Matemática discreta Divisibilidad Dados dos úmeros aturales a y b, escribiremos a b y leeremos a divide a b si existe u c N tal que ac = b. E este caso, decimos que a es u divisor de b o que b es divisible por a (o b es múltiplo de a). Por ejemplo, 3 15; por su parte, 100 es múltiplo de 4, de 25 y de 20, etre otros; pero 3 o es divisor de 20. Llamamos primos a los úmeros p mayores o iguales que 2 que sólo so divisibles por 1 y por p. Si p es mayor o igual que 2 y o es primo, se dice que es compuesto. 1. Demuestra que si p es u atural y p es compuesto, etoces existe u divisor m de p co 1 < m p. 2. a) Si u úmero es divisible por 4 y por 3 etoces, es divisible por 12? b) Si u úmero es divisible por 4 y por 6 etoces, es divisible por 24? c) Si u úmero divide al producto de otros dos, divide a alguo de ellos? Se deomia máximo comú divisor de dos úmeros aturales a y b al mayor úmero atural que divide a ambos. Se deota mcd(a, b). 3. Demuestra que si a y b so dos úmeros aturales a > b y hacemos la divisió etera, es decir: a = bc + r co c atural y 0 r < b, etoces cualquier divisor comú de a y b es divisor de r y cualquier divisor comú de r y b lo es de a. Deduce a partir de aquí que si r 1, etoces mcd(a, b) = mcd(b, r). Justifica que si b divide a a (es decir, cuado r = 0), se verifica que mcd(a, b) = b. Algoritmo de Euclides. Sea a y b so dos úmeros aturales o ulos a > b, y hacemos la divisió etera, es decir: co c 0 atural y 0 r 1 < b. a = bc 0 + r 1 Si r 1 = 0 etoces b a y el mcd(a, b) = b, pero si teemos que r 1 0 podemos volver a aplicar el algoritmo de la divisió y ecotrar dos úmeros eteros c 1 y r 2 tales que b = c 1 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1. Este proceso puede cotiuarse, escribiedo r 1 = c 2 r 2 + r 3 y, puesto que b > r 1 > r 2 0, es evidete que e u úmero fiito de pasos, co b, llegaremos a u resto r = 0, es decir r 2 = c 1 r 1. Este proceso describe el algoritmo de Euclides para calcular el máximo comú divisor de dos úmeros como el último resto o ulo, r 1. 1
4. Justifica la validez del algoritmo de Euclides, es decir que mcd(a, b) = mcd(b, r 1 ) = = mcd(r 2, r 1 ) = r 1. 5. Aplicado el algoritmo de Euclides calcula mcd(2805, 2448) y mcd(936, 504). Ecuetra eteros p, q tales que mcd(936, 504) = 936 p + 504 q. E geeral, prueba que existe p, q eteros tales que mcd(a, b) = a p + b q. Se dice que dos úmeros p y q so primos etre sí (o relativamete primos, o coprimos) si o tiee divisores comues mayores que 1, es decir mcd(p, q) = 1. 6. Idetidad de Bézout. Demuestra que a y b so primos etre sí existe eteros r, s tales que 1 = ra + sb. 7. Demuestra que si p y q so primos etre sí y q divide a pb, etoces q divide a b. Deduce que si p es u úmero primo que divide a ab etoces p a o p b. 8. Demuestra que u úmero atural d es el máximo comú divisor de dos úmeros aturales a y b si y sólo si verifica las dos codicioes: d a y d b. N tal que a y b se tiee que d. Se deomia míimo comú múltiplo de dos úmeros aturales a y b al meor úmero atural que es divisible por ambos. Se deota mcm(a, b). 9. Demuestra que u úmero atural M es el míimo comú múltiplo de dos úmeros aturales a y b si y sólo si verifica las dos codicioes: a M y b M. N N tal que a N y b N se tiee que M N. Teorema Fudametal de la Aritmética. Todo úmero etero positivo puede descompoerse como producto de factores primos de forma úica, salvo el orde de dichos factores. [La existecia de la descomposició se ha visto como aplicació del Pricipio de Iducció Completa. La uicidad se prueba usado adecuadamete el ejercicio 7]. 