ANÁLISIS DE VARIANZA

ANÁLISIS DE VARIANZA Se supoe el caso de u fabricate y tres cosumidores de latas cuyo fodo tega al meos 0.25 libras de recubrimieto de estaño. Mediate u tratamieto químico, se puede medir el peso de este recubrimieto, pero desgraciadamete o se puede repetir la experiecia co la misma muestra e lo cuatro laboratorios. U esayo experimetal puede cosistir e cortar discos a eviar a cada laboratorio, pero puede haber diferecias e el promedio debido: a) diferecias sistemáticas e la técica de medició, b) variabilidad aleatoria. Por otro lado, está la icógita de cuátos discos debería cortarse para eviar a cada laboratorio. Ua forma de determiar este valor es utilizado la desviació estádar de la distribució muestral etre dos medias. Se supodrá que este úmero está e el orde de 12 por laboratorio (e total 48 discos). La preguta ahora es cómo seleccioar esos 48 discos de ua chapa, la primera que viee a la mete es eviar segú este formato: Si las medias de las medicioes realizadas por cada uo de los laboratorios está muy dispersas, idica falta de cosistecia e las medicioes. Esto puede ser porque todos mide distito o quizá porque la distribució del depósito e la chapa es irregular. Es decir, se cofude la icosistecia de los laboratorios co la catidad de estaño depositado e la tira. Ua solució posible para esto sería umerar aleatoriamete los discos, por medio de ua Tabla de Números Aleatorios o co ua computadora, destiado a cada uo de los laboratorios los siguietes discos: Laboratorio A: 3, 10, 22. Laboratorio B: 33, 42, 8. Laboratorio A: 15, 12, 28. Laboratorio A: 45, 21, 35. Esta alterativa disuelve el patró de la disposició de estaño sobre la chapa (por ejemplo, más espesor e el cetro que e los bordes). Al aleatorizar el total de los 48 discos sólo queda atribuir a variació aleatoria las causas extrañas. Otra solució podría ser etregar los 48 de ua misma tira (experimetació cotrolada), pero los resultados sería sólo aplicables a distacias fijas del extremo de la lámia. Rara vez se fija todos o la mayoría de los factores extraños a lo largo de u experimeto, se cosigue así ua estimació de la variació aleatoria que o esté iflada por variacioes debidas a otras causas. Cátedra Estadística II 1

E la práctica, los experimetos deberá plaearse de tal maera que las fuete coocidas de variabilidad sea deliberadamete cosideradas sobre u rago ta amplio como sea ecesario. Más aú, deberá variarse e tal forma que su variabilidad pueda elimiarse e la estimació de la variable aleatoria. U modo es repetir el experimeto e varios bloques e los que la fuete coocida de variabilidad (esto es, variables extrañas) se matiee fijas e cada bloque, pero variado de bloque e bloque: Tira 1 Tira 2 Tira 3 Tira 4 Laboratorio A 8, 4, 10 23, 24, 19 26, 29, 35 37, 44, 48 Laboratorio B 2, 6, 12 21, 15, 22 34, 33, 32 45, 43, 46 Laboratorio C 1, 5, 11 16, 20, 13 36, 29, 30 41, 38, 47 Laboratorio D 7, 3, 9 17, 18, 14 28, 31, 25 39, 40, 42 De este modo, las diferecias etre medias obteidas por los 4 laboratorios, o puede atribuirse a variacioes etre tiras. DISEÑOS COMPLETAMENTE ALEATORIOS Se supoe que el experimetador cueta co los resultados de muestras aleatorias idepedietes, cada ua de tamaño, de diferetes poblacioes (datos relativos a tratamietos, grupos, métodos de producció, etc.). Iteresa probar la hipótesis de que las medias de esas poblacioes so todas iguales. Se deota a la j-ésima observació de la i-ésima muestra por y ij. El esquema geeral para u criterio de clasificació es: Medias Muestra 1 y 11 y 12 y 1j. y 1 Muestra 2 y 21 y 22 y 2j y 2. Muestra i y i1 y i2 y ij y i. Muestra y 1 y 2 y j y Bajo este esquema experimetal, e referecia al ejemplo tratado, y ij (i=1,2,..,4; j=1,2,, 12) es la j-ésima medició del peso del revestimieto del iésimo laboratorio, e es la media global (o gra media) de las 48 observacioes. Para pruebas de hipótesis (medias iguales) se supodrá estar trabajado co poblacioes ormales de la misma 2. Si i es la media de la població i-ésima y 2 es la variaza comú de las poblacioes, se puede expresar cada observació y ij como i más el valor del compoete aleatorio: y i j = i + i j para i=1,2,..,; j=1,2,, i j es ua variable aleatoria co distribució ormal, = 0 y 2 comú. Para dar uiformidad a las ecuacioes, se reemplaza i por + i, dode es la media de las i y i es el efecto del i-ésimo tratamieto, de aquí que: Cátedra Estadística II 2

