UNIDAD I; CONJUNTOS DE NUMEROS.

Transcripción

1 PROBLEMARIO DE ALGEBRA I. UNIDAD I; CONJUNTOS DE NUMEROS. EJERCICIOS PROPUESTOS. TEMA: NOTACIÓN DE CONJUNTOS. CONCEPTOS REQUERIDOS. NOTACIÓN DE CONJUNTO, PERTENENCIA, SUBCONJUNTO, RELACIONES DE DESIGUALDAD, CONJUNTOS NUMÉRICOS. 1) Escribe en forma por extensión o enumeración o tabular, los siguientes conjuntos. 1.1) C= {números enteros positivos impares, mayores que 10} Solución C= {11,13,15, } 1.2) D= {números enteros positivos, múltiplos de 3, menores que 11} Solución D= {3,6,9} 1.3) E= {números enteros menores que 3 } observe: enteros son positivos, negativos y 0 Solución E= {,-2,-1,0,1,2} ( el número 0 pertenece al conjunto de los enteros) 1.4) A= {números enteros menores que 2, mayores que 10} Solución A= {, -2,-1,0,1,11,12,13, } 1.5) B= {números primos mayores de 1, menores que 20} Solución B= {2,3,5,7,11,13,17,19} 1.6) C= {números enteros positivos impares mayores de 7, menores de 15} Solución C= {9,11,13} 1.7) D= {números enteros mayores de 2 } Solución D= {3,4,5,6, } 1.8) E= {números enteros positivos mayores de 11, menores de 28, múltiplos de tres} Solución E= {12,15,18,21,24,27} 2) Escribe por comprensión cada uno de los siguientes conjuntos, escritos por enumeración} NOTA: En los ejercicios siguientes = conjunto de los números naturales, =conjunto de los números enteros, P=conjunto de los números primos. 2.1) A= {12,15,18,21,24,27} Solución A= {x I x, x es múltiplo de 3, 11 x 28} 2.2) B= {3,4,5,6, } Solución A= {x I x, x 3} 1

2 2.3) C= { 28,30,32,34} Solución C= {x I x, x es número par, 28 x 34} 2.4) D= {,-6,-4,-2} Solución D= {x I x, x es par, x -2} 2.5) E= {100,101,102,103, } Solución E= {x, I x x>99} 2.6) F= {2,3,5,7,11} Solución F= {x I x P, x 11} 2.7) G= {-3,-2,-1,0,1,2,3,4, } Solución G= {x I x, x > -4} ó Solución G= {x I x, x -3} 2.8) H= {,-2,-1,0,1,2,3,..} Solución H= {x I x } 3) Cada uno de los siguientes conjuntos está escrito en forma de comprensión, escribirlo en forma por enumeración. 3.1) A= {x I x, x > 100} Solución A= {101,102,103, } 3.2) B= {x I x, x es impar, x <10} Solución B= {1,3,5,7,9} 3.3) C= {x I x x es par, 5 < x < 1000} Solución C= {6,8,10,,994,996,998} 3.4) D= {x I x es un dígito del número 1999} Solución D= {1,9} los elementos de un conjunto no se deben repetir. 3.5) E= {x I x, x 28} Solución E= {1,2,3,,26,27,28} 3.6) F= {x I x, x es múltiplo de 4, x 30} Solución C= {4,8,12,16,20,24,28} 4) En cada uno de los casos siguientes: =conjunto de los números racionales, = conjunto de los números irracionales, =conjunto de los números enteros, =conjunto de los números naturales, P=conjunto de los números primos, =conjunto de los números reales. En cada una de las expresiones siguientes diga si la expresión es falsa o verdadera. 4.1) -7 Falso: -7 no es número positivo. 4.2) 4 Verdadero. 4.3) 9 P Falso: 9 no es número primo. 4.4) -6 Verdadero: todos los enteros son números racionales. 4.5) 11 P Verdadero. 2

