Así es que para las series. q =1+q+q +

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1 37 SERIES GEOMETRICAS: ALGUNAS APLICACIONES María Isabel Viggiani Rcha En el Vl. 4 N. 2, el Dr. Rbert Miatell prpnía que un prblema (que detallaré más en a)) sea respndid de 2 maneras diferentes. Una de esas maneras es una aplicación de la serie gemétrica y es me mtivó a escribir esta nta breve. Recrdems: dada una serie ; a si esta cnverge hacia s este númer s se llamará la suma de la serie y escribims s= r:a=a+a+a+ k=1 k k=1 k Así es que para las series cnvergentes se usa el mism símbl para designar la serie y su suma. k-1 2 q =1+q+q + La serie gemétrica es: cn k=l q ± O. Si la serie es ; a qk- 1 cn a y q ~ O, se k=1 denmina serie gemétrica de términ inicial a y razón q. Si jqj ~ 1 la serie diverge, en tant que si jql < 1 cnverge as = a/(1-q), bservándse además que lim qn =O. Sn ests resultads ls que usaré en las distintas aplicacines que pas a detallar: nhal a) Ds estacines A y B se encuentran a 120 km de distancia. En el mism instante en que un tren parte de A hacia B a 40 km/h, tr tren parte de B hacia A a 20 km/h, pr la misma vía. En el instante de partida, una msca parte del primer tren hacia el segund a 100 km/h. Al alcanzarl, invierte de inmediat el vuel hacia el primer y así sucesivamente cntinúa vland entre ls trenes hasta

2 el eventual chque. Cuál es la distancia ttal recrrida pr la msca? Puede hallar la respuesta de ds maneras diferentes? al) Cnsiderand un sistema de ejes crdenads (tiemp, espaci) cn rigen de crdenadas el mment y punt de partida, tenems: y = 40 t tren de A a B y = -20t tren de B a A de dnde 40 t = -20t y t = 2 (mment del chque). Pr l tant, la distancia recrrida pr la msca será: d = 100 km/h.2h = 200 km. (t-t ), a2) Si y = 40 t, y = -20t e y-y = ± 100 (siend t, y ) punt de encuentr de la msca cn algún tren, + si va de A a B y - si va de B a A) sn las ecuacines crrespndientes al mvimient de ls ds trenes y la msca, y buscams ls sucesivs punts de encuentr, btenems: (1, 100); (1017, 400/7); (1217, 600/7); (90/49, 3600/49); (94/49,4000/49);(670/343,26800/343); (678/343,27600/343);... Observams que la diferencia de tiemps entre ds encuentrs, es decir, ls tiemps de cada trayect serán: t -t = 10/7-1 = 3/7; 2 1 t -t = 2/7 3 2 t -t = 6/ t -t = 4/ t -t = 12/ t -t = 8/ y así sucesivamente. 3/7 = 3/7.1 = 317. (2/7) 0 2/7 = = 217. (217) 0 6/49 = 3/7.2/7 = 3/7. (2/7) 1 4/49 = = 2/7. (2/7) 1 12/343 = 3/7.4/49 = 3/7. (2/7) 2 8/343 = 217.4/49 = 2/7. (2/7) 2

3 Estas diferencias en el m-ésim m-1 dentads cm: (3/7). (217) cn m~ al 1 y cm (2/7). (2/7) 18-1 = (217), tren al 2. encuentr pueden ser 1; si va del 2 tren m ~ 1 ; si va de 1 1 Pr l tant, y es evidente, la msca finalizará su recrrid cuand la diferencia de tiemps sea nula es decir, si lim (217) m-1 = O. El ttal del tiemp emplead en ~ tds ls viajes de la msca t = (217) (2/7) (217) /7. (2/7) = = 1 + 5/7. (1 + 2/7 + (2/7) ) = = 1 + 5/7. 1/(1-(2/7)) = 2 (pues 217 < 1) ~ d = 200 km. será: Cncluims entnces que la msca recrre una distancia finita (200 km) en una suma infinita de tiemps (1 + 5/7 E: (2/7) 1-1 que representa un tiemp finit (2 hras). b) Se suelta una pelta de una altura de 4 m. Supóngase que cuand se la sue 1 ta de una altura a rebta siempre (3/4) Hallar la distancia ttal recrrida pr la a n-1 pelta. En la primera caída recrrerá 4 m, en el primer rebte ascenderá y descenderá cada vez 4. 3/4 m = 3 m, en el segund rebte ascenderá y descenderá cada vez (4. 3/4). 3/4 = 4 (3/4) 2 y así sucesivamente, finalizand en el m-ésim rebte, cuand (igual que la msca): lim (3/4)m- 1 =O, es decir, después de infinits rebtes. Pr l tant, la distancia recrrida pr la pelta desde su lanzamient hasta su reps será: m~ n 39

