)=8,¾ (0)=4. Solución: Tenemos que ¾ (&)=2;&+< 8=¾ (1)=2;+< ¾ (&)=2; 4=¾ (0)=2; 2=;. 6=¾( 1)=; <+?. (*) Con toda esta información, tenemos que <=4 y así, en (*) tenemos que?=8. De esta forma, el polinomio buscado es ¾(&)=2& ' +4& Un biólogo realizó un experimento sobre la cantidad de individuos en una población de paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelo {(w)=ln(w ' 2w+5) donde w se mide en días y {(w) es el número de individuos en el cultivo. Hallar la derivada de la función {. 29

30 CLAUDIO GAETE PERALTA Solución: Haciendo uso de la regla de la cadena, tenemos que { (w)= ' 4' 4'! 34. Un equipo de investigación médica determina que w días después del inicio de una epidemia (w)=10w 5 +5w+ w personas estarán infectadas. A qué razón se incrementa la población infectada en el noveno día? Solución: Tenemos que (w)= g gw =30w' w En w=9 se tiene que f 2435,16. Esto significa que pasados 9 días la población de f bacterias está aumentando a una razón aproximada de 2435,16 por día. 35. Sea c(&)=& ' +;&+<. Hallar los valores de ; y < tales que la recta m = 2& sea tangente a la gráfica de c en el punto de coordenadas (2,4). Solución: Como la recta m = 2& tiene pendiente igual a 2, entonces necesitamos que c (2)=2, es decir 4+;=2 ;= 2 Además, como el punto (2,4) pertenece a la gráfica de la función, tenemos que 4=c(2)=4 4+< <=4 36. Hallar los extremos relativos, zonas de crecimiento, decrecimiento, convexidad y concavidad de la función c(&)=ln(& ' +&+1) Solución: En primer lugar, hi>c=j puesto que & ' +&+1>0 para todo número real, ya que su discriminante es negativo y el coeficiente que acompaña a & ' es positivo. Ahora, buscamos los puntos críticos: c (&)= 2&+1 & ' +&+1 =0 2&+1=0 &= 1 2 Además, tenemos que c (&)>0 si y solamente si &> # ' por lo que la función es creciente en el intervalo v #,. Análogamente, la función es decreciente en el intervalo ' v, #. Derivando ' nuevamente, tenemos que

31 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA c (&)= 2(&' +&+1) (2&+1) ' (& ' +&+1) ' = 2&' +2&+2 4& ' 4& 1 (& ' +&+1) ' = 2&' 2&+1 (& ' +&+1) ' Luego, c (&)>0 2& ' 2&+1>0 2& ' +2& 1<0 2š& & ' #' & 1 3 <0 & Á G š& 4'4 #' G, 1+ 3 Â 2 <0 Por lo que la función es convexa en el intervalo v 4#4 5, ' 4# 5 ' y así, cóncava en j v 4#4 5 ', 4# 5 ' Notemos que los puntos de inflexión son & # = 4#4 5 ' y & ' = 4# 5, pues en estos puntos, ' c (&)=0 31

32 CLAUDIO GAETE PERALTA EJERCICIOS PROPUESTOS A. Derive la función c(&)=(4&+3& ' ) 5' + n +& (Ayuda: Use la fórmula de la suma de funciones, junto con la regla de la cadena) B. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de la función {(&)= n +& en el punto (0,1). C. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de la función c(&)= # 5! +ln& en el punto (1,5 X ) D. Derive la función c(&)=(4& ' +7)! ln(7+&+& X ). (Ayuda: Use la fórmula del producto de funciones, junto con la regla de la cadena) E. Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número de acuerdo con la función U(w)=500p1+ 4w 50+w 'q donde w se mide en horas. Hallar a qué ritmo está creciendo la población cuando han pasado 120 minutos. F. Para cada una de las funciones siguientes determinar: los intervalos en donde es creciente y decreciente, los intervalos en donde es cóncava y convexa, los puntos en donde alcanza sus máximos y mínimos locales y un bosquejo de la gráfica. c(&)=& 5 3&+3 c(&)=& G 32&+48 c(&)=& c(&)=& ' + '