Métodos numéricos. l. EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) - >:o:::- =

Transcripción

1 Métds numérics E. Alarcón ETSII. Universidad Plitécnica de Madrid l. EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) Sea un dmin elástic O, de cntrn an, smetid a unas fuerzas pr unidad de vlumen ~ y tensines X = T en an de md que - >::::- = an= a u a,. - Si las tensines?' en Q están en equilibri cn ~ y X y si además ~ y ~ sn ls desplazarients y crrespndientes def~aci~es del cuerp es sabid que es psible escribir el principi de ls trabajs virtuales (PTV) cm: Si la variación de ls desplazamients 8 ~ respeta las cndicines de cntrn en au debe ser nula allí y la última integral sól se extiende a a dnde, cm se ha dich, se tiene X = T t ~ = la ecuación (1) puede escribirse: In 8 E: <!-In 8 ~T ~- Ian 8 ut T = O (1.2)

2 244 E. ALARCÓN El métd de Rayleigh-Ritz cnsiste en aprximar el camp de desplazamients en la frma: u(x y z)"" N(x y z)ue (1.3) dnde ue sn valres incógnita en una serie de punts seleccinads y N(x Y z) funcines de interplación. Cn ell se cumple E (x y z)=b(x y z)ue (1.4) dnde B se btiene de N utilizand la definición de las defrmacines ;::,; :::::; 1 E= (u.+u.. ) l] 2 l,j j,l (1.5) Las variacines de ~ y ~ sól afectan a ~e puest que las "! sn funcines fijas. Así u= N ue OE=Bue (1.6) La sustitución de (1.6) en (1.2) cnduce a (1.7) Puest que las variacines sn arbitrarias ell implica f~t<!= f~t ~+ f~t! Q - - Q - - ()Qf - - ( 1.8 )

3 MÉTODOS NUMÉRICOS 245 Pr tr lad supóngase que existe un estad inicial de defrmacines : y que el cmprtamient sigue la ley de Hke ( 1.9) dnde J? es una matriz que cntiene el mdul de Yung E y el ceficiente de Pissn v en el cas de cuerp isótrp ls crrespndientes juegs de E y v para ls cass anisótrps. La sustitución y rerdenación de ( 9 ) y ( 4 ) en ( 6 ) cnduce a (1.10) Obsérvese que tds ls términs del segund miembr sn cncids, pr l que (1.10 ) es un sistema lineal de ecuacines cuya reslución permite btener u~e. El métd de ls elements finits ( MEF ) sigue esta frma de prceder y su aprtación se refiere a la elección de las funcines de interplación. Para ell se subdivide el dmini en elements ge definids de frma cnvencinal mediante nuds (vg. :triánguls cn tres nuds, cuadriláters cn cuatr nuds, triánguls curvs de seis nuds, cuadriláters de lads curvs de ch nuds, tetraedrs de cuatr nuds, etc. ) de frma que su unión recree el dmini ttal. A cntinuación se definen las funcines de frma que sean unidad en cada nud y nulas en el rest. Pr ejempl, la figura 1 recge la subdivisión de un dmini plan en triánguls y la frma de la función de interplación crrespndiente a un de ls nuds. Cn ell se cnsigue que ls ceficientes u~e sean precisamente ls desplazamients ndales que se van buscand, que baj ciertas cndicines

4 246 E. ALARCÓN Figura 1 de cntinuidad dependientes del prblema, las integrales pueden cnstruirse cm suma de integrales y que la matriz BT D B, además de ser simétrica pr el prpi métd de interplación, tenga estructura en banda l que presenta ventajas tant de tip cmputacinal cm de almacenamient. El prces se rganiza entnces de frma repetitiva: para cada element se btiene la matriz de rigidez k e y el vectr de cargas fe. :::::: ::::: k_e = f Jt J!J! n, fe= J~T ~+ J~T J.:+ f-'!t I}e ~ n, an, n, ~ (1.11) Ests cálculs se realizan en el sistema de ejes «natural» del element (figura 2) que se denminan «ejes lcales».

