Pág. 1 PÁGINA 9 EJERCICIOS Ls relciones de proporcionlidd 1 Indic, entre los siguientes pres de mgnitudes, los que son directmente proporcionles, los que son inversmente proporcionles y los que no gurdn relción de proporcionlidd: ) L edd de un person y su peso. b) L cntidd de lluvi cíd en un ño y el crecimiento de un plnt. c) L cntidd de litros de gu que rroj un fuente y el tiempo trnscurrido. d) El número de hojs que contiene un pquete de folios y su peso. e) L velocidd de un coche y el tiempo que dur un vije. f ) L ltur de un person y el número de clzdo que us. g) El precio del kilo de nrnjs y el número de kilos que me dn por 10 euros. Mgnitudes directmente proporcionles c), d) Mgnitudes inversmente proporcionles e), g) No gurdn relción de proporcionlidd ), b), f ) 2 Complet ls siguientes tbls e indic, en cd cso, si los pres de vlores son directmente proporcionles, inversmente proporcionles o no gurdn ningun relción de proporcionlidd: A B M N K L 3 7 8 12 9 1 21 30 3 9 1 2 2 3 8 20 2 3 10 30 20 1 10 A B M N K L 3 7 8 10 12 9 1 21 2 30 36 3 9 1 21 2 2 3 8 1 20 2 2 3 6 10 30 20 1 12 10 6 Proporcionlidd direct. No gurdn proporción. Si M vle k, N vle k 1. Proporcionlidd invers. Unidd. Proporcionlidd
Pág. 2 RAZONES Y PROPORCIONES 3 Busc: ) Tres pres de números cuy rzón se igul 1 2. b) Tres prejs de números que estén en l relción de tres uno. c) Tres prejs de números que estén en rzón de dos cinco. Soluciones bierts. Por ejemplo: ) 3 12 6 8 2 b) 6 12 9 2 3 c) 8 6 10 20 1 Escribe cutro proporciones con ls siguientes rzones: 6 6 10 1 1 21 10 6 12 2 6 10 1 1 21 2 7 21 1 21 2 7 6 21 Escribe tres proporciones con los vlores de est tbl: KILOS DE ALMENDRAS 1 2 COSTE EN EUROS 9 18 Qué relción de proporcionlidd lig mbs mgnitudes? 1 9 2 1 2 18 9 18 Proporcionlidd direct. 6 Escribe tres proporciones con los vlores de est tbl: VELOCIDAD DE UN TREN (km/h) 0 100 TIEMPO QUE DURA EL VIAJE (h) 6 3 10 2 Unidd. Proporcionlidd
Pág. 3 Qué relción lig mbs mgnitudes? 0 100 3 0 2 100 2 6 10 6 10 3 Proporcionlidd invers. 7 Complet ls siguientes proporciones: ) 1 21 b) 6 20 2 c) 0 d) 28 2 6 e) 3 f ) 17 72 212 g) 1 28 h) 2 3 i) 9 j) 2 2 68 372 ) 20 21 28 b) 6 21 21 1 2 c) 2 0 1 d) 28 6 3 e) 72 3 18 f ) 372 17 93 212 68 g) 3 28 710 h) 2 1 296 36 1 i) 2 22 1 j) 2 2 1 296 36 21 3 8 Clcul l constnte de proporcionlidd y, con yud de ell, complet est tbl de vlores directmente proporcionles: A B 2 6 8 10 1 1,6,8 Constnte de proporcionlidd 0,8 A B 2 6 8 10 1 1,6,8 6, 8 12 Unidd. Proporcionlidd
Pág. PÁGINA 9 PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA 9 Clcul mentlmente y contest: ) Tres kilos de nrnjs cuestn 2,. Cuánto cuestn dos kilos? b) Seis obreros descrgn un cmión en tres hors. Cuánto trdrán cutro obreros? c) 200 g de jmón cuestn. Cuánto costrán 10 grmos? d) Un vión, en 3 hors, recorre 1 00 km. Cuántos kilómetros recorrerá en hors? e) Un cmión crgdo, 60 km/h, recorre ciert distnci en 9 hors. Cuánto tiempo invertirá en el vije de vuelt, descrgdo, 90 km/h? ) 1,6 b) hors y medi c) 3 d) 2 00 km e) 6 hors 11 Si cutro entrds pr el cine hn costdo 1,2, cuánto costrán cinco entrds? 1,2 1,2 19 12 El dueño de un supermercdo h bondo 180 por 1 cjs de jos. Cuánto deberá pgr por un nuevo pedido de 13 cjs de jos? CAJAS COSTE 1 180 13 13 180 16 1 Unidd. Proporcionlidd
