Lea la guía antes de empezar.!

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1 UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO INSTITUCIÓN EDUCATIVA SANTA TERESA DE JESÚS MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE TALES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS NOMBRE: COD: Lea la guía antes de empezar.! Actividad 2. Teorema de Pitágoras y su aplicación en los números irracionales Objetivo. Interpretar el teorema de Pitágoras y su aplicación a los números irracionales, aplicando la técnica de Omar Rayo. Sugerencia metodológica. La actividad se desarrollará bajo la teoría de la comunidad de práctica de Wenger, en pequeños grupos de tres estudiantes con un tiempo estimado de dos horas para la actividad. Para el desarrollo de los numerales 1 y 2, se les pide a las estudiantes que interpreten el teorema de Pitágoras haciendo uso de recursos y procesos didácticos. En el numeral 3, se les solicita a las estudiantes que analicen e interpreten dos gráficas del teorema de Pitágoras, y que repliquen una de ellas aplicando la técnica (arte geométrico) de Omar Rayo. En el numeral 4 se da un aparte histórico, de cómo trabajaban los egipcios el teorema de Pitágoras y que analicen sus ternas de solución en una tabla; en los numerales 5 y 6 se estudian los números irracionales, el número dorado y su relación de éste con el arte. Finalmente, el punto 7 termina con aplicaciones de los rectángulos áureos a una obra de arte de Omar Rayo. Para el desarrollo de la actividad se les orienta a las estudiantes realizar la guía de trabajo, la cual se socializa en el aula de clase una vez concluido el desarrollo de todos los problemas retadores que conforman esta actividad. El docente aclara, de ser necesario, las dificultades que presentan las estudiantes durante la resolución de los

2 problemas, en la cual se consideran las fases o estrategias propuestas por Polya (1945). Materiales a utilizar. Guía de trabajo, tijeras, hojas cuadriculadas, escuadra, transportador, regla, cartulina, lápiz mirado No. 2, lápices de colores y compás. Desarrollo de la actividad CONOCIMIENTOS PREVIOS Omar Rayo ( ), es un artista colombiano considerado el geómetra abstracto de Colombia. El uso de figuras geométricas como el rombo, el cuadrado, el triángulo, el hexágono y los colores blanco y negro, entre líneas paralelas y perpendiculares o en zigzag, dan honor a su distinción; aunque en ocasiones resaltan los colores rojo, azul y amarillo, acompañado de un toque de volumen que dan la impresión de cintas distribuidas ordenadamente en todo el espacio pictórico. A lo largo de su carrera realizó más de 200 exposiciones en todo el mundo. 1 Figura 1. 1 Recuperado el 23 de agosto de 2017 de la URL:

3 1. En una hoja cuadriculada se dibuja un triángulo rectángulo en el centro de la hoja, de lados (catetos) de 3 y 4 centímetros respectivamente, a continuación se dibujan cuadrados sobre cada uno de los lados del triángulo; luego se trazan una línea paralela y una línea perpendicular a la hipotenusa, que se intersecten en el centro del cuadrado del cateto más grande, como se muestra en la Figura 2. Figura 2. Se recuerda, que un triángulo es rectángulo si uno de sus ángulos, mide 90 grados, la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) es el lado mayor del triángulo. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que forman el ángulo recto y cada cateto se opone a un ángulo agudo. Recorte los cuadrados construidos sobre los catetos b y c, y el cuadrado del cateto b, por las líneas trazadas. Por último, pegue todos los recortes en el cuadrado de la hipotenusa (lado a) y píntelos utilizando la técnica de Omar Rayo. a. Los cinco pedazos recortados son iguales en área al cuadrado de la hipotenusa?

4 b. Qué relación existe entre los cuadrados construidos en los catetos con respecto al cuadrado construido en la hipotenusa? c. Encuentra una expresión algebraica para este proceso. 2. Responda las siguientes preguntas: a. Construya un triángulo rectángulo cualquiera en la cartulina dada y recórtelo. Marca sus ángulos agudos con α y β y sus lados con a, b y c, siendo a b. b. Escriba el área del triángulo anterior en términos de a y b. c. Cuál es la suma de las medidas de los ángulos α y β? d. Recorte otros tres triángulos rectángulos congruentes con el anterior, marque sus lados y ángulos agudos de la misma manera. e. Ubica los cuatro triángulos construidos anteriormente, como lo muestra la Figura 4. ABCD es un cuadrado ya que todos sus lados son congruentes y que sus ángulos son rectos.

5 Figura 4. f. Cuál es la medida del lado del cuadrado ABCD? Cuál es su área? g. Cuál es la medida del lado del cuadrado EFGH? Cuál es su área? h. Escriba el área formada por los cuatro triángulos, en términos de a y b. i. Sí al área del cuadrado EFGH se le resta el área formada por los cuatro triángulos Qué área se obtiene? j. En la siguiente ecuación, reemplaza cada área por las expresiones que encontró en los literales f, g y h. Área del cuadrado ABCD = Área del cuadrado EFGH - Área formada por los triángulos. k. Simplifica la expresión que escribió en el literal anterior y compara el resultado con el Teorema de Pitágoras aplicado a uno de los triángulos que recortó. Qué se observa? 3. En la Figura 5, se muestra las siguientes gráficas pictóricas del Teorema de Pitágoras. 2 2 Recuperado el 23 de julio de 2017 de la URL:

6 Figura 5. a. Replique en una hoja plancha una de las dos gráficas del Teorema de Pitágoras y aplique la técnica de Omar Rayo. Utilizando colores que identifique los cuadrados de los catetos. b. Por qué considera usted que se utiliza un triángulo rectángulo? 4. Los famosos papiros egipcios de Rhind y de Moscú, a pesar de su alto valor matemático, no mencionan el Teorema de Pitágoras. No obstante, los egipcios conocían y utilizaban el triángulo de lados 3, 4 y 5, llamado "Triángulo egipcio", triángulo rectángulo, a modo de "escuadra de carpintero", que era una práctica habitual de los agrimensores oficiales para recuperar las fronteras de los lindes de las tierras tras los periódicos corrimientos de tierras producidos por las crecidas del río Nilo. En el antiguo Egipto el triángulo egipcio, era llamado también Triángulo de Isis y tenía un cierto carácter sagrado, porque el número tres representaba a Osiris, el cuatro a Isis y el cinco a Horus. Así lo relata Plutarco 3. Figura 6. 3 González, U. (2008). El teorema llamado de Pitágoras. Una historia geométrica de años. Catedrático de Matemáticas del IES Sant Josep de Calassanç. Barcelona.

7 Los egipcios utilizaban la terna como aparece en la siguiente tabla: a b c Figura 7. a. Completa la tabla de la Figura 7. b. Qué relación se encuentra en cada columna? c. Encuentre otras ternas pitagóricas que no forman parte de esta tabla. Para ello, se puede tener en cuenta que 12, 5, 13 y 24, 7, 25 son ternas pitagóricas y que, para cualquier número 2k+1 impar hay una terna pitagórica tal que uno de los catetos del triángulo rectángulo mide precisamente 2k+1. Puede elaborar una tabla similar a la tabla de la Figura 7 para cada una de estas dos ternas? Puede encontrar una nueva terna pitagórica que no esté en ninguna de estas tablas?

8 5. A continuación se muestra la Figura 8, la aplicación del Teorema de Pitágoras, para encontrar el valor de la diagonal, que a la vez es el valor de un punto en la recta real. Figura 8. a. Cuánto vale la diagonal del cuadrado anterior? b. Construya segmentos de longitud 3 y 5, en la Figura 8. c. Encuentra las raíces cuadradas de los números anteriores, con 3 cifras decimales, si es posible. Qué se observa en ellos? d. Dada la duplicación del cuadrado propuesta por los griegos cómo lo muestra la Figura 9, muestre que el cuadrado ACFG en efecto tiene el doble del ár.ea del cuadrado ABCD. Figura 9.

9 e. Construya un cuadrado cuya área sea el triple del área de un cuadrado dado, es decir, la triplicación del cuadrado tomando como base la Figura 9. Se puede decir que las raíces cuadradas de los números enteros que no son cuadrado perfectos son irracionales, palabra que se usa para decir que no pueden expresarse como razon entre números enteros. 6. Un rectángulo áureo es un rectángulo cuyas longitudes de los lados están en la proporción áurea (aproximadamente 1:1,618). A lo largo de la historia, muchos artistas han apreciado la belleza y la armonía de los rectángulos áureos. Cientos de cuadros que están pintados sobre lienzos y las fachadas de algunas de las grandes obras de la arquitectura, (el Partenón de Atenas o la catedral de Notre Dame de París) guardan exactamente esas proporciones, pues son rectángulos áureos. Figura 10. En el cuadro, titulado "Semitaza gigante volando con anexo inexplicable de cinco metros de longitud" el pintor Salvador Dalí dispuso todos los objetos siguiendo rectángulos áureos (Figura 11).

10 4 Figura 11. Responda las siguientes preguntas: a. Marque la espiral con el compás, siguiendo la posición de los números en la Figura 10. b. De la Figura 10, divide la longitud del largo y el ancho en cada una de los rectángulos? Las razones son iguales? c. En nuestro rol cotidiano encontramos rectángulos áureos, como el carnet estudiantil, la tarjeta de crédito o débito. Mida el largo y el ancho de estas tarjetas y divida estas dos medidas. Cuánto miden? Las razones son iguales? 4 Recuperado el 23 de julio de 2017 de la URL.

11 d. El arquitecto romano Vitrubio encontró la sección áurea, sobre la cual expresa Para que un espacio dividido en partes desiguales resulte agradable y estético, deberá tener entre la parte más pequeña y la mayor, la misma relación que entre esta mayor y el todo 5. Esta constante de proporcionalidad que se aplica a un segmento Vitrubio la llamó el número dorado. Es un número irracional cuyo valor numérico se aproxima a El ser humano tiene segmentos áureos en su cuerpo y entre más segmentos áureos posea, más bella es la persona. Encuentra 5 segmentos áureos de su cuerpo y escríbalos, por ejemplo, la distancia entre la punta de los dedos hasta el codo y la distancia del codo al hombro. 7. Dada la siguiente pintura de Omar Rayo, traza con color rojo los rectángulos áureos, hasta encontrar su área de mayor interés. Utilice los conceptos del numeral 6, la regla y el compás. 6 Figura Cuartas, M. (1995). Procesos creativos. Elementos técnicos gráficas-formas y estructuras. 6 Recuperado el 23 de agosto de 2017 de la URL: %5B1%5D.jpg