5 MÉTODOS NUMÉRICOS 247 X Figura2 ; ' Figura 3 La mayr parte de las veces se realiza una aplicación sbre un rectángul unidad ( figura 3 ) para utilizar un métd de integración numérica ( vg. : regla de Gauss ). A cntinuación se prcede a realizar una rtación a ejes glbales l que permite un suma bleana de matrices y vectres ~ = L k~e e ~= Lfe ( 1.12)

6 248 E. ALARCÓN y de esta frma se tiene el sistema Ku=F (1.13) cuya reslución permite btener ls desplazamients ~ a partir de ls cuales se calculan ls esfuerzs y tensines deshaciend, element a element, las transfrmacines anterires. El esquema general de un prgrama de elements finits en elasticidad es el siguiente: 1 PROGRAMA PRINCIPAL 1 1 Intrducción de dats - Cálcul de ke - Cálcul de f e 1 Para cada element - Rtación a crdenadas glbales - Clcación en matrices glbales 1$. y!: 1 Aplicación de las cndicines de cntrn 1 Reslución del sistema de ecuacines 1 Cálcul de tensines y esfuerzs 1 Presentación de resultads

7 MÉTODOS NUMÉRICOS VISCOELASTICIDAD En este apartad se recuerdan ds alternativas que sn de interés en el tratamient numéric de prblemas viscelástics. Pr un lad se resume la frmulación de la ley de cmprtamient mediante variables de estad y a cntinuación se presenta una frmulación de tip ptencial. Finalmente se muestra un ejempl sencill VARIABLES DE ESTADO Si se utiliza la representación integral de un cuerp viscelástic para el cas mndimensinal t e(t) = J D(t, r )da (2.1) 'r dnde D es la función especifica de fluencia. La integración de ( 2.1 ) pr partes cnduce a r e(t)= a((t))+ d(t,r)a(r)dr E t 'r a d(t, r) =- ar D(t, r) 1 E( t) = D( t' t) (2.2) Si se trata de un material sin envejecimient e(t) =- a(t) - + E Jt 'r d(t- r)a(r)dr (2.3)

8 250 E. ALARCÓN En la mayría de ls cass práctics se tiene la psibilidad de aprximar d(t-r) mediante una serie de Dirichlet-Prny n 1 _1-T d(t-r) = L e 8 ; i=l 1] ( 2.4) dnde ls valres 1J; ; 8; se btienen mediante identificación de parámetrs tras una serie de ensays de labratri. Si se llama se tiene 1-T r~ 1 -- q (t) = J, -e 8 ; a( r)dr '< 1] (2.5) a(t) ~ e(t) = -+ ~q (t) E i=l (2.6) y, derivand (2.5) q (t) a(t) q.(t) + -- = ] (2.7) Las ecuacines (2.6) y (2.7) junt cn las cndicines iniciales (2.8) frman un sistema equivalente a (2.3). Se ha pasad así de una representación integral a un sistema de n ecuacines desacpladas de primer rden.

9 MÉTODOS NUMÉRICOS 251 Puest que, tan prnt cm se cncen ls q (t) es psible calcular E (t), se las suele denminar variables de estad. En el cas lineal se puede prceder pr intervals de tiemp de lngitud!1t cn l que (t+lh-t) ( ) t+at-t ( ) (5 r r+t.r --- (5 r q(t+l1t)= re e, --dr+j e 7),(r) --dr=l +/,(2.9) ' J 17 ( r) t 17 ( r) t - per -- (5 r f>t t-t ( ) --J~ 1 = e e, e e, --dr = q (t )e e, t 17 ( r) ' C.t (2.10) (5( r) Para btener 1 2 se puede supner que 11. ( r) en el interval!1t cn l que ( ) t+f>t T ( ) ( f>t J (5 t Jt+f>t 7i (5 t -~ 1 = e ' e' dr = --(). 1- e ' 2 17 ( t) t 11/ t) l ' permanece cnstante (2.11) Cn ell se tiene el esquema incremental (2.12) La ecuación (2.6) se puede interpretar cm (2.13)