3 4.6) ½ Falso: es el conjunto de los números enteros. 4.7) 1.5 Verdadero. 4.8) ¾ Verdadero. 4.9) -2 Verdadero. 4.10) -1/5 Verdadero. 4.11) Verdadero. 5) Subconjuntos. Dados los conjuntos A= { 1,2,3,4,5,6,7}, B= {2,4,6}, C= {1,2,3,4}, D= {2,4,6,8}. Indicar en cada ejercicio, si la expresión es falsa o verdadera. 5.1) B A Verdadero. 5.2) A B Falso. 5.3) C A Verdadero. 5.4) A C Falso. 5.5) D A Falso. El elemento 8 de D, no está en A. 5.6) B D Verdadero. 5.7) C B Falso. 6) Operaciones con conjuntos: Dados los conjuntos A= { 1,2,4,6,8}, B= { 2,3,4,5,6}, C= {1,2,4,6}, D= { 2,4,5,7}, E= {9,10,11}; determinar. 6.1) A B= ={1,2,3,4,5,6,8} 6.2) A C= ={1,2,4,6,8} 6.3) A D= ={1,2,4,5,6,7,8} 6.4) B C= ={1,2,3,4,5,6} 6.5) C D= ={1,2,4,5,6,7} 6.6) A B= ={2,4,6} 6.7) A C= ={1,2,4,6} 6.8) A E= = 6.9) B C= ={2,4,6} 6.10) C D= = 3

4 7) Intervalos. Para cada uno de los ejercicios siguientes mostrar el intervalo en una recta de reales. 7.1) A 1 = (2, 5) 7.2) A 2 = (-2,6) 7.3) A 3 = [-5,4) 7.4) A 4 = [0,10) 7.5) A 5 = (-5,8] 7.6) A 6 = (-7,5] 7.7) A 7 = [5,15] 7.8) A 8 = (- 5) 7.9) A 9 = [-3, ) 7.10) A 10 = ( 6] Para cada uno de los ejercicios siguientes, mostrar el intervalo correspondiente en una recta de reales. 7.11) A= { x I x 7.12) A= { x I x 7.13) A= { x I x 7.14) A= { x I x } 7.15) A= { x I x 7.16) A= { x I x 8) Símbolos de agrupación con números naturales. Elimine símbolos de agrupación y simplifique. 8.1) 2+[3-(5-2)]= 8.2) 3{5-(2+4-3)+2}= 8.3) 2+[-5-(-2+{-3+5})]= 8.4) 4-{7+[3+(-4+3-2)-2]}= 8.5) -(2+5)+[-3+1-{-2+3-(2-6)}+5]= 8.6) (-7+4)-{4+2+[ ]-4}= 8.7) 7-{-[4-2+3-(5-3)-(-3+2)]}-5= 8.8) 3-(5+[-2+{6-3}-(-2+4)])= 4

5 9) Operaciones con números racionales. Simplificación de fracciones numéricas 9.1) Expresar en su forma más simple cada una de las siguientes fracciones.(simplificar) A) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) soluciones: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) B) a) b) c) d) e) f) g) h) soluciones: a) b) c) d) e) f) g) h) C) a) b) c) d) e) f) g) h) soluciones: a) - b) - c) - d) - e) - f) g) h) 9.2 Verificar cada una de las siguientes operaciones ) 9.2.2) 9.2.3) ( ) 9.2.4) 9.2.5) 9.2.6) 9.2.7) 1 ½ -2 ¾+2 ½+3 = ) = ) + 5