10. Usa el Teorema Fudametal de la Aritmética para obteer la expresió del máximo comú divisor (y el míimo comú múltiplo) de dos úmeros eteros positivos e térmios de sus factores primos. Deduce que a b = mcm(a, b) mcd(a, b). 11. Prueba que u úmero es divisible por 3 si y sólo si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. 12. Justifica que u úmero es múltiplo de 9 si y sólo si la suma de sus cifras lo es. 2
13. Demuestra que u úmero atural es divisible por 11 si y sólo si, la diferecia de la suma de sus cifras de lugar par meos la suma de sus cifras de lugar impar es múltiplo de 11. (Recuerda que 10 1 es múltiplo de 11 si es par y que 10 + 1 es múltiplo de 11 si es impar). 14. Prueba que si (0, + ), p es u úmero atural y p, etoces [ p ] ([x] represeta la parte etera de x) coicide co el úmero de múltiplos de p meores o iguales que. Calcula cuátos úmeros aturales meores que 2000 so múltiplos de 3. Determia cuátos de ellos o so múltiplos de 9. 15. Dados dos úmeros primos distitos p y q, ecuetra el úmero de divisores distitos que tiee el úmero: a) pq, b) p 2 q, c) p q m, para todo, m N {0}. Ejercicios de reserva 16. Ecuetra todos los úmeros aturales m, tales que m 2 2 = 31. 17. Prueba que si u úmero tiee u úmero impar de divisores, etoces es u cuadrado perfecto. 18. Sea (a, b) N 2. Demuestra que si mcd(a, b) = D y mcm(a, b) = M se verifica a) mcd(a 2, b 2 ) = D 2. b) mcm(a 2, b 2 ) = M 2. c) Es cierto lo iverso, es decir: Si mcd(a 2, b 2 ) = D 2, etoces mcd(a, b) = D, y si mcm(a 2, b 2 ) = M 2 etoces mcm(a, b) = M? 19. Demuestra que la ecuació 22α+6β = 70 tiee solucioes eteras y ecuétralas. 20. Prueba que ( + 1) 2 es u etero. 21. Prueba que si 3 divide a 2 etoces 3 divide a (Usa que sólo puede ser de la forma 3a, 3a + 1, 3a + 2). 22. Cómo ha de ser q para que se verifique /Si q divide a 2 etoces q divide a /? 23. Caracteriza los úmeros que so múltiplos de 4. Prueba que el producto de 4 úmeros aturales cosecutivos es múltiplo de 24. 24. Caracteriza los múltiplos de 5. Prueba que el producto de 5 úmeros aturales cosecutivos es divisible por 120. 25. U úmero que se escriba co 100 ceros, 100 uos y 100 doses, es mútiplo de 3? Y de 9? Puede ser u cuadrado perfecto? 3
26. Todos los úmeros capicúas de cuatro cifras so múltiplos de 11. Estudia si esto es cierto para todos los capicúas co tres, cico o más cifras. Pricipio del Palomar (o pricipio de distribució de Dirichlet) Si teemos + 1 palomas y idos, etoces hay al meos u ido que tiee dos o más palomas. Ejemplo: Es fácil probar que e uestra comuidad hay al meos dos asalariados que gaa exactamete el mismo úmero de euros: o hay mucha gete que gae más de 200.000Ă al mes (si los hay, lo olvidamos), pero hay más de 200.001 asalariados. Co los euros como idos y los asalariados como palomas, el pricipio del palomar os dice que al meos hay dos persoas que gaa la misma catidad de euros al año. 16. Prueba que e u grupo de 400 persoas hay al meos 2 cuyo cumpleaños es el mismo día. 17. Demuestra que dados cico putos cualesquiera e u cuadrado de lado 2 hay al meos dos putos que dista como mucho 2 Es verdad para 4 putos? Dados u palomar co idos y m + 1 palomas hay u ido que tiee al meos m + 1 palomas. Esta versió del pricipio del palomar cotiee la primera versió como u caso particular (co m = 1). 