10 252 E. ALARCÓN l que permite btener unas tensines (2.14) La cmparación de (2.14) cn (1.9) permite interpretar ev cm una defrmación inicial a efects de_ cálcul cn elements finits y ell cnduce al siguiente sistema perativ : a) Se realiza un análisis lineal para t =O cn las prpiedades elásticas de la estructura, l que permite calcular la tensión en cada pieza. b) Supniend que en el interval t = O t = 11t se mantienen cnstantes las tensines se calcula ev mediante (2.12) y (2.13). e) Se repite el cálcul elástic añadiend la carga equivalente a la defrm~ción visc~sa que, según (1.10) es J:/t l} (. Ell permite btener tensiones medtante (2.14) El prces se repite hasta finalizar el tiemp prescrit EJERCICIO Determinar la matriz de rigidez de una barra a tracción de lngitud L, área A y módul de elasticidad E. Usand el frmalism de elements finits. X

11 MÉTODOS NUMÉRICOS 253 El element se muestra en la figura junt cn ls ejes lcales y glbales. Se supnen fuerzas de vlumen ~ = (b,o) y un estad de defrmación inicial t: 0 Para simplificar se admite que tant b cm t: 0 sn cnstantes dentr del element. Tmand una función de interplación lineal se tiene : X 1- L X L La relación entre desplazamients y defrmacines es : La ley de cmprtamient es : a= E(t:-t: 0 ) Cn ell. l T AE K'= B EBdv= 1-1 V L -1 1

12 254 E. ALARCÓN y 1 ' AEe Puest que K y P están referidas a ejes lcales xl, yl es precis realizar una rtación R cn l que : dnde la matriz de rtación es : e S -S e R= ; e = csa; s = sen a e S -s e Cn ell en crdenadas glbales se tiene : e2 2 se -e -se 2 2 EA S -e -s K= L e2 se s2

13 MÉTODOS NUMÉRICOS 255 e -e L S -S P = Jt + Fa = Ab 2 + AEE 0 e e S S Una vez calculads ls desplazamients se btienen ls esfuerzs axiles mediante: Sea pr ejempl la estructura de la figura: Fy Si se aplican ls resultads anterires a cada una de las barras se tiene: EA K-~- "- 2J2i EA K-~ -1 ' 22-2J2i -2.fi 2.fi EA J2i K-~- '

14 256 E. ALARCÓN Cn l que el sistema glbal de ecuacines es : F_d Fv~ 1 1 F'.rz F~.z 1-1 EA Fx3 =üu 2 F,., 2(1 +..Ji) u, =0 v, =0 u, =O v, = u, -1 v, 1 u, = 1 v, = Si se aplican las cndicines de cntrn : u 1 =v 1 =0 u 2 =v 2 =0 u 4 =v 4 =0 se tiene el sistema : cn l que 2L V - F 3 - EA(2 + J2) y 2

15 MÉTODOS NUMÉRICOS 257 y para ls esfuerzs En el cas viscelástic S = 2 F J2 y2-1 EA{ S = L ( u 2 - u 1 ) cs a + ( v 2 - v 1 ) sen a - Ev L} Supóngase que la barra 2 está frmada pr un material standard cn prpiedades E 1 = 100; E 2 = 100; 1J = 1000 mientras que las barras 1 y 2 sn elásticas cn mdul E 1 = 1 OO. Se tma Fx 3 = O, Fy 3 = 1 Se cmienza cn un calcul elástic en t = O 1 V,= S 1 = S 3 =.29 S 2 =.59

16 258 E. ALARCÓN Supniend que ls esfuerzs en las barras permanecen cnstantes en el interval t =0 y t = l se calcula la defrmación viscplástica en la barra 2 l que cnduce a: t: = 059 (1- e-.1) = V 100 Ahra se hace un nuev cálcul elástic en t = l tmand t:v cm una defrmación inicial. La carga ndal crrespndiente es ( 1) T Pv = O -1 O Si se incluye esta nueva carga en el cálcul se tiene: y pr tant V= ' S 1 = S 3 =.31 S 2 =.s6 El prces se repite para t = 2, 3, etc. y se btienen ls resultads de la figura V sj.s =$