Pág. 13 Un tren h recorrido 20 km en tres hors. Si mntiene l mism velocidd, cuántos kilómetros recorrerá en ls próims dos hors? DISTANCIA TIEMPO 20 km 3 h 2 h 20 2 3 160 km 1 Un grifo, bierto durnte 10 minutos, hce que el nivel de un depósito sub 3 cm. Cuánto subirá el nivel si el grifo permnece bierto 18 minutos más? Cuánto tiempo deberá permnecer bierto pr que el nivel sub 70 cm? p p p q TIEMPO NIVEL 10 min 3 cm 18 min 18 3 10 63 cm El nivel subirá 63 cm en 18 minutos. TIEMPO NIVEL 10 min 3 cm 70 cm 10 70 3 20 minutos El nivel subirá 70 cm en 20 minutos. 16 Ocho obreros construyen un pred en 9 dís. Cuánto trdrín en hcerlo seis obreros? 8 9 72 dís trdrí un obrero 72 : 6 12 dís trdrín 6 obreros 8 obreros 9 dís 6 obreros Proporcionlidd invers 6 8 9 12 dís Unidd. Proporcionlidd
Pág. 6 17 Un grifo que rroj un cudl de 3 litros por minuto, llen un depósito en 20 minutos. Cuánto trdrá en llenr ese mismo depósito otro grifo cuyo cudl es de litros por minuto? 3 CAUDAL TIEMPO 3 l/min 20 min l/min 20 3 20 12 minutos Proporcionlidd invers 18 Cutro pls ecvdors hcen un trbjo de movimiento de tierrs en 1 dís. Cuánto se trdrí en hcer ese mismo trbjo si se dispusier de 7 pls ecvdors? 7 PALAS TIEMPO (dís) 1 7 1 1 8 dís 7 Proporcionlidd invers 19 Un bidón de dos litros de ceite cuest,8. Cuánto costrá un bidón de litros de l mism mrc? 2 litros,8 litros 2,8,8 1, 2 Proporcionlidd direct 21 Por 3, kg de chirimoys he pgdo 6,3. Cuánto pgré por cinco kilos? CHIRIMOYAS (kg) PRECIO ( ) 3, 6,3 3, 6,3 6,3 9 3, Unidd. Proporcionlidd
Pág. 7 PÁGINA 96 22 Un tiend rebj todos los rtículos en l mism proporción. Si por un cmiset de 18 pgo 16,20, cuánto debo pgr por un jersey de 90? PRECIO SIN REBAJA PRECIO REBAJADO 18 16,20 90 18 90 16,20 90 16,20 81 18 23 Por dos kilos y trescientos grmos de merluz he pgdo 1,. Cuánto pgré por un kilo y setecientos grmos? PESO (kg) COSTE ( ) 2,3 1, 1,7 2,3 1,7 1, 1,7 1, 30,6 2,3 2 Por un besugo que pesb 87 g Jun h pgdo 10,8. Cuánto pgrá Norberto por otro besugo de 1,2 kg? PESO (g) COSTE ( ) 87 10,8 1200 87 1200 10,8 10,8 1200 1,88 87 2 Dos poblciones que distn 18 km están, en un mp, un distnci de 6 cm. Cuál será l distnci rel entre dos ciuddes que, en ese mismo mp, están seprds 21 cm? 18 : 6 3 km de l relidd por cd centímetro del mp. 3 21 63 km distn en relidd ls dos ciuddes. 18 km 6 cm 21 cm 63 km Unidd. Proporcionlidd
Pág. 8 27 Un coche, 90 km/h, hce un recorrido en hors. Cuánto tiempo gnrí si umentr su velocidd en 10 km/h? 90 0 km de recorrido 0 : 100, h h 30 min Gnrí medi hor. 90 km/h hors 100 km/h Proporcionlidd invers 100, hors 90, 0,. Gnrí medi hor. 28 Un grifo que rroj un cudl de 2 litros por minuto, llen un depósito de gu en hor y medi. Cuánto trdrá en llenr ese mismo depósito otro grifo con un cudl de 20 litros por minuto? Un hor y medi 90 min 2 90 2 20 l tiene el depósito 2 20 : 20 112, min 1 h 2 min 30 s 2 l/min 1, hors 20 l/min Proporcionlidd invers 20 1, 1,87 hors 2 Trdrí 1,87 hors, es decir, 1 hor y 0,87 segundos 60 2, minutos. Por tnto, trdrí 1 hors 2 minutos y 30 segundos. 29 Virgini mide 1,60 m de ltur y, en este momento, su sombr tiene un longitud de 0,8 m. Si l sombr de un árbol próimo mide 10 m, cuál es su ltur? 1,60 0,8 1,60 10 20 m 10 0,8 El árbol mide 20 metros. Unidd. Proporcionlidd