18. Los estudiates de ua clase lleva el pelo egro, marró, rubio, blaco o teñido de rojo. Hay 101 estudiates e clase. Probar que al meos hay 21 estudiates que lleva el pelo del mismo color. (Aquí idos so los colores y las palomas so los estudiates). 19. Los veiticico alumos de u grupo de Matemáticas Básicas tiee que geerar ua clave de seis caracteres co las letras A, B, C, D y los úmeros 1, 2, 3, 4 para poder acceder a sus calificacioes. Justifica que al meos hay cuatro alumos cuya clave termia e el mismo carácter. 4
20. Colocamos de forma arbitraria 10 putos e ua circuferecia y los umeramos al azar co los úmeros 1, 2,, 10. Prueba, utilizado adecuadamete el Pricipio del Palomar, que hay 3 cosecutivos que suma más que 16. Pricipio de Iclusió-Exclusió Sabemos que si A y B so cojutos fiitos, se verifica que A B = A + B A B. 21. Determia cuátos úmeros hay etre 1 y 60 que sea múltiplos de 3 o termie e 3. 22. Cuátos eteros positivos meores que 1001 so divisibles por 5 o por 7? 23. El pricipo de iclusió-exclusió sirve tambié para para cotar idirectamete. Utilízalo para respoder estas pregutas: Cuátos úmeros etre 1 y 100 o so divisibles i por 2 i por 3? Cuátos eteros etre 1 y 3943, ambos icluidos, o so divisibles i por 11 i por 13? 24. E el caso de teer tres cojutos fiitos, A, B y C, justifica que se verifica A B C = A + B + C ( A B + A C + B C ) + A B C. Cuátos eteros etre 1 y 9264, ambos icluidos, so divisibles por 4, 5 ó 7? Combiatoria 25. Cuátos úmeros etre 1000 y 9999 tiee sólo dígitos pares? (El 0 es ua cifra par). 26. U grupo musical grabó 11 cacioes co las que editará u uevo disco. De cuátas maeras puede elegir la secuecia de los temas? 27. Ocho amigos se reúe periódicamete a cear. Lo hace siempre e el mismo restaurate, e la misma mesa redoda. De cuátas maeras distitas puede setarse? 28. U partido de fútbol acaba co el marcador 5-3. De cuátas maeras se puede llegar a este resultado? 29. Dados 10 putos e ua circuferecia, cuátos triágulos, co vértices e esos putos, se puede costruir? 5
30. E ua tieda hay 10 cajas distitas y sólo 8 etiquetas distitas. Se pretede etiquetar las cajas, co lo que quedará dos cajas si etiqueta. De cuátas maeras diferetes puede etiquetarse las cajas? Piesa primero e la solució fijado las cajas y asigádoles las etiquetas; después busca la solució pero cosiderado las etiquetas y asigádoles las cajas. 31. La Empresa Rotulie acaba de sacar al mercado tres modelos uevos de rotuladores K, S y W. Yo voy a comprar 12 de esos rotuladores, de cuátas formas puedo hacerlo? (Sugerecia: cambia el problema por ua cadea de 12 uos y 2 ceros; cada cero sirve para separar los modelos). 32. E la mesa de u bar se ecuetra setadas 4 persoas. Cada ua de ellas tomará u refresco a elegir etre las 5 marcas que se ofrece. De cuátas maeras puede hacer el grupo su elecció? Cuátos pedidos distitos puede hacer el camarero e el mostrador? U grafo está formado por cierta catidad de putos, que llamamos vértices, y líeas que ue parejas de putos, que llamaremos aristas. U grafo se llama completo si tiee todas las aristas posibles; es decir, si cada par de vértices está uido por ua arista. 33. Si cosideramos u grafo completo de k vértices, cuátas aristas tiee? 34. Cuátas distribucioes distitas se puede hacer co 9 cartas e 3 grupos de 3 cartas cada uo? 35. Cuátas solucioes e eteros o egativos tiee la ecuació x + y + z = 8? Utiliza secuecias de uos y ceros. 36. a) Demuestra que ( ) ( k = k), siedo 0 k. b) Demuestra que ( ) ( k = 1 ) ( k 1 + 1 ) k, siedo 1 k 1. 37. Demuestra por iducció que: ( ) ( (a + b) = a + 0 1 ) a 1 b + + ( ) a b 1 + 1 ( ) b. Ejercicios de reserva 38. Cuátos capicúas hay que tega 5 cifras? Y de 6 cifras? 39. a) Prueba que u cojuto de 2 elemetos tiee cuatro subcojutos. b) Si u cojuto tiee elemetos, cuátos subcojutos tiee? 6
