Régimen crítico en canales rectangulares de fondo curvo y sus aplicaciones

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1 Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN V.. -6, 4 (artíulo arbitrado) DOI: Régimen rítio en anales retangulares de fondo urvo y sus apliaiones G. Sotelo-Ávila e I.I. Valdez-Izaguirre Departamento de Ingeniería Hidráulia División de Ingeniería Civil, Topográfia y Geodésia. Faultad de Ingeniería, UNAM s: soteloa@servidor.unam.mx; ii_valdez_i@yahoo.om.mx (reibido: mayo de ; aeptado: febrero de ) Resumen El omportamiento del flujo en una urva vertial de un anal es diferente del retilíneo, dado que la urvatura apreiable de las líneas de orriente modifia la distribuión de la presión y veloidad en ada seión por el efeto que impone la fuerza entrífuga. En este artíulo se presenta un desarrollo alternativo para obtener las ondiiones del estado rítio del flujo urvilíneo permanente en anales retangulares, tomando omo hipótesis la ley del vórtie libre para la distribuión de la veloidad en la seión. El umplimiento de las euaiones del régimen rítio permite ubiar la seión de ontrol y a partir de ésta, alular el perfil del flujo en urvas vertiales. Desriptores: flujo en urvas vertiales, régimen rítio en flujo urvilíneo, seión de ontrol en flujo urvilíneo. Abstrat The flow be hav iour in a ver ti ally urved bot tom han nel is dif fer ent from the one on a flat bot tom han nel. The en trif u gal fore af fets the pres sure and ve lo ity dis tri bu tions and the stream lines are urved fol low ing bot tom the han nel trend. With the free vor tex law as hy poth e ses, the equa tions for the rit i al on di tions in a ret an gu - lar han nel with urvilinear flow are ob tained as shown. Knowing the rit i al on di tions it will al low lo at ing the on trol se tion and there fore al u lat ing the flow pro file be fore and af ter the urve. Keywords: flow in ver ti ally urved, rit i al on di tions in urvilinear flow, on trol se tion in urvilinear flow. Aspetos gener ales El perfil del fondo de un anal generalmente se diseña ajustándolo a las ondiiones topográfias y geológias del sitio, mediante tramos retos de fondo plano y diferentes pendientes unidos por urvas vertiales, normalmente irulares o parabólias. Los ambios del fondo en direión ver ti - al también se requieren para unir dos tramos de pendiente distinta, o bien, uando es neesario proporionar una