i 1 i 0 esto surge de: 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i luego, la expresió de y ij queda: y i j = i + i j para i=1,2,..,; j=1,2,, Por lo tato, la Hipótesis Nula (las medias de las poblacioes iguales) se reemplaza por la Hipótesis Nula de que 1 = 2 = = = 0. La Hipótesis Altera de que al meos dos de las medias so distitas equivale a que i < > 0 para algua i. Para probar la Hipótesis Nula, se compara las estimacioes de 2 (ua e base a la observació de las medias muestrales y la otra co la variació detro de la muestra). cuatro laboratorios de u Ya que cada muestra viee de ua població co variaza 2, la variaza se dias obteidas por puede cada estimar uo de cualquiera de las muestras: ir ua Tabla de aálisis de 2 1 s i 1 j 1 2 y ij y i y etoces tambié por su media: cada ua de las variazas muestrales s 2 i está basada e (-1) grados de libertad y etoces está basada e.(-1) grados de libertad. Por otro lado, la variaza de las medias muestrales está dada por: y si la hipótesis es verdadera, esta expresió da ua estimació de 2 / y así ua estimació de 2, pero basada e la diferecia etre las medias, está dada por: Cátedra Estadística II 3

basada e (-1) grados de libertad. Si Ho es cierta, se puede demostrar que y so estimacioes idepedietes de 2 y por ello: F = / es ua variable aleatoria co distribució F co = -1 y =.(-1) grados de libertad. Cabe esperar que la variaza etre muestras,, exceda la variaza detro de las muestras,, cuado la Hipótesis Nula es falsa, por eso Ho será rechazada si F>F. Co el argumeto aterior se ha idicado cómo la prueba de las medias se puede fudametar e la comparació de dos estimacioes de variazas. Es otable el hecho de que las dos estimacioes e cuestió [excepto para los divisores (-1) y.(-1)] puede obteerse partiedo o aalizado la variaza total de las. observacioes e dos partes. La variaza muestral de las. observacioes está dada por: se puede probar el siguiete teorema respecto del umerador, llamado Suma de Cuadrados Total: Demostració: y como: 2 2 y y yi y. ij i y y 2 y y y y. ij i ij i i i 1 j 1 i 1 j 1 2 2 y y 2 y y. ij i i y y ij i y y. i i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 y y ij i se verifica la relació aterior: Se acostumbra a deotar: a) Suma de Cuadrados Total, SST: 0 2 y y. i Cátedra Estadística II 4

SST 2 y ij y. i 1 j 1 b) Suma de Cuadrados de Error, SSE: c) Suma de Cuadrados de Tratamieto SS(Tr): Luego, F se puede escribir así: F SS ( Tr) 1 SSE ( 1) los resultados obteidos so resultados e la siguiete tabla: Fuetes de Grados de Suma de Media Cuadrada F Variació Libertad Cuadrados Tratamietos -1 SS(Tr) MS(Tr)=SS(Tr)/(-1) MS(Tr)/MSE Error.(-1) SSE MSE=SSE/.(-1) Total.-1 SST Ejemplo: A fi de utilizar el Aálisis de Variaza para u criterio de clasificació, supoer el siguiete esquema de medicioes de cuatro laboratorios de u parámetro determiado (revestimieto de estaño de 12 discos) cuyos resultados so: Total Lab. A.25.27.22.30.27.28.32.24.31.26.21.28 3.21 Lab. B.18.28.21.23.25.20.27.19.24.22.29.16 2.72 Lab. C.19.25.27.24.18.26.28.24.25.20.21.19 2.76 Lab. D.23.30.28.28.24.34.20.18.24.28.22.21 3.00 Total 11.69 del que se quiere probar que las medias obteidas por cada uo de ellos es sigificativamete igual (Hipótesis Nula) co =0.05. Costruir ua Tabla de aálisis de variaza. Para facilitar cálculos, se utiliza las fórmulas: SST y ij 2 C i 1 j 1 Demostració: SS ( Tr) 1 T 2 i C i 1 Cátedra Estadística II 5