17 MÉTODOS NUMÉRICOS PTENCIAL DE DISIPACIÓN Cm es sabid en elasticidad se definen ls ptenciales de energía elástica u(~) es decir y energía cmplementaria w( ~) mediante aw t:=- = aa ( ) au aw d a:t: =adt:+t:da= dt:+ -da=d(u+w) = = = = = = at: = aa = (2.15) que representa la llamada transfrmación de Legendre respect a la que ls ds ptenciales sn cnjugads. La existencia de ests ptenciales se sigue del cncept de reversibilidad y de función de estad termdinámic. En viscelásticidad n existe una mtivación semejante per es cstumbre utilizar una frmulación similar cn ptenciales au(~) a= -. at: (2.16)

18 260 E. ALARCÓN Además se suele admitir que ls ptenciales sn hmgénes. Pr ejempl si U es hmgéne de grad m y W hmgéne de grad k existe entre ells la relación m k= m-1 En efect, en virtud de la definición de ptenciales cr: E = cr: ~ ~ ~ acr aw - -= k W y pr tant u(~) = kw- w = (k - l)w( ~) Así Per debid a la hmgeneidad l que implica k= (k -l)m

19 MÉTODOS NUMÉRICOS 261 El prduct es la función de disipación y puede verse que 1 dd 1 dd E= -- = k aa (2.17) l que justifica el cncid resultad de la función de disipación cm ptencial viscs (2.18) El cncimient de W, U, D permite determinar la ley de cmprtamient (2.18) En general se establece una tensión equivalente cr y una defrma- e ción equivalente E tales que la disipación cincida cn la de ensay mndimensinal e Cn ell el cntrl de la defrmación viscsa se reduce al cas mndimensinal y se puede repetir el prcedimient allí indicad. Cm ejempl se va a tratar el cas en que que crrespnde a una familia muy ppular de leyes.

20 262 E. ALARCÓN El cas más sencill es n = 1 cn l que Aplicand las definicines anterires se tiene y generalizand el resultad 3 E = 2 (jz ( <1 - acr) (2.20) que puede escribirse cm (2.21) Puede bservarse que en este cas se tiene una defrmación vlumétrica nula

21 MÉTODOS NUMÉRICOS 263 Pr tr lad usand las relacines (2.20) es psible btener y despejand las tensines (2.22) Ell permite calcular la disipación sustituyend (2.22) en (2.19) l que cnduce a (2.23) Obsérvese que en el cas mndimensinal se tiene: 3 (je e = a 2 3 (je 1 =- e =e 2a2 2 t 3

22 264 E.ALARCÓN En particular ell implica la ley de cmprtamient lineal que da el significad de 0" 0 : cuya sustitución en (2.21) cnduce a la ley En el cas mndimensinal se tiene (2.24) de md que utilizand (2.19) se llega a D ~ <J 1 1 ~u,[::]= 2W (2.25) y también según (2.23)

23 MÉTODOS NUMÉRICOS 265 Así pues (2.26) Una expresión más familiar se btiene bservand que, debid a la cndición de incmpresibilidad se tiene y pr tant e = (2.27) El prces perativ en el cas mndimensinal cnsiste en las siguientes etapas: a) En el instante t = O se calcula la slución elástica del prblema l que permite calcular desplazamients y tensines. b) Se supne que las tensines anterires permanecen cnstantes en un interval /j.t l que permite calcular la tensión equivalente a e. Cn ella se btiene, pr el prcedimient unidimensinal, la crrespndiente defr- mación viscsa e v así cm e 3 S.. ev =e.. = -ee 'J_ lj 2 V (J e e) Cn las defrmacines anterires se calculan las cargas equivalentes

24 266 E. ALARCÓN y se resuelve de nuev el prblema para btener nuevas tensines El prces se repite hasta agtar el tiemp de cálcul. Evidentemente el prces se puede mejrar iterand dentr de cada interval de tiemp hasta cnseguir un valr de las tensines que respnda mejr que el del interval anterir, tal cm se realiza en ls métds de integración pas a pas. Obsérve~e también que es relativamente sencill mdificar un prgrama de cálcul cn elements finits: basta añadir un laz de instantes de tiemp y una subrutina que calcule las defrmacines viscplásticas.