6 9.3) Realizar las operaciones indicadas y si es posible simplifique ) ( ) ( ) 9.3.2) ( ) 9.3.3) 9.3.4) ( ) 9.3.5) ( ) 9.3.6) ( ) 9.3.7) 9.3.8) 9.3.9) 10) Problemas que utilizan números racionales. 10.1) Un comerciante tiene ¾ de tonelada de maíz. Si vende media tonelada cuánto le queda? Solución. ¼ de tonelada. 10.2) Si de 24 hectáreas de terreno se venden las dos terceras partes cuánto se vende?. Solución. 16 hectáreas. 10.3) Si a una cuerda de longitud de metros se añade otra de metros. qué longitud alcanza la cuerda? Solución. m 10.4) Se tiene una jarra de ¾ de litro de agua, y los vasos son 3/8 de litro de agua, cuántos vasos completos se llenan con una jarra. Solución 2 vasos. 10.5) Cuantas botellas de ¾ de litro se necesitan para envasar 60 litros de aceite? 10.6) Si ei kilo de chocolate cuesta $36.0, cuánto cuestan ¾ de kilo? 10.7) Cuánto paga por el kilo y cuarto de azúcar si el kilo cuesta $ 13.00? 10.8) Si de un capital de $ 350,000.0 se utilizan las tres quintas partes para comprar un auto cuanto le queda. 6

7 UNIDAD II. Operatividad; Operaciones Algebraicas, Productos Notables, Factorización y Fracciones Algebraicas Operaciones Algebraicas Adición y Sustracción Encuentre la suma de las expresiones en los siguientes problemas sol Determine la suma de las expresiones

8 Reste la segunda expresión de la primera Sol 31. Sol 32. Sol Elimine los símbolos de agrupación en las expresiones siguientes y combínense los términos semejantes , - 8

9 41. * ( ) * ( ) * ( ) [ ] 45. [ ] Aplicando leyes de los exponentes simplificar dejando el resultado sin exponentes negativos o nulos Multiplicación Efectúe las operaciones indicadas Elimine los símbolos de agrupación en las expresiones de los problemas y combínense los términos semejantes

10 72. [ ( ) ] 2x2-3x3/2y+9xy2 73. [ ] 8a3+4ab-8a2 74. [ ] 75. [ ] Encuentre el producto de cada pareja de expresiones Encuentre el producto de los siguientes factores División Efectúe las divisiones indicadas Eleve cada fracción a la potencia indicada 102. ( ) 103. ( ) Sol 104. ( ) 105. ( ) Divida la primera expresión entre la segunda

11 108., Encuentre el cociente y el residuo resultante al dividir la primera expresión entre la segunda 115. cociente 116. Cociente 117. Cociente 118. Cociente residuo residuo residuo residuo Efectúense las operaciones indicadas Productos Notables y Factorización Productos Notables de Binomios y Multinomios Encontrar los productos indicados, aplicando la regla correspondiente

12

13 ( ) ( ) 185. ( ) ( ) 187. ( ) ( ) 189. ( ) ( ) 184. ( ) ( ) 186. ( ) ( ) 188. ( ) ( ) 190. ( ) ( ) Factorización Factor Común Diferencia de cuadrados ( ) ( ) ( ) ( ) Trinomio Cuadrado Perfecto

14 Trinomio General de Segundo Grado Suma y Diferencia de Cubos

15 Factorización por Agrupación Factoríce las expresiones empleando el método de Factorización por Agrupación Fracciones Algebraicas Conversión de Fracciones Convierta las fracciones en fracciones equivalentes cuyo denominador sea la segunda expresión dada en cada problema 288., 289., Reducción de Fracciones Reduzca a su mínima expresión las expresiones siguientes. ( SIMPLIFICAR) ( ) ( ) 15

16 306. ( ) 307. ( ) Multiplicación y División de Fracciones Efectúe las multiplicaciones y divisiones indicadas en los problemas siguientes y redúzcase el resultado a su mínima expresión

17 ( )

18

19 Suma y Resta de Fracciones ( ) 381. Fracciones Complejas Redúzcanse a fracciones simples las fracciones complejas siguientes

20 UNIDAD III SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Demuéstre, mediante sustitución directa, que el número dado a la derecha en los problemas 1 a 8 es una raíz de la ecuación propuesta en cada problema Resuelva las ecuaciones de los problemas siguientes ( ) 421. ( ) ( ) 422. ( ) ( )