y y 0 ij i 2 SST y y ij. y ij 2 2y y y. ij. 2 i 1 j 1 i 1 j 1 y ij 2 1 2 y ( ). ( ) y y ij 2. i 1 j 1 i 1 j 1 2 y. Para Suma de Cuadrados total j 1 C i 1 j 1 2 y. y ij 2 ( ) i 1 j 1 ( ) 2 y ij 2 1 i 1 j 1 y ij 2 SST i 1 j 1 y ij 2 C Para Suma de Cuadrados de Tratamietos: 2 y 2 ( ) y i 2 1 y. C ij i 1 i 1 j 1 2 SS( Tr) y y. y i 2 2 y i. y y i 2. i 1 i 1 i 1 2 1 SS( Tr) 1 y C ij T i 2 C i 1 j 1 i 1 dode C (llamado Térmio de Correcció) y T i es: C 1 2 y ij T i i 1 j 1 j 1 y ij dode T i es el úmero total de observacioes de la i-esima muestra, Mietras que T es el Gra Total de las. observacioes. Luego, SSE se obtiee de: SSE = SST SS(Tr) Para el ejemplo: T = 11.69 C = T 2 /(.) = 11.69 2 /(4.12) = 2.8470 Cátedra Estadística II 6

SST= 0.25 2 + 0.27 2 + +0.21 2-2.8740 = 0.0809 SS(Tr) = (3.21 2 + 2.72 2 + 2.76 2 + 3.00 2 ) / 12-2.8740 = 0.0130 SSE = 0.809 0.0130 = 0.0679 la Tabla queda: Fuetes de Grados de Suma de Media Cuadrada F Variació Libertad Cuadrados Laboratorios 3 0.0130 0.0043 2.87 Error 44 0.0679 0.0015 Total 47 0.0809 Coforme a las tablas de la fució F, se puede ecotrar el valor correspodiete de la abscisa que deja a la derecha u área de 0.05 siedo además los grados de libertad para el umerador y deomiador 3 y 44, respectivamete, como lo idica el siguiete gráfico Ya que F (2.87) excede a F 0.05 = 2.82, se rechaza la Hipótesis Nula, luego los laboratorios o está logrado resultados cosistetes. U segmeto de programa Matlab que realiza esta prueba trabajado sobre ua matriz experimetal, se describe a cotiuació: fuctio aova1 % Determiacio del estadistico F para u diseño completamete aleatorio % co datos presetes e el archivo ascii cuadro.txt % Etradas: u, matriz, obteida del archivo ascii "cuadro.txt" % % Salida: F, real, Estadistico % load cuadro.txt;u=cuadro';=size(u,1);=size(u',1); % Calculo de las medias de cada tratamieto (filas) for i=1:, m=0; for j=1:, m=m+u(j,i); ed med(i)=m; ed gra_media=mea(med); % Calculo de la correccio Cátedra Estadística II 7

C=0; for i=1:, for j=1:,c=c+u(j,i); ed ed C=1/(*)*C^2; % Suma de cuadrados total (SST) SST=0; for i=1:, for j=1:,sst=sst+u(j,i)^2; ed ed SST=SST-C; % Calculo de la suma de cuadrados de tratamietos (SSTr) SSTr=0; for i=1:, SSTr=SSTr+(med(i))^2; ed SSTr=1/*SSTr-C; SSE=SST-SSTr; % Calculo de los cuadrados medios MSTr=floor(SSTr/(-1)*10000);MSE=floor(SSE/(*(-1))*10000); F=MSTr/MSE Luego ejecutado: >> aova1 F = 2.8667 Para estimar los parámetros, 1, 2, 3 y 4 se puede emplear míimos cuadrados miimizado: 2 y ij i i 1 j 1 co respecto a y a las i, sujetas a la restricció Esto se puede hacer por el método de los Multiplicadores de Lagrage. Derivado la peúltima expresió respecto de e igualado a cero: i 1 j 1 2 y ij i y ij i 1 j 1 i 1 j 1 y ij 0 0 i 1 j 1 0 i 0 i 1 j 1 Cátedra Estadística II 8

para u i dado: j 1 2 y ij i 0 i y ij j 1 j 1 j 1 Ejemplo: Estimar los parámetros del modelo co u criterio de clasificació para los revestimietos de estaño del ejemplo aterior. 11.69 48 3.21 1 12 2.76 3 12 0.244 11.69 2.72 11.69 0.024 2 48 12 48 0.017 11.69 3.00 11.69 0.0135 4 48 12 48 0.006 TAMAÑOS MUESTRALES DISTINTOS El Aálisis de Variaza descripto, se aplica a criterios de clasificació e que cada muestra tiee el mismo úmero de observacioes. Si o es así, y los tamaños muestrales so 1, 2,, se tiee que sustituir N = i por. e todo lo aterior, quedado el siguiete esquema de partida: Medias Muestra 1 y 11 y 12 y 1j. Muestra 2 y 21 y 22 y 2j. Muestra i y i1 y i2 y ij. Muestra y 1 y 2 y j Se obtiee la variaza detro de la muestra: y 2 1 s i i 1 i y ij y i 2 j 1 Cátedra Estadística II 9