4 d = (4.3/4 + 4 (3/4) ) = = /4 (1+ 3/4 + (3/4) ) = = /{1- (3/4)) = 28 (pues 3/4 < 1) distancia= 2m. m. m. e) Un célebre terema de Arquimedes (Arquimedes de Siracusa, a. C. ) dice que: "El área de un segment paraból i c es 2/3 de 1 área de 1 rectángul que tiene pr base la cuerda que l limita y circunscript al mism segment". Este terema l demuestra Arquimedes usand el métd grieg de exhaución cn el cual, dada una región cuya área quiere determinarse, se inscribe en ella una región plignal que se aprxime a la dada y cuya área sea de fácil cálcul. Lueg elige tra región plignal que dé una aprximación mejr (de mayr númer de lads) y se cntinúa el prces, aumentand el númer de lads llenar la región dada. AB cuerda. a OC segment paralel al eje de la parábla y que biseca a AB. M y N punts medis de AC y BC. Trazand paralelas a OC pr M y N se btienen D y E, F y interseccines cn la paráblr ls lads OA y 08 (del tri? r AOB) respectivamente. S Arquímedes prueba que área ADO = 1/4 área AOC, área OFB = 1/4 área BOC; es

5 decir que el área de ests triánguls, cnstruids sbre ls lads AOB, es 1/4 área de AOB (S= área de AOB). Usand el métd de exhaución, bserva que cada vez la nueva área es la anterir aumentada en 1/4 la de ls triánguls cnstruids en el pas anterir. Area del segment parabólic =S+ 1/4.S + 1/4 (1/4.S) + = S/(1 - (1/4)) = (pues 1/4 < 1) = 4/3 S = 2/3 área ARSB. = d) Una curva muy singular es la Cp de nieve (su nmbre deriva de su parecid cn ls cristales de nieve). Fue cncebida en función de un prces de trazad en etapas múltiples: etapa 1: se inicia cn un triángul equiláter de lad igual a la unidad. etapa 2: se di vide cada un de ls lads en 3 partes iguales y en cada terci medi se cnstruye un triángul equiláter dirigid hacia afuera, suprimiend las partes cmunes a ls triánguls viej y nuev. etapas sucesivas: se repite el prcedimient de la etapa 2. Su singularidad se debe a que, en cada etapa del trazad, su lngitud es 4/3 de la lngitud en la etapa anterir:

6 L.? 1 = lng e = 3 + m (4/3) 1-2, de dnde, si n crece tant cm se quiera, n 1 = 3 + m < 4/3) 2 l- = 3 + serie diverge. Es decir lngitud infinita! j-1 ( 4/3) y cm 4/3 > 1, esta En cambi si cnsiderams el área encerrada pr la curva, ésta es, a partir de e ' 4/9 del área en la etapa anterir: 3 A= área C = 3 + ~ (1 + 1/3 m (4/9) 1-2, de dnde si n n crece tant cm se quiera: A=~ ( m(4/9) 1-2 ) = ~ (1 + 1/3 m (4/9)J- 1 ) = ~ (1 + 1/3. 1/(1 - (4/9))) = 2~ J=1 (pues 4/9 < 1). Es decir, area finita! y n sól finita, sin que su valr es apenas 8/5 del área C, l que significa que es sól un 60% mayr que el área inicial. e) Expresar un númer decimal periódic cm un cciente entre númers enters. Sea a = K, a a... a b b... b dnde K representa la 1 2 m 1 2 n parte entera; a 1 cn i = 1,..., m ls distints dígits que cmpnen el anteperíd (númer que n se repite) y b cn j = 1,..., n ls distints dígits del perid (númer que se repite indefinidamente). Cm a puede ser psitiv, nul negatt' v v ls a b sn númers n negativs, pdems escribir: 1 J,J 1' J a= K, a a... a ± (b b... b, b b... b )/10m+n, 1 2 m 12 n 12 n cn

