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Transcripción

1 .! 1 Resuelve tú ( Pág ""#) Halla k sabiendo que 5 k-4 =15 Como 15 = 5, queda 5 k-4 = 5 k 4 = k = 7 k = 7/ Resuelve tú ( Pág ""') Un país tiene una población de 110 millones de habitantes y se espera que se duplique en 5 años. Halla la población que predice ese modelo para dentro de 60 años. # D = Tiempo que tarda en duplicarse = 5 años. # P 0 = Población inicial = 110 millones de habitantes. # t = 60 años. Aplicando la fórmula : P = P 0 t/d = /5 = = milloonneess. Un isótopo radiactivo del galio, utilizado en el diagnóstico de tumores malignos, tiene una semivida de 47 horas. Cuántos miligramos quedarán, de una cantidad inicial de 50 miligramos, al cabo de 7 días? $ M 0 = Masa inicial = 50 mg. $ S = Semivida = 47 horas. $ t = Tiempo = 7 días = 7 días 4 horas = 168 horas. Aplicamos la fórmula : M = M 0 (0 5) t/s = 50 (0 5) 168/47 = mgg. Resuelve tú ( Pág ""() Estima la semivida de un material radiactivo que se desintegra siguiendo la ley Q = Q 0 e t, con t medido en años

2 .! La semivida es el tiempo que ha de transcurrir para que la masa del material se reduzca a la mitad, es decir Q = 0 5 Q o, luego 0 5Q 0 = Q 0 e t, e t = 0 5. Para resolver esta ecuación el libro dice por tanteos sucesivos, nosotros aplicaremos logaritmos neperianos a ambos miembros : lne 0'0015t = ln0'5 0'0015t = ln0'5 t = ln0'5 0'0015 = 0' = 46'098 años = 0'0015 Resuelve tú ( Pág ")*) = 4466 aaññooss 11 meess 55 ddí íaass 77 hhoorraass 4455 minn 66 sseegg. Calcula qué población predice para Méico en el año 080 el modelo que acabamos de obtener. Comprobarás que la predicción no es razonable. La función obtenida en el libro es P = 67 8 e t, en donde t = 100 años que hay desde el inicio (1980) hasta el 080, luego eso daría una población: P = 67 8 e = 67 8 e 565 = milloness de habitantes, que no cabrían físicamente en Méico. En un resto fósil vegetal se detectan 44,5 miligramos de carbono 14, mientras que por comparación con un análogo vivo se calcula que en vida contenía unos 500 miligramos de ese elemento radiactivo. Qué podemos concluir acerca de la antigüedad de ese fósil? % Q 0 = Masa del isótopo de C-14 en vida = 500 mg. % Q = Masa de C 14 detectada en el fósil = Para hallar el tiempo aplicamos la fórmula : Q = Q 0 e t, 44 5 = 500 e t y despejamos el tiempo : e 0'00011t = 44'5 500 lne 0'00011t = ln 0'089 0'00011t = ' t = ' '00011 = 1999 años Resuelve tú ( Pág ")") Halla la función inversa de y = +. Dibuja una gráfica aproimada de ambas con ayuda de la calculadora.

3 .! y = +, despejamos : = y = y intercambiando variables : Las representaciones : y 1 = Resuelve tú ( Pág ")#) Halla el valor k que cumple la ecuación 67 8 e 5 k = 76 60, que aparecía en el Ejercicio de aplicación 5. 67'8e 5k = 76'60 e 5k = 76'60 67'8 lne 5k = ln1'1684 5k = 0'18 k = 0'18 5 = 0' Resuelve tú ( Pág ")+) Calcula el nivel en decibelios de una conversación normal cuya intensidad es de 10 6 vatios/m. I = 10-6 vatios/m. I 0 = 10-1 vatios/m. I D = 10log I 0 10 = 10log = 10log10 6 = 10(log + 6) = 10(0'48 + 6) = 64 8 deci ibelioss.

4 .! 4 PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Para cada una de estas curvas escribe una función de la forma Ab X y otra de la forma Ce KX que la tengan por gráfica. ((a)) & f() = A b Como f(-) = 1 y f(1 6) = 6 05, disponemos de dos ecuaciones para hallar las dos incógnitas A y b : 1 = A b - y 6 05 = A b 1 6, dividimos una por otra : '05 1 A b = A b 1'6 6'05 = b hallar b : 6'05 = b b = 6'05 = 6'05 = 1' 649, o bien aplicando logaritmos : 1'6 + = b '6 y, para log6'05 log6'05 = '6logb logb = = 0'17154 b = 10 '6 Para calcular A, sustituimos b en cualesquiera de las dos originales : 0' '649 1= A 1'649 A = 1'649 = '7 Luego f() ) == & g() = C e k Como antes, sustituimos los dos puntos conocidos y resolvemos el sistema eponencial formado : 1 = C e k y 6 05 = C e 1 6k C e '6k, dividimos una entre otra : 6 '05 = = e y, para despejar k k C e '6k ln6'05 1'8 1 aplicamos logaritmos neperianos : ln6'05 = lne = '6k k = = '6 '6 Conocido k = ½, hallamos C sustituyendo su valor en la primera : 1= C e 1 = C e 1 C = e 1'6k y la función buscada es : gg( () ) == ee ee / / 1 == ee ++ / /.