la variaza de las medias muestrales es: y co lo cual se determia: La variaza muestral de las N observacioes está dada por: se puede demostrar que: SST = SSE + SS(Tr) Co: SST siedo: C i i 1 j 1 y ij 2 C SS ( Tr) 2 i 1 y ij T N i i 1 j 1 i 1 i 1 y ij T i 2 i C Problema: El coteido de aflatoxia, e partes por milló, de alguas muestras de crema de maí se prueba y se cosigue los siguietes resultados: Total Marca A 0.5 0.0 3.2 1.4 0.0 1.0 8.6 2.9 17.6 Cátedra Estadística II 10

Marca B 4.7 6.2 0.0 10.5 2.1 0.8 24.3 Total 41.9 a) Emplear Aálisis de Variaza para probar si las dos marcas difiere e e coteido de aflatoxia, co u ivel de sigificacia a=0.05. b) Probar la misma hipótesis usado la prueba t-bimuestral. Respuesta: a) y 1 2.2 y2 4.05 y. 2.2 SST SS ( Tr) 8 y 1j 3 2 j 1 j 1 2 i y i 3 6 y 2j 3 2 146.25 2 i 1 SSE = SST SS(Tr) = 146.25 11.74 = 134.51 8 ( 2.2 3) 2 6 ( 4.05 3) 2 11.74 Fuetes de Grados de Suma de Media Cuadrada F Variació Libertad Cuadrados Tratamietos 1 11.74 11.74 1.05 Error 12 134.51 11.21 Total 13 146.25 Dado que 1.05 < 4.75 (valor de F, de Tablas, co =0.05, =1 y =12) se rechaza la Hipótesis de que las dos marcas difiere e el coteido de aflatoxia. b) El estadístico para esta prueba es: t s 1 2 x 1 x2 s 2 2 1 1s 1 2 2 1 8.15 s 2 2 15.48 1 2 1 2 2 1 2 t 2.2 4.05 ( 8 1) 8.15 ( 6 1) 15.48 86( 8 6 2) 1.0234 8 6 siedo t 0.025 = -2.18 co = 1 + 2 2 = 8 + 6-2=12 grados de libertad, se aprecia que t > t 0.025 por lo tato se rechaza la Hipótesis de que las dos marcas difiere e el coteido de aflatoxia. Puede comprobarse que el estadístico t co grados de libertad y el estadístico F co grados de libertad está relacioados por: F(1,t Cátedra Estadística II 11

lo se puede verificar para este caso: DISEÑO EN BLOQUES ALEATORIOS Se supodrá que el experimetador tiee a su disposició medicioes relativas a a tratamietos distribuidos e b bloques. Primero se observará el caso e que hay exactamete ua observació de cada tratamieto e cada bloque (para el caso aterior, cada laboratorio probará u disco de cada tira). Si y ij deota la observació relativa al i-esimo tratamieto y al j-ésimo bloque, la media de las b observacioes para el i-ésimo tratamieto, la media de las a observacioes e el j-ésimo bloque e la gra media de las a.b observacioes, se emplea el siguiete esquema e esta clase de clasificació co dos criterios: B 1 B 2 B j B b Medias Tratamieto 1 y 11 y 12 y 1j. y 1b. Tratamieto 2 y 21 y 22 y 2j y 2b.. Tratamieto i y i1 y i2 y ij y ib.. Tratamieto y a1 y a2 Y aj Y ab. Medias Al esquema se lo llama aleatorio, siempre que los tratamietos sea asigados al azar detro de cada bloque. Cuado se usa u puto e lugar de u subídice, esto sigifica que la media se obtiee sumado sobre él. El modelo que se supodrá para el aálisis co ua observació por celda está dado por: y i j = i + j + i j para i=1,2,..,a; j=1,2,, b aquí es la gra media, i es el efecto de i-ésimo tratamieto, i el efecto del j-ésimo bloque y los i j so valores de variables aleatorias idepedietes ormalmete distribuidas que tiee media cero y variaza comú 2. Se restrige los parámetros impoiedo las codicioes que: a i i 1 0 b i j 1 0 E el aálisis de clasificació co dos criterios, cada tratamieto es represetado ua vez detro de cada bloque, el objetivo pricipal cosiste e probar la sigificacia de las diferecias etre las, o sea, probar la Hipótesis Nula: 1 = 2 = = = 0. Cátedra Estadística II 12