2 DOI: Régimen rítio en anales retangulares de fondo urvo y sus apliaiones determinada geometría al perfil del fondo por razones hidráulias. Esto último puede presentarse al diseñar un imaio y la onexión entre el pie de un imaio y su anal de desarga, o bien, al diseñar una ubeta defletora. Cuando el anal tiene deflexiones en la direión ver ti al y las líneas de orriente tienen urvatura apreiable, se modifia la distribuión de la presión en ada seión por el efeto que impone la aeleraión entrífuga. Las urvas vertiales pueden ser ónavas (figura a) o onvexas (figura b). La urvatura pro due un omponente de la aeleraión per - pendiular a la direión del flujo en ambas, el ual desvía la presión de la ley hidrostátia, representada por la línea AC uando el flujo es reto, a la línea AC uando el flujo es urvilíneo. La fuerza entrífuga atúa haia el ex te rior de la urva en ambos asos, pero en el flujo ónavo pro due una presión mayor que la hidrostátia, mientras que en el onvexo pro due una menor. El tratamiento adeuado del flujo urvilíneo es onsiderarlo omo irrotaional y analizarlo mediante una red de flujo o on soluiones analítias, omo lo hizo Lenau y Cassidy (969); Prasad (984); sin em bargo, en ambos asos, el proedimiento resulta muy elaborado y a vees tedioso. Por lo anterior, se presenta un planteamiento diferente basado en que la distribuión de la veloidad sigue la ley del vórtie libre on el fin de determinar las ondiiones en que se realiza el flujo urvilíneo unidimensional en un anal retangular on urvatura vertial. Con estos desarrollos se proponen las euaiones neesarias para analizar las ondiiones del régimen rítio en un anal retangular de fondo urvo, uya apliaión proporiona resultados sufiientemente preisos para fines prátios. Flujo urvilíneo omo un vórtie libre El flujo irrotaional tiene la propiedad de que la energía permanee onstante en ualquier punto de una misma línea de orriente. Cuando el flujo es además urvo, a diha propiedad se agrega que en ada punto de diha línea se satisfae la euaión dv v dr () r donde r y v son el radio loal de urvatura de la línea de orriente y la veloidad loal, respetivamente (ambos en el punto en uestión). Se onsidera que las líneas de orriente en la seión del flujo ónavo (figura a) asume la forma irular del fondo on un solo entro de urvatura, no obstante que se ven influeniadas desde un punto antes del ambio de direión y en un tramo después del mismo; es deir, existe una zona de transiión antes y después de la urva donde también se produen ambios en la distribuión de la presión. La hipótesis permite integrar la euaión y obtener ln( vr ) onstante, o bien, v r k, que es la ley del vórtie libre, donde k es onstante para todas las líneas de orriente en una misma seión de la urva. Por tanto, se satisfae que v r v ara k, donde v a y r a son la veloidad y el radio de urvatura en un punto sobre la línea de orriente que oinide on la superfiie libre de la misma seión. Con una distribuión de la veloidad siguiendo la ley del vórtie libre, v var a / ra, la veloidad media en una seión ret an gu lar ortogonal al fondo es R r v dr r R a a a V v dr v d n d r d r r r a () a R a a 4 Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite

3 DOI: G. Sotelo-Ávila e I.I. Valdez-Izaguirre Figura. Distribuión de la presión en el flujo urvilíneo Vol.V No. -julio-septiembre- 4 5

4 DOI: Régimen rítio en anales retangulares de fondo urvo y sus apliaiones donde R es el radio de urvatura de la línea de orriente que o in ide on el fondo. Pero n ( R / r ) n ( r / R), y siendo a a ra R d, la euaión an te rior se esribe me- jor en la forma V λ v a () donde v a es la veloidad en la superfiie libre y κ λ R d κ d n n[ d] d R κ d es el oefiiente de urvatura que orrige el efeto de onsiderar la veloidad media en la seión, en lugar de la veloidad sobre la superfiie libre, siendo el término κ / R la urvatura del fondo del anal y d el tirante medido en direión perpendiular al mismo fondo. Cuando el flujo es onvexo, los términos que ontienen a κ d ambian de signo en la euaión 4, es deir, se onsidera que κ > uando la urvatura es ónava y κ < uando es onvexa. La figura muestra la representaión gráfia de la euaión 4 y en ella se observa que el oefiiente λ tiende a uno uando κ d tiende a ero, sea el flujo ónavo o onvexo y, on ello, v a tiende a V, es deir, tiende a la distribuión uniforme de la veloidad media unidimensional. Esto ourre uando el fondo del anal es plano y κ. La energía H z + p/ gρ + v / g (respeto del fondo) es onstante para todas las líneas de orriente en una seión, pero su valor se obtiene on más failidad para la línea que o in ide on la superfiie libre del agua ( z d os θ ), donde la presión es la atmosféria ( p a ). De la euaión resulta (4) v a V / λ; por tanto, la energía espeífia en la seión resulta V E d os θ + d os θ + λ g λ Q gb d (5) ( )( ) a sea el flujo ónavo o onvexo. Para un gasto Q dado y onoidos el anho b del anal, el ángulo θ de inlinaión y la urvatura κ del fondo, la energía espeífia E es funión exlusivamente del tirante d. Toda vez que / λ V / g v / g, este término representa la distania ver ti al que separa la línea de energía de la superfiie libre en el anal. Un heho importante es que, para alular la energía en una seión del flujo on urvatura vertial, no es neesario onoer la distribuión de la presión ni la que hay en el fondo, sólo el oefiiente de urvatura. Energía espeífia y régimen rítio. Condiión de gasto onstante La ondiión límite para que la energía espeífia sea la mínima (E ) on que puede fluir un gasto Q onoido a través de la seión del anal, se puede determinar utilizando el riterio de la primera derivada ( de / dd ). Diha derivada resulta de Q osθ d d λ + λ dd g b λ d dd De la euaión 4 se tiene que dλ dd ln ( κ d) + (7) κ d d (6) Con la misma euaión 4, la anterior se transforma en 6 Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite

5 DOI: G. Sotelo-Ávila e I.I. Valdez-Izaguirre 7 Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite

6 DOI: Régimen rítio en anales retangulares de fondo urvo y sus apliaiones (8) dλ λ dd d κ d Al sustituir la euaión 8 en la 6 onsiderando Q el gasto unitario q, se obtiene b (9) de dd q osθ g λ d κ d ( + λ) κ d Para que E sea mínima, debe ser de/dd, por lo que la euaión an te rior se onvierte en (a) o bien q κ / gosθ q λ d ( κ d) gosθ κ d ( + λ) λ ( κ d) ( κ d) κ d ( + λ) / (b) expresión que representa la ondiión del estado rítio de un flujo urvilíneo en un anal ret an gu lar. En ella se observa que el tirante rítio d depende de la urvatura del fondo. La figura muestra la representaión gráfia de la euaión b. Con q V d en la euaión a, resulta () V d os θ λ( κ d ) λ g κ d ( + λ) siendo la energía espeífia mínima () E d osθ + λ( κ d ) κ d ( + λ) Por otra parte, si se representa on v a la veloidad de las partíulas en el fondo de la seión, de la euaión del vórtie libre: v r a a v R, de manera que v v R d v d a a ( κ ) R donde, v a V / λ q / λ d de la euaión ; por tanto v q κ λ d d () Un parámetro apliable al flujo urvilíneo, relaionado on el número de Froude, de la euaión es F v g dosθ q g osθ κ d / λ d (4) el ual, para las ondiiones rítias adquiere el valor (5) F q g osθ κ d / λ d Pero, de la euaión b se tiene que q Por tanto g osθ λ d ( κ d) κ d( + λ) / (6) 8 Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite

7 DOI: G. Sotelo-Ávila e I.I. Valdez-Izaguirre Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite

8 DOI: (7) λ( κ d) F κ d( + λ) / El valor de F no tiene que ser igual a uno ya que depende de λ y de κ d. El número de Froude para ualquier ondiión del flujo urvilíneo se de fine ahora omo F F F (8) donde F y F están dados por las euaiones 4 y 7. Este número de Froude sí alanza obviamente el valor F para el flujo rítio urvilíneo. Cuando el fondo es plano κ d, λ (Figura ) y la euaión a se transforma en d q / gosθ, que orresponde a la euaión del tirante rítio para el flujo retilíneo en a na les retangulares on fondo plano. Para la misma ondiión de fondo plano, λ y κ d, por tanto, de la euaión resulta que: E ( / ) d osθ es la energía espeífia rítia del flujo retilíneo en a na les retangulares. Finalmente, de la euaión 7 resulta F y, por tanto, para el fondo plano se obtiene la expresión onvenional: FV / g dosθ, que oinide on el número de Froude onvenional del flujo retilíneo, de valor igual a en ondiiones rítias. Apliaiones Curva de transiión entre dos anales de pendiente distinta La modifiaión de la presión en una urva ver - tial es más importante a medida que aumenta la veloidad y disminuye el radio de urvatura. El efeto se deja sentir tanto en flujo subrítio omo en superrítio pero, en el último, la veloidad es mayor y los ambios de direión ver ti al se realizan on deflexiones más grandes y más freuentes. Las urvas vertiales brusas deben evitarse a fin de prevenir perturbaiones del flujo en el anal. Las urvas vertiales son más senillas de onsiderar que las produidas en un ambio de direión horizontal, pero el diseño de las urvas de onexión debe tomar en uenta los siguientes aspetos: a. Las urvas onvexas deben ser sufiientemente graduales on el fin de mantener presión positiva en el fondo y evitar que el flujo se separe. La presión negativa tiene que limitarse para evitar avitaión en los reubrimientos. b. Las urvas ónavas deben tener un radio de urvatura sufiientemente grande on el fin de disminuir los efetos dinámios sobre el fondo produidos por la fuerza entrífuga resultante del ambio de direión.. La geometría de una urva vertial que une dos anales de pendiente menor a mayor debe ser lo más senilla posible, preferentemente irular o parabólia on el fin de simplifiar su onstruión. En el aso de anales on flujo subrítio de poa veloidad, los ambios de pendiente pueden ser brusos si esto no implia erosión en el fondo. Para evitar la tendenia del agua a separarse del fondo del anal y disminuir la presión de Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite

9 DOI: θ θ θ θ θ Figura 4. Curva vertial onvexa ontato, el perfil de una urva onvexa debe ser onsiderablemente más tendido que la trayetoria del horro libre lanzado on ángulo de inlinaión θ y la energía espeífia E del flujo en la seión donde iniia la urva. En la figura 4 se muestra la urva de onexión del fondo de dos a na les de distinta pendiente. Con el sistema oordenado mostrado, la forma de la urva queda definida por la euaión de una parábola, omo se demuestra en Sotelo (994), que es (9) x y x tanθ + 4 K E os θ La derivada de la euaión 9 es dy dx x tanθ + K E os θ () Para obtener las oordenadas del punto en que la urva se vuelve tangente al fondo del segundo tramo, se iguala dy / dx on tan θ y resulta tanθ tanθ + x K E os Por tanto, la absisa del punto de tangenia es entones θ donde x K Eos θ (tanθ tan θ ) () E K θ energía espeífia del flujo al iniiar la urvatura ver ti al de transiión fator que depende del grado de oinidenia deseado entre el perfil del fondo y del horro desargado libremente ángulo de inlinaión del fondo en el anal aguas arriba de la urva. Para asegurar presión positiva sobre toda la superfiie de ontato on el fondo, el valor de K debe ser igual o mayor de.5. y la ordenada y se obtiene sustituyendo x en la euaión 9. El perfil del fondo puede diseñarse on la forma parabólia dada por la euaión 9 entre los puntos y. Para simplifiar su geometría y onstruión, el perfil puede ambiarse a una urva irular ver ti al que iniie en el origen del sistema oordenado (punto PC) y termine en el punto (punto PT), siendo PI el punto de inflexión y θ θ θ el ángulo de deflexión. Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite

10 DOI: La analizaión de un río donde fluye un gasto de 5 m / s, se iniia on un tramo de 94 m de longitud, seión ret an gu lar, anho onstante de m y pendiente de.4 también onstante. Para desargar a otro río se dispone de una rápida que termine en una ubeta defletora uya geometría se muestra en la figura 5. Diseñar la urva de transiión para el ambio de pendiente y determinar el tirante de la seión rítia onsiderando n.5 (Manning). Soluión Debido a su gran longitud, se forma flujo uniforme en el primer tramo del anal, el ual debe ourrir on tirante nor mal y n 46. m. En efeto, el área hidráulia es A 478. m, el radio hidráulio R h. 7 m, por tanto, la veloidad media del agua y el au dal valen: / V (. 7) m/ s 5. Q 56. ( 478. ) 5 m / s El tirante rítio y la energía espeífia mínima en el primer tramo del anal (on fondo plano), para el gasto unitario q 5 / 5m /s resultan los valores: / y ( 5) 659. m 98. E (. ). m En virtud de que yn > y, el régimen es subrítio en el primer tramo. Por efeto del ambio de pendiente, el tirante disminuirá urva ver ti al de transiión entre las dos pendientes, por lo que diha urva se diseña on la energía espeífia rítia antes alulada. El ángulo de inlinaión del fondo del anal antes de la urva es θ tan y después de ella, θ tan Con K 5., de la euaión resulta x ( ) ( 5. )( 489. ) os 464. ( ) De la euaión 9: m y (. 4) + ( ) ( 5. )(. 489)os 464. m El ángulo de deflexión total es θ θ θ La absisa x i del punto PI de inflexión, se obtiene de ualquiera de las siguientes expresiones: o bien x x i STosθ, x i STosθ. El valor de la subtangente ST debe ser el mismo en ambas, es deir: por tanto x / os θ ( x x ) / osθ ; i i Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite

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12 DOI: x x o sθ os 464. i osθ + osθ os os 499. La subtangente resulta x i x i 59. m. 59 ST m os os.. 59 θ 464 Con ésta, el radio de la urva irular que pasa por los puntos y (tangente al fondo de ambos tramos del anal) vale: ST 59. R 759. m tan( θ / ) tan( / ) valor que puede redondearse a R 75. m, que equivale a una urvatura onstante κ / m ; negativa por ser onvexa y de valor onstante en ualquier punto de la urva ir u lar. El entro del írulo tiene las oordenadas: x R sen θ 7. 5( sen. 464 ). 5m y R os θ 7. 5(os 464. ) m y on R ( 75. ) 565., la euaión de la urva es o bien ( x +. 5) + ( y) (a) es la tangente del ángulo θ de inlinaión de un reta tangente a la urva en ualquier punto de absisa x. Por otra parte, el uadrado del primer término en la euaión b vale q κ ( 5) (. ). 647 gosθ 9. 8osθ osθ para que se satisfaga diha euaión en la forma. 647 ( λκd ) ( κd ) osθ κd ( + λ) (d) donde λ se alula de la euaión 4; θ de las euaiones a, b y. Además, la energía espeífia mínima queda expresada por la euaión. Si se efetúa un análisis numério de la euaión d, el segundo término ree on d, pero osθ se aleja del valor para que diha euaión se satisfaga, lo que traslada a la seión rítia haia aguas abajo del iniio de la urva. Sin embargo, esto hae que disminuya E y on ésta el nivel de energía, lo que desarta la presenia de la seión rítia en puntos aguas abajo. Por tanto, diha seión se debe presentar prátiamente al iniio de la urva, donde osθ os θ. La soluión de la euaión d es on κd En efeto, de la euaión 4 se tiene [ x ] y /.. (. ) de manera que dy dx [ x ] / ( +. 5) ( x + 5. ) (b) () + λ ln ( ) Por tanto, se alanza el valor ( λκd ) ( κd ) κd ( + λ) 4 Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite

13 DOI: [ 858. ( )] ( ). 648 ( )(. 858) que es prátiamente igual al que se debe satisfaer, siendo el tirante rítio d /. 55. m Con osθ en la euaión, la energía espeífia rítia vale + E ( ) ( ) E 94. m Ambos valores (d y E ) son menores que los obtenidos para el fondo plano y por ello la seión rítia se presenta al iniio de la urva y en diha seión se iniia el álulo del perfil del flujo gradualmente variado que se forma antes y después del ambio de pendiente. La diferenia de las energías espeífias rítias antes y dentro de la urva sirven para ompensar las pérdidas por urvatura y friión. Conlusiones En este trabajo se estableen las ondiiones en que se realiza el flujo urvilíneo unidimensional en un anal de fondo urvo, de manera similar a la que sigue Dressler (978) on el mismo grado de preisión. En este aso, la euaión muestra que el tirante rítio depende de las variables tradiionales en el flujo retilíneo, además de la urvatura del fondo y del llamado oefiiente de urvatura. Según la euaión 7, el parámetro F no es un número fijo en a na les de fondo urvo ver ti al, omo ourre on el valor en flujo retilíneo, y depende tanto del oefiiente de urvatura λ omo del propio tirante d. Sin em bargo, el número de Froude F alanza el valor para el flujo rítio. Referenias Lenau W. y Cassidy J. (969). Flow Through Spillway Flip Buket. Journal of Hydrau lis Divi sion, IAHR, Vol. 95, Nº HY, marzo. Dessler Robert F. (978). New Nonlinear Shal low-flow Equa tions With Curva - ture. Journal of Hydrau lis Researh, IAHR, Vol. 6, Nº. Prasad K. (984). Pres sure Distri bu tion on Ski-Jump Bukets. Irri ga tion and Power, Nueva Delhi, Julio. Sotelo G. (998). Hidráulia general. Limusa, Vol. Méxio. Sotelo G. y Ruiz R. (994). Flujo urvilíneo on vórtie libre. XIII Congreso Naional de Hidráulia. Puebla, Puebla, Méxio. 5 Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite

14 DOI: Semblanza de los autores Gilberto Sotelo-Ávila. Es ingeniero ivil, maestro en ingeniería, dotor en ingeniería y Profesor Emérito de la UNAM. Es investigador naional nivel del Sistema Naional de Investigadores del CONACYT y reibió en la UNAM el premio Universidad Naional 998, Doenia en Cienias Exatas; el Consejo Ténio de la Faultad de Ingeniería le otorgó las átedras espeiales Javier Barros Sierra en 999 y Mariano Hernández Barre nehea en. El Colegio de Ingenieros Civiles de Méxio le onedió los Premios Naionales: Miguel A. Urquijo 999, otorgado al mejor artíulo ténio publiado durante 997 y 998, Mariano Hernández Barrenehea a la doenia y José A. Cuevas al mejor artíulo ténio del. Iniió su atividad universitaria en 958 omo Investigador en el Instituto de Ingeniería y omo profesor en lieniatura y posgrado dentro de la Faultad de Ingeniería, atividad que a la feha todavía ontinúa. Fue jefe de la División de Ingeniería Civil, Topográfia y Geodésia, onsejero ténio de la Faultad de Ingeniería y onsejero aadémio de Área de la UNAM. Partiipó en la planeaión, proyeto y supervisión de aproximadamente 5 obras de ingeniería ivil dentro y fuera del país. Es viepresidente del Comité Regional Latinoameriano de Hidráulia de la Asoiaió n Internaional de Investigaiones e Ingeniería Hidráulia, miembro regular de la Aademia Mexiana de Cienias, del Colegio de Ingenieros Civiles de Méxio, Miembro de Honor de la Aademia de Ingeniería y del Consejo Aadémio del CENEVAL para el examen de alidad profesional de los ingenieros iviles. Es autor de dos libros de texto y oautor en tres más de onsulta. Ha publiado 7 artíulos de investigaión y de difusión, así omo apuntes y notas de sus ursos. I sis Ivette Valdez-Izaguirre. Ingeniera ivil y andidata al grado de maestra en ingeniería ivil. De 996 a la feha ha realizado atividad aadémia en el Laboratorio de Hidráulia de la Faultad de Ingeniería de la UNAM. Se ha desarrollado en el medio profesional de 994 a 996 en la planeaión, proyeto y supervisión de 5 proyetos de ingeniería en Ingeniería Sanitaria y Saneamiento Inte gral S.A. de C.V. Es miembro regular y voal de la XXVI Mesa Diretiva de la Asoiaión Mexiana de Hidráulia; asimismo, es miembro regular del Colegio de Ingenieros Civiles de Méxio. Es representante titular del área de hidráulia en la III Mesa Diretiva del Colegio del Personal Aadémio de la Carrera de Ingeniero Civil de la Faultad de Ingeniería. De 999 a la feha ha olaborado en proyetos de investigaión on el Dr. Gilberto Sotelo A. Atualmente interviene en la revisión y alibraión de equipo e instalaiones del laboratorio de hidráulia y en la elaboraión de mate rial didátio para la impartiión de prátias de laboratorio, del ual se han publiado las guías de prátias de hidráulia 6 Ingeniería Investigaión y Tenología, ISSN en trámite