7 sign + si a ~ O y sign - si a < O. a= K, a a... a ± ((b b... b )/10m+n + (b b... b )/10m+ 2 n m 12 n 12 n + b b... b )/ ) = 1 2 n m+3n a= K, a a... a± ((b b... b )/10m+n m (1110n) 1-1 ) = 1 2 m 1 2 n 1=1 = K, a a... a± ( (b b... b )/lom+n. 1/( 1-( 1/lO)n)) 12 m 12 n (pues 1110n < 1) =K, a 1 a 2..am ±(b 1 b 2... bn)/(10m(10n- 1 )), de dnde: a= ((10n-1)(10m K± a a... a)± b b... b )/(10m(10n- 1 )). 1 2 n 1 2 n Ejempls: 1,24123 = (999 ( ) + 123)/( ) / , = -234/999, en este ejempl m = O pues es una expresión decimal periódica pura (sin anteperíd). f) El invers de un númer enter (diferente de -1 y O) es igual a la suma de la serie gemétrica a partir del 2 términ, cuya razón es el invers del númer cnsecutiv: 1/n = m(1/(n+1)) i-1 = m(1/(n+1))j Vn :;; -1, O, n e Z. m(1/n+l))j = (1/(n+1)). (1 + 1/(n+l) + 1/(n+1) 2 J=1 = 11(n+1). 1/(1-1/(n+l)) = 1/n. 1 ( n+ 1) < 1) ) = (pues g) En la intrducción recrdams que: mxl-1 = 1 1 = 1 + X + 2 x +... = 1/(1 - x) si 1 x 1 < 1, de dnde si se sustituye x pr 2 x btenems:

8 + X +... si se sustituye x pr -x btenems: cn lx 1 < 1, 1/( 1 + x) = X + X - X +... cn lx 1 < 1, si en esta última se sustituye 1/(1+ x 2 ) = 1 - x 2 + x 4 - x 6 + si en la segunda se sustituye x pr 1/(1-4x 2 ) = 1 + 4x x 4 + 2x X pr X 2 btenems: cn lxl < 1, btenems: cn lxl < 1/2. Este prcedimient puede ser aplicad a cualquier sustitución deseada. h) La última aplicación de la serie gemétrica será la referida a una de las famsas paradjas de Zenón (Zenón de El ea, a. C) Paradja del crredr: un crredr n puede alcanzar nunca la meta prque siempre ha de recrrer la mitad de la distancia que le falta antes de alcanzar la meta. Est muestra que el crredr deber recrrer infinitas distancias y es le tmará una eternidad. Así resulta una paradja pues el resultad btenid del raznamient está en cntradicción cn la intuición física. Esta y tra de sus paradjas pueden interpretarse cm un intent de mstrar que el mvimient es ilusri. Per cn la creación de la tería de las series infinitas se invalida la bjeción de Zenón pues la suma de infinitas distancias le tmará un tiemp finit, cm en el ejempl a). Si 1 es la distancia entre el punt de partida y el de llegada, la suma de las infinitas di stand as recrridas (d ) determinará que el crredr sí pdrá alcanzar la meta: r: d = 1(1/2 + 1/4 + 1/ ) = l 1 = 1/2. (1 + 1/2 + 1/ )= = 1/2. 11 (1- ( 1/2 ) ) = 1 (pues 1/2 < 1).

9 O bien cnsiderand que siempre crre a una misma velcidad y que la primera mitad es recrrida en un tiemp t, la carrera debería ser terminada en 2t. ls tiemps de cada interval: Apyándns en t + t/2 + t/ = t/(1-(1/2)) = 2t (pues 1/2 < 1). Darems ahra un ejempl que justifica cnsiderablemente el punt de vista de Zenón: Si la velcidad del crredr decrece gradualmente, tal que para recrrer 1/2 l hace en t, 1/4 en t/2,...,1/2n en t/n, el crredr n alcanzará la meta en un tiemp finit: t + t/2 + t/3 + t/4 + = t. L: 1/i; siend esta serie la serie armnica, de la cual bien cncems que es divergente. l=l BIBLIOGRAFIA APOSTOL, Tm M. BERS, L.-Karal, F. *TRICOMI, Francesc Calculus, intrducción cn vectres y gemetría analítica Vl. Revert S.A., Ed. Cálcul - Ed. Interamericana, Eserciz i e Cmplementi di Analisi Matemat lea, Parte 1 - C.E.D.A.M., MARIA ISABEL VIGGIANI ROCHA UNIVERSIDAD NACIONAL DE TUCUKAN