Pág. 9 30 Un utomovilist lleg un gsoliner con el depósito vcío y 673 km en su cuentkilómetros. Ech 39 litros de gsolin y continú su vije. Cundo vuelve tener el depósito vcío, su cuentkilómetros mrc 273 km. Cuál es el consumo de combustible cd 100 kilómetros? 273 673 600 km recorre 39 6, l gst por cd 100 km 6 600 km 39 litros 100 km 6, l 31 Un empres de confección debe entregr un pedido en 12 dís. Pr poder cumplir el encrgo debe fbricr 2 000 prends diris. Sin embrgo, sufre un verí que detiene l producción durnte dos jornds. Cuánts prends deberá fbricr dirimente pr enfrentrse est nuev situción? 2 000 12 2 000 prends debe fbricr en 12 dís. 2 000 : 10 2 00 prends diris debe fbricr si solo dispone de 10 dís. 2000 prends diris 12 dís 10 dís 10 12 2000 2 00 diris Proporcionlidd invers 32 Con el dinero que tengo, yer podrí hber comprdo diez pegtins de 0, cd un, pero hoy ls hn subido 0,1 por unidd. Cuánts pegtins puedo comprr hor? Tengo 10 0, Ls pegtins cuestn hoy 0, + 0,1 0, Ahor podrí comprr: : 0, 8 pegtins Unidd. Proporcionlidd
Pág. 10 33 Un grnjero necesit dirimente kg de pienso y 10 kg de forrje pr limentr sus 30 vcs. Qué cntidd de pienso y de forrje dirios necesitrí en el supuesto de que vendiese 10 vcs? : 30 1, kg de pienso por cd vc. 10 : 30 3, kg de forrje por cd vc. 1, 20 30 kg de pienso 3, 20 70 kg de forrje Por ls 20 vcs que le quedn. kg de pienso 30 vcs 20 vcs 30 kg de pienso 10 kg de forrje 30 vcs 20 vcs 70 kg de forrje 3 El rdio de un circunferenci mide 2 m. Cuál es su longitud? Sbiendo que l circunferenci complet brc 360, cuál es l longitud de un rco de 90? Y l de un rco de 2? 360 2 L longitud de un circunferenci es: L 2 π r Longitud de l circunferenci de 2 m de rdio: Longitud de l circunferenci 2π r Longitud de l circunferenci de rdio 2 m 2 π 2 12,6 m Longitud de un rco de 90 : 12,6 90 3,1 m 360 360 12,6 m 90 3,1 m Longitud de un rco de 2 : 12,6 2 0,872 m 360 Unidd. Proporcionlidd
Pág. 11 360 12,6 m 2 0,872 m 3 Cuál es l superficie de un sector circulr de 90 en un círculo de 2 m de rdio? Y l superficie de un sector de 2? 90 2m 2 L longitud de un círculo es: S π r 2 Superficie del círculo π r 2 Superficie de un círculo de 2 m de rdio π 2 2 12,6 m 2 Superficie de un sector de 90 : p 12,6 90 3,1 m 2 360 360 12,6 m 2 90 3,1 m 2 Superficie de un sector de 2 : 12,6 2 0,872 m 2 360 360 12,6 m 2 2 0,872 m 2 PÁGINA 97 36 Un supermercdo recibe un crg de 100 cjs de refrescos cd semn. Si cd cj contiene 20 botells, cuánts botells vende ese supermercdo, proimdmente, cd mes? Tommos el mes como semns: 100 20 8 000 botells l mes, proimdmente. 2 000 botells 1 semn semns 8 000 botells Unidd. Proporcionlidd
Pág. 12 PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA 37 Cincuent terneros de engorde consumen 200 kg de lflf l semn. ) Cuál es el consumo de lflf por ternero y dí? b) Cuántos kilos de lflf se necesitrán pr limentr 20 terneros durnte 1 dís? c) Durnte cuántos dís podemos limentr 10 terneros si disponemos de 600 kg de lflf? ) 200 : 0 8 kg de lflf por ternero l semn 8 : 7 12 kg de lflf por ternero l dí PROPORCIONALIDAD DIRECTA TERNEROS DÍAS ALFALFA 0 1 0 7 200 1 1 7 200 1 12 kilos de lflf b) PROPORCIONALIDAD DIRECTA TERNEROS DÍAS ALFALFA 0 20 0 7 200 20 1 7 200 200 20 1 1 0 7 3 600 kg c) PROPORCIONALIDAD INVERSA TERNEROS ALFALFA DÍAS 10 0 0 200 7 10 600 200 7 7 0 600 600 10 200 dís Con 600 kg de lflf se pueden limentr 10 terneros durnte dís. Unidd. Proporcionlidd