21 Resuelva las ecuaciones de los problemas siguientes para la letra indicada a la derecha de cada ejercicio ( ) ( ) 460. Solución de problemas Numéricos 461. Tres enteros consecutivos suman 63. Encuentre los números Encuentre tres enteros consecutivos cuya suma sea Hallar tres enteros impares consecutivos cuya suma sea Hallar tres enteros impares consecutivos tales que la suma del primero y el segundo sea igual al tercero más La suma de dos números es 42 y uno de ellos es igual al doble del otro. Hallar los números Si al doble de un número se le resta la mitad del mismo número, la diferencia vale 33. Cuál es ese número? 467. Dividir 48 en dos partes tales que el doble de la menor sea 6 unidades más que la mayor. 21

22 468. En un grupo de primer año formado por 50 alumnos hay 10 hombres menos que el doble de mujeres. Cuántas mujeres hay en el grupo? 469. En una clase hay 60 alumnos entre hombres y mujeres. El número de mujeres excede en 15 al doble de los hombres. Cuántos hombres hay en la clase y cuántas mujeres? 470. Un lapicero y un cuaderno costaron $18. Si el lapicero hubiera costado $6 menos y el cuaderno $4 más, habrían costado lo mismo. Cuánto costo cada uno? 471. Tres reses pesan respectivamente 129, 98 y 111 libras. Cuál deberá ser el peso de una cuarta res para que el peso promedio de las cuatro sea 114 libras? 472. Un jornalero y su ayudante trabajaron 6 días y ganaron $240. El jornalero tiene un salario de $12 más por día que su ayudante. Cuánto gana cada uno por día? 473. Una televisión cuesta $2, Se hace un primer pago de $ y el resto se paga en 15 letras iguales. De cuánto es cada letra? 474. El total de dos compras es $612. Si el monto de la primera es tres veces el monto de la segunda. Cuál es el monto de cada una? 475. En dos exámenes Carlos tiene 78 puntos. En el primero tiene 12 puntos más que en el segundo. Determinar cuántos puntos tiene en cada examen Manuel tiene $n. Si cobra $500 que le deben y paga $175 que debe, le quedaran $382. Cuántos pesos tiene Manuel? 477. De tres compras; en la segunda se gasto $16 más que en la primera; en la tercera, la mitad de lo que se gasto en las otras dos. Si el gasto total fue de $180 Cuánto gasto en cada compra? 478. Por un vestido y un par de zapatos se pagan $450. Determinar el precio del vestido sabiendo que éste costo $150 más que el par de zapatos La entrada a un baile cuesta $40.00 para hombres, las mujeres pagan $ Si se obtuvieron $ al vender 363 boletos. Cuántas mujeres pagaron boleto? 480. Un viajero ha recorrido la tercera parte de su trayecto y sabe que si cubre 65 Kms. más completa la mitad del recorrido. Determine la distancia recorrida. Problemas Geométricos 481. Para construir una cerca de un terreno rectangular se usaron 2030 metros de material. Si el ancho del terreno es partes de lo largo. Cuáles son las dimensiones del terreno? 482. Los lados de un rectángulo miden 25 y 30 metros respectivamente. Calcular los de otro, semejante al primero cuyo perímetro mide 278 metros La longitud de un rectángulo es 7 unidades más que su anchura. Si cada dimensión fuese incrementada en 5 unidades, el área sería incrementada en 160 unidades cuadradas. Encuentre las dimensiones del rectángulo Hallar la longitud del lado de un cuadrado sabiendo que si se aumenta ésta en 4 m. su área se incrementa en 64m Un terreno tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m. y el ancho se aumenta en 4 m. la superficie del terreno no varía. Hallar las dimensiones de la terreno La longitud de un campo rectangular excede a su ancho en 30 m. Si la longitud se disminuye en 20m y el ancho se aumenta en 15m, el área se disminuye en 150 m2. Hallar las dimensiones del campo Hallar la base y la altura de un rectángulo cuyo perímetro es de 40cm. La base tiene 2cm más que cinco veces la altura Un cateto de un triángulo mide 20 cm. y la hipotenusa es 10 cm. mayor que el otro cateto. Hallar las longitudes de los lados desconocidos. 22