Más aú, quizás covega probar si la divisió e bloques ha sido eficaz, esto es probar que la Hipótesis Nula: 1 = 2 = = = 0 puede rechazarse. E cualquier caso, la Hipótesis altera establece que al meos uo de los efectos o es cero. Como e el aálisis co u criterio, se fudará la prueba de sigificacia mediate comparacioes de 2 (ua basada e la variació etre tratamietos, la otra basada e la variació etre bloques y la última que mide el error experimetal ). Nótese que sólo el último es ua estimació de 2 cuado cualquiera (o ambas) las Hipótesis Nulas o so válidas. Las sumas de cuadrados requeridas está dadas por el siguiete teorema: SST = SSE + SS(Tr) + SS(Bl) E la práctica se usa las siguietes fórmulas: dode: C es el térmio de correcció es la suma de las b observacioes para el i-ésimo tratamieto es la suma de las a observacioes para el j-ésimo bloque es la suma de todas las observacioes Empleado esta sumas de cuadrados, se puede rechazar la Hipótesis Nula de que las i so todas ulas, co u ivel de sigificacia si: F Tr MS( Tr) MSE SS ( Tr) a1 SSE ( a1) ( b1) excede F co (a-1) y (a-1).(b-1) grados de libertad. La Hipótesis Nula de que todas las i so todas ulas, co u ivel de sigificacia si: Cátedra Estadística II 13

F Bl MS( Bl) MSE SS ( Bl) b1 SSE ( a1) ( b1) excede F co (b-1) y (a-1).(b-1) grados de libertad. Nótese que las medias de los cuadrados MS(Tr), MS(Bl) y MSE se defie otra vez como las correspodietes sumas de cuadrados divididas etre sus grados de libertad. La siguiete tabla resume todo el procedimieto: Fuetes de Grados de Suma de Media Cuadrada F Variació Libertad Cuadrados Tratamietos a-1 SS(Tr) MS(Tr)=SS(Tr)/(a-1) F Tr = MS(Tr)/MSE Bloques b-1 SS(Bl) MS(Bl)=SS(Bl)/(b-1) F Bl = MS(Bl)/MSE Error (a-1).(b-1) SSE MSE=SSE/(a-1).(b-1) Total a.b-1 SST Ejemplo: Se diseñó u experimeto para estudiar el redimieto de cuatro detergetes diferetes. Las siguietes lecturas de blacura se obtuviero co u equipo especialmete diseñado para 12 cargas de lavado, distribuidas e tres modelos de lavadoras: Lavadora 1 Lavadora 2 Lavadora 3 Totales Detergete A 45 43 51 139 Detergete B 47 46 52 145 Detergete C 48 50 55 153 Detergete D 42 37 49 128 Totales 182 176 207 565 Cosiderado los detergetes como tratamietos y las lavadoras como bloques, obteer la Tabla de Aálisis de Variaza y probar, co u ivel de sigificació 0.01, si existe diferecias etre los detergetes y/o etre las lavadoras. 1 Hipótesis Nula: 1 2 = 3 = 4 = 0, 1 2 = 3 = 0 Hipótesis Alterativa: o todas las y tampoco las iguales a 0. 2 - Nivel de sigificacia: =0.01. 3- Se rechaza Ho si F > 9.78 (este valor correspode a F 0.01 co 1 y 2 O si F > 10.9 (este valor correspode a F 0.01 co 1 y 2 4 Cálculos: a = 4 b = 3 T 1. = 139 T 2. = 145 T 3. = 153 T 4. = 128 T.1 = 182 T.2 = 176 T.3 = 203 T.. = 565 y ij 2 = 26867 C = 565 2 / 12 = 26602 SST = 45 2 + 43 2 + + 49 2-26602 = 265 Cátedra Estadística II 14