5 .! 5 ((b)) & f() = A b Como f(0) = 5 y f(1 1) = 0 554, disponemos de dos ecuaciones para hallar las dos incógnitas A y b : 5 = A b 0 y = A b 1 1, dividimos una por otra : ' '1 A b 1'1 = 0'1108 = b y, para hallar b : 0 A b 0'1108 = b b = 0'1108 = 0'1108 = 0'15, o bien aplicando logaritmos : log0'1108 log0'1108 = 1'1logb logb = = 0'8686 b = 10 1'1 Para calcular A, sustituimos b en cualesquiera de las dos originales : 0'8686 0'15 5 = A 0'15 0 A = 5 Luego f() ) == & g() = C e k Como antes, sustituimos los dos puntos conocidos y resolvemos el sistema eponencial formado : 5 = C e 0 y = C e 1 1k 0'554 C e 1'1k, dividimos una entre otra : = = e y, para despejar k 0 5 C e 1'1k ln0'1108 ' aplicamos logaritmos neperianos : ln0'1108 = lne = 1'1k k = = 1'1 1'1 Conocido k = -, hallamos C sustituyendo su valor en la primera : 0 5 = C e C = 5 y la función buscada es : gg( () ) == 55 ee - Halla en cada una de estas ecuaciones: 1'1k - -. (a) 5 5 = (b) 9 = - (c) = (aa) ( ) = 5,como las bases son iguales, igualamos los eponentes y resolvemos la ecuación de º grado resultante :

6 .! 6 ± + = 0 = 9 8 ± 1 = = 1 (bb) ( ) 9 = ( ) = = = = (cc) ( ) = (10 ) = (10 ) 10 = 10 6 = 6 6 = = = Un capital de 1 millón, invertido al k % de interés simple, se convierte en t años en Dibuja en una gráfica la evolución de ese millón según se invierta: k 1 + millones. 100 t (aa) ( ) C(t) = (1+0 06) t ; C( (t)) == t (bb) ( ) C(t) = (1+0 0) t ; C( (t)) == t (cc) ( ) C(t) = (1+0 01) t ; C( (t)) == t (a) al 6 % (b) al % (c) al 1% t t t t t t 4 Si un capital inicial de 1 millón de pesetas se ve sometido a una inflación del k % anual, el poder adquisitivo de ese millón desciende. A los t años viene dado por adquisitivo según que la inflación sea: (a) 6 % (b) % (c) 1% t k 1. Dibuja en una gráfica ese poder 100

7 .! 7 (aa) ( ) C(t) = (1-0 06) t ; C( (t)) == t (bb) ( ) C(t) = (1-0 0) t ; C( (t)) == t (cc) ( ) C(t) = (1-0 01) t ; C( (t)) == t t t t t t t 5 Ensayando con paciencia en la calculadora, encuentra con dos cifras decimales un valor aproimado del punto en el que = (Fig. 1.4.a). Para acotar soluciones ponemos la ecuación = 0, para = 1, 1 = 1 > 0, para =, 4 8 = - 4 < 0, luego una solución está entre 1 y, procedemos por aproimaciones sucesivas en una hoja de cálculo que es más rápido, hallando los valores medios de los intervalos en que cambia de signo : El valor buscado se halla entre 1 7 y 1 74, como se nos pide con dos cifras decimales = 1 7. Como para = 9, 9-9 = -17, y para = 10, = 4, otro de los valores estará comprendido entre 9 y 10, con la hoja de cálculo, procedemos por aproimaciones sucesivas :

8 .! 8 Otro de los valores, con dos cifras decimales que cumple la ecuación es = 9 9 Lo podemos ver representando ambas funciones y observando los puntos de corte : 6 Dibuja la gráfica de y = 8 e -/. Tiene asíntotas?