Pág. 13 38 Por envir un pquete de kg de peso un poblción que está 60 km de distnci, un empres de trnsporte me h cobrdo 9. Cuánto me costrá envir un pquete de 1 kg 200 km de distnci? Si el coste fuer directmente proporcionl l peso del pquete y l distnci del lugr de destino, el nuevo envío costrá: 9 : 60 0,1 por cd kilómetro (un pquete de kg) 0,1 : 0,03 por kilómetro y kilogrmo 0,03 1 200 90 por un pquete de 1 kg 200 km 1 PRO PESO DISTANCIA COSTE kg 60 km 9 1 kg 200 km 60 9 90 200 39 Un piez de tel de 2, m de lrg y 80 cm de nch cuest 30. Cuánto costrá otr piez de tel de l mism clidd de 3 m de lrg y 1,20 m de nch? 30 : (2, 0,8) 1 cd metro cudrdo 1 (3 1,2) cuest l nuev piez PRO LARGO (m) ANCHO (m) COSTE ( ) 2, 0,8 30 3 1,2 2, 3 0,8 30 1,2 Unidd. Proporcionlidd
Pág. 1 0 Pr llenr un pilón de riego hst un ltur de 80 cm se h necesitdo portr un cudl de 20 litros por minuto durnte 1 h 20 min. Cuánto tiempo trdrá en llenrse ese mismo pilón hst un ltur de 90 cm si se le port un cudl de 1 litros por minuto? 20 litros por minuto durnte 80 minutos 1 600 litros se necesitn pr que el gu sub 80 cm. 1 600 : 80 20 litros se necesitn pr que el gu sub 1 cm. 20 90 1 800 litros se necesitn pr que el gu sub 90 cm. 1 800 : 1 120 minutos se necesitn pr conseguir 1 800 litros con un cudl de 1 l/min. Por tnto, trdrá 2 hors en llenrse. PROPORCIONALIDAD DIRECTA P. INVERSA ALTURA CAUDAL TIEMPO 80 cm 20 l/m 60 + 20 80 minutos 90 cm 1 l/m 80 90 1 80 120 minutos 2 hors 20 1 Cinco máquins igules envsn 7 200 litros de ceite en un hor. Cuántos litros envsrán tres máquins en dos hors y medi? Cuánto tiempo trdrán cutro máquins en envsr 12 000 litros? 7 200 : 1 0 litros envs cd máquin en 1 hor. 10 3 2, 10 800 litros envsn 3 máquins en 2 hors y medi. PROPORCIONALIDAD DIRECTA MÁQUINAS TIEMPO LITROS 3 1 hor 7 200 3 2, hors 1 7200 2, 10 800 litros Unidd. Proporcionlidd
Pág. 1 PROPORCIONALIDAD DIRECTA MÁQUINAS TIEMPO LITROS 3 1 hor 7 200 3 2, hors 1 7200 2, 10 800 litros 12000 : 3 000 litros h de envsr cd máquin. 3 000 32 6 h 6, min trdn. PROPORCIONALIDAD INVERSA MÁQUINAS LITROS TIEMPO 7200 1 hor 12000 7200 1 12 000 6,9 2,083 ) hors 2,083 ) 60 12 minutos Trdrán 2 h min 2 Doce obreros, trbjndo 8 hors diris, terminn un trbjo en 2 dís. Cuánto trdrán en hcer ese mismo trbjo obreros trbjndo 10 hors diris? 12 8 2 2 00 hors de trbjo de 1 obrero hy que empler en relizr el trbjo. 2 00 : 80 hors debe relizr cd uno de los obreros. 80 : 10 8 dís trdrán. PROPORCIONALIDAD INVERSA P. INVERSA OBREROS HORAS DÍAS 12 12 8 2 10 10 2 8 dís Trdrán 8 dís 8 Unidd. Proporcionlidd
2 Pág. 16 PROBLEMAS DE ESTRATEGIA 3 COMPARANDO SUPERFICIES Cuánts veces ument l superficie de un cudrdo si se ument l doble el ldo? Y si se ument el ldo l triple? 2 2 Cuánts veces ument l superficie de un heágono si los ldos se hcen el doble de lrgo? Y si los ldos se hcen el triple de lrgo? 2 2 2 S 2 S 2 Si el ldo de un cudrdo ument l doble, su superficie ument l cuádruple. 3 S 2 3 S 9 2 Si el ldo de un cudrdo ument l triple, su superficie qued multiplicd por 9. Si el ldo de un heágono ument l doble, su superficie qued multiplicd por. Unidd. Proporcionlidd
3 Pág. 17 Si el ldo de un heágono ument l triple, su superficie qued multiplicd por 9. COMPARANDO TAMAÑOS Supón que umentmos el tmño de un cubo hst que l rist se hce doble. Cuántos cubos como el primitivo cben en el cubo mplido? Y si hcemos que l rist umente l triple? Con rist doble, en el nuevo cubo cben 8 cubos como el primitivo. Con rist triple, en el nuevo cubo cben 27 cubos como el primitivo. Unidd. Proporcionlidd