SS(Tr) = ( 139 2 + 145 2 +153 2 + 128 2 ) / 3-26602 = 111 SS(Bl) = ( 182 2 + 176 2 +128 2 ) / 4-26602 = 135 SST = 265 111 135 = 19 la Tabla queda: Fuetes de Grados de Suma de Media Cuadrada F Variació Libertad Cuadrados Detergetes 3 111 37.0 11.6 Lavadoras 2 135 67.5 21.1 Error 6 19 3.2 Total 11 265 5- Dado que F Tr = 11.6 > 9.78 se Rechaza la primera Hipótesis Nula, por lo tato hay diferecia sigificativa etre la eficacia de los detergetes, y dado que F Bl = 21.1 > 10.9 tambié hay diferecia sigificativa etre la eficacia de las lavadoras. U segmeto de programa Matlab que realiza esta prueba trabajado sobre ua matriz experimetal, se describe a cotiuació: fuctio bloques % Determiacio del estadistico F para u diseño e bloques aleatorios % co datos presetes e el archivo ascii cuadro1.txt % Etradas: u, matriz, obteida del archivo ascii "cuadro1.txt" % % Salida: FTr, real, Estadistico % FBl, real, Estadistico % load cuadro1.txt;u=cuadro1';b=size(u,1);a=size(u',1); % Calculo de la suma de todas las observacioes T=0; for i=1:a, for j=1:b, T=T+u(j,i); ed, ed C=T^2/(a*b); % Calculo de la Suma de cuadrados total SST=0; for i=1:a, for j=1:b, SST=SST+u(j,i)^2; ed, ed SST=SST-C; % Calculo de la Suma de cuadrados de tratamietos SSTr=0; for i=1:a, ss=0; for j=1:b, ss=ss+u(j,i); ed SSTr=SSTr+ss^2 ; ed SSTr=SSTr/b-C; % Calculo de la Suma de cuadrados de bloques SSBl=0; for j=1:b, ss=0; for i=1:a, ss=ss+u(j,i); ed SSBl=SSBl+ss^2 ; ed SSBl=SSBl/a-C; % Calculo de la Suma de cuadrados de error SSE=SST-SSBl-SSTr; FTr=SSTr/(a-1)/(SSE/((a-1)*(b-1))) FBl=SSBl/(b-1)/(SSE/((a-1)*(b-1))) Luego ejecutado: >> bloques Cátedra Estadística II 15

FTr = 11.7788 FBl = 21.5310 COMPARACIONES MÚLTIPLES Co las pruebas F empleadas se demostraba si las diferecias etre varias medias era sigificativas, pero o iformaba si ua media e particular (o medias) difiere e forma sigificativa de otra media cosiderada (o grupo de medias). E el caso de los pesos de los recubrimietos puede ser importate que los laboratorios difiera uos de los otros. Si u experimetador tiee ate sí medias, parece razoable probar etre todos los pares posibles, esto es efectuar.(-1)/2 pruebas t bimuestrales. Esto o es eficiete. Para ello se utiliza Pruebas de Comparacioes Múltiples, y etre ellas la Prueba del Rago Múltiple de Duca. Las suposicioes básicas so, e esecia, las del aálisis de la variaza e ua dimesió para tamaños muestrales iguales. La prueba compara el Rago de Míima Sigificacia, R p, dado por: aquí R p sr p x es ua estimació de: x y puede calcularse como: s x MSE dode MSE es la media de los cuadrados de error e el Aálisis de Variaza. El valor de r p depede del valor deseado de sigificacia y del úmero de grados de Libertad correspodiete a la MSE, que se obtiee de tablas existetes e la bibliografía (Miller y Freud, Estadística para Igeieros, tablas 12 a, para =0.05 y 12 b, para =0.01, co p=2,3,,10 y para varios grados de libertad etre 1 y 120). Ejemplo: Co respecto a los datos de los pesos de los recubrimietos de estaño, aplicar la prueba del Rago Múltiple de Duca para probar cuáles medias de los laboratorios difiere de las otras empleado u ivel de sigificacia de 0.05. Para ello se ordea, e orde creciete, las cuatro medias muestrales: Laboratorio B C D A Media 0.227 0.230 0.250 0.268 luego, se calcula usado MSE = 0.0015 del Aálisis de Variaza: Cátedra Estadística II 16