9 .! 9 Sí, una asíntota horizontal y = 8 7 En el problema resuelto 4, cuál será la población de bacterias tras 0 horas? Es realista el resultado que se obtiene? P 0 = población inicial = 500 bacterias. D = tiempo de duplicación = 0 minutos. t = 0 horas = 0 60 = 1 00 min. Aplicamos la fórmula de crecimiento eponencial : P = P 0 t/d = /0 = = bacterias. No puedo imaginarme ese número y no sé si tendrían forma de sobrevivir tal cantidad de bacterias. 8 Representa la función y = 1 - e -/. 9 Con los mismos datos del Ejercicio de aplicación 5, es correcto el modelo P = 67,8(1,01) t? Y el modelo P = 67,8(1,04) t? Consideramos un modelo correcto si se ajusta a los datos eperimentales, es decir si al aplicarlo obtenemos los datos obtenidos por la eperiencia. Vamos a comprobarlo disponiendo los datos en forma de tabla :

10 .! 10 Aññoo PPoobbl laacci ióónn t ( ( ) ) t t ( ( ) ) t t (EE ( a) a ) 1 == PP- - PP (EE ( a) a ) == PP- - PP (EE ( rr) r ) 1== ( (EE a) a ) 1/ 1 /PP 00 % % % % % % (EE ( rr) r ) 1== ( (EE a) a ) 1/ 1 /PP 00 % % % % % P 1 (0) = 67 8 (1 01) 0 = P (0) = 67 8 (1 04) 0 = P 1 (1) = 67 8 (1 01) 1 = P (1) = 67 8 (1 04) 1 = P 1 () = 67 8 (1 01) = P () = 67 8 (1 04) = P 1 () = 67 8 (1 01) = P () = 67 8 (1 04) = P 1 (4) = 67 8 (1 01) 4 = P (4) = 67 8 (1 04) 4 = P 1 (5) = 67 8 (1 01) 5 = P (5) = 67 8 (1 04) 5 = El aceptarlo o no depende del error que estemos dispuestos a soportar, en las cuatro últimas filas se han tabulado los errores absolutos y relativos ( los signos significan por eceso( -) y por defecto (+)); vemos que a medida que transcurren los años los modelos teóricos se diferencian más de los datos reales ( debido a su carácter eponencial ) luego, yo rechazaría ambos modelos, el primero por defecto y el segundo por eceso. 10 Toda función eponencial b se puede escribir en base e. Por qué? Eplica cómo se hace para 10. Sea b = M, aplicando la definición de logaritmo log b M =, si ahora realizamos un cambio de base a base e : log b Log b M = log b e lnm =, y tomando los dos últimos miembros : e lnm = lnm = log b Definición de logaritmo M = e e Si hacemos b = 10, queda : 10 = e e... loge 0' Cuáles de estas propiedades son válidas para las gráficas de y = log b? log e b = b ( ya que b = M)

11 .! 11 (a) Son cóncavas hacia abajo (b) Pasan todas por el punto (1, 0) (c) No tienen máimos ni mínimos relativos. : En la gráfica siguiente se ha representado la función logarítmica en seis bases diferentes y = log y = log 5. y = log. y = ln y = log 1/ y = log 1/5 ((a)) No, son cóncavas hacia abajo las de base mayor que uno y cóncavas hacia arriba las de base comprendida entre cero y uno. ((b)) Todas pasan por el punto (1,0) ya que log b 1 =0 para cualquier b. ((c)) No tienen máimos ni mínimos relativos pues son o bien siempre crecientes (b >1) o decrecientes (b <1). 1 Escribe en forma de logaritmos las eponenciales: (a) 81 = 4 (b) = 8 1/

12 .! 1 ((a)) 81 = 4 log 81 = 4 ((b)) = 8 1/ log 8 = 1/ 1 Cuál de estas igualdades es correcta? (a) log 5 = 1/ (b) 10 logπ = lnπ e ((a)) log5 = ½. Es falsa. ((b)) 10 logπ = π = e lnπ. Es correcta. 14 Resuelve las ecuaciones: (a) 5 = 14,5 (b) e = 10 - (c) 100 = 10 + ((a)) 5 = 14 5, aplicando logaritmos a ambos miembros : log 5 = log 14 5, log 5 = log 14 5, y despejando : log14'5 '49775 = = = '5779 log5 0'69897 ((b)) e = 10 -, aplicando logaritmos neperianos ln(e ) = ln(10 - ), = ( ) ln10, ecuación de primer grado en donde despejamos : ln10 4' ln10 = ln10 ( ln10) = ln10 = = = 15'194 ln10 0'0585 ((c)) 100 = 10 + (10 ) = = 10 + = + = - = Resuelve las ecuaciones: (a) + - = (b) log ( + 8) - log ( - 1) = 1 (c) In ( ) = 7,5. ((a)) + - =, hacemos el cambio de variable = y :

13 .! = y + = y y + 1= y y y + 1= 0 (y 1) = 0 y = 1= = 0 = ((b)) log(+8) log( 1) = 1 log = 1 10 = = = 18 = = 18 9 ((c)) ln( ) = 7 5, ln = 7 5 ln = 5 = e 5 = e 5/ = 5 e =