Ejercicios: Derivadas

Transcripción

1 . Dada la función f() = 2 +, calcula los números derivada f'(0), f'(-2), f'(3) y las ecuaciones de las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva en los puntos de abscisa 0, -2 y 3 respectivamente. 2. Calcula los números derivada en el punto de abscisa = 3 para cada una de las siguientes funciones: f()= 3, g()= 2 -, ()=/. 3. Si la demanda de cortes de pelo viene epresada por la función c(p) =00 p 2, donde p indica el precio en cientos de pesetas, calcula: (a) La tasa de variación media de la demanda cuando el precio pase de 700 pesetas a 900 pesetas. (b) La variación instantánea para el precio de 700 pesetas. Qué significa dico número? (c) Representa gráficamente la función demanda e indica su dominio en el conteto del problema. 4. Un fabricante puede producir magnetófonos a un coste de 20 dólares cada uno. Se estima que si los magnetófonos se venden a dólares cada uno, los consumidores comprarán 20 - de ellos al mes. Halla el precio al que el beneficio será mayor. 5. Esboza la gráfica de una función f() cuya derivada tiene todas las propiedades siguientes: (a) f'()>0 cuando < y cuando >5. (b) f'()<0 cuando <<5. (c) f'()=0 y f'(5)=0. 6. Halla las derivadas de las siguientes funciones:. y = y = y = + 2 y = y = y = y = y = y = y =(2 +).(3 2). y =( 5).( 2) []

2 2. y =0.(3 +).( 5) 3. y = 3.( ) 4. y = y = y = y = 8. y = y =e y = y =e y =ln(3 +) 23. y =ln( 2 +4) 24. y = y =log 2 ( ) 7. Calcula los números a y b tales que el punto más bajo de la gráfica de la función f() =a 2 +bsea (3,-8). 8. Halla los números a, b y c tales que la gráfica de la función f() =a 2 +b +c pase por los puntos (0,0) y (5,0) y tenga una recta tangente de pendiente en el punto de abscisa =2. 9. Halla todos los puntos de la función y = 4 2 con la propiedad de que la tangente a la gráfica en dicos puntos pase por el punto (2,0). 0.Se estima que dentro de meses la población de una cierta comunidad será P() = A qué ritmo cambiará la población dentro de 5 meses? Cuánto cambiará realmente la población durante el decimoseto mes?.se estima que dentro de t años, la tirada de un periódico local será C(t) =00t t (a) Obtén una epresión para el ritmo al que estará cambiando la tirada dentro de t años. (b) A qué ritmo estará cambiando la tirada dentro de 5 años? Estará creciendo o decreciendo? (c) En cuánto cambiará realmente la tirada durante el seto año? 2.Se estima que dentro de t años, la población de una cierta comunidad suburbana será de P(t) =20 6 t+ miles. (a) Obtén una fórmula para el ritmo al que estará cambiando la población con respecto al tiempo. (b) A qué ritmo estará creciendo la población de la comunidad dentro de un año? [2]

3 (c) Cuánto crecerá realmente la población durante el segundo año? (d) A qué ritmo estará creciendo la población dentro de 9 años? (e) Qué sucederá a la larga con el ritmo de crecimiento de la población? 3.Calcula la derivada de las siguientes funciones:. y =(2 4 ) 3 2. y = (2+5) 4 3. y = 3 4. y = ( 3 ) 2 5. y = y = y = 4.( 2 + ) 8. y = + 9. y = 3.( +3) 0. y =( 2 ) 2. y =( 2 ).( 2 +) 2. y =(3 3 +4).( 5).( +) 3. y =(3 2 2 ) 3 4. y = 2 5. y = 6. y =(2 7) 3 7. y =2.( 2 ) 3 8. y =(3 2 +) 3 9. y =3.(9 4) y = y = y = 4 (+2) 2 4.Halla la tasa de variación media de las función dada en el intervalo que se indica. Compárala con la tasa instantánea en el etremo superior del intervalo. Determina la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa igual al etremo superior del intervalo. (a) f() =2 +7 en 0, 3 (b) f() = + en [0,3] (c) f() = 2 6 en [,3] (d) f() = en [,2] (e) f(t) = 00.t 2.t+5 en [5,0] (f) f(t) =t 2 3 en [2,2 ] 5.Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() = 3 y que sea paralela a la recta 3 -y + = 0. 6.Estima la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (,y): [3]