s x 0.0015 12 0.011 siedo el úmero de grados de libertad =.(-1) = 44. Por iterpolació, e la Tabla 12-a, se obtiee los valores de r p : multiplicado r p por = 0.011: p 2 3 4 r p 2.85 3.00 3.09 P 2 3 4 R p 0.031 0.033 0.034 El rago de las cuatro medias es 0.268 0.227 = 0.041, que excede a R 4 = 0.034, que es el rago sigificativo míimo. Esto era de esperar, porque la prueba F idicó que las diferecias etre las cuatro medias era sigificativas co a = 0.05. Para probar que hay diferecias sigificativas etre tres medias adyacetes, se obtiee los ragos de 0.038 y 0.023 respectivamete para 0.230, 0.250, 0.268 y 0.227, 0.230, 0.250. Puesto que el primero de estos valores sobrepasa a R 3 = 0.033, las diferecias correspodietes o so sigificativas. Por último e el caso de parejas adyacetes de medias, igú par adyacete tiee rago mayor que el rago sigificativo míimo R 2 = 0.031. Esto se resume: dode se ha dibujado ua líea bajo cualquier cojuto de medias adyacetes para las cuales el rago es meor que u valor correspodiete de R p, esto es, bajo cualquier cojuto de medias adyacetes, para las cuales las diferecias o so sigificativas. Se cocluye así que el Laboratorio A obtiee los pesos medios de recubrimieto más alto que los Laboratorios B y C. OTROS DISEÑOS EXPERIMENTALES Para el diseño de Cuadro Latio, se supoe que es ecesario comparar tres tratamietos A, B y C e presecia de otras dos fuetes de variabilidad. Por ejemplo, los tres tratamietos puede ser tres métodos de soldadura para coductores eléctricos y las dos fuetes de variabilidad puede ser: 1) Diferetes operarios 2) La utilizació de diferetes fudetes para soldar. Si se cosidera tres operarios y tres fudetes, el experimeto puede dispoerse así: Cátedra Estadística II 17

Fudete 1 Fudete 2 Fudete 3 Operador 1 A B C Operador 2 C A B Operador 3 B C A aquí cada método de soldadura se aplica sólo ua vez por cada operario juto co cada fudete. U arreglo experimetal como el descripto de deomia Cuadro Latio. U Cuadro Latio x es ua arreglo cuadrado de letras distitas, las cuales aparece sólo ua vez e cada regló y e cada columa. Nótese que e u experimeto e Cuadro Latio de tratamietos es ecesario icluir 2 observacioes, por cada tratamieto. U experimeto e Cuadro Latio si repetició da solo (-1).(-2) grados de libertad para estimar el error experimetal. De modo que tales experimetos so efectuados e cotadas ocasioes si repetició cuado es pequeño. Si existe u total de r repeticioes, el aálisis de los datos presupoe el siguiete modelo, dode y ij()l es la observació e el i-ésimo regló, e la j-ésima columa, de la l-ésima repetició y el subídice idica el -ésimo tratamieto: y ij()l = + i + j + + l + ij()l 0.0015 0.0112 co 12las restriccioes: para i, j, = 1, 2,, y l = 1, 2,, r r i 0 j 0 0 l 0 i 1 j 1 1 l 1 dode: es la gra media i es el efecto de la i-ésima fila o regló j es el efecto de la j-ésima columa es el efecto del -ésimo tratamieto l es el efecto de la l-ésima repetició ij()l variable aleatoria idepediete ormal co = 0 y variaza comú 2. ótese que por los efectos de los regloes y los efectos de las columas se etiede los efectos de las dos variables extrañas y que se icluye los efectos de la repetició como ua tercera variable extraña. está etre parétesis ya que para u diseño de Cuadro Latio dado, es automáticamete determiada cuado i y j se cooce. La hipótesis pricipal a probar es la Hipótesis Nula = 0, para toda, es decir la Hipótesis Nula de que o existe diferecia e la eficacia de tratamietos. Tambié se puede probar si i = 0, para todo i y j = 0, para todo j co el fi de comprobar si las dos variables extrañas tiee algú efecto sobre el feómeo que se está cosiderado. Mas aú, se puede probar es la Hipótesis Nula l = 0, para toda l, cotra la alterativa que o todas las l so iguales a cero, y esta prueba del efecto de las repeticioes puede ser importate si las partes del experimeto, que represeta los Cuadros Latios idividuales, fuero realizados e distitos días, a diferetes temperaturas, etc.. Cátedra Estadística II 18

Las fórmula a aplicar so: SSE = SST SS(Tr) SSR SSC SS(Rep) dode: total de las r. observacioes e todos los i-ésimos regloes total de las r. observacioes e todas las j-ésimas columas total de las 2 observacioes e todos las l-ésimas repeticioes total de las r. observacioes relativas a los j-ésimos tratamietos es el gra total de las r. 2 observacioes lo que lleva al siguiete cuadro de aálisis: Fuete de Grados de Suma de Cuadrados Medios F Variació libertad cuadrados Tratamietos 1 SS(Tr) MS(Tr)=SS(Tr)/(-1) MS(Tr)/MSE Regló 1 SSR MSR=SSR/(-1) MSR/MSE Columa 1 SSC MSC=SSC/(-1) MSC/MSE Repetició r 1 SS(Rep) MS(Rep)=SS(Rep)/(r-1) MS(Rep)/MSE Error (-1)(r.+r-3) SSE MSE=SSE/[(-1).( r.+r-3) Total r. 2-1 SST Ejemplo: Supoer que se efectúa repeticioes del experimeto de soldadura empleado el siguiete arreglo: Cátedra Estadística II 19