23 De movimiento 489. En un viaje de 900 Kms. se emplean cinco horas viajando en tiempo despejado y seis horas manejando bajo la lluvia a una velocidad de 15 kms/h menos que en el tramo seco. Determinar la velocidad con que se viaja en el tramo lluvioso Se hace un recorrido de 42 Kms. en dos partes; primero en bicicleta durante 3 horas y luego, durante otras tres horas a pie. La velocidad en bicicleta fue de 6 Kms/h más rápida que a pie. Determinar la velocidad durante la caminata En una hora un estudiante recorre dos tramos para llegar a su escuela, uno de 6 kms. en camión y el otro de 28 kms. en automóvil. La velocidad media del automóvil es el doble de la velocidad media del camión. Determinar ambas velocidades y los minutos que tarda en recorrer cada tramo La ciudad A se encuentra a 810 Kms. de la ciudad B. Un autobús sale de A hacia B y tres horas después parte un automóvil de B hacia A. Si ambos, el autobús y el automóvil, mantuvieron la velocidad de 90 Kms/hora, hallar la distancia recorrida por el automóvil hasta el momento de encontrar al autobús Dos automóviles, A y B empiezan a moverse el uno hacia el otro a las dos de la tarde, las velocidades medias son 80 y 90 Km/h, respectivamente. Hallar a que hora se encontraran sabiendo que distan 680 kms Dos viajeros, a una distancia uno del otro de 405 kms. empiezan a moverse a las 4:30 de la tarde en sentido contrario. Sabiendo que sus velocidades son 80 y 100 Km/h, hallar la hora de su encuentro Dos camiones parten del mismo sitio, a un mismo tiempo y viajan en direcciones opuestas. Al cabo de 5 horas se encuentran a 800 kms de distancia viajando uno 20 kms/h más rápido que el otro. Encuentre la distancia recorrida por cada uno Hallar la velocidad a que debe viajar un motociclista A para alcanzar a otro B que marcha a una velocidad de 20 Kms/h, sabiendo que A, partiendo 2 horas después que B, debe alcanzarlo en 4 horas Una lancha de motor viaja 4 kms. río abajo y en el mismo tiempo un Km. río arriba. Si la velocidad de la corriente es de 3 Kms/h. Cuál es la velocidad en agua tranquila?. Trabajo 498. Un hombre requiere 12 horas para arar un campo mientras que su hijo puede hacerlo en 15 horas. Cuánto tiempo le tomara hacer el trabajo entre los dos? 499. Una persona A puede pintar una casa en 12 horas y la persona B puede hacerlo en 16 horas. Cuánto tiempo les tomaría pintar juntos la casa? 500. Una mujer puede limpiar un cuarto en 24 minutos y su hija en 36 minutos. Cuánto tiempo emplearían si limpian el cuarto las dos? Un tanque puede llenarse en 10 horas por un tubo de entrada y vaciarse en 8 horas. Si al principio el tanque está lleno y ambos tubos abiertos, En cuánto tiempo se vaciará el tanque? 502. Un tanque se puede llenar en 6 horas y se puede vaciar en 8 horas abriendo la válvula del tubo de drenaje. En cuánto tiempo se llena el tanque si por descuido la válvula del tubo de drenaje permanece abierta 3 horas? Mezclas 23

24 503. Se desea mezclar un maíz cuyo precio es de $10 por kilogramo con 6 kg de maíz de precio $7.50 por kg para poder vender la mezcla obtenida al precio de $9.00 por kg Cuántos kilogramos del maíz de $10 deben usarse? 504. Calcular el número de litros de una solución de alcohol al 60% que se deben añadir a 40 litros de otra solución de alcohol al 20% para obtener una mezcla al 30% 505. Qué cantidades de leche al 3.% de nata y de leche al 6.2% de nata se necesitan para hacer 100 litros de leche al 4%? Desigualdades Lineales. Resolver las siguientes desigualdades. Graficar el conjunto solución en la recta de los reales y expresarlo en notación de intervalos