4 (,y) (,y) (,y) (,y) (a) (b) (c) (d) 7.Aplicando la definición de derivada, determina la ecuación de la tangente a f() en el punto que se indica: f() = 2 + en P(2,5); f() = en P( 3,4) f() = 3 en P(2,8); f() = 3 en P( 2, 8) f() = + en P(3,2); f() = + en P(0, ) 8.Halla los puntos en que la función no sea derivable: (a) f() = +3 (b) f() = 2 9 (c) f() = + (d) f() = 2 5 (e) f() = 2 2, si > , si [ (b) (c) (d) (e) 9. Una empresa sabe que si cobra p dólares por unidad, sus ingresos anuales serán: I(p) =2.000p.000p 2, 0[p[2 Halla la variación instantánea de cambio de I(p) respecto a p, cuando: (a) p = (b) p = 4 (c) p = 6 (d) p = 0 [4]

5 20. Si la eficacia de un analgésico t oras después de llegar a la sangre es: E(t) = 27 ( 9t +3t 2 t 3 ), 0[t[4 5 Halla la variación instantánea de cambio de E respecto a t cuando: (a) t = (b) t = 2 (c) t = 3 (d) t = 4 2. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:. y = 6 2. y = 6 3. y = y = 2 $ 3 5. y = 6. y = 3 7. y = 8. y = 9. y = y = y = y =( 2 +) y = y = 5. y = y =ln( 2 +) 7. y =ln( 2 +) 3 8. y =ln y =log(5 2) y =ln 2 2. y =e y =e y = y = y =3 $5 26. y =e ln(4+5) 27. y = y = y =ln +e e 30. y = 2 3. y = y = 33. (+) y =ln(4 2) 35. y =log y =e +5 y = 2 e y =2$3 4 +5$ y = 39. y =(4 ) y =( 2 3) 5 $( 3 +3) 4. y =e 42 +e 42. y = e + e 43. y = 2 $e y = y =( +)$ y =e 2 $(2 +) [5]

6 47. y = y = y = (3 ) 3 ln(3 2) 50. y =[ln( 2 +3)] 2 5. y =( 3 2 3) y = y = y = 55. y =ln (4 2 3) y = y =( )4 58. y =log 5 (3 +6) [6]

7 . f () = lim f(+) f() Soluciones = lim f (0) =0=m tg, P(0,), recta tangente: y = = lim (+2) =2 f ( 2) = 4 =m tg, P( 2,5), recta tangente: y - 5 = -4(+2) f (3) =6=m tg, P(3,0), recta tangente: y - 0 = 6( - 3) 2. f (3) = lim f(3+) f(3) g (3) = lim g(3+) g(3) = lim 33 +3$3 2 $+3$3$ = lim 32 +2$3$ = lim ( ) =27 = lim (5+) =5 (3) = lim (3+) (3) = lim 3+ 3 = lim 3(3+) = lim 3(3+) = 9 3. (a) TVM[7,9] = c(9) c(7) 9 7 = = 6 (b) c (p) = 2pec (7) = 4 Se estima que al aumentar el precio del corte en una centena (de 700 a 800) el número de cortes de pelo disminuirá en 4 unidades. (c) El dominio en el conteto del problema es el intervalo [0,0] [7]

8 4. Beneficio= B() =(20 )$( 20) = Tenemos que determinar el vértice de la parábola con la que se representa el beneficio, pues en dico punto la función presenta un máimo. v = 40 2 =70dólares y = y = y = y = y = y = y = 2 8. y = y = y =2. y = y = y = y = 3 ( 2) 5. y = 23 2 (5+4) 2 6. y = 2 2 ( ) y = 2 ( 2) y = ( 9. 2 ) y = y =4e 4 2. [8] y =2e 2

9 22. y = y = y = 4$3 5 4 $ln3 25. y = ( )$ln 2 7. P(3, 8)cgráficaef(3) = 8e9a +3b = 8 f (3) =0, f () =2a +be6a +b =0 8. Resolviendo el sistema obtenemos: (0,0)cgráficaef(0) =0 ec=0 (5,0)cgráficaef(5) =0e25a +5b +c =0 f (2) =, f () =2a +be4a +b = ea=, b =5, c =0 9. P(a,b)cgráficaef(a) =beb=4a 2 f () =8, f (a) =m tg =8a, rectatg: y b =8a( a) (2,0)crectatge b =8a(2 a) Resolviendo el sistema: Los puntos son: P(0,0) y Q(4,64). b =4a 2 b =6a 8a 2 e a =0,b =0; a 2 =4,b 2 = P (5) =50, se estima que el décimo seto mes la población se incrementa en 50 unidades. TVMdef[5,6] = P(6) P(5) 5 unidades..(a) C (t) =200t =5. El aumento real de la población a sido de (b) C (5) =400 Se estima que en el seto año la tirada se incrementará en 400 unidades. (c) TVMdeC[5,6] = C(6) C(5) 6 5 =500 El cambio real durante el seto año a sido de un incremento de 500 unidades. 2.(a) P (t) = 6 (t+) 2 (b) P () = 5miles (c) TVMdeP[,2] = P(2) P() 2 =miles (d) P (9) =0 06miles [9]