40. Cuátos úmeros de 7 cifras se puede formar utilizado dos uos, tres doses y dos treses? 41. a) Demuestra que: (1 + x) = ( ) + 0 ( ) ( ) x + + x 1 + 1 1 b) Teiedo e cueta la igualdad aterior comprueba que ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = + + + + 0 1 1 y calcula ( ) 0 ( ) + 1 ( ) x. ( ) ( ) ( ) + + ( 1) 1 + ( 1). 2 1 Probabilidad E u experimeto, si teemos sucesos elemetales igualmete probables (por ejemplo, al tirar u dado, sacar u 2 tiee la misma probabilidad que sacar u 1, u 3 o u 6), la probabilidad de u suceso A se calcula mediate la coocida fórmula de Laplace: p(a) = casos favorables casos posibles. Por ejemplo, al tirar ua moeda al aire, si llamamos A al suceso "salir cara", etoces p(a) = 1. Al tirar u dado, si llamamos B al suceso "sacar u múltiplo de 2 3", se tiee que p(b) = 2 = 1. 6 3 E ua experiecia reiterada, dos sucesos A y B so idepedietes si la realizació de A o ifluye e la realizació de B. E este caso, p(a B) = p(a) p(b). Por ejemplo, si tiramos ua moeda y u dado, la probabilidad de obteer ua cara y u tres es 1 2 1. 6 38. Co ua apuesta e la quiiela, cuál es la probabilidad de acertar los quice resultados, supoiedo que todos los resultados posibles so equiprobables? Y la de acertar catorce resultados de los quice? 39. Ua apuesta e la Lotería Primitiva cosiste e elegir 6 úmeros del 1 al 49. Si marcamos 7 úmeros e la lotería primitiva, cuátas apuestas distitas estamos haciedo? Cuál es la probabilidad de que os toque? 40. Ua ura cotiee bolas, e cada ua de las cuales está escrita ua permutació de las cifras 1, 2, 3, 4, 5. Cuál es la probabilidad de que al sacar ua bola sea múltiplo de 2? Y que sea múltiplo de 5? Y que termie e 24? 7
41. Halla la probabilidad de sacar dos bolas de distito color de ua ura que cotiee 10 bolas blacas y 10 rojas cuado a) se devuelve la bola después de la primera extracció. b) o se devuelve la bola tras la primera extracció. 42. E ua baraja de 40 cartas se saca dos. Cuál es la probabilidad de que sea del mismo palo? Y de que sea dos ases? Y de que sea el as de oros y el rey de copas? 43. U tirador tiee probabilidad 1 de dar e el blaco, cuál es la probabilidad de 3 que o acierte? Si tira tres veces, cuál es la probabilidad de acertar algua vez? Sistemas de umeració 44. Escribe 0, 54, 0, 34, 0, 2 45 y 1, 9 como cociete de dos úmeros eteros. 45. Ecuetra la expresió decimal de los siguietes úmeros biarios: a) (1011001) 2 b) (0,100101) 2 c) (11,11) 2 d) (0. 1) 2 46. Ecuetra la expresió biaria de los siguietes úmeros decimales: a) 83 b) 27 c) 256 d) 3,625 47. Prueba que u úmero atural es múltiplo de 8 si y sólo si su expresió biaria termia e, al meos, tres ceros. Alguos sistemas operativos utiliza, e lugar de base 2, la base hexadecimal, es decir, utiliza como base el 16 y los dígitos que se emplea so 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 48. Ecuetra la expresió decimal de los úmeros hexadecimales: a) E b) 1A c) A9B, A1. Determia tambié su expresió biaria. 8