Los resultados, que señala el úmero de ilogramos fuerza de tesió requeridos para separar los putos soldados, fuero como se idica a cotiuació: aalizar el experimeto como u Cuadro Latio y probar co u ivel de sigificació de 0.01 si existe diferecias e los métodos, e los operadores, los fudetes o las repeticioes. 1 1 2 = 3 = 0; 1 2 = 3 = 0 ; 1 2 = 3 = 0; 1 2 = 0 Hipótesis Alterativa: o todas las,,, iguales a 0. 2 - Nivel de sigificacia: =0.01. 3 - Para tratamietos, regloes y columas se rechaza Ho si F > 7.56 (este valor correspode a F 0.01 co 1 y 2 Para repeticioes se rechaza Ho si F > 10.0 (este valor correspode a F 0.01 co 1 y 2 4 Cálculos: = 3 r = 2 T 1.. = 81 T 2.. = 79.5 T 3.. = 75.5 T.1. = 70.0 T.2. = 92.0 T.3. = 78.0 T..1 = 119.5 T..2 = 120.5 T (A) = 87.5 T (B) = 86.5 T (C) = 66.0 T = 240.0 y ij()l 2 = 3304.5 C = 240 2 / 18 = 3200.0 SST = 14 2 + 16.5 2 + + 11.5 2 3200.0 = 104.5 SS(Tr) = ( 87.5 2 + 86.5 2 + 66.0 2 ) / 6 3200.0 = 49.1 SSR = ( 81 2 + 79.5 2 +79.5 2 ) / 6 3200.0 = 0.2 SSC = ( 70 2 + 92 2 +78 2 ) / 6 3200.0 = 41.2 Cátedra Estadística II 20

SSE = 104.5 49.1 0.2-41.2 = 13.8 la Tabla queda: Fuetes de Variació Tratamietos (Métodos) Regloes (Operadores) Columas (Fudetes) Grados de Libertad Suma de Cuadrados Media Cuadrada 2 49.1 24.6 17.6 2 0.2 0.1 0.1 2 41.3 20.6 14.7 Repeticioes 1 0.1 0.1 0.1 Error 10 13.8 1.4 Total 17 104.5 5 E lo que respecta a tratamietos (métodos) y a columas (fudetes) dado que F = 17.6 y 14.7 sobrepasa a 7.56 se rechaza las Hipótesis Nulas correspodietes. Para regloes (operarios) dado que F = 0.1 o excede a 7.56, o se rechaza Ho. E otras palabras, se cocluye que las diferecias e los métodos y e los fudetes, pero o e los operadores y las repeticioes, afecta a la resistecia mecáica de la soldadura. Más aú, la prueba del Rago Múltiple de Duca da el siguiete patró de decisió, co = 0.01: Método C Método B Método A Media 11.0 14.4 14.6 E cosecuecia, se cocluye que el Método C produce uioes co soldaduras más débiles que los Métodos A y C. La elimiació de tres fuetes extrañas de variabilidad puede lograrse mediate el diseño de Cuadro Grecolatio. E u diseño cosistete e u arreglo cuadrado de letras latias y letras griegas; más exactamete, cada letra latia aparece sólo ua vez al lado de cada letra griega: A B C D B A D C C D A B D C B A Tambié se los llama Cuadros Grecolatios Ortogoales. Como ejemplo, supoer el caso de las soldaduras, la temperatura es otra fuete de variabilidad. Si tres temperaturas de soldado, deotadas, yse utiliza juto co los tres métodos, los tres operadores (regloes) y tres fudetes (columas), la repetició de u experimeto apropiado de Cuadro Grecolatio puede establecerse así: Fudete 1 Fudete 2 Fudete 3 Operador 1 A B C F Cátedra Estadística II 21

Operador 2 C A B Operador 3 B C A Así pues, el Método A sería utilizado por el Operador 1, usado fudete 1, a la temperatura, por el Operador 2, usado fudete 2, a la temperatura y por el Operador 3, usado fudete 3, a la temperatura. E u Cuadro Grecolatio, cada variable (represetada por regloes, columas, letras latias o letras griegas) está distribuida equitativamete respecto a las otras variables. Cátedra Estadística II 22