10 (e) lim(20 6 ). La población se aproima a 20 miles, sin sobrepasar dica td t+ =20 cantidad. 3.. y =3$(2 4 ) 2 $(8 3 ) 2. y = 8 (2+5) 5 + $ ( ) 2 3. y = 4. 5 (2 3) 2 5. y = 6. y = 82 ( 3 ) 3 y = ( 2 ) 2 7. y =4 3.( 2 + ) y = ( ) y = y =4$( 2 ). y = y =(9 2 +4).( 5).( +) +(3 3 +4)$( +) +(3 3 +4)$( 5) 3. y =(3 2 2 ) 2 $(9 2) 4. y = 2 5. y = 6. y =6$(2 7) y =2.( 2 ) 2 8. y =8$(3 2 +) 2 9. y =08.(9 4) y = y 9 = y = 3 3 (3 3 +4) 2 8 (+2) 3 4.Halla la tasa de variación media de las función dada en el intervalo que se indica. Compárala con la tasa instantánea en el etremo inferior del intervalo. Determina la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa igual al etremo superior del intervalo. (a) TVM =2, f (0) =2, y =2 +7 (b) TVM = 4, f (0) =, y = + (c) TVM = 4, f () = 8, y = 8 2 (d) TVM = 2, f () =, y = 2 (e) TVM = 7, f (5) =2 4, y = (f)tvm =4, f (2) =4, y = y =3 +em=3=f () =3 2 e 2 =e=! Hay dos rectas tangentes: P(,), m =3ey =3( ) P(, ), m =3ey + =3( +) [0]

11 6. (a) m = 0 (b) m=-2 (c) m = 2/7 (d) m = 5/6 7. f() = 2 + en P(2,5): y =4 3 f() = en P( 3,4): y = 4 8 f() = 3 en P(2,8):y=2 6 f() = 3 en P( 2, 8):y=2 +6 f() = + en P(3,2):y= f() = + en P(0, ) f() = + en P(0,): y = 8. (a) f no es derivable en = -3 (b) f no es derivable en = 3 y en = -3. (c) f no es derivable en = - (d) f no es derivable en = 0. (e) f no es derivable en =. 9. I(p) =2.000p.000p 2 I (p) = p (a) I () =0000 (b) I (4) =4000 (c) I (6) =0 (d) I (0) = E(t) = 27 ( 9t +3t 2 t 3 )ee (t) = 27 ( 9 +6t 3t 2 ) 2. (a) E () = 4 9 (b) E (2) = 3 (c) E (3) =0 (d) E (4) = 5 9. y = y = y = y = y = 6. y = y = 8. y = y = y = y = y =6( 2 +) y = 4. y = 5. y = 3$3( 2 +) (3+) 3 6. y = y = y = []

12 20 9. y = 20. y 2. (5 2)$ln0 = 2 y =4$e y = 2$e y =(2 +) $ln5 24. y =2$2 2 + $ln2 25. y =5 $ln5 26. y =4 27. y = +$( ) y = 29. y = e $(3 2) 2 e y = 2 3. y = y 8 = 33. y = 2e (+) 3 3$3( 2 +) 4 ( 2 )$ 2 (e +5) y = y = 36. y ( = e )$ln0 37. y =8$3 4 $ln3 +25$2 5 $ln2 38. y = ( ) y =24(4 ) y =0( 2 3) 4 $( 3 +3) +3 2 $( 2 3) 5 4. y =8$e y = 2e (e ) y =2$e $e y = (2 2 ) y 8 4 = 46. y =2e 2 $(2 +2) 3$ 3 (3 ) y = (3 ) 4 y = 2 $ln y 3 = 50. y = 4$ln(2 +3) (3 2)$[ln(3 2)] y = 52. y = y = y = 5 ( 2 +5) 80 (4 2 3) y = 56. y = $(4 6)$ln4 57. y = 6$ y = (4 5) 5 3 (3+6)